导数中求参数的取值范围
导数的应用——利用单调性求参数的取值范围
导数的应用——利用单调性求参数的取值范围在解题中，我们首先要确定参数的取值范围是有限的，也就是参数不能无限制地取值。
然后我们利用导数的单调性来排除一些不符合要求的取值范围，从而找到参数的合理取值范围。
为了更好地理解这个方法，我们来看一个具体的例子：问题：已知函数f(x) = ax^2 + bx + c，其中a > 0。
如果函数f(x)在定义域内是递增函数，求参数b的取值范围。
解答：首先，我们要明确函数f(x)是递增函数的定义：对于任意的x1<x2，有f(x1)<f(x2)。
我们可以通过求函数f(x)的导函数f'(x)来判断函数f(x)的单调性。
在本例中，函数f(x)的导函数为f'(x) = 2ax + b。
由于函数f(x)为递增函数，所以f'(x)应该大于0。
即对于任意的x，有f'(x)>0。
我们可以把f'(x) > 0看作是一个一次函数y = 2ax + b > 0的解。
这个一次函数的解为x < -b/2a。
也就是说，对于任意的x<-b/2a，有f'(x)>0。
这样一来，我们就可以得出结论，函数f(x)在x<-b/2a的区间上是递增函数。
但是我们并不能马上就得出参数b的取值范围是x<-b/2a。
因为函数f(x)的定义域可能不包含这个区间。
为了求出参数b的取值范围，我们需要进一步考虑函数f(x)的定义域。
对于函数f(x) = ax^2 + bx + c来说，它的定义域是所有实数集合R。
因此，对于任意实数x，函数f(x)都有定义。
由于我们已经确定了函数f(x)在x<-b/2a的区间上是递增函数，所以我们只需要确定使得这个区间包含在定义域内的参数b的取值范围即可。
如果我们假设b/2a为一个实数k，那么我们可以得出-x>k。
即对于任意的x>-k，函数f(x)是递增的。
然而，x的取值范围是所有实数，所以我们可以把任意实数k当作是b/2a。
利用导数求参数的取值范围
利用导数求参数的取值范围在微积分中，导数是用来描述一个函数在其中一点上的变化率的工具。
通过求导，我们可以研究函数的增减性、最值、拐点等性质。
而利用导数求参数的取值范围，我们主要关注函数的单调性和极值点，对于包含参数的函数，我们可以利用导数来研究参数的取值范围。
设函数$f(x)$为包含参数$a$的函数，我们的目标是求出参数$a$的取值范围，使得函数$f(x)$满足其中一特定条件。
下面将分别讨论求函数单调性和极值点的情况。
一、函数的单调性：1.1单调递增：要求函数$f(x)$在其中一区间上单调递增，即对于区间上的任意两个点$x_1$和$x_2$，若$x_1<x_2$，则$f(x_1)<f(x_2)$。
若函数$f(x)$在区间上是连续的并且可导的，其导函数$f'(x)$在该区间上恒大于零，则函数$f(x)$在该区间上是单调递增的。
因此，我们可以利用导数来求解参数$a$的取值范围，使得函数$f(x)$在其中一区间上单调递增。
具体步骤如下：1)求出函数$f(x)$的导函数$f'(x)$。
2)解方程$f'(x)>0$，求出与参数$a$有关的不等式。
3)解不等式，得到参数$a$的取值范围。
1.2单调递减：要求函数$f(x)$在其中一区间上单调递减，即对于区间上的任意两个点$x_1$和$x_2$，若$x_1<x_2$，则$f(x_1)>f(x_2)$。
若函数$f(x)$在区间上是连续的并且可导的，其导函数$f'(x)$在该区间上恒小于零，则函数$f(x)$在该区间上是单调递减的。
因此，我们可以利用导数来求解参数$a$的取值范围，使得函数$f(x)$在其中一区间上单调递减。
具体步骤如下：1)求出函数$f(x)$的导函数$f'(x)$。
2)解方程$f'(x)<0$，求出与参数$a$有关的不等式。
3)解不等式，得到参数$a$的取值范围。
导数中的求参数取值范围问题
帮你归纳总结(五〕：导数中的求参数取值范围问题 一、常见基此题型：〔1〕函数单调性，求参数的取值范围，如函数()f x 增区间，那么在此区间上 导函数()0f x '≥，如函数()f x 减区间，那么在此区间上导函数()0f x '≤。
〔2〕不等式恒成立，求参数的取值范围问题，可转化为求函数的最值问题。
例1.a ∈R ，函数2()()e x f x x ax -=-+.〔x ∈R ，e 为自然对数的底数〕〔1〕假设函数()(1,1)f x -在内单调递减，求a 的取值范围；〔2〕函数()f x 是否为R 上的单调函数，假设是，求出a 的取值范围；假设不是，请说明 理由. 解： 〔1〕2-()()e x f x x ax =-+-2-()(2)e ()(e )x x f x x a x ax '∴=-++-+-=2-(2)e x x a x a ⎡⎤-++⎣⎦.()()f x 要使在-1,1上单调递减， 那么()0f x '≤ 对(1,1)x ∈- 都成立， 2(2)0x a x a ∴-++≤ 对(1,1)x ∈-都成立. 令2()(2)g x x a x a =-++，那么(1)0,(1)0.g g -≤⎧⎨≤⎩1(2)01(2)0a a a a +++≤⎧∴⎨-++≤⎩, 32a ∴≤-.〔2〕①假设函数()f x 在R 上单调递减，那么()0f x '≤ 对x ∈R 都成立即2-(2)e 0xx a x a ⎡⎤-++≤⎣⎦对x ∈R 都成立.2e 0,(2)0x x a x a ->∴-++≤ 对x ∈R 都成立令2()(2)g x x a x a =-++，图象开口向上 ∴不可能对x ∈R 都成立②假设函数()f x 在R 上单调递减，那么()0f x '≥ 对x ∈R 都成立，即2-(2)e 0xx a x a ⎡⎤-++≥⎣⎦ 对x ∈R 都成立，e 0,x -> 2(2)0x a x a ∴-++≥ 对x ∈R 都成立. 22(2)440a a a ∆=+-=+>故函数()f x 不可能在R 上单调递增.综上可知，函数()f x 不可能是R 上的单调函数例2：函数()()ln 3f x a x ax a R =--∈,假设函数()y f x =的图像在点(2,(2))f 处的切线的倾斜角为45，对于任意[1,2]t ∈，函数()32/[()]2mg x x x f x =++在区间(,3)t 上总不是单调函数，求m 的取值范围；解： /(2)1,22af a =-==-由32/2()2ln 23()(2)2, ()3(4)22f x x x mg x x x x g x x m x ∴=-+-∴=++-=++- 令/()0g x =得，2(4)240m ∆=++>故/()0g x =两个根一正一负，即有且只有一个正根函数()32/[()]2mg x x x f x =++在区间(,3)t 上总不是单调函数 ∴/()0g x =在(,3)t 上有且只有实数根///(0)20,()0,(3)0g g t g =-<∴<>∴237, (4)233m m t t >-+<-故243m t t +<-，而23y t t =-∈在t [1,2]单调减， ∴9m <-，综合得3793m -<<-例3.函数14341ln )(-+-=xx x x f ． 〔Ⅰ〕求函数)(x f 的单调区间；〔Ⅱ〕设42)(2-+-=bx x x g ，假设对任意)2,0(1∈x ，[]2,12∈x ，不等式)()(21x g x f ≥ 恒成立，求实数b 的取值范围． 解：〔I 〕14341ln )(-+-=xx x x f 的定义域是(0,)+∞22243443411)(x x x x x x f --=--=' 由0>x 及0)(>'x f 得31<<x ；由0>x 及0)(<'x f 得310><<x x 或， 故函数)(x f 的单调递增区间是)3,1(；单调递减区间是),3(,)1,0(∞+ 〔II 〕假设对任意)2,0(1∈x ，[]2,12∈x ，不等式)()(21x g x f ≥恒成立， 问题等价于max min )()(x g x f ≥，由〔I 〕可知，在(0,2)上，1x =是函数极小值点，这个极小值是唯一的极值点，故也是最小值点，所以min 1()(1)2f x f ==-； []2()24,1,2g x x bx x =-+-∈当1b <时，max ()(1)25g x g b ==-； 当12b ≤≤时，2max ()()4g x g b b ==-； 当2b >时，max ()(2)48g x g b ==-；问题等价于11252b b <⎧⎪⎨-≥-⎪⎩ 或212142b b ≤≤⎧⎪⎨-≥-⎪⎩ 或21482b b >⎧⎪⎨-≥-⎪⎩解得1b <或12b ≤≤或 b ∈∅即2b ≤，所以实数b的取值范围是,⎛-∞ ⎝⎦。
导数专题(一)参数的取值范围
太原市新希望双语学校 钱大平
（一）、概述：求参数的取值范围是数学 中普遍存在的问题（如函数、解析几何、 向量等）。宏观地讲，求参数的取值范围， 就是通过寻求参数所满足的不等量关系 （特殊地也可以是等量关系，一般地是不 等式或不等式组）而得到参数的取值范围 （特殊地范围可以夹挤为一个常数，也可 以无解）。应用导数求参数的取值范围就 是在求范围的过程中，采用了导数的方法 和手段。这类问题有一定的特定数学背景 （首先是函数问题的大背景）。
（二）、预备知识：
一、恒成立、能成立问题的化归（参考《成功密 码》9月刊P14）
1、利用分离参数确定不等式 f ( x, a ) 0 ( x D, a为实参数） 恒成立中参数a的取值范围的基本步骤： （1）将参数与变量分离，即化为 g ( a ) 恒成立的形式
f ( x) (或g (a) f ( x)）
（2）求 f ( x)在x D 上的最大（或最小）值 （3）解不等式 g (a) f ( x) max (或g (a) f ( x) min ) ，得到a的取值范 围
例：已知两函数 f ( x) 8 x 2 16 x k , g ( x) 2 x 3 5 x 2 4 x ， 其中k为实数。 （1）对任意 x 3, 3 ，都有 f ( x) g ( x) 成立，求k的取 值范围； （2)存在 x 3, 3 ，使 f ( x) g ( x) 成立，求k的取值范围 （3）对 x1 , x2 3, 3 ，都有 f ( x1 ) g ( x2 ) ，求k的取值范 围；
二、参数满足的条件与参数取值范围的逻辑关系 （集合观点理解：即用充分条件得到的参数范围是 用充要条件得到的范围的子集，用必要条件得到的 参数范围含盖用充要条件得到的范围）
利用函数的单调性求参数的取值范围
利用函数的单调性求参数的取值范围函数的单调性是指在一定范围内，函数的增减性质的统一性。
对于有单调性的函数，可以通过研究函数的导数来判断参数的取值范围。
首先，我们来回顾一下导数的定义和性质。
对于函数f(x)，其导数可以表示为f'(x)，导数表示函数在其中一点的变化率。
导数的正负号可以告诉我们函数的单调性。
1.若在[a,b]上f'(x)≥0，则函数在[a,b]上为单调递增函数。
2.若在[a,b]上f'(x)≤0，则函数在[a,b]上为单调递减函数。
3.若在[a,b]上f'(x)>0，则函数在[a,b]上为严格递增函数。
4.若在[a,b]上f'(x)<0，则函数在[a,b]上为严格递减函数。
步骤1：确定函数的定义域，即参数的取值范围。
步骤2：求出函数的导函数。
步骤3：利用导函数的性质来判断函数的单调性。
步骤4：结合定义域和单调性判断，确定参数的取值范围。
步骤5：验证参数的取值范围是否符合要求。
下面我们通过具体例子来说明求解参数取值范围的方法。
例子：求函数f(x) = ax^2 + bx + c 在定义域上的参数a、b、c的取值范围。
步骤1：确定函数的定义域。
对于二次函数，其定义域是整个实数集R。
步骤2：求出函数的导函数。
对f(x)求导得到f'(x) = 2ax + b。
步骤3：利用f'(x)的性质来判断函数的单调性。
-若2a>0，则函数在整个定义域上递增。
-若2a<0，则函数在整个定义域上递减。
步骤4：结合定义域和单调性判断，确定参数的取值范围。
-若2a>0，则函数在整个定义域上递增，所以a>0。
-若2a<0，则函数在整个定义域上递减，所以a<0。
然后，我们可以根据b和c的取值范围来进一步限定a的取值范围。
当a>0时：根据二次函数的几何性质，对于抛物线开口朝上的情况，函数的最小值出现在顶点处，顶点的x坐标为 -b/2a，对应的y坐标为 c - b^2/4a。
如何利用导数求参数的取值范围
即
解 （） １得 解（） ２得
；＿ ：４ ≤’
口 １ 口 一詈 ， ≥ 或 ≤ 口 丢． ≤
≥４ ｌ ， — ２ 等价 于 Ｖ ， ２ Ｏ ＋∞ ） Ｊ Ｘ Ｉ １ Ｘ ∈（ ， ，
ｆ（ ２ ＋４ ２ ｆ ｘ ） ４ ｘ ） ｘ ≥ （ １＋ ｘ． （） ３
令 ｇ（ 一， ） ｘ， ） （ ＋４ 则
ａ
即当 ∈［ ，］ ， （ 为减 函数． 而 ， Ｘ Ｏ １ 时 ｇ ） 从 当 ∈［ ，］ ０ １ 时有 ｇ ） ｇ １ ， （ ） ． （ ∈［ （ ） ｇ Ｏ ７
又 ｇ １一 １ ２ （） — ａ一 ３ ， Ｏ 一 一 ２ 即 ａ ｇ（ ） 口，
１
在√ ，ｏ上 调 减从 等 （ ［ ＋。 单 递 ．不 式 ）
＜ ｏ ，
厂（ ≤ Ｘ 不成 立 ； ）
令 ｇ （ 一０ 得 —ｅ 一１ ） ， 一 ．
当口 ≥０时 ， ＾ ） ｘ （ ） 令 （ ＝ａ ｆ ｘ ＋厂（ ） ｚ 一
，
当 ｚ ｅ 一 １时 ， ｚ ＞ ０ ｇ ｚ 为 增 ＞ 一 ｇ（ ） ， （ ）
函数 ；
当一 １ ＜ ＜ ｅ－ — １时 ， ｚ ＜ ０ ｇ（ ｎ １ ｇ（ ） ， ） 为 减 函数 ．
又 因 为
当口 ≥０时， （ ） ０ 故 ， ） （ ， ／ ｚ＞ ， （ 在 ｏ
＋。 ） 。 上单 调递 增 ；
当ｎ ≤一１ ， ｚ ｄＯ 故 ， 在（ ， 时 ／（ ） ， （ ） Ｏ
＋ｏ ） 单调 递 减 ； 。上
ｆ（ ） 一虿 ｏ－ ７
，
，）一，丢一 ４ （一 ３（）一． １ ，
（ － ｘ） ２
２ ４
利用导数求参数的取值范围方法归纳
利用导数求参数的取值范围方法归纳导数是微积分中的重要概念，可以用于求函数的变化率、极值、最值等问题。
利用导数求参数的取值范围可以帮助我们找到函数的关键点、拐点以及定义域的范围等信息。
下面是一些常见的方法归纳。
求函数在处的导数：1.首先，计算函数的导数表达式。
2.将参数值代入导数表达式，得到函数在该处的导数。
3.根据导数值的正负来判断函数在该处的增减性。
求函数的关键点：1.通过导数求出函数的导数表达式。
2.设置函数的导数等于零的方程，并求解得到参数的取值。
3.将参数的取值代入原函数，得到关键点的横坐标。
4.进一步求得关键点的纵坐标，得到函数的关键点。
求函数的拐点：1.首先，求出函数的二阶导数表达式。
2.解出二阶导数等于零的方程，得到参数的取值。
3.将参数的取值代入原函数，求出拐点的横坐标。
4.进一步求得拐点的纵坐标，得到函数的拐点。
求函数的定义域范围：1.首先，确定函数的定义区间，并计算函数在该区间的导数。
2.判断导数的正负情况，以确定函数的单调性。
3.判断函数在定义区间的端点处是否存在极值。
若存在，则考虑边界条件。
4.根据以上分析，确定函数在定义区间的取值范围。
举例说明：1. 求函数 f(x) = ax^2 + bx 的最值：首先，求出函数的导数 f'(x) = 2ax + b。
令导数等于零，得到 2ax + b = 0，解方程可得 x = -b/(2a)。
将x的值代入原函数，得到最值的纵坐标。
进一步分析函数的单调性和边界条件，得到函数的取值范围。
2. 求函数 g(x) = sin(ax) 的最值：首先，求出函数的导数 g'(x) = acos(ax)。
判断导数的正负情况，确定函数的单调性。
根据函数的周期性和边界条件，得出函数在定义区间的取值范围。
3. 求函数 h(x) = log(x + a) 的定义域范围：首先，确定函数的定义区间为x+a>0，即x>-a。
对函数求导，得到导数h'(x)=1/(x+a)。
导数题中求参问题的常见解法
导数题中求参问题的常见解法方法一：函数最值法例一：设函数f(x)=e2x+ae x a∈R。
（1）当a=-4时，求f(x)的单调区间；（2）若对任意的x∈R,f(x)≥a2x 恒成立，求实数a的取值范围。
+2lnx 。
练习：设函数f(x)=1x（1）讨论函数f(x)的单调性。
（2）如果对所有x≥1 ，都有f(x)≤ax，求a的取值范围。
方法二：分离参数法例二：已知f(x)＝ln x－x3＋2e x2－ax，a∈R，其中e为自然对数的底数．(1)若f(x)在x＝e处的切线的斜率为e2，求a；(2)若f(x)有两个零点，求a的取值范围．练习：已知函数f(x)=e x−asinx−1 (a∈R)。
（1）若a=1，求f(x)在x=0处的切线方程；（2）若f(x)≥0对一切x∈[0,1]恒成立，求实数a的取值范围。
方法三：变换后构造新函数法（重点在变换）例三：已知函数f(x)=ax2−ax,g(x)=xlnx ，若f(x)≥g(x)恒成立，求实数a的值。
练习：已知函数f(x)=alnx−2ax+1,对任意x≥1,f(x)≥−e x−1恒成立。
求实数a的取值范围。
（本题的重点在处理方法）方法四切线法例四：已知(1−x2)e x≤ax+1,对x≥0恒成立，求a的取值范围。
练习：1、已知函数f (x )=(x +1)lnx −a(x −1)。
（1） 当a=4时，求曲线y=f(x)在（1，f(1)）处的切线方程；（2） 若当x ∈(1,+∞)时，f(x)>0，求a 的取值范围。
2、若函数f (x )=lnx −e x −2mx +n ,f(x)≤0对任意x ∈(0,+∞)都成立，求n m 的最大值。
法五：：不等式法例题五：已知函数f (x )=x (e 2x −a )−lnx ，若f(x)≥1在(0，+∞)上恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）A 、 (−∞，e −1]B 、 (−∞,e −1)C 、 (−∞,2]D 、(−∞,2)解：因为f (x )≥1在(0,+∞)恒成立，所以a ≤xe 2x −lnx−1x 令h (x )=e lnx e 2x −lnx−1x =e lnx+2x −lnx−1x ≥lnx+2x+1−lnx−1x =2练习：1已知函数f (x )=axe x (a ∈R,e 为自然对数的底数)，g (x )=lnx +kx +1(k ∈R).(1) 若k=-1，求函数g(x)的单调区间。
利用导数求参数的取值范围
(3)∃x1∈[a ， b] ， ∃ x2∈[c ， d] ， 有 f(x1)≥g(x2) 成 立
⇔f(x)max≥g(x)min；
(4)∃x1∈[a ， b] ， ∀ x2∈[c ， d] ， 有 f(x1)≥g(x2) 成 立
⇔f(x)max≥g(x)max.
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规律方法 极值点的个数，一般是使 f′(x)＝0 方程根的个数， 一般情况下导函数若可以化成二次函数，我们可以利用判别式 研究，若不是，我们可以借助导函数的性质及图象研究．
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[微题型 2] 与逻辑联结词有关的求参数范围问题 【例 2－2】 (2014·湖北八市联考改编)定义在 R 上的函数 g(x) 及二次函数 h(x)满足： g(x)＋2g(－x)＝ex＋e2x－9，h(－2)＝h(0)＝1 且 h(－3)＝－2. (1)求 g(x)和 h(x)的解析式； (2)对于∀x1，x2∈[－1,1]均有 h(x1)＋ax1＋5≥g(x2)－x2g(x2)成 立，求 a 的取值范围．
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(2)设 φ(x)＝h(x)＋ax＋5＝－x2＋(a－2)x＋6，
F(x)＝g(x)－xg(x)＝ex－3－x(ex－3)＝(1－x)ex＋3x－3.
依题意知：当 x∈[－1,1]时，φ(x)min≥F(x)max. ∵F′(x)＝－ex＋(1－x)ex＋3＝－xex＋3，易知 F′(x)在[－1,1]
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利用导数求参数的取值范围方法归纳
利用导数求参数的取值范围一•已知函数单调性，求参数的取值范围类型1 •参数放在函数表达式上例1. 设函数f(x) 2x3 3(a 1)x2 6ax 8其中a R •⑴若f (x)在x 3处得极值,求常数a的值.⑵若f(x)在(,0)上为增函数,求a的取值范围二.已知不等式在某区间上恒成立，求参数的取值范围类型1.参数放在不等式上2例3•已知f(x) x3ax2bx c在x 与x 1时都取得极值3(1)求a、b的值及函数f (x)的单调区间.(2)若对x [ 1,2],不等式f(x) C2恒成立，求c的取值范围.23. 已知函数f (x) x3— 2x 5,若对任意x [ 1,21都有f (x) m则实数m的取值范围是2类型2 .参数放在区间上例4 .已知三次函数f(x) ax3 5x2 cx d图象上点(1,8)处的切线经过点(3,0),并且f (x)在x=3处有极值.(1) 求f (x)的解析式•( 2)当x (0,m)时，f (x) >0恒成立，求实数m的取值范围.分析:(1) f (x) x3 5x2 3x 9' 2(2) .f (x) 3x 10x 3 (3x 1)(x 3)由f (x) 0得X1丄必 3当x (0,1)时f (x) 0, f(x)单调递增，所以f (x) f (0) 93 3当x 』,3)时f '(x) 0, f (x)单调递减，所以f (x) f(3) 03所以当m 3时f(x) 0在(0,m)内不恒成立,当且仅当m (0,3]时f (x) 0在(0,m)内恒成立所以m的取值范围为(0,3]基础训练：4. 若不等式x4 4x3 ________________________________________ 2 a对任意实数x 都成立，则实数a的取值范围是___________________________________________________ .三.知函数图象的交点情况，求参数的取值范围.例5•已知函数f(x) ax3 bx2 3x在x 1, x 1处取得极值(1)求函数f(x)的解析式.⑵若过点A(1,m)(m 2)可作曲线y= f (x)的三条切线，求实数m的取值范围略解⑴求得f (x) x3 3x⑵设切点为M(x0,x3 3x0),因为f (x) 3x2 3所以切线方程为y m (3x2 3)(x 1),又切线过点M所以x3 3x0 m (3x2 3)(x01)即2x3 3x(2 m 3 0因为过点A可作曲线的三条切线，所以关于X。
利用导数求参数的取值范围
利用导数求参数的取值范围导数是微积分中的重要概念之一，它可以用于求解函数的变化率、极值以及函数的图像性质等。
在求参数的取值范围时，通过导数可以帮助我们确定参数的有效取值范围。
首先，让我们回顾一下导数的定义。
对于函数f(x)，它在点x0处的导数可以通过以下公式计算：f'(x0) = limit(h->0) [f(x0+h) - f(x0)] / h这个公式表示了函数在x0处的切线的斜率。
如果导数大于0，则函数在该点处递增；如果导数小于0，则函数在该点处递减。
在解决参数的取值范围时，一种常见的方法是通过导数的正负性来确定。
具体而言，我们可以通过以下步骤来求解参数的取值范围：1.确定函数表达式：首先，我们需要确定待求参数所在的函数表达式。
这通常是一个关于自变量x和参数p的函数，如f(x;p)。
2.求导：接下来，我们对函数f(x;p)关于自变量x求导。
这将给出函数在每个点处的导数表达式，如f'(x;p)。
3.确定导数的正负性：根据导数的正负性，我们可以确定函数在每个点处的增减情况。
4.设置约束条件：根据问题的要求，我们可以确定一定的约束条件来限制参数p的取值范围。
这些约束条件可以是函数在一些点处递增或递减，或函数在一些区间内具有特定性质等。
5.解方程或不等式：最后，我们将约束条件与导数的正负性结合起来，解方程或不等式来确定参数p的取值范围。
实际问题中，求参数的取值范围也可能涉及到其他数学方法和定理，如最值问题、平均值定理等。
这些方法将在下面的具体例子中进行讨论。
例子1：确定函数f(x;p) = px^2 + 2x + 1的参数p的取值范围，使得函数在整个定义域上递增。
1. 求导：对函数f(x;p)关于自变量x求导，得到f'(x;p) = 2px +22. 导数的正负性：由于希望函数在整个定义域上递增，所以导数f'(x;p)应当大于0。
解不等式2px + 2 > 0，得到p > -1所以参数p的取值范围为p>-1例子2：确定函数f(x;p) = px^3 + x^2 + 1的参数p的取值范围，使得函数在整个定义域上的平均增加率大于0。
利用导数求参数的取值范围
利用导数求参数的取值范围在数学中，导数是一个非常重要的概念，用于刻画函数在其中一点的变化率。
利用导数求参数的取值范围，常常用于优化问题、最值问题等等。
下面我将从几个典型的例子入手，详细介绍如何利用导数求参数的取值范围。
首先，我们考虑一个简单的一元函数的例子。
假设有一个函数f(x)，它的导数f'(x)在一些区间内恒大于0。
那么我们可以推知，在这个区间内，f(x)是递增的。
反过来，如果f'(x)在一些区间内恒小于0，那么f(x)在该区间是递减的。
利用这一点，我们可以通过求导数的方式来确定参数的取值范围。
举个例子来说明。
假设我们要求函数f(x) = ax^2 + bx + c(x > 0)在0到正无穷的取值范围。
我们可以先计算导函数f'(x) = 2ax + b。
由于题目中没有给定a的取值范围，我们要通过导数f'(x)来确定a的取值范围。
首先，我们要求f'(x)大于0。
这意味着2ax + b大于0。
当a大于0时，方程2ax + b = 0没有实数解，所以我们要求a小于0。
然后，我们要求f'(x)在x > 0时恒大于0，即对所有的x > 0，2ax + b > 0。
这表明a也必须小于0才能满足这个条件。
因此，我们可以得出结论，a小于0。
至于b和c，没有给出取值范围的要求，所以可以是任意实数。
接下来，我们考虑一个多元函数的情况。
同样地，我们希望通过求导数来确定参数的取值范围。
假设有一个二元函数f(x, y) = x^2 + y^2 + ax + by + c。
我们可以分别计算f对x和y的偏导数f_x和f_y。
如果f_x和f_y的取值范围有限，那么我们可以据此确定a和b的取值范围。
举个例子来说明。
假设我们要求函数f(x, y) = x^2 + y^2 + ax +by + c在整个二维平面的取值范围。
我们计算f对x和y的偏导数，得到f_x = 2x + a和f_y = 2y + b。
导数中求参数的取值范围
导数中求参数的取值范围导数是微积分中的一个重要概念，用于描述函数在其中一点的变化率。
在实际应用中，经常需要根据导数的特性来求解参数的取值范围。
下面我们将讨论几种常见的求解参数取值范围的方法。
一、导数的符号在其中一点的导数的符号能够告诉我们函数在该点的增减性。
具体地，如果导数大于零，则函数在该点是增函数；如果导数小于零，则函数在该点是减函数；如果导数等于零，则函数在该点取得极值（可能是极大值或极小值）。
1.寻找函数的增减区间要求解参数的取值范围，首先需要找到函数的增减区间。
具体步骤如下：（1）找到函数的导数；（2）将导数求零，即找到导数为零的点，这些点可能是函数的极值点；（3）根据导数的符号可知道函数增减的情况。
2.判断函数的极值是否为最值找到函数的极值点并不一定能够得到最值。
我们可以使用二阶导数的符号来判断函数的极值是否为最值。
具体来说，如果二阶导数大于零，说明该极值点为函数的极小值；如果二阶导数小于零，说明该极值点为函数的极大值；如果二阶导数等于零，无法判断该极值点的大小。
3.列出函数的不等式当我们已经找到了函数的增减区间和极值点以后，可以通过列出函数的不等式来求解参数的取值范围。
比如，如果我们需要找到函数在一些区间上的最大值，可以列出函数在该区间上的不等式，并且将该区间的端点带入函数进行比较，最终求解出参数的取值范围。
二、导数的连续性导数的连续性是求解参数取值范围的另一个重要条件。
在一些点处，如果函数的导数存在且连续，则函数在该点处具有可导性。
如果函数在一些点处不可导，那么该点就是一个临界点。
1.求解临界点为了找到可能的临界点，我们需要计算函数的一阶导数和二阶导数，并求解出导数为零或不存在的点。
通过这些点，我们可以判断参数的取值范围。
2.判断导数的连续性对于一般的函数而言，一阶导数存在且连续的点称为可导点。
如果函数在一些点的导数不连续，那么该点为不可导点。
针对不可导点，我们需要观察其特点，并结合其他条件来进行求解。
利用导数求参数的取值范围方法归纳
利用导数求参数的取值范围方法归纳导数在数学中广泛应用，它可以表示函数的变化率。
在求取参数的取值范围时，可以利用导数的性质来推导出函数与参数之间的关系。
下面将介绍利用导数求参数取值范围的一些常见方法。
一、利用导数判断函数的单调性：考虑函数$f(x)$的单调性，可以使用导数来帮助我们判断。
如果函数$f(x)$在其中一区间上的导数恒大于零，那么函数在该区间上是递增的；如果导数恒小于零，那么函数递减。
1.对于一元函数$f(x)$，可以计算其导数$f'(x)$，然后解方程$f'(x)=0$，将问题转化为求解函数的极值点。
如果求解出的极值点满足题目给定的参数范围条件，则参数的取值范围就是极值点的区间。
2.对于二元函数$f(x,y)$，可以将其看作一个以参数$y$为变量的函数$g(x)=f(x,y)$。
然后计算$g'(x)$，利用一元函数的方法来判断参数的取值范围。
3.对于多元函数$f(x_1,x_2,...,x_n)$，我们可以对其中的一个变量求导，将其它变量视为常数，从而转化为一元函数的问题。
二、利用导数判断函数的极值：考虑函数$f(x)$的极值情况，可以求取其导数$f'(x)$，然后判断导数的正负性。
1.对于一元函数$f(x)$，如果导数$f'(x)$在特定点$x_0$处为零，并且$x_0$处的导数的左右性质相异，那么函数在$x_0$处取得极值。
2.对于二元函数$f(x,y)$，可以将其看作一个以参数$y$为变量的函数$g(x)=f(x,y)$。
然后计算$g'(x)$，判断导数的正负性来确定参数的取值范围。
3.对于多元函数$f(x_1,x_2,...,x_n)$，我们可以对其中的一个变量求导，将其它变量视为常数。
然后再对求得的一元函数进行求导判断极值。
三、利用导数判断函数的凸凹性：考虑函数$f(x)$的凸凹性质，可以使用导数$f''(x)$来判断。
利用导数求参数取值范围的若干策略
利用导数求参数取值范围的若干策略贺凤梅(新疆伊犁巩留县高级中学ꎬ新疆伊利８３５４００)摘㊀要:在含参不等式恒成立问题中ꎬ经常需要借助导数求解参数的取值范围.解决这类问题通常需要用到函数与方程㊁转化与化归㊁数形结合以及分类讨论等数学思想.文章通过具体问题的研究ꎬ切实提升学生的解题能力和学科核心素养.关键词:导数ꎻ参数范围ꎻ策略中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２３)３４－０００７－０３收稿日期:２０２３－０９－０５作者简介:贺凤梅(１９７９－)ꎬ女ꎬ湖北省随州人ꎬ本科ꎬ中学一级教师ꎬ从事中学数学教学研究.㊀㊀题目呈现㊀(２０２２年山东数学模拟试题)已知函数ｆ(ｘ)＝ａｅｘ－１－ｌｎｘ＋ｌｎａꎬ(１)当ａ＝ｅ时ꎬ求曲线ｙ＝ｆ(ｘ)在点(１ꎬｆ(１))处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积ꎻ(２)若ｆ(ｘ)ȡ１ꎬ求ａ的取值范围.１总体分析本题第(１)问考查导数的几何意义ꎬ属于常规题.第(２)问则是利用导数研究不等式恒成立问题ꎬ求参数的范围.此问可以多视角解答ꎬ涉及隐零点㊁同构法㊁切线放缩㊁分类讨论㊁反函数法等多种策略.２试题解答第(１)问略解:易求得切点(１ꎬｅ＋１)ꎬ斜率ｋ＝ｆᶄ(１)＝ｅ－１ꎬ切线方程ｙ＝(ｅ－１)ｘ＋２ꎬ与两坐标轴交点(０ꎬ２)ꎬ(－２ｅ－１ꎬ０)ꎬ所求面积ｓ＝２ｅ－１.以下重点探讨第(２)问.视角１㊀隐零点.解法１㊀令ｇ(ｘ)＝ａｅｘ－１－ｌｎｘ＋ｌｎａ－１ꎬｘɪ(０ꎬ＋ɕ)ꎬａ>０ꎬ则ｇᶄ(ｘ)＝ａｅｘ－１－１ｘ.令ｇᶄ(ｘ０)＝ａｅｘ０－１－１ｘ０＝０ꎬ得ａｅｘ０－１＝１ｘ０.①两边取自然对数ꎬ整理ꎬ得ｌｎａ＋ｘ０－１＝－ｌｎｘ０.②因为ｇᵡ(ｘ)＝ａｅｘ－１＋１ｘ２>０ꎬ所以ｇᶄ(ｘ)在(０ꎬ＋ɕ)上单调递增ꎬ且ｘң０＋时ꎬｇᶄ(ｘ)ң－ɕꎻｘң＋ɕ时ꎬｇᶄ(ｘ)ң＋ɕ.所以ｘɪ(０ꎬｘ０)时ꎬｇᶄ(ｘ)<０ꎻｘɪ(ｘ０ꎬ＋ɕ)时ꎬｇᶄ(ｘ)>０.因此ｇ(ｘ)在ｘ＝ｘ０处取得极小值ꎬ也为最小７值ꎬ即ｇ(ｘ)ｍｉｎ＝ａｅｘ０－１－ｌｎｘ０＋ｌｎａ－１.将①②代入整理得ｇ(ｘ)ｍｉｎ＝ｘ０＋１ｘ０＋２ｌｎａ－２.显然ꎬ要使原不等式恒成立ꎬ必有ｇ(ｘ)ｍｉｎ＝ｘ０＋１ｘ０＋２ｌｎａ－２ȡ２ｌｎａȡ０ꎬ解得ａȡ１ꎬ即ａɪ[１ꎬ＋ɕ).评注㊀此解法通过构造函数ｇ(ｘ)ꎬ利用隐零点ｘ０表示出ｇ(ｘ)的最小值ꎬ借助基本不等式得出关于ａ的不等式ꎬ求解即得[１].视角２㊀同构.条件ｆ(ｘ)ȡ１ꎬ即ａｅｘ－１－ｌｎｘ＋ｌｎａ－１ȡ０(∗)在ｘɪ(０ꎬ＋ɕ)上恒成立.解法２㊀将(∗)式变形得ｅｘ－１＋ｌｎａ＋ｘ－１＋ｌｎａȡｘ＋ｌｎｘ＝ｅｌｎｘ＋ｌｎｘ.构造函数ｇ(ｔ)＝ｅｔ＋ｔꎬ求导得ｇᶄ(ｔ)＝ｅｔ＋１>０.所以函数ｇ(ｔ)＝ｅｔ＋ｔ在Ｒ上单调递增.由ｇ(ｘ－１＋ｌｎａ)ȡｇ(ｌｎｘ)ꎬ得ｘ－１＋ｌｎａȡｌｎｘ.即ｌｎａȡｌｎｘ－ｘ＋１在ｘɪ(０ꎬ＋ɕ)上恒成立.令ｈ(ｘ)＝ｌｎｘ－ｘ＋１ꎬｘ>０ꎬ求导ꎬ得ｈᶄ(ｘ)＝１ｘ－１＝１－ｘｘꎬｈ(ｘ)在(０ꎬ１)上单调递增ꎬ在(１ꎬ＋ɕ)上单调递减ꎬ所以ｈ(ｘ)ȡｈ(１)＝０ꎬ故ｌｎａȡ０即可ꎬ解得ａȡ１ꎬ即ａɪ[１ꎬ＋ɕ).视角３㊀同构＋切线放缩.解法３㊀将(∗)式变形ꎬ得ｅｘ－１＋ｌｎａ＋ｌｎｅｘ－１＋ｌｎａȡｘ＋ｌｎｘ.构造函数ｇ(ｘ)＝ｘ＋ｌｎｘꎬｘ>０ꎬｇᶄ(ｘ)＝１＋１ｘ>０ꎬｇ(ｘ)单调递增.由ｇ(ｅｘ－１＋ｌｎａ)ȡｇ(ｘ)ꎬ得ｅｘ－１＋ｌｎａȡｘ.结合ｅｘȡｘ＋１ꎬ得ｘ－１＋ｌｎａȡｘ－１.所以ｌｎａȡ０ꎬ解得ａȡ１ꎬ即ａɪ[１ꎬ＋ɕ).解法４㊀将(∗)式变形ꎬ得ａｅｘ－１－ｌｎｘａȡ１(ａ>０).所以ｅｘ－１ȡ１ａｌｎｅｘａꎬ即ｅｘȡｅａｌｎｅｘａ.亦即ｘｅｘȡｅｘａｌｎｅｘａ(ｘ>０).构造函数Ｈ(ｘ)＝ｘｅｘꎬｘ>０ꎬＨᶄ(ｘ)＝(ｘ＋１)ｅｘ>０ꎬ所以Ｈ(ｘ)在ｘɪ(０ꎬ＋ɕ)上单调递增.由Ｈ(ｘ)ȡＨ(ｌｎｅｘａ)得ｘȡｌｎｅｘａ＝１＋ｌｎｘ－ｌｎａꎬ易证ｘȡ１＋ｌｎｘꎬ所以ｌｎａȡ０即可ꎬ解得ａȡ１ꎬ即ａɪ[１ꎬ＋ɕ).评注㊀视角２中的三种解法均属于同构法ꎬ从解答过程可以知晓ꎬ根据不同的变形形式ꎬ得到有一定差异的同构函数ꎬ借助于函数的单调性ꎬ得出变量间的关系ꎬ进一步变形求解ꎬ问题也就迎刃而解了.当然ꎬ在解答的过程中ꎬ用到了ｅｘȡｘ＋１与ｘȡ１＋ｌｎｘ这两个有关切线放缩的不等式ꎬ作为解答题ꎬ需要简单证明方可使用[２].视角４㊀放缩＋极值.解法５㊀由已知条件ꎬ得ａｅｘ－１＋ｌｎａȡ１＋ｌｎｘ.易证ｘ－１ȡｌｎｘꎬ即ｘȡ１＋ｌｎｘ.所以只需ａｅｘ－１＋ｌｎａȡｘ.构造函数φ(ｘ)＝ａｅｘ－１＋ｌｎａ－ｘꎬ求导得φᶄ(ｘ)＝ａｅｘ－１－１.以下对ａ分情况讨论:(Ⅰ)当ａȡｅ时ꎬφᶄ(ｘ)＝ａｅｘ－１－１ȡｅ ｅｘ－１－１＝ｅｘ－１>０在(０ꎬ＋ɕ)上恒成立ꎬφ(ｘ)＝ａｅｘ－１＋ｌｎａ－ｘȡｅ ｅｘ－１＋ｌｎｅ－ｘ＝ｅｘ－ｘ＋１>０(ｘ>０)ꎬ满足题意.(Ⅱ)当０<ａ<ｅ时ꎬ令φᶄ(ｘ)＝ａｅｘ－１－１＝０得ｘ－１＝－ｌｎａꎬ即ｘ＝１－ｌｎａꎬ显然φ(ｘ)在(０ꎬ１－ｌｎａ)上单调递减ꎬ在(１－ｌｎａꎬ＋ɕ)上单调递增.所以φ(ｘ)ȡφ(１－ｌｎａ)＝ａｅ－ｌｎａ＋２ｌｎａ－１ȡ０.所以ｌｎａȡ０即可ꎬ解得１ɤａ<ｅ.综上可得ａɪ[１ꎬ＋ɕ).评注㊀此解法通过不等式放缩ꎬ介入中间量ꎬ借助于极值求解也可以成功突破.但因为定义域的限８定ꎬ需对ａ进行分类讨论ꎬ再取两种情况的并集ꎬ此处易出现纰漏ꎬ值得大家重视.再给一例ꎬ感兴趣的读者可以自行求解或查阅.已知函数ｆ(ｘ)＝ｅｘ－２－ｌｎｘ.若ｇ(ｘ)＝ｆ(ｘ)＋ｌｎｘ－ａｘꎬ讨论ｇ(ｘ)的单调性.(提示:此题需分ａɤ１ｅ２与ａ>１ｅ２进行求解ꎬ你发现了吗?)视角５㊀分类讨论.解法６㊀由ｆ(ｘ)＝ａｅｘ－１－ｌｎｘ＋ｌｎａꎬｘɪ(０ꎬ＋ɕ)ꎬａ>０ꎬ对ａ进行分类讨论:(Ⅰ)当０<ａ<１时ꎬ易得ｆ(１)＝ａ＋ｌｎａ<１ꎬ不满足ｆ(ｘ)ȡ１.(Ⅱ)当ａ＝１时ꎬｆ(ｘ)＝ｅｘ－１－ｌｎｘꎬ则ｆᶄ(ｘ)＝ｅｘ－１－１ｘꎬｘɪ(０ꎬ１)时ꎬｆᶄ(ｘ)<０ꎬｆ(ｘ)单调递减ꎻｘɪ(１ꎬ＋ɕ)时ꎬｆᶄ(ｘ)>０ꎬｆ(ｘ)单调递增.所以ｆ(ｘ)ȡｆ(１)＝１ꎬ满足题意. (Ⅲ)当ａ>１时ꎬｆ(ｘ)＝ａｅｘ－１－ｌｎｘ＋ｌｎａȡｅｘ－１－ｌｎｘꎬ易证ｅｘ－１ȡ(ｘ－１)＋１＝ｘꎬｘȡ１＋ｌｎｘꎬ所以ｆ(ｘ)ȡｆ(１)＝１ꎬ满足题意.综上可得ａɪ[１ꎬ＋ɕ).评注㊀此解法属于对ａ进行分类讨论求解ꎬ通过推理和论证ꎬ符合就要ꎬ不符合则舍去.难点在于找参数ａ的分类界限ꎬ这需要通过日积月累的训练方能达成.视角６㊀反函数.解法７㊀由已知ꎬ得ａｅｘ－１－ｌｎｘ＋ｌｎａȡ１.所以ａｅｘ－１ȡｌｎｘ－ｌｎａ＋１.令ｙ＝ａｅｘ－１ꎬ则ｘ＝ｌｎｙａ＋１＝ｌｎｙ－ｌｎａ＋１.所以ｙ＝ａｅｘ－１与ｙ＝ｌｎｘ－ｌｎａ＋１互为反函数ꎬ只需ａｅｘ－１ȡｘ即可ꎬ整理得ａȡｘｅｘ－１.令Ｇ(ｘ)＝ｘｅｘ－１＝ｅｘｅｘꎬ求导ꎬ得Ｇᶄ(ｘ)＝ｅ(１－ｘ)ｅｘ.所以Ｇ(ｘ)在(０ꎬ１)单调递增ꎬ在(１ꎬ＋ɕ)单调递减.㊀则Ｇ(ｘ)ɤＧ(１)＝１ꎬ故ａȡ１.即ａɪ[１ꎬ＋ɕ).评注㊀此法确实很巧妙ꎬ能通过变形㊁观察和求解得出不等式两边对应函数恰好互为反函数ꎬ利用凸凹反转ꎬ借助于临界的切线得出大小关系ꎬ化繁为简.３试题链接题１㊀(２０１０年高考新课标卷理科)设函数ｆ(ｘ)＝ｅｘ－１－ｘ－ａｘ２ꎬａɪＲ.若当ｘȡ０时ꎬｆ(ｘ)ȡ０恒成立ꎬ求ａ的取值范围.题２㊀若不等式ａｘ－ｌｎｘȡａ(２ｘ－ｘ２)对∀ｘɪ[１ꎬ＋ɕ)恒成立ꎬ求ａ的取值范围.导数问题博大精深ꎬ对于学生而言ꎬ基础知识和基本理论易于学懂ꎬ但是ꎬ受众多关联知识和高数背景的限制ꎬ很多导数问题难以突破.对于高校来讲ꎬ导数是学生深造学习的重要基础.基于此种原因ꎬ高考一直重点考查导数ꎬ因此我们有必要多花时间和精力研究导数ꎬ总结规律ꎬ提炼解法ꎬ积累经验ꎬ创新思路ꎬ在比较和不断尝试中增长技能.这类参数问题入口宽ꎬ结果唯一ꎬ研究它就是对导数的全面理解和应用ꎬ这对我们的学习大有裨益.参考文献:[１]李文东.利用导数解决含参不等式取值范围问题的策略[Ｊ].中学数学研究ꎬ２０２０(４):１２－１６. [２]余铁青.从一道导数大题谈参数分类讨论的依据[Ｊ].数理化学习ꎬ２０２２(０３):７ꎬ２１.[责任编辑:李㊀璟]９。
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导数中求参数的取值范围求参数取值范围的方法1.分离参数，恒成立转化为最值问题2.分离参数，结合零点和单调性解不等式3.将参数分成若干个区间讨论是否满足题意 1已知函数()-x f x e ax=（a R ∈，e 为自然对数的底数）．（Ⅰ）讨论函数()f x 的单调性；（Ⅱ）若1a =，函数()()()2x g x x m f x e x x =--++在()2,+∞上为增函数，求实数m 的取值范围． 解：（Ⅰ）函数()f x 的定义域为R ，()x f x e a'=-．当0a ≤时，()0f x '>，∴()f x 在R 上为增函数；当0a >时，由()0f x '=得ln x a =，当(),ln x a ∈-∞时，()0f x '<，∴函数()f x 在(),ln a -∞上为减函数， 当()ln ,x a ∈+∞时，()0f x '>，∴函数()f x 在()ln ,a +∞上为增函数……4分（Ⅱ）当1a =时，()()()2x x g x x m e x e x x=---++，∵()g x 在()2,+∞上为增函数；∴()10x x g x xe me m '=-++≥在()2,+∞上恒成立，即11x xxe m e +≤-在()2,+∞上恒成立， …………………………6分 令()11x xxe h x e +=-，()2,x ∈+∞，则()()()2221x x xxe xe e h x e--'==-()()221x x xe e x e---，令()2x L x e x =--，()10x L x e '=->在()2,+∞上恒成立，即()2x L x e x =--在()2,+∞上为增函数，即()()2240L x L e >=->，∴()0h x '>，即()11x x xe h x e +=-在()2,+∞上为增函数，∴()()222121e h x h e +>=-， ∴22211e m e +≤-，所以实数m 的取值范围是2221,1e e ⎛⎤+-∞ ⎥-⎝⎦． ………………12分2．(2016·全国甲卷)已知函数f(x)＝(x＋1)ln x－a(x－1)．(1)当a＝4时，求曲线y＝f(x)在(1，f(1))处的切线方程；(2)若当x∈(1，＋∞)时，f(x)＞0，求a的取值范围．解：(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)．当a＝4时，f(x)＝(x＋1)ln x－4(x－1)，f(1)＝0，f′(x)＝ln x＋1x－3，f′(1)＝－2.故曲线y＝f(x)在(1，f(1))处的切线方程为2x＋y－2＝0.(2)当x∈(1，＋∞)时，f(x)＞0等价于ln x－a(x－1)x＋1＞0.设g(x)＝ln x－a(x－1) x＋1，则g′(x)＝1x－2a(x＋1)2＝x2＋2(1－a)x＋1x(x＋1)2，g(1)＝0.①当a≤2，x∈(1，＋∞)时，x2＋2(1－a)x＋1≥x2－2x＋1＞0，故g′(x)＞0，g(x)在(1，＋∞)上单调递增，因此g(x)＞0；②当a＞2时，令g′(x)＝0得x1＝a－1－(a－1)2－1，x2＝a－1＋(a－1)2－1.由x2＞1和x1x2＝1得x1＜1，故当x∈(1，x2)时，g′(x)＜0，g(x)在(1，x2)上单调递减，因此g(x)＜0.综上，a的取值范围是(－∞，2]．3．(2016·全国乙卷)已知函数f(x)＝(x－2)e x＋a(x－1)2有两个零点．(1)求a的取值范围；(2)设x1，x2是f(x)的两个零点，证明：x1＋x2<2.解：(1)f′(x)＝(x－1)e x＋2a(x－1)＝(x－1)(e x＋2a)．①设a＝0，则f(x)＝(x－2)e x，f(x)只有一个零点．②设a>0，则当x∈(－∞，1)时，f′(x)<0；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0，所以f(x)在(－∞，1)内单调递减，在(1，＋∞)内单调递增．又f (1)＝－e ，f (2)＝a ，取b 满足b <0且b <ln a2，则f (b )>a 2(b －2)＋a (b －1)2＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫b2－32b >0，故f (x )存在两个零点．③设a <0，由f ′(x )＝0得x ＝1或x ＝ln(－2a )． 若a ≥－e2，则ln(－2a )≤1，故当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0，因此f (x )在(1，＋∞)内单调递增． 又当x ≤1时，f (x )<0，所以f (x )不存在两个零点． 若a <－e 2，则ln(－2a )>1，故当x ∈(1，ln(－2a ))时，f ′(x )<0； 当x ∈(ln(－2a )，＋∞)时，f ′(x )>0.因此f (x )在(1，ln(－2a ))内单调递减，在(ln(－2a )，＋∞)内单调递增． 又当x ≤1时，f (x )<0，所以f (x )不存在两个零点． 综上，a 的取值范围为(0，＋∞)．(2)证明：不妨设x 1<x 2，由(1)知，x 1∈(－∞，1)，x 2∈(1，＋∞)，2－x 2∈(－∞，1)，又f (x )在(－∞，1)内单调递减，所以x 1＋x 2<2等价于f (x 1)>f (2－x 2)，即f (2－x 2)<0. 由于f (2－x 2)＝－x 2e2－x 2＋a (x 2－1)2， 而f (x 2)＝(x 2－2)e x 2＋a (x 2－1)2＝0， 所以f (2－x 2)＝－x 2e2－x 2－(x 2－2)e x 2. 设g (x )＝－x e 2－x －(x －2)e x ， 则g ′(x )＝(x －1)(e 2－x －e x )．所以当x >1时，g ′(x )<0，而g (1)＝0， 故当x >1时，g (x )<0.从而g (x 2)＝f (2－x 2)<0，故x 1＋x 2<2.4．已知函数f (x )＝ax －1－ln x (a ∈R)． (1)讨论函数f (x )在定义域内的极值点的个数；(2)若函数f (x )在x ＝1处取得极值，∀x ∈(0，＋∞)，f (x )≥bx －2恒成立，求实数b 的取值范围．解：(1)由已知得f ′(x )＝a －1x ＝ax －1x(x ＞0)．当a ≤0时，f ′(x )≤0在(0，＋∞)上恒成立，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递减， ∴f (x )在(0，＋∞)上没有极值点． 当a ＞0时，由f ′(x )＜0，得0＜x ＜1a，由f ′(x )＞0，得x ＞1a，∴f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，1a 上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1a ，＋∞上单调递增，即f (x )在x ＝1a处有极小值． ∴当a ≤0时，f (x )在(0，＋∞)上没有极值点， 当a ＞0时，f (x )在(0，＋∞)上有一个极值点． (2)∵函数f (x )在x ＝1处取得极值，∴f ′(1)＝0，解得a ＝1，∴f (x )≥bx －2⇒1＋1x －ln xx≥b ，令g (x )＝1＋1x －ln xx ，则g ′(x )＝ln x －2x2，令g ′(x )＝0，得x ＝e 2．则g (x )在(0，e 2)上单调递减，在(e 2，＋∞)上单调递增， ∴g (x )min ＝g (e 2)＝1－1e2，即b ≤1－1e2，故实数b 的取值范围为⎝ ⎛⎦⎥⎥⎤－∞，1－1e2．5．(2015·全国卷Ⅱ)已知函数f (x )＝ln x ＋a (1－x )． (1)讨论f (x )的单调性；(2)当f (x )有最大值，且最大值大于2a －2时，求a 的取值范围． 解：(1)f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1x－a .若a ≤0，则f ′(x )>0，所以f (x )在(0，＋∞)上单调递增． 若a >0，则当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，1a 时，f ′(x )>0；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1a ，＋∞时，f ′(x )<0.所以f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，1a 上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1a ，＋∞上单调递减．(2)由(1)知，当a ≤0时，f (x )在(0，＋∞)上无最大值； 当a >0时，f (x )在x ＝1a 处取得最大值，最大值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1a ＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1a ＋a ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1－1a ＝－ln a ＋a －1.因此f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1a >2a －2等价于ln a ＋a －1<0.令g (a )＝ln a ＋a －1，则g (a )在(0，＋∞)上单调递增，g (1)＝0. 于是，当0<a <1时，g (a )<0；当a >1时，g (a )>0. 因此，a 的取值范围是(0,1)．6．(2016·全国甲卷)已知函数f (x )＝(x ＋1)ln x －a (x －1)． (1)当a ＝4时，求曲线y ＝f (x )在(1，f (1))处的切线方程； (2)若当x ∈(1，＋∞)时，f (x )＞0，求a 的取值范围． 解：(1)f (x )的定义域为(0，＋∞)． 当a ＝4时，f (x )＝(x ＋1)ln x －4(x －1)， f (1)＝0，f ′(x )＝ln x ＋1x－3，f ′(1)＝－2.故曲线y ＝f (x )在(1，f (1))处的切线方程为2x ＋y －2＝0. (2)当x ∈(1，＋∞)时，f (x )＞0等价于ln x －a (x －1)x ＋1＞0. 设g (x )＝ln x －a (x －1)x ＋1，则g ′(x )＝1x－2a (x ＋1)2＝x2＋2(1－a )x ＋1x (x ＋1)2，g (1)＝0. ①当a ≤2，x ∈(1，＋∞)时，x 2＋2(1－a )x ＋1≥x 2－2x ＋1＞0，故g ′(x )＞0，g (x )在(1，＋∞)上单调递增，因此g (x )＞0；②当a ＞2时，令g ′(x )＝0得x 1＝a －1－(a －1)2－1，x 2＝a －1＋(a －1)2－1.由x 2＞1和x 1x 2＝1得x 1＜1，故当x ∈(1，x 2)时，g ′(x )＜0，g (x )在(1，x 2)上单调递减，因此g (x )＜0.综上，a 的取值范围是(－∞，2]．7.(2016·山东高考)设f (x )＝x ln x －ax 2＋(2a －1)x ，a ∈R ． (1)令g (x )＝f ′(x )，求g (x )的单调区间；(2)已知f (x )在x ＝1处取得极大值，求实数a 的取值范围． 解：(1)由f ′(x )＝ln x －2ax ＋2a ， 可得g (x )＝ln x －2ax ＋2a ，x ∈(0，＋∞)． 所以g ′(x )＝1x －2a ＝1－2ax x．当a ≤0，x ∈(0，＋∞)时，g ′(x )＞0，函数g (x )单调递增； 当a ＞0，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，12a 时，g ′(x )＞0，函数g (x )单调递增，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12a ，＋∞时，g ′(x )＜0，函数g (x )单调递减． 所以当a ≤0时，g (x )的单调增区间为(0，＋∞)；当a ＞0时，g (x )的单调增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，12a ，单调减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12a ，＋∞．(2)由(1)知，f ′(1)＝0．①当a ≤0时，f ′(x )单调递增，所以当x ∈(0,1)时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减； 当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增． 所以f (x )在x ＝1处取得极小值，不合题意． ②当0＜a ＜12时，12a＞1，由(1)知f ′(x )在⎝⎛⎭⎪⎪⎫0，12a 内单调递增，可得当x ∈(0,1)时，f ′(x )＜0，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1，12a 时，f ′(x )＞0．所以f (x )在(0,1)内单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1，12a 内单调递增，所以f (x )在x ＝1处取得极小值，不合题意． ③当a ＝12时，12a＝1，f ′(x )在(0,1)内单调递增，在(1，＋∞)内单调递减，所以当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )≤0，f (x )单调递减，不合题意． ④当a ＞12时，0＜12a＜1， 当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12a ，1时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增，当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减． 所以f (x )在x ＝1处取极大值，符合题意．综上可知，实数a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞．8.．(2016·海口调研)已知函数f (x )＝mx －mx ，g (x )＝3ln x ．(1)当m ＝4时，求曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程； (2)若x ∈(1，e ](e 是自然对数的底数)时，不等式f (x )－g (x )＜3恒成立，求实数m 的取值范围．解：(1)当m ＝4时，f (x )＝4x －4x ，f ′(x )＝4＋4x2，f ′(2)＝5， 又f (2)＝6，∴所求切线方程为y －6＝5(x －2)， 即y ＝5x －4． (2)由题意知，x ∈(1，e ]时，mx －mx －3ln x ＜3恒成立，即m (x 2－1)＜3x ＋3x ln x 恒成立， ∵x ∈(1，e ]，∴x 2－1＞0，则m ＜3x ＋3xln xx2－1恒成立．令h (x )＝3x ＋3xln xx2－1，x ∈(1，e ]，则m ＜h (x )min ．h ′(x )＝－3(x 2＋1)·ln x －6(x 2－1)2＝－3(x 2＋1)·ln x ＋6(x 2－1)2， ∵x ∈(1，e ]，∴h ′(x )＜0， 即h (x )在(1，e ]上是减函数．∴当x ∈(1，e ]时，h (x )min ＝h (e )＝9e2(e －1)．∴m 的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎪⎫－∞，9e 2e －2． 9.．(2017·福建省质检)已知函数f (x )＝ax －ln(x ＋1)，g (x )＝e x －x －1．曲线y ＝f (x )与y ＝g (x )在原点处的切线相同．(1)求f (x )的单调区间；(2)若x≥0时，g(x)≥kf(x)，求k的取值范围．解：(1)因为f′(x)＝a－1x＋1(x＞－1)，g′(x)＝e x－1，依题意，f′(0)＝g′(0)，即a－1＝0，解得a＝1，所以f′(x)＝1－1x＋1＝xx＋1，当－1＜x＜0时，f′(x)＜0；当x＞0时，f′(x)＞0．故f(x)的单调递减区间为(－1,0)，单调递增区间为(0，＋∞)．(2)由(1)知，当x＝0时，f(x)取得最小值0，所以f(x)≥0，即x≥ln(x＋1)，从而e x≥x＋1．设F(x)＝g(x)－kf(x)＝e x＋k ln(x＋1)－(k＋1)x－1，则F′(x)＝e x＋kx＋1－(k＋1)≥x＋1＋kx＋1－(k＋1)，(ⅰ)当k＝1时，因为x≥0，所以F′(x)≥x＋1＋1x＋1－2≥0(当且仅当x＝0时等号成立)，此时F(x)在[0，＋∞)上单调递增，从而F(x)≥F(0)＝0，即g(x)≥kf(x)．(ⅱ)当k＜1时，因为f(x)≥0，所以f(x)≥kf(x)．由(ⅰ)知g(x)－f(x)≥0，所以g(x)≥f(x)≥kf(x)，故g(x)≥kf(x)．(ⅲ)当k＞1时，令h(x)＝e x＋kx＋1－(k＋1)，则h′(x)＝e x－k(x＋1)2，显然h′(x)在[0，＋∞)上单调递增，又h′(0)＝1－k＜0，h′(k－1)＝e k－1－1＞0，所以h′(x)在(0，k－1)上存在唯一零点x0，当x∈(0，x0)时，h′(x)＜0，所以h(x)在[0，x0)上单调递减，从而h(x)＜h(0)＝0，即F′(x)＜0，所以F(x)在[0，x0)上单调递减，从而当x∈(0，x0)时，F(x)＜F(0)＝0，即g(x)＜kf(x)，不合题意．综上，实数k的取值范围为(－∞，1]．。