导数中求参数的取值范围

导数中求参数的取值范围

求参数取值范围的方法

1.分离参数，恒成立转化为最值问题

2.分离参数，结合零点和单调性解不等式

3.将参数分成若干个区间讨论是否满足题意 1已知函数

()-x f x e ax

=（a R ∈，e 为自然对数的底数）．

（Ⅰ）讨论函数()

f x 的单调性；

（Ⅱ）若1a =，函数()()()2x g x x m f x e x x =--++在()2,+∞上为增函数，求实数m 的取值范围． 解：（Ⅰ）函数()

f x 的定义域为R ，()x f x e a

'=-．

当0a ≤时，

()0f x '>，∴

()

f x 在R 上为增函数；

当0a >时，由()0f x '=得ln x a =，

当(),ln x a ∈-∞时，()0f x '<，∴函数()f x 在(),ln a -∞上为减函数， 当

()

ln ,x a ∈+∞时，

()0

f x '>，∴函数

()

f x 在(

)

ln ,a +∞上为增函数……4分

（Ⅱ）当1a =时，

()()()2x x g x x m e x e x x

=---++，

∵

()

g x 在()2,+∞上为增函数；∴()10x x g x xe me m '=-++≥在()2,+∞上恒成

立，即

1

1x x

xe m e +≤-在()2,+∞上恒成立， …………………………6分 令

()11x x

xe h x e +=-，()2,x ∈+∞，则()()()

2

2

21x x x

x

e xe e h x e

--'==

-()

()

2

21x x x

e e x e

---，

令()2x L x e x =--，

()10

x L x e '=->在(

)

2,+∞上恒成立，

即

()2

x L x e x =--在()2,+∞上为增函数，即()()2240L x L e >=->，

∴()0h x '>，即()11x x xe h x e +=-在()2,+∞上为增函数，∴

()()22

21

21e h x h e +>=-， ∴22

21

1e m e +≤-，所以实数m 的取值范围是

2221,1e e ⎛⎤+-∞ ⎥-⎝⎦． ………………12分

2．(2016·全国甲卷)已知函数f(x)＝(x＋1)ln x－a(x－1)．

(1)当a＝4时，求曲线y＝f(x)在(1，f(1))处的切线方程；

(2)若当x∈(1，＋∞)时，f(x)＞0，求a的取值范围．解：(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)．

当a＝4时，f(x)＝(x＋1)ln x－4(x－1)，

f(1)＝0，f′(x)＝ln x＋1

x

－3，f′(1)＝－2.

故曲线y＝f(x)在(1，f(1))处的切线方程为2x＋y－2＝0.

(2)当x∈(1，＋∞)时，f(x)＞0等价于ln x－a(x－1)

x＋1＞0.

设g(x)＝ln x－a(x－1) x＋1，

则g′(x)＝1

x

－

2a

(x＋1)2＝

x2＋2(1－a)x＋1

x(x＋1)2，g(1)＝0.

①当a≤2，x∈(1，＋∞)时，x2＋2(1－a)x＋1≥x2－2x＋1＞0，故g′(x)＞0，g(x)在(1，＋∞)上单调递增，因此g(x)＞0；

②当a＞2时，令g′(x)＝0得x1＝a－1－(a－1)2－1，x2＝a－1＋

(a－1)2－1.

由x2＞1和x1x2＝1得x1＜1，故当x∈(1，x2)时，g′(x)＜0，g(x)在(1，x2)上

单调递减，因此g(x)＜0.

综上，a的取值范围是(－∞，2]．

3．(2016·全国乙卷)已知函数f(x)＝(x－2)e x＋a(x－1)2有两个零点．

(1)求a的取值范围；

(2)设x1，x2是f(x)的两个零点，证明：x1＋x2<2.

解：(1)f′(x)＝(x－1)e x＋2a(x－1)＝(x－1)(e x＋2a)．

①设a＝0，则f(x)＝(x－2)e x，f(x)只有一个零点．

②设a>0，则当x∈(－∞，1)时，f′(x)<0；

当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0，

所以f(x)在(－∞，1)内单调递减，在(1，＋∞)内单调递增．

又f (1)＝－e ，f (2)＝a ，取b 满足b <0且b

2，

则f (b )>a 2(b －2)＋a (b －1)2＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎪

⎫b2－32b >0，

故f (x )存在两个零点．

③设a <0，由f ′(x )＝0得x ＝1或x ＝ln(－2a )． 若a ≥－e

2，则ln(－2a )≤1，

故当x ∈(1，＋∞)时，

f ′(x )>0，因此f (x )在(1，＋∞)内单调递增． 又当x ≤1时，f (x )<0，所以f (x )不存在两个零点． 若a <－e 2

，则ln(－2a )>1，

故当x ∈(1，ln(－2a ))时，f ′(x )<0； 当x ∈(ln(－2a )，＋∞)时，f ′(x )>0.

因此f (x )在(1，ln(－2a ))内单调递减，在(ln(－2a )，＋∞)内单调递增． 又当x ≤1时，f (x )<0，所以f (x )不存在两个零点． 综上，a 的取值范围为(0，＋∞)．

(2)证明：不妨设x 1

所以x 1＋x 2<2等价于f (x 1)>f (2－x 2)，即f (2－x 2)<0. 由于f (2－x 2)＝－x 2e2－x 2＋a (x 2－1)2， 而f (x 2)＝(x 2－2)e x 2＋a (x 2－1)2＝0， 所以f (2－x 2)＝－x 2e2－x 2－(x 2－2)e x 2. 设g (x )＝－x e 2－x －(x －2)e x ， 则g ′(x )＝(x －1)(e 2－x －e x )．

所以当x >1时，g ′(x )<0，而g (1)＝0， 故当x >1时，g (x )<0.

从而g (x 2)＝f (2－x 2)<0，故x 1＋x 2<2.