应用多元统计第三章汇总

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第三章 多元正态分布参数的假设检验
几个重要统计量的分布
单总体均值向量的检验及置信域
主要内容
多总体均值向量的检验 协方差阵的检验
独立性检验
正态性检验
§3.1 几个重要统计量的分布
一、正态变量二次型的分布
1. 分量独立的 n 维随机向量 X 的二次型
设 X i ~ N1(i , 2 ) (i 1,2,, n) , 且相互独立，记
n
aa' 或 M 'M a 1
这里
11
M
1
p
1'
n1
np
ห้องสมุดไป่ตู้
' n
其中 p 为随机阵 W 的阶数，n 为自由度，一元统计中的 2对
应 p 元统计中的协方差阵∑.
【注】随机阵 W 的密度函数是威沙特于1928年推导出来的， 故此分布称为威沙特分布。
2. 威沙特分布的性质
性质1 设X(a)～Np( ,∑ ) (a=1,2,…,n)相互独立，则样本离差阵A
X1
X
,
X n
则 X ~ Nn ( , 2In ) ，其中 (1,, n )' .
X 的二次型具有以下一些结论：
结论1 当 i 0 (i 1,, n) , 2 1 时，则
n
X ' X
X
2 i
~
2 (n)
;
i 1
当 i 0 (i 1,, n) , 2 1 时，则有
为 n×p 矩阵，则称随机阵
n
W
X
(
a)
X
' (a
)
X
'X
a 1
的分布为威沙特分布，记为W~Wp( n ,∑ ).
显然，p=1时，X(a) ~ N(0, 2) , 此时
n
W
X2 (a)
~
2 2 (n)
,
a 1
即 W1(n, 2 )就是 2 2 (n).当p=1, 2 1时,W1(n,1)就是 2 (n) .
1
2
X 'X
~
2 (n) ;
(或记为 X ' X ~ 2 2 (n) ）。
结论2 当 i 0 (i 1,2,, n) ，X ' X 的分布常称为非中心
2分布。
定义3.1.1 设 n 维随机向量 X～Nn( , In )（≠0），则称随机 n
变量 X ' X 为服从 n 个自由度、非中心参数 ' i2
2. 一般 p 维正态随机向量 的二次型 p 维随机向量的二次型具有下述结论：
结论1 设 X ~ N p ( , ) , 0 , 则 X '1X ~ 2 ( p , ) ，
其中 '1 .
结论2 设 X ~ N p ( , ) , 0 , 则A为对称矩阵 ,rank(A)=r. 则( X )' A( X ) ~ 2 (r) AA A .
一般地，设X(a)～Np( ,∑) (a=1,2,…,n)相互独立，记
M
1
p
1n
'
1 p
则称 W X ' X 服从非中心参数为Δ的非中心威沙特分布，记
为 W ~ Wp (n, , )，其中
M 'M (1n ' ) ' (1n ') 1n '1n ' n'
当X(a)～Np(a ,∑) (a=1,2,…,n)相互独立，非中心参数
结论3 设 X ~ N p ( , ) , 0 , A 和 B 为 p 阶对称矩阵，则
( X )' A( X )与( X )' B( X )独立
AB Op p .
3. 非中心 t 分布和非中心 F 分布
定义3.1.2 设 X ~ N ( ,1)与Y ~ 2 (n) 相互独立，令
T X , Y n
利用非中心 t 分布可以计算第二类错误 的值，从而得到检
验法的功效函数为1- .
类似地，非中心 2和非中心 F 分布在一元统计的相应检验
中，将应用非中心分布来计算第二类错误。
二、威沙特(Wishart)分布
1. 威沙特分布的定义
定义3.1.4 设 X(a) ~ Np( 0,∑ ) (a=1,…,n)相互独立,记 X (X(1),, X(n) )'
二次型
X ' AX
2
~ 2(r)
A2
A（A为对称幂等矩阵）。
结论4
设 X ~ Nn ( , 2In ) , A A' , 则
1 X 'AX ~ 2(r , ) , 2
其中
1
2
' A
A
A2（对称幂等矩阵），
且 rank (A) = r (r≤n)。
结论5 二次型与线性函数的独立性：设 X ~ Nn ( , 2In ) ，A
则称 T 的分布具有n个自由度、非中心参数为 的
非中心 t 分布，记为 T ~ t (n, ).
定义3.1.3 设 X ~ 2 (m , )与Y ~ 2 (n) 相互独立，令
X
F
m Y
,
n
则称 F 的分布为具有自由度为 m , n 和非中心参数
为 的 F 分布，记为 F～F ( m , n , ).
的
2 分布，记为
X
'X
~
2 (n, )或
X 'X
~
2 n
(
).
i 1
当X～Nn( , 2In )，≠0，且 2 1时，令
1
Yi
Xi
,
显然
Yi
~
N
i
, 1 (i
1,2,, n) ,
则
Y 'Y
1
2
X 'X
~
2 n
(
)
,
其中
1
2
'
.
结论3 设 X ~ Nn (0n , 2In )，A为对称矩阵，且 rank (A) = r
4. 非中心 2、非中心 t 分布和非中心 F 分布的应用
在一元统计中，关于在一个正态总体 N ( , 2 ) 的均值检
验中，检验H0： = 0时，检验统计量为
T
X
0
H 0下
~ t(n 1)
,
S2 n
否定域为{|T|>},其中满足：P{|T|>}= (显著性水平).
当否定H0时，可能犯第一类错误，且
为 n 阶对称矩阵，B 为 m×n 矩阵，令 X ' AX ，
Z=BX ( Z 为 m 维随机向量)，若 BA=O，则 BX 和 X ' AX
相互独立。
结论6 两个二次型相互独立的条件：设 X ~ Nn ( , 2In )，A，
B 为 n 阶对称矩阵，则 AB O X ' AX 与 X 'BX 相互独立 .
第一类错误的概率＝P{“以真当假”}=P{|T|>| = 0}|}
=显著性水平 ;
当H0相容时，可能犯第二类错误，且
第二类错误的概率＝P{“以假当真”}＝P{|T|≤| ≠ 0}
设＝1≠0
P
X
1 (1 0 )
S2 n
|
1
此时检验统计量T～ t (n-1, )(非中心参数 n(1 0) / )，