第2章 2.5 2.5.1 直线与圆的位置关系

2.5直线与圆、圆与圆的位置关系

2.5.1直线与圆的位置关系

学

习目标核心素养

1.掌握直线与圆的三种位置关系：相交、相切、相离．(重点)

2.会用代数法和几何法来判断直线与圆的三种位置关系．(难点)

3.会用直线与圆的位置关系解决一些实际问题．(难点) 通过研究直线与圆的位置关系，提升逻辑推理、数学运算、直观想象的数学素养.

“大漠孤烟直，长河落日圆”，这是唐代诗人王维的诗句．它描述了黄昏日落时分塞外特有的景象．如果我们把太阳看成一个圆，地平线看成一条直线，观察下面三幅太阳落山的图片．

图片中，地平线与太阳的位置关系怎样？结合初中知识总结，直线与圆有几种位置关系？

1．直线与圆的三种位置关系

位置关系交点个数

相交有两个公共点

相切只有一个公共点

相离没有公共点

位置关系相交相切相离

公共点个数两个一个零个

判定方法几何法：设圆心到直线的距离d＝

|Aa＋Bb＋C|

A2＋B2

d＜r d＝r d＞r 代数法：由Δ＞0Δ＝0Δ＜0

⎩⎨

⎧

Ax ＋By ＋C ＝0，x －a 2＋y －b

2

＝r

2

消元得到一元二次方程的判别式Δ

[提示] “几何法”与“代数法”判断直线与圆的位置关系，是从不同的方面，不同的思路来判断的．“几何法”更多地侧重于“形”，更多地结合了图形的几何性质；“代数法”则侧重于“数”，它倾向于“坐标”与“方程”．

3．用坐标法解决平面几何问题的“三步曲”

第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何要素，如点、直线、圆，把平面几何问题转化为代数问题；

第二步：通过代数运算，解决代数问题； 第三步：把代数运算的结果“翻译”成几何结论．

1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)直线与圆的位置关系可以用代数法或几何法判断． ( ) (2)过圆外一点作圆的切线有两条．

( )

(3)当直线与圆相离时，可求圆上点到直线的最大距离和最小距离． ( ) (4)若直线与圆有公共点，则直线与圆相交或相切． ( )

[提示] (1)√ (2)√ (3)√ (4)√

2．直线3x ＋4y －5＝0与圆x 2＋y 2＝1的位置关系是( ) A ．相交 B ．相切 C ．相离

D ．无法判断

B [圆心(0,0)到直线3x ＋4y －5＝0的距离d ＝|－5|

32＋42＝1. ∵d ＝r ，∴直线与圆相切．故选B.]

3．设A ，B 为直线y ＝x 与圆x 2＋y 2＝1的两个交点，则|AB |＝( ) A ．1 B ． 2 C ． 3

D ．2

D [直线y ＝x 过圆x 2＋y 2＝1的圆心C (0,0)，则|AB |＝2.]

4．若点P (1,2)在以坐标原点为圆心的圆上，则该圆在点P 处的切线方程为________． x ＋2y －5＝0 [由题意，得k OP ＝

2－01－0

＝2，则该圆在点P 处的切线的斜率为－1

2，所以所求切线方程为y －2＝－1

2(x －1)，即x ＋2y －5＝0.]

直线与圆的位置关系

与直线：

(1)有两个公共点；

(2)只有一个公共点；

(3)没有公共点．

[解]法一：将直线mx－y－m－1＝0代入圆的方程化简整理得，

(1＋m2)x2－2(m2＋2m＋2)x＋m2＋4m＋4＝0.

∵Δ＝4m(3m＋4)，

∴(1)当Δ>0时，即m>0或m<－4

3时，直线与圆相交，即直线与圆有两个公共点；

(2)当Δ＝0时，即m＝0或m＝－4

3时，直线与圆相切，

即直线与圆只有一个公共点；

(3)当Δ<0时，即－4

3

即直线与圆没有公共点．

法二：已知圆的方程可化为(x－2)2＋(y－1)2＝4，即圆心为C(2,1)，半径r＝2.

圆心C(2,1)到直线mx－y－m－1＝0的距离

d＝|2m－1－m－1|

1＋m2

＝

|m－2|

1＋m2

.

(1)当d<2时，即m>0或m<－4

3时，直线与圆相交，

即直线与圆有两个公共点；

(2)当d＝2时，即m＝0或m＝－4

3时，直线与圆相切，即直线与圆只有一个公共点；

(3)当d>2时，即－4

3

即直线与圆没有公共点．

直线与圆位置关系判断的三种方法

(1)几何法：由圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系判断．

(2)代数法：根据直线与圆的方程组成的方程组解的个数来判断．

(3)直线系法：若直线恒过定点，可通过判断点与圆的位置关系判断，但有一定的局限性，必须是过定点的直线系．

[跟进训练]

1．已知直线l ：(2m ＋1)x ＋(m ＋1)y ＝7m ＋4，圆C ：(x －1)2＋(y －2)2＝25，则直线l 与圆C 的位置关系为________．

相交 [由直线方程得(2x ＋y －7)m ＋x ＋y －4＝0，令⎩⎨⎧ 2x ＋y －7＝0，x ＋y －4＝0，得⎩⎨⎧

x ＝3，

y ＝1.

故直线l 过定点A (3,1)． 由|AC |＝

3－1

2

＋1－2

2

＝5＜5得A 点在圆内，因此直线l 与圆C 相交．]

直线与圆相切问题

1．怎样解决直线与圆相切问题？

[提示] 一般采用几何法，即圆心到直线的距离等于半径．

2．当点(x 0，y 0)在圆外时，过该点的直线与圆相切有几条？当设点斜式只求出一个解时怎么办？ [提示] 有两条．虽设点斜式但要分斜率存在与不存在两种情况，当只求出一个解时，另一条一定是x ＝x 0.

【例2】 (1)已知直线l ：ax ＋by －3＝0与圆M ：x 2＋y 2＋4x －1＝0相切于点P (－1,2)，则直线l 的方程为________．

(2)过点A (4，－3)作圆(x －3)2＋(y －1)2＝1的切线，求此切线方程． [思路探究] (1)利用MP ⊥l ，同时点P 在直线l 上． (2)先确定点A 在圆外，利用d ＝r 求切线方程． (1)x ＋2y －3＝0 [根据题意，圆M ：x 2＋y 2＋4x －1＝0， 即(x ＋2)2＋y 2＝5，其圆心M (－2,0)，

直线l ：ax ＋by －3＝0与圆M ：x 2＋y 2＋4x －1＝0相切于点P (－1,2)， 则P 在直线l 上且MP 与直线l 垂直． k MP ＝

2－0

－1－－2

＝2，则有－a b ＝－1

2，则有b ＝2a ，

又由P 在直线l 上，则有－a ＋2b －3＝0，可解得a ＝1，b ＝2， 则直线l 的方程为x ＋2y －3＝0.] (2)[解] 因为(4－3)2＋(－3－1)2＝17>1， 所以点A 在圆外，故切线有两条．

①若所求直线的斜率存在，设切线斜率为k ，