高阶偏导数
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' U = 一abea sin by,
dxdy
= -b2cos by, ^y 農"血"sin by -
问题：相合?导数都相等吗？具备怎样的条件才
定理 如果函数z = f (X, y)的两个二阶混合偏导数
d2 z 及
在区域D内连续，那末在该区域内这
d^y dxd
d两x 个y二阶混合偏导数必相等.
高阶偏导数｛纯偏导 I混合偏导（相等的条件）
函数z = f ( x, y )的二阶偏导数为
d CdzV a2z _ r , 、d (dz2z_
云〔辻菽=f (x, y),布〔祁尸砂=fyy (x'y)纯偏导
a (az)
a2 z =
dy 丿打d，xdOyx \^dy
丿f (x y)d0y件dx、
a ， Z = fyx (x y)
混合偏导
定义: 二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数.
例 1 设 z = x3 y2 一 3 xy3 - xy +1,
A2 z d2 z d2 z d2 z d3 z
^求
Z及 T.
Ax2 AyAx AxAy Ay2 Ax3
Az
丁=
22
3x y
I,,3 —
,, Az 3y —
y_，J :Y—3
=
2_ 2x y
一
9xy
—
x；
Ax
Ay
A=62zxKy , 2d—x2
A3 z=6 y 2,豎=2 x，—18 xy；
Az 2 2
鶴=6 xy - , 9 y - 1
Ax 3A2'z，Ay 2 AyAx=6 x y — 9 y — 1
例2设u = e心cos by，求二阶偏导数.
解也=aea cos by, dx
be 处=一Baidu Nhomakorabeaa sin by;
= a2eax cos by,
dxdy
= -b2cos by, ^y 農"血"sin by -
问题：相合?导数都相等吗？具备怎样的条件才
定理 如果函数z = f (X, y)的两个二阶混合偏导数
d2 z 及
在区域D内连续，那末在该区域内这
d^y dxd
d两x 个y二阶混合偏导数必相等.
高阶偏导数｛纯偏导 I混合偏导（相等的条件）
函数z = f ( x, y )的二阶偏导数为
d CdzV a2z _ r , 、d (dz2z_
云〔辻菽=f (x, y),布〔祁尸砂=fyy (x'y)纯偏导
a (az)
a2 z =
dy 丿打d，xdOyx \^dy
丿f (x y)d0y件dx、
a ， Z = fyx (x y)
混合偏导
定义: 二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数.
例 1 设 z = x3 y2 一 3 xy3 - xy +1,
A2 z d2 z d2 z d2 z d3 z
^求
Z及 T.
Ax2 AyAx AxAy Ay2 Ax3
Az
丁=
22
3x y
I,,3 —
,, Az 3y —
y_，J :Y—3
=
2_ 2x y
一
9xy
—
x；
Ax
Ay
A=62zxKy , 2d—x2
A3 z=6 y 2,豎=2 x，—18 xy；
Az 2 2
鶴=6 xy - , 9 y - 1
Ax 3A2'z，Ay 2 AyAx=6 x y — 9 y — 1
例2设u = e心cos by，求二阶偏导数.
解也=aea cos by, dx
be 处=一Baidu Nhomakorabeaa sin by;
= a2eax cos by,