排列组合培优训练

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高中数学培优班排列组合训练题

高中数学培优班排列组合训练题解排列组合应用题的21种策略1.相邻问题捆绑法:题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大元素参与排列.例1.,,,,A B C D E五人并排站成一排，如果,A B必须相邻且B在A的右边，那么不同的排法种数有（）A、60种B、48种C、36种D、24种解析：把,A B视为一人，且B固定在A的右边，则本题相当于4人的全排列，4424A=种，答案：D.2.相离问题插空排:元素相离（即不相邻）问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端.例2.七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是（）A、1440种B、3600种C、4820种D、4800种解析：除甲乙外，其余5个排列数为55A种，再用甲乙去插6个空位有26A种，不同的排法种数是52563600A A=种，选B.3.定序问题缩倍法:在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序，可用缩小倍数的方法.例3.,,,,A B C D E五人并排站成一排，如果B必须站在A的右边（,A B可以不相邻）那么不同的排法种数是（）A、24种B、60种C、90种D、120种解析：B在A的右边与B在A的左边排法数相同，所以题设的排法只是5个元素全排列数的一半，即551602A=种，选B.4.标号排位问题分步法:把元素排到指定位置上，可先把某个元素按规定排入，第二步再排另一个元素，如此继续下去，依次即可完成.例4.将数字1，2，3，4填入标号为1，2，3，4的四个方格里，每格填一个数，则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有（）A、6种B、9种C、11种D、23种解析：先把1填入方格中，符合条件的有3种方法，第二步把被填入方格的对应数字填入其它三个方格，又有三种方法；第三步填余下的两个数字，只有一种填法，共有3×3×1=9种填法，选B.5.有序分配问题逐分法:有序分配问题指把元素分成若干组，可用逐步下量分组法.例5.（1）有甲乙丙三项任务，甲需2人承担，乙丙各需一人承担，从10人中选出4人承担这三项任务，不同的选法种数是（）A、1260种B、2025种C、2520种D、5040种解析：先从10人中选出2人承担甲项任务，再从剩下的8人中选1人承担乙项任务，第三步从另外的7人中选1人承担丙项任务，不同的选法共有21110872520C C C=种，选C.（2）12名同学分别到三个不同的路口进行流量的调查，若每个路口4人，则不同的分配方案有（）A、4441284C C C种B、44412843C C C种C、4431283C C A种D、444128433C C CA种答案：A.6.全员分配问题分组法:例6.（1）4名优秀学生全部保送到3所学校去，每所学校至少去一名，则不同的保送方案有多少种？解析：把四名学生分成3组有24C种方法，再把三组学生分配到三所学校有33A种，故共有23 4336C A=种方法.说明：分配的元素多于对象且每一对象都有元素分配时常用先分组再分配.（2）5本不同的书，全部分给4个学生，每个学生至少一本，不同的分法种数为（）A、480种B、240种C、120种D、96种答案：B.7.名额分配问题隔板法:例7：10个三好学生名额分到7个班级，每个班级至少一个名额，有多少种不同分配方案？解析：10个名额分到7个班级，就是把10个名额看成10个相同的小球分成7堆，每堆至少一个，可以在10个小球的9个空位中插入6块木板，每一种插法对应着一种分配方案，故共有不同的分配方案为6984C=种.8.限制条件的分配问题分类法:例8.某高校从某系的10名优秀毕业生中选4人分别到西部四城市参加中国西部经济开发建设，其中甲同学不到银川，乙不到西宁，共有多少种不同派遣方案？解析：因为甲乙有限制条件，所以按照是否含有甲乙来分类，有以下四种情况：①若甲乙都不参加，则有派遣方案48A种；②若甲参加而乙不参加，先安排甲有3种方法，然后安排其余学生有38A方法，所以共有383A；③若乙参加而甲不参加同理也有383A种；④若甲乙都参加，则先安排甲乙，有7种方法，然后再安排其余8人到另外两个城市有28A种，共有287A方法.所以共有不同的派遣方法总数为433288883374088A A A A+++=种.9.多元问题分类法：元素多，取出的情况也多种，可按结果要求分成不相容的几类情况分别计数，最后总计.例9（1）由数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的共有（）A 、210种B 、300种C 、464种D 、600种解析：按题意，个位数字只可能是0，1，2，3，4共5种情况，分别有55A 个，1131131131343333323333,,,A A A A A A A A A A A 个，合并总计300个,选B .（2）从1，2，3…，100这100个数中，任取两个数，使它们的乘积能被7整除，这两个数的取法（不计顺序）共有多少种？解析：被取的两个数中至少有一个能被7整除时，他们的乘积就能被7整除，将这100个数组成的集合视为全集I,能被7整除的数的集合记做{}7,14,21,98A =共有14个元素,不能被7整除的数组成的集合记做{}1,2,3,4,,100A =共有86个元素；由此可知，从A 中任取2个元素的取法有214C ，从A 中任取一个，又从A 中任取一个共有111486C C ，两种情形共符合要求的取法有2111414861295C C C +=种.（3）从1，2，3，…，100这100个数中任取两个数，使其和能被4整除的取法（不计顺序）有多少种？解析：将{}1,2,3,100I =分成四个不相交的子集，能被4整除的数集{}4,8,12,100A =；能被4除余1的数集{}1,5,9,97B =，能被4除余2的数集{}2,6,,98C =，能被4除余3的数集{}3,7,11,99D =，易见这四个集合中每一个有25个元素；从A 中任取两个数符合要；从,B D 中各取一个数也符合要求；从C 中任取两个数也符合要求；此外其它取法都不符合要求；所以符合要求的取法共有211225252525C C C C ++种.10.交叉问题集合法：某些排列组合问题几部分之间有交集，可用集合中求元素个数公式()()()()n A B n A n B n A B ⋃=+-⋂.例10.从6名运动员中选出4人参加4×100米接力赛，如果甲不跑第一棒，乙不跑第四棒，共有多少种不同的参赛方案？解析：设全集=｛6人中任取4人参赛的排列｝，A=｛甲跑第一棒的排列｝，B=｛乙跑第四棒的排列｝，根据求集合元素个数的公式得参赛方法共有：()()()()n I n A n B n A B --+⋂43326554252A A A A =--+=种.11.定位问题优先法：某个或几个元素要排在指定位置，可先排这个或几个元素；再排其它的元素。

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凤凰涅槃训练数学专题训练排列组合(一)一．选择题（共20小题）1．从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台，其中至少要有甲型与乙型电视机各1台，则不同的取法共有（）A 140种B 84种C 70种D 35种2．设数字1，2，3，4，5，6的一个排列为a1，a2，a3，a4，a5，a6，若对任意的a i（i=2，3，4，5，6）总有a k（k＜i，k=1，2，3，4，5）满足|a i﹣a k|=1，则这样的排列共有（）A 36B 32C 28D 203．各位数字之和为8的正整数（如8，17，224）按从小到大的顺序构成数列{a n}，若a n=2015，则n=（）A 56B 72C 83D 1244．某人根据自己爱好，希望从{W，X，Y，Z}中选2个不同字母，从{0，2，6，8}中选3个不同数字拟编车牌号，要求前三位是数字，后两位是字母，且数字2不能排在首位，字母Z和数字2不能相邻，那么满足要求的车牌号有（）A 198个B 180个C 216个D 234个5．将一个四棱锥的每个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两个端点异色，若只有4种颜色可供使用，则不同的染色方法总数有（）A ．48种B．72种C．96种D．108种6．现有12张不同的卡片，其中红色、黄色、绿色、蓝色卡片各3张，从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且蓝色卡片至多1张．则不同的取法的共有（）A 135B 172C 189D 2167．某人设计一项单人游戏，规则如下：先将一棋子放在如图所示正方形ABCD（边长为3个单位）的顶点A处，然后通过掷骰子来确定棋子沿正方形的边按逆时针方向行走的单位，如果掷出的点数为i （i=1，2，…6），则棋子就按逆时针方向行走i个单位，一直循环下去．则某人抛掷三次骰子后棋子恰好又回到点A处的所有不同走法共有（）A ．22种B．24种C．25种D．36种8．若集合A1，A2满足A1∪A2=A，则称（A1，A2）为集合A的一个分拆，并规定：当且仅当A1=A2时，（A1，A2）与（A2，A1）为集合A的同一种分拆，则集合A={a1，a2}的不同分拆种数是（）A ．8 B．9 C．16 D．189．2011年春节，六安一中校办室要安排从正月初一至正月初六由指定的六位领导参加的值班表．要求每一位领导值班一天，但校长甲与校长乙不能相邻且主任丙与主任丁也不能相邻，则共有多少种不同的安排方法（）A ．336 B．408 C．240 D．26410．已知集合M=N={0，1，2，3}，定义函数f：M→N，且点A（0，f（0）），B（i，f（i）），C（i+1，f（i+1）），（其中i=1，2）．若△ABC的内切圆圆心为I，且R），则满足条件的函数有（）A ．10个B．12个C．18个D．24个11．将字母a，a，b，b，c，c排成三行两列，要求每行的字母互不相同，每列的字母也互不相同，则不同的排列方法共有（）A ．12种B．18种C．24种D．36种12．若x、y∈{x|x=a0+a1•10+a2•100}，其中a i∈{1，2，3，4，5，6，7}（i=0，1，2），且x+y=636，则实数对（x，y）表示坐标平面上不同点的个数为（）A ．50个B．70个C．90个D．180个13．将数字1，2，3，4填入标号为1，2，3，4的四个方格里，每格填一个数字，则每个方格的标号与所填的数字均不相同的填法有（）A ．6种B．9种C．11种D．23种14．将1，2，3填入3×3的方格中，要求每行、每列都没有重复数字，下面是一种填法，则不同的填写方法共有（）A ．6种B．12种C．24种D．48种15．高三年级有文科、理科共9个备课组，每个备课组的人数不少于4个，现从这9个备课组中抽出l2人，每个备课组至少1人，组成“年级核心组”商议年级的有关事宣．则不同的名分配方案共有（）A ．129种B．148种C．165种D．585种16．方程ay=b2x2+c中的a，b，c∈{﹣2，0，1，2，3}，且a，b，c互不相同，在所有这些方程所表示的曲线中，不同的抛物线共有（）A ．28条B．32条C．36条D．48条17．设a n是（n≥2且n∈N）的展开式中x的一次项的系数，则的值为（）A ．18 B．17 C．﹣18 D．1918．某中学信息中心A与该校各部室、各年级B、C、D、E、F、G、H、I之间拟粒信息联网工程，经测算各段费用如图所示（单位：万元）．请据图计算，要使得中心与各部室、各年级彼此都能连通（可以直接连通或中转，从而不建部分网线就节省费用），则最少的建网费用是（）A ．10 B．13 C．14 D．1219．一个五位的自然数称为“凸”数，当且仅当它满足a＜b＜c，c＞d＞e（如12430，13531等），则在所有的五位数中“凸”数的个数是（）A ．8568 B．2142 C．2139 D．113420．从集合{1，2，3，…，10}中取出4个不同的元素，且其中一个元素的三倍等于其他三个元素之和（如1，6，7，10，就是一种取法），则这样的取法种数有（）A ．42种B．22种C．23种D．40种二．填空题21．如果一个正四位数的千位数a、百位数b、十位数c和个位数d满足关系（a﹣b）（c﹣d）＜0，则称其为“彩虹四位数”，例如2012就是一个“彩虹四位数”．那么，正四位数中“彩虹四位数”的个数为．（直接用数字作答）22．将四个相同的红球和四个相同的黑球排成一排，然后从左至右依次给它们赋以编号l，2，…，8．则红球的编号之和小于黑球编号之和的排法有种．23．形如45132这样的数叫做“五位波浪数”，即十位数字、千位数字均比它们各自相邻的数字大，则由数字0，1，2，3，4，5，6，7可构成无重复数字的“五位波浪数”的个数为．24．对于各数互不相等的整数数组（i1，i2，i3…i n）（n是不小于3的正整数），对于任意的p，q∈{1，2，3，…，n}，当p＜q时有i p＞i q，则称i p，i q是该数组的一个“逆序”，一个数组中所有“逆序”的个数称为该数组的“逆序数”，则数组（2，4，3，1）中的逆序数等于；若数组（i1，i2，i3，…，i n）中的逆序数为n，则数组（i n，i n﹣1，…，i1）中的逆序数为．25．用5种颜色将一个正五棱锥的各面涂色，五个侧面分别编有1、2、3、4、5号，而有公共边的两个面不能涂同一种颜色，则不同的涂色的方法数为．26．对一个各边不等的凸五边形的各边染色，每条边可以染红、黄、蓝三种颜色中的一种，但是不允许相邻的边有相同的颜色，则不同的染色方法共有种（用数字作答）．27．设a1，a2，…，a n是1，2，…，n 的一个排列，把排在a i的左边且比a i小的数的个数称为a i的顺序数（i=1，2，…，n）．如在排列6，4，5，3，2，1中，5的顺序数为1，3的顺序数为0．则在由1、2、3、4、5、6、7、8这八个数字构成的全排列中，同时满足8的顺序数为2，7的顺序数为3，5的顺序数为3的不同排列的种数为．（结果用数字表示）28．将一个三位数的三个数字顺序颠倒，将所得到的数与原数相加，若和中没有一个数字是偶数，则称这个数为“奇和数”．那么，所有的三位数中，奇和数有个．29．二项式（x3+）n的展开式中，只有第6项的系数最大，则该展开式中的常数项为；已知x＞0，y＞0，x+y=1，求lgx+lgy的最大值是．30．以集合U={a，b，c，d}的子集中选出4个不同的子集，需同时满足以下两个条件：（1）∅、U都要选出；（2）对选出的任意两个子集A和B，必有A⊆B或B⊆A，那么共有种不同的选法．凤凰涅槃训练数学专题训练排列组合(一)参考答案一．选择题（共20小题）1．C 2．B 3．C 4．A 5．B 6．C 7．C 8．B 9．A 10．C11．A 12．C 13．B 14．B 15．C 16．B 17．A 18．D 19．B 20．B二．填空题（共10小题）21．3645 22．31 23．721 24．425．1200 26．30 27．14428．100 29．210-2lg2 30．36凤凰涅槃训练数学专题训练排列组合(二)一．选择题1．已知S={1，2，3，…2010}，A⊆S且A中有三个元素，若A中的元素可构成等差数列，则这样的集合A共有（）A ．C20103个B．A32010个C．2A21005个D．2C21005个2．天干地支，简称“干支”，在我国古代的历法中，甲、乙、丙、丁、戊、已、庚、辛、壬、癸被称为“十天干”，子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、酉、戌、亥叫做“十二地支”．天干和地支依次按固定的顺序互相配合，两者组成了干支纪年法．2010年是庚寅年，那么上一个庚寅年是（）A ．1998年B．2000年C．1950年D．1960年3．设a1，a2，…，a n是1，2，…，n的一个排列，把排在a i的左边且比a i小的数的个数称为a i的顺序数（i=1，2，…，n）．如在排列6，4，5，3，2，1中，5的顺序数为1，3的顺序数为0．则在由1、2、3、4、5、6、7、8这八个数字构成的全排列中，同时满足8的顺序数为2，7的顺序数为3，5的顺序数为3的不同排列的种数为（）A ．48 B．96 C．144 D．1924．已知全集U，集合A、B为U的两个非空子集，若“x∈A”y与“x∈B”是一对互斥事件，则称A与B 为一组U（A，B），规定：U（A，B）≠U（B，A）．当集合U={1，2，3，4，5}时，所有的U（A，B）的组数是（）A ．70 B．30 C．180 D．1505．某电脑用户计划使用不超过500元的资金购买单价分别为60元、70元的单片软件和盒装磁盘，根据需要，软件至少买3片，磁盘至少买2盒，则不同的选购方式共有（）A ．5种B．6种C．7种D．8种二．填空题6．将1、2、3、…、9这九个数字填在如图所示的9个空格中，要求每一行从左到右依次增大，每一列从上到下依次增大，当3、4固定在图中的位置时，填写空格的办法有7．对于各数互不相等的正数数组（i1，i2，…，i n）（n是不小于2的正整数），如果在p＜q时有i p＞i q，则称i p与i q是该数组的一个“逆序”，一个数组中所有“逆序”的个数称为此数组的“逆序数”．例如，数组（2，4，3，1）中有逆序“2，1”，“4，3”，“4，1”，“3，2”，其“逆序数”等于4．若各数互不相等的正数数组（a1，a2，a3，a4，a5，a6）的“逆序数”是2，则（a6，a5，a4，a3，a2，a1）的“逆序数”是．8．定义：我们把阶乘的定义引申，定义n!!=n（n﹣2）（n﹣4）…，若n为偶数，则乘至2，反之，则乘至1，而0!!=0．我们称之为双阶乘（Double Factorial）n对夫妇任意地排成一列，则每位丈夫都排在他的妻子后面的概率是．（结果用含双阶乘的形式表示）9．对于正整数n和m（m＜n）定义n m!=（n﹣m）（n﹣2m）（n﹣3m）…（n﹣km）其中k是满足n＞km的最大整数，则=．10．原有m个同学准备展开通信活动，每人必须给另外（m﹣1）个同学写1封信，后来又有n 个同学对活动感兴趣，若已知5＞n＞1，且由于增加了n个同学而多写了74封信，则原有同学人数m=．11．已知集合A={1，2，3，4}，函数f（x）的定义域、值域都是A，且对于任意i∈A，f（i）≠i．设a1，a2，a3，a4是1，2，3，4的任意一个排列，定义数表，若两个数表的对应位置上至少有一个数不同，就说这是两张不同的数表，那么满足条件的不同的数表的张数为．12．某人有4种颜色的灯泡（每种颜色的灯泡足够多），要在如图所示的6个点A、B、C、A1、B1、C1上各装一个灯泡，要求同一条线段两端的灯泡不同色，则每种颜色的灯泡都至少用一个的安装方法共有种（用数字作答）．13．某地奥运火炬接力传递路线共分6段，传递活动分别由6名火炬手完成．如果第一棒火炬手只能从甲、乙、丙三人中产生，最后一棒火炬手只能从甲、乙两人中产生，则不同的传递方案共有种．（用数字作答）．14．如图，用6种不同的颜色给图中的4个格子涂色，每个格子涂一种颜色．要求最多使用3种颜色且相邻的两个格子颜色不同，则不同的涂色方法共有种（用数字作答）．15．从集合{P，Q，R，S}与{0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}中各任取2个元素排成一排（字母和数字均不能重复）、每排中字母Q和数字0至多只能出现一个的不同排法种数是．（用数字作答）、16．设坐标平面内有一个质点从原点出发，沿x轴跳动，每次向正方向或负方向跳1个单位，若经过5次跳动质点落在点（3，0）处（允许重复过此点），则质点不同的运动方法共有种（用数字作答）；若经过20次跳动质点落在点（16，0）处（允许重复过此点），则质点不同的运动方法共有种（用数字作答）．17．圆周上有2n个等分点（n＞1），以其中三个点为顶点的直角三角形的个数为．18．将3种作物种植在如图块试验田里，每块种植一种作物且相邻的试验田不能种植同一作物，不同的种植方法共有种．（以数字答）三．解答题19．设二项展开式C n=（+1）2n﹣1（n∈N*）的整数部分为A n，小数部分为B n．（1）计算C1B1，C2B2的值；（2）求C n B n．20.某品牌设计了编号依次为1，2，3，…，n（n≥4，且n∈N*）的n种不同款式的时装，由甲、乙两位模特分别独立地从中随机选择i，j（0≤i，j≤n，且i，j∈N）种款式用来拍摄广告．（1）若i=j=2，且甲在1到m（m为给定的正整数，且2≤m≤n﹣2）号中选择，乙在（m+1）到n号中选择．记P st（1≤s≤m，m+1≤t≤n）为款式（编号）s和t同时被选中的概率，求所有的P st的和；（2）求至少有一个款式为甲和乙共同认可的概率．21．六个面分别写上1，2，3，4，5，6的正方体叫做骰子．问（1）共有多少种不同的骰子；（2）骰子相邻两个面上数字之差的绝对值叫做这两个面之间的变差，变差的总和叫做全变差V．在所有的骰子中，求V的最大值和最小值．22．（1）已知k、n∈N*，且k≤n，求证：；（2）设数列a0，a1，a2，…满足a0≠a1，a i﹣1+a i+1=2a i（i=1，2，3，…）．证明：对任意的正整数n，是关于x的一次式．23．设数列{a n}是等比数列，，公比q是的展开式中的第二项（按x的降幂排列）．（1）求a1；（2）用n，x表示数列{a n}的通项a n和前n项和S n；（3）若，用n，x表示A n．24．已知a n=A n1+A n2+A n3+…+A n n（n∈N*），当n≥2时，求证：（1）；（2）．25．已知S n={A|A=（a1，a2，a3，…a n）}，a i={0或1}，i=1，2，••，n（n≥2），对于U，V∈S n，d（U，V）表示U和V中相对应的元素不同的个数．（Ⅰ）令U=（0，0，0，0），存在m个V∈S5，使得d（U，V）=2，写出m的值；（Ⅱ）令，U，V∈S n，求证：d（U，W）+d（V，W）≥d（U，V）；（Ⅲ）令U=（a1，a2，a3，…a n），若V∈S n，求所有d（U，V）之和．26．将1，2，3，…，n这n个数随机排成一列，得到的一列数a1，a2，…，a n称为1，2，3，…，n的一个排列；定义τ（a1，a2，…，a n）=|a1﹣a2|+|a2﹣a3|+…|a n﹣1﹣a n|为排列a1，a2，…，a n的波动强度．（Ⅰ）当n=3时，写出排列a1，a2，a3的所有可能情况及所对应的波动强度；（Ⅱ）当n=10时，求τ（a1，a2，…，a10）的最大值，并指出所对应的一个排列；（Ⅲ）当n=10时，在一个排列中交换相邻两数的位置称为一次调整，若要求每次调整时波动强度不增加，问对任意排列a1，a2，…，a10，是否一定可以经过有限次调整使其波动强度降为9；若可以，给出调整方案，若不可以，请给出反例并加以说明．27．设n是正整数，如果1，2，3，…，2n的一个排列x1，x2，x3，…，x2n满足：在{1，2，…2n﹣1}中至少有一个i使得|x i﹣x i+1|=n，则称排列x1，x2，x3，…，x2n具有性质P．（Ⅰ）当n=2时，写出4个具有性质P的排列；（Ⅱ）求n=3时不具有性质P的排列的个数；（Ⅲ）求证：对于任意n，具有性质P的排列比不具有性质P的排列多．28．设a1，a2，…，a n为1，2，…，n按任意顺序做成的一个排列，f k是集合{a i|a i＜a k，i＞k}元素的个数，而g k是集合{a i|a i＞a k，i＜k}元素的个数（k=1，2，…，n），规定f n=g1=0，例如：对于排列3，1，2，f1=2，f2=0，f3=0（I）对于排列4，2，5，1，3，求（II）对于项数为2n﹣1 的一个排列，若要求2n﹣1为该排列的中间项，试求的最大值，并写出相应得一个排列（Ⅲ）证明．29．已知f n（x）=（1+x）n，（Ⅰ）若f2011（x）=a0+a1x+…+a2011x2011，求a1+a3+…+a2009+a2011的值；（Ⅱ）若g（x）=f6（x）+2f7（x）+3f8（x），求g（x）中含x6项的系数；（Ⅲ）证明：．30．设函数（n∈N，且n＞1，x∈N）．（Ⅰ）当x=6时，求的展开式中二项式系数最大的项；（Ⅱ）对任意的实数x，证明＞f'（x）（f'（x）是f（x）的导函数）；（Ⅲ）是否存在a∈N，使得an＜k＜（a+1）n恒成立？若存在，试证明你的结论并求出a的值；若不存在，请说明理由．凤凰涅槃训练数学专题训练排列组合(二)参考答案一．选择题1．D 2．C 3．C 4．C 5．C二．填空题6．6 7．13 8．9．10．18 11．216 12．216 13．96 14．39015．5832 16．5190 17．2n（n-1）18．42凤凰涅槃训练数学专题训练排列组合(三)。

排列组合培优题

排列组合培优题
五个不同的小球放入四个不同的盒子中，每个盒子至少放一个小球，有多少种放法？
有10本不同的书，分给甲、乙、丙三人，其中一人得4本，另两人各得3本，有多少种分法？
用0, 1, 2, 3, 4这五个数字可以组成多少个无重复数字的三位数？
用1, 2, 3, 4, 5这五个数字可以组成多少个无重复数字的五位奇数？
一个班级有20名学生，要从中选出3名学生代表班级参加学校的活动。

如果每名学生被选中的机会是均等的，那么有多少种不同的选法？在一个由3个男生和4个女生组成的团队中，要选出2名男生和2名女生组成一个子团队。

有多少种不同的选法？
从1, 2, 3, ..., 9这9个数字中任取3个数字，使它们成等差数列，这样的等差数列有多少个？
有5个不同的红球和4个不同的白球，从中任取3个球，使红球不少于白球，有多少种取法？
一个密码锁有4个位置，每个位置可以放置0-9中的任意一个数字，但是相邻的两个位置上的数字不能相同。

问这个密码锁有多少种不同的密码组合在一个正方形的8个顶点中任取4个顶点，顺次连结得到一个四边形，其中是正方形的有多少个？
这些题目涵盖了排列组合的多个方面，包括基本的计数原理、分组问题、限制条件下的排列组合等。

通过解决这些问题，你可以提高你的数学思维和解题能力。

高中数学排列组合专题练习题

高中数学排列组合专题练习题一、选择题1、从 5 名男同学和 4 名女同学中选出 3 名男同学和 2 名女同学，分别担任 5 种不同的职务，不同的选法共有（）A 5400 种B 18000 种C 7200 种D 14400 种解析：第一步，从 5 名男同学中选出 3 名，有\（C_{5}＾3\）种选法；第二步，从 4 名女同学中选出 2 名，有\（C_{4}＾2\）种选法；第三步，将选出的 5 名同学进行排列，有\（A_{5}＾5\）种排法。

所以不同的选法共有\（C_{5}＾3 × C_{4}＾2 × A_{5}＾5 ＝ 10×6×120 ＝7200\）种，故选 C。

2、有 5 本不同的书，其中语文书 2 本，数学书 2 本，物理书 1 本。

若将其并排摆放在书架的同一层上，则同一科目书都不相邻的放法种数是（）A 24B 48C 72D 96解析：先排语文书有\（A_{2}＾2 ＝ 2\）种排法，再在语文书的间隔（含两端）处插数学书有\（A_{3}＾2 ＝ 6\）种插法，最后将物理书插入 4 个间隔中的一个有 4 种方法。

所以共有\（2×6×4 ＝ 48\）种排法，故选 B。

3、从 0，1，2，3，4，5 这 6 个数字中，任取两个奇数和两个偶数，组成没有重复数字的四位数的个数为（）A 300B 216C 180D 162解析：分两类情况讨论：第一类：取出的偶数含 0。

偶数 0 和另外一个偶数的取法有\（C_{2}＾1\）种，奇数的取法有\（C_{3}＾2\）种。

0 在个位时，其他三个数字全排列，有\（A_{3}＾3\）种；0 不在个位时，0 有 2 种位置，其他三个数字全排列，有\（2×A_{2}＾1×A_{2}＾2\）种。

此时共有\（C_{2}＾1×C_{3}＾2×（A_{3}＾3 ＋ 2×A_{2}＾1×A_{2}＾2) ＝ 108\）种。

排列组合培优训练

排列组合强化训练1．5人排一个5天的值日表，每天排一人值日，每人可以排多天或不排，但相邻两天不能排同一人，值日表排法的总数为( )A．120 B．324 C．720 D．12802．一次考试中，要求考生从试卷上的9个题目中选6个进行答题，要求至少包含前5个题目中的3个，则考生答题的不同选法的种数是( )A．40 B．74 C．84 D．2003．以三棱柱的六个顶点中的四个顶点为顶点的三棱锥有( )A．18个B．15个C．12个D．9个4．从一架钢琴挑出的十个音键中，分别选择3个，4个，5个，…，10个键同时按下，可发出和弦，若有一个音键不同，则发出不同的和弦，则这样的不同的和弦种数是( )A．512 B．968 C．1013 D．10245．用0，3，4，5，6排成无重复字的五位数，要求偶数字相邻，奇数字也相邻，则这样的五位数的个数是( )A．36 B．32 C．24 D．206．现有一个碱基A，2个碱基C，3个碱基G，由这6个碱基组成的不同的碱基序列有( )A．20个B．60个C．120个D．90个7．现有男女学生共8人，从男生中选2人，从女生中选1人，分别参加数理化三科竞赛，共有90种不同方案，则男、女生人数可能是( )A．2男6女B．3男5女C．5男3女D．6男2女8．已知集合A＝{1，2，3}，B＝{4，5，6}，从A到B的映射f(x)，B中有且仅有2个元素有原象，则这样的映射个数为( )A．18 B．9 C．24 D．279．有五名学生站成一排照毕业纪念照，其中甲不排在乙的左边，又不与乙相邻，而不同的站法有( )A．24种B．36种C．60种D．66种10．等腰三角形的三边均为正数，它们周长不大于10，这样不同形状的三角形的个数为( )A．8 B．9 C．10 D．1111．甲、乙、丙三同学在课余时间负责一个计算机房的周一至周六的值班工作，每天1人值班，每人值班2天，如果甲同学不值周一的班，乙同学不值周六的班，则可以排出不同的值班表有( )A．36种B．42种C．50种D．72种12.设有编号为1，2，3，4，5的五个小球和编号为1，2，3，4，5的五个盒子，现将这五个球投放到五个盒子内，要求每个盒内放1个球，并且恰好有两个球的编号与盒子编号相同，则这样的投放方法总数为( )A 60B 48C 30D 2013．一栋7层的楼房备有电梯，在一楼有甲、乙、丙三人进了电梯，则满足有且仅有一人要上7楼，且甲不在2楼下电梯的所有可能情况种数有_______.14. 将7个相同的小球任意放入四个不同的盒子中，每个盒子都不空，共有_________种不同的方法.15.现从某校5名学生中选出3分别参加高中“数学”“物理”“化学”竞赛，要求每科至少有1人参加，且每人只参加1科竞赛，则不同的参赛方案的种数是．16.从5名外语系大学生中选派4名同学参加广州亚运会翻译、交通、礼仪三项义工活动，要求翻译有2人参加，交通和礼仪各有1人参加，则不同的选派方法共有. 17.市内某公共汽车站有10个候车位（排成一排），现有4名乘客随便坐在某个座位上候车，则恰好有5个连续空座位的候车方式共有_______________种.18.将标号为1，2，…，10的10个球放入标号为1，2，…，10的10个盒子内，每个盒内放一个球，则恰好有3个球的标号与其所在盒子的标号不一致的放入方法共有种（以数字作答）19.从5门不同的文科学科和4门不同的理科学科中任选4门，组成综合高考科目组，若要求这组科目中文理科都有，则不同的选法的种数为（）A．60 B．80 C．120 D．14020.从6名短跑运动员中选4人参加4⨯100米的接力赛，如果其中甲不能跑第一棒，乙不能跑第四棒，共有________种参赛方案.21.一排有8个座位，3人去坐，要求每人左右两边都有空位的坐法有______种22. 有6个座位3人去坐，要求恰好有两个空位相连的不同坐法有种。

排列组合训练题(含答案)

概率、排列组合、二项式定理专项训练1．5名志愿者随机进入3个不同的奥运场馆参加接待工作，则每个场馆至少有一名志愿者的概率为（）A.53B.151C.85D.81502．先后抛掷两枚均匀的骰子，骰子落地后朝上的点数分别为x ，y ，则2log 1x y =的概率为（） A ．16 B ．536C ．12D ．112 3．记集合(){}22,|16A x y xy =+≤，集合()(){},|40,,B x y x y x y A =+-≤∈表示的平面区域分别为12,ΩΩ．若在区域1Ω内任取一点(),P x y ，则点P 落在区域2Ω中的概率为（） A ．24ππ- B ．324ππ+ C ．24ππ+ D ．324ππ- 4．如图，矩形长为6，宽为4，在矩形内随机地撒300颗黄豆，数得落在椭圆内的黄豆数为225颗，以此实验数据为依据可以估计出椭圆的面积约为（）． A ．16 B ．17 C ．18 D ．195.已知,m n 是某事件发生的概率取值，则关于x 的一元二次方程20x nx m -+= 有实根的概率是（）A.12B. 14C. 18D. 1166．某校高三年级举行的一次演讲比赛共有10位同学参加，其中一班有3位，二班有2位，其他班有5位，若采取抽签方式确定他们演讲顺序，则一班的3位同学恰好被排在一起（指演讲序号相连），而二班的2位同学没有被排在一起的概率为（） A ．110 B ．120 C ．140 D ．11207．有10个人身高各不相等，排成前后排，每排5人，要求从左至右身高逐渐增加，共有（）种排法。

A ．510C B ．105105A A ÷ C ．10102A ÷ D ．55105A A8.有6个人围成一圈站,不同的站法种数为( )A ．720种B ．420种C ．120种D ．60种 9．用0、1、2、3组成个位数字不是1且没有重复数字的四位数共有( )． A ．10个 B ．12个 C ．14个 D ．16个10．某校有六间不同的电脑室，每天晚上至少开放两间，欲求不同安排方案的种数，现有3位同学分别给出了下列三个结果：①26C ；②627-；③345666662C C C C+++，其中正确的结论是（）A ．①B ．①与②C ．②与③D ．①②③11．从1，3，5，7，9这5个奇数中选取3个数字，从2，4，6，8这4个偶数中选取2个数字，再将这5个数字组成没有重复数字的五位数，且奇数数字与偶数数字相间排列．这样的五位数的个数是（） A.180 B.360 C.480 D.72012．设三位数n abc =，若以a ，b ，c 为三条边的长可以构成一个等腰（含等边）三角形，则这样的三位数n 有（） A. 45个B. 81个C. 165个D. 216个13．五名男同学,三名女同学外出春游,平均分成两组,每组4人,则女同学不都在同一组的不同分法有 A ．30种 B ．65种 C ．35种 D ．70种14．如图,将一个四棱锥的每一个顶点染上一种颜色,并使同一条棱上的两端异色,如果只有5种颜色可供使用,则不同的染色方法总数为( ) A.60 B.480 C.420 D.7015．若在231(3)2nx x-的展开式中含有常数项，则正整数n 取得最小值时的常数项为（） A ．1352- B ．135- C ．1352D ．13516．7(1)x -展开式中系数最大的项为（） A.第4项 B.第5项 C.第7项 D.第8项17．若521()1x a x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中常数项为－1，则a 的值为( )A ．1B ．8C ．－1或－9D ．1或918．在154)212(+x 的展开式中，系数是有理数的项共有（） A.4项 B.5项 C.6项 D.7项19．若3162323()n n C C n N ++*=∈且2012(3)n n n x a a x a x a x -=++++ ，则012(1)nna a a a -+-+-= ( )A.256B.-256C.81D.-81 20．如果n 是正偶数，则C n 0＋C n 2＋…＋C n n -2＋C n n＝（） A. 2nB. 2n -1C. 2n -2D. (n －1)2n -121．若对任意实数x ，有3322103)2()2()2(-+-+-+=x a x a x a a x 成立，则=++321a a a （） A ．1 B ．8 C ．19 D ．27 22．若(010,)4k k k Z πθ=≤≤∈，则sin cos 1θθ+≥的概率为（）A ．15 B ．25 C ．211 D ．61123．连续抛掷一枚质地均匀的骰子，记下每次面朝上的点数，若出现三个不同的数就停止，则抛掷五次后恰好停止抛掷的不同记录结果总数是（）A ．720B ．840C ．1200D ．168024.有两个人在一座10层大楼的底层进入电梯，设他们中的每一个人自第二层开始在每一层离开是等可能的，则这两个人在不同层离开的概率为（） A.19 B. 29 C. 49 D. 8925．有5个不同的红球和2个不同的黑球排成一列，在两端都有红球的排列中，其中红球甲和黑球乙相邻的排法有（）A ．720B ．768C ．960D ．144026. 4人各写一张贺卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人写的贺卡，则四张贺卡的分配方式有（）A. 6种B. 9种C. 11种D. 23种27.从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对，其中所成的角为60°的共有（） A.24对 B.30对 C.48对 D.60对28．已知9922109)31(x a x a x a a x ++++=- ，则||||||||9210a a a a ++++ 等于（） A ．29B ．49C ．39D ．129．已知2015220150122015(2)x a a x a x a x -=+++⋅⋅⋅+,则20242014()a a a a ++⋅⋅⋅+-21352015()a a a a ++⋅⋅⋅+= （）A.12--B. 12-C. 1D.1- 30．已知()4220121x a a x a x +=++++ 7878a x a x +，则从集合,i j a M x x x R a ⎧⎫⎪⎪==∈⎨⎬⎪⎪⎩⎭（0,1,2,,8;i = 0,1,2,,8j = ）到集合{}1,0,1N =-的映射个数是（） A ．6561 B ．316 C ．2187 D ．21031．设n a （2n ≥，*n N ∈）是(3)nx -的展开式中x 的一次项系数，则23182318333a a a +++= ．32．为了庆祝六一儿童节，某食品厂制作了3种不同的精美卡片，每袋食品随机装入一张卡片，集齐3种卡片可获奖，现购买该种食品5袋，能获奖的概率为________．33．在区间[]0,1内随机的取两个数,a b ，则满足102a b ≤+≤的概率是；（用数字作答） 34．若二项式1nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式中只有第四项的系数最大，则这个展开式中任取一项为有理项的概率是____________．35.信号兵把红旗与白旗从上到下挂在旗杆上表示信号。

人教版小学数学四年级下册第四单元培优整理

人教版小学数学四年级下册第四单元培优整理第一类：排列组合类1.用0、4、8和小数点可以组成哪些不同的两位小数(每个数字都用上，且只能用一次)?请把它们都写出来。

2.用数字卡片8、7、5、0和小数点组成不同小数。

保留整数，近似数是6的小数有哪些？保留整数，近似数是1的小数有哪些？（每张卡片只能用一次）3.用3、5、6这几个数字和小数点“.”可以组成多少个不同的小数?把它们按从小到大的顺序排列起来。

(数字不能重复)4.用3、0、2、1四个数字，按要求写出下面各数。

（1）写出小于1的两位小数，并按从小到大的顺序排列。

（2）写出大于30小于100的一位小数，并按从大到小的顺序排列。

(在每一个小数中，每个数字只能用一次)5.用“0,0,6,6”和小数点“·”写出符合要求的小数。

（1）去掉一个“0”而大小不变的小数。

（2）去掉两个“0”而大小不变的小数。

（3）一个“0”也不能去掉的小数。

6.用6、6、0、0和小数点组数。

组成一个只读一个零的小数（）,组成一个读两个零的小数（）,组成一个不读出零的小数（）。

7.用2、0、3、5这几个数字和小数点“.”写出下面各数，每个数字都要用上并且只能用一次。

(1)0不读出来且小数部分是两位的小数( )。

(写3个)(2)0读出来且小数部分是两位的小数( )。

(写3个)第二类：求最值类1.□里最大能填几？4.74□≈4.74 0.78□≈0.780.9□≈1 35.1□≈35.27.06□≈7.04 2.63□≈2.6412.6□≈12.6 8.1□≈8.12.在方框里填数字，使 0. 9分别符合下列要求。

(1)要使这个数最大，这个数是( )。

(2)要使这个数最小，这个数是( )。

(3)要使这个数最接近50,这个数是( )。

(4)要使这个数最接近71,这个数是( )。

3.哪些小数的百分位“四舍”后成为9.8？哪些小数的百分位“五入”后成为9.8？4.一个小数点后有三位的小数，精确到百分位后约是2.36,这样的小数共有几个?请把它们写出来。

春季12-高二数学培优版-排列组合问题-思维方法-课后作业学生版

1、如图A 、B 、C 、D 为四个村庄,要修筑三条公路,将这四个村庄连接起来,则不同的修筑方案共有( )A. 8种B. 12种C. 16种D. 20种2、一圆周上有9个点,以这9个点为顶点作三个三角形,当这三个三角形的边互不相交时,我们把它称为一种构图．则满足这样条件的构图共有 ( )A. 3种B. 6种C. 9种D. 12种3、从1，2，3…，100这100个数中，任取两个数，使它们的乘积能被7整除，这两个数的取法（不计顺序）共有多少种？4、从10,,4,3,2,1 这10个自然数中，每次取出不同的两个，使它们乘积是6的倍数，则不同的取法有__________种。

排列组合问题-思维方法5、设4321,,,x x x x 为自然数1，2，3，4的一个全排列，且满足643214321=-+-+-+-x x x x ，则这样的排列有个.6、某年数学竞赛邀请了一位来自X 星球的选手参加填空题比赛，共10道题目，这位选手做题有一个古怪的习惯：先从最后一题（第10题）开始往前看，凡是遇到会的题目就作答，遇到不会的题目先跳过（允许跳过所有的题目），一直看到第1题：然后从第1题开始往后看，凡是遇到先前未答的题目就随便写个答案，遇到先前已答的题目则跳过（例如，他可以按照9、8、7、4、3、2、1、5、6、10的次序答题），这样所有题目均有作答，设这位选手可能的答题次序有n 种，则n 的值为（）A. 512B. 511C. 1024D. 10237、（2010理14）以集合{},,,U a b c d =的子集中选出4个不同的子集，需同时满足以下两个条件：(1),U ∅都要选出；（2）对选出的任意两个子集A 和B ，必有A B ⊆或B A ⊆，那么共有_________种不同的选法8、如图，甲从A 到B ，乙从C 到D ，两人每次都只能向上或者向右走一格. 如果两个人的线路不相交，则称这两个人的路径为一对孤立路，那么不同的孤立路一共有_____对.（用数字作答）9、将前12个正整数构成的集合{}1,2,,12M =中的元素分成1234,,,M M M M 四个三元子集，使得每个三元子集中的三个数都满足：其中一个数等于另外两数之和，试求不同的分法种数.10、四棱锥的8条棱代表8种不同的化工产品,有公共点的两条棱代表的化工产品放在同一仓库是危险的,没有公共顶点的两条棱多代表的化工产品放在同一仓库是安全的,现打算用编号为①、②、③、④的4个仓库存放这8种化工产品,那么有____种不同的安全存放的方法．10、如图，用四种不同颜色给图中的,,,,,A B C D E F 六个点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同颜色，则不同的涂色方法共有（）种 DAC BA、288种B、264种C、240种D、168种。

春季12-高二数学培优版-排列组合问题-思维方法-学生版

教师姓名学生姓名年级高二上课时间学科数学课题名称排列组合问题-思维方法排列组合问题-思维方式思维方法一、正难则反----总体淘汰策略例1、从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9这十个数字中取出三个数，使其和为不小于10的偶数,不同的取法有多少种？有些排列组合问题,正面直接考虑比较复杂,而它的反面往往比较简捷,可以先求出它的反面,再从整体中淘汰.尤其含“至多”或“至少”的排列组合问题，多使用总体淘汰法试一试、1、从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台，其中至少要甲型与乙型电视机各一台，则不同的取法共有( )种．A．140种B．80种C．70种D．35种2、.正六边形的中心和顶点共7个点，以其中3个点为顶点的三角形共有多少个.共有，其中满足“对所有”都的不同排列有．,n n (),2,n a n n *≥∈,n,,a中0k2、中日围棋擂台赛中，双方都出4名队员，按事先安排好的顺序出场，双方先由1号队员比赛，负者淘汰，直到某一方获胜为止。

问：中方获胜的所有可能出现的比赛过程有__________种。

思维方法六、条件复杂穷举策略例9、奥运火炬传递在A 、B 、C 、D 、E 五个城市之间进行，各城市之间的路线距离（单位：百公里）见下表.若以A 为起点，E 为终点，每个城市经过且只经过一次，那么火炬传递的最短路线距离是_________A. B.21 C.22 D.23试一试、将1,2,3,4,5,6,7,8,9这9个数随机分给甲、乙、丙三人，每人三个数，则每个人手中的三个数都能构成等差数列的分法为_______________树图策略例10．人相互传球,由甲开始发球,并作为第一次传球,经过4次传球后,球仍回到甲的手中,则不同的传球方式有______20.63对于条件比较复杂的排列组合问题，不易用公式进行运算，往往利用穷举法或画出树状图，表格会收到意想不到的结果一些不易理解的排列组合题如果能转化为非常熟悉的模型，如占位填空模型，排队模型，装盒模型等，可使问题直观解决,n 呢？}{}{}1212,,,,,,,,,n n n a B b b b C c c c ==，若C 中的元素满足条件：n c <，)1,2,3,,n =，则称M 为“完并集合”，对于“完并集合”1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12在所有符合条件的集合C 中，其元素乘积最小的集合是___________2、（2016文11）某食堂规定，每份午餐可以在四种水果中任选两种，则甲、乙两同学各自所选的两种水果相同的概率为_____1、5位好朋友相约乘坐迪士尼乐园的小火车，小火车的车厢共有4节，设每一位乘客进入每节车厢是等可能的，则这5位好朋友无人落单（即一节车厢内，至少有5人中的2人）的有________种情形2、从中随机选取一个数为，从中随机选取一个数为，则的选法有____种3、从六个字母A B C D E F 、、、、、中任取4个作排列，其中A 在B 前的排法共有多少种？4、一条长椅上有9个座位,3个人坐,若相邻2个人之间至少有2个空位,共有种不同的坐法.5、如下图所示，平面被分成六个区域，进行六染色，旋转后重合视为同一种，求染法总数．{}1,2,3,4,5a {}1,2,3b b a >分解与合成策略是排列组合问题的一种最基本的解题策略,把一个复杂问题分解成几个小问题逐一解决,然后依据问题分解后的结构,用分类计数原理和分步计数原理将问题合成,从而得到问题的答案 ,每个比较复杂的问题都要用到这种解题策略。

小学数学培优之排列组合

排列组合1.小明和小王从北京出发先到天津看海，然后再到上海东方明珠塔参观。

从北京到天津可以坐火车或者坐公共汽车，坐火车有4种车次，坐公共汽车有3种车次；而从天津到上海可以坐火车，公共汽车，轮船或者飞机，火车有3种，汽车有5种，轮船有4种，飞机有2种。

问小明和小王从北京到上海旅游一共有多少种走法？2.某公园有两个园门，一个东门，一个西门。

若从东门入园，有两条道路通向龙凤亭，从龙凤亭有一条道路通向园中园，从园中园又有两条道路通向西门。

另外，从东门有一条道路通向游乐场。

从游乐场有两条道路通向水上世界，另有一条道路通向园中园。

从水上世界有一条道路通向西门，另有一条道路通向小山亭，从小山亭有一条道路通向西门。

问若从东门入园，从西门出园一共有多少种不同的走法（不走重复路线）？3.由数字0、1、2、3组成三位数，问：①可组成多少个不相等的三位数？②可组成多少个没有重复数字的三位数？4.如下图，A、B、C、D、E五个区域分别用红、黄、蓝、白、黑五种颜色中的某一种染色，要使相邻的区域染不同的颜色，共有多少种不同的染色方法？5.4名同学到照相馆照相。

他们要排成一排，问：共有多少种不同的排法？6.从分别写有1、3、5、7、8五张卡片中任取两张，作成一道两个一位数的乘法题，问：①有多少个不同的乘积？②有多少个不同的乘法算式？7.如下图，问：①下左图中，共有多少条线段？②下右图中，共有多少个角？8.从5幅国画，3幅油画，2幅水彩画中选取两幅不同类型的画布置教室，问有几种选法？9.国家举行足球赛，共15个队参加。

比赛时，先分成两个组，第一组8个队，第二组7个队。

各组都进行单循环赛（即每个队要同本组的其他各队比赛一场）然后再由各组的前两名共4个队进行单循环赛，决出冠亚军。

问：①共需比赛多少场？②如果实行主客场制（即A、B两个队比赛时，既要在A队所在的城市比赛一场，也要在B队所在的城市比赛一场），共需比赛多少场？10.如下图，从甲地到乙地有4条路可走，从乙地到丙地有2条路可走，从甲地到丙地有3条路可走。

高三数学培优排列组合13

高三数学培优13排列组合1．某公司有五个不同部门，现有4名在校大学生来该公司实习，要求安排到该公司的两个部门，且每部门安排两名，则不同的安排方案种数为( ) A ．60 B ．40C ．120 D ．240 2．从中选一个数字，从中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数的个数为( ) A ． B ． C ． D ．3．3．某校某班级有42人，该班委会决定每月第一周的周一抽签决定座位，该班级座位排成6列7行，同学先在写有1、2、3、4、5、6的卡片中任取一张，确定所在列，再在写有1、2、3、4、5、6、7的卡片中任取一张确定所在行，如先后抽到卡片为2、 5，则此同学座位为第2列第5行，在一学期的5次抽签中，该班班长5次位置均不相同的概率是（）A ．5142B ．4142C ．542542PD ．442542P4．西部某县委将7位大学生志愿者（4男3女）分成两组, 分配到两所小学支教, 若要求女生不能单独成组, 且每组最多5人, 则不同的分配方案共有（）A ．36种B ．68种C ．104种D ．110种5．某班要从A,B,C,D,E 五人中选出三人担任班委中三种不同的职务，则上届任职的A,B,C 三人都不连任原职务的方法种数为（）（A ）30 （B ）32 （C ）36 （D ） 486．分配4名水暖工去3个不同的居民家里检查暖气管道，要求4名水暖工都分配出去，并每名水暖工只去一个居民家，且每个居民家都要有人去检查，那么分配的方案共有 A ．种 B ．种 C ．种 D ．种7．某校在高二年级开设选修课，选课结束后，有四名同学要求改选物理，现物理选修课开有三个班，若每个班至多可再接收2名同学，那么不同的接收方案共有( ) A．72种 B．54种 C．36种 D．18种8．学校组织同学参加社会调查，某小组共有5名男同学，4名女同学。

现从该小组中选出3位同学分别到,,A B C三地进行社会调查，若选出的同学中男女均有，则不同安排方法有（）A．70种 B．140种 C．840种 D．420种9．某班同学准备参加学校在寒假里组织的“社区服务”、“进敬老院”、“参观工厂”、“民俗调查”、“环保宣传”五个项目的社会实践活动，每天只安排一项活动，并要求在周一至周五内完成.其中“参观工厂”与“环保宣讲”两项活动必须安排在相邻两天，“民俗调查”活动不能安排在周一.则不同安排方法的种数是（）A.48B.24C.36D.6410．某班5名学生负责校内3个不同地段的卫生工作，每个地段至少有1名学生的分配方案共有（）A．60种 B．90种 C．150种 D．240种11．某班班会准备从含甲、乙的7名学生中选取4人发言，要求甲、乙两人至少有一人参加，且若甲、乙同时参加，则他们发言时顺序不能相邻，那么不同的发言顺序有（）A．600种 B．520种 C．720种 D．360种12．某老师推荐甲、乙、丙、丁、戊5名同学到美术、音乐、舞蹈、速算四个兴趣班学习，每名同学只推荐一个兴趣班，每个兴趣班至少推荐一名学生，则不推荐甲同学到美术兴趣班的推荐方案有（）A．36种 B．120种 C．144种 D．180种13．用0，1，2，3，4这五个数字组成没有重复数字的五位数中，奇数的个数是（）（A）24 （B）36 （C）48 （D）7214．甲、乙、丙、丁、戊五位妈妈相约各带一个小孩去观看花卉展，她们选择共享电动车出行，每辆电动车只能载两人，其中孩子们表示都不坐自己妈妈的车，甲的小孩一定要坐戊妈妈的车，则她们坐车不同的搭配方式有（）A．种B．种C．种D．种15．郑州绿博园花展期间，安排6位志愿者到4个展区提供服务，要求甲、乙两个展区各安排一个人，剩下两个展区各安排两个人，其中的小李和小王不在一起，不同的安排方案共有（）A．168种B．156种C．172种D．180种16．《红海行动》是一部现代海军题材影片，该片讲述了中国海军“蛟龙突击队”奉命执行撤侨任务的故事．撤侨过程中，海军舰长要求队员们依次完成六项任务，并对任务的顺序提出了如下要求：重点任务A必须排在前三位，且任务E、F必须排在一起，则这六项任务的不同安排方案共有（）A．240种B．188种C．156种D．120种17．将7个座位连成一排，安排4个人就座，恰有两个空位相邻的不同坐法有（）A．240B．480C．720D．96018．现将5张连号的电影票分给甲乙等5个人，每人一张，且甲乙分得的电影票连号，则共有不同分法的种数为( )A．12 B．24 C．48 D．6019．五个人围坐在一张圆桌旁，每个人面前放着完全相同的硬币，所有人同时翻转自己的硬币，若硬币正面朝上，则这个人站起来；若硬币正面朝下，则这个人继续坐着，那么，没有相邻的两个人站起来的概率为（）A．516B．1132C．1532D．1220．学校准备从5位报名同学中挑选3人，分别担任2011年世界大学生运动会田径、游泳和球类3个不同项目比赛的志愿者，已知其中同学甲不能担任游泳比赛的志愿者，则不同的安排方法共有( )A．24种 B．36种 C．48种 D．60种21．某种植基地将编号分别为1，2，3，4，5，6的六个不同品种的马铃薯种在如图所示的这六块实验田上进行对比试验，要求这六块实验田分别种植不同品种的马铃薯，若种植时要求编号1，3，5的三个品种的马铃薯中至少有两个相邻，且2号品种的马铃薯不能种植在A、F这两块实验田上，则不同的种植方法有 ( )A．360种B．432种C．456种D．480种22．设集合，那么集合中满足条件“”的元素个数为（）A．60B．65C．80D．81参考答案1．A【解析】由题意得，现将4名大学生平均分为两组，共有2242223C C A =种不同的分法；在将两组安排在其中的两个部门，共有25360A ⨯=种不同的安排方法，故选A .2．C【解析】第一类：从0，6中选一个数字0，则0只能排在十位，从5，7，9中选两个数字排在个位与百位，共有种；第二类：从0，6中选一个数字6，且6排在十位，从5，7，9中选两个数字排在个位与百位，共有种；第三类：从0，6中选一个数字6，且6排在百位，从5，7，9中选两个数字排在个位与十位，共有种.故共有种，选C ．点睛：求解排列、组合问题常用的解题方法：(1)元素相邻的排列问题——“捆邦法”；(2)元素相间的排列问题——“插空法”；(3)元素有顺序限制的排列问题——“除序法”；(4)带有“含”与“不含”“至多”“至少”的排列组合问题——间接法. 3．C【解析】试题分析：每次抽签共有42种不同方法，5次抽签共有542种不同方法，该班班长5次位置均不相同，即从42种中抽出5种的方法数542P ，因此所求概率为542542P ，选C.考点：排列组合【方法点睛】求解排列、组合问题常用的解题方法：（1）元素相邻的排列问题——“捆邦法”；（2）元素相间的排列问题——“插空法”；（3）元素有顺序限制的排列问题——“除序法”；（4）带有“含”与“不含”“至多”“至少”的排列组合问题——间接法. 4．C 【解析】试题分析：分组的方案有3、4和2、5两类，第一类有3272(1)68C A -⋅=种;第二类有222732()36C C A -⋅=种，所以共有N=68+36=104种不同的方案.考点：排列组合的综合应用．【解析】试题分析：共五人，从中选出三人担任职务，则C B A ,,三人至少选中一人，应分三种情况：（1）C B A ,,三人都入选，A 有两种选择，余下的B 和C 只有一种选择，共212=C 种.（2）C B A ,,三人只有二人入选，假如选中A ，B ，先安排A ，若A 安排的是B 原来的职务，则剩余两人随意安排；若A 安排的是C 原来的职务，则B 只有一种安排方法，因此共有18)1(221223=+A C C 种；（3）C B A ,,三人只有一人入选，则E D ,必选中，假如选中A ，先安排A ，有两种选择，剩下的两人E D ,随意安排，共有1222122213=A C C C 种；所以共有3212182=++种方法.故选B.考点：排列；组合. 6．D【解析】试题分析：先将4名水暖工分成三组，分法为，然后将分好的三组分配到3个不同的居民家里，故总的分配方案有种7．D 【解析】试题分析：分两种情况，（1）其中一个班接收2名，其余两个半各接收1名，共有12234236C C A = ；（2）其中一个班不接收，其余两个半各接收2名，共有123418C C A =，故么不同的接收方案共有54种考点：排列组合，技数原理 8．D 【解析】试题分析：采用反面来做，首先从9名同学中任选3名参加社会调查有3339A C ⋅种，3名同学全是男生或全是女生的有()333534A C C +种，故选出的同学中男女均有，则不同安排方法有-⋅3339A C ()420333534=+A C C 种不同选法考点：排列与组合【解析】试题分析：当星期一排星期二参观工厂和环保宣讲活动时有22A 种，星期三至星期五可以随便安排剩下的活动有33A 种，共22A 1233=A 种，当当星期一不排参观工厂或环保宣讲活动时，从社区服务或进敬老院中选一项活动来排星期一有12A 种，将参观工厂与环保宣讲两项活动捆绑在一起与剩下的2项活动排星期二至星期五共有3322A A ⋅种，共12A 243322=⋅A A 种，据分类计数原理知不同的安排方法共36种考点：排列与组合 10．C 【解析】试题分析：把5名学生分成3组，则有113，，或122，，两种分法，若为113，，时，有335360C A =种分法，若为122，，时，有122354231902C C C A =种分法，所以共有9060150+=种分法，故选C . 考点：简单排列组合问题. 11．A 【解析】试题分析：若甲、乙其中一人参加，有134254480C C A =种情况，若甲、乙两人都参加，有224254240C C A =种情况，其中甲、乙相邻的有22232523120C C A A =种情况，则不同的发言顺序有480240120600+-=种情况，故选A. 考点：排列组合. 12．D 【解析】试题分析：若美术班只有1名同学，则推荐方案有：123443144C C A =种；若美术班有2名同学，则推荐方案有：234336C A =种，故不推荐甲到美术班的方案有180种．考点：排列组合． 13．B 【解析】试题分析：第一步排个位，有2种排法；第二步排万位，有3种排法；第三步排中间3位，有3!6=种排法.所以共有23636⨯⨯=种排法. 考点：计数原理与排列. 14．B 【解析】【分析】由题意结合排列组合问题的解法整理计算即可求得最终结果. 【详解】解法一：不对号入座的递推公式为：，，，据此可得：，即五个人不对号入座的方法为种，由排列组合的对称性可知：若甲的小孩一定要坐戊妈妈的车，则坐车不同的搭配方式有种. 本题选择B 选项.解法二：设五位妈妈为，五个小孩为，对五个小孩进行排练后坐五位妈妈的车即可，由于甲的小孩一定要坐戊妈妈的车，故排列的第五个位置一定是，对其余的四个小孩进行排列：；；；.共有24中排列方法，其中满足题意的排列方法为：，，，，共有11种. 本题选择B 选项. 【点睛】(1)解排列组合问题要遵循两个原则：一是按元素(或位置)的性质进行分类；二是按事情发生的过程进行分步．具体地说，解排列组合问题常以元素(或位置)为主体，即先满足特殊元素(或位置)，再考虑其他元素(或位置)．(2)不同元素的分配问题，往往是先分组再分配．在分组时，通常有三种类型：①不均匀分组；②均匀分组；③部分均匀分组，注意各种分组类型中，不同分组方法的求法． 15．B【解析】分类：（1）小李和小王去甲、乙，共种（2）小王，小李一人去甲、乙，共种，（3）小王，小李均没有去甲、乙，共种，总共N种，选B.【点睛】利用排列组合计数时，关键是正确进行分类和分步，分类时要注意不重不漏.在本题中，小王与小李是特殊元素，甲、乙是特殊位置，用“优先法”，先根据特殊元素，再根据特殊位置的限制条件来进行分类. 16．D【解析】当E,F 排在前三位时， ()2231223N A A A ==24,当E,F 排后三位时， ()()122223322N C A A A ==72，当E,F 排3，4位时， ()112232322N C A A A ==24，N=120种，选D. 17．B【解析】12或67为空时，第三个空位有4种选择；23或34或45或56为空时，第三个空位有3种选择；因此空位共有24+43=20⨯⨯，所以不同坐法有4420480A =,选B.18．C【解析】先从四组两张连号票比如（1,2）（2,3）（3,4）（4,5）中取出一组，分给甲乙两人，共有12428C A =种，其余的三张票随意分给剩余的三人，共有336A =种方法，根据分步乘法原理可知，共有86=48⨯种，故选C. 19．B【解析】根据题意没有相邻的两个人站起来包括两种情况：5人都不站起来，或由2人中间隔一人站起来，故没有相邻的两个人站起来的概率为55525511112232C C ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，选C 点睛：本题考查了概率的简单计算能力，是一道列举法求概率的问题，属于基础题，可以直接应用求概率的公式．20．C 【解析】略21．A 【解析】由容斥原理，全排减去2站两端的，再减去，1,3，5不相邻，再加上2 站两端且1,3，5不相邻，所以N=360一类：恰两个相邻，选1,3,5中3个选两个排，再与另外4,6，排，最后插入2，不插两端，方法数()2211121122132223245223A A C C C A C C A A C ++=72，二类，三个相邻，1,3,5捆绑在一起，再与4,5排，最后插入2，不插两端，方法数331332A A C =360.【点睛】当从正面分类比较复杂时，常从反面，用容斥原理处理排列组合问题。

排列与组合最新培优练习(含解析)

排列与组合课时作业一、选择题1．将4个颜色互不相同的球全部放入编号为1和2的两个盒子里，使得放入每个盒子里的球的个数不小于该盒子的编号，则不同的放球方法有 ( )A ．10种B ．20种C ．36种D ．52种解析：由题意得，把4个颜色不相同的球分为两类：一类是：一组1个，一组3个，共有C 14C 33＝4种，按要求放置在两个盒子中，共有4种不同的放法；另一类：两组各两个小球，共有C 24C 22A 22＝3种不同的放法，按要求放置在两个盒子中，共有3×A 22＝6种，所以共有4＋6＝10种不同的放法，故选A.答案：A2．方程C x 14＝C 2x －414的解集为 ( )A ．{4}B ．{14}C ．{4，6}D ．{14，2}解析：∵C x 14＝C 2x －414，∴x ＝2x －4或x ＋2x －4＝14，∴x ＝4或x ＝6，经检验知x ＝4或x ＝6符合题意，故方程C x 14＝C 2x －414的解集为{4，6}．故选C.答案：C3．将编号为1，2，3，4的四个小球放入A ，B ，C 三个盒子中，若每个盒子至少放一个球，且1号球和2号球不能放在同一个盒子，则不同的放法种数为 ( )A ．30B ．24C ．48D ．72解析：由题意知4个小球有2个放在一个盒子里的种数是C 24，把这两个作为一个元素同另外两个元素在三个位置排列，有A 33种结果，而①②号小球放在同一个盒子里有A 33＝6种结果，所以编号为①②的小球不放到同一个盒子里的种数是C 24A 33－6＝30，故选A.答案：A4．将甲，乙等5位同学分别保送到北京大学，清华大学，浙江大学三所大学就读，则每所大学至少保送一人的不同保送的方法数为 ( )A ．150种B ．180种C ．240种D ．540种解析：先将5个人分成三组， (3，1，1)或(1，2，2)，分组方法有C 35＋C 15C 24C 22A 22＝25种，再将三组全排列有A 33＝6种，故总的方法数有25×6＝150种．5．北京某大学为第十八届四中全会招募了30名志愿者(编号分别是1，2，…，30号)，现从中任意选取6人按编号大小分成两组分配到江西厅、广电厅工作，其中三个编号较小的人在一组，三个编号较大的在另一组，那么确保6号、15号与24号同时入选并被分配到同一厅的选取种数是()A．25 B．32 C．60 D．100解析：6号、15号与24号放在一组，则其余三个编号要么都比6小，要么都比24大，比6 小时，有C35＝10种选法，都比24大时，有C36＝20种选法，合计30种选法，6号、15号与24在选厅时有两种选法，所以选取的种数共有(10＋20)×2＝60种，故正确选项为C.答案：C6．我市正在建设最具幸福感城市，原计划沿渭河修建7个河滩主题公园，为提升城市品位、升级公园功能，打算减少2个河滩主题公园，两端河滩主题公园不在调整计划之列，相邻的两个河滩主题公园不能同时被调整，则调整方案的种数为()A．12 B．8 C．6 D．4解析：从中间5个选2个共有10种方法，去掉相邻的4种方法，共有6种方法，选C.答案：C7．将除颜色外完全相同的一个白球、一个黄球、两个红球分给三个小朋友，且每个小朋友至少分得一个球的分法种数为()A．15 B．21 C．18 D．24解析：将四个小球分成(2，1，1)组，其中2个球分给一个小朋友的分法有(红红)，(红白)，(红黄)，(白黄)四种．若(红红)，(红白)，(红黄)分给其中一个小朋友，则剩下的分给其余两个小朋友，共有3×3×A22＝18种；若(黄白)分给其中的一个小朋友，则剩下的分给其余两个小朋友，只有一种分法，共有1×3＝3种．由分类计数原理可得所有分法种数为18＋3＝21，应选B.答案：B8．旅游体验师小李受某旅游网站的邀约，决定对甲、乙、丙、丁这四个景区进行体验式旅游，若甲景区不能最先旅游，乙景区和丁景区不能最后旅游，则小李旅游的方法数为() A．24 B．18 C．16 D．10解析：第一类，甲在最后一个体验，则有A33种方法；第二类，甲不在最后一个体验，则有A12A22种方法，所以小李旅游的方法共有A33＋A12A22＝10种．故选D.9．把7个字符a，a，a，b，b，α，β排成一排，要求三个“a”两两不相邻，且两个“b”也不相邻，则这样的排法共有()A．144种B．96种C．30种D．12种解析：现排列b，b，α，β，若α，β不相邻，有C23A22＝6种，若α，β相邻，有C13A22＝6种，共有6＋6＝12种，从所形成的5个空位中选3个插入a，a，a，共有12×C35＝120种，若b，b相邻时，从所形成的4个空中选3个插入a，a，a，共有A33C34＝24种，所以三个“a”两两不相邻，且两个“b”也不相邻，这样的排法共有120－24＝96种，故选B.答案：B10．将3名教师和3名学生共6人平均分成3个小组，分别安排到三个社区参加社会实践活动，则每个小组恰好有1名教师和1名学生的概率为()A.13 B.25 C.12 D.35解析：由题意得将3名教师和3名学生共6人平均分成3组，安排到三个社区参加社会实践活动的方法共有C26C24＝90种，其中每个小组恰好有1名教师和1名学生的安排方法有(C13C12)(C13C12)＝36种，故所求的概率为P＝3690＝25.选B.答案：B11．一生产过程有4道工序，每道工序需要安排一人照看．现从甲、乙、丙等6名工人中安排4人分别照看一道工序，第一道工序只能从甲、乙两工人中安排1人，第四道工序只能从甲、丙两工人中安排1人，则不同的安排方案共有()A．24种B．36种C．48种D．72种解析：此题的难度主要是来自分类，按“问题元素”优先的原则，对甲进行分类：甲照看第一道工序(甲1丙4)、甲照看第四道工序(甲4乙1)、甲“休息”(乙1丙4)三种．C11C11A24＋C11C11A24＋C11C11A24＝36.答案：B12．几只猴子在一棵枯树上玩耍，它们均不慎失足下落．已知(1)甲在下落的过程中依次撞击到树枝A，B，C；(2)乙在下落的过程中依次撞击到树枝D，E，F；(3)丙在下落的过程中依次撞击到树枝G，A，C；(4)丁在下落的过程中依次撞击到树枝B，D，H；(5)戊在下落的过程中依次撞击到树枝I，C，E.则这9根树枝从高到低不同的次序有()A．23种B．24种C．32种D．33种解析：不妨设A，B，C，D，E，F，G，H，I代表树枝的高度，五根树枝从上至下共九个位置，根据甲依次撞击到树枝A，B，C；乙依次撞击到树枝D，E，F；丙依次撞击到树枝G，A，C；丁依次撞击到树枝B，D，H；戊依次撞击到树枝I，C，E.可得G>A＞B，且在前四个位置，C>E>F，D>E>F，且E，F一定排在后四个位置，(1)若I排在前四个位置中的一个位置，前四个位置有4种排法，若第五个位置排C，则第六个位置一定排D，后三个位置共有3种排法，若第五个位置排D，则后四个位置共有4种排法，所以I排在前四个位置中的一个位置时，共有4×(3＋4)＝28种排法；(2)若I不排在前四个位置中的一个位置，则G，A，B，D按顺序排在前四个位置，由于I>C>E＞F，所以后五个位置的排法就是H的不同排法，共5种排法，即若不排在前四个位置中的一个位置共有5种排法，由分类计数原理可得，这9根树枝从高到低不同的次序有28＋5＝33种，故选D.答案：D二、填空题13．《中国诗词大会》亮点颇多，十场比赛每场都有一首特别设计的开场诗词，在声光舞美的配合下，百人团齐声朗诵，别有韵味．若《将进酒》《山居秋暝》《望岳》《送杜少府之任蜀州》和另确定的两首诗词排在后六场，且《将进酒》排在《望岳》的前面(可以不相邻)，《山居秋暝》与《送杜少府之任蜀州》不相邻且均不排在最后，则后六场的排法有________．解析：根据题意，分2步进行分析：将《将进酒》《望岳》和另两首诗词的四首诗词全排列，共有A44＝24种顺序，由于《将进酒》排在《望岳》前面，则这四首诗词的排法有242＝12种，这四首诗词排好后，不含最后有四个空位，在四个空位中任选两个，安排《山居秋暝》与《送杜少府之任蜀州》，有A24＝12种安排方法，则后六场的排法有12×12＝144种．答案：14414．现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加厦门市华侨博物院志愿者服务活动，每人从事礼仪、导游、翻译、讲解四项工作之一，每项工作至少有一人参加. 甲、乙不会导游但能从事其他三项工作，丙、丁、戊都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是________(用数字作答)．解析：根据题意，分情况讨论：①甲乙一起参加除了导游的三项工作之一，有C13×A33＝18种；②甲乙不同时参加一项工作，进而又分为2种小情况：a ．丙、丁、戌三人中有两人承担同一份工作，有A 23×C 23×A 22＝3×2×3×2＝36种；b ．甲或乙与丙、丁、戌三人中的一人承担同一份工作，有A 23×C 13×C 12×A 22＝72种．由分类计数原理，可得共有18＋36＋72＝126种．答案：12615．将5名报名参加运动会的同学分别安排到跳绳、接力，投篮三项比赛中(假设这些比赛都不设人数上限)，每人只参加一项，则共有x 种不同的方案；若每项比赛至少要安排一人时，则共有y 种不同的方案，其中x ＋y 的值为________．解析：5名同学报名参加跳绳、接力，投篮三项比赛，每人限报一项，每人有3种报名方法，根据分步计数原理，x ＝35＝243种，当每项比赛至少要安排一人时，先分组有C 15·C 14·C 33A 22＋C 25·C 23·C 11A 22＝25种，再排列有A 33＝6种，所以y ＝25×6＝150种，所以x ＋y ＝ 393.答案：39316．学校安排6名同学参加两项不同的志愿活动，每位同学必须参加一项活动且不能同时参加两项，每项活动最多安排4人，则不同的安排方法有________种．(用数字作答)解析：由题意知本题是一个分类计数问题，∵每项活动最多安排4人，∴可以有三种安排方法，即(4，2)，(3，3)，(2，4)，当安排(4，2)时，共有C 46＝15种结果，当安排(3，3)时，共有C 36＝20种结果，当安排(2，4)时，共有C 26＝15种结果，∴根据分类计数原理知共有15＋20＋15＝50种结果，故答案为50.答案：50三、解答题17．求满足下列条件的方法种数：(1)将4个不同的小球，放进4个不同的盒子，且没有空盒子，共有多少种放法？(2)将4个不同的小球，放进3个不同的盒子，且没有空盒子，共有多少种放法？(最后结果用数字作答)解：(1)没有空盒子的放法有：A 44＝24种．(2)放进3个盒子的放法有：C 24·A 33＝36种．18．在班级活动中，4名男生和3名女生站成一排表演节目．(写出必要的数学式，结果用数字作答)(1)三名女生不能相邻，有多少种不同的站法？(2)四名男生相邻有多少种不同的排法？(3)女生甲不能站在左端，女生乙不能站在右端，有多少种不同的排法？(4)甲乙丙三人按高低从左到右有多少种不同的排法？(甲乙丙三位同学身高互不相等)解：(1)A44A35＝1 440；(2)A44A44＝576；(3)A66＋A15A15A55＝3 720；(4)A77÷A33＝840.19．(1)由数字1、2、3、4、5、6、7组成无重复数字的七位数，求三个偶数必相邻的七位数的个数及三个偶数互不相邻的七位数的个数．(2)六本不同的书，分为三组，求在下列条件下各有多少种不同的分配方法？①每组2本；②一组1本，一组2本，一组3本．解：(1)将三个偶数捆绑和4个奇数排列有A55种；再将有三个偶数松绑有A33种，所以共有A55·A33＝720个；4个奇数全排列有A44种，在5个空中插入3个偶数，每空插入一个有A35种，所以共有A44·A35＝1 440个．(2)①分组与顺序无关，是组合问题．分组数是C26C24C22＝90(种)，这90种分组实际上重复了6次．我们不妨把六本不同的书写上1、2、3、4、5、6六个号码，考察以下两种分法：(1，2)，(3，4)，(5，6)与(3，4)，(1，2)，(5，6)，由于书是均匀分组的，三组的本数一样，又与顺序无关，所以这两种分法是同一种分法．以上的分组方法实际上加入了组的顺序，因此还应取消分组的顺序，即除以组数的全排列数A33，所以分法是C26C24C22A33＝15(种)．②先分组，方法是C16C25C33，那么还要不要除以A33？我们发现，由于每组的书的本数是不一样的，因此不会出现相同的分法，即共有C16C25C33＝60(种)分法．。

春季13-高二数学培优版-排列组合问题-易错分析-课后作业教师版

高中数学冲刺培优
1
1、有6个不同的小球,装入4个不同的盒内,每盒至少装一个球,共有多少不同的装法. 答案：3422464644
115602C P C C P += 2、有两排座位，前排11个座位，后排12个座位，现安排2人就座，并且这2人不相邻，那么不同排法的种数是__________
答案：222
2464P += 题型：多排问题：不相邻问题：
3、9人参加会议，每一个人和其他两人握手，求共有_________种可能发生的握手方式.
答案：1298843
P C = 解析：第一步，从9个人中选出1个人，第二步，从剩余8个人中选出两个人，最后将
含有的序去掉，共有12983
P C 种 4、现安排7名同学去参加5个运动项目，要求甲、乙两同学不能参加同一个项目，每个项目都有人参加，每人只参加一个项目，则满足上述要求的不同安排方案数为_______
答案：15000
解析：满足条件的方案有两种情形：
①有一个项目有3人参加，共有35157
5553600C P C P -=， ②有两个项目各有2人参加，共有()
11400215525552527=⋅-⋅P C P C C ，所以满足条件的方案数为：3600+11400=15000；
排列组合-易错分析。

五年级下册数学试题- 培优练习：排列组合(无答案)全国通用

第9讲排列组合(2)
1.从分别写有1, 3, 5, 7, 9 的五张卡片中任取两张, 做成一道两个一位数的乘法题.问：
(1) 有多少个不同的乘积？
(2) 有多少个不同的乘法算式？
2.用数字0, 1, 2, 3, 4 各一次, 可以分别组成多少个符合以下条件的自然数.
(1) 可以组成多少个尤重复数字的五位数？
(2) 可以组成多少个尤重复数字的五位奇数？
(3) 可以组成多少个四位数, 满足个位数字比千位数字大, 千位数字比百位数字大, 百位数字比十位数
字大？
3.4 男2 女6 个人站成一排合影留念要求2 个女的紧挨着有多少种不同的排法？
4.4 名男生 5 名女生全体排成一行问下列情形各有多少种不同的排法：
(1) 甲不在中间也不在两端；
(2) 甲、乙两人必须排在两端；
(3) 男、女生分别排在一起；
(4)男女相间.
5.书架上有3 本故事书 2 本作文选和1 本漫画书全部竖起来排成一排.
(1)如果同类的书不分开一共有多少种排法？
(2)如果同类的书可以分开一共有多种排法？
6.有12 块糖小光要6 天吃完每天至少要吃一块问共有种吃法.
7.把7 支完全相同的铅笔分给甲、乙、丙3 个人每人至少1 支问有多少种方法？
8.10 只尤差别的橘子放到3 个不同的盘子里允许有的盘子空着.请问一共有多少种不同的放法？
9.将13 个相同的苹果放到3 个不同的盘子里允许有盘子空着.一共有种不同的放法.
10.将三盆同样的红花和四盆同样的黄花摆放成一排要求三盆红花互不相邻共有种不同的
放法.。

四年级下册数学试题-培优专题训练：02排列组合(4年级培优)教师版

所谓排列，就是指从给定个数的元素中取出指定个数的元素进行排序。

组合则是指从给定个数的元素中仅仅取出指定个数的元素，不考虑排序。

排列组合的中心问题是研究给定要求的排列和组合可能出现的情况总数。

排列组合的基本计数原理：加法原理和乘法原理乘法原理：做一件事，完成它需要分成n个步骤，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，...，做第n步有m n种不同的方法，那么完成这件事有：N=m1×m2×m3×…×m n种不同的方法，这就是乘法原理。

加法原理：做一件事，完成它可以有n类方法，在第一类方法中有m1种不同的方法，在第二类方法中有m2种不同的方法，…，在第n类方法中有m n种不同的方法，那么完成这件事共有：N=m1+m2+…+m n种不同的方法，这就是加法原理。

八字要诀：“加法分类，类类独立”“乘法分步，步步相关”商店里有2种巧克力糖：牛奶味、榛仁味；有3种水果糖：苹果味、梨味、橙味。

小明想买一些糖送给他的小朋友。

（1）如果小明只买一种糖，他有几种选法？（2）如果小明想买水果糖、巧克力糖各1种，他有几种选法？（华罗庚金杯P238）解析：（1）小明只买一种糖，完成这件事一步即可完成，有两类方法：第一类是从2种巧克力糖中选一种，有2种方法；第二类是从3种水果糖中选一种，有3种方法。

因此，小明有2+3=5（种）选糖的方法。

步骤：2+3=5（种）（2）小明完成这件事要分两步，每步分别有2种、3种方法，因此有3×2=6（种）方法步骤：2×3=6（种）难度系数：A小军有3本不同的漫画书，4本不同的童话书，他想从这些书中选出一本漫画书、一本童话书送给他的朋友刚刚，他有多少种送法？（华罗庚金杯P242）解析：小军完成这件事要分两步，每步分别有3种、4种方法，因此有3×4=12（种）步骤：3×4=12（种）难度系数：A由数字0,1,3,9可以组成多少个四位数？（华罗庚金杯P239）解析：组成四位数：有3×4×4×4=192个难度系数：A由数字0,1,3,9可以组成多少个没有重复数字的数？（华罗庚金杯P243）解析：满足条件的数可以分成4类：一位、二位、三位、四位数。

六年级下册小升初数学高频考点专项培优卷专题73：排列组合(提高卷)(附参考答案)

（小升初思维拓展）专题73：排列组合（提高卷）六年级下册小升初数学高频考点专项培优卷一．选择题（共20小题）1．用黄桃、火龙果和哈密瓜三种水果做拼盘，至少用1种，最多用3种。

一共有（）种不同的搭配方法。

A．3B．4C．72．小明有3顶帽子、2条围巾，可以有（）不同的搭配方法。

A．4B．5C．63．有3种甜点和两种热饮，一种甜点搭配一种热饮，最多有（）种不同的搭配方法。

A．无法确定B．5C．64．每两个人握1次手，3人一共握（）次手。

A．3B．6C．95．有4张扑克牌，分别是大王，梅花5，红桃7和黑桃2，从中任意摸出2张牌，有（）种情况。

A．3B．4C．5D．66．文具店有3款不同的钢笔，4款不同的尺子。

淘气要买1支钢笔和1把尺子，他一共有（）种不同的选择。

A．4B．7C．6D．127．一列火车，单向从上海发往长沙，中途要经过4个站，这列火车要准备（）种不同的车票。

A．30B．15C．18D．208．如图的午餐一共有（）种不同的搭配。

A．5B．6C．29．学校中午配餐提供2种主食，3种菜，如果只选择一种主食和一种菜搭配，有（）种不同的搭配方法。

A．10B．6C．510．用1、2、0能摆成（）个不同的两位数。

A．2B．4C．611．3只小动物排队照相，一共有（）种排队方法。

A．6B．3C．512．实验小学五年级美术社团开展了国画、剪纸、陶艺三种活动，每人可以选报一种，也可以选报两种，小东一共有（）种不同的选法。

A．4B．5C．6D．713．用2、0、5这三个数能组成（）个不同的三位数。

A．2B．4C．614．从4名男生和2名女生中选出一男一女来搭配表演，共有（）种搭配方法。

A．8B．7C．6D．无法确定15．学校五年级5个班进行拔河比赛，如果每两个班拔一次河，一共要拔（）次。

A．6B．8C．10D．1516．在学校最近进行的乒乓球比赛中，每两个同学都要进行一场比赛，共进行了66场比赛，这次比赛一共有（）个同学参加。

排列组合训练题

排列组合训练题排列组合是数学中重要的概念，广泛应用于各个领域，包括概率统计、密码学、组合优化等。

在这篇文章中，我们将通过一些训练题来加深对排列组合的理解和应用。

一、排列问题排列是指从一组元素中选取若干个元素按照一定顺序排列成一列的方式。

在考虑排列问题时，需要注意元素是否允许重复取值和是否考虑顺序。

1. 问：一家餐厅提供了10道不同的主菜和8种不同的甜点供客人选择。

若客人要点一道主菜和一份甜点，请问共有多少种不同的搭配方式？解：由于主菜和甜点是分别选择的，因此可以使用乘法原理求解。

主菜的选择有10种，甜点的选择有8种，所以共有10x8=80种不同的搭配方式。

2. 问：有6个不同的人站成一排，请问共有多少种不同的站法？解：由于考虑了顺序，所以需要使用排列的概念来求解。

第一个位置有6种选择，第二个位置有5种选择，以此类推，直到最后一个位置剩下1种选择。

因此共有6x5x4x3x2x1=720种不同的站法。

二、组合问题组合是指从一组元素中选择若干个元素，不考虑顺序的方式。

在考虑组合问题时，需要注意元素是否允许重复选取。

1. 问：从字母A、B、C、D、E中选取3个字母，不考虑顺序，请问共有多少种不同的选取方式？解：这是一个组合问题，可以使用组合公式进行计算。

根据组合公式，我们可以得到答案为C(5, 3) = 5! / (3! * (5-3)!) = 10种不同的选取方式。

2. 问：一张彩票上有10个号码，中奖号码为其中的5个号码，不考虑顺序。

若购买一张彩票，请问中奖的概率是多少？解：中奖的情况可以看作从10个号码中选取5个号码，因此是一个组合问题。

根据组合公式，中奖的概率为C(10, 5) = 10! / (5! * (10-5)!) = 252。

三、应用问题排列组合不仅仅是一种数学概念，还可以应用于实际问题的求解中。

让我们看几个实际问题的例子。

1. 问：某家商店有4个促销礼品，但每名顾客只能选择其中2个，请问有多少种不同的赠礼方式？解：由于每名顾客只能选择2个礼品，而不同顾客之间的选择是独立的，因此可以使用排列的概念来求解。

排列组合竞赛训练题(含答案)

排列组合一、选择题1、公共汽车上有4位乘客，其中任何两人都不在同一车站下车，汽车沿途停靠6个站，那么这4位乘客不同的下车方式共有A、15种B、24种C、360种D、480种2、把10个相同的球放入三个不同的盒子中，使得每个盒子中的球数不少于2，则不同的放法有A、81种B、15种C、10种D、4种3、12辆警卫车护送三位高级领导人，这三位领导人分别坐在其中的三辆车中，要求在开行后12辆车一字排开，车距相同，车的颜色相同，每辆车内的警卫的工作能力是一样的，三位领导人所坐的车不能相邻，且不能在首尾位置。

则共（）种安排出行的办法A、A99×A310B、A99×A38C、A38D、C384、在正方体的8个顶点、12条棱的中点、6个面的中心及正方体的中心共27个点中，不共线的三点组的个数是A、2898B、2877C、2876D、28725、有两个同心圆，在外圆上有相异的6个点，内圆上有相异的3个点，由这9个点所确定的直线最少可有A、15条B、21条C、36条D、3条6、已知两个实数集A={a1，a2，…，a60}与B={b1，b2，…b25}，若从A到B的映射f使得B中每个元素都有原象，且f（a1）≥f（a2）≥…≥f（a60），则这样的映射共有A、C60B、C2459C、C2560D、C2559二、填空题7、4410共有个不同的正约数。

8、有7个人站成一排，其中A、B不能相邻，C、D必须挨在一起，且C要求在A的右侧，则共有站队方法数是。

9、如图，两圆相交于A、B两点，在两圆周上另有六点C、D、E、F、G、H，其中仅E、B、G共线，共他无三点共线，这八点紧多可以确不同圆的个数是。

10、一个圆周上有5个红点，7个白点，要求任两个红点不得相邻，那么共有种排列方法。

11、平面上给定5点，这些点两两间的连线互不平行，又不垂直，也不重合，现从任一点向其余四点两两之间的连线作垂线，则所有这些垂线间的交点数最多是。

高考理科数学考前培优练习排列、组合、二项式定理

1.8 排列、组合、二项式定理命题角度1计数原理、排列与组合问题高考真题体验·对方向1.(2017全国Ⅱ·6)安排3名志愿者完成4项工作,每人至少完成1项,每项工作由1人完成,则不同的安排方式共有( ) A .12种 B .18种 C .24种 D .36种4项工作分成3份有C 42C 21C 11A 22种情况,再把3名志愿者排列有A 33种情况,故不同的安排方式共有C 42C 21C 11A 22·A 33=36种,故选D .2.(2016全国Ⅱ·5)如图,小明从街道的E 处出发,先到F 处与小红会合,再一起到位于G 处的老年公寓参加志愿者活动,则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为( )A.24B.18C.12D.9,小明从街道的E 处出发到F 处的最短路径有6条,再从F 处到G 处的最短路径有3条,则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为6×3=18,故选B .3.(2016全国Ⅲ·12)定义“规范01数列”{a n }如下:{a n }共有2m 项,其中m 项为0,m 项为1,且对任意k ≤2m ,a 1,a 2,…,a k 中0的个数不少于1的个数.若m=4,则不同的“规范01数列”共有( )A.18个B.16个C.14个D.12个a1=0,a8=1,则满足题意的a1,a2,…,a8的可能取值如下:综上可知,不同的“规范01数列”共有14个.4.(2017浙江·16)从6男2女共8名学生中选出队长1人,副队长1人,普通队员2人组成4人服务队,要求服务队中至少有1名女生,共有种不同的选法.(用数字作答),总的选择方法为C84C41C31种方法,其中不满足题意的选法有C64C41C31种方法,则满足题意的选法有:C84C41C31−C64C41C31=660种.5.(2018全国Ⅰ·15)从2位女生,4位男生中选3人参加科技比赛,且至少有1位女生入选,则不同的选法共有种.(用数字填写答案):①当3人中恰有1位女生时,有C21C42=12种选法.②当3人中有2位女生时,有C22C41=4种选法.故不同的选法共有12+4=16种.方法二:6人中选3人共有C63种选法,当3人全是男生时有C43种选法,所以至少有1位女生入选时有C63−C43=16种选法.6.(2017天津·14)用数字1,2,3,4,5,6,7,8,9组成没有重复数字,且至多有一个数字是偶数的四位数,这样的四位数一共有个.(用数字作答)没有一个数字是偶数的四位数有A54=120个;②有且只有一个数字是偶数的四位数有C41C53A44=960个.所以至多有一个数字是偶数的四位数有120+960=1 080个.典题演练提能·刷高分1.有5名同学站成一排照毕业纪念照,其中甲必须站在正中间,并且乙、丙两位同学不能相邻,则不同的站法有()A.8种B.16种C.32种D.48种,乙、丙两位同学不能相邻,则两人必须站在甲的两侧,选出一人排在左侧,有C21A21种方法,另外一人排在右侧,有A21种方法,余下两人排在余下的两个空,有A22种方法,综上可得,不同的站法有C21A21A21A22=16种.2.上海某小学组织6个年级的学生外出参观包括甲博物馆在内的6个博物馆,每个年级任选一个博物馆参观,则有且只有两个年级选择甲博物馆的方案有()A.A62×A54种B.A62×54种C.C62×A54种D.C62×54种,所以参观甲博物馆的年级有C62种情况,其余年级均有5种选择,所以共有54种情况,根据乘法原理可得C62×54种情况,故选D.3.将5个不同的球放入4个不同的盒子中,每个盒子至少放一个球,则不同放法共有()A.480种B.360种C.240种D.120种:先从4个盒子中选一个盒子准备装两个球,有4种选法;第二步:从5个球里选出两个球放在刚才的盒子里,有C52种选法;第三步:把剩下的3个球全排列,有A33种排法,由乘法分步原理得不同方法共有4C52A33=240种,故选C.4.福州西湖公园花展期间,安排6位志愿者到4个展区提供服务,要求甲、乙两个展区各安排一个人,剩下两个展区各安排两个人,不同的安排方案共有()A.90种B.180种C.270种D.360种,为甲地选一名志愿者,有C61=6种选法;第二步,为乙地选一名志愿者,有C51=5种选法;第三步,为剩下两个展区各安排两个人,有C42C22=6种选法.故不同的安排方案共有6×5×6=180种.故选B.5.用6种不同的颜色对正四棱锥的8条棱染色,每个顶点出发的棱的颜色各不相同,不同的染色方案共有()A.14 400种B.28 800种C.38 880种D.43 200种P点出发的4条侧棱一定要用4种不同的颜色,有A64=360种不同的方案,接下来底面的染色根据是否使用剩下的2种颜色分类计数:(1)不使用新的颜色,有2种颜色分类方案;(2)使用1种新的颜色,分为2类:第一类,染一条边,有2×4×4=32种方案;第二类,染两条对边,有2×2×4=16种方案.(3)使用2种新的颜色,分为4类:第一类,染两条邻边,有4×2×3=24种方案;第二类,染两条对边,有2×2×4=16种方案;第三类,染三条边,有4×2×2=16种方案;第四类,染四条边,有2种方案.因此不同的染色方案总数为360×[2+(32+16)+(24+16+16+2)]=38 880,故选C.6.根据党中央关于“精准”脱贫的要求,我市某农业经济部门决定派出五位相关专家对三个贫困地区进行调研,每个地区至少派遣一位专家,其中甲、乙两位专家需要派遣至同一地区,则不同的派遣方案种数为(用数字作答).,可分为两类:第一类:甲乙在一个地区时,剩余的三类分为两组,再三组派遣到三个地区,共有C 32A 33=18种不同的派遣方式;第二类:甲乙和剩余的三人中的一个人同在一个地区,另外两人分别在两个地区,共有C 31A 33=18种不同的派遣方式;由分类计数原理可得,不同的派遣方式共有18+18=36种.命题角度2求展开式中的指定项或其系数高考真题体验·对方向1.(2018全国Ⅲ·5)(x 2+2x)5的展开式中x 4的系数为( )A .10B .20C .40D .80T r+1=C 5r (x 2)5-r (2x -1)r =C 5r 2r x 10-3r .当r=2时,x 4的系数为C 5222=40.2.(2019全国Ⅲ·4)(1+2x 2)(1+x )4的展开式中x 3的系数为( ) A.12 B.16 C.20 D.24+2x 2)(1+x )4的展开式中x 3的系数为C 43+2C 41=4+8=12.故选A .3.(2017全国Ⅲ·4)(x+y )(2x-y )5的展开式中x 3y 3的系数为( ) A.-80 B.-40 C.40 D.80x-y )5的展开式的通项公式T r+1=C 5r (2x )5-r (-y )r .当r=3时,x (2x-y )5的展开式中x 3y 3的系数为C 53×22×(-1)3=-40;当r=2时,y(2x-y)5的展开式中x3y3的系数为C52×23×(-1)2=80.故展开式中x3y3的系数为80-40=40.4.(2015全国Ⅰ·10)(x2+x+y)5的展开式中,x5y2的系数为()A.10B.20C.30D.60(x2+x+y)5=[(x2+x)+y]5,其展开式的通项为T r+1=C5r(x2+x)5-r y r(r=0,1,2,…,5),因此只有当r=2,即T3=C52(x2+x)3y2中才能含有x5y2项.设(x2+x)3的展开式的通项为S i+1=C3i(x2)3-i·x i=C3i x6-i(i=0,1,2,3),令6-i=5,得i=1,则(x2+x)3的展开式中x5项的系数是C31=3,故(x2+x+y)5的展开式中,x5y2的系数是C52·3=10×3=30.5.(2019浙江·13)在二项式(√2+x)9的展开式中,常数项是,系数为有理数的项的个数是.√2 5√2+x)9的通项为T r+1=C9r(√2)9-r x r(r=0,1,2,…,9),可得常数项为T1=C90(√2)9=16√2.因为系数为有理数,所以r=1,3,5,7,9,即T2,T4,T6,T8,T10的系数为有理数,共5个.6.(2019天津·10)2x-18x38的展开式中的常数项为.解析T r+1=C8r(2x)8-r1-8x3r=C8r·28-r·-18r·x8-4r.需8-4r=0,r=2.常数项为C8226-182=C8226126=C82=28.典题演练提能·刷高分1.(x2+2)1x-15展开式中的常数项是()A.12B.-12C.8D.-8解析由1x-15展开式的第r+1项T r+1=C 5r 1x5-r(-1)r =(-1)r C 5rx r-5,得(x 2+2)1x-15展开式的通项为x 2·(-1)r C 5r x r-5=(-1)r C 5r x r-3或2(-1)r C 5rx r-5,则当r-3=0或r-5=0,即r=3或r=5时,为展开式的常数项,即(-1)3C 53+2(-1)5C 55=-12.故选B . 2.x 2+1x6展开式的常数项为 .(用数字作答)解析由题得x 2+1x 6展开式的通项为T r+1=C 6r (x 2)6-r 1xr =C 6r x 12-3r (r=0,1,2,3,4,5,6),令12-3r=0,得r=4.所以x 2+1x6展开式的常数项为C 64=15. 3.在2x+1x26的展开式中x -3的系数为 .T r+1=C 6r (2x )6-r ·1x2r =C 6r ·26-r ·x 6-3r,令6-3r=-3⇒r=3,所以系数为C 63·23=160. 4.(x+y )(x-y )8的展开式中x 2y 7的系数为 (用数字作答).x-y )8展开式的通项公式为T r+1=C 8r x 8-r (-y )r =(-1)r C 8r x 8-r y r ,令r=7,则展开项为(-1)7C 87x 8-7y 7=-8xy 7,令r=6,则展开项为(-1)6C 86x 8-6y 6=28x 2y 6,据此可得展开式中x 2y 7的系数为-8+28=20.5.(1+ax )(1+x )5的展开式中x 2的系数是5,则a= .1+ax )(1+x )5的展开式中x 2的系数是1×C 52+a×C 51=10+5a ,所以10+5a=5,故a=-1.命题角度3二项式系数与项的系数问题高考真题体验·对方向1.(2015湖北·3)已知(1+x)n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等,则奇数项的二项式系数和为()A.212B.211C.210D.29C n3=C n7,∴n=10.∴(1+x)10中二项式系数和为210,其中奇数项的二项式系数和为210-1=29.2.(2015全国Ⅱ·15)(a+x)(1+x)4的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32,则a=.(1+x)4=x4+C43x3+C42x2+C41x+C40x0=x4+4x3+6x2+4x+1,∴(a+x)(1+x)4的奇数次幂项的系数为4a+4a+1+6+1=32,∴a=3.(a+x)(1+x)4=b0+b1x+b2x2+b3x3+b4x4+b5x5.令x=1,得16(a+1)=b0+b1+b2+b3+b4+b5,①令x=-1,得0=b0-b1+b2-b3+b4-b5,②由①-②,得16(a+1)=2(b1+b3+b5).即8(a+1)=32,解得a=3.典题演练提能·刷高分n的展开式的各项系数和为243,则展开式中x7的系数为()1.已知x3+2xA.5B.40C.20D.10解析由题意,二项式x3+2xn的展开式中各项的系数和为243,令x=1,则3n=243,解得n=5,所以二项式x3+2x 5的展开式为T r+1=C5r(x3)5-r2xr=2r C5r x15-4r,令r=2,则T3=22C52x15-4×2=40x7,即x7的系数为40,故选B.2.若多项式(2x+3y)n展开式仅在第5项的二项式系数最大,则多项式x2+1x2-4n-4展开式中x2的系数为() A.-304 B.304 C.-208 D.208解析多项式(2x+3y)n展开式仅在第5项的二项式系数最大,故n=8,多项式x2+1x2-44展开式中x2的系数为C41·(-4)3+C42·C21·(-4)=-256-48=-304.选A.3.记(2-x)7=a0+a1(1+x)2+…+a7(1+x)7,则a0+a1+a2+…+a6的值为()A.1B.2C.129D.2 188-x)7=a0+a1(1+x)2+…+a7(1+x)7中,令x=0,得27=a0+a1+…+a7=128.∵(2-x)7展开式中含x7项的系数为C7720(-1)7=-1,∴a7=-1,∴a0+a1+…+a6=128-a7=129.4.在二项式ax+√x 8的展开式中,所有项的系数之和记为S,第r项的系数记为P r,若SP9=38,则ab的值为()A.2B.-4C.2或-2D.2或-4解析在ax+√x8中,令x=1,所以S=(a+b)8,又其通项公式为T r+1=C8r(ax)8-r√xr,即T r+1=C 8r a 8-r ·b r x 8-32r,所以P 9=C 88a 8-8b 8=b 8,因此依题有(a+b )8b8=1+a b8=38, ∴1+a b =±3,∴ab =2或-4.故选D .5.(2x-1)6的展开式中,二项式系数最大的项的系数是 .(用数字作答)160x-1)6的展开式中,二项式系数最大的项是第四项,系数为C 63(2)3(-1)3=-160.6.x-ax2x-1x5的展开式中各项系数的和为2,则该展开式中含x 4项的系数为 .48解析令x=1,可得x-ax 2x-1x5的展开式中各项系数的和为1-a=2,得a=-1,x+1x2x-1x5展开式x 4的系数,即是2x-1x5展开式中的x 3与x 5系数的和,2x-1x5展开式通项为T r+1=C 5r(-1)r 25-r ·x 5-2r ,令5-2r=3,得r=1,令5-2r=5,得r=0,将r=1与r=0,分别代入通项,可得x 3与x 5的系数分别为-80与32,∴原展开式x 4的系数为-80+32=-48.。

高二培优特训：排列组合

培优特训：排列组合知识锦囊知识点一.排列与全排列的定义1.排列：一般地，从n个不同对象中，任取m（m≤n）个对象，按照一定的顺序排成一列，称为从n个不同对象中取出m个对象的一个排列．特别地，m=n时的排列（即取出所有对象的排列）称为全排列.【注意】排列中元素所满足的两个特性(1)无重复性：从n个不同元素中取出m(m≤n)个不同的元素，否则不是排列问题．(2)有序性：安排这m个元素时是有顺序的，有序的就是排列，无序的不是排列．而检验它是否有顺序的依据是变换元素的位置，看结果是否发生变化，有变化就是有顺序，无变化就是无顺序．2.相同排列：如果组成排列的对象是相同的，并且对象的排列顺序也相同，那么就称这两个排列是相同的.【注意】相同排列的两个条件(1)元素相同．(2)排列顺序相同．知识点二.排列数及其公式1.排列数定义：从n个不同对象中取出m个对象的所有排列的个数，称为从n个不同对象中取出m个对象的排列数，用符号A m n表示.2.排列数公式：A m n=n（n）..[n-（m-1）]，m个数=n（n-1）..（n-m+1），这个公式称为排列数公式.特别地，当m=n时，A m n=n×（n-1）×...×2×1=n!【注意】1.排列的定义中包含两个基本内容，一是"取出元素"，二是"按照一定的顺序排列".2.一个排列就是完成一件事的一种方法，不同的排列就是完成一件事的不同方法.3.在定义中“一定的顺序”就是说与位置有关，在实际问题中，究竟何时有关，何时无关，要由具体问题的性.4.“排列”与“排列数”是两个不同的概念，“排列”是指“按照一定的顺序排成一列”，它不是一个数，而是具体的一件事，"排列数"是指"从n个不同元素中取出m（m，n都是正整数，m≤n）个元素的所有不同排列的个数”，它是一个数.【庖丁解题1】下列问题是排列问题的是（）A．10个朋友聚会，每两人握手一次，一共握手多少次？B．平面上有2022个不同的点，且任意三点不共线，连接任意两点可以构成多少条线段？C．集合1,2,3,⋅⋅⋅,的含有三个元素的子集有多少个？D．从高三（19）班的54名学生中选出2名学生分别参加校庆晚会的独唱、独舞节目，有多少种选法？【举一反三1】1．从集合3,5,7,9,11中任取两个元素，①相加可得多少个不同的和？②相除可得多少个22+22=1>0,>0中的a，b，可以得到多少个焦点在x轴上的椭圆方程？④不同的商？③作为椭圆22−22=1>0,>0中的a，b，可以得到多少个焦点在x轴上的双曲线方程？作为双曲线上面四个问题属于排列问题的是（）A．①②③④B．②④C．②③D．①④题型2简单的排列问题【庖丁解题2】甲、乙分别从《扬州民间艺术》、《扬州盐商文化》、《扬州评话》和《大运河的前世今生》4门课程中选修1门，且2人选修的课程不同，则不同的选法有（）种.A．6B．8C．12D．16【举一反三2】1．将3张不同的奥运会门票分给6名同学中的3人，每人1张，则不同分法的种数是（）A．240B．120C．60D．40题型3排列数公式【庖丁解题3-1】A52的值为（）A．20B．10C．5D．2【举一反三3-1】1．7×8×9×⋅⋅⋅×15可表示为（）A．A159B．A158C．C159D．C158【举一反三3-1】2．A2r3−A4r1∈∗的值为________．◆类型2与排列数有关的方程不等式问题【庖丁解题3-2】若A23=10A3，则=（）A．7B．8C．9D．10【举一反三3-2】1．若A63=h A52，则=（）A．6B．5C．4D．3【庖丁解题3-3】不等式A8<6×A8K2的解集为（）A．2,8B．7,12C．{b7<<12,∈V D．8【举一反三3-3】1．解不等式：8<68K2．题型4元素相邻问题【庖丁解题4】甲、乙、丙、丁、戊5人排成一排，则甲、乙相邻的排法有（）A．72种B．60种C．48种D．36种【举一反三4】1．3名学生和2名老师站成一排合影，则3名学生相邻的排法共有（）A．48种B．36种C．20种D．24种【举一反三4】2．现有三名学生与两名教师随机地排一排照相，则每名学生都至少与一名教师相邻的概率为（）A．12B．15C．25D．310题型5元素不相邻问题【庖丁解题5】五人并排站成一排，甲乙不相邻的排法种数为（）A．30B．54C．63D．72【举一反三5】1．将语文､数学､英语､物理､化学､生物六本书排成一排，其中语文､数学相邻，且物理､化学不相邻，则不同的排法共有种___________.（用数字作答）【举一反三5】2．5名同学坐成一排照相，要求甲不在正中间，且甲、乙不相邻，则这5名同学不同坐法的种数为（）A．24B．36C．60D．72题型6定位定元问题(1)选5人排成一排；(2)全体站成一排，女生互不相邻；(3)全体站成一排，其中甲不站在最左边，也不站在最右边；(4)全体站成一排，其中甲不站在最左边，乙不站在最右边；(5)男生顺序已定，女生顺序不定；(6)站成三排，前排2名同学，中间排3名同学，后排2名同学，其中甲站在中间排的中间位置；(7)7名同学站成一排，其中甲、乙相邻，但都不与丙相邻；(8)7名同学坐圆桌吃饭，其中甲、乙相邻．知识锦囊知识点一．组合的概念从n 个不同的元素中取出m (m ≤n )个元素合成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合．【注意】组合概念的两个要点：（1）取出的对象是不同的；（2）“只取不排”，即取出的m 个对象与顺序无关，无序性是组合的特征性质.名称排列组合相同点二者都是从n 个不同的元素中取m (n ≥m )个元素，元素无重复不同点1.排列与元素的顺序有关2.两个排列相同，当且仅当这两个排列的元素及其排列顺序完全相同.1.组合与元素的顺序无关2.两个组合相同，当且仅当这两个组合的元素完全相同.联系=【庖丁解题1】以下四个问题，属于组合问题的是（）A ．从3个不同的小球中，取出2个排成一列B ．老师在排座次时将甲、乙两位同学安排为同桌C ．在电视节目中，主持人从100位幸运观众中选出2名幸运之星D ．从13位司机中任选出两位开同一辆车往返甲、乙两地【举一反三7】1．以下5个命题，属于组合问题的有（）①从1，2，3，…，9九个数字中任取3个，组成一个三位数；②从1，2，3，…，9九个数字中任取3个，然后把这3个数字相加得到一个和，这样的和的个数；③从，，，四名学生中选两名去完成同一份工作的选法；④5个人规定相互通话一次，通电话的次数；⑤5个人相互写一封信，所有信的数量．A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个题型8组合数公式的应用◆类型1组合数公式的选取高二课外提升【庖丁解题8-1】C 52+C 63=（）A ．25B ．30C ．35D ．40【举一反三8-1】1．已知，为正整数，且≥，则在下列各式中，正确的个数是（）①A 63=120；②A 127=C 127⋅A 77；③C +C r1=C r1r1；④C =CK20212022＝________，C n n ＋1·C n 2n 【举一反三8-2】1.若C 20=C 203K4，则实数x 的值为（）A ．2B ．4C ．6D ．2或6【举一反三8-2】2.计算：C 13+3+C 12+3K1+C 11+3K2+⋅⋅⋅+C 217−=________．◆类型3组合数的性质2：C m ＋1n ＋C m n ＝C m ＋1n ＋1【庖丁解题8-3】C A ．C 63B ．C 53C ．C 62D ．C 【举一反三8-3】1.若C 7n ＋1－C 7n ＝C 8n n 等于()A ．12B ．13C ．14D ．15◆类型4组合数有关的方程【庖丁解题8-4】若P K1+A 3=4C r13，则x 的值为_______【举一反三8-4】1．方程3C K34=5A K42的根为______．◆类型5组合数有关的不等式【庖丁解题8-5】若C 4>C 6，则的取值集合是______．【举一反三8-5】1．不等式1C 3−1C4<2C5的解集为___________.爻分为阳爻“”和阴爻“”，如图就是一重卦.在所有重卦中恰有3个阳爻的个数是（）A ．20B ．8C ．9D ．120高二课外提升【举一反三9】1．从8瓶酸牛奶和4瓶纯牛奶中任意选取4瓶，则恰有1瓶是酸牛奶的选取方法共有（）A．24种B．32种C．48种D．64种题型10有条件限制的组合问题梦天实验舱三个部分.假设有6名航天员(4男2女)在天宫空间站开展实验，其中天和核心舱安排4人，问天实验舱与梦天实验舱各安排1人，且两名女航天员不在一个舱内，则不同的安排方案种数为（）A．14B．18C．30D．36【举一反三10】1．从1到9这九个数字中任取3个偶数和4个奇数，试问：(1)能组成多少个没有重复数字的七位数？(2)在（1）中的七位数中，3个偶数排在一起的有多少个？(3)在（1）中的七位数中，3个偶数排在一起、4个奇数也排在一起的有多少个？(4)在（1）中的七位数中，任意2个偶数都不相邻的有多少个？题型11不同元素的分组分配问题【庖丁解题11】将4个编号为1、2、3、4的不同小球全部放入4个编号为1、2、3、4的4个不同盒子中.(1)每个盒至少一个球，有多少种不同的放法？(2)恰好有一个空盒，有多少种不同的放法？(3)每盒放一个球，并且恰好有一个球的编号与盒子的编号相同，有多少种不同的放法？(4)把已知中4个不同的小球换成四个完全相同的小球（无编号），其余条件不变，恰有一个空盒，有多少种不同的放法？题型12相同元素的分组分配问题(1)若要求每个盒子至少放一个球，则一共有多少种放法？(2)若每个盒子可放任意个球，则一共有多少种放法？(3)若要求每个盒子放的球的个数不小于其编号数，则一共有多少种放法？。

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