山东省潍坊市2020届高三期末试题(数学)
2020届高三上学期期末教学质量检测数学理试题含答案及评分标准
理科数学本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。
第Ⅰ卷1至2页。
第Ⅱ卷3至4页。
全卷满分150分，考试时间120分钟。
考生注意事项： 1．答第Ⅰ卷时，每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．2．答第Ⅱ卷时，必须答题卡上作答．在试题卷上作答无效． 参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么()()()P A B P A P B +=+ 如果事件A 、B 相互独立，那么()()()P AB P A P B =棱柱的体积公式V Sh =，其中S 、h 分别表示棱柱的底面积、高．第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求． 1．12i i +=A ．i --2B ．i +-2C ．i -2D ．i +22．集合{||2|2}A x x =-≤，2{|,12}B y y x x ==--≤≤，则A B =IA ．RB ．{|0}x x ≠C ．{0}D ．∅3．若抛物线22y px =的焦点与双曲线22122x y -=的右焦点重合，则p 的值为 A ．2- B ．2 C ．4- D ．44．不等式10x x->成立的一个充分不必要条件是 A ．10x -<<或1x > B ．1x <-或01x << C ．1x >- D ．1x > 5．对于平面α和共面的两直线m 、n ，下列命题中是真命题的为 A ．若m α⊥，m n ⊥，则//n α B ．若//m α，//n α，则//m nC ．若m α⊂，//n α，则//m nD ．若m 、n 与α所成的角相等，则//m n6．平面四边形ABCD 中0AB CD +=u u u r u u u r r ，()0AB AD AC -=⋅u u u r u u u r u u u r，则四边形ABCD 是A ．矩形B ．菱形C ．正方形D ．梯形 7．等比数列{}n a 中5121=a ，公比21-=q ，记12n n a a a ∏=⨯⨯⨯L （即n ∏表示 数列{}n a 的前n 项之积），8∏ ，9∏，10∏，11∏中值为正数的个数是 A ． 1 B ． 2 C ． 3 D ． 48．定义域R 的奇函数()f x ，当(,0)x ∈-∞时()'()0f x xf x +<恒成立，若3(3)a f =，(log 3)(log 3)b f ππ=⋅，()c f =－２－２，则A ．a c b >>B ．c b a >>C ．c a b >>D ． a b c >>第Ⅱ卷（非选择题，共110分）二 填空题：本题共6小题，共30分，把答案填在答题卷相应的位置上．9．某校有4000名学生，各年级男、女生人数如表，已知在全校学生中随机抽取一名奥运火炬手，抽到高一男生的概率是0.2，现用分层抽样的方法在全校抽取100名奥运志愿者，则在高二抽取的学生人数为______．10．如果实数x 、y 满足条件101010x y y x y -+≥⎧⎪+≥⎨⎪++≤⎩，那么2x y -的最大值为______．11．在ABC ∆中角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，若(2)cos cos b c A a C -=， 则cos A =________． 12．右图给出的是计算201614121+⋅⋅⋅+++的值 的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是i >___？13．由数字0、1、2、3、4组成无重复数字的 五位数，其中奇数有 个． 14．若一个正三棱柱的三视图如下图所示，则这 个正三棱柱的体积为__________．三．解答题（本大题共6小题，共80分 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（本小题共12分）已知函数()sin cos f x x x =+，()f x '是()f x 的导函数． （1）求函数()()'()g x f x f x =⋅的最小值及相应的x 值的集合； （2）若()2()f x f x '=，求tan()4x π+的值．16．（本题满分12分）近年来，政府提倡低碳减排，某班同学利用寒假在两个小区逐户调查人们的生活习惯是否符合低碳观念．若生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族”，否则称为“非低碳题12图 主视图 俯视图左视图族”．数据如下表（计算过程把频率当成概率）．（1）如果甲、乙来自A小区，丙、丁来自B小区，求这4人中恰有2人是低碳族的概率；（2）A小区经过大力宣传，每周非低碳族中有20%的人加入到低碳族的行列．如果2周后随机地从A小区中任选25个人，记X表示25个人中低碳族人数，求()E X．17．（本小题满分14分）已知点(4,0)M、(1,0)N，若动点P满足6||MN MP NP=⋅u u u u r u u u r u u u r．（1）求动点P的轨迹C；（2）在曲线C上求一点Q，使点Q到直线l：2120x y+-=的距离最小．18．(本小题满分14分)已知梯形ABCD中，AD∥BC，2π=∠=∠BADABC，42===ADBCAB，E、F分别是AB、CD上的点，EF∥BC，xAE=．沿EF将梯形ABCD翻折，使平面AEFD⊥平面EBCF(如图)．G是BC的中点，以F、B、C、D为顶点的三棱锥的体积记为()f x．（1）当2=x时，求证：BD⊥EG；（2）求()f x的最大值；（3）当()f x取得最大值时，求异面直线AE与BD所成的角的余弦值．19．（本题满分14分）数列{}na中112a=，前n项和2(1)n nS n a n n=--，1n=，2，…．（1）证明数列1{}nnSn+是等差数列；（2）求nS关于n的表达式；（3）设3n nnb S=１，求数列{}nb的前n项和nT．20．（本题满分14分）二次函数()f x满足(0)(1)0f f==，且最小值是14-．A小区低碳族非低碳族频率p0.50.5B小区低碳族非低碳族频率p0.80.2（1）求()f x 的解析式；（2）设常数1(0,)2t ∈，求直线l ： 2y t t =-与()f x 的图象以及y 轴所围成封闭图形的面积是()S t ；（3）已知0m ≥，0n ≥，求证：211()()24m n m n +++≥．答案及评分标准：8~1：CCDD ；CBB A ；9．30；10．1；11．12；12．10；13．36；14．以下是各题的提示：1．21222i i i i i i+-+==-．2．[0,4]A =，[4,0]B =-，所以{0}A B =I ．3．双曲线22122x y -=的右焦点为(2,0)，所以抛物线22y px =的焦点为(2,0)，则4p =．4．画出直线y x =与双曲线1y x=，两图象的交点为(1,1)、(1,1)--，依图知10x x->10x ⇔-<<或1x >(*)，显然1x >⇒(*)；但(*)⇒/1x >．5．考查空间中线、面的平行与垂直的位置关系的判断．６．由0AB CD +=u u u r u u u r r ，得AB CD DC =-=u u u r u u u r u u u r，故平面四边形ABCD 是平行四边形，又()0AB AD AC -=⋅u u u r u u u r u u u r ，故0DB AC =⋅u u u r u u u r，所以DB AC ⊥，即对角线互相垂直．７．等比数列{}n a 中10a >，公比0q <，故奇数项为正数，偶数项为负数，∴110∏<，100∏<，90∏>，80∏>，选B ．8．设()()g x xf x =，依题意得()g x 是偶函数，当(,0)x ∈-∞时()'()0f x xf x +<，即'()0g x <恒成立，故()g x 在(,0)x ∈-∞单调递减，则()g x 在(0,)+∞上递增，3(3)(3)a f g ==，(log 3)(log 3)(log 3)b f g πππ==⋅，2(2)(2)(2)c f g g =--=-=．又log 3123π<<<，故a c b >>． 9．依表知400020002000x y z ++=-=，0.24000x=，于是800x =， 1200y z +=，高二抽取学生人数为112003040⨯=．10．作出可行域及直线l ：20x y -=，平移直线l 至可行域的点(0,1)-时2x y -取得最大值．11．由(2)cos cos b c A a C -=，得2cos cos cos b A c A a C =+，2sin cos sin cos sin cos B A C A A C =+，故2sin cos sin()B A A C =+，又在ABC ∆中sin()sin 0A C B +=>，故1cos 2A =，12．考查循环结构终止执行循环体的条件．13．1132336636C C A =⨯=⋅⋅．14．由左视图知正三棱柱的高2h =，设正三棱柱的底面边长a ，=，故4a =，底面积142S =⨯⨯=，故2V Sh === 15．解：（1）∵()sin cos f x x x =+，故'()cos sin f x x x =-， …… 2分∴()()'()g x f x f x =⋅(sin cos )(cos sin )x x x x =+-22cos sin cos 2x x x =-=， ……… 4分∴当22()x k k Z ππ=-+∈，即()2x k k Z ππ=-+∈时，()g x 取得最小值1-，相应的x 值的集合为{|,}2x x k k Z ππ=-+∈． ……… 6分评分说明：学生没有写成集合的形式的扣1分． （2）由()2()f x f x '=，得sin cos 2cos 2sin x x x x +=-，∴cos 3sin x x =，故1tan 3x =， …… 10分 ∴11tan tan34tan()2141tan tan 143x x x πππ+++===--． …… 12分 16．解：（1）设事件C 表示“这4人中恰有2人是低碳族”． …… 1分2222112222222222()0.50.20.50.50.20.80.50.8P C C C C C C C =+⨯⨯⨯+⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅0.010.160.160.33=++=． …… 4分 答：甲、乙、丙、丁这4人中恰有2人是低碳族的概率为0.33； …… 5分（2）设A 小区有a 人，两周后非低碳族的概率20.5(120%)0.32a P a⨯⨯-==．故低碳族的概率10.320.68P =-=． ………… 9分 随机地从A 小区中任选25个人，这25个人是否为低碳族相互独立，且每个 人是低碳族的概率都是0.68，故这25个人中低碳族人数服从二项分布，即17~(25,)25X B ，故17()251725E X =⨯=． ………… 12分 17．解：（1）设动点(,)P x y ，又点(4,0)M 、(1,0)N ，∴(4,)MP x y =-u u u r ，(3,0)MN =-u u u u r ，(1,)NP x y =-u u u r． ……… 3分由6||MN MP NP =⋅u u u u r u u u r u u u r，得3(4)x --= ……… 4分∴222(816)4(21)4x x x x y -+=-++，故223412x y +=，即22143x y +=， ∴轨迹C 是焦点为(1,0)±、长轴长24a =的椭圆； ……… 7分 评分说明：只求出轨迹方程，没有说明曲线类型或交代不规范的扣1分． （2）椭圆C 上的点Q 到直线l 的距离的最值等于平行于直线l ：2120x y +-=且与椭圆C 相切的直线1l 与直线l 的距离．设直线1l 的方程为20(12)x y m m ++=≠-． ……… 8分由22341220x y x y m ⎧+=⎨++=⎩，消去y 得2242120x mx m ++-= （*）． 依题意得0∆=，即0)12(16422=--m m ，故216m =，解得4m =±．当4m =时，直线1l ：240x y ++=，直线l 与1l 的距离5d ==当4m =-时，直线1l ：240x y +-=，直线l 与1l 的距离d ==由于55<，故曲线C 上的点Q 到直线l 的距离的最小值为5．…12分 当4m =-时，方程（*）化为24840x x -+=，即2(1)0x -=，解得1x =．由1240y +-=，得32y =，故3(1,)2Q ． ……… 13分 ∴曲线C 上的点3(1,)2Q 到直线l 的距离最小． ……… 14分18．（法一）（1）证明：作EF DH ⊥，垂足H ，连结BH ，GH ， ∵平面AEFD ⊥平面EBCF ，交线EF ，DH ⊂平面EBCF ， ∴⊥DH 平面EBCF ，又⊂EG 平面EBCF ，故DH EG ⊥， ∵12EH AD BC BG ===，//EF BC ，90ABC ∠=o ． ∴四边形BGHE 为正方形，故BH EG ⊥．又BH 、DH ⊂平面DBH ，且BH DH H =I ，故⊥EG 平面DBH ． 又⊂BD 平面DBH ，故BD EG ⊥．（2）解：∵AE EF ⊥，平面AEFD ⊥平面EBCF ，交线EF ，AE ⊂平面AEFD ．∴AE ⊥面EBCF ．又由（1）⊥DH 平面EBCF ，故//AE DH ，∴四边形AEHD 是矩形，DH AE =，故以F 、B 、C 、D 为顶点的三棱 锥D BCF - 的高DH AE x ==，又114(4)8222BCF S BC BE x x ∆==⨯⨯-=-⋅． ∴三棱锥D BCF -的体积()f x =13BFC S DH ∆⋅13BFC S AE ∆=⋅2128(82)333x x x x =-=-+2288(2)333x =--+≤．∴当2x =时，()f x 有最大值为83．（3）解：由（2）知当()f x 取得最大值时2AE =，故2BE =，由（2）知//DH AE ，故BDH ∠是异面直线AE 与BD 所成的角． 在Rt BEH ∆中222422BH BE EH AD =+=+=，由⊥DH 平面EBCF ，BH ⊂平面EBCF ，故DH BH ⊥ 在Rt BDH ∆中222823BD BH DH AE =+=+=，∴3cos 323DH BDH BD ∠===． ∴异面直线AE 与BD 所成的角的余弦值为33． 法二：（1）证明：∵平面AEFD ⊥平面EBCF ，交线EF ，AE ⊂平面AEFD ，EF AE ⊥，故AE ⊥平面EBCF ，又EF 、BE ⊂平面EBCF ，∴AE ⊥EF ，AE ⊥BE ，又BE ⊥EF ，取EB 、EF 、EA 分别为x 轴、y轴、z 轴，建立空间坐标系E xyz -，如图所示． 当2x =时，2AE =，2BE =，又2AD =，122BG BC ==． ∴(0,0,0)E ，(0,0,2)A ，(2,0,0)B ，(2,2,0)G ，(0,2,2)D ．∴(2,2,2)BD =-u u u r ，(2,2,0)EG =u u u r，∴440BD EG ⋅=-+=u u u r u u u r．∴BD EG ⊥u u u r u u u r，即BD EG ⊥；（2）解：同法一；（3）解：异面直线AE 与BD 所成的角θ等于,AE BD <>u u u r u u u r或其补角．又(0,0,2)AE =-u u u r ， 故3cos ,3|||2444|AE BD AE BD AE BD <>===-++⋅⋅u u u r u u u ru u u r u u u r u u u r u u u r ∴3cos 3θ=，故异面直线AE 与BD 所成的角的余弦值为33． 19．（1）证明：由2(1)n n S n a n n =--，得21()(1)(2)n n n S n S S n n n -=---≥．∴221(1)(1)n n n S n S n n ---=-，故111(2)1n n n nS S n n n -+-=≥-．…２分 ∴数列由1{}n n S n+是首项11221S a ==，公差1d =的等差数列； …… 4分 （2）解：由（1）得112(1)11n n S S n d n n n+=+-=+-=．……… 6分∴21n n S n =+； ………８分（3）由（２），得3n n nb S =１＝321n n n +g １＝111(1)1n n n n =-++．…… 10分∴数列{}n b 的前n 项和1211111111122311n n n T b b b b n n n n -=++++=-+-++-+--+L L …１２分 1111n n n =-=++． ……… 14分 20．解：（1）由二次函数()f x 满足(0)(1)0f f ==．设()(1)(0)f x ax x a =-≠，则221()()24af x ax ax a x =-=--． ……………… ２分 又()f x 的最小值是14-，故144a -=-．解得1a =．∴2()f x x x =-； ………………４分（2）依题意，由22x x t t -=-，得x t =，或1x t =-．（1t -p ｔ）……６分由定积分的几何意义知3232222002()[()()]()|3232t tx x t t S t x x t t dx t x tx =---=--+=-+⎰…… ８分（3）∵()f x 的最小值为14-，故14m -，14n ≥-． …… １０分∴12m n +-≥-，故12m n ++． ……… 12分∵1()02m n +，102m n ++≥≥， ……… 13分∴11()()22m n m n +++≥=，∴211()()24m n m n +++≥． ……… 14分。
2020届山东省潍坊市高三上学期期末考试数学试题(解析版)
2020届山东省潍坊市高三上学期期末考试数学试题一、单选题1．已知集合{}{}2230,21A x x x B x x x Z =--≤=-≤<∈且，则A B =I （ ） A ．{}2,1-- B ．{}1,0-C ．{}2,0-D ．{}1,1-【答案】B分别求集合,A B ，再求A B I . 解：2230x x --≤解得：13x -≤≤ ，{}13A x x ∴=-≤≤,{}2,1,0B =--，{}1,0A B ∴=-I .故选：B本题考查解一元二次不等式和求集合的交集，意在考查计算能力，属于基础题型. 2．设(1)1i x yi +=+，其中x ，y 是实数，则||x yi +=（ ）A ．1 BC D ．2【答案】B根据复数相等求得,x y 的值，进而求得复数x yi +的模.解：由已知得1x xi yi +=+，根据两复数相等可得：1x y ==，所以|||1|x yi i +=+=故选：B.本题考查复数相等、模的计算，考查对概念的理解与应用，属于基础题. 3．已知随机变量ξ服从正态分布()21,N σ，若(4)0.9P ξ<=，则1()2P ξ-<<=（ ） A ．0.2 B ．0.3C ．0.4D ．0.6【答案】C由题意可知曲线关于1x =对称，利用曲线的对称性求1()2P ξ-<<.解：由题意可知1μ=，正态分布曲线关于1x =对称， ()()4140.1P P ξξ>=-<=, 根据对称性可知，()()240.1P P ξξ<-=>=,()()210.520.50.10.4P P ξξ-<<=-<-=-=.故选：C本题考查正态分布在指定区间的概率，正态分布下两类常见的概率计算(1)利用正态分布密度曲线的对称性研究相关概率问题，涉及的知识主要是正态曲线关于直线x μ=对称，及曲线与x 轴之间的面积为1.(2)利用3σ原则求概率问题时，要注意把给出的区间或范围与正态变量的,μσ进行对比联系，确定它们属于(),μσμσ-+，()2,2μσμσ-+，()3,3μσμσ-+中的哪一个.4．《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“盖”的术：置如其周，令相承也.又以高乘之，三十六成一.该术相当于给出了有圆锥的底面周长L 与高h ，计算其体积V 的近似公式21.36v L h ≈它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为 3.那么近似公式2275v L h ≈相当于将圆锥体积公式中的π近似取为（ ）A ．227B ．258C ．15750D ．355113【答案】B试题分析：设圆锥底面圆的半径为r ，高为h ，依题意，r L π2=，h r h r 22)2(75231ππ=，所以275831ππ=，即π的近似值为258，故选B.【考点】《算数书》中π的近似计算，容易题.5．函数()y f x =与()y g x =的图象如图所示，则()()y f x g x =⋅的部分图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A由函数()y f x =与()y g x =的图象可知两个函数的性质，可知()()y f x g x =⋅的定义域和奇偶性，以及函数在0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()()y f x g x =⋅的正负，从而得到答案. 解：由图象可知()y f x =的图象关于y 轴对称，是偶函数，()y g x =的图象关于原点对称，是奇函数，并且定义域{}0x x ≠，()()y f x g x ∴=⋅的定义域是{}0x x ≠，并且是奇函数，排除B ，又0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x >，()0g x <，()()0f x g x ∴⋅<，排除C,D. 满足条件的只有A. 故选：A本题考查函数图象的识别，意在考查函数的基本性质，属于基础题型.6．已知某超市为顾客提供四种结账方式:现金、支付宝、微信、银联卡.若顾客甲只会用现金结账，顾客乙只会用现金和银联卡结账，顾客丙与甲.乙结账方式不同，丁用哪种结账方式都可以若甲乙丙丁购物后依次结账，那么他们结账方式的组合种数共有（ ） A ．36种 B ．30种C ．24种D ．20种【答案】D分乙使用现金和银联卡两种方法，分类求结账方法的组合数.解：当乙用现金结算时，此时甲和乙都用现金结算，所以丙有3种方法，丁有4种方法，共有3412⨯=种方法；当乙用银联卡结算时，此时甲用现金结算，丙有2种方法，丁有4种方法，共有248⨯=种方法， 综上，共有12820+=种方法. 故选：D本题考查分类和分步计数原理，意在考查分析问题和解决问问他的能力，属于基础题型. 7．已知345sin πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则cos α=（ ）A ．10 B ．10C ．2D ．10【答案】A利用角的变换cos cos 44ππαα⎡⎤⎛⎫=-+⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦化简，求值. 解：0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭Q ，,444πππα⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭4cos 45πα⎛⎫-== ⎪⎝⎭，cos cos cos cos sin sin 444444ππππππαααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=--- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦43525210=⨯-⨯=. 故选：A本题考查三角函数给值求在值，意在考查转化与变形，计算能力，属于基础题型.8．已知点P 为双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>右支上一点，12,F F 分别为C 的左，右焦点，直线1PF 与C 的一条渐近线垂直，垂足为H ，若114PF HF =，则该双曲线的离心率为（ ）A B C ．53D ．73【答案】C取1PF 的中点M ，连接2MF ,由条件可证明11MF PF ⊥，说明22PF c =，利用点到直线的距离求OH a =，1OHF ∆中，根据勾股定理可得2222a c a c +⎛⎫+= ⎪⎝⎭，整理为223250c ac a --=，再求双曲线的离心率.解：取1PF 的中点M ，连接2MF ,由条件可知1111142HF PF MF ==， Q O 是12F F 的中点，2//OH MF ∴又1OH PF ⊥Q ，21MF PF ∴⊥1222F F PF c ∴==,根据双曲线的定义可知122PF a c =+，12a cHF +∴=， 直线1PF 的方程是：()ay x c b=+ ，即0ax by ac -+= ， 原点到直线的距离22ac OH a a b==+，1OHF ∴∆中，2222a c a c +⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 整理为：223250c ac a --= ， 即23250e e --= ， 解得：53e = ，或1e =-（舍） 故选：C本题考查求双曲线的离心率，意在考查转化和化归，计算能力，属于中档题型，一般求双曲线离心率的方法是1.直接法：直接求出,a c，然后利用公式cea=求解；2.公式法：cea===，3.构造法：根据条件，可构造出,a c的齐次方程，通过等式两边同时除以2a，进而得到关于e的方程.二、多选题9．等腰直角三角形直角边长为1 ，现将该三角形绕其某一边旋转一周，则所形成的几何体的表面积可以为（）AB．(1πC．D．(2π+【答案】AB分2种情况，一种是绕直角边，一种是绕斜边，分别求形成几何体的表面积.解：如果是绕直角边旋转，形成圆锥，圆锥底面半径为1，高为1，母线就是直角三角所以所形成的几何体的表面积是)22111S rl rπππππ=+=⨯⨯=.如果绕斜边旋转，形成的是上下两个圆锥，圆锥的半径是直角三角形斜边的高2，两个圆锥的母线都是直角三角形的直角边，母线长是1，所以写成的几何体的表面积2212S rlππ=⨯=⨯⨯=.综上可知形成几何体的表面积是)1π.故选：AB本题考查旋转体的表面积，意在考查空间想象能力和计算能力，属于基础题型. 10．已知()()22210f x cos x xωωω=->的最小正周期为π，则下列说法正确的有（）A．2ω=B．函数()f x在[0,]6π上为增函数C．直线3xπ=是函数()y f x=图象的一条对称轴D ．5π,012骣琪琪桫是函数()y f x =图象的一个对称中心 【答案】BD首先化简函数()2sin 26f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，根据周期求1ω=，然后再判断三角函数的性质.解：()cos 222sin 26f x x x x πωωω⎛⎫==+⎪⎝⎭， 22ππω=，1ω∴= ()2sin 26f x x π⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭ ，故A 不正确；当0,6x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，2,662x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦ 是函数sin y x =的单调递增区间，故B 正确； 当3x π=时，52366πππ⨯+=，51sin162π=≠±，所以不是函数的对称轴，故C 不正确；、 当512x π=时，52126πππ⨯+=，sin 0π=，所以5,012π⎛⎫⎪⎝⎭是函数()y f x =的一个对称中心，故D 正确. 故选：BD本题考查三角函数的化简和三角函数的性质，本题的思路是整体代入的思想，属于基础题型.11．已知等比数列{}n a 的公比23q =-，等差数列{}n b 的首项112b =，若99a b >且1010a b >，则以下结论正确的有（ ）A ．9100a a ⋅<B ．910a a >C ．100b >D ．910b b >【答案】AD由等比数列的公比0q <，可知9100a a <，又由条件99a b >且1010a b >，判断9b 和10b 中至少有一个数是负数，公差0d <，再判断其他选项. 解：Q 等比数列{}n a 的公比23q =-，9a ∴和10a 异号，9100a a ∴< ，故A 正确；但不能确定9a 和10a 的大小关系；故B 不正确；9a Q 和10a 异号，且99a b >且1010a b >， 9b ∴和10b 中至少有一个数是负数，又1120b =>Q ，0d ∴< 910b b ∴> ，故D 正确，10b ∴一定是负数，即100b < ，故C 不正确；故选：AD本题考查等差和等比数列的性质的判断和综合应用，意在考查推理和判断能力，属于中档题型. 12．把方程1169x x y y+=-表示的曲线作为函数()y f x =的图象，则下列结论正确的有（ ）A ．()y f x =的图象不经过第一象限B ．()f x 在R 上单调递增C ．()y f x =的图象上的点到坐标原点的距离的最小值为3D ．函数()()43g x f x x =+不存在零点 【答案】ACD首先讨论去掉绝对值，并画出函数的图象，直接判断AB ，然后数形结合，并结合椭圆和双曲线的性质判断CD 选项.解：当0,0x y >>，方程是221169x y +=-不表示任何曲线，故A 正确；当0,0x y ≥≤ ，方程是221169x y -=-，即221916y x -= ，当0,0x y ≤≥ ，方程是221169x y -+=- ，即221169x y -=，当0,0x y ≤≤ ，方程是221169x y --=-，即221169x y+= ，如图画出图象由图判断函数在R 上单调递减，故B 不正确；由图判断()y f x =图象上的点到原点距离的最小值点应在0,0x y ≤≤的图象上，即满足221169x y += ，设图象上的点(),P x y2222279191616x PO x y x x ⎛⎫=+=+-=+ ⎪⎝⎭当0x =时取得最小值3，故C 正确； 当()430f x x += ，即()34f x x =-， 函数()()43g x f x x =+的零点，就是函数()y f x = 和34y x =-的交点， 而34y x =-是曲线221916y x -=，0,0x y ≥≤和221169x y -=0,0x y ≤≥的渐近线，所以没有交点，由图象可知34y x =-和221169x y +=，0,0x y ≤≤没有交点，所以函数()()43g x f x x =+不存在零点，故D 正确. 故选：ACD本题考查判断函数的性质，意在考查数形结合分析问题和解决问题的能力，本题的关键是画出函数的图象，因为函数图象是椭圆和双曲线的一部分，还需结合曲线的性质做出判断.三、填空题13．向量()(),4,1,a x b x =-=-r r ，若a r 与b r共线，则实数x =__________．【答案】2±根据两向量共线的坐标表示直接求实数x . 解：//a b rrQ()40x x ∴⋅-+=，解得：2x =±. 故答案为：2±本题考查向量共线的坐标表示，属于简单题型.14．已知圆()()22212x y -+-=关于直线()10,0ax by a b +=>>对称，则21a b+的最小值为__________． 【答案】9由题意可知直线过圆心，即21a b +=，()21212a b ab a b ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭，利用基本不等式求最值.解：由题意可知直线过圆心，即21a b +=()2121222559b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭ 当且仅当22a bb a=时，又()0,0a b >> 即a b =时等号成立， 故21a b+的最小值为9. 故答案为：9本题考查圆的性质和基本不等式求最值，意在考查基本计算能力，属于基础题型. 15．已知P 是抛物线24y x =上的动点，点P 在y 轴上的射影是M ，点A 的坐标为()2,3，则PA PM+的最小值是__________．1首先根据抛物线的定义转化1PA PM PA PF +=+-，再根据数形结合分析PA PF +的最小值.解：设抛物线的焦点是()1,0F ，根据抛物线的定义可知1PM PF=-1PA PM PA PF∴+=+-，PA PF AF+≥Q，当,,A P F三点共线时，等号成立，PA PM∴+的最小值是1AF-，()()22213010AF=-+-=，PA PM∴+的最小值是101-.故答案为：101-本题考查抛物线的定义和抛物线内距离的最值问题，意在考查数形结合分析问题和解决问题的能力，本题的关键是根据抛物线的定义转化1PM PF=-.16．正方体1111ABCD A B C D-的棱长为1，点K在棱11A B上运动，过,,A C K三点作正方体的截面，若K为棱11A B的中点，则截面面积为_________，若截面把正方体分成体积之比为2:1的两部分，则11A KKB=_______【答案】9851-（1）首先作出截面ACMK ，再求截面的面积；（2）取11B C 上的点M ，11B K B M x ==，连接,KM MC ，由题意可知11111133B MK BCA A B CD ABCD V V --==，利用体积公式求x ，再求11A K KB 的比值.解：（1）取11B C 的中点M ，连接KM ，MC ，11//KM AC Q ，而11A C //AC ，//KM AC ∴,,,A C M K ∴四点共面，且AK MC = ∴四边形ACMK 是等腰梯形，如图，22KM =，2AC =2215122AK ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭, 222224AH ==， 22225232244KH AK AH ⎛⎫⎛⎫∴=-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 1232922248ACKM S ⎛∴=⨯⨯= ⎝； （2）设1B K x =，取11B C 上的点M ，11B K B M x ==，连接,KM MC ， 由（1）知,,,A C M K 四点共面， 由图象可知11111133B MK BCA A B CD ABCD V V --==12111113223B MK BCA V x -⎛∴=⨯++⨯= ⎝， 即210x x +-=，解得：x =即1B K =，11A K ==，此时11312A K KB -==. 故答案为：98本题考查截面面积和几何体的体积，意在考查空间想象能力，和计算能力，属于中档题型，本题的关键作出过点,,A C K 的平面.四、解答题17．已知各项均不相等的等差数列{}n a 的前4项和为10，且124,,a a a 是等比数列{}n b 的前3项. (1)求,n n a b ; (2)设()11n n n n c b a a =++，求{}n c 的前n 项和n S .【答案】（1）1,2n n n a n b -==.（2）121nn S n =-+ （1）首先设等差数列的首项1a ，公差为d ，根据条件建立关于1,a d 的方程组，再求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）由（1）可知()1121n n c n n -=++，数列{}12n -是等比数列，按等比数列求和，数列()11n n ⎧⎫⎪⎪⎨⎬+⎪⎪⎩⎭按照裂项相消法求和.解：解:(1)设数列{}n a 的公差为d ，由题意知: ()1234114414+46102a a a a a d a d ⨯-+++==+= ① 又因为124,,a a a 成等比数列， 所以2214a a a =⋅，()()21113a d a a d +=⋅+，21d a d =，又因为0d ≠， 所以1a d =. ② 由①②得11,1a d ==， 所以n a n =，111b a ==，222b a == ，212b qb ==， 12n n b -∴= .(2)因为()111112211n n n c n n n n --⎛⎫=+=+- ⎪++⎝⎭，所以0111111122 (21223)1n n S n n -⎛⎫=++++-+-+⋅⋅⋅+- ⎪+⎝⎭1211121n n -=+--+ 121n n =-+ 所以数列{}n c 的前n 项和121nn S n =-+.本题考查等差，等比数列和数列的求和，意在考查基本方法和计算能力，属于基础题型，一般数列的求和方法包括1.公式法求和2.错位相减法求和；3.裂项相消法求和；4.分组转化法求和；5.倒序相加法求和.18．在底面为正方形的四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面,,,ABCD PA PD E F =分别为棱PC 和AB 的中点.(1)求证://EF 平面PAD ;(2)若直线PC 与AB 所成角的正切值为5，求平面PAD 与平面PBC 所成锐二面角的大小.【答案】（1）见解析（2）4π （1）要证明线面平行，需先证明面面平行，取CD 的中点M ，连接,EM FM ，证明平面//EFM 平面PAD ；（2）分别取AD 和BC 的中点,O N ，连,PO ON ，由条件可证明,,OP ON OA 三条线两两垂直，以O 为原点建立空间直角坐标系，分别求两个平面的法向量,m n r r ，利用公式cos ,m n <>r r求值.解：(1)证明:取CD 的中点M ，连接,EM FM ，因为,E F 分别为PC 和AB 的中点，四边形ABCD 为正方形， 所以//, //EM PD FM AD ，因为,EM FM ⊂平面,,EFM PD AD ⊂平面PAD ， 所以平面//EFM 平面PAD ， 因为EF ⊂平面EFM ， 所以//EF 平面PAD .(2)因为平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD I 平面,ABCD AD CD AD =⊥CD ⊂平面ABCD所以CD ⊥平面PAD ， 所以CD PD ⊥， 因为//AB CD ，所以PCD ∠就是直线PC 与AB 所成的角，所以PD tan PCD DC ∠==，设2PD CD ==，分别取AD 和BC 的中点,O N ，连,PO ON ， 因为PA PD =， 所以PO AD ⊥，因为平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD I 平面,ABCD AD PO =⊂平面PAD ， 所以PO ⊥平面ABCD如图，建立空间直角坐标系O xyz -， 则()()()0,0,2,1,2,0,1,2,0P C B -，所以()()2,0,0,1,2,2CB CP ==-u u u r u u u r，设(),,m x y z =u r 是平面BPC 的一个法向量，则2200x y z x -+=⎧⎨=⎩取1y =，则1z =，所以()0,1,1m =u r()0,1,0n =r是平面PAD 的一个法向量，所以,2m n cos m n m n ⋅<>===u r ru r r u r r ，,4m n π<>=u r r所以所求二面角的大小为4π本题考查证明线面平行和空间坐标法求二面角，意在考查空间想象能力和计算能力，证明线面平行的方法一，可以证明线线平行，证明线面平行，二也可以证明面面平行，证明线面平行，第二问的关键是确定原点，并证明三条线两两垂直，建立空间直角坐标系. 19．在①34asinC ccosA =;②22B Cbsin+=这两个条件中任选-一个，补充在下面问题中，然后解答补充完整的题.在ABC V 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知 ，32a =. (1)求sinA ;(2)如图，M 为边AC 上一点，,2MC MB ABM π=∠=，求ABC V 的面积【答案】（1）见解析（2）见解析（1）结合正弦定理，条件选择①3sin 4cos a C c A =，则34sinAsinC sinCcosA =，再利用公式22sin cos 1A A +=求sin A ；若选择条件②，由正弦定理和诱导公式可得252AsinBcos sinAsinB =，再根据二倍角公式求得25A sin=，再根据sin 2sin cos 22A A A =求解. （2）解法1:设BM MC m ==，在BMC △中由余弦定理，解得5m =，再由（1）4sin 5A =，解得AB 边长，最后求得到ABC ∆的面积；解法2：由MB MC = 可知，3225sin C sin A cosA π⎛⎫⎭=⎪⎝=-=，，再根据正弦定理和面积公式ABC S ∆=4545sin cos sin 244C C C ==. 解：解:若选择条件①，则答案为:(1)在ABC V 中，由正弦定理得34sinAsinC sinCcosA =， 因为sin 0C ≠，所以2234,916sinA cosA sin A cos A ==， 所以22516sin A =，因为0sinA >，所以4=5sinA . (2)解法1:设BM MC m ==，易知45cos BMC cos BMA sinA ∠=-∠=-=-在BMC △中由余弦定理得:22418225m m ⎛⎫=-⋅- ⎪⎝⎭，解得m =所以2113352252BMC S m sin BMC =∠=⨯⨯=V 在Rt ABM V 中，4,52sinA BM ABM π==∠=所以4AB =，所以158ABM S =V ，所以31527288ABC S =+=V 解法2:因为MB MC =，所以MBC C ∠=∠， 因为,2ABM π∠=所以2,222A C C A ππ∠+∠=∠=-∠，所以22sin C sin A cosA π⎛⎫⎪⎝⎭=-= 因为A 为锐角，所以325sin C cosA ==又sin sin sin 4b c a B C A ===所以sin ,4b B =,4c C =所以11445sin sin sin sin 2244542ABC S bc A B C C C π⎛⎫==⨯⨯⨯=+ ⎪⎝⎭V 454527sin cos sin 2448C C C === 若选择条件②，则答案为:(1)因为22B C bsin +=，所以22Absin π-=，由正弦定理得22AsinBcos =，因为0sinB ≠，所以2,2A cos =222A A Acos cos =，因为02Acos≠，所以2A sin =，则2A cos=，所以4sin 2sin cos 225A A A ==. (2)同选择①本题考查正余弦定理，面积公式解三角形，意在考查转化与化归的思想，和计算能力，属于中档题型，本题属于开放性试题，需先选择条件，再求解.20．读书可以使人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然正气书籍是文化的重要载体，读书是承继文化的重要方式某地区为了解学生课余时间的读书情况，随机抽取了n 名学生进行调查，根据调查得到的学生日均课余读书时间绘制成如图所示的频率分布直方图，将日均课余读书时间不低于40分钟的学生称为“读书之星”，日均课余读书时间低于40分钟的学生称为“非读书之星”:已知抽取的样本中日均课余读书时间低于10分钟的有10人(1)求,n p 的值;(2)根据已知条件完成下面的22⨯列联表，并判断是否有95%以上的把握认为“读书之星”与性别有关? 非读书之星 读书之星 总计 男女 1055总计(3)将上述调查所得到的频率视为概率，现从该地区大量学生中，随机抽取3名学生，每次抽取1名，已知每个人是否被抽到互不影响，记被抽取的“读书之星”人数为随机变量X ，求X 的分布列和期望()E X附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.()20P K k ≥0.100.05 0.025 0.010 0.005 0.001【答案】（1）0.01P =,n =100,（2）表见解析，没有95%以上的把握认为“读书之星”与性别有关（3）分布列见解析，()34E X =（1）首先根据频率和为1求P ，再根据频率，频数和样本容量的关系求n ； （2）首先计算“读书之星”的人数，然后再依次填写22⨯列联表；并根据公式计算2K 和3.841比较大小，做出判断；（3）从该地区学生中抽取一名学生是“读书之星”的概率为14，由题意可知1~3,4X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭并求分布列和数学期望.解：（1）()0.0050.0180.0200.0220.025101P +++++⨯= 解得：0.01P =， 所以100.1010n ==. (2)因为100n =，所以“读书之星”有1000.2525⨯= 从而22⨯列联表如下图所示:将22⨯列联表中的数据代入公式计算得()2210030101545100 3.0304555752533K ⨯⨯-⨯==≈⨯⨯⨯因为3.030 3.841<，所以没有95%以上的把握认为“读书之星”与性别有关(3)将频率视为概率，即从该地区学生中抽取一名学生是“读书之星”的概率为14. 由题意可知1~3,4X B ⎛⎫⎪⎝⎭所以()3031127041464P X C ⎛⎫⎛⎫⨯ ⎪ ⎪⎝⎭-=⎝⎭== ()3211271146414P X C ⎛==-=⎫⨯ ⎪⎝⎭， ()223192146414P X C ⎛⎫⎛⎫⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭==-= ()333413641P X C ⎛⎫ ⎪⎭=⎝== 所以X 的分布列为故()13344E X =⨯=. 本题考查频率分布直方图的应用，独立性检验，二项分布，意在考查利用所给数据，分析问题和解决问题的能力，属于中档题型.21．在平面直角坐标系中，()()1 ,0,1,0A B -，设ABC V 的内切圆分别与边,,AC BC AB 相切于点,,P Q R ，已知1CP =，记动点C 的轨迹为曲线E .(1)求曲线E 的方程; (2)过()2,0G 的直线与y 轴正半轴交于点S ，与曲线E 交于点,H HA x ⊥轴，过S 的另一直线与曲线E 交于M N 、两点，若6SMG SHN S S =V V ，求直线MN 的方程.【答案】（1）221(0)43x y y +=≠（2）1y x =+或1y x =+. （1）由内切圆的性质可知CP CQ =，AP AR =，BQ BR =，转化4CA CB AB +=>，利用椭圆定义求椭圆方程；（2）先求点,H S 的坐标，判断2SG SH =，再由6SMG SHN S S =V V ，求得3SM SN =，所以3SM SN =-u u u r u u u r ，求得123x x =-，再分斜率存在和斜率不存在两种情况，当斜率存在时，设直线1y kx =+与椭圆方程联立，得到根与系数的关系，并且根据123x x =-求斜率.解：解:(1)由内切圆的性质可知CP CQ =，AP AR =，BQ BR =， ∴CA CB CP CQ AP BQ +=+++24CP AB AB =+=>.所以曲线E 是以,A B 为焦点，长轴长为4的椭圆(除去与x 轴的交点). 设曲线2222:1(0,0)x y E a b y a b+=>>≠则1,24c a ==， 即2222,3a b a c ==-= 所以曲线E 的方程为221(0)43x y y +=≠. (2)因为HA x ⊥轴，所以31,2H ⎛⎫- ⎪⎝⎭，设()00,S y ， 所以03223y --=-，所以01y =，则()0,1S 因为2a c =，所以2SG SH =， 所以1sin 2261sin 2SMGSMN SM SG MSG SM S S SN SN SH NSH ∠===∠V V 所以3SM SN=，所以3SM SN =-u u u r u u u r 设()()1122,, ,,M x y N x y 则()11,1SM x y =-u u u r()22,1SN x y =-u u u r ，所以123x x =-①直线MN 斜率不存在时， MN 方程为0x =此时2SM SN ==+. ②直线MN 的斜率存在时，设直线MN 的方程为1y kx =+. 联立221143y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()2234880,k x kx ++-= 所以122122834834k x x k k x x k -⎧+=⎪⎪+⎨-⎪⋅=⎪+⎩， 将123x x =-代入得222228348334k x k k x k -⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，所以2224833434k k k k ⎛⎫=⎪⎭+ ⎝+.所以23,2k k == 所以直线MN的方程为1y x =+或1y x =+.本题考查定义法求椭圆方程和直线与椭圆的位置关系求直线方程，意在考查转化与化归的思想和计算能力，第二问中设而不求的基本方法也使得求解过程变得简单，在解决圆锥曲线与动直线问题中，韦达定理，弦长公式都是解题的基本工具.22．已知函数()()2(,)1x f x ae x a R g x x =--∈=. (1)讨论函数()f x 的单调性;(2)当0a >时，若曲线()1:1C y f x x =++与曲线()2:C y g x =存在唯一的公切线，求实数a 的值;(3)当1,0a x =≥时，不等式()()1f x kxln x ≥+恒成立，求实数k 的取值范围.【答案】（1）见解析（2）24a e =（3）1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦（1）()1x f x ae '=-，分0a ≤和0a >讨论函数的单调性；（2）曲线1:x C y ae =，曲线()22:C g x x =，设该公切线与12,C C 分别切于点()()12122,,,x x ae x x ，显然12x x ≠，利用导数的几何意义和两点间的斜率公式求得11222122x x ae x ae x x x -==-，解得()111214(2 1)1x x x x a x e e -==>，()()1 4()1x x F x x e =>- 问题等价于直线y a =与曲线()y F x =在1x >时有且只有一个公共点，利用导数求()F x 的值域；（3）问题等价于不等式()11xe x kxln x --≥+，当0x ≥时恒成立，设()()110()x h x e x kxln x x =---+≥，先求()m x =()h x '，再求()()211'11xm x e k x x ⎡⎤=-+⎢⎥++⎢⎥⎣⎦，分12k ≤和12k >两种情况讨论函数的最小值，判断()0h x ≥是否成立.解：解:(1)()1xf x ae '=-， 当0a ≤时，()'0f x <恒成立，()f x 在()-∞+∞，上单调递减， 当0a >时，由()'0f x =，解得x lna =-，由于0a >时，导函数()1x f x ae '=-单调递增，故 ()x lna ∈-∞-，，()()0,f x f x '<单调递减， ()()(),,0,x lna f x f x '∈-+∞>单调递增.综上，当0a ≤时()f x 在()-∞+∞，上单调递减; 当0a >时， ()f x 在()lna -∞-，上单调递减，在,()lna -+∞上单调递增. . (2)曲线11:x C y ae =与曲线222:C y x =存在唯一公切线，设该公切线与12,C C 分别切于点()()12122,,,x x ae x x ，显然12x x ≠.由于12','2x y ae y x ==， 所以11222122x x ae x ae x x x -==-， 1222212222222x x x x ae x x x -=-=- ，2122222x x x x ∴-=由于0a >，故20x >，且21220x x =->因此11x >， 此时()111214(2 1)1x x x x a x e e -==>， 设()()1 4()1x x F x x e =>- 问题等价于直线y a =与曲线()y F x =在1x >时有且只有一个公共点， 又()4(2 )xx F x e -'=，令()'0F x =，解得2x =， 则()F x 在()1,2上单调递增，(2,)+∞上单调递减，而()()242,10F F e==，当x →+∞时，()0F x → 所以()F x 的值域为240,e ⎛⎤ ⎥⎝⎦. 故24a e =. (3)当1a =时，()1x f x e x =--，问题等价于不等式()11x e x kxln x --≥+，当0x ≥时恒成立.设()()110()xh x e x kxln x x =---+≥，()00h =， 又设()()()' 1 11) 0(x x m x h x e k ln x x x ⎡⎤==--++≥⎢⎥+⎣⎦则()()211'11xm x e k x x ⎡⎤=-+⎢⎥++⎢⎥⎣⎦ 而()'012m k =-.(i)当120k -≥时，即12k ≤时， 由于0,1x x e ≥≥，()()2211111112111k x x x x ⎡⎤⎡⎤+≤+≤⎢⎥⎢⎥++++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦此时()()'0,m x m x ≥在[0,)+∞上单调递增.所以()()00m x m ≥=即()'0h x ≥，所以()h x 在[0,)+∞上单调递增所以()()00h x h ≥=，即()110xe x kxln x ---+≥， 故12k ≤适合题意. (ii)当12k >时，()'00m <， 由于()()21111xm x e k x x ⎡⎤'=-+⎢⎥++⎢⎥⎣⎦在[0,)+∞上单调递增， 令()20x ln k =>，则()()211'222201ln 21ln 2m ln k k k k k x x ⎡⎤=-+>-=⎢⎥++⎢⎥⎣⎦， 故在()0,ln 2k 上存在唯一o x ，使()'0o m x =，因此当()00,x x ∈时，()()'0,m x m x <单调递减，所以()()00m x m <=，即()()'0,h x h x ≤在()00,x 上单调递减，故()()00h x h <=，亦即()1 10xe x hxln x ---+<， 故12k >时不适合题意， 综上，所求k 的取值范围为1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦.本题考查利用导数求函数的单调性，以及根据函数的零点和利用不等式恒成立求参数的取值范围，意在考查转化与化归，推理能力 ，和计算能力，解决零点问题好恒成立问题常用方法还有：分离参数、构造函数、数形结合.。
2020届山东潍坊市高三期末数学试题(10页)
2020届山东潍坊市高三期末数学试题2020．1本试卷共5页．满分150分．考试时间120分钟． 注意事项：1．答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名.2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束，考生必须将试题卷和答题卡一并交回．一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}{}223021=A x x x B x x x Z A B =--≤=-≤<∈⋂，且，则 A. {}21--，B. {}10-，C. {}20-，D. {}11-，2．设()11i a bi +=+(i 是虚数单位)，其中,a b 是实数，则a bi +=A ．1B.C. D.23．已知随机变量ξ服从正态分布()21N σ，，若()40.9P ξ<=，则()21P ξ-<<= A ．0.2B.0.3C ．0.4D ．0.64．《算数书》是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“囷盖”的术：置如其周，令相乘也，叉以高乘之，三十六成一．该术相当于给出了由圆锥的底面周长L 与h ，计算其体积V 的近似公式2136V L h ≈，它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3．若圆锥体积的近似公式为2275V L h ≈，则π应近似取为 A.227B.258C.15750D.355113右图所示，5．函数()()y f x y g x ==与的图象如则的部分图象可能是6．已知某超市为顾客提供四种结账方式：现金、支付宝、微信、银联卡．若顾客甲只会用现金结账，顾客乙只会用现金和银联卡结账，顾客丙与甲、乙结账方式不同，丁用哪种结账方式都可以若甲乙丙丁购物后依次结账，那么他们结账方式的组合种数共有 A ．36种B ．30种C ．24种D ．20种7．已知3sin ,0,cos 452ππααα⎛⎫⎛⎫-=∈= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则A.B.C.D.8．已知点P 为双曲线()2222:10.0x y C a b a b-=>>右支上一点，12F F ，分别为C 的左，右焦点，直线1PF 与C 的一条渐近线垂直，垂足为H ，若114PF HF =，则该双曲线的离心率为A.B.C.53D.73二、多项选择题：本大题共4个小题．每小题5分，共20分。
2020届高三数学 章末综合测试题(20)计数原理、概率、随机变量及其分布
2020届高三数学章末综合测试题（20） 计数原理、概率、随机变量及其分布一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的)1．在1,2,3,4,5这5个数字组成的没有重复数字的三位数中，各位数字之和为奇数的共有( )A ．36个B ．24个C ．18个D ．6个解析 B 各位数字之和为奇数必须3个数字都是奇数或两个偶数1个奇数，前者有A 33＝6个，后者有C 13·A 33＝18个，共24个．2．在⎝⎛⎭⎪⎪⎫x ＋13x 24的展开式中，x 的幂指数是整数的项共有( ) A ．3项 B ．4项 C ．5项D ．6项解析 C T r ＋1＝C r 24(x )24－r⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13x r ＝C r 24x 12－56r ，当r ＝0,6,12,18,24时，x 的幂指数为整数，共5项，故选C.3．商场在国庆黄金周的促销活动中，对10月2日9时至14时的销售额进行统计，其频率分布直方图如图所示，已知9时至10时的销售额为2.5万元，则11时至12时的销售额为( )A ．6万元B ．8万元C ．10万元D ．12万元解析 C 设11时至12时销售额为x 万元，由直方图，得0.10.4＝2.5x，∴x ＝10. 4．在二项式⎝⎛⎭⎪⎫x 2－1x 5的展开式中，含x 4的项的系数是( )A ．－10B ．10C ．－5D ．5解析 B 对于T r ＋1＝C r5(x 2)5－r⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x r ＝(－1)r C r 5x 10－3r ，令10－3r ＝4，得r ＝2，则含x 4的项的系数是C 25(－1)2＝10.5．在四次独立重复试验中事件出现的概率相同，若事件A 至少发生一次的概率为6581，则事件A 在一次试验中出现的概率为 ( )A.13B.35 C.34D.56解析 A 由题意1－(1－p )4＝6581，p ＝13.6．已知某批材料的个体强度X 服从正态分布N (200,182)，现从中任取一件，则取得的这件材料的强度高于182但不高于218的概率为( )(参考数据：P (μ－σ<X ≤μ＋σ)＝0.682 6，P (μ－2σ<X ≤μ＋2σ)＝0.954 4，P (μ－3σ<X ≤μ＋3σ)＝0.997 4)A ．0.997 3B ．0.682 6C ．0.841 3D ．0.815 9解析 B P (200－18<X ≤200＋18)＝0.682 6.7．从4名男生3名女生中选出3人，分别从事3项不同的工作，若这3人中至少有一名女生，则选派方案共有( )A ．108种B ．186种C ．216种D ．270种解析 B 不受限制的选法有A 37＝210种，其中全为男生的选法有A 34＝24种，故3人中至少有一名女生的选派方案有210－24＝186种．8．古代“五行”学说认为：“物质分金、木、水、火、土五种属性，金克木，木克土，土克水，水克火，火克金．”从五种不同属性的物质中随机抽取两种，则抽取的两种物质不相克的概率是( )A.310B.25C.12D.35解析 C 基本事件为：金木、金水、金火、金土、木水、木火、木土、水火、水土、火土，∴n ＝10，不相克的事件数为m ＝10－5＝5，∴m n ＝510＝12.9．已知C 7n ＝C 711＋C m11，则m ，n 的值为( )A ．m ＝7，n ＝12B ．m ＝7，n ＝11C ．m ＝6，n ＝11D ．m ＝6，n ＝12解析 D ∵C m n ＋C m －1n ＝C mn ＋1，∴n ＝12，m ＝6.10．10张奖券中有3张是有奖的，某人从中依次抽两张．则在第一次抽到中奖券的条件下，第二次也抽到中奖券的概率为( )A.27B.29C.310D.15解析 B 设第一次抽到中奖券为事件A ，第二次抽到中奖券记为事件B ，则两次都 抽到中奖券为事件AB .则P (A )＝310；P (AB )＝3×210×9＝115；P (B |A )＝P ABP A ＝115310＝29.11．从10名大学毕业生中选3个人担任村长助理，则甲、乙至少有1人入选，而丙没有入选的不同选法的种数为( )A ．85B ．56C ．49D ．28解析 C 由条件可分为两类：一类是甲乙两人只去一个，其选法有C 12·C 27＝42种；另一类是甲乙都去，其选法有C 22·C 17＝7种，所以共有42＋7＝49种选法．12．选择薪水高的职业是人之常情，假如张伟和李强两人大学毕业有甲、乙两个公司可供选择，现从甲、乙两个公司分别随机抽取了50名员工的月工资资料，统计如下：甲公司 最大值 2 500 最小值 800 极差 1 700 众数 1 200 中位数 1 200 平均数 1 320 标准差433.128 2乙公司 最大值 20 000 最小值 700 极差 19 300 众数1 000根据以上的统计信息，若张伟想找一个工资比较稳定的工作，而李强想找一个有挑战性的工作，则他俩分别选择的公司是( )A ．甲、乙B ．乙、甲C ．都选择甲D ．都选择乙解析 A 由表中的信息可知，甲公司的工资标准差远小于乙公司的工资标准差，这表示甲公司的工资比较稳定，张伟想找一个工资比较稳定的工作，会选择甲公司；而乙公司的工资最大值和极差远大于甲公司的工资最大值和极差，李强想找一个有挑战性的工作，会选择乙公司．二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上) 13．在(1＋x )3＋(1＋x )3＋(1＋3x )3的展开式中，x 的系数为________(用数字作答)． 解析 易知(1＋x )3，(1＋x )3，(1＋3x )3展开式中x 的系数分别是C 13，C 23，C 33，即 所求系数是3＋3＋1＝7. 【答案】 714．一个均匀小正方体的六个面中，三个面上标以数0，两个面上标以数1，一个面上标以数2，将这个小正方体抛掷2次，则向上的数之积的数学期望是________．解析 数0向上的概率为36＝12，数1向上的概率为26＝13，数2向上的概率为16，设向上的数字之积为ξ，ξ＝0,1,2,4，P (ξ＝0)＝12×12＋12×13＋12×16＋13×12＋16×12＝34； P (ξ＝1)＝13×13＝19； P (ξ＝2)＝13×16＋16×13＝19；P (ξ＝4)＝16×16＝136. ∴Eξ＝34×0＋19×1＋19×2＋136×4＝49.【答案】 4915．已知离散型随机变量X 的分布列如下表．若EX ＝0，DX ＝1，则a ＝____，b ＝____.解析 由题意得，a ＋b ＋c ＋112＝1，①∵EX ＝0， ∴－1×a ＋0×b ＋1×c ＋2×112＝0，即－a ＋c ＋16＝0，② ∵DX ＝1，∴(－1－0)2×a ＋(0－0)2×b ＋(1－0)2×c ＋(2－0)2×112＝1，即a ＋c ＝23，③ 联立①②③解得a ＝512，b ＝14.【答案】512 1416．甲、乙两人各抛掷一次正方体骰子(六个面分别标有数字1,2,3,4,5,6)，设甲、乙所抛掷骰子朝上的面的点数分别为x 、y ，则满足复数x ＋y i 的实部大于虚部的概率是________．解析 试验结果共有36种情况．当x ＝6时，y 有5种情况；当x ＝5时，y 有4种情况；当x ＝4时，y 有3种情况；当x ＝3时，y 有2种情况；当x ＝2时，y 有1种情况．所以P ＝5＋4＋3＋2＋136＝512.【答案】512三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(10分)(1)在(1＋x )n的展开式中，若第3项与第6项系数相等，则n 等于多少？(2)⎝⎛⎭⎪⎪⎫x x ＋13x n 的展开式中奇数项的二项式系数之和为128，求展开式中二项式系数最大的项．解析 (1)由已知，得C 2n ＝C 5n ⇒n ＝7. (2)由已知，得C 0n ＋C 2n ＋C 4n ＋…＝128,2n －1＝128，n ＝8，而展开式中二项式系数最大的项是T 4＋1＝C 48(x x )4·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13x 4＝70x 43x 2.18．(12分)一个袋子里装有10张不同的中国移动手机卡，另一个袋子里装有12张不同的中国联通手机卡．(1)某人要从两个袋子中任取一张手机卡供自己使用，共有多少种不同的取法？ (2)某人想得到一张中国移动卡和一张中国联通卡，供自己今后选择使用，共有多少种不同的取法？解析 (1)任取一张手机卡，可以从10张不同的中国移动卡中任取一张，或从12张不同的中国联通卡中任取一张，每一类办法都能完成这件事，故应用分类计数原理，有10＋12＝22(种)取法．(2)从移动、联通卡中各取一张，则要分两步完成：先从移动卡中任取一张，再从联通卡中任取一张，故应用分步计数原理，有10×12＝120(种)取法．19．(12分)学校文娱队的每位队员唱歌、跳舞至少会一项，其中会唱歌的有2人，会跳舞的有5人，现从中选2人．设ξ为选出的人中既会唱歌又会跳舞的人数，且P (ξ>0)＝710. (1)求文娱队的人数；(2)写出ξ的概率分布并计算Eξ.解析 设既会唱歌又会跳舞的有x 人，则文娱队共有(7－x )人，那么只会一项的人数是(7－2x )人．(1)∵P (ξ>0)＝P (ξ≥1)＝1－P (ξ＝0)＝710，∴P (ξ＝0)＝310，即C 27－2x C 27－x ＝310，∴7－2x6－2x 7－x6－x ＝310，∴x ＝2.故文娱队共有5人．(2)P (ξ＝1)＝C 12·C 13C 25＝35，P (ξ＝2)＝C 22C 25＝110，ξ的概率分布为：ξ 0 1 2 P31035110∴Eξ＝0×310＋1×35＋2×10＝5.20．(12分)一台机器由于使用时间较长，生产零件有一些会缺损，按不同转速生产出来的零件有缺损的统计数据如下表：转速x (转/秒)16 14 12 8 每小时生产缺损零件数y (件)11985(1)(2)如果y 与x 线性相关，求出回归直线方程；(3)若实际生产中，允许每小时的产品中有缺损的零件最多为10个，那么，机器的运转速度应控制在什么范围？解析 (1)根据表中的数据画出散点图，如图：(2)设回归直线方程为y ^＝b ^x ＋a ^，i 1 2 3 4 x i 16 14 12 8 y i 11 9 8 5 x i y i1761269640x ＝12.5，y ＝8.25，∑i ＝14x 2i ＝660，∑i ＝14x i y i ＝438，∴b ^＝438－4×12.5×8.25660－4×12.52≈0.729， a ^＝8.25－0.729×12.5＝－0.863.∴y ∧＝0.729x －0.863.(3)令0.729x －0.863≤10，解得x ≤14.9≈15. 故机器的运转速度应控制在15转/秒内．21．(12分)将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处，小球将自由下落．小球在下落的过程中，将3次遇到黑色障碍物，最后落入A 袋或B 袋中．已知小球每次遇到黑色障碍物时，向左、右两边下落的概率都是12.(1)求小球落入A 袋中的概率P (A )；(2)在容器入口处依次放入4个小球，记ξ为落入A 袋中的小球个数，试求ξ＝3的概率和ξ的数学期望Eξ.解析 (1)记“小球落入A 袋中”为事件A ，“小球落入B 袋中”为事件B ，则事件A 的对立事件为B ，而小球落入B 袋中当且仅当小球一直向左落下或一直向右落下，故：P (B )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫123＋⎝ ⎛⎭⎪⎫123＝14， 从而P (A )＝1－P (B )＝1－14＝34.(2)显然，随机变量ξ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，34， 故P (ξ＝3)＝C 34×⎝ ⎛⎭⎪⎫343×14＝2764.ξ的分布列如下：ξ 0 1 2 3 4 P125636427128276481256∴Eξ＝0×1256＋1×64＋2×128＋3×64＋4×256＝3.22．(12分)在2020年春运期间，一名大学生要从广州回到济南老家有两种选择，即坐火车或汽车．已知该大学生先去买火车票的概率是先去买汽车票概率的3倍，汽车票随时都能买到．若先去买火车票，则买到火车票的概率为0.6，买不到火车票，再去买汽车票．(1)求这名大学生先去买火车票的概率；(2)若火车票的价格为120元，汽车票的价格为280元，设该大学生购买车票所花费钱数为ξ，求ξ的期望值．解析 (1)设先去买火车票的概率为P (A )，先去买汽车票的概率为P (B )， 则由条件可知⎩⎪⎨⎪⎧P A ＝3P B ，PA ＋PB ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧PA ＝0.75，PB ＝0.25.即先去买火车票的概率为0.75.(2)该大学生首先到火车站且买到火车票的概率为0.75×0.6＝0.45， ∴该大学生买汽车票的概率为1－0.45＝0.55.设该大学生购买车票所花费钱数为ξ，可得ξ的分布列如下：ξ 120 280 P0.450.55Eξ＝120×0.45＋280×0.55＝208.。
山东省潍坊市2020届高三上学期期末测试数学(理科)试卷Word版含解析
山东省潍坊市2020届高三上学期期末测试数学（理科）试卷一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A. B. C. D.2.已知函数为奇函数，且当时，，则（）A. B. C. D.3.若，则（）A. B. C. D.4.双曲线：，当变化时，以下说法正确的是（）A. 焦点坐标不变B. 顶点坐标不变C. 渐近线不变D. 离心率不变5.若实数，满足，则的最大值是（）A. B. C. D.6.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）主视图左视图俯视图A. B. C. D.7.若将函数的图象向右平移个单位长度，则平移后所得图象对应函数的单调增区间是（）A. B.C. D.8.已知函数,则不等式的解集为（）A. B. C. D.9.四色猜想是世界三大数学猜想之一，1976年数学家阿佩尔与哈肯证明，称为四色定理.其内容是：“任意一张平面地图只用四种颜色就能使具有共同边界的国家涂上不同的颜色.”用数学语言表示为“将平面任意地细分为不相重叠的区域，每一个区域总可以用，，，四个数字之一标记，而不会使相邻的两个区域得到相同的数字.”如图，网格纸上小正方形的边长为，粗实线围城的各区域上分别标有数字，，，的四色地图符合四色定理，区域和区域标记的数字丢失.若在该四色地图上随机取一点，则恰好取在标记为的区域的概率所有可能值中，最大的是（）A. B. C. D.10.已知抛物线的焦点为，为抛物线上一点，，当周长最小时，所在直线的斜率为（）A. B. C. D.11.由国家公安部提出，国家质量监督检验检疫总局发布的《车辆驾驶人员血液、呼气酒精含量阀值与检验标准（GB/T19522-2010）》于2011年7月1日正式实施.车辆驾驶人员酒饮后或者醉酒后驾车血液中的酒精含量阀值见表.经过反复试验，一般情况下，某人喝一瓶啤酒后酒精在人体血液中的变化规律的“散点图”见图，且图表示的函数模型，则该人喝一瓶啤酒后至少经过多长时间才可以驾车（时间以整小时计算）？（参考数据：，）阀值，车辆驾车人员血液酒精含量阀值喝1瓶啤酒的情况A. B. C. D.12.已知偶函数的定义域为，且满足，当时，，.①方程有个不等实根；②方程只有个实根；③当时，方程有个不等实根；④存在使.A. ①②B. ①③C. ①④D. ②④二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.设向量，，若，则实数__________．14.二项式的展开式中，的系数为__________．（用数字填写答案）15.已知圆台的上、下底面都是球的截面，若圆台的高为，上、下底面的半径分别为，，则球的表面积为__________．16.锐角的内角，，的对边分别为，，.若，则的取值范围是__________．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知数列的前项和为，且，，成等差数列.（1）求数列的通项公式；（2）数列满足，求数列的前项和.18.如图，正方形所在平面与等腰梯形所在平面互相垂直，已知，，.（1）求证：平面平面；（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值.19.已知椭圆：的左、右焦点分别为，，椭圆的长轴长与焦距之比为，过的直线与交于，两点.（1）当的斜率为时，求的面积；（2）当线段的垂直平分线在轴上的截距最小时，求直线的方程.20.某钢铁加工厂新生产一批钢管，为了了解这批产品的质量状况，检验员随机抽取了件钢管作为样本进行检测，将它们的内径尺寸作为质量指标值，由检测结果得如下频率分布表和频率分布直方图：（1）求，；（2）根据质量标准规定：钢管内径尺寸大于等于或小于为不合格，钢管内径尺寸在或为合格，钢管内径尺寸在为优等.钢管的检测费用为元/根，把样本的频率分布作为这批钢管的概率分布.（i）若从这批钢管中随机抽取根，求内径尺寸为优等钢管根数的分布列和数学期望；（ii）已知这批钢管共有根，若有两种销售方案：第一种方案：不再对该批剩余钢管进行检测，扣除根样品中的不合格钢管后，其余所有钢管均以元/根售出；第二种方案：对该批钢管进行一一检测，不合格钢管不销售，并且每根不合格钢管损失元，合格等级的钢管元/根，优等钢管元/根.请你为该企业选择最好的销售方案，并说明理由.21.已知，.（1）若，判断函数在的单调性；（2）证明：，；（3）设，对，，有恒成立，求的最小值.22.已知在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以轴的非负半轴为极轴，原点为极点建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位，若直线和分别与曲线相交于、两点（，两点异于坐标原点）.（1）求曲线的普通方程与、两点的极坐标；（2）求直线的极坐标方程及的面积.23.设函数.（1）证明：；（2）若不等式的解集为，求实数的值.山东省潍坊市2020届高三上学期期末测试数学（理科）试卷参考答案一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本道题计算集合A的范围,结合集合交集运算性质,即可.【详解】,所以,故选D.【点睛】本道题考查了集合交集运算性质,难度较小.2.已知函数为奇函数，且当时，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本道题结合奇函数满足,计算结果,即可.【详解】,故选C.【点睛】本道题考查了奇函数的性质,难度较小.3.若，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本道题化简式子,计算出,结合,即可.【详解】,得到,所以,故选C.【点睛】本道题考查了二倍角公式,难度较小.4.双曲线：，当变化时，以下说法正确的是（）A. 焦点坐标不变B. 顶点坐标不变C. 渐近线不变D. 离心率不变【答案】C【解析】【分析】本道题结合双曲线的基本性质，即可。
山东省潍坊市新城中学2020-2021学年高三数学文期末试卷含解析
山东省潍坊市寒亭区实验中学2020年高三数学文下学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 抛物线的准线经过双曲线的左焦点，则（）A. B. C. D.参考答案：C略2. 已知等比数列{a n}的首项为a1，公比为q，满足a1（q﹣1）＜0且q＞0，则（）A．{a n}的各项均为正数B．{a n}的各项均为负数C．{a n}为递增数列D．{a n}为递减数列参考答案：D【考点】等比数列的通项公式．【分析】由等比数列{a n}的通项公式知a n+1﹣a n=a n+1﹣a n=，从而推导出a n+1﹣a n＜0，由此得到数列{a n}为递减数列．【解答】解：由等比数列{a n}的通项公式a n=，知a n+1﹣a n=，由a1（q﹣1）＜0且q＞0知，，即a n+1﹣a n＜0，所以数列{a n}为递减数列．故选：D．3. 设双曲线的左准线与两条渐近线交于两点，左焦点在以为直径的圆内，则该双曲线的离心率的取值范围为 A． B． C． D．，参考答案：B本题主要考查双曲线的几何性质的应用、离心率的求法、不等式的性质，以及考查较强的分析与解决问题逻辑思维能力、运算能力，现时考查方程的思想、转化的思想．难度偏上．设双曲线的标准方程为－＝1(a＞0，b＞0)，则其渐近线方程为ｙ＝±x，准线方程为x＝－，则代入渐近线方程得ｙ＝±·(－)＝±，所以圆的半径r＝．易知左焦点到圆心(准线与x轴的交点)的距离d＝c－．由条件知d＜r，即c－＜，所以c2－a2＜ab，即b2＜ab，故＜1，于是离心率e＝＝＜，即e∈(1，)．难度中等偏上．4. 下列函数中，在其定义域内既是增函数又是奇函数的是( )A． y= －B. y=lnxC. y=D. y=x3＋参考答案：D略5. 1+（1+）+（1++）+…+（1+++…+）的值为( )A．18+B．20+C．22+D．18+参考答案：B【考点】数列的求和．【专题】等差数列与等比数列．【分析】利用等比数列的通项公式及其前n项和公式即可得出．【解答】解：∵a n=1++…+==2，∴S n=2n﹣=2n﹣=2n﹣2+，∴S11=20+．故选：B．【点评】本题考查了等比数列的通项公式及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．6. 已知双曲线的方程为，双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为（c为双曲线的半焦距长），则双曲线的离心率为A． B． C．D．参考答案：B略7. 已知函数，则 ( )A、32B、16C、D、参考答案：D略8. 在同一直角坐标系中，函数f(x)＝sin ax(a R)与g(x)＝(a－1)x2－ax的部分图象不可能为( ) 参考答案：C9. 已知平面内一点及，若，则点与的位置关系是A.点在线段上B.点在线段上C.点在线段上D.点在外部参考答案：C由得，即，所以点在线段上，选C.10. 已知集合则等于(A){0,1,2,6}(B){3,7,8,}(C){1,3,} (D){1,3,6,7,8}参考答案：C略二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 设F 是抛物线的焦点，点A 是抛物线与双曲线的一条渐近线的一个公共点，且轴，则双曲线的离心率为___________.参考答案：12. 非零向量，夹角为，且，则的取值范围为参考答案：略13. 设x ，y 满足约束条件，向量，且，则的最小值为 ．参考答案：-614. 设a 为实常数，y=f （x ）是定义在R 上的奇函数，当x ＜0时，f （x ）=9x++7．若f （x ）≥a+1对一切x≥0成立，则a 的取值范围为 ． ．参考答案：【考点】函数奇偶性的性质；基本不等式．【分析】先利用y=f （x ）是定义在R 上的奇函数求出x≥0时函数的解析式，将f （x ）≥a+1对一切x≥0成立转化为函数的最小值≥a+1，利用基本不等式求出f （x ）的最小值，解不等式求出a 的范围．【解答】解：因为y=f （x ）是定义在R 上的奇函数， 所以当x=0时，f （x ）=0；当x ＞0时，则﹣x ＜0，所以f （﹣x ）=﹣9x ﹣+7因为y=f （x ）是定义在R 上的奇函数，所以f （x ）=9x+﹣7；因为f （x ）≥a+1对一切x≥0成立， 所以当x=0时，0≥a+1成立， 所以a≤﹣1；当x ＞0时，9x+﹣7≥a+1成立，只需要9x+﹣7的最小值≥a+1，因为9x+﹣7≥2=6|a|﹣7，所以6|a|﹣7≥a+1， 解得，所以．故答案为：．15. 已知方程的解所在区间为，则= ．参考答案：316. 已知函数f （x ）=x 3对应的曲线在点（a k ，f （a k ））（k∈N *）处的切线与x 轴的交点为（a k+1，0），若a 1=1，则= ．参考答案：3考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：计算题；导数的概念及应用；等差数列与等比数列．分析：求出函数的导数，可得切线的斜率，由点斜式方程可得切线方程，再令y=0，结合等比数列的定义可得，数列{a n}是首项a1=1，公比的等比数列，再由等比数列的求和公式计算即可得到所求值．解答：解：由f'（x）=3x2得曲线的切线的斜率，故切线方程为，令y=0得，故数列{a n}是首项a1=1，公比的等比数列，又=，所以．故答案为：3．点评：本题考查导数的运用：求切线的方程，主要考查导数的几何意义，同时考查等比数列的定义和求和公式，运用点斜式方程求得切线方程是解题的关键．17. 如图所示，已知在△ABC中，∠C=90°，正方形DEFC内接于△ABC，DE∥AC，EF∥BC，AC=1，BC=2，则AF∶FC= 。
2019-2020学年山东省潍坊市高三(上)期末数学试卷
2019-2020学年山东省潍坊市高三（上）期末数学试卷一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合2{|230}A x x x =--„，{|21B x x =-<„且}x Z ∈，则(A B =I ) A ．{2-，1}-B ．{1-，0}C ．{2-，0}D ．{1-，1}2．（5分）设(1)1(i a bi i +=+是虚数单位），其中a ，b 是实数，则||(a bi += ) A ．1B ．2C ．3D ．23．（5分）已知随机变量ξ服从正态分布2(1,)N σ，若(4)0.9P ξ<=，则(21)(P ξ-<<= )A ．0.2B ．0.3C ．0.4D ．0.64．（5分）《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“囷盖”的术：置如其周，令相乘也，又以高乘之，三十六成一，该术相当于给出了由圆锥的底面周长L 与高h ，计算其体积V 的近似公式2136V L h ≈，它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3，那么，近似公式2275V L h ≈相当于将圆锥体积公式中的π近似取为( ) A ．227B ．258C ．15750D ．3551135．（5分）函数()y f x =与()y g x =的图象如图所示，则()()y f x g x =g 的部分图象可能是()A ．B ．C ．D ．6．（5分）已知某超市为顾客提供四种结账方式：现金、支付宝、微信、银联卡．若顾客甲只会用现金结账，顾客乙只会用现金和银联卡结账，顾客丙与甲、乙结账方式不同，丁用哪种结账方式都可以若甲乙丙丁购物后依次结账，那么他们结账方式的组合种数共有( ) A ．36种B ．30种C ．24种D ．20种7．（5分）已知3sin()45πα-=，且α为锐角，则cos (α= )A ．B ．C D8．（5分）已知点P 为双曲线2222:1(00)x y C a b a b -=>>g 右支上一点，1F ，2F 分别为C 的左，右焦点，直线1PF 与C 的一条渐近线垂直，垂足为H ，若11||4||PF HF =，则该双曲线的离心率为( )A B C ．53D ．73二、多项选择题：本大题共4个小题．每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分．选对但不全的得3分，有选错的得0分． 9．（5分）等腰直角三角形直角边长为1，现将该三角形绕其某一边旋转一周，则所形成的几何体的表面积可以为( )AB ．(1π+C ．D ．(2)10．（5分）已知2()2cos 21(0)f x x x ωωω=->的最小正周期为π，则下列说法正确的有( ) A ．2ω=B ．函数()f x 在[0,]6π上为增函数C ．直线3x π=要是函数()y f x =图象的一条对称轴D ．点5(,0)12π是函数()y f x =图象的一个对称中心11．（5分）已知等比数列{}n a 的公比23q =-，等差数列{}n b 的首项112b =，若99a b >且1010a b >，则以下结论正确的有( ) A ．9100a a <g B ．910a a >C ．100b >D ．910b b >12．（5分）把方程||||1169x x y y +=-表示的曲线作为函数()y f x =的图象，则下列结论正确的有( )A ．()y f x =的图象不经过第一象限B ．()f x 在R 上单调递增C ．()y f x =的图象上的点到坐标原点的距离的最小值为3D ．函数()4()3g x f x x =+不存在零点三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）向量(,4)a x =-r，(1,)b x =-r ，若a r 与b r 共线，则实数x = ． 14．（5分）已知圆22(2)(1)2x y -+-=关于直线1(0,0)ax by a b +=>>对称，则21a b+的最小值为 ．15．（5分）已知P 是抛物线24y x =上的动点，点P 在y 轴上的射影是M ，点A 的坐标为(2,3)，则||||PA PM +的最小值是 ．16．（5分）正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，点K 在棱11A B 上运动，过A ，C ，K 三点作正方体的截面，若K 为棱11A B 的中点，则截面面积为 ，若截面把正方体分成体积之比为2:1的两部分，则11A KKB = ．四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）已知各项均不相等的等差数列{}n a 的前4项和为10，且1a ，2a ，4a 是等比数列{}n b 的前3项． （1）求n a ，n b ； （2）设(){}1,1n n n n n c b c a a =++求的前n 项和n S ．18．（12分）在底面为正方形的四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，PA PD =，E ，F 分别为棱PC 和AB 的中点．（1）求证：//EF 平面PAD ； （2）若直线PC 与AB 所成角的正切值为52，求平面PAD 与平面PBC 所成锐二面的大小．19．（12分）在①3sin 4cos a C c A =，②2sin 5sin 2B Cb a B +=这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，然后解答补充完整的题．在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知 ，32a =． （1）求sin A ；（2）如图，M 为边AC 上一点MC MB =．2ABM π∠=，求ABC ∆的面积．注：如果选择两个条件分别解答，按第一个解答计分．20．（12分）读书可以使人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然正气．书籍是文化的重要载体，读书是承继文化的重要方式．某地区为了解学生课余时间的读书情况，随机抽取了n 名学生进行调查，根据调查得到的学生日均课余读书时间绘制成如图所示的频率分布直方图．将日均课余读书时间不低于40分钟的学生称为“读书之星”，日均课余读书时间低于40分钟的学生称为“非读书之星”．已知抽取的样本中日均课余读书时间低于10分钟的有10人． （1）求n ，p 的值；（2）根据已知条件完成下面的22⨯列联表，并判断是否有95%以上的把握认为“读书之星”与性别有关？非读书之星 读书之星总计男 女 10 55 总计（3）将上述调查所得到的频率视为概率，现从该地区大量学生中，随机抽取3名学生，每次抽取1名，已知每个人是否被抽到互不影响，记被抽取的“读书之星”人数为随机变量X ，求X 的分布列和期望()E X ． 附：()()()()()22,n ad bc K n a b c d a b c d a c b d -==+++++++其中．20()P K k … 0.10 0.050 0.025 0.010 0.005 0.001 0k2.7063.8415.0246.6357.87910.82821．（12分）在平面直角坐标系中，( 1.0)A -，(1,0)B ，设ABC ∆的内切圆分别与边AC ，BC ，AB 相切于点P ，Q ，R ，已知||1CP =，记动点C 的轨迹为曲线E ．（1）求曲线E 的方程；（2）过(2,0)G 的直线与y 轴正半轴交于点S ，与曲线E 交于点H ，HA x ⊥轴，过S 的另一直线与曲线E 交于M 、N 两点，若6SMG SHN S S ∆∆=，求直线MN 的方程． 22．（12分）已知函数2()1()()x f x ae x a R g x x =--∈= （1）讨论函数()f x 的单调性；（2）当0a >时，若曲线1:()1C y f x x =++与曲线2:()C y g x =存在唯一的公切线，求实数a 的值；（3）当1a =，0x …时，不等式()(1)f x kxln x +…恒成立，求实数k 的取值范围．2019-2020学年山东省潍坊市高三（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合2{|230}A x x x =--„，{|21B x x =-<„且}x Z ∈，则(A B =I ) A ．{2-，1}-B ．{1-，0}C ．{2-，0}D ．{1-，1}【解答】解：{|13}A x x =-Q 剟，{2B =-，1-，0}， {1A B ∴=-I ，0}．故选：B ．2．（5分）设(1)1(i a bi i +=+是虚数单位），其中a ，b 是实数，则||(a bi += )A ．1B C D ．2【解答】解：由(1)1i a bi +=+，得1a ai bi +=+，∴1a ab =⎧⎨=⎩，则1a b ==．|||1|a bi i ∴+=+=故选：B ．3．（5分）已知随机变量ξ服从正态分布2(1,)N σ，若(4)0.9P ξ<=，则(21)(P ξ-<<= )A ．0.2B ．0.3C ．0.4D ．0.6【解答】解：Q 随机变量ξ服从正态分布2(1,)N σ，∴正态分布曲线的对称轴方程为1x =，由(4)0.9P ξ<=，得(4)(2)0.1P P ξξ>=<-=， 则11(21)(24)0.80.422P P ξξ-<<=-<<=⨯=． 故选：C ．4．（5分）《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“囷盖”的术：置如其周，令相乘也，又以高乘之，三十六成一，该术相当于给出了由圆锥的底面周长L 与高h ，计算其体积V 的近似公式2136V L h ≈，它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3，那么，近似公式2275V L h ≈相当于将圆锥体积公式中的π近似取为( ) A ．227B ．258C ．15750D ．355113【解答】解：设圆锥底面圆的半径为r ，高为h ，则2L r π=，∴2212(2)375r h r h ππ=， 258π∴=． 故选：B ．5．（5分）函数()y f x =与()y g x =的图象如图所示，则()()y f x g x =g 的部分图象可能是()A ．B ．C ．D ．【解答】解：由图可知，当(,)2x π∈-∞-时，0y <；当(,0)2x π∈-时，0y >；当(0,)2x π∈时，0y <；当(,)2x π∈+∞时，0y >；符合要求的只有选项A ． 故选：A ．6．（5分）已知某超市为顾客提供四种结账方式：现金、支付宝、微信、银联卡．若顾客甲只会用现金结账，顾客乙只会用现金和银联卡结账，顾客丙与甲、乙结账方式不同，丁用哪种结账方式都可以若甲乙丙丁购物后依次结账，那么他们结账方式的组合种数共有( ) A ．36种B ．30种C ．24种D ．20种【解答】解：根据题意，依次分析四人的结账方式：对于甲，只会用现金结账，有1种方式， 对于乙，只会用现金和银联卡结账，有2种方式，对于丙，与甲、乙结账方式不同，若乙用现金，则丙有3种方式，若乙用银行卡，则丙有2种方式，对于丁，用哪种结账方式都可以，有4种方式， 则他们结账方式的组合有342420⨯+⨯=种， 故选：D ．7．（5分）已知3sin()45πα-=，且α为锐角，则cos (α= )A ．10-B ．10C ．10D ．10【解答】解：由于3sin()45πα-=，且α为锐角，则444πππα-<-<，即4cos()45πα-==，则cos cos[()]44ππαα=-+cos()cos sin()sin 4444ππππαα=---43()55=-=． 故选：C ．8．（5分）已知点P 为双曲线2222:1(00)x y C a b a b-=>>g 右支上一点，1F ，2F 分别为C 的左，右焦点，直线1PF 与C 的一条渐近线垂直，垂足为H ，若11||4||PF HF =，则该双曲线的离心率为( )A B C ．53D ．73【解答】解：如图：取1PF 的中点M ． 11||4||PF HF =Q ，2//OH MF ∴．Q 直线1PF 垂直OH ，垂足为H ，21MF PF ∴⊥，故△12PF F 为等腰三角形． 2122PF F F c ∴==，可得122PF a c =+．121tan tan bF F M FOH a∠=∠=Q ， 112112sin sin 2MF a c bF F M FOH F F c c+∴∠===∠=． 2a c b ∴+=，2222()4()3250a c c a e e ⇒+=-⇒--=，解得53e =，故选：C ．二、多项选择题：本大题共4个小题．每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分．选对但不全的得3分，有选错的得0分． 9．（5分）等腰直角三角形直角边长为1，现将该三角形绕其某一边旋转一周，则所形成的几何体的表面积可以为( ) A 2πB ．(12)π+C ．22πD ．(22)π【解答】解：若绕一条直角边旋转一周时，则圆锥的底面半径为1，高为1，所以母线长2l 这时表面积为21211(12)2l πππ+=g gg g ；若绕斜边一周时旋转体为L 2，一个圆锥的母线长为1，所以表面积1222S =g 212ππ=g ，2π， 故选：AB ．10．（5分）已知2()2cos 321(0)f x x x ωωω=->的最小正周期为π，则下列说法正确的有( ) A ．2ω=B ．函数()f x 在[0,]6π上为增函数C ．直线3x π=要是函数()y f x =图象的一条对称轴D ．点5(,0)12π是函数()y f x =图象的一个对称中心【解答】解：Q 2()2cos 21(0)cos222cos(2)3f x x x x x x πωωωωωω=->==-的最小正周期为22ππω=， 1ω∴=，()2cos(2)3f x x π∴=-，故A 错误．在[0,]6π上，2[33x ππ-∈-，0]，故()2cos(2)3f x x π=- 单调递增，故B 正确；当3x π=时，()1f x =，不是最值，故直线3x π=不是函数()y f x =图象的一条对称轴，故C错误； 当512x π=时，()0f x =，故点5(,0)12π是函数()y f x =图象的一个对称中心，故D 正确， 故选：BD ．11．（5分）已知等比数列{}n a 的公比23q =-，等差数列{}n b 的首项112b =，若99a b >且1010a b >，则以下结论正确的有( ) A ．9100a a <gB ．910a a >C ．100b >D ．910b b >【解答】解：数列{}n a 是公比q 为23-的等比数列，{}n b 是首项为12，公差设为d 的等差数列，则8912()3a a =-，91012()3a a =-，21791012()03a a a ∴=-<g ，故A 正确；1a Q 正负不确定，故B 错误；10a Q 正负不确定，∴由1010a b >，不能求得10b 的符号，故C 错误；由99a b >且1010a b >，则812()1283a d ->+，912()1293a d ->+，可得等差数列{}n b 一定是递减数列，即0d <， 即有9910a b b >>，故D 正确．故选：AD．12．（5分）把方程||||1169x x y y+=-表示的曲线作为函数()y f x=的图象，则下列结论正确的有()A．()y f x=的图象不经过第一象限B．()f x在R上单调递增C．()y f x=的图象上的点到坐标原点的距离的最小值为3 D．函数()4()3g x f x x=+不存在零点【解答】解：根据题意画出方程||||1169x x y y+=-曲线即为函数()y f x=的图象，如图所示．轨迹是两段双曲线的一部分加上一段的椭圆圆弧组成的图形．从图形中可以看出，关于函数()y f x=的有下列说法：A图象不过第一象限，正确；B，()f x在R上单调递减，故B错误．C，由图象可知，()y f x=的图象上的点到坐标原点的距离的最小值为3，C正确；D，由于4()30f x x+=即3 ()4xf x=-，从而图形上看，函数()f x的图象与直线34xy=-没有交点，故函数()4()3F x f x x=+不存在零点，故D正确．故选：ACD．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）向量(,4)a x =-r，(1,)b x =-r ，若a r 与b r 共线，则实数x = 2± ． 【解答】解：向量(,4)a x =-r，(1,)b x =-r ， 若a r与b r 共线，则2(4)10x ---⨯=，解得2x =±． 故答案为：2±．14．（5分）已知圆22(2)(1)2x y -+-=关于直线1(0,0)ax by a b +=>>对称，则21a b+的最小值为 9 ．【解答】解：圆22(2)(1)2x y -+-=关于直线1(0,0)ax by a b +=>>对称，21a b ∴+=，则21212222()(2)5529b a b a a b a b a b a b a b+=++=+++=g …， 当且仅当22b a a b =即13a b =时取等号，此时取得最小值9． 故答案为：915．（5分）已知P 是抛物线24y x =上的动点，点P 在y 轴上的射影是M ，点A 的坐标为(2,3)，则||||PA PM +的最小值是101 ．【解答】解：当2x =时，2428y =⨯=，所以22y =±||22y =32>，所以点A在抛物线的外侧，延长PM交直线1x=-，由抛物线的定义可知||||1||PN PM PF=+=，当三点A，P，F共线时，||||PA PF+最小，此时为||||||PA PF AF+=，又焦点坐标为(1,0)F，所以22||(21)310 AF=-+=，即||1||PM PA++的最小值为10，所以||||PM PA+的最小值为101-，故答案为：101-．16．（5分）正方体1111ABCD A B C D-的棱长为1，点K在棱11A B上运动，过A，C，K三点作正方体的截面，若K为棱11A B的中点，则截面面积为98，若截面把正方体分成体积之比为2:1的两部分，则11A KKB=．【解答】解：如图，过K作//KM AC，交11B C于M，连结MC，则平面ACMK 是过A ，C ，K 三点的正方体的截面，K Q 为棱11A B 的中点，M ∴是11B C 的中点，221121122KM AC ∴==+=，∴截面ACMK 的面积为221229(2)1()248S =⨯+⨯+=． 正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，点K 在棱11A B 上运动， 截面ACMK 把正方体分成体积之比为2:1的两部分， 设1B K x =，则1B M x =，11A K x =-，∴22222111111(11)11322223x x ++=g g g g g g ， 整理，得210x x +-=， 由01x <<，解得51x -=， ∴11511151251A K xKB x----===-．故答案为：98，51-．四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）已知各项均不相等的等差数列{}n a 的前4项和为10，且1a ，2a ，4a 是等比数列{}n b 的前3项． （1）求n a ，n b ； （2）设(){}1,1n n n n n c b c a a =++求的前n 项和n S ．【解答】解：（1）设数列{}n a 的公差为(0)d d ≠， 由题意，4114(41)446102S a d a d ⨯-=+=+=，① 又1a Q ，2a ，4a 成等比数列，∴2214a a a =， 即2111()(3)a d a a d +=+，得1a d =，② 联立①②可得，11a d ==． n a n ∴=，12n n b -=；（2）Q 1112(1)(1)n n n n n c b a a n n -=+=+++， ∴01111111(222)(1)2231n n S n n -=++⋯++-+-+⋯+-+ 1211121211n n n n -=+-=--++． ∴数列{}n c 的前n 项和为121n n S n =-+． 18．（12分）在底面为正方形的四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，PA PD =，E ，F 分别为棱PC 和AB 的中点．（1）求证：//EF 平面PAD ； （2）若直线PC 与AB 所成角的正切值为5，求平面PAD 与平面PBC 所成锐二面的大小．【解答】解：（1）证明：取CD 的中点M ，连结EM ，FM ，E Q ，F 分别为PC 和AB 的中点，四边形ABCD 是正方形， //EM PD ∴，//FM AD ，EM FM M =Q I ，PD AD D =I ，∴平面//EFM 平面PAD ，EF ⊂Q 平面EFM ，//EF ∴平面PAD ．（2）解：Q 平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD ⋂平面ABCD AD =，CD AD ⊥，CD ⊂平面ABCD ， CD ∴⊥平面PAD ，CD PD ∴⊥，//AB CD Q ，PCD ∴∠是直线PC 与AB 所成角，5tan PD PCD DC ∴∠==，设5PD =，2CD =， 分别取AD 和BC 的中点O ，N ，连结PO ，ON ，PA PD =Q ，PO AD ∴⊥，Q 平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD ⋂平面ABCD AD =，PO ⊂平面PAD ，PO ∴⊥平面ABCD ，以O 为原点，OA 为x 轴，ON 为y 轴，OP 为z 轴，建立空间直角坐标系， 则(0P ，0，2)，(1C -，2，0)，(1B ，2，0)， ∴(2CB =u u u r ，0，0)，(1CP =u u u r，2-，2)， 设(m x =r，y ，)z 是平面BPC 的一个法向量，则20220m CB x m CP x y z ⎧==⎪⎨=-+=⎪⎩u u u r r g u u u rr g ，取1y =，得(0m =r ，1，1)， 平面PAD 的一个法向量(0n =r，1，0)，2cos ,||||21m n m n m n ∴<>===⨯r r g r r r r g ，,4m n π<>=r r，∴平面PAD 与平面PBC 所成锐二面的大小为4π．19．（12分）在①3sin 4cos a C c A =，②2sin 5sin 2B Cb a B +这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，然后解答补充完整的题．在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知 ①② ，32a =．（1）求sin A ；（2）如图，M 为边AC 上一点MC MB =．2ABM π∠=，求ABC ∆的面积．注：如果选择两个条件分别解答，按第一个解答计分．【解答】解：若选择条件①，则：（1）在ABC ∆中，由正弦定理可得3sin sin 4sin cos A C C A =， 因为sin 0C ≠，所以3sin 4cos A A =，可得229sin 16cos A A =， 所以225sin 16A =， 因为sin 0A >， 所以4sin 5A =． （2）设BM MC m ==，易知4cos cos sin 5BMC BMA A ∠=-∠=-=-，在BMC ∆中，由余弦定理可得2241822()5m m =--g ，解得5m =，所以21133sin 52252BMC S m BMC ∆=∠=⨯⨯=，在Rt ABM ∆中，4sin 5A =，5BM =，2ABM π∠=，所以35AB =，所以158ABM S ∆=， 所以31527288ABCBMC ABM S S S ∆∆∆=+=+=． 若选择②，则： （1）因为2sin 5sin 2B Cb a B +=， 所以2sin5sin 2Ab a B π-，由正弦定理可得2sin cos 5sin 2AB A B ， 因为sin 0B ≠， 所以2cos52A A ，2cos 52sin cos 222A A A ⨯，因为cos 02A≠， 可得sin 25A =，则cos 25A =，所以4sin 2sincos 225A A A ==． （2）同选择①．20．（12分）读书可以使人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然正气．书籍是文化的重要载体，读书是承继文化的重要方式．某地区为了解学生课余时间的读书情况，随机抽取了n 名学生进行调查，根据调查得到的学生日均课余读书时间绘制成如图所示的频率分布直方图．将日均课余读书时间不低于40分钟的学生称为“读书之星”，日均课余读书时间低于40分钟的学生称为“非读书之星”．已知抽取的样本中日均课余读书时间低于10分钟的有10人． （1）求n ，p 的值；（2）根据已知条件完成下面的22⨯列联表，并判断是否有95%以上的把握认为“读书之星”与性别有关？非读书之星 读书之星总计 男 女 10 55 总计（3）将上述调查所得到的频率视为概率，现从该地区大量学生中，随机抽取3名学生，每次抽取1名，已知每个人是否被抽到互不影响，记被抽取的“读书之星”人数为随机变量X ，求X 的分布列和期望()E X ． 附：()()()()()22,n ad bc K n a b c d a b c d a c b d -==+++++++其中．20()P K k …0.100.0500.025 0.010 0.005 0.0010k2.7063.841 5.024 6.635 7.879 10.828【解答】解：（1）由频率分布直方图可知0.01p =， 抽取的样本中日均课余读书时间低于10分钟的有10人． 101000.1n ∴==． （2）100n =Q ，∴ “读书之星”有1000.2525⨯=， 从而22⨯列联表如下图所示：非读书之星 读书之星总计 男 30 15 45 女 45 10 55 总计7525100将22⨯列联表中的数据代入公式计算得：22100(30101545)100 3.030 3.8414555752525K ⨯⨯-⨯=≈<⨯⨯⨯．∴没有95%以上的把握认为“读书之星”与性别有关．（3）将频率视为概率，即从该地区学生中抽取一名学生是“读书之星”的概率为14， 由题意得1~(3,)4X B ，033327(0)()464P X C ∴===， 1231327(1)()()4464P X C ===， 223139(2)()()4449P X C ==⨯=， 33311(3)()464P X C ===，X ∴的分布列为：13()344E X =⨯=． 21．（12分）在平面直角坐标系中，( 1.0)A -，(1,0)B ，设ABC ∆的内切圆分别与边AC ，BC ，AB 相切于点P ，Q ，R ，已知||1CP =，记动点C 的轨迹为曲线E ．（1）求曲线E 的方程；（2）过(2,0)G 的直线与y 轴正半轴交于点S ，与曲线E 交于点H ，HA x ⊥轴，过S 的另一直线与曲线E 交于M 、N 两点，若6SMG SHN S S ∆∆=，求直线MN 的方程．【解答】解：（1）由题意知，||||||||||||2||||4||CA CB CP CQ AP BQ CP AB AB +=+++=+=>，∴曲线E 是以A ，B 为焦点，长轴长为4的椭圆（除去与x 轴的交点），设曲线2222:1(0,0)x y E a b y a b++>>≠，则1c =，24a =，即2a =，2223b a c =-=，∴曲线E 的方程为221(0)43x y y +=≠；（2）因为HA x ⊥轴，所以3(1,)2H -，设0(0,)S y ，∴03223y --=-，解得01y =，则(0,1)S ， 因为2a c =，所以||2||SG SH =，∴1||||sin 2||261||||||sin 2SMG SHN SM SG MSGS SM S SN SN SH NSH ∆∆∠===∠，∴||3||SM SN =，则3SM SN =-u u u r uu u r ， 设1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y ，则1122(,1),(,1)SM x y SN x y =-=-u u u r u u u r，则123x x =-， ①当直线MN 斜率不存在时，MN 的方程为0x =， 此时||2||SM SN ==，不符合条件，舍去； ②当直线MN 的斜率存在时，设直线MN 的方程为1y kx =+，联立221143y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得22(34)880k x kx ++-=，∴122122834834k x x k x x k -⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，将123x x =-代入得，2222282348334k x k x k -⎧-=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，∴222483()3434k k k =++， ∴232k =，解得k =，∴直线MN的方程为1y =+或1y =+． 22．（12分）已知函数2()1()()x f x ae x a R g x x =--∈= （1）讨论函数()f x 的单调性；（2）当0a >时，若曲线1:()1C y f x x =++与曲线2:()C y g x =存在唯一的公切线，求实数a 的值；（3）当1a =，0x …时，不等式()(1)f x kxln x +…恒成立，求实数k 的取值范围．【解答】解：（1）()1x f x ae x =--，()1x f x ae '=-， 当0a „时，f ‘()0x „，在R 上单调递减； 当0a >时，()0f x '=时，x lna =-，当(,)x lna ∈-∞-，()0f x '<，()f x 递减；当(,)x lna ∈-+∞，f ‘()0x >，()f x 递增； （2）曲线1:()1x C y f x x ae =++=，22:()C y g x x ==，设公切线与1C ，2C 的切点为11(,)x x ae ，222(,)x x ，易知12x x ≠， 由11222122x x ae x k ae x x x -===-，1222122222222x x x x ae x x x -=-=-，所以2122222x x x x -=，由0a >，故20x >，所以21220x x =->，故11x >， 所以1121124(1)(1)x x x x a x e e -==>， 构造函数4(1)()xx F x e -=，(1)x >问题等价于直线y a =与曲线()y F x =在1x >时有且只有一个交点，4(2)()xx F x e-'=，当(1,2)x ∈时，()F x 递增；当(2,)x ∈+∞时，()F x 递减； ()F x 的最大值为F （2）24e =，F （1）0=，当x →+∞时，()0F x →， 故24a e =； （3）当1a =时，()1x f x e x =--，设()1(1)(0)x h x e x kxln x x =---+…，(0)0h =， ()1[(1)]1x xh x e k ln x x '=--+++，(0)0h '= 211()[]1(1)x h x e k x x ''=-+++，(0)12h k ''=-， ①当120k -…，即12k „时，由0x …，1x e …，2211111[][]11(1)21(1)k x x x x ++++++剟， 则()0h x ''…，()h x '在[0，)+∞递增，故()(0)0h x h ''=…， 所以()h x 在[0，)+∞递增，由(0)0h =， 所以()0h x …成立；②当12k >时，(0)0h ''<，由()h x ''在[0，)+∞单调递增， 令20x ln k =>，则211(2)2[]22012(12)h ln k k k k k ln k ln k ''=-+>-=++， 故在(0,2)ln k 存在唯一的零点m ，使得()0h m ''=， 当(0,)x m ∈时，()h x '递减，又(0)0h '=，所以()0h x '<； 即()h x 在(0,)m 递减，由(0)0h =， 所以()0h x <，(0,)x m ∈， 所以12k >不成立， 综上，(k ∈-∞，1]2．。
山东省潍坊市杨善中学2020年高三数学理上学期期末试卷含解析
山东省潍坊市杨善中学2020年高三数学理上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.在极坐标系中，曲线关于（）(A)直线轴对称 (B)点中心对称(C)直线轴对称（D）极点中心对称参考答案：答案:C2. 已知椭圆过点（3，2），当a2+b2取得最小值时，椭圆的离心率为（）A．B．C．D．参考答案：D【考点】椭圆的简单性质．【分析】将点代入椭圆方程，利用“1”代换，根据基本不等式的即可a和b的关系，利用椭圆的离心率即可求得【解答】解：由点在椭圆上则：，则a2+b2=（a2+b2）（+）=9+++4=13+2=25，当且仅当=，即=，由椭圆的离心率e===，∴椭圆的离心率，故选：D．【点评】本题考查椭圆的方程及椭圆的离心率，考查“1”代换，基本不等式的性质，考查转化思想，属于中档题．3. 对实数a和b，定义运算“?”：a?b＝设函数f(x)＝(x2－2)?(x－x2)，x∈R，若函数y＝f(x)－c的图象与x轴恰有两个公共点，则实数c的取值范围是( )A．(－∞，－2]∪B．(－∞，－2]∪C.∪D.∪参考答案：B略4. 设集合, 集合 , 则为A．B．C． D．参考答案：A5. 函数的最小值为（）A． 1103×1104 B． 1104×1105 C． 2006×2007 D． 2005×2 006参考答案：A6. 设变量x，y满足约束条件.目标函数，则的取值范围为(A)[1,2] (B) (C)[2,11] (D)[0,11]参考答案：B略7. 设函数，则（）A.为f(x)的极大值点B．为f(x)的极小值点C.为f(x)的极大值点D．为f(x)的极小值点参考答案：D8. （05年全国卷Ⅲ）设椭圆的两个焦点分别为，过作椭圆长轴的垂线交椭圆于点，若为等腰直角三角形，则椭圆的离心率为（）A B C D参考答案：答案：D9. 已知，若函数满足，则称为区间上的一组“等积分”函数，给出四组函数：①；②；③；④函数分别是定义在上的奇函数且积分值存在．其中为区间上的“等积分”函数的组数是（）A．1 B．2 C．3 D．4参考答案：C10. 设函数，则=（）A．0 B．1 C．2 D．参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知函数y=f（x）（x∈R）图象过点（e，0），f'（x）为函数f（x）的导函数，e为自然对数的底数，若x＞0时，xf'（x）＜2恒成立，则不等式f（x）+2≥2lnx解集为．参考答案：（0，e]【考点】利用导数研究函数的单调性；导数的运算．【分析】根据条件构造函数g（x）=f（x）+2﹣2lnx，x＞0，求函数的导数，研究函数的单调性，利用函数单调性将不等式进行转化求解即可．【解答】解：由f（x）+2≥2lnx得f（x）+2﹣2lnx≥0，设g（x）=f（x）+2﹣2lnx，x＞0，则g′（x）=f′（x）﹣=，∵x＞0时，xf'（x）＜2恒成立，∴此时g′（x）=＜0．即此时函数g（x）为减函数，∵y=f（x）（x∈R）图象过点（e，0），∴f（e）=0，则g（e）=f（e）+2﹣2lne=2﹣2=0，则f（x）+2﹣2lnx≥0，等价为g（x）≥0，即g（x）≥g（e），∵函数g（x）在（0，+∞）为减函数，∴0＜x≤e，即不等式f（x）+2≥2lnx解集为（0，e]，故答案为：（0，e]12. 已知等比数列的公比为2，且前四项之和等于1，则前8项之和等于.参考答案：1713. 点P从（0，1）出发，沿单位圆逆时针方向运动弧长到达Q点，则Q点的坐标为．参考答案：【考点】弧长公式．【专题】计算题；方程思想；演绎法；三角函数的求值．【分析】由题意推出∠QOx角的大小，然后求出Q点的坐标．【解答】解：点P从（0，1）出发，沿单位圆逆时针方向运动弧长到达Q点，所以∠QOx=，所以Q（cos，sin），所以Q．故答案为．【点评】本题通过角的终边的旋转，求出角的大小是解题的关键，考查计算能力，注意旋转方向．14. 设分别是曲线为参数）和上的动点，则两点的最小距离为．参考答案：15. 如图,直三棱柱ABC-A1B1C1中,D,E分别是AB,BB1的中点.(1) 证明: BC1//平面A1CD;(2) 设AA1=AC=CB=2,AB=，求三棱锥C一A1DE的体积. 参考答案：提示：连接，中位线易证明平行易知所以 V=1略16. 从数字0，l，2，3中取出2个组成一个两位数，其中个位数为0的概率为_______.参考答案：17. 不等式的解集是。
山东省潍坊市青州第三中学2020年高三数学理期末试卷含解析
山东省潍坊市青州第三中学2020年高三数学理期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 命题“”的否定为（）A. B.C. D.参考答案：C2. 函数的图象大致为参考答案：C3. 下列命题正确的个数是 ( )①命题“”的否定是“”；② “函数的最小正周期为”是“”的必要不充分条件；③在上恒成立在上恒成立；④“平面向量与的夹角是钝角”的充分必要条件是“”.A．1 B．2 C．3D．4参考答案：B略4. 已知某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的结果为（）A． B． C． D．参考答案：B5. i是虚数单位，若集合S=，则（）A． B． C． D．参考答案：B6. 已知复数满足，则复数的虚部是（）A． B． C． D．参考答案：C7. 设ΔABC的三边长分别为，ΔABC的面积为S，内切圆半径为r，则；类比这个结论可知：四面体P－ABC的四个面的面积分别为S1、S2、S3、S4，内切球的半径为R，四面体P－ABC 的体积为V，则（）A．B．C．D．参考答案：C略8. 下列函数中周期是2的函数是（）A．B．C．D．参考答案：A略9. 已知复数Z1和复数Z2，则Z1·Z2（）A． B． C． D．参考答案：A略10. （5分）设函数f（x）是定义在R上的偶函数，对任意x∈R，都有f（x）=f（x+4），且当x∈时，f（x）=（）x﹣1，若在区间（﹣2，6]内关于x的方程f（x）﹣log a（x+2）=0（a＞1）恰有三个不同的实数根，则a的取值范围是（）A．（，2） B．（，2） C．参考答案：B【考点】：函数的周期性；函数奇偶性的性质．【专题】：函数的性质及应用．【分析】：由已知中f（x）是定义在R上的偶函数，对于任意的x∈R，都有f（x﹣2）=f（2+x），我们可以得到函数f（x）是一个周期函数，且周期为4，则不难画出函数f（x）在区间（﹣2，6]上的图象，结合方程的解与函数的零点之间的关系，我们可将方程f（x）﹣log a x+2=0恰有3个不同的实数解，转化为函数f（x）的与函数y=﹣log a x+2的图象恰有3个不同的交点，数形结合即可得到实数a 的取值范围．解：设x∈，则﹣x∈，∴f（﹣x）=（）﹣x﹣1=2x﹣1，∵f（x）是定义在R上的偶函数，∴f（x）=f（﹣x）=2x﹣1．∵对任意x∈R，都有f（x）=f（x+4），∴当x∈时，（x﹣4）∈，∴f（x）=f（x﹣4）=x x﹣4﹣1；当x∈时，（x﹣4）∈，∴f（x）=f（x﹣4）=2x﹣4﹣1．∵若在区间（﹣2，6]内关于x的方程f（x）﹣log a（x+2）=0（a＞1）恰有三个不同的实数根，∴函数y=f（x）与函数y=log a（x+2）在区间（﹣2，6]上恰有三个交点，通过画图可知：恰有三个交点的条件是，解得：＜a＜2，即＜a ＜2，因此所求的a 的取值范围为（，2）．故选：B【点评】： 本题考查的知识点是根的存在性及根的个数判断，指数函数与对数函数的图象与性质，其中根据方程的解与函数的零点之间的关系，将方程根的问题转化为函数零点问题，是解答本题的关键，体现了转化和数形结合的数学思想，属于中档题．二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知C=2A ，cosA=，b=5，则△ABC 的面积为．参考答案：分析：由题意可求得sin2A ，sin3A ，再利用正弦定理==可求得c ，从而可求得△ABC的面积．解答： 解；∵在△ABC 中，C=2A ，∴B=π﹣A ﹣C=π﹣3A ，又cos A=，∴sinA=，sin2A=2sinAcosA=，sinB=sin （π﹣3A ）=sin3A=3sinA ﹣4sin 3A ，又b=5，∴由正弦定理=得：=，∴c=====6，∴S △ABC =bcsinA=×5×6×=．故答案为：点评： 本题考查正弦定理，考查二倍角的正弦与三倍角的正弦公式，考查转化分析与运算能力，属于12. 的展开式中整理后的常数项为 .参考答案：答案：13. 若函数的图像与对数函数的图像关于直线对称，则的解析式为 ．参考答案：14. 在一次射箭比赛中，某运动员次射箭的环数依次是，则该组数据的方差是 ▲ .参考答案：15. 函数f （x ）=+log 2为奇函数，则实数a= ．参考答案：1【考点】函数奇偶性的性质．【分析】根据函数奇偶性的性质建立方程关系进行求解即可． 【解答】解：∵函数f （x ）=+log 2为奇函数，∴f（﹣x ）=﹣f （x ），即f （﹣x ）+f （x ）=0，则﹣+log 2++log 2=0，即log 2（?）=0，则?==1，则1﹣a 2x 2=1﹣x 2，则a 2=1， 则a=±1，当a=﹣1时，f （x ）=+log 2=f （x ）=+log 21=，此时1﹣x≠0且x≠0，即x≠1且x≠0，则函数的定义域关于原点不对称，不是奇函数，不满足条件．当a=1时，f （x ）=+log 2=+log 2为奇函数，满足条件．故答案为：116. 若实数x ，y 满足则的最大值为________.参考答案：10 【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案. 【详解】根据题意画出可行域，如图所示：由图可知目标函数经过点时，取得最大值10故答案为：10.【点睛】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题.17. 已知直线和圆心为C 的圆相交于A ，B 两点，则线段AB 的长度等于__________.参考答案：三、 解答题：本大题共5小题，共72分。
2020年山东省潍坊市寿光华侨中学高三数学理下学期期末试卷含解析
2020年山东省潍坊市寿光华侨中学高三数学理下学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 设i是虚数单位，若，则复数z=A． B．l+i C．3+i D．3-i参考答案：C2. 函数的值域为A. B. C. D.参考答案：B3. 已知x∈（﹣，0），cosx=，则tan2x=（）A．B．C．D．参考答案：D【考点】二倍角的正切．【分析】由cosx的值及x的范围，利用同角三角函数间的基本关系求出sinx的值，进而求出tanx 的值，然后把所求的式子利用二倍角的正切函数公式变形后，将tanx的值代入即可求出值．【解答】解：由cosx=，x∈（﹣，0），得到sinx=﹣，所以tanx=﹣，则tan2x===﹣．故选D4. 已知函数下列结论中①②函数的图象是中心对称图形③若是的极小值点，则在区间单调递减④若是的极值点，则. 正确的个数有 A.1 B.2 C.3 D.4参考答案：C略5. 已知是定义在上的函数，其图象是一条连续的曲线，且满足下列条件：①的值域为M，且M ；②对任意不相等的，∈，都有|－|<|－|．那么，关于的方程=在区间上根的情况是（）A．没有实数根 B．有且仅有一个实数根C．恰有两个不等的实数根 D．实数根的个数无法确定参考答案：B6. 已知>0，，直线=和=是函数图象的两条相邻的对称轴，则=( )A .B .C .D .参考答案：A由题意可知，所以函数的周期为。
即，所以，所以，所以由，即，所以，所以当时，，所以选A.7. 的展开式中的系数为（）A．10 B．5 C．D．1参考答案：C略8. 已知是函数的零点，，则①；②；③；④其中正确的命题是（）（A）①④（B）②④（C）①③（D）②③参考答案：A略9. 是的_____________条件A. 充分不必要B. 必要不充分C. 充要 D.既不充分也不必要参考答案：A10. 函数的图象如图1所示，则的图象可能是（）参考答案：D 二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 若，则= ．参考答案：201212.设满足约束条件，若目标函数的最大值为6，则的最小值为________.参考答案：1略13. 直线ax+by=1与圆x2+y2=1相交于A,B两点（其中a,b是实数），若△AOB是直角三角形(O是坐标原点)，则点P(a,b)与点Q(0,1)距离的最大值为▲．参考答案：略14. 若曲线的一条切线与直线垂直，则的方程为参考答案：略15. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为参考答案：500略16. 若复数为虚数单位）为纯虚数，则的值为______________________.参考答案：略17. 函数的零点有▲个．参考答案：3三、解答题：本大题共5小题，共72分。
山东省潍坊市安丘青云学府2019-2020学年高三数学理下学期期末试卷含解析
山东省潍坊市安丘青云学府2019-2020学年高三数学理下学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）（单位）.A． B． C． D．参考答案：A2. 在复平面内，复数对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限参考答案：A【考点】复数代数形式的乘除运算；复数的代数表示法及其几何意义．【分析】先进行复数的除法运算，分子和分母同乘以分母的共轭复数，分母变成一个实数，分子进行复数的乘法运算，整理成复数的标准形式，写出对应点的坐标，看出所在的象限．【解答】解：∵复数==1+i，∴复数对应的点的坐标是（1，1）∴复数在复平面内对应的点位于第一象限，故选A．3. 若一个四位数的各位数字相加和为10,则称该数为“完美四位数”,如数字“”.试问用数字组成的无重复数字且大于的“完美四位数”有( )个A. B. C. D.参考答案：D本题考查排列组合.由数字“”组成的满足题意的“完美四位数”有个;由数字“”组成的满足题意的“完美四位数”有个;由数字“”组成的满足题意的“完美四位数”有个;由数字“”组成的满足题意的“完美四位数”有个;由数字“”组成的满足题意的“完美四位数”有个;所以满足题意的“完美四位数”有个.选D.【备注】有序排列,无序组合.4. 函数是 ( )A.奇函数B.偶函数C.既是奇函数又是偶函数D.非奇非偶函数参考答案：C略5. 如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，E，F是线段B1D1上的两个动点，且EF=，则下列结论中错误的是（）A．AC⊥BFB．三棱锥A﹣BEF的体积为定值C．EF∥平面ABCDD．面直线AE、BF所成的角为定值参考答案：D【考点】异面直线及其所成的角．【专题】计算题；转化思想；综合法；空间角．【分析】在A中，由AC⊥BD，AC⊥BB1，得AC⊥平面BDD1B1，从而AC⊥BF；在B中，A到平面BEF的距离不变，△BEF的面积不变，从而三棱锥A﹣BEF的体积为定值；在C中，由EF∥BD，得EF∥平面ABCD；在D中，异面直线AE、BF所成的角不为定值．【解答】解：在A中，∵正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，E，F是线段B1D1上的两个动点，且EF=，∴AC⊥BD，AC⊥BB1，∵BD∩BB1=B，∴AC⊥平面BDD1B1，∵BF?平面BDD1B1，∴AC⊥BF，故A正确；在B中，∵AC⊥平面BDD1B1，∴A到平面BEF的距离不变，∵EF=，B到EF的距离为1，∴△BEF的面积不变，∴三棱锥A﹣BEF的体积为定值，故B正确；在C中，∵EF∥BD，BD?平面ABCD，EF?平面ABCD，∴EF∥平面ABCD，故C正确；在D中，异面直线AE、BF所成的角不为定值，由图知，当F与B1重合时，令上底面顶点为O，则此时两异面直线所成的角是∠A1AO，当E与D1重合时，此时点F与O重合，则两异面直线所成的角是OBC1，此二角不相等，故异面直线AE、BF所成的角不为定值．故D错误．故选：D．【点评】本题考查命题真假的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．6. 以下命题：①为了了解800名学生对学校某项教改试验的意见，打算从中抽取一个容量为40的样本，考虑用系统抽样，则分段的间隔k为40．②线性回归直线方程恒过样本中心(，)，且至少过一个样本点；③在某项测量中，测量结果亭服从正态分布N(2，)(>0)，若在(-∞，1)内取值的概率为0．1，则在(2，3)内取值的概率为0．4；其中真命题的个数为A．0 B．1 C．2 D． 3参考答案：B7. 各项互不相等的有限正项数列,集合 ,集合,则集合中的元素至多有( )个.A．B．C．D．参考答案：A8. 已知a=21.2，b=-0.2，c=2log52，则a，b，c的大小关系为（A）c<b<a （B）c<a<b C）b<a<c （D）b<c<a参考答案：A因为，所以，，所以，选A.9. 在等差数列中，为其前n 项和，若，则A. 60B. 75C. 90D. 105参考答案：B10. 已知向量的夹角为时取得最小值，当时，夹角的取值范围为 （ ）A. B. C. D.参考答案：C二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知数列中，数列的前项和为，当整数时，都成立，则数列的前n 项和为参考答案：略12.．已知是第二象限角，且______.参考答案：略13. 从某班5位老师中随机选两位老师值班,有女老师被选中的概率为,则在这5位老师中,女老师有_______人.参考答案：214. 已知函数，则__________．参考答案：－1【分析】由时，得到函数是周期为1的函数，可得，即可求解．【详解】由函数，可得当时，满足，所以函数是周期为1的函数，所以．【点睛】本题主要考查了分段函数的求值问题，以及函数的周期性的应用，其中解答中得到函数的周期性，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．15. 同时投掷三颗骰子，于少有一颗骰子掷出6点的概率是 (结果要求写成既约分数）．参考答案：解析： 考虑对立事件，16. 在等比数列中，，，则_________.参考答案：【知识点】等比数列的性质.D3【答案解析】 解析：由等比数列的性质知，故.故答案为16. 【思路点拨】由等比数列的性质可知结果。
2020年山东省潍坊市临朐第七中学高三数学理上学期期末试卷含解析
2020年山东省潍坊市临朐第七中学高三数学理上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 设为等差数列，公差d＝－2，为其前n项和．若，则＝( )A．18 B．20 C．22D．24参考答案：B2. 若函数上既是奇函数又是增函数，则的图象是（）参考答案：C略3. 设集合P={x∈R|（x﹣4）2＜9}，Q={x∈N*|∈N*}，其中N*值正整数集，则P∩Q=（）A．{1，2，3，4，5，6} B．{3，4，6} C．{2，3，4，6} D．{4，6}参考答案：C【考点】交集及其运算．【分析】先分别求出集合P和Q，由此能求出P∩Q．【解答】解：∵集合P={x∈R|（x﹣4）2＜9}={x|1＜x＜7}，Q={x∈N*|∈N*}={1，2，3，4，6，12}，∴P∩Q={2，3，4，6}．故选：C．4. 的展开式中的常数项是( )A、15B、－15C、6D、－6参考答案：答案:A5. 《张丘建算经》卷上第22题为：“今有女善织，日益功疾，且从第2天起，每天比前一天多织相同量的布，若第一天织5尺布，现有一月（按30天计），共织390尺布”，则该女最后一天织多少尺布？（）A．18 B．20 C．21 D．25参考答案：C【考点】88：等比数列的通项公式．【分析】设出等差数列的公差，由题意列式求得公差，再由等差数列的通项公式求解．【解答】解：设公差为d，由题意可得：前30项和S30=390=30×5+d，解得d=．∴最后一天织的布的尺数等于5+29d=5+29×=21．故选：C．6. 在△ABC中，若，则a=A．B．C．D．参考答案：A由正弦定理得，选A.7. 已知数列{}为等差数列,若=3,=12,则=()A、27B、36C、45D、63参考答案：C8. 设是双曲线的两个焦点, 是上一点,若且的最小内角为,则的离心率为( ) A、 B、 C、D、参考答案：C9. 已知函数，若，则实数a的取值范围是A．B．C．D．参考答案：A略10. “欧几里得算法”是有记载的最古老的算法，可追溯至公元前300年前，上面的程序框图的算法思路就是来源于“欧几里得算法”，执行该程序框图（图中“”表示除以的余数），若输入的分别为675,125，则输出的A．0B．25C．50D．75参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 函数f（x）=，如果方程f（x）=b有四个不同的实数解x1、x2、x3、x4，则x1+x2+x3+x4= ．参考答案：4【考点】54：根的存在性及根的个数判断．【分析】作出f（x）的图象，由题意可得y=f（x）和y=b的图象有4个交点，不妨设x1＜x2＜x3＜x4，由x1、x2关于原点对称，x3、x4关于（2，0）对称，计算即可得到所求和．【解答】解：作出函数f（x）=的图象，方程f（x）=b有四个不同的实数解，等价为y=f（x）和y=b的图象有4个交点，不妨设它们交点的横坐标为x1、x2、x3、x4，且x1＜x2＜x3＜x4，由x1、x2关于原点对称，x3、x4关于（2，0）对称，可得x1+x2=0，x3+x4=4，则x1+x2+x3+x4=4．故答案为：4．12. 双曲线﹣y2=1的焦距是，渐近线方程是．参考答案：2；y=±x．【考点】双曲线的简单性质．【分析】确定双曲线中的几何量，即可求出焦距、渐近线方程．【解答】解：双曲线=1中，a=，b=1，c=，∴焦距是2c=2，渐近线方程是y=±x．故答案为：2；y=±x．13. 函数在上的最大值为．参考答案：14. 已知等差数列的前n项和为，且，则。
2020年山东省潍坊市成官中学高三数学文期末试卷含解析
2020年山东省潍坊市成官中学高三数学文期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知集合，则（）A. B. C. D.参考答案：【知识点】集合的包含关系判断及应用．A1【答案解析】B 解析：∵集合M={x|y=lg（2﹣x）}=（﹣∞，2），N={y|y=+}={0}，故选B．【思路点拨】由题意先化简集合M，N；再确定其关系．2. 如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD=，AB=2，AD=1，若M、N分别是边BC、CD上的点，且满足，其中λ∈[0，1]，则的取值范围是（）A．[0，3] B．[1，4] C．[2，5] D．[1，7]参考答案：C【考点】平面向量数量积的运算．【分析】画出图形，建立直角坐标系，利用比例关系，求出M，N的坐标，然后通过二次函数求出数量积的范围．【解答】解：建立如图所示的直角坐标系，则B（2，0），A（0，0），D（，）．∵，λ∈[0，1]，=+λ=+λ=M（2+，λ），即M（2+，λ）；==+（﹣λ）=（，）+（1﹣λ）?（2，0）=（﹣2λ，），即N（﹣2λ，）．所以=（2+，λ）?（﹣2λ，）=﹣λ2﹣2λ+5=﹣（λ+1）2+6．因为λ∈[0，1]，二次函数的对称轴为：λ=﹣1，故当λ∈[0，1]时，﹣λ2﹣2λ+5∈[2，5]．故选：C．【点评】本题考查向量的综合应用，平面向量的坐标表示以及数量积的应用，二次函数的最值问题，考查计算能力，属于中档题．3. 已知函数的最小正周期为，为了得到函数的图象，只要将的图象A.向左平移个单位长度B.向右平移个单位长度C.向左平移个单位长度D.向右平移个单位长度【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换。
C4C 解析：由题意知，，故选C.【思路点拨】由已知中已知函数的最小正周期为，我们易得到函数f（x）、g（x）的解析式，根据函数图象平移变换的法则，我们可以求出平移量，进而得到答案．4. 16．钱大姐常说“便宜没好货”，她这句话的意思是：“不便宜”是“好货”的（）(A)充分条件(B)必要条件(C)充分必要条件(D)既非充分也非必要条件参考答案：B5. 如果数列满足：首项那么下列说法正确的是（）A．该数列的奇数项成等比数列，偶数项成等差数列 B．该数列的奇数项成等差数列，偶数项成等比数列C．该数列的奇数项分别加4后构成一个公比为2的等比数列D．该数列的偶数项分别加4后构成一个公比为2的等比数列参考答案：D6. 已知四棱锥S-ABCD的所有顶点在同一球面上，底面ABCD是正方形且球心O在此平面内，当四棱锥的体积取得最大值时，其表面积等于，则球O的体积等于（）A．B．C．D．D7. 定义在R上的偶函数f(x)，对任意x1，x2∈[0，＋∞)(x1≠x2)，有，则( )A．f(3)＜f(－2)＜f(1) B．f(1)＜f(－2)＜f(3)C．f(－2)＜f(1)＜f(3) D．f(3)＜f(1)＜f(－2)参考答案：A8. 在区间和分别取一个数,记为，则方程表示焦点在轴上且离心率小于的椭圆的概率为（）....参考答案：B【知识点】椭圆的简单性质H5 K3解析：∵表示焦点在x轴上且离心率小于，∴a＞b＞0，a＜2b，它对应的平面区域如图中阴影部分所示：则方程表示焦点在x轴上且离心率小于的椭圆的概率为P==，故选B．【思路点拨】表示焦点在x轴上且离心率小于的椭圆时，（a，b）点对应的平面图形的面积大小和区间[1，5]和[2，4]分别各取一个数（a，b）点对应的平面图形的面积大小，并将他们一齐代入几何概型计算公式进行求解．9. 某四棱锥的三视图如图所示，记S为此棱锥所有棱的长度的集合，则（）A.B.C.D.参考答案：D【分析】如图所示：在边长为2的正方体中，四棱锥满足条件，故，得到答案.【详解】如图所示：在边长为2的正方体中，四棱锥满足条件.故，，.故，故，.故选：.【点睛】本题考查了三视图，元素和集合的关系，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.10. 甲、乙两名运动员在某项测试中的6次成绩如茎叶图所示，分别表示甲乙两名运动员这项测试成绩的平均数，分别表示甲乙两名运动员这项测试成绩的标准差，分别表示甲乙两名运动员这项测试成绩的中位数，则有（）A． B．C． D．参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 在中，角，，所对的边分别为，，，为的面积，若向量，满足∥，则角．参考答案：12. 已知函数y=f(x)和y=g(x)在[-2,2]的图像如图所示给出下列四个命题：①方程f[g(x)]=0有且仅有6个根②方程g[f(x)]=0有且仅有3个根③方程f[f(x)]=0有且仅有5个根④方程g[g(x)]=0有且仅有4个根其中正确的命题是参考答案：1 3 4略13. 如下图：在△ABC中，若AB＝AC＝3，cos∠BAC＝，＝2，则·＝__________．参考答案：-1.514. 如图，要测量河对岸C，D两点间的距离，在河边一侧选定两点A，B，测出AB的距离为20m，∠DAB=75°，∠CAB=30°，AB⊥BC，∠ABD=60°．则C，D两点之间的距离为m．参考答案：10【考点】解三角形的实际应用．【专题】转化思想；三角函数的求值；解三角形．【分析】在RT△ABC中，BC=ABtan∠CAB．在△ABD中，由正弦定理可得：=，解得BD．在△BCD中，利用余弦定理可得DC．【解答】解：在RT△ABC中，BC=ABtan∠CAB=20×tan30°=20．在△ABD中，∠ADB=180°﹣∠DAB﹣∠ABD=45°．由正弦定理可得：=，∴BD===10（3+）．在△BCD中，由余弦定理可得：DC2=202+﹣2×20×10（3+）×cos30°=1000，解得DC=10．故答案为：10．【点评】本题考查了正弦定理余弦定理、直角三角形的边角关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．15. 以抛物线y2=4x的焦点F为圆心，与抛物线的准线相切的圆的标准方程为．参考答案：（x﹣1）2+y2=4考点：抛物线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：求出抛物线的焦点坐标，焦点到准线的距离就是所求圆的半径，然后写出圆的方程即可．解答：解：因为抛物线y2=4x的焦点为圆心即（1，0），与抛物线的准线相切的圆的半径为：2．所求圆的方程为：（x﹣1）2+y2=4．故答案为：（x﹣1）2+y2=4．点评：本题考查圆的方程的求法，抛物线的简单性质的应用，考查计算能力．16. 已知向量若与垂直，则实数等于_______________参考答案：答案：17. 已知函数的图像过点，则函数的图像关于轴的对称图形一定过点( )。
山东省潍坊市寒亭区实验中学2020年高三数学文下学期期末试题含解析
山东省潍坊市寒亭区实验中学2020年高三数学文下学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 抛物线的准线经过双曲线的左焦点，则（）A. B. C. D.参考答案：C略2. 已知等比数列{a n}的首项为a1，公比为q，满足a1（q﹣1）＜0且q＞0，则（）A．{a n}的各项均为正数B．{a n}的各项均为负数C．{a n}为递增数列D．{a n}为递减数列参考答案：D【考点】等比数列的通项公式．【分析】由等比数列{a n}的通项公式知a n+1﹣a n=a n+1﹣a n=，从而推导出a n+1﹣a n＜0，由此得到数列{a n}为递减数列．【解答】解：由等比数列{a n}的通项公式a n=，知a n+1﹣a n=，由a1（q﹣1）＜0且q＞0知，，即a n+1﹣a n＜0，所以数列{a n}为递减数列．故选：D．3. 设双曲线的左准线与两条渐近线交于两点，左焦点在以为直径的圆内，则该双曲线的离心率的取值范围为 A． B． C． D．，参考答案：B本题主要考查双曲线的几何性质的应用、离心率的求法、不等式的性质，以及考查较强的分析与解决问题逻辑思维能力、运算能力，现时考查方程的思想、转化的思想．难度偏上．设双曲线的标准方程为－＝1(a＞0，b＞0)，则其渐近线方程为ｙ＝±x，准线方程为x＝－，则代入渐近线方程得ｙ＝±·(－)＝±，所以圆的半径r＝．易知左焦点到圆心(准线与x轴的交点)的距离d＝c－．由条件知d＜r，即c－＜，所以c2－a2＜ab，即b2＜ab，故＜1，于是离心率e＝＝＜，即e∈(1，)．难度中等偏上．4. 下列函数中，在其定义域内既是增函数又是奇函数的是( )A． y= －B. y=lnxC. y=D. y=x3＋参考答案：D略5. 1+（1+）+（1++）+…+（1+++…+）的值为( )A．18+B．20+C．22+D．18+参考答案：B【考点】数列的求和．【专题】等差数列与等比数列．【分析】利用等比数列的通项公式及其前n项和公式即可得出．【解答】解：∵a n=1++…+==2，∴S n=2n﹣=2n﹣=2n﹣2+，∴S11=20+．故选：B．【点评】本题考查了等比数列的通项公式及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．6. 已知双曲线的方程为，双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为（c为双曲线的半焦距长），则双曲线的离心率为A． B． C．D．参考答案：B略7. 已知函数，则 ( )A、32B、16C、D、参考答案：D略8. 在同一直角坐标系中，函数f(x)＝sin ax(a R)与g(x)＝(a－1)x2－ax的部分图象不可能为( ) 参考答案：C9. 已知平面内一点及，若，则点与的位置关系是A.点在线段上B.点在线段上C.点在线段上D.点在外部参考答案：C由得，即，所以点在线段上，选C.10. 已知集合则等于(A){0,1,2,6}(B){3,7,8,}(C){1,3,} (D){1,3,6,7,8}参考答案：C略二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 设F 是抛物线的焦点，点A 是抛物线与双曲线的一条渐近线的一个公共点，且轴，则双曲线的离心率为___________.参考答案：12. 非零向量，夹角为，且，则的取值范围为参考答案：略13. 设x ，y 满足约束条件，向量，且，则的最小值为 ．参考答案：-614. 设a 为实常数，y=f （x ）是定义在R 上的奇函数，当x ＜0时，f （x ）=9x++7．若f （x ）≥a+1对一切x≥0成立，则a 的取值范围为 ． ．参考答案：【考点】函数奇偶性的性质；基本不等式．【分析】先利用y=f （x ）是定义在R 上的奇函数求出x≥0时函数的解析式，将f （x ）≥a+1对一切x≥0成立转化为函数的最小值≥a+1，利用基本不等式求出f （x ）的最小值，解不等式求出a 的范围．【解答】解：因为y=f （x ）是定义在R 上的奇函数， 所以当x=0时，f （x ）=0；当x ＞0时，则﹣x ＜0，所以f （﹣x ）=﹣9x ﹣+7因为y=f （x ）是定义在R 上的奇函数，所以f （x ）=9x+﹣7；因为f （x ）≥a+1对一切x≥0成立， 所以当x=0时，0≥a+1成立， 所以a≤﹣1；当x ＞0时，9x+﹣7≥a+1成立，只需要9x+﹣7的最小值≥a+1，因为9x+﹣7≥2=6|a|﹣7，所以6|a|﹣7≥a+1， 解得，所以．故答案为：．15. 已知方程的解所在区间为，则= ．参考答案：316. 已知函数f （x ）=x 3对应的曲线在点（a k ，f （a k ））（k∈N *）处的切线与x 轴的交点为（a k+1，0），若a 1=1，则= ．参考答案：3考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：计算题；导数的概念及应用；等差数列与等比数列．分析：求出函数的导数，可得切线的斜率，由点斜式方程可得切线方程，再令y=0，结合等比数列的定义可得，数列{a n}是首项a1=1，公比的等比数列，再由等比数列的求和公式计算即可得到所求值．解答：解：由f'（x）=3x2得曲线的切线的斜率，故切线方程为，令y=0得，故数列{a n}是首项a1=1，公比的等比数列，又=，所以．故答案为：3．点评：本题考查导数的运用：求切线的方程，主要考查导数的几何意义，同时考查等比数列的定义和求和公式，运用点斜式方程求得切线方程是解题的关键．17. 如图所示，已知在△ABC中，∠C=90°，正方形DEFC内接于△ABC，DE∥AC，EF∥BC，AC=1，BC=2，则AF∶FC= 。
2020年山东省潍坊市山东省实验中学高三数学理下学期期末试题含解析
2020年山东省潍坊市山东省实验中学高三数学理下学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若．则角B的大小为()A. B. C. D.参考答案：A【分析】由正弦定理化简已知等式可得，结合，可得，结合范围，可得，可得，即可得解的值．【详解】解：∵，∴由正弦定理可得：，∵，∴，∵，，∴，∴．故选：A．2. 若，且，则 ( )参考答案：B3. 函数y=ln(1-x)的大致图象为( ）参考答案：C4. 已知集合A={x|x2﹣x﹣6≥0}，B={x|﹣3≤x≤3}，则A∩B等于（）A．[﹣3，﹣2] B．[2，3] C．[﹣3，﹣2]∪{3} D．[2，3]∪{﹣3}参考答案：C【分析】根据题意，解不等式|x2﹣x﹣6≥0求出集合A，进而由交集的意义计算可得答案．【解答】解：根据题意，x2﹣x﹣6≥0?x≤﹣2或x≥3，即A={x|x2﹣x﹣6≥0}=（﹣∞，﹣2]∪[3，+∞），而B={x|﹣3≤x≤3}=[﹣3，3]；A∩B=[﹣3，﹣2]∪{3}；故选：C．【点评】本题考查集合的交集运算，关键是求出集合A．5. 若函数的图象的相邻两条对称轴的距离是2，则的值为A． B． C．1 D．2参考答案：B6. 已知函数的定义域为，若其值域也为，则称区间为的保值区间．若的保值区间是，则的值为（）A．1 B． C． D．参考答案：A略7. 惠安石雕是中国传统雕刻技艺之一，历经一千多年的繁衍发展，仍然保留着非常纯粹的中国艺术传统，左下图粗实虚线画出的是某石雕构件的三视图，该石雕构件镂空部分最中间的一块正是魏晋期间伟大数学家刘徽创造的一个独特的几何体——牟合方盖（如下右图），牟合方盖的体积（其中为最大截面圆的直径）.若三视图中网格纸上小正方形的边长为，则该石雕构件的体积为（）A．B． C. D．参考答案：C8. 下列函数中，既是奇函数又是增函数的为（）A . B.C .D .参考答案：D9. 函数的定义域是（）A． B． C． D．参考答案：D略10. 执行如图所示的程序框图，若输入的N值为6，则输出的所有S值之和为A．26 B．31C．32 D．57参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 设有一组圆C k：（x﹣k+1）2+（y﹣3k）2=2k4（k∈N*）．下列四个命题：①存在一条定直线与所有的圆均相切；②存在一条定直线与所有的圆均相交；③存在一条定直线与所有的圆均不相交；④所有的圆均不经过原点．其中真命题的代号是（写出所有真命题的代号）．参考答案：②④【考点】直线与圆的位置关系．【专题】综合题；压轴题．【分析】根据圆的方程找出圆心坐标，发现满足条件的所有圆的圆心在一条直线上，所以这条直线与所有的圆都相交，②正确；根据图象可知这些圆互相内含，不存在一条定直线与所有的圆均相切，不存在一条定直线与所有的圆均不相交，所以①③错；利用反证法，假设经过原点，将（0，0）代入圆的方程，因为左边为奇数，右边为偶数，故不存在k使上式成立，假设错误，则圆不经过原点，④正确．【解答】解：根据题意得：圆心（k﹣1，3k），圆心在直线y=3（x+1）上，故存在直线y=3（x+1）与所有圆都相交，选项②正确；考虑两圆的位置关系，圆k：圆心（k﹣1，3k），半径为k2，圆k+1：圆心（k﹣1+1，3（k+1）），即（k，3k+3），半径为（k+1）2，两圆的圆心距d==，两圆的半径之差R﹣r=（k+1）2﹣k2=2k+，任取k=1或2时，（R﹣r＞d），C k含于C k+1之中，选项①错误；若k取无穷大，则可以认为所有直线都与圆相交，选项③错误；将（0，0）带入圆的方程，则有（﹣k+1）2+9k2=2k4，即10k2﹣2k+1=2k4（k∈N*），因为左边为奇数，右边为偶数，故不存在k使上式成立，即所有圆不过原点，选项④正确．则真命题的代号是②④．故答案为：②④【点评】本题是一道综合题，要求学生会将直线的参数方程化为普通方程，会利用反证法进行证明，会利用数形结合解决实际问题．12. 已知某实心几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的表面积为。
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2020．1
注意事项：
1．答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名.
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束，考生必须将试题卷和答题卡一并交回．
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合{}{}
223021=A x x x B x x x Z A B =--≤=-≤<∈⋂，且，则A.{}21--， B.{}10-， C.{}20-， D.{}
11-，2．设()11i a bi +=+(i 是虚数单位)，其中,a b 是实数，则a bi +=
A ．1 B.2 C.3 D.2
3．已知随机变量ξ服从正态分布()21N σ
，，若()40.9P ξ<=，则()21P ξ-<<=A ．0.2 B.0.3C ．0.4D ．0.6
4．《算数书》是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“囷盖”的术：置如其周，令相乘也，叉以高乘之，三十六成一．该术相当于给出了由圆锥的底面周长L 与h ，计算其
体积V 的近似公式2136V L h ≈
，它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3．若圆锥体积的近似公式为2275V L h ≈，则π应近似取为A.22
7 B.25
8 C.157
50 D.355
113
5．函数()()y f x y g x ==与的图象如右图所
示，则的部分图象可能是
本试卷共5页．满分150分．考试时间120分钟．
试题（数学）高三数学
山东省潍坊市2020届高三期末
6．已知某超市为顾客提供四种结账方式：现金、支付宝、微信、银联卡．若顾客甲只会用现金结账，顾客乙只会用现金和银联卡结账，顾客丙与甲、乙结账方式不同，丁用哪种结账方式都可以若甲乙丙丁购物后依次结账，那么他们结账方式的组合种数共有
A ．36种
B ．30种
C ．24种
D ．20种7．已知3sin ,0,cos 452ππααα⎛
⎫⎛⎫-=∈= ⎪ ⎝⎭⎝⎭
，则A.2
10 B.32
10 C.22 D.
72108．已知点P 为双曲线()22
22:10.0x y C a b a b
-=>>右支上一点，12F F ，分别为C 的左，右焦点，直线1PF 与C 的一条渐近线垂直，垂足为H ，若114PF HF =，则该双曲线的离心率为A.15
3 B.21
3 C.5
3 D.7
3
二、多项选择题：本大题共4个小题．每小题5分，共20分。
在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分．选对但不全的得3分，有选错的得0分．
9．等腰直角三角形直角边长为1，现将该三角形绕其某一边旋转一周，则所形成的几何体的表面积可以为A.2π B.(12π+ C.22π D.()22π+10．已知()()22cos 3210f x x x ωωω=+->的最小正周期为π，则下列说法正确
的有
A.2
ω=
B ．函数()f x 在0,6π⎡⎤⎢⎥⎣⎦
上为增函数C.直线3
x π=要是函数()y f x =图象的一条对称轴D.点5,012π⎛⎫ ⎪⎝⎭
是函数()y f x =图象的一个对称中心11．已知等比数列{}n a 的公比23q =-
，等差数列{}n b 的首项112b =，若99a b >且1010a b >，则以下结论正确的有
A ．9100
a a ⋅<B ．910a a >C ．100
b >D ．910
b b >12．把方程1169x x
y y
+=-表示的曲线作为函数()y f x =的图象，则下列结论正确的有
A.()y f x =的图象不经过第一象限
B.()f x 在R 上单调递增
C.()y f x =的图象上的点到坐标原点的距离的最小值为3
D.函数()()43g x f x x =+不存在零点
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13.向量()()4,1,a x b x a b =-=-，，若与共线，则实数x =____________.
14.已知圆()()22212x y -+-=关于直线()10,0ax by a b +=>>对称，则21a b +的最小值为____________.
15.已知P 是抛物线2
4y x =上的动点，点P 在y 轴上的射影是M ，点A 的坐标为()2,3，
则PA PM +的最小值是____________.
16.正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，点K 在棱11A B 上运动，
过A,C,K 三点作正方体的截面，若K 为棱11A B 的中点，则截面面积
为_____________，若截面把正方体分成体积之比为2：1的两部分，
则11
A K K
B =____________.（本题1空2分，第2空3分）
四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.（10分）
已知各项均不相等的等差数列{}n a 的前4项和为10，且124,,a a a 是等比数列{}n b 的前3项.
（1）求,n n a b ；
（2）设()
{}11n n n n n c b c a a =++的前n 项和n S .18.（12分）
在底面为正方形的四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，PA=PD ，E ，F 分别为棱PC 和AB 的中点.
（1）求证：EF//平面PAD ；
（2）若直线PC 与AB 所成角的正切值为
2
，求平面PAD 与平面PBC 所成锐二面的大小.19.（12分）
在①3sin 4cos 4a C c =，②2sin
sin 2
B C b B +=这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，然后解答补充完整的题.
在ABC ∆中，角A,B,C 的对边分别为,,a b c ，已知___________，a =（1）求sin A ；
（2）如图，M 为边AC 上一点MC=MB.2
ABM ABC π∠=∆的面积.注：如果选择两个条件分别解答，按第一个解答计分.
20．(12分)
读书可以使人保持思想活力，让人得到智慧启发，
让人滋养浩然正气．书籍是文化的重要载体，读
书是承继文化的重要方式．某地区为了解学生课
余时间的读书情况，随机抽取了n名学生进行调
查，根据调查得到的学生日均课余读书时间绘制
成如图所示的频率分布直方图．将日均课余读书时间不低于40分钟的学生称为“读书之星”，日均课余读书时间低于40分钟的学生称为“非读书之星”．已知抽取的样本中日均课余读书时间低于10分钟的有10人．
(1)求n，p的值；
(2)根据已知条件完成下面的2×2列联表，并判断是否有95％以上的把握认为“读书之星”与性别有关?
(3)将上述调查所得到的频率视为概率，现从该地区大量学生中，随机抽取3名学生，每次抽取1名，已知每个人是否被抽到互不影响，记被抽取的“读书之星”人数为随机变量X，求X的分布列和期望E(X)．
附：
()
()()()()
2
2,.
n ad bc
K n a b c d
a b c d a c b d
-
==+++ ++++
其中
21.(12分)
在平面直角坐标系中，A(－1．0)，B(1，0)，设△ABC的内切圆分别与边AC，BC，AB相切于点P，Q，R，已知1
CP=，记动点C的轨迹为曲线E.
(1)求曲线E的方程；
(2)过G(2，0)的直线与y 轴正半轴交于点S ，与曲线E 交于点,H HA x ⊥轴，过S 的另一直线与曲线E 交于M 、N 两点，若6SMG SHN S S ∆∆=，求直线MN 的方程．
22．(12分)
已知函数()()()2
1,x f x ae x a R g x x =--∈=．(1)讨论函数()f x 的单调性；
(2)当0a >时，若曲线()11C y f x x =++：与曲线()2:C y g x =存在唯一的公切线，求实数a 的值；
(3)当1,0a x =≥时，不等式()()ln 1f x kx x ≥+恒成立，求实数k 的取值范围。