小学奥数7-7-2容斥原理之重叠问题(二).专项练习及答案解析
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7-7-2. 容斥原理之重叠问题（二）
教学目标
1. 了解容斥原理二量重叠和三量重叠的内容； 2. 掌握容斥原理的在组合计数等各个方面的应用．
知识要点
一、两量重叠问题
在一些计数问题中，经常遇到有关集合元素个数的计算．求两个集合并集的元素的个数，不能简单地 把两个集合的元素个数相加，而要从两个集合个数之和中减去重复计算的元素个数，即减去交集的元素个
数，用式子可表示成： A B A B A B ( 其中符号“ ”读作“并” ，相当于中文“和”或者“或”的
意思；符号“ ”读作“交” ，相当于中文“且”的意思． ) 则称这一公式为包含与排除原理，简称容斥原
理．图示如下 : A 表示小圆部分， B 表示大圆部分， C 表示大圆与小圆的公共部分，记为： A B ，即阴影 面积．图示如下 : A 表示小圆部分， B 表示大圆部分， C 表示大圆与小圆的公共部分，记为： A B ，即阴
影面积．
1． 先包含—— A B 重叠部分 A B 计算了 2 次，多加了 1 次；
2．再排除—— A B A B 把多加了 1 次的重叠部分 A B 减去．
包含与排除原理告诉我们，要计算两个集合
A、 B 的并集 A B 的元素的个数，可分以下两步进行：
第一步： 分别计算集合 A、 B 的元素个数，然后加起来， 即先求 A B ( 意思是把 A、 B 的一切元素都“包含” 进来，加在一起 ) ；
在解答有关包含排除问题时，我们常常利用圆圈图
( 韦恩图 ) 来帮助分析思考．
1 7- 7- 2.容斥原理之重叠问题（二） . 题库
教师版
page of 7
例题精讲
模块一、三量重叠问题
【例 1】 一栋居民楼里的住户每户都订了 2 份不同的报纸。如果该居民楼的住户只订了甲、
乙、丙三种报纸，其中甲报 30 份，乙报 34 份，丙报 40 份，那么既订乙报又订丙报
34 人，手中有黄旗的
共有 26 人，手中有蓝旗的共有 18 人．其中手中有红、黄、蓝三种小旗的有 6 人．而手中只有红、
黄两种小旗的有 9 人，手中只有黄、蓝两种小旗的有 4 人，手中只有红、蓝两种小旗的有 3 人，
那么这个班共有多少人？
【考点】三量重叠问题
【难度】 3 星 【题型】解答
A
B
C
【解析】 如图，用 A 圆表示手中有红旗的， B 圆表示手中有黄旗的， C 圆表示手中有蓝旗的．如果用手中 有红旗的、有黄旗的与有蓝旗的相加，发现手中只有红、黄两种小旗的各重复计算了一次，应减 去，手中有三种颜色小旗的重复计算了二次，也应减去，那么，全班人数为： （34 26 18）（9 4 3） 6 2 50 ( 人 ) ．
2 7- 7- 2.容斥原理之重叠问题（二） . 题库
教师版
page of 7
【解析】 设参加数学小组的学生组成集合 A，参加语文小组的学生组成集合 B，参加文艺小组的学生组成集 合 G．三者都参加的学生有 z 人．有 A B C =46，A =24，B =20，C =3.5 ， A C =7 A B C ，
第二步：从上面的和中减去交集的元素个数，即减去
C A B ( 意思是“排除”了重复计算的元素个数 ) ．
二、三量重叠问题
A 类、 B 类与 C 类元素个数的总和 A 类元素的个数 B 类元素个数 C 类元素个数 既是 A 类又是 B 类的元素个数 既是 B 类又是 C 类的元素个数 既是 A 类又是 C 类的元素个数 同时是 A类、 B 类、 C 类 的元素个数．用符号表示为： A B C A B C A B B C A C A B C ．图示如下：
图中小圆表示 A 的元素的个数，中圆表示 B 的元素的个数， 大圆表示 C 的元素的个数．
1．先包含： A B C 重叠部分 A B 、 B C 、C A 重叠了 2 次，多加了 1次．
2．再排除： A B C A B B C A C
重叠部分 A B C 重叠了 3 次，但是在进行 A B C
A B B C A C 计算时都被减掉了． 3．再包含： A B C A B B C A C A B C ．
【解析】 由于全班 42人没有一个人三种球都不爱好， 所以全班至少爱好一种球的有 42人．根据包含排除法，
42 （26 17 19）（9 4 既爱打篮球又爱打排球的人数 数为： 49 42 7 ( 人 ) ．
） 0 ，得到既爱打篮球又爱打排球的人
【答案】 7 人
【例 3】 四年级一班有 46 名学生参加 3 项课外活动．其中有 24 人参加了数学小组， 20 人参
【答案】 50 人
【巩固】 某班有 42人，其中 26 人爱打篮球， 17 人爱打排球， 19 人爱踢足球， 9 人既爱打篮球又爱踢足球，
4 人既爱打排球又爱踢足球，没有一个人三种球都爱好，也没有一个人三种球都不爱好．问：既 爱打篮球又爱打排球的有几人？
【考点】三来自百度文库重叠问题
【难度】 3 星 【题型】解答
加了语文小组，参加文艺小组的人数是既参加数学小组也参加文艺小组人数的
3．5
倍，又是 3 项活动都参加人数的 7 倍，既参加文艺小组也参加语文小组的人数相当
于 3 项都参加的人数的 2 倍，既参加数学小组又参加语文小组的有 10 人．求参加文
艺小组的人数．
【考点】三量重叠问题
【难度】 3 星 【题型】解答
的有 ___________户。
【考点】三量重叠问题
【难度】 3 星 【题型】填空
【关键词】希望杯， 4 年级， 1 试
【解析】 总共有（ 30＋ 34＋ 40） 2＝ 52 户居民，订丙和乙的有
【答案】 22 户
52－30＝ 22 户。
【例 2】 某班学生手中分别拿红、黄、蓝三种颜色的小旗，已知手中有红旗的共有
25 人参加自然兴趣
小组， 35 人参加美术兴趣小组， 27 人参加语文兴趣小组，参加语文同时又参加美术
B C =2 A B C ， A B =10．
因为 A B C A B C A B A C B C A B C ，
所以 46=24+20+7x-10-2 x-2 x+x，解得 x=3， 即三者的都参加的有 3 人．那么参加文艺小组的有
【答案】 21人
3 7=21 人．
【巩固】 五年级三班学生参加课外兴趣小组，每人至少参加一项．其中有
教学目标
1. 了解容斥原理二量重叠和三量重叠的内容； 2. 掌握容斥原理的在组合计数等各个方面的应用．
知识要点
一、两量重叠问题
在一些计数问题中，经常遇到有关集合元素个数的计算．求两个集合并集的元素的个数，不能简单地 把两个集合的元素个数相加，而要从两个集合个数之和中减去重复计算的元素个数，即减去交集的元素个
数，用式子可表示成： A B A B A B ( 其中符号“ ”读作“并” ，相当于中文“和”或者“或”的
意思；符号“ ”读作“交” ，相当于中文“且”的意思． ) 则称这一公式为包含与排除原理，简称容斥原
理．图示如下 : A 表示小圆部分， B 表示大圆部分， C 表示大圆与小圆的公共部分，记为： A B ，即阴影 面积．图示如下 : A 表示小圆部分， B 表示大圆部分， C 表示大圆与小圆的公共部分，记为： A B ，即阴
影面积．
1． 先包含—— A B 重叠部分 A B 计算了 2 次，多加了 1 次；
2．再排除—— A B A B 把多加了 1 次的重叠部分 A B 减去．
包含与排除原理告诉我们，要计算两个集合
A、 B 的并集 A B 的元素的个数，可分以下两步进行：
第一步： 分别计算集合 A、 B 的元素个数，然后加起来， 即先求 A B ( 意思是把 A、 B 的一切元素都“包含” 进来，加在一起 ) ；
在解答有关包含排除问题时，我们常常利用圆圈图
( 韦恩图 ) 来帮助分析思考．
1 7- 7- 2.容斥原理之重叠问题（二） . 题库
教师版
page of 7
例题精讲
模块一、三量重叠问题
【例 1】 一栋居民楼里的住户每户都订了 2 份不同的报纸。如果该居民楼的住户只订了甲、
乙、丙三种报纸，其中甲报 30 份，乙报 34 份，丙报 40 份，那么既订乙报又订丙报
34 人，手中有黄旗的
共有 26 人，手中有蓝旗的共有 18 人．其中手中有红、黄、蓝三种小旗的有 6 人．而手中只有红、
黄两种小旗的有 9 人，手中只有黄、蓝两种小旗的有 4 人，手中只有红、蓝两种小旗的有 3 人，
那么这个班共有多少人？
【考点】三量重叠问题
【难度】 3 星 【题型】解答
A
B
C
【解析】 如图，用 A 圆表示手中有红旗的， B 圆表示手中有黄旗的， C 圆表示手中有蓝旗的．如果用手中 有红旗的、有黄旗的与有蓝旗的相加，发现手中只有红、黄两种小旗的各重复计算了一次，应减 去，手中有三种颜色小旗的重复计算了二次，也应减去，那么，全班人数为： （34 26 18）（9 4 3） 6 2 50 ( 人 ) ．
2 7- 7- 2.容斥原理之重叠问题（二） . 题库
教师版
page of 7
【解析】 设参加数学小组的学生组成集合 A，参加语文小组的学生组成集合 B，参加文艺小组的学生组成集 合 G．三者都参加的学生有 z 人．有 A B C =46，A =24，B =20，C =3.5 ， A C =7 A B C ，
第二步：从上面的和中减去交集的元素个数，即减去
C A B ( 意思是“排除”了重复计算的元素个数 ) ．
二、三量重叠问题
A 类、 B 类与 C 类元素个数的总和 A 类元素的个数 B 类元素个数 C 类元素个数 既是 A 类又是 B 类的元素个数 既是 B 类又是 C 类的元素个数 既是 A 类又是 C 类的元素个数 同时是 A类、 B 类、 C 类 的元素个数．用符号表示为： A B C A B C A B B C A C A B C ．图示如下：
图中小圆表示 A 的元素的个数，中圆表示 B 的元素的个数， 大圆表示 C 的元素的个数．
1．先包含： A B C 重叠部分 A B 、 B C 、C A 重叠了 2 次，多加了 1次．
2．再排除： A B C A B B C A C
重叠部分 A B C 重叠了 3 次，但是在进行 A B C
A B B C A C 计算时都被减掉了． 3．再包含： A B C A B B C A C A B C ．
【解析】 由于全班 42人没有一个人三种球都不爱好， 所以全班至少爱好一种球的有 42人．根据包含排除法，
42 （26 17 19）（9 4 既爱打篮球又爱打排球的人数 数为： 49 42 7 ( 人 ) ．
） 0 ，得到既爱打篮球又爱打排球的人
【答案】 7 人
【例 3】 四年级一班有 46 名学生参加 3 项课外活动．其中有 24 人参加了数学小组， 20 人参
【答案】 50 人
【巩固】 某班有 42人，其中 26 人爱打篮球， 17 人爱打排球， 19 人爱踢足球， 9 人既爱打篮球又爱踢足球，
4 人既爱打排球又爱踢足球，没有一个人三种球都爱好，也没有一个人三种球都不爱好．问：既 爱打篮球又爱打排球的有几人？
【考点】三来自百度文库重叠问题
【难度】 3 星 【题型】解答
加了语文小组，参加文艺小组的人数是既参加数学小组也参加文艺小组人数的
3．5
倍，又是 3 项活动都参加人数的 7 倍，既参加文艺小组也参加语文小组的人数相当
于 3 项都参加的人数的 2 倍，既参加数学小组又参加语文小组的有 10 人．求参加文
艺小组的人数．
【考点】三量重叠问题
【难度】 3 星 【题型】解答
的有 ___________户。
【考点】三量重叠问题
【难度】 3 星 【题型】填空
【关键词】希望杯， 4 年级， 1 试
【解析】 总共有（ 30＋ 34＋ 40） 2＝ 52 户居民，订丙和乙的有
【答案】 22 户
52－30＝ 22 户。
【例 2】 某班学生手中分别拿红、黄、蓝三种颜色的小旗，已知手中有红旗的共有
25 人参加自然兴趣
小组， 35 人参加美术兴趣小组， 27 人参加语文兴趣小组，参加语文同时又参加美术
B C =2 A B C ， A B =10．
因为 A B C A B C A B A C B C A B C ，
所以 46=24+20+7x-10-2 x-2 x+x，解得 x=3， 即三者的都参加的有 3 人．那么参加文艺小组的有
【答案】 21人
3 7=21 人．
【巩固】 五年级三班学生参加课外兴趣小组，每人至少参加一项．其中有