函数的定义域与值域 知识点与题型归纳
函数的概念及定义域、值域基本知识点总结.doc
函数的概念及定义域.值域基本知识点总结函数概念1.映射的概念设A、B是两个集合，如果按照某种对应法则/ ,对于集合4小的任意元素,在集合B 中都冇唯一确宦的元索与Z对应,那么这样的单值对应叫做从A到B的映射，通常记为f :A^ B , f 表示对应法则注意：（1）A中元素必须都有彖J1唯一；（2）B中元素不一定都有原彖，但原彖不一定唯一。
2.函数的概念（1）函数的定义：设A、B是两个非空的数集,如果按照某种对应法则/,对于集合4屮的每个数兀, 在集合B中都冇唯一确怎的数和它对应,那么这样的对应叫做从A到B的一个函数，通常⑵函数的定义域、值域在函数y = f(x\xeA中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做y = f(x)的定义域；与x的值相对应的y值叫做两数值，函数值的集合{/⑴卜e △}称为函数y = /(%)的值域。
(3)函数的三要素：定义域、值域和对丿应法则3.函数的三种表示法：图象法、列表法、解析法(1).图象法：就是用函数图象表示两个变量之间的关系；(2).列表法：就是列出表格来表示两个变量的函数关系；(3).解析法：就是把两个变量的函数关系，用等式來表示。
4.分段函数在H变量的不同变化范围屮，对应法则用不同式子來表示的函数称为分段函数。
(-)考点分析考点1：映射的概念例1. (1) A = R , B = {yly〉O}, f :x —> y =1 xI ；(2) A = {x\ x>2,x e N^}, B = {y\ y>O,y e N], / : x y = x2 - 2x + 2 ；(3) A = {xI x > 0}, = {>' I y e R}, / : x —> y = ±\[x .上述三个对应是A到B的映射.例2.若A = {1,2,3,4}, B = {aM，a,b,cwR,则A到B的映射有个,B到A的映射有个，A到B 的函数有个例3.设集合M ={-1,0,1}, 7V = {-2,-1,0,1,2},如果从M到N的映射/满足条件：对(4)8 个(3)12 个(C)16 个(0)18 个M中的每个元素兀与它在N中的象/(兀)的和都为奇数,则映射/的个数是()考点2：判断两函数是否为同一个函数例1.试判断以下各组函数是否表示同一函数?(1) /(X )= , g(x) = V?":⑶ /(x) = 2n ^X^ , g(X )= (2“V7)2"T (/7GN 4);(4) /(x) = Vx Jx + 1 , g(x) = Jx ，十 x ；(5) /(x) = x 2 -2x -1, g(t) = t 2 -2r -1 考点3：求函数解析式方法总结：(1)若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)，则用待定系数法；(2) 若已知复合函数f[g(x)]的解析式，则可用换元法或配凑法；(3) 若已知抽象函数的表达式，则常用解方程组消参的方法求出/(%)题型1：由复合函数的解析式求原来函数的解析式例1.已知二次函数/(X )满足/(2X + 1) = 4X 2-6X + 5,求/U)(三种方法)| + V* | _ Y 2例2. (09湖北改编)已知/(-—)=—v ，则/(X )的解析式可取为 l-x 1 + JC题型2：求抽象函数解析式例1.已知函数/⑴满足/U) + 2/(-) = 3x,求/⑴函数的定义域题型1:求有解析式的函数的定义域(1) 方法总结：如没有标明定义域，则认为定义域为使得函数解析式有意义的X 的取值范 围，实际操作时要注意：酚母不能为0；②对数的真数必须为正；酬次根式中被开方数应 为非负数；歿指数幕中，底数不等于0；矽分数指数幕中，底数应人于0；魁解析式由 儿个部分组成，则定义域为各个部分相应集合的交集；⑦n 果涉及实际问题，还应使得实际 问题有意义，而11注意：研究函数的有关问题一定要注意定义域优先原则，实际问题的定义 域不耍漏写。
函数的定义域和值域知识点总结
函数定义域的几种求法：一、已知复杂函数，求f（x）例1.若函数f(x+1)的定义域是[-2,3]，求f(x)的定义域例2.若f( )的定义域为[0,3]，求f(x)的定义域总结：二、已知简单函数f(x)，求复杂函数例1.若函数f(x)的定义域为[1,4]，求函数f(x+2)的定义域总结：三、综合一和二，求函数的定义域例1.若函数f(x+1) 的定义域是[-2,3],求函数f(2x-1)的定义域四、当定义域为R时，求未知数的取值范围例1.已知函数y=²的定义域为R，求m 的取值范围例3.已知函数y=的定义域为R，求实数a的取值范围²总结：函数值域基本初等函数的定义域和值域1.一次函数f(x)=k x+b(k≠0)的定义域是R，值域是R2.反比例函数f(x)=(k≠0)的定义域是(-∞,0)∪(0,+ ∞),值域是(-∞,0)∪(0,+ ∞)3.二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)的定义域是R。
当a>0时，值域是[f(-),+ ∞); 当a<0,时，值域是(-∞,f(-)]函数值域的常用方法：一、利用简单函数值域求复杂函数值域例1．求函数y=-1的值域解：已知≧0，所以-1≧-1，所以函数y=-1的值域为[-1, + ∞]例2．求函数y=-的值域例3.求函数y=²的值域例4.求函数y=+1的值域例5.求函数y=+1的值域二、配方法例6．求函数y=²-4x+5的值域例7.求函数y=²-6x+10的值域解：y=²-4x+5=(x-2)2+1≧1所以，函数y=²-4x+5的值域为[1,+∞)例8.求函数y=的值域²三、将函数形式变成x=( )y的形式，利用已知函数值或者Δ的取值范围来判定例9．求函数y=²的值域²解：函数变形：y²+2yx+3y=2²+4x-7即：(y-2)²+2(y-2)x+3y+7=0当y=0时，显然不成立；当y≠0时，上式可以看作是关于x的一元二次方程，由于定义域x∈R，则有Δ≧0，即：Δ=4(y-2)2-4(y-2)(3y+7) ≧0所以2y2+5y-18≦0,解得：-≦y﹤2(x=2舍去)所以函数y=²的值域为[-,2）²。
求函数定义域、值域、对应关系(知识点+例题)pdf版
2
2
综上 1 y 1 ．
2
2
答案：[ 1 , 1 ] 22
（6）单调性法：确定函数在定义域（或某个定义域的子集）上的单调性，求出函数的值 域．
例 17 求函数 y 4x 1 3x 的值域．
解析：由解析式知1 3x 0 ，即 x 1 3
4x 单调递增， 1 3x 也递增，则 y 4x 1 3x 在定义域内单调递增
x3
x3
答案：{y | y 2}
（5）判别式法：把函数转化为关于 x 的二次方程，通过方程有实根，判别式 0 ，从而 求得原函数的值域．
例 15
求函数
y
3x x2
4
的值域．
解析：将函数化为 yx2 3x 4y 0
原函数有意义，等价于此方程有解
y 0 时， x 0 有解符合题意
y 0 时，判别式 9 16y2 0 ，解得 3 y 0或0 y 3
{x | x 0}
R 决定 [1,1] [1,1]
R (, 2 k ) (2 k , )
2．函数的定义域的求法
函数的定义域就是使得整个函数关系式有意义的实数的全体构成的集合．
（1）求定义域注意事项：★
①分式分母不为 0；
②偶次根式的被开方数大于等于 0；
③零次幂底数不为 0；
④对数的真数大于 0；
例 21 已知 f ( 2 1) lg x ，求 f (x) 的解析式． x
解析：令 2 1 t ，则 x 2 且 t 1
x
t 1
带入原式得 f (t) lg 2 (t 1) t 1
f (x) lg 2 (x 1) ． x 1
答案： f (x) lg 2 (x 1) x 1
例 22 已知 f ( x 1) x 2 x ，求 f (x) 的解析式．
函数的定义域和值域知识点总结
函数的定义域和值域知识点总结函数是数学中的一种基本概念，广泛应用于各个领域。
在了解函数的定义域和值域之前，我们需要先了解函数的基本概念和表示方法。
函数可以理解为一个输入到输出的映射关系，如果将函数视为一个机器，输入是函数的自变量，输出是函数的因变量。
函数可以用数学符号表示为y=f(x)，其中x为自变量，y为因变量，f(x)表示函数的表达式。
例如，y=2x+1就是一个简单的一次函数。
定义域是指所有自变量可能取值的集合，也可以简单理解为函数的输入范围。
根据函数的不同类型，定义域可以有不同的限制条件。
1.有理函数：有理函数是指可以表示为两个多项式相除的函数。
它的定义域包含所有不使得分母等于0的实数。
2.无理函数：无理函数是指不能表示为两个多项式相除的函数，例如平方根、立方根、指数函数等。
对于无理函数，它的定义域可以是任意实数，也可以有一些限制条件。
3.双曲函数：双曲函数是指以指数函数和对数函数为基础的函数。
对于双曲函数，它的定义域可以是任意实数。
4.指数函数和对数函数：指数函数和对数函数是互为反函数关系的两个函数。
指数函数的定义域为所有实数，对数函数的定义域为正实数。
在确定函数的定义域时，常常需要考虑到以下几点：1.分式中的分母不能为0。
2.做对数运算时，底数必须大于0且不等于13.做反三角函数时，函数的值域必须在对应的定义域内。
4.开方运算中，被开方数必须大于等于0。
在讨论函数的定义域时，我们常常需要注意以下几个特殊情况：1.绝对值函数：绝对值函数的定义域为所有实数。
2.常量函数：常量函数的定义域为所有实数。
3.单调函数：单调函数的定义域为所有实数。
4.双曲函数：双曲函数的定义域为所有实数。
接下来，我们来讨论函数的值域。
值域是指函数在定义域内所有可能的输出值的集合，也就是函数的输出范围。
函数的值域可能存在上界、下界或者不受限。
确定函数的值域时需要考虑以下几点：1.对于连续函数，可以通过求导数来判断函数的极大值和极小值，从而确定值域的上界和下界。
5：函数的定义域和值域高三复习数学知识点总结(全)
（二）函数的定义域（1）解决函数问题，优先考虑定义域.若没有标明定义域，则认为定义域是使得函数解析式有意义的x 的取值范围.实际问题中还要考虑自变量的实际意义.（2）分式中分母0≠；偶次根式中被开方数应为非负数；)0(10≠==x x y ；)10(≠>=a a a y x 且；,log x y a =真数,0>x 底数10≠>a a 且；x y sin =定义域为,R x y cos =定义域为,R x y tan =定义域为x {|},2Z k k x ∈+≠ππ.（3）复合函数的定义域方法：①定义域是输入值x 的集合；②同一对应法则下的括号内整体范围一样.例：已知)1(+=x f y 的定义域为],3,2[-则)12(-=x f y 的定义域为.答案：]25,0[小结：①若已知)(x f 的定义域为],,[b a 则复合函数))((x g f 的定义域可由b x g a ≤≤)(解出；②若已知))((x g f 的定义域为],,[b a 则)(x f 的定义域即为],[b a x ∈时)(x g 的值域.（三）函数的值域（数形结合）常用方法法一：图象法（形）1.)10(22≤<+-=x x x y 2..30,113<≤+-=x x x y 3..14,4-≤≤-+=x xx y 法二：换元法+图象法（形）4.3212++=x x y 5.x x y 21-+= 6.1212+-=x x y 7.)0(422>+=x x x y 8.).1(1542>-+-=x x x x y 9.)10(210212≤≤++=x x xy 法三：单调性（导数和单调性的性质）（数）10.x x y 21--=11.2,0[,sin π∈+=x x x y 12.]3,3[,8123-∈+-=x x x y 法四：几何意义（形）13.2cos 1sin --=x x y 答案：1.]81,1[-；2.)2,1[-；3.]4,5[--；4.]21,0(；5.]1,(-∞；6.)1,1(-；7.]21,0(；8.),222[+∞-；9.]10103,22[；10.21,(-∞；11.]12,0[+π；12.]24,8[-；13.34,0[。
根据幂函数的定义域与值域知识点及题型归纳总结
根据幂函数的定义域与值域知识点及题型归纳总结幂函数是一种常见的数学函数形式。
它的一般定义为：$f(x) =a^x$，其中$a$是一个实数且$a \neq 0$。
根据幂函数的定义域与值域的知识点，我们可以得到以下总结和题型归纳。
定义域幂函数的定义域取决于底数$a$的正负情况：- 当$a > 0$时，定义域为$(-\infty, +\infty)$，即实数集；- 当$0 < a < 1$时，定义域为$(-\infty, +\infty)$，即实数集；- 当$a < 0$时，定义域为$x \in R$，即实数集。
值域幂函数的值域取决于底数$a$的正负情况和幂指数$x$的奇偶性：- 当$a > 0$时：- 当$x$为偶数时，值域为$(0, +\infty)$；- 当$x$为奇数时，值域为$(-\infty, +\infty)$。
- 当$0 < a < 1$时：- 当$x$为偶数时，值域为$(0, +\infty)$；- 当$x$为奇数时，值域为$(0, 1)$。
- 当$a < 0$时：- 当$x$为偶数时，值域为$(0, +\infty)$；- 当$x$为奇数时，值域为$(-\infty, 0)$。
题型归纳在幂函数的相关题目中，常见的题型有：1. 求定义域和值域：根据幂函数的定义域和值域的规律，结合给定的底数$a$和幂指数$x$，求出幂函数的定义域和值域。
2. 求幂函数的图像：根据幂函数的定义域和值域的规律，绘制出幂函数的图像，包括凹凸性、渐近线等特征。
3. 幂函数的性质：探究幂函数的性质，如对称性、增减性、极值点等。
4. 幂函数的应用：应用幂函数解决实际问题，如人口增长模型、物体的增长衰减模型等。
总结幂函数是一种常见的数学函数形式，其定义域和值域取决于底数$a$的正负情况以及幂指数$x$的奇偶性。
掌握幂函数的定义域和值域的知识点，可以帮助我们解答相关的题目，理解幂函数的性质，以及应用幂函数解决实际问题。
函数概念例题和知识点总结
函数概念例题和知识点总结在数学的世界里，函数是一个极其重要的概念，它就像是一座桥梁，连接着不同的数学领域和实际应用。
为了更好地理解函数，让我们通过一些例题来深入探究，并对相关知识点进行总结。
一、函数的定义函数的定义可以简单地理解为：对于给定的一个非空数集 A，按照某种确定的对应关系 f，使得对于集合 A 中的任意一个数 x，在集合 B 中都有唯一确定的数 y 与之对应，就称 f 是集合 A 到集合 B 的一个函数。
我们用符号 y ＝ f(x)来表示，其中 x 称为自变量，y 称为因变量。
二、函数的表示方法函数常见的表示方法有三种：解析式法、列表法和图象法。
解析式法就是用数学式子表示两个变量之间的对应关系，比如 y ＝2x ＋ 1 。
列表法是通过列出表格来表示两个变量之间的对应关系，比如在一定范围内，给出 x 的值和对应的 y 的值。
图象法是用图象来表示两个变量之间的对应关系，比如画出函数 y＝ x²的图象。
三、函数的定义域和值域定义域是指自变量 x 的取值范围，而值域则是因变量 y 的取值范围。
例如，对于函数 y ＝ 1/x ，其定义域为x ≠ 0 ，值域为y ≠ 0 。
确定函数定义域时，需要考虑以下几点：1、分式的分母不为零。
2、偶次根式的被开方数非负。
3、对数函数的真数大于零。
四、函数的单调性函数的单调性是指函数在某个区间上是递增还是递减的性质。
如果对于区间 I 内的任意两个自变量的值 x₁、x₂，当 x₁＜ x₂时，都有 f(x₁) ＜ f(x₂) ，那么就说函数 f(x) 在区间 I 上是增函数；反之，如果都有 f(x₁) ＞ f(x₂) ，则函数 f(x) 在区间 I 上是减函数。
例如，函数 y ＝ x²在区间（∞， 0) 上是减函数，在区间（0, ＋∞）上是增函数。
五、函数的奇偶性如果对于函数 f(x) 的定义域内任意一个 x ，都有 f(x) ＝ f(x) ，那么函数 f(x) 就叫做偶函数；如果都有 f(x) ＝ f(x) ，那么函数 f(x) 就叫做奇函数。
函数的定义域与值域知识点及题型总结
函数的定义域与值域知识点及题型总结函数的定义域与值域知识点及题型总结知识点精讲一、函数的定义域求解函数的定义域应注意：1) 分式的分母不为零；2) 偶次方根的被开方数大于或等于零；3) 对数的真数大于零，底数大于零且不等于1；4) 零次幂或负指数次幂的底数不为零；5) 三角函数中的正切$y=\tan x$的定义域是$x\neqk\pi+\frac{\pi}{2}$，其中$k\in Z$；6) 已知$f(x)$的定义域求解$f(g(x))$的定义域，或已知$f(g(x))$的定义域求解$f(x)$的定义域，遵循两点：①定义域是指自变量的取值范围；②在同一对应法则下，括号内式子的范围相同；7) 对于实际问题中函数的定义域，还需根据实际意义再限制，从而得到实际问题函数的定义域。
二、函数的值域求解函数值域主要有以下十种方法：1) 观察法；2) 配方法；3) 图像法；4) 基本不等式法；5) 换元法；6) 分离常数法；7) 判别式法；8) 单调性法；9) 有界性法；10) 导数法。
需要指出的是，定义域或值域的结果必须写成区间或集合的形式。
题型归纳及思路提示题型1 函数定义域的求解思路提示：对求函数定义域问题的思路是：1) 先列出使式子$f(x)$有意义的不等式或不等式组；2) 解不等式组；3) 将解集写成集合或区间的形式。
二、给出函数解析式求解定义域例 2.10 函数$y=\frac{\ln(x+1)-x}{-3x+4}$的定义域为（）。
A。
$(-4,-1)$ B。
$(-4,1)$ C。
$(-1,1)$ D。
$(-1,1]$分析本题考查对数、分式根式有关的函数定义域的求解。
解：$x+1>0$，$-3x+4\neq 0$，即$x\neq\frac{4}{3}$。
解不等式$\ln(x+1)>x-4$，得$-1<x<1$。
故选C。
变式1 函数$y=x\ln(1-x)$的定义域为（）。
A。
函数的定义域和值域知识点和题型归纳
●高考明方向了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域.★备考知考情定义域是函数的灵魂，高考中考查的定义域多以选择、填空形式出现，难度不大；有时也在解答题的某一小问当中进行考查；值域是定义域与对应法则的必然产物，值域的考查往往与最值联系在一起，三种题型都有，难度中等.一、知识梳理《名师一号》P13知识点一常见基本初等函数的定义域注意：1、研究函数问题必须遵循“定义域优先”的原则！！！2、定义域必须写成集合或区间的形式！！！(1)分式函数中分母不等于零(2)偶次根式函数被开方式大于或等于0(3)一次函数、二次函数的定义域均为R(4)y ＝a x (a ＞0且a ≠1)，y ＝sin x ，y ＝cos x 的定义域均为R(5)y ＝log a x (a ＞0且a ≠1)的定义域为(0，＋∞)(6)函数f (x )＝x 0的定义域为{x |x ≠0}(7)实际问题中的函数定义域，除了使函数的解析式有意 义外，还要考虑实际问题对函数自变量的制约. （补充）三角函数中的正切函数y ＝tan x 定义域为{|,,}2∈≠+∈x x R x k k Z ππ如果函数是由几个部分的数学式子构成的，那么函数的定义域是使各部分式子都有意义的实数集合．知识点二 基本初等函数的值域注意：(1)y ＝kx ＋b (k ≠0)的值域是R .(2)y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的值域是：当a ＞0时，值域为{y |y ≥4ac －b 24a}； 当a ＜0时，值域为{y |y ≤4ac －b 24a} (3)y ＝kx(k ≠0)的值域是{y |y ≠0} (4)y ＝a x (a ＞0且a ≠1)的值域是{y |y ＞0}(5)y ＝log a x (a ＞0且a ≠1)的值域是R .（补充）三角函数中正弦函数y ＝sin x ，余弦函数y ＝cos x 的值域均为[]1,1- 正切函数y ＝tan x 值域为R《名师一号》P15知识点二 函数的最值注意：《名师一号》P16 问题探究 问题3函数最值与函数值域有何关系？函数的最小值与最大值分别是函数值域中的最小元素与最大元素；任何一个函数，其值域必定存在，但其最值不一定存在．1、温故知新P11 知识辨析1（2） 函数21=+x y x 的值域为11,,22⎛⎫⎛⎫-∞+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（ ）答案：正确2、温故知新P11 第4题函数(]()1122,,222,,2--⎧-∈-∞⎪=⎨-∈-∞⎪⎩x x x y x 的值域为（ ） 3.,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭A ().,0-∞B 3.,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭C (].2,0-D答案：D注意：牢记基本函数的值域3、温故知新P11 第6题函数()=y f x 的值域是[]1,3，则函数()()123=-+F x f x 的值域是（ ）[].5,1--A [].2,0-B [].6,2--C [].1,3D答案：A注意：图像左右平移没有改变函数的值域二、例题分析：（一)函数的定义域1．据解析式求定义域例1. （1）《名师一号》P13 对点自测1(2014·山东) 函数()=f x 为( )A.⎝⎛⎭⎪⎪⎫0，12 B ．(2，＋∞) C.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，12∪(2，＋∞) D.⎝⎛⎦⎥⎥⎤0，12∪[2，＋∞)解析 要使函数有意义，应有(log 2x )2>1，且x >0， 即log 2x >1或log 2x <－1，解得x >2或0<x <12. 所以函数f (x )的定义域为⎝⎛⎭⎪⎪⎫0，12∪(2，＋∞)． 例1. （2）《名师一号》P14 高频考点 例1（1） 函数f (x )＝1－2x ＋1x ＋3的定义域为( ) A ．(－3,0] B ．(－3,1]C ．(－∞，－3)∪(－3,0]D ．(－∞，－3)∪(－3,1]解析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ 1－2x ≥0，x ＋3>0，解得－3<x ≤0.注意：《名师一号》P14 高频考点 例1 规律方法（1） 求函数的定义域，其实质就是以函数解析式所含运算有意义为准则，列出不等式或不等式组，然后求出它们的解集．函数的定义域一定要用集合或区间表示例2. (补充)若函数2()lg(21)f x ax x =++的定义域为R则实数a 的取值范围是 ；答案：()1,+∞变式：2()lg(21)=++f x ax ax ?练习：(补充)若函数27()43kx f x kx kx +=++的定义域为R 则实数k 的取值范围是 ；答案：30,4⎡⎫⎪⎢⎣⎭2．求复合函数的定义域例3.（1）《名师一号》P14 高频考点 例1（2）(2015·北京模拟)已知函数y ＝f (x )的定义域为[0,4]，则函数y ＝f (2x )－ln(x －1)的定义域为( )A ．[1,2]B ．(1,2]C ．[1,8]D ．(1,8]解析：由已知函数y ＝f (x )的定义域为[0,4]． 则使函数y ＝f (2x )－ln(x －1)有意义，需⎩⎪⎨⎪⎧ 0≤2x ≤4，x －1>0，解得1<x ≤2，所以定义域为(1,2]．例3. （2）《名师一号》P13 对点自测2已知函数f (x )＝1x ＋1，则函数f (f (x ))的定义域是( )A ．{x |x ≠－1}B ．{x |x ≠－2}C ．{x |x ≠－1且x ≠－2}D ．{x |x ≠－1或x ≠－2}解析 ⎩⎪⎨⎪⎧ x ≠－1，1x ＋1＋1≠0，解得x ≠－1且x ≠－2.注意：《名师一号》P14 高频考点 例1 规律方法（2） （P13 问题探究 问题1 类型二）已知f (x )的定义域是[a ，b ]，求f [g (x )]的定义域， 是指满足a ≤g (x )≤b 的x 的取值范围，而已知f [g (x )]的定义域是[a ，b ]，指的是x ∈[a ，b ]．例4．(补充)已知2(1)f x +的定义域是[]0,1，求()f x 的定义域。
专题2.3 函数的定义域与值域重难点题型精讲-高中数学一轮复习【新高考地区专用】
专题2.3 函数的定义域与值域-重难点题型精讲1．函数的三要素 (1)定义域在函数y ＝f (x )，x ∈A 中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域． (2)值域与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{f (x )|x ∈A }叫做函数的值域． (3)对应关系f ：A →B .【题型1 求具体函数的定义域】【例1】（2021•浙江模拟）函数y =√−x 2+x +6+1x−1的定义域为（ ） A ．[﹣2，3]B ．[﹣2，1）∪（1，3]C ．（﹣∞，﹣2]∪[3，+∞）D ．（﹣2，1）∪（1，3）【解题思路】根据二次根式的性质以及分母不为0，求出函数的定义域即可．【解答过程】解：由题意得：{−x 2+x +6≥0x −1≠0，解得：﹣2≤x ＜1且1＜x ≤3， 故选：B ．【变式1-1】（2021•天河区校级模拟）函数f （x ）=√32x−1−1的定义域是（ ） A ．[1，+∞）B ．[12，+∞）C ．（﹣∞，﹣1）D ．（﹣∞，﹣2）【解题思路】根据二次根式的性质求出函数的定义域即可． 【解答过程】解：由题意得：32x ﹣1﹣1≥0，故32x ﹣1≥1＝30，故2x ﹣1≥0，解得：x ≥12，故函数f （x ）的定义域是[12，+∞），故选：B ．【变式1-2】（2020•新乡三模）函数f （x ）=√−x 2+3x+4lnx的定义域是（ ）A ．（0，1）∪（1，4]B ．（0，4]C ．（0，1）D ．（0，1）∪[4，+∞）【解题思路】根据函数的解析式，列出使函数有意义的不等式组，求出解集即可． 【解答过程】解：函数f （x ）=√−x 2+3x+4lnx中，令{−x 2+3x +4≥0x ＞0lnx ≠0，得{x 2−3x −4≤0x ＞0x ≠1，解得{−1≤x ≤4x ＞0x ≠1，即0＜x ≤4且x ≠1；所以函数f （x ）的定义域是（0，1）∪（1，4]． 故选：A ．【变式1-3】（2020•荔湾区校级模拟）函数f （x ）＝lg 3−x x+1cosx的定义域为（ ）A ．（0，3）B ．{x |x ＜3且x ≠π2} C ．（0，π2）∪（π2，3)D ．{x |x ＜0或x ＞3}【解题思路】由对数式的真数大于0，分式的分母不为0联立不等式组求解．【解答过程】解：由{3−x x ＞0cosx ≠0，得{0＜x ＜3x ≠π2+kπ，k ∈Z ，∴0＜x ＜3且x ≠π2． ∴函数f （x ）＝lg 3−x x+1cosx的定义域为（0，π2）∪（π2，3)．故选：C ．【题型2 求抽象函数的定义域】【例2】（2021春•开封期末）已知函数f （2x ﹣1）的定义域为（﹣1，2），则函数f （2﹣3x ）的定义域为 ． 【解题思路】由题意先求出2x ﹣1的范围，可得2﹣3x 的范围，从而得出x 的范围，即为函数f （2﹣3x ）的定义域．【解答过程】解：函数f （2x ﹣1）的定义域为（﹣1，2），故﹣3＜2x ﹣1＜3， ∴对于函数f （2﹣3x ），﹣3＜2﹣3x ＜3，求得−13＜x ＜53， 故对于函数f （2﹣3x ），它的定义域为（−13，53），故答案为：（−13，53），【变式2-1】（2020秋•蚌埠期末）已知函数f （x ）的定义域是[0，2]，则函数g （x ）＝f （x +12）+f （x −12）的定义域是（ ） A ．[12，1]B ．[12，2]C ．[12，32]D ．[1，32]【解题思路】由函数f （x ）的定义域是[0，2]可得：要使函数g （x ）＝f （x +12）+f （x −12）的解析式有意义，则{x +12∈[0，2]x −12∈[0，2]，解不等式可得答案． 【解答过程】解：∵函数f （x ）的定义域是[0，2]， 要使函数g （x ）＝f （x +12）+f （x −12）的解析式有意义， 则{x +12∈[0，2]x −12∈[0，2]，解得：x ∈[12，32]，故函数g （x ）＝f （x +12）+f （x −12）的定义域是[12，32]，故选：C ．【变式2-2】（2021•襄城区校级模拟）已知函数y ＝f （x 2+2x−1x 2+x−1）的定义域是[1，+∞），则函数y ＝f （x ）的定义域是 ．【解题思路】利用换元法，设t =x 2+2x−1x 2+x−1，x ∈[1，+∞），求出t 的值域即可．【解答过程】解：设t =x 2+2x−1x 2+x−1，x ∈[1，+∞），则t ＝1+xx 2+x−1=1+1x−1x+1， 再设g （x ）＝x −1x +1，x ∈[1，+∞），则g （x ）是定义域上的单调增函数，且g （x ）min ＝g （1）＝1， 所以1g(x)∈（0，1]，所以t ∈（1，2]；所以函数y ＝f （x 2+2x−1x 2+x−1）的定义域是[1，+∞）时，函数y ＝f （x ）的定义域是（1，2]．故答案为：（1，2]．【变式2-3】（2021•荆州区校级四模）定义域是一个函数的三要素之一，已知函数Jzzx （x ）定义域为[211，985]，则函数shuangyiliu （x ）＝Jzzx （2018x ）+Jzzx （2021x ）的定义域为（ ） A ．[2112018，9852021] B ．[2112021，9852018] C ．[2112018，9852018] D ．[2112021，9852021] 【解题思路】由2018x ∈[211，985]且2021x ∈[211，985]可求得定义域．【解答过程】解：根据题意得{211≤2018x ≤985211≤2021x ≤985，解得：x ∈[2112018，9852021]．故选：A ．【题型3 已知函数定义域求参数】【例3】（2020春•兴庆区校级期末）若函数y =√的定义域为R ，则实数a 的取值范围是（ ）A ．（0，12]B ．（0，12）C ．[0，12]D ．[0，12）【解题思路】根据题意即可得出，不等式ax 2﹣4ax +2＞0的解集为R ，然后可讨论a 是否为0：a ＝0时，显然满足题意；a ≠0时，可得出{a ＞0△=16a 2−8a ＜0，然后解出a 的范围即可．【解答过程】解：根据题意，ax 2﹣4ax +2＞0的解集为R ， ①a ＝0时，2＞0恒成立，满足题意； ②a ≠0时，{a ＞0△=16a 2−8a ＜0，解得0＜a ＜12，综上得，实数a 的取值范围是[0，12)． 故选：D ．【变式3-1】（2020秋•解放区校级月考）已知函数f （x ）＝5√a+1−x的定义域为M ，集合N ＝{x |x ≥9}，若M ∩N ＝∅，则实数a 的取值范围是（ ） A ．（4，8]B ．（﹣∞，8]C ．（﹣∞，4]D ．[8，+∞）【解题思路】根据条件可得出M ⊆{x |x ＜9}，可求出f （x ）的定义域为M ＝{x |x ＜a +1}，从而得出a +1≤9，然后解出a 的范围即可．【解答过程】解：∵N ＝{x |x ≥9}，M ∩N ＝∅， ∴M ⊆{x |x ＜9}，∵M ＝{x |x ＜a +1}，∴a +1≤9，解得a ≤8， ∴实数a 的取值范围是（﹣∞，8]． 故选：B ．【变式3-2】（2020秋•宝山区校级期末）若函数f （x ）＝lg [（a 2﹣1）x 2+（a +1）x +1]的定义域为R ，则实数a 的取值范围是 ．【解题思路】根据对数函数的定义域为R ，转化为不等式恒成立进行求解即可． 【解答过程】解：∵f （x ）的定义域为R ， ∴（a 2﹣1）x 2+（a +1）x +1＞0恒成立， 当a 2﹣1＝0，即a ＝1或a ＝﹣1，当a ＝1时，不等式等价为2x +1＞0，此时x ＞−12，不恒成立，不满足条件． 当a ＝﹣1时，不等式等价为1＞0，恒成立，满足条件． 当a ≠±1时，要使不等式恒成立，则{a 2−1＞0△=(a +1)2−4(a 2−1)＜0，即{a ＞1或a ＜−1(a +1)(−3a +5)＜0，得{a ＞1或a ＜−1a ＞53或a ＜−1，即a ＞53或a ＜﹣1， 综上a ＞53或a ≤﹣1， 故答案为：a ＞53或a ≤﹣1．【变式3-3】（2020秋•太原期中）若函数f （x ）=√|2x +1|−|x +1|−a 的定义域为R ，则实数a 的取值范围为 ．【解题思路】由题意，|2x +1|﹣|x +1|≥a 恒成立，利用分段函数求得f （x ）＝|2x +1|﹣|x +1|的最小值，可得a 的范围．【解答过程】解：∵函数f （x ）=√|2x +1|−|x +1|−a 的定义域为R ，∴|2x +1|﹣|x +1|≥a 恒成立． 令f （x ）＝|2x +1|﹣|x +1|={x ，x ≥−12−3x −2，−1≤x ＜−12−x ，x ＜−1，则f （x ）取得最小值大于或等于a ．根据f （x ）的单调性，当x =−12时，f （x ）取得最小值为−12， ∴a ≤−12，故答案为：（﹣∞，−12]．【题型4 利用函数单调性求函数的值域】【例4】（2020秋•上高县校级期末）下列各函数中，值域为（0，+∞）的是（ ） A ．y =log 2(x 2+2x −3) B ．y =√1−2x C ．y ＝2﹣2x +1D ．y =31x+1【解题思路】根据函数的性质分别求出函数的值域进行判断即可．【解答过程】解：x 2+2x ﹣3＝（x +1）2﹣4≥﹣4，∴y =log 2(x 2+2x −3)的值域是R ，不满足条件． ∵0≤1﹣2x ＜1，则函数的值域为[0，1），不满足条件． y ＝2﹣2x +1＞0，即函数的值域为（0，+∞），满足条件．y =31x+1∈（0，1）∪（1，+∞），不满足条件．故选：C ．【变式4-1】（2021•3月份模拟）函数f （x ）=√2−x +√x 2−6x +10的值域为 ． 【解题思路】先求出函数的定义域和单调性，从而得到函数的值域．【解答过程】解：∵函数f （x ）=√2−x +√x 2−6x +10，∴{2−x ≥0x 2−6x +10≥0，求得x ≤2，故函数的定义域为（﹣∞，2]．且y =√2−x 和y =√x 2−6x +10在定义域内都是减函数，故f （x ）在其定义域内是减函数， 故当x ＝2时，函数f （x ）取得最小值为√2，当x 趋于﹣∞时，函数f （x ）趋于无穷大， 故f （x ）的值域为[√2，+∞）， 故答案为：[√2，+∞）．【变式4-2】（2021•松山区校级模拟）已知函数f （x ）＝log 3（x ﹣2）的定义域为A ，则函数g （x ）＝（12）2﹣x（x ∈A ）的值域为（ ）A ．（﹣∞，0）B ．（﹣∞，1）C ．[1，+∞）D ．（1，+∞）【解题思路】根据对数函数的性质先求出f （x ）的定义域，结合指数函数的单调性，求g （x ）的值域即可．【解答过程】解：要使函数有意义，则x ﹣2＞0得x ＞2，即函数f （x ）的定义域为（2，+∞），即A ＝（2，+∞），g （x ）＝（12）2﹣x =14•2x ，为增函数，则g （x ）＞g （2）=14•22＝1，即g （x ）的值域为（1，+∞）， 故选：D ．【变式4-3】（2021•全国模拟）已知函数f （x ）对任意x ∈R ，都有f(x)=−12f(x +2)，当x ∈[0，2]时，f （x ）＝﹣x 2+2x ，则函数f （x ）在[﹣2，6]上的值域为（ ） A ．[0，1]B ．[−12，0]C ．[﹣2，0]D ．[﹣2，4]【解题思路】x ∈[0，2]时，f （x ）＝﹣x 2+2x ，则利用f(x)=−12f(x +2)，将区间[﹣2，0]，[2，4]，[4，6]的自变量x 利用加减转化到区间[0，2]上，从而进行值域的求解．【解答过程】解：当x ∈[0，2]时，f （x ）＝x （2﹣x ）＝1﹣（x ﹣1）2∈[0，1]， 则当x ∈[﹣2，0]时，即x +2∈[0，2]，所以f(x)=−12f(x +2)∈[−12，0]； 当x ∈[2，4]时，即x ﹣2∈[0，2]，由f(x)=−12f(x +2)，得f （x +2）＝﹣2f （x ），从而f （x ）＝﹣2f （x ﹣2）∈[﹣2，0]； 当x ∈[4，6]时，即x ﹣2∈[2，4]，则f （x ）＝﹣2f （x ﹣2）∈[0，4]． 综上得函数f （x ）在[﹣2，6]上的值域为[﹣2，4]． 故选：D ．【题型5 利用换元法求函数的值域】【例5】（2020•重庆模拟）已知函数f （x ）＝2x ，则函数f （f （x ））的值域是（ ） A ．（0，+∞）B ．（1，+∞）C ．[1，+∞）D ．R【解题思路】利用指数函数的性质容易求出值域．【解答过程】解：由指数函数的性质可知，函数f （x ）＝2x 的值域为（0，+∞）， 令t ＝2x ，则t ＞0，∴f （f （x ））＝f （t ）＝2t ＞20＝1，即所求函数的值域为（1，+∞）． 故选：B ．【变式5-1】（2020秋•瑶海区校级期中）函数y ＝2x +√1−3x 的值域是（ ） A ．（﹣∞，23]B ．[2524，+∞） C ．[−∞，2524] D ．[23，+∞）【解题思路】设t =√1−3x ，则x =1−t 23且t ≥0，然后代入后结合二次函数的性质可求． 【解答过程】解：设t =√1−3x ，则x =1−t 23且t ≥0，y ＝2x +√1−3x =2−2t 23+t =−23t 2+t +23开口向下，对称轴t =34，结合二次函数的性质可知，当t =34时函数取得最大值2524．故函数的值域（﹣∞，2524]．故选：C ．【变式5-2】（2020秋•道里区校级月考）函数f （x ）=1x 2−2x+2的值域为（）A ．（0，1]B ．（0，12]C ．（0，1）D ．（0，12）【解题思路】只需求解t ＝x 2﹣2x +2的范围，结合反比例函数的性质可得值域；【解答过程】解：设t ＝x 2﹣2x +2＝（x ﹣1）2+1， 可得t ∈[1，+∞）， 则y =1t ∈（0，1]． 即函数f （x ）=1x 2−2x+2的值域为（0，1]．故选：A ．【变式5-3】（2021春•水富市校级月考）函数f （x ）＝x 2﹣1的定义域为[0，4]，则函数y ＝f （x 2）+[f （x ）]2的值域为（ ） A ．[−12，992]B ．[−12，24]C ．[−12，4]D ．[−12，4−2√2]【解题思路】先根据f （x ）的定义域求出y ＝f （x 2）+[f （x ）]2的定义域，再换元利用二次函数的性质即可求出．【解答过程】解：∵f （x ）＝x 2﹣1的定义域为[0，4]，∴y ＝f （x 2）+[f （x ）]2中，{0≤x 2≤40≤x ≤4，解得0≤x ≤2，即y ＝f （x 2）+[f （x ）]2的定义域为[0，2]，令t ＝x 2，则t ∈[0，4]，则y =f(x 2)+[f(x)]2=x 4−1+(x 2−1)2=2x 4−2x 2=2t 2−2t =2(t −12)2−12， ∴当t =12时，y min =−12；当t ＝4时，y max ＝24， ∴y ＝f （x 2）+[f （x ）]2的值域为[−12，24]． 故选：B ．【题型6 利用分离常数法求函数的值域】【例6】（2021•海淀区校级模拟）若函数f(x)=x−1x+1的定义域是[0，+∞），则f （x ）的值域是 ． 【解题思路】由已知利用分离常数，然后结合反比例函数的性质可求． 【解答过程】解：当x ≥0时，∈[﹣1,1)． f (x )=x−1x+1=x+1−2x+1=1−2x+1∈[﹣1,1)． 故答案为：[﹣1,1)．【变式6-1】（2020秋•泉山区校级期中）函数y =2+x4−3x 的值域是（ ）A．（﹣∞，+∞）B．（﹣∞，−12）∪（12，+∞）C．（﹣∞，−13）∪（13，+∞）D．（﹣∞，−13）∪（−13，+∞）【解题思路】分离常数即可得出y=−13+103(4−3x)，从而得出y≠−13，进而得出该函数的值域．【解答过程】解：y=2+x4−3x=−13(4−3x)+1034−3x=−13+103(4−3x)，∴y≠−1 3，∴该函数的值域为(−∞，−13)∪(−13，+∞)．故选：D．【变式6-2】（2020•武汉模拟）函数y=2lnx−1lnx+1的值域为（）A．{y|0＜y＜2}B．{y|y＞0且y≠2}C．{y|y≠2}D．{y|y＞2}【解题思路】由已知利用分离法，结合反比例函数的性质即可求解．【解答过程】解：因为y=2lnx−1lnx+1=2(lnx+1)−3lnx+1=2−31+lnx≠2．故选：C．【变式6-3】（2020秋•成都期末）设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，例如：[﹣3.2]＝﹣4，[4.3]＝4，已知函数f（x）=2×3x1+3x−32，则函数y＝[f（x）]的值域是（）A．{﹣1，0，1}B．{﹣2，﹣1，0}C．{﹣1，0}D．{﹣2，﹣1，0，1}【解题思路】由已知结合指数函数的性质先求出f（x）的值域，然后结合已知定义即可求解．【解答过程】解：∵f（x）=2×3x1+3x−32=4⋅3x−3−3⋅3x2(1+3x)=3x−32(3x+1)=12−23x+1，∵3x+1＞1，∴0＜21+3x＜2，∴−32＜12−21+3x＜12，故y＝[f（x）]的值域是{﹣2，﹣1，0}．故选：B．【题型7 已知函数的值域求参数】【例7】（2020•柯城区校级模拟）已知函数f(x)=√x 2+tx 2−1的值域为[0，+∞），则实数t 的取值范围是 ．【解题思路】设y ＝x 2+t x 2−1，先分类求y ＝x 2+t x 2−1的值域A ，再根据[0，+∞）为A 的子集来求t 的取值范围．【解答过程】解：令y ＝x 2+tx 2−1， ①当t ＜0时，y ＝x 2+t x2−1，设m ＝x 2＞0，则y ＝m +tm −1在（0，+∞）上单调递增， ∴y 的值域为R ，∵[0，+∞）⊆R ，∴t ＜0符合题意； ②当t ＝0时，y ＝x 2+tx2−1＝x 2﹣1≥﹣1， ∵[0，+∞）⊆[﹣1，+∞），∴t ＝0符合题意； ③当t ＞0时，y ＝x 2+t x 2−1≥2√x 2⋅t x2−1＝2√t −1，当且仅当|x |=√t 4时，等号成立， ∵[0，+∞）⊆[2√t −1，+∞）， ∴2√t −1≤0，解得0＜t ≤14，综上所述，实数t 的取值范围是（﹣∞，14]．故答案为：（﹣∞，14]．【变式7-1】（2020•青秀区校级模拟）已知函数f （x ）＝lg （3x +43x +m ）的值域是全体实数R ，则实数m 的取值范围是（ ） A ．（﹣4，+∞）B ．[﹣4，+∞）C ．（﹣∞，﹣4）D ．（﹣∞，﹣4]【解题思路】由题意可知3x +43x +m 能取遍所有正实数，结合基本不等式可求． 【解答过程】解：由题意可知3x +43x +m 能取遍所有正实数， 因为3x +43x +m ≥m +4， 则m +4≤0，即m ≤﹣4． 故选：D ．【变式7-2】（2020•一模拟）已知函数f （x ）＝lnx −12ax 2+（a ﹣1）x +a （a ＞0）的值域与函数f （f （x ））的值域相同，则a 的取值范围为（ ） A ．（0，1]B ．（1，+∞）C ．(0，43]D ．[43，+∞）【解题思路】求出f （x ）的单调区间和值域，从而得出f （x ）的最大值与单调区间端点的关系，从而得出a 的范围【解答过程】解：函数f （x ）＝lnx −12ax 2+（a ﹣1）x +a （a ＞0），其定义域满足：x ＞0． 则f ′（x ）=1x −ax +（a ﹣1）（a ＞0） 令f ′（x ）＝0，可得x =−1a（舍去），x ＝1．当x ∈（0，1）时，f ′（x ）＞0，f （x ）在区间（0，1）递增； 当x ∈（1，+∞）时，f ′（x ）＜0，f （x ）在区间（1，+∞）递减； ∴当x ＝1时，f （x ）取得最大值为32a −1；f （x ））的值域为（﹣∞，32a −1]，∴函数f （f （x ））的值域为（﹣∞，32a −1]，则32a −1≥1；解得：a ≥43．则a 的取值范围为[43，+∞）；故选：D ．【变式7-3】（2020•南岗区校级四模）已知函数f(x)={(1−a)x +a ，x ＞0ln(x +2)，−2＜x ≤0的值域为R ，则实数a 的取值范围是（ ） A ．a ＜ln 2B ．a ≤ln 2C ．a ＞0D ．ln 2＜a ＜1【解题思路】由已知求出﹣2＜x ≤0时函数的值域，把函数f （x ）的值域为R 转化为当x ＞0时，f （x ）＝（1﹣a ）x +a 的值域包含（ln 2，+∞），由此列关于a 的不等式组求解． 【解答过程】解：当﹣2＜x ≤0时，0＜x +2≤2，f （x ）＝ln （x +2）∈（﹣∞，ln 2]； 要使函数f(x)={(1−a)x +a ，x ＞0ln(x +2)，−2＜x ≤0的值域为R ，则当x ＞0时，f （x ）＝（1﹣a ）x +a 的值域包含（ln 2，+∞）．则需{1−a ＞0a ≤ln2，即a ≤ln 2．∴实数a 的取值范围是a ≤ln 2． 故选：B ．【题型8 函数的定义域与值域综合】【例8】[多选题]（2021•锡山区校级三模）一般地，若函数f （x ）的定义域为[a ，b ]，值域为[ka ，kb ]，则称为的“k 倍跟随区间”；若函数的定义域为[a ，b ]，值域也为[a ，b ]，则称[a ，b ]为f （x ）的“跟随区间”．下列结论正确的是（ ）A ．若[1，b ]为f （x ）＝x 2﹣2x +2的跟随区间，则b ＝2B ．函数f （x ）＝1+1x 存在跟随区间C ．若函数f （x ）＝m −√x +1存在跟随区间，则m ∈（−14，0]D ．二次函数f （x ）=−12x 2+x 存在“3倍跟随区间”【解题思路】（1）易由已知可得函数在区间上单调递增，进而可以求解b 的值，（2）假设存在跟随区间，则根据跟随区间的条件求解a ，b 的值，若有解则存在，反之不存在，（3）先设跟随区间为[a ，b ]，则根据跟随区间满足的条件建立方程组，找出a ，b 的关系，然后统一变量表示出m ，列出关于m 的关系式，利用方程思想求解m 的取值范围，（4）若存在3倍跟随区间，则设定义域为[a ，b ]，值域为[3a ，3b ]，由此建立方程组，再 等价转化为一个方程有两个不相等的实数根，进而可以求解．【解答过程】解：选项A ：由已知可得函数f （x ）在区间[1，b ]上单调递增，则有f （b ）＝b 2﹣2b +2＝b ，解得b ＝2或1（舍），所以b ＝2，A 正确；选项B ：若存在跟随区间[a ，b ]（a ＜b ），又因为函数在单调区间上递减，则有{f(a)=bf(b)=a ，解得a ＝b ＝1，显然不成立，B 错误；选项C ：由已知函数可得：函数在定义域上单调递减，若存在跟随区间[a ，b ]（﹣1≤a ＜b ）， 则有{f(a)=b f(b)=a ，即{b =m −√a +1a =m −√b +1，两式做差得：a ﹣b =√a +1−√b +1，即（a ﹣b ）（√a +1+√b +1）＝a +1﹣（b +1）＝a ﹣b ，又﹣1≤a ＜b ，所以√a +1+√b +1=1，易得0≤√a +1＜√b +1≤1， 所以m ＝a +√b +1=a +1−√a +1，设√a +1=t ∈（0，12），则m ＝t 2﹣t ，即t 2﹣t ﹣m ＝0在区间（0，12）上有两个不相等的实数根，只需：{△=1+4m ＞0−m ≥0，解得−14＜m ≤0，C 正确；选项D ：若函数存在3倍跟随区间，设定义域为[a ，b ]，值域为[3a ，3b ]， 当a ＜b ≤1时，易得函数在定义域上单调递增，则a ，b 是方程−12x 2+x =3x 的两个不相等的实数根，解得x ＝0或﹣4， 故存在定义域为[﹣4，0]使得值域为[﹣12，0]，D 正确， 故选：ACD ．【变式8-1】（2021春•越秀区校级期中）一般地，若f （x ）的定义域为[a ，b ]，值域为[λa ，λb ]，则称[a ，b ]为f （x ）的“λ倍跟随区间”；特别地，若f （x ）的定义域为[a ，b ]，值域也为[a ，b ]，则称[a ，b ]为f （x ）的“跟随区间”．（1）若[1，b ]为f （x ）＝x 2﹣2x +2的跟随区间，则b ＝ ．（2）若函数f （x ）＝m −√x +1存在跟随区间，则m 的取值范围是 ． 【解题思路】（1）结合f （x ）＝x 2﹣2x +2图象和跟随区间定义可解此问题；（2）根据跟随区间定义与函数f （x ）＝m −√x +1是在[﹣1，+∞）上是减函数可解此问题．【解答过程】解：（1）∵[1，b ]为f （x ）＝x 2﹣2x +2的跟随区间，∴函数值域为[1，b ]．∵二次函数f （x ）＝x 2﹣2x +2的对称轴方程为：x ＝1，∴函数f （x ）在[1，b ]上单调递增．∴{f(b)=b 2−2b +2=bb ＞1f(1)=12−2×1+2=1，解得：b ＝2，故b 的值为2；（2）设跟随区间为：[a ，b ]．∵函数f （x ）＝m −√x +1的定义域为：[﹣1，+∞），∴﹣1≤a ＜b ． ∵函数f （x ）＝m −√x +1是定义域上的减函数且定义域、值域都是[a ，b ]， ∴{f(b)=m −√b +1=af(a)=m −√a +1=b，∴√b +1−√a +1=b −a ，∴√b +1−√a +1=b −a =＝（b +1）﹣（a +1）＝（√b +1−√a +1）（√b +1+√a +1），又∵√b +1＞√a +1， ∴√b +1+√a +1=1，∴√b +1=1−√a +1，代入m −√b +1=a 得：m ＝a +1−√a +1，同理：m ＝b +1−√b +1，∴可令m ＝t 2﹣t （0≤t ≤1），∴方程m ＝t 2﹣t 在0≤t ≤1范围内有两个不等实根，∴函数y ＝m 与函数y ＝t 2﹣t （0≤t ≤1）有两个交点，又∵函数y ＝t 2﹣t （0≤t ≤1）的值域[−14，0]， ∴由二者图象可知：m ∈（−14，0]．故答案为：（−14，0]，【变式8-2】（2021春•宝山区校级期末）设函数y ＝f （x ）的定义域为D ，对于非空集合Y ⊆R ，称集合{x |f （x ）∈Y ，x ∈D }为集合Y 的原像集，记作f ﹣1（Y ），设f （x ）＝2sin （ωx +2π3），x ∈[0，π]，其中ω为实常数，且ω＞0，若函数y ＝f （x ）在集合f ﹣1（[0，2]）的值域恰为闭区间[0，2]，则ω的取值范围是 ．【解题思路】由所给的信息可得函数f （x ）的值域，由函数f （x ）的定义域，求出ωx +23π的范围，进而求出ω的范围．【解答过程】解：因为x ∈[0，π]，所以ωx +23π∈[23π，ωπ+23π]，令t ＝ωx +23π∈[23π，ωπ+23π]，所以y ＝2sin t ，t ∈[23π，ωπ+23π]，因为f ﹣1（[0，2]）的值域恰为闭区间[0，2]，所以f ﹣1（[0，2]）＝{x |f （x ）∈[0，2]，x ∈R }，所以2sin t ∈[0，2]，因为t ＝ωπ+23π≥2π+π2，所以可得ω≥116， 故答案为：[116，+∞）．【变式8-3】（2021•青羊区校级模拟）函数f （x ）的定义域为D ，若满足： （1）f （x ）在D 内是单调函数；（2）存在[m 2，n 2]⊆D ，使得f （x ）在[m 2，n 2]上的值域为[m ，n ]，那么就称函数f （x ）为“梦想函数”． 若函数f(x)=log a (a x +t)(a ＞0，a ≠1)是“梦想函数”，则t 的取值范围是 ．【解题思路】根据复合函数单调性的关系先判断函数f （x ）是单调递增函数，然后根据值域关系建立方程，然后转化为方程根的个数问题即可．【解答过程】解：（1）设u （x ）＝a x +t ，则y ＝log a u ，当a ＞1时，u （x ）＝a x +t 为增函数，y ＝log a u 也是增函数，则y ＝log a （a x +t ）为增函数， 当0＜a ＜1时，u （x ）＝a x +t 为减函数，y ＝log a u 也是减函数，则y ＝log a （a x +t ）为增函数， 综上可得：y ＝log a （a x +t ）为增函数，即f （x ）在D 内是单调函数． （2）∵f （x ）是单调递增函数，∴若f （x ）＝log a （a x +t ）为“梦想函数”， 则有{f(m2)=log a (a m2+t)=m f(n2)=log a (a n 2+t)=n，即方程a x 2+t ＝a x 有两个不同的正数解，即可得（a x2）2﹣ax2−t＝0有两个不同的正数解，则有{△=1+4t＞0x1+x2=1＞0x1x2=−t＞0，即{t＞−14t＜0，可得−14＜t＜0，即t的取值范围为（−14，0），故答案为：（−14，0）．。
最全函数概念及基本性质知识点总结及经典例题
函数及基本性质一、函数的概念（1）设A 、B 是两个非空的数集，如果按照某种对应法则f ，对于集合A 中任何一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数()f x 和它对应，那么这样的对应（包括集合A ，B 以及A 到B 的对应法则f ）叫做集合A 到B 的一个函数，记作:f A B →．（2）函数的三要素:定义域、值域和对应法则．注意1：只有定义域相同，且对应法则也相同的两个函数才是同一函数 例1．判断下列各组中的两个函数是同一函数的为（ ）⑪3)5)(3(1+-+=x x x y ，52-=x y ；⑫111-+=x x y ，)1)(1(2-+=x x y ；⑬x x f =)(，2)(x x g =；⑭()f x =()F x =⑮21)52()(-=x x f ，52)(2-=x x f 。
A ．⑪、⑫B ．⑫、⑬ C ．⑭D ．⑬、⑮ 2：求函数的定义域时，一般遵循以下原则：①()f x 是整式时，定义域是全体实数．如：943)(2-+=x x x f ，R x ∈ ②()f x 是分式函数时，定义域是使分母不为零的一切实数．如：()635-=x x f ，2≠x ③()f x 是偶次根式时，定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合．如()1432+-=x x x f ，131><x x 或 ④对数函数的真数大于零0,log )(>=x x x f a ，当对数或指数函数的底数中含变量时，底数须大于零且不等于1。
如：()212()log 25f x x x =-+⑤tan y x =中，()2x k k Z ππ≠+∈．⑥零（负）指数幂的底数不能为零．如：2)32()(-+=x x f⑦若()f x 是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时，则其定义域一般是各基本初等函数的定义域的交集．如：)2(log 22x y --=⑧对于求复合函数定义域问题，一般步骤是：若已知()f x 的定义域为[,]a b ，其复合函数[()]f g x 的定义域应由不等式()a g x b ≤≤解出．如：()[]()x f x f 28,2，的定义域是的定义域为822≤≤x⑨对于含字母参数的函数，求其定义域，根据问题具体情况需对字母参数进行分类讨论．例：求函数()())1lg(lg x k x x f -+-=的定义域。
函数的定义域和值域知识题型总结(含答案)
函数得定义域与值域一、定义域:1。
函数得定义域就就是使函数式得集合、2。
常见得三种题型确定定义域：①已知函数得解析式，就就是、②复合函数f [g（ｘ)]得有关定义域,就要保证内函数g（x）得域就是外函数ｆ (x)得域、③实际应用问题得定义域,就就是要使得有意义得自变量得取值集合、二、值域：１。
函数y＝ｆ（x)中，与自变量x得值得集合、2．常见函数得值域求法,就就是优先考虑，取决于 ,常用得方法有：①观察法;②配方法;③反函数法；④不等式法；⑤单调性法；⑥数形法;⑦判别式法；⑧有界性法;⑨换元法（又分为法与法)例如:①形如y＝,可采用法;②y＝,可采用法或法;③y=a［f（x）］2＋ｂf (x)＋ｃ,可采用法;④y=ｘ－，可采用法；⑤y＝x－,可采用法;⑥y=可采用法等、典型例题例１、求下列函数得定义域：(１）ｙ＝；（2)y=; （3）y＝、解:（1)由题意得化简得即故函数得定义域为｛x|x〈0且x≠—１}、（2)由题意可得解得故函数得定义域为｛ｘ|—≤x≤且x≠±｝、（3）要使函数有意义，必须有即∴x≥１,故函数得定义域为［１，+∞）、变式训练1：求下列函数得定义域:（1）ｙ=+(x—1）0 ; （2)y=+(５x－4)０； (３)y=+lgcosx;解:（1）由得所以－３〈x〈2且x≠１、故所求函数得定义域为（—3,1）∪（１，２)、（2）由得∴函数得定义域为（３)由,得借助于数轴，解这个不等式组,得函数得定义域为例2、设函数ｙ＝f（x）得定义域为[0，1］，求下列函数得定义域、(1)y=f（3x）； (2）y=f(）;(３)y=f(； (４)ｙ=f（x+a)+f(x－a)、解：（1)０≤3x≤1，故0≤ｘ≤,ｙ=f（3x)得定义域为［0, ］、（2）仿(１）解得定义域为[1，+∞)、(3）由条件,y得定义域就是f与定义域得交集、列出不等式组故ｙ＝f得定义域为、(4）由条件得讨论:①当即０≤a≤时,定义域为[a，1—a］；②当即－≤ａ≤0时，定义域为［-a,1＋ａ］、综上所述：当0≤a≤时,定义域为［a,1－a］;当—≤a≤0时,定义域为［—a，１+ａ］、（0<a＜）得定义域就是（ ) 变式训练2:若函数f（x）得定义域就是［0，1］,则f(x+a)·f（ｘ—a）A、 B、[ａ，１—a］ C、［—a,１+a]D、［0,1］解: B例3、求下列函数得值域：（1)y= (２)y＝x—；（３)y＝、解：(1)方法一（配方法)∵y=1—而∴0〈∴∴值域为、方法二 (判别式法）由y=得(ｙ-1）∵ｙ=1时，1、又∵R,∴必须＝(1-y）2—4y（y-１）≥0、∴∵∴函数得值域为、（2)方法一（单调性法）定义域，函数y=x,y＝-均在上递增,故y≤∴函数得值域为、方法二 (换元法）令=ｔ，则ｔ≥0，且x=∴y=－（t+1)2+1≤(t≥０），∴y∈(—∞，]、（3）由ｙ=得，ｅx=∵ｅx＞０,即＞0，解得－1＜y＜1、∴函数得值域为{y|—1〈y〈1}、变式训练3：求下列函数得值域：(1）y＝; (２）y=｜x|、解：(１）（分离常数法）y=-，∵≠0,∴y≠-、故函数得值域就是｛y｜ｙ∈Ｒ,且ｙ≠-｝、(２)方法一（换元法）∵１－x2≥0,令ｘ=sin,则有y＝｜ｓincｏs|＝｜sｉn２|,故函数值域为［０,］、方法二y=|x|·∴0≤y≤即函数得值域为、例4.若函数f(x）=ｘ2-x＋a得定义域与值域均为［1，b](b＞1）,求ａ、ｂ得值、解：∵f（x)＝（x－1）2＋a-、∴其对称轴为ｘ=1,即［1,b］为f（x)得单调递增区间、∴f(x）min=f(1）=a—=１①f（x)ｍax=f（b)=b２—b+a=b ②由①②解得变式训练4：已知函数f（x）=x2—4ax+2a+６（x∈R)、(1)求函数得值域为［0,＋∞）时得a得值;(2）若函数得值均为非负值，求函数ｆ(a）=2—ａ|a+3|得值域、解：（１)∵函数得值域为［0,+∞),∴Δ=1６a2—４（2ａ＋６)＝02ａ2－a－3=0∴a=-1或a ＝、(２)对一切x∈R，函数值均非负，∴Δ=8（2a2-a－3)≤0-1≤a≤,∴a+３＞０，∴f(a）＝２-a(a+3）=－a2－3a+2＝－(a+)2+（a）、∵二次函数f(a）在上单调递减，∴ｆ（a)min=f＝—，f(a)max=f（-1)=4，∴f（a）得值域为、小结归纳１。
第二讲：函数的定义域与值域
第二讲：函数的定义域与值域一．知识梳理1. 函数的定义域(1) 函数的定义域是构成函数的非常重要的部分,若没有标明定义域,则认为定义域是使得函数解析式有意义的x的取值范围.(2) 分式中分母应不等于0;偶次根式中被开方数应为非负数,奇次根式中被开方数为一切实数;零指数幂中底数不等于0,负分数指数幂中底数应不等于0.(3) 对数式中,真数必须大于0,底数必须大于0且不等于1,含有三角函数的角要使该三角函数有意义等.(4) 实际问题中还需考虑自变量的实际意义,若解析式由几个部分组成,则定义域为各个部分相应集合的交集.2. 求函数值域主要的几种方法(1) 函数的定义域与对应法则直接制约着函数的值域,对于一些比较简单的函数可直接通过观察法求得值域.(2) 二次函数或可转化为二次函数形式的问题,常用配方法求值域.(3) 分子、分母是一次函数或二次齐次式的有理函数常用分离变量法求值域;分子、分母中含有二次项的有理函数,常用判别式法求值域(主要适用于定义域为R的函数).(4) 单调函数常根据函数的单调性求得值域.(5) 很多函数可拆配成基本不等式的形式,利用基本不等式求值域.(6) 有些函数具有明显的几何意义,可根据几何意义的方法求值域.(7) 只要是能求导数的函数常可用导数的方法求值域.（8）利用有界函数求值域3.分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集,其值域等于各段函数的值域的并集,分段函数虽由几个部分组成,但它表示的是一个函数.二．考点突破1.已知解析式求定义域例1：函数f(x)=lg(2x-1)+(3-2x)0的定义域是.变式练习：1.函数y=log2(x-3)的定义域为.2. 设全集为R,函数f(x)=的定义域为M,则∁RM=.3.函数f(x)=+1x4+的定义域为.4.函数f(x)=3(3x-1)的定义域为.5.已知函数f(x)的定义域为(-1,0),则函数f(2x+1)的定义域为6.已知函数f(2x)的定义域为[-1,1],则f(x)的定义域为.2.求函数的值域例2：求下列函数的值域:(1) y=3x2-x+2,x∈[1,3]; (2) y=3x1x-2+；（4）281xyx+=-（5）12log,1()2,1xx xf xx≥⎧⎪=⎨⎪<⎩（6）y=；2()23f xx=+变式练习：1.函数f(x)=x2-2x的定义域为,值域为.2.已知一个函数的解析式为f(x)=2x+1,它的值域为{-1,2,5,8},则它的定义域为.3.函数y=-x(x≥0)的最大值为.4. 已知y=f(x)的图象如图所示,那么f(x)的定义域为, 值域为.5. 函数221x xyx x-=-+的值域为.6. 函数sin2cosxyx=-的值域为.3.结合函数的定义域求参数的值或范围例3：如果函数y=R,求实数m的取值范围.变式：若函数f(x)= R,则实数a的取值范围为.4.结合函数的值域求参数的值或范围例4：若函数f(x)=2ax 1x c ++(c>0)的值域为[-1,5],求实数a,c 的值.变式1.已知函数f(x)=12(x-1)2+1的定义域和值域均为[1,b](b>1),求实数b 的值.2.已知22()x x a f x x++= ,x ∈[1,+∞). (1)当a=12时,求函数f(x)的最小值. (2)若对任意x ∈[1,+∞),f(x)>0恒成立,试求实数a 的取值范围.当堂检测1. (2014·芜湖模拟)函数x 的取值范围是 .2. 函数f(x)=的定义域为 .3. 已知函数y=R ,那么实数m 的取值范围为 .4. (2014·河北模拟)已知函数那么f(x)的定义域为 .5.设2(),1()1,1x a x f x x a x x ⎧-≤⎪=⎨++<⎪⎩若()(0)f x f ≥求a 的取值范围为课后练习（函数的定义域与值域）一、填空题1. 函数f(x)=2. 函数y=ln(1-x)的定义域为 .3. 若函数y=2x-1的定义域是(-∞,1)∪[2,5),则其值域为 .4. (2014·肇庆模拟)函数的定义域为 . 5. (2014·南京、盐城二模)函数的定义域为 .6. y=(-6≤a ≤3)的最大值为 .7. (2014·广州模拟)若函数R ,则实数a 的取值范围是 .8. 已知函数y=[0,+∞),那么实数m 的取值范围是 .二、解答题9. (2014·江苏模拟)求下列函数的定义域:(1) y=x-1+(x+2)0; (2) y=12-|x|10. (2014·镇江中学)已知函数f(x)=x 2-4ax+2a+6(a ∈R ).(1) 若函数f(x)的值域为[0,+∞),求a 的值;(2) 若函数f(x)的值域为非负数,求函数g(a)=2-a|a+3|的值域.11. 已知函数f(x)=2ax ax-3+的定义域是R ,求实数a 的取值范围.函数的定义域与值域1.1-,2∞⎛⎫⎪⎝⎭ 2. [0,1) 3. (-∞,0)∪1,22⎛⎤⎥⎝⎦解析:因为x<1或2≤x<5,所以x-1<0或1≤x-1<4,所以2x-1<0或12<2x-1≤2,即y<0或12<y≤2. 4. (-∞,-3]∪[1,+∞)解析:x2+2x-3≥0x≤-3或x≥1.5. (0,1] 解析:由题意得x0,1-x0,>⎧⎨≥⎩解得0<x≤1,故函数f(x)的定义域为(0,1].6. 92 7. [-2,2] 解析:由题意得Δ=a2-4≤0,得-2≤a≤2.8. [4,+∞) 解析:由题意得2m0,Δm-4m0,>⎧⎨=≥⎩所以m≥4.9. (1) 因为24-x0,x-10,x20⎧≥⎪≠⎨⎪+≠⎩-2x2,x1,x-2≤≤⎧⎪≠⎨⎪≠⎩ -2<x<1或1<x≤2,所以原函数的定义域为(-2,1)∪(1,2].(2) 由题意得22-|x|0,x-10,≠⎧⎨≥⎩解得x≤-1且x≠-2或x≥1且x≠2,所以原函数的定义域为(-∞,-2)∪(-2,-1]∪[1,2)∪(2,+∞).10. (1) 因为函数f(x)的值域为[0,+∞),所以Δ=16a2-4(2a+6)=0,所以2a2-a-3=0,所以a=-1或a=32.(2) 因为对一切x∈R,函数值均为非负数,所以Δ=16a2-4(2a+6)=8(2a2-a-3)≤0,所以-1≤a≤32.所以a+3>0,所以g(a)=2-a|a+3|=-a2-3a+2=-3a2⎛⎫+⎪⎝⎭2+174,a∈3-1,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦.因为二次函数g(a)在3-1,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减,所以g32⎛⎫⎪⎝⎭≤g(a)≤g(-1),即-194≤g(a)≤4.所以g(a)的值域为19-,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦.11. 由题意得a=0或2a0,Δa-4a(-3)0,≠⎧⎨=⨯<⎩解得-12<a≤0,即实数a的取值范围是(-12,0].。
函数的定义域解析式与值域(精)
专题二：函数的解析式、定义域与值域一．知识结构1．函数的定义域 ；函数的定义域基本分为自然定义域和限制定义域；自然定义域是指 ；限制定义域是指 ；2．如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的，那么它的定义域是各个基本函数的定义的 （填“交集”或“并集”）3．复合函数的定义 对于复合函数 y=f[g(x)]，应先由 y=f(u) 有意义的条件确定 u 的取值范围，再由 u 的范围来确定 u=g(x) 中 x 的范围，即为复合函数 y=f[g(x)] 的定义域．4．函数的值域重点关注基本初等函数的性质。
二．题型选编题组一：求函数的解析式（要注意对定义域的要求）1．（１）已知函数)()()(x g x f x +=ϕ，其中)(x f 是x 的正比例函数，)(x g 是x 的反比例函数，且满足16)31(,8)1(==ϕϕ，求)(x ϕ的表达式． （２）已知函数)(x f 是一次函数，且有12))((+=x x f f ，求函数解析式．2．已知对于任意R x ∈，都有x x f x f =-+)(3)(，求函数)(x f 的解析式；3．已知函数)(x f 是二次函数，且对称轴是2=x ，函数图像还经过（0，1）、（2，-3）两点，求函数解析式．4．如下图，在边长为4的正方形ABCD 上有一点P ，沿着折线BCDA 由B 点（起点）向A 点（终点）移动，设P 点移动的路程为x ，△ABP 的面积为y =f （x ）.（1）求△ABP 的面积与P 移动的路程间的函数关系式；（2）作出函数的图象，并根据图象求y 的最大值．题组二：（求定义域时要注重运算,复合函数的定义域重在理解） 1．求下列函数的定义域（1）0||16)(x x x f +-=（2）14)(--=x x x f（3）)(x f =||)1(6502x x x x x +-++-2．函数)(x f 的定义域是[-1,1],求函数)1()1()(2x f x f x F -+-=的定义域； 3．已知函数)(x f 的定义域是(0,1],求函数)()()(a x f a x f x g -++=，(021≤<-a )的定义域.题组三：（有关值域的题目，要关注基本初等函数的性质）1．写出下列基本初等函数的值域（1）52+=x y 的值域为 ；52+=x y )31(≤<-x 的值域为 ；（2）x y =的值域为 ；（5）x y 1=的值域为 ； 2．函数12-=x y 的定义域为)5,2[)1,( -∞，则其值域是( ) A.]2,21()0,( -∞ B.(2,∞-) C.(21,∞-)),2[+∞ D.(0,+∞) 3．若函数a x y +-=2)1(21的定义域和值域都是[1,b],求a,b 的值 4．求函数|5||2|)(--+=x x x f 的值域题组四：（课后巩固，温故而知新，可以为师矣）1．有一块边长为a 的正方形铁皮，将其四个角各截去一个边长为x 小正方形，然后折成一个无盖的盒子，写出体积V 与x 的函数关系式．2．“依法纳税是每个公民应尽的义务”。
(精华)函数定义域与值域经典题型归纳总结讲义学生版(无答案)
<一>求函数定义域、值域方法和典型题归纳一、求函数定义域（一）求函数定义域的情形和方法总结1已知函数解析式时：只需要使得函数表达式中的所有式子有意义。
（1）常见情况简总：①表达式中出现分式时：分母一定满足不为0；②表达式中出现根号时：开奇次方时，根号下可以为任意实数；开偶次方时，根号下满足大于或等于0（非负数）。
③表达式中出现指数时：当指数为0时，底数一定不能为0. ④根号与分式结合，根号开偶次方在分母上时：根号下大于0.⑤表达式中出现指数函数形式时：底数含有x ，必须满足指数底数大于0且不等于1.（0<底数<1;底数>1）⑥表达式中出现对数函数形式时：自变量只出现在真数上时，只需满足真数上所有式子大于0，且式子本身有意义即可；自变量同时出现在底数和真数上时，要同时满足真数大于0，底数要大于0且不等于 1.（2()log (1)x f x x =-）注：（1）出现任何情形都是要注意，让所有的式子同时有意义，及最后求的是所有式子解集的交集。
（2）求定义域时，尽量不要对函数解析式进行变形，以免发生变化。
(形如：2()x f x x=) 练习1、求下列函数的定义域：⑴y =⑵y =⑶01(21)111y x x =+-++-2.抽象函数（没有解析式的函数） 解题的方法精髓是“换元法”，根据换元的思想，我们进行将括号为整体的换元思路解题，所以关键在于求括号整体的取值范围。
总结为： （1）给出了定义域就是给出了所给式子中x 的取值范围； （2）在同一个题中x 不是同一个x ；（3）只要对应关系f 不变，括号的取值范围不变。
（4）求抽象函数的定义域个关键在于求f(x)的取值范围，及括号的取值范围。
例1：已知f(x+1)的定义域为[-1,1]，求f （2x-1）的定义域。
练习2、设函数()f x 的定义域为[01]，，则函数2()f x 的定义域为__________；函数2)f 的定义域为_________；3、若函数(1)f x +的定义域为[23]-，，则函数(21)f x -的定义域是 ；函数1(2)f x+的定义域为 。
初中数学知识归纳函数的定义域与值域分析
初中数学知识归纳函数的定义域与值域分析函数是数学中一个重要的概念，它描述了两个变量之间的依赖关系。
在函数的研究中，定义域和值域是两个关键的概念。
在本文中，我们将对初中数学中函数的定义域和值域进行归纳和分析。
一、函数的定义域函数的定义域是指能够使函数有意义的自变量的取值范围。
在初中数学中，通常涉及的函数主要有代数函数、三角函数等。
1. 代数函数的定义域代数函数一般具有形如y = f(x)的表达式，定义域的确定需要考虑到这个函数在实数范围内的合法性。
比如，对于一个一次函数y = ax + b，由于实数范围内任意的x值都能使函数有意义，所以定义域为全体实数。
而对于一个分式函数y = f(x)/g(x)，需要考虑到分母g(x)不能为0的情况，因此定义域需要满足g(x)≠0的条件。
解这个不等式可以得到定义域的具体取值范围。
2. 三角函数的定义域三角函数主要包括正弦函数、余弦函数等。
这些函数的定义域需要考虑到弧度的范围。
一般而言，正弦函数和余弦函数的定义域为全体实数，而正切函数的定义域为所有不是π/2+nπ，其中n为整数。
二、函数的值域函数的值域是指函数在定义域内所有可能的输出值的集合。
在初中数学中，对于一些简单的函数，可以通过观察函数的性质来确定值域。
1. 一次函数的值域对于一次函数y = ax + b来说，由于函数是一个线性函数，因此其值域是全体实数。
可以通过观察斜率的正负来判断函数的值域的区间。
2. 平方函数的值域平方函数是一种二次函数，其一般形式为y = ax^2 + bx + c。
我们知道a的取值决定了抛物线的开口方向，如果a>0，则抛物线开口向上，值域为[0, +∞)；如果a<0，则抛物线开口向下，值域为(-∞, 0]。
3. 三角函数的值域对于正弦函数和余弦函数来说，它们的值域是[-1, 1]。
正切函数的值域是全体实数。
通过以上分析，我们可以看出函数的值域是由定义域和函数表达式的性质来决定的。
函数的定义域与值域 知识点与题型归纳
了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域.★备考知考情定义域是函数的灵魂，高考中考查的定义域多以选择、填空形式出现，难度不大；有时也在解答题的某一小问当中进行考查；值域是定义域与对应法则的必然产物，值域的考查往往与最值联系在一起，三种题型都有，难度中等.一、知识梳理《名师一号》P13知识点一常见基本初等函数的定义域注意：1、研究函数问题必须遵循“定义域优先”的原则！！！2、定义域必须写成集合或区间的形式！！！(1)分式函数中分母不等于零(2)偶次根式函数被开方式大于或等于0(3)一次函数、二次函数的定义域均为R(4)y＝a x(a＞0且a≠1)，y＝sin x，y＝cos x的定义域均为R(5)y＝log a x(a＞0且a≠1)的定义域为(0，＋∞)(6)函数f(x)＝x0的定义域为{x|x≠0}.. (7)实际问题中的函数定义域，除了使函数的解析式有意 义外，还要考虑实际问题对函数自变量的制约. （补充）三角函数中的正切函数y ＝tan x 定义域为{|,,}2∈≠+∈x x R x k k Z ππ 如果函数是由几个部分的数学式子构成的，那么函数的定义域是使各部分式子都有意义的实数集合．知识点二 基本初等函数的值域注意：值域必须写成集合或区间的形式！！！(1)y ＝kx ＋b (k ≠0)的值域是R .(2)y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的值域是：当a ＞0时，值域为{y |y ≥4ac －b 24a}； 当a ＜0时，值域为{y |y ≤4ac －b 24a} (3)y ＝k x (k ≠0)的值域是{y |y ≠0}(4)y ＝a x (a ＞0且a ≠1)的值域是{y |y ＞0}(5)y ＝log a x (a ＞0且a ≠1)的值域是R .（补充）三角函数中正弦函数y ＝sin x ，余弦函数y ＝cos x 的值域均为[]1,1- 正切函数y ＝tan x 值域为R. 《名师一号》P15 知识点二函数的最值注意：《名师一号》P16 问题探究 问题3函数最值与函数值域有何关系？函数的最小值与最大值分别是函数值域中的最小元素与最大元素；任何一个函数，其值域必定存在，但其最值不一定存在．1、温故知新P11 知识辨析1（2）函数21=+x y x 的值域为11,,22⎛⎫⎛⎫-∞+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（ ）答案：正确2、温故知新P11 第4题.函数(]()1122,,222,,2--⎧-∈-∞⎪=⎨-∈-∞⎪⎩x x x y x 的值域为（ ） 3.,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭A ().,0-∞B 3.,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭C (].2,0-D答案：D注意：牢记基本函数的值域3、温故知新P11 第6题函数()=y f x 的值域是[]1,3，则函数()()123=-+F x f x 的值域是（ ）[].5,1--A [].2,0-B [].6,2--C [].1,3D答案：A注意：图像左右平移没有改变函数的值域二、例题分析：（一)函数的定义域1．据解析式求定义域例1. （1）《名师一号》P13 对点自测1.(2014·山东) 函数()=f x 为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 B ．(2，＋∞) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12∪(2，＋∞) D.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12∪[2，＋∞)解析 要使函数有意义，应有(log 2x )2>1，且x >0， 即log 2x >1或log 2x <－1，解得x >2或0<x <12. 所以函数f (x )的定义域为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12∪(2，＋∞)． 例1. （2）《名师一号》P14 高频考点 例1（1）函数f (x )＝1－2x ＋1x ＋3的定义域为( ) A ．(－3,0] B ．(－3,1]C ．(－∞，－3)∪(－3,0]D ．(－∞，－3)∪(－3,1].解析：由题意得⎩⎨⎧1－2x ≥0，x ＋3>0，解得－3<x ≤0.注意：《名师一号》P14 高频考点 例1 规律方法（1） 求函数的定义域，其实质就是以函数解析式所含运算有意义为准则，列出不等式或不等式组，然后求出它们的解集． 函数的定义域一定要用集合或区间表示例2. (补充)若函数2()lg(21)f x ax x =++的定义域为R则实数a 的取值范围是 ；答案：()1,+∞变式：2()lg(21)=++f x ax ax ?练习：(补充) 若函数27()43kx f x kx kx +=++的定义域为R.则实数k 的取值范围是 ；答案：30,4⎡⎫⎪⎢⎣⎭2．求复合函数的定义域例3.（1）《名师一号》P14 高频考点 例1（2）(2015·北京模拟)已知函数y ＝f (x )的定义域为[0,4]，则函数y ＝f (2x )－ln(x －1)的定义域为( )A ．[1,2]B ．(1,2]C ．[1,8]D ．(1,8]解析：由已知函数y ＝f (x )的定义域为[0,4]．则使函数y ＝f (2x )－ln(x －1)有意义，需⎩⎨⎧ 0≤2x ≤4，x －1>0，解得1<x ≤2，所以定义域为(1,2]．例3. （2）《名师一号》P13 对点自测2已知函数f (x )＝1x ＋1，则函数f (f (x ))的定义域是( ) A ．{x |x ≠－1} B ．{x |x ≠－2}C ．{x |x ≠－1且x ≠－2}D ．{x |x ≠－1或x ≠－2}.解析 ⎩⎪⎨⎪⎧ x ≠－1，1x ＋1＋1≠0，解得x ≠－1且x ≠－2.注意：《名师一号》P14 高频考点 例1 规律方法（2） （P13 问题探究 问题1 类型二）已知f (x )的定义域是[a ，b ]，求f [g (x )]的定义域， 是指满足a ≤g (x )≤b 的x 的取值范围，而已知f [g (x )]的定义域是[a ，b ]，指的是x ∈[a ，b ]．例4．(补充)已知2(1)f x +的定义域是[]0,1，求()f x 的定义域。
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了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域.
★备考知考情
定义域是函数的灵魂，高考中考查的定义域多以选择、填空形式出现，难度不大；有时也在解答题的某一小问当中进行考查；值域是定义域与对应法则的必然产物，值域的考查往往与最值联系在一起，三种题型都有，难度中等.
一、知识梳理《名师一号》P13
知识点一常见基本初等函数的定义域
注意：
1、研究函数问题必须遵循“定义域优先”的原则！！！
2、定义域必须写成集合或区间的形式！！！
(1)分式函数中分母不等于零
(2)偶次根式函数被开方式大于或等于0
(3)一次函数、二次函数的定义域均为R
(4)y＝a x(a＞0且a≠1)，y＝sin x，y＝cos x的定义域均为R
(5)y＝log a x(a＞0且a≠1)的定义域为(0，＋∞)
(6)函数f(x)＝x0的定义域为{x|x≠0}
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部分内容来源于网络，有侵权请联系删除！ (7)实际问题中的函数定义域，除了使函数的解析式有意 义外，还要考虑实际问题对函数自变量的制约. （补充）
三角函数中的正切函数y ＝tan x 定义域为
{|,,}2
∈≠+∈x x R x k k Z π
π 如果函数是由几个部分的数学式子构成的，
那么函数的定义域是使各部分式子都有意义的实数集合．
知识点二 基本初等函数的值域
注意：
值域必须写成集合或区间的形式！！！
(1)y ＝kx ＋b (k ≠0)的值域是R .
(2)y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的值域是：
当a ＞0时，值域为{y |y ≥4ac －b 2
4a
}； 当a ＜0时，值域为{y |y ≤4ac －b 2
4a
} (3)y ＝k x (k ≠0)的值域是{y |y ≠0}
(4)y ＝a x (a ＞0且a ≠1)的值域是{y |y ＞0}
(5)y ＝log a x (a ＞0且a ≠1)的值域是R .
（补充）三角函数中
正弦函数y ＝sin x ，余弦函数y ＝cos x 的值域均为[]1,1- 正切函数y ＝tan x 值域为R
部分内容来源于网络，有侵权请联系删除！ 《名师一号》P15 知识点二
函数的最值
注意：《名师一号》P16 问题探究 问题3
函数最值与函数值域有何关系？
函数的最小值与最大值分别是函数值域中的最小元素与最大元素；任何一个函数，其值域必定存在，但其最值不一定存在．
1、温故知新P11 知识辨析1（2）
函数21=+x y x 的值域为11,,22⎛⎫⎛⎫-∞+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
（ ）
答案：正确
2、温故知新P11 第4题
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函数(]()
1122,,222,,2--⎧-∈-∞⎪=⎨-∈-∞⎪⎩x x x y x 的值域为（ ） 3.,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭A ().,0-∞B 3.,2⎛⎫-∞- ⎪⎝
⎭C (].2,0-D
答案：D
注意：牢记基本函数的值域
3、温故知新P11 第6题
函数()=y f x 的值域是[]1,3，则函数()()123=-+F x f x 的值域是（ ）
[].5,1--A [].2,0-B [].6,2--C [].1,3D
答案：A
注意：图像左右平移没有改变函数的值域
二、例题分析：
（一)函数的定义域
1．据解析式求定义域
例1. （1）《名师一号》P13 对点自测1
部分内容来源于网络，有侵权请联系删除！ (2014·山东) 函数()
=f x 为( )
A.⎝ ⎛⎭
⎪⎫0，12 B ．(2，＋∞) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12∪(2，＋∞) D.⎝ ⎛⎦
⎥⎤0，12∪[2，＋∞)
解析 要使函数有意义，应有(log 2x )2>1，且x >0， 即log 2x >1或log 2x <－1，
解得x >2或0<x <12
. 所以函数f (x )的定义域为⎝ ⎛⎭
⎪⎫0，12∪(2，＋∞)． 例1. （2）《名师一号》P14 高频考点 例1（1）
函数f (x )＝1－2x ＋1x ＋3
的定义域为( ) A ．(－3,0] B ．(－3,1]
C ．(－∞，－3)∪(－3,0]
D ．(－∞，－3)∪(－3,1]。