连续时间信号采样
香农奈奎斯特采样定理
香农奈奎斯特采样定理
香农-奈奎斯特采样定理（Shannon-Nyquist Sampling Theorem）是一项基本的信号处理原理，它规定了一个连续时间信号的采样频率应该至少是该信号中最高频率成分的两倍，以便在离散时间中完整地重构原始信号。
这个定理是由克劳德·香农（Claude Shannon）和哈里·奈奎斯特（Harry Nyquist）在20世纪初提出的。
具体来说，香农-奈奎斯特采样定理表述如下：
如果一个连续时间信号的最高频率成分为f_max，那么为了在离散时间中准确地重建原始信号，采样频率f_s（采样率）必须满足：
f_s ≥ 2 * f_max
这意味着采样频率应至少是信号中最高频率的两倍。
如果采样频率不满足这个条件，就会出现所谓的"混叠"或"奈奎斯特折叠"，导致信号在离散时间中无法准确还原。
香农-奈奎斯特采样定理在数字信号处理、通信系统、音频处理、图像处理和各种数据采集应用中具有重要作用。
它强调了适当选择采样频率的重要性，以避免信息丢失和混叠问题，确保准确的信号重建。
因此，合理的采样频率选择是数字信号处理的基本原则之一。
连续时间信号的采样培训
连续时间信号的采样培训一、采样的定义和原理采样是指将连续时间信号在时间上进行离散化，即在一定时间间隔内对信号进行采集。
采样的目的是将连续时间信号转化为离散时间信号，使得信号能够通过计算机等数字设备进行处理和传输。
采样的原理是利用采样定理，即尼奎斯特采样定理，它规定了一个信号必须以至少两倍于信号最高频率的样本率进行采样，才能完全恢复原始信号。
具体而言，如果信号的最高频率为fmax，则采样频率fs必须满足fs≥2fmax。
二、常用的采样方法1. 理想采样理想采样是最简单且最理想的一种采样方法，它假设采样过程中不引入任何失真。
理想采样的原理是在采样时将连续时间信号直接抽取出特定时间点的信号值，并保持不变。
然而，在实际应用中，由于采样器的限制，无法完全遵循理想采样，会引入采样误差。
2. 均匀采样均匀采样是常见的一种采样方法，它使用固定的时间间隔对信号进行采样。
均匀采样能够简化处理过程，适用于需要周期性采样的信号。
然而，如果采样频率不符合尼奎斯特采样定理，会出现采样失真和混叠等问题。
3. 非均匀采样非均匀采样是根据信号的特点选择合适的采样点进行采样，不固定时间间隔进行采样。
非均匀采样能够有效提高采样效率和质量，适用于信号变化很快的情况。
但是，非均匀采样需要更复杂的处理过程，并且对系统时钟要求较高。
三、采样频率的选择采样频率的选择是采样过程中非常重要的一步，它直接影响到信号的重建质量。
通常来说，采样频率应大于信号的最高频率，以避免混叠现象发生。
而为了获得更好的重建结果，采样频率的选择应大于2倍信号最高频率，即要满足尼奎斯特采样定理。
当采样频率与信号频率非常接近时，会出现赫讲限制现象，即信号的高频部分出现大量高频噪声。
因此，采样频率的选择应远大于信号频率，以确保采样的准确性和信号的完整性。
四、采样的相关技术在采样过程中，除了以上讨论的采样方法和采样频率的选择外，还需要考虑一些相关技术，以保证采样的准确性和有效性。
6 连续时间信号的采样
NCEPUBD
2.3
理想抽样信号的频谱
2 X a ( j jk ) T k
X a ( j)
^
1 ˆ X a ( j ) T
X a ( j)
F (0)
原频谱周期重复
F (0) / T
2 s 周期为 T
周期延拓
-W s
W s
NCEPUBD
2.4
理想抽样的恢复
0
t
NCEPUBD
抽样方式：实际抽样与理想抽样
理想抽样：
f (t )
D Ts
0
t 两信号相乘
0
t
fT s (t )
t
NCEPUBD
1.3
研究内容
• 信号被采样后的变化
• 如何恢复原来的信号
NCEPUBD
2
理想抽样
• 理想抽样的定义 • 理想抽样信号的频谱 • 理想抽样的恢复 • 奈奎斯特抽样定理
3
实际抽样
取样定理仍有效
ˆa j 的幅度有所改变 x
NCEPUBD
W h
W s
W h
VW= (W s - 2W h)
要不混叠，必须
VW= (W s - 2W h) ? 0
W s 砏2
h
NCEPUBD
2.5
抽 样 定 理
奈奎斯特抽样定理
要保证从信号抽样后的离散时间信号无失真 地恢复原始时间连续信号，必须满足： （1）信号是频带受限的； （2）采样率至少是信号最高频率的两倍。
NCEPUBD
2.1
定
义
T (t )
m
t mT
NCEPUBD
2.2
第数字信号处理讲义--3章_连续时间信号的采样
图3-6采样内插恢复
3.4连续时间信号的离散时间处理
随着信号传输和处理手段的数字化发展，越来越有必要将连续信号转化为离散信号处理。
一、C/D转换
C/D转换
时域分析频域分析
二、D/C转换
D/C转换
D/C变换整个是C/D变换的逆过程
三、连续时间信号的离散化处理
即：
例1：数字微分器
带限微分
例2：半抽样间隔延时
设带限于，要求
3.6利用离散时间信号处理改变采样频率
3.6.1脉冲串采样
3.5离散时间信号的连续时间处理
离散时间信号的连续时间处理
从时域角度看：
从频域角度看：
3.6.2离散信号抽取与内插
抽取——从序列中提取每第N个点上样本的过程。
令
2.内插
抽取又称为减抽样,内插又称为增抽样。
减抽样使信号的频带扩展，但提高了数据的传输率。
在采样前加一低通滤波器,以滤除高于2倍采样频率成分,以避免高频成分的干扰。
3.7.2 A/D转换中的量化误差
数字信号不仅在时间上是离散的，而且在取值上也不连续，即数字信号的取值必须为某个规定的最小数量单位的整数倍。
因此，为了将模拟信号转换成数字信号，还必须将采样/保持电路输出的采样值按照某种近似方式归并到相应的离散电平上，也就是将模拟信号在取值上离散化，我们把这个过程称为量化。将量化后的结果（离散电平）用数字代码来表示，称为编码。于单极性模拟信号，一般采用自然二进制编码；对于双极性模拟信号，则通常采用二进制补码。经过编码后得到的代码就是A/D转换器输出的数字量。
连续时间信号采样实验报告
实验一 连续时间信号的采样一、实验目的进一步加深对采样定理和连续信号傅立叶变换的理解。
二、实验原理采样定理如果采样频率sF 大于有限带宽信号)(t x a 带宽0F 的两倍，即2F F s >则该信号可以由它的采样值)()(s a nT x n x =重构。
否则就会在)(n x 中产生混叠。
该有限带宽模拟信号的02F 被称为乃魁斯特频率。
熟悉如何用MATLAB 语言实现模拟信号表示严格地说，除了用符号处理工具箱(Symbolics)外，不可能用MATLAB 来分析模拟信号。
然而如果用时间增量足够小的很密的网格对)(t x a 采样，就可得到一根平滑的曲线和足够长的最大时间来显示所有的模态。
这样就可以进行近似分析。
令t∆是栅网的间隔且sT t <<∆，则)()(t m x m x a G ∆=∆可以用一个数组来仿真一个模拟信号。
不要混淆采样周期s T 和栅网间隔t ∆，因为后者是MATLAB 中严格地用来表示模拟信号的。
类似地，付利叶变换关系也可根据（2）近似为：∑∑Ω-∆Ω-∆=∆≈Ωmj G mtm j G a em x t t em x j X )()()(现在，如果)(t x a （也就是)(m x G ）是有限长度的。
则公式（3）与离散付利叶变换关系相似，因而可以用同样的方式以MATLAB 来实现，以便分析采样现象。
三、实验内容 A 、100021()ta X t e-=的采样：1、 以10000s F =样本/秒采样1()a X t 得到1()X n 。
Dt=0.00005; t=-0.005:Dt:0.005; xa=exp(-1000*abs(2*t));Ts=0.0001;n=-50:1:50;x=exp(-1000*abs(n*2*Ts)); K=500; k=0:1:K; w=pi*k/K; X=x*exp(-j*n'*w); X=real(X);w=[-fliplr(w),w(2:K+1)]; X=[fliplr(X),X(2:K+1)]; subplot(1,1,1)subplot(2,1,1);plot(t*1000,xa); xlabel('t 毫秒'); ylabel('x1(n)');title('离散信号');hold onstem(n*Ts*1000,x);gtext('Ts=0.1毫秒');hold off subplot(2,1,2); plot(w/pi,X);xlabel('以pi 为单位的频率'); ylabel('X1(w)');title('连续时间傅立叶变换');上面的图中，把离散信号)(1n x 和1()a X t 叠合在一起以强调采样。
信号与系统PPT 第五章 连续时间信号的抽样与量化
pt
他抽样方式，如零阶抽样
1
保持。
O Ts
t
M1
fs0 t
f t
M2
fs0 t
1
O Ts
t
p1 t
1．零阶抽样信号的频谱
设零阶抽样信号fs0t Fs0
fs t f t t nTs
n
Fs
1 Ts
n
F
ns
此线性系统必须 具有如下的单位 冲激响应
fs (t) 保 持得到fso (t).
f (t)
F
1
0 f (t)
t
s 2m
m m
1 Fs
Ts
0
TS f (t)
t
s m
m
s
s 2m
1 Fs
Ts
0
t
s m m s
TS
采样频率不同时的频谱
5.2.2 时域抽样定理 （1）时域抽样定理
一个频带受限的信号f (t)，若频谱只占据 m ~ m
的范围，则信号f t可用等间隔的抽样值来惟一地表示。
即： fs (t) f (t) p(t)
设连续信号 抽样脉冲信号 抽样后信号
f t F (m m)
pt P , fst Fs
复习
周期信号的傅里叶变换
令周期信号f(t)的周期为T1，角频率为1=2f1
f t F 2π Fn1 n1
n
其中：
F n1
1 T1
T1
2 T1
F (
s
)
S a0F ( )
S a
s
2
F (
s
)
设: 1,
Ts 2
s
采样信号的概念
采样信号的概念采样信号是指连续时间信号在时间轴上以离散形式采样后得到的离散时间信号。
在信号处理中，采样是将连续时间信号转换为离散时间信号的过程。
采样信号常用于数据采集、数字化通信、移动通信、音频处理等领域。
采样信号的概念可以通过以下几个方面进行解释：1. 采样定理：采样定理是离散时间信号处理的基础。
根据采样定理，对于频域限制在一定带宽范围内的连续时间信号，只需以超过其最高频率两倍的采样频率进行采样，就能够完全还原原信号。
2. 采样频率：采样频率是指每秒对连续时间信号进行采样的次数，通常用赫兹（Hz）来表示。
采样频率的选择应满足采样定理的要求，以避免出现混叠现象。
在实际应用中，常用的采样频率为声音的44.1kHz或48kHz。
3. 采样间隔：采样间隔是指连续时间信号在时间轴上两个采样点之间的距离，通常用秒（s）来表示。
采样间隔与采样频率的关系为采样间隔= 1 / 采样频率。
采样间隔越小，对信号的描述就越精确。
4. 量化：量化是将连续时间信号的幅度离散化的过程。
在采样后，信号的幅度需要用有限数量的离散值来表示，这就需要进行量化。
量化过程中，通常将连续幅度值映射到最接近的离散值，常见的量化方式有均匀量化和非均匀量化。
5. 采样误差：采样信号引入了采样误差，即由于采样和量化过程导致的原始信号与重构信号之间的差异。
采样误差可通过增加采样频率和增加量化位数来减小，但不能完全消除。
6. 重构：重构是将采样信号恢复为连续时间信号的过程。
通过采样定理，采样信号可以用原始信号的线性插值方法进行重构。
常用的重构方法有零阶保持插值、一阶保持插值和多项式插值。
采样信号在实际应用中具有重要的意义。
首先，采样信号可以方便进行数据存储和传输。
通过将连续时间信号转换为离散时间信号，可以在数字设备中对信号进行处理、存储和传输，提高信号的处理效率。
其次，采样信号可以方便进行数字信号处理。
采样信号可以利用离散时间信号处理的方法，如滤波、卷积、频域分析等，对信号进行处理和分析。
连续时间信号的抽样
的抽样，就会遇到一些特殊问题。
cos
0t
1 2
e e j0t
j0t
( 0 ) ( 0 )
sin
0t
1 2j
e e j0t
j0t
j ( 0 ) ( 0 )
( )
( )
0
0
余弦
( j )
0
正弦
0
( j )
奈奎斯特定理应用于正弦信号
采样周期T
理想重构系统
xa (t)
3 实际抽样
• 用宽度为 的矩形周期脉冲 p(t代) 替冲激串
p(t)
C e jkst k
k
Ck
1 T
0
e jkst dt
T
sin( ks
2
ks
)
j ks
e 2
2
p(t)
A 1
T
T
t
xT (t) X (n1) xT (t t0 ) X (n1)e jn1t0
抽样定理应用于正弦信号时要求： 抽样频率大于信号最高频率的两倍，而不
是大于或等于两倍。
例子
• 对于两不同频率的正弦信号x1(t),x2(t)，如果用同 一抽样频率对其抽样，抽样出的序列可能是一 样的，则我们无法判断它是来源于x1(t)还是x2(t)。
• 例：
x1 (t) cos(2 40t), f1 40Hz x2 (t) cos(2 140t), f2 140Hz
A 1
T
T
t
实际抽样
xa (t)
p(t)
xs (t)
冲激串到序列的转 换
x(n) xa (nT )
连续时间信号的采样与重构及其实现
连续时间信号的采样与重构及其实现
信号处理是现代通信系统中至关重要的一环，其中采样与重构是
一种基本的信号处理技术。
在连续时间信号处理中，采样的作用是将
信号从连续时间域转换为离散时间域。
而重构的作用则是将离散时间
域信号重新转换为连续时间信号，以便于信号的处理和传输。
在采样的过程中，需要将连续时间信号按照一定的时间间隔进行
取样，得到一个离散时间序列。
采样过程中最关键的参数是采样频率，也就是每秒采用的样本数，通常用赫兹（Hz）表示。
采样频率越高，
离散时间序列的准确性就越高，但同时也会增加采样处理的复杂度。
重构的过程则是将离散时间信号恢复成连续时间信号。
由于采样
本身会将连续时间信号进行离散化处理，因此需要进行一定的插值和
滤波处理才能够准确地重构信号。
常见的重构算法包括插值算法、直
接复制算法和最小均方误差算法等。
在实现上，采样和重构的算法都需要借助于一定的数学模型和计
算机技术。
在现代通信系统中，基于数字信号处理技术的采样和重构
算法广泛应用于音频信号、视频信号、图像信号等多种信号处理领域。
数学模型包括傅里叶变换、拉普拉斯变换、小波变换等等。
总之，采样和重构是现代通信系统中非常重要的信号处理技术，
对于准确传输和处理信号具有至关重要的作用。
采用数字信号处理技
术可以实现高效的采样和重构，为现代通信系统的发展提供重要的支撑。
连续时间信号的采样
由于 Y ( j) X s ( j) H ( j) X a ( j) ，根据时域
卷积定理y(t) xs (t) h(t) xa (t) 因为
所以
H
(
j)
T 0
s 2 s 2
h(t) F 1 H j 1 H ( j)e jtd
xs (t) xa (t) T (t) xa (t)
(t nT )
n
n
xa
(t
)
(t
nT
)
n
xa
(nT
)
(t
nT
)
T (t)
xs (t)
0
t
0
t
注意区分 xs (t)和x(n) ，它们都是连续信号采样后的离散序列表 示，不同点是：xs (t)实质是连续时间信号，该信号仅在采样周 期的整数倍上取非零值，而 x(n) 为离散时间信号，它只依赖 于变量n，不包含任何有关采样周期或采样频率的信息，也就 是说相当于引入了时间归一化。
n
为脉宽为 ，周期为T的矩形脉冲周期信号， 为开关闭合时间
，T为采样周期。
s(t)
xa (t)
xs (t)
0
t
0
t
0
t
实际
S(t)
采样：
0
xs (t)
S(t)为脉冲序列
…
t T
1 fs T
t
理想采样
1、 开关闭合时间τ→0时，为理想采样。
2、 特点：采样序列表示为冲激函数的序列，这些冲 激函数准确地出现在采样瞬间，其积分幅度准确地 等于输入信号在采样瞬间的幅度。 即：理想采样可看作是对冲激脉冲载波的调幅过程。
信号与系统实验四-信号的采样及恢复
实验四 信号的采样及恢复一、实验目的1、加深理解连续时间信号离散化过程中的数学概念和物理概念；2、掌握对连续时间信号进行抽样和恢复的基本方法；3、通过实验验证抽样定理。
二、实验内容1、为了观察连续信号时域抽样时，抽样频率对抽样过程的影响，在[0，0.1]区间上以50Hz 的抽样频率对下列3个信号分别进行抽样，试画出抽样后序列的波形，并分析产生不同波形的原因，提出改进措施。
（1）)102cos()(1t t x ⨯=π（2）)502cos()(2t t x ⨯=π （3）)1002cos()(3t t x ⨯=π2、产生幅度调制信号)200cos()2cos()(t t t x ππ=，推导其频率特性，确定抽样频率，并绘出波形。
3、对连续信号)4cos()(t t x π=进行抽样以得到离散序列，并进行重建。
（1）生成信号)(t x ，时间t=0:0.001:4，画出)(t x 的波形。
（2）以10=sam f Hz 对信号进行抽样，画出在10≤≤t 范围内的抽样序列)(k x ；利用抽样内插函数)/1()(sam r f T T t Sa t h =⎪⎭⎫⎝⎛=π恢复连续信号，画出重建信号)(t x r 的波形。
)(t x 与)(t x r 是否相同，为什么？ （3）将抽样频率改为3=sam f Hz ，重做（2）。
4、利用MATLAB 编程实现采样函数Sa 的采样与重构。
三、实验仪器及环境计算机1台，MATLAB7.0软件。
四、实验原理对连续时间信号进行抽样可获得离散时间信号，其原理如图8-1。
采样信号)()()(t s t f t f s ∙=，)(t s 是周期为s T 的冲激函数序列，即)()()(∑∞-∞=-==n sT nT t t t s sδδ则该过程为理想冲激抽样。
其中s T 称为采样周期，ss T f 1=称为抽样频率， ss s T f ππω22==称为抽样角频率。
2-2 连续时间信号取样及取样定理
m(t)
抽样的原理图：
× ms(t)
δT(t)
时域上： 波形和冲激序列相乘，得到一系列时间上离散的抽样点。
x'(t) xa (t) p(t)
因为 p (t) (t nT ) n
所以
x'(t) xa (t) p(t) xa (t) (t nT ) n
(t
n
nT )
1 T
e
m
jm 2 .t T
它的频域表达式为：
P ( j) F[ p (t)]
p
(t)e jt dt
1 T
m
ms
频谱图：
接下来分析理想取样信号x‘（t）的频谱： 即x‘（t）的傅里叶变换：
xa (nt) (t nT ) n
频域上：先看冲激函数序列pδ(t)的时域表达式
pδ(t)的傅氏级数展开：
jm 2 .t
p (t) (t nT ) Cme T
n
m
其中fs=1/T为取样频率；Ωs=2π/T为取样角频率 由傅氏级数定义得：
3、抽样定理的证明
Xa(t)
× X’（t）…… X’（t） LPF
Xa(t)
pδ(t)
h（t） H(ω)
发端
收 端？
入端抽样的时、频域图形
X(f)xa(t)δT(t) t0Ts 2Ts 3Ts
x‘(t)
-fH δT(f)
0 fH
－fS
0
fS
X’(f)
t
0
2.6 连续时间信号的采样
∞
1 π n = ∑ sin( π n + )δ (t − ) n =−∞ 2 8 200
(3) x(n) = xa (t )
t = nT
1 π = sin( π n + ) 2 8 2π 2π N Q = =4= ω0 1/ 2 π k N = 4为最小正整数 ∴ x ( n )的周期为N = 4
∫
而
T t < 2
T ∞ 2 T − 2 n =−∞
δ (t − nT )e − jk Ω t dt ∑
s
，所以只有一个冲激 δ (t ) ，于是
1 Ak = T
∫
又因为有： f (0) = ∫−∞ δ (t ) f (t )dt 则 于是 因此
Ak = 1 − jk Ωst 1 e = T T t =0 1 ∞ jk Ωs t δ T (t ) = ∑ e T k =−∞
称为内插函数。 称为内插函数。
π sin[ (t − kT )] T ϕ k (t ) = π (t − kT ) T
函数值为 1，在其余采样点上，函数值为0。 1，在其余采样点上，函数值为0。 x ϕ k (t ) 说明： a (t ) 等于各 xs (kT )乘上对应的内 说明： 插函数的总和。 插函数的总和。 等于原采样值， 在 t = kT 时，恢复的 xa (t ) 等于原采样值， 而在采样点之间， 而在采样点之间，则是各采样值乘以 ϕk (t ) 的波形伸展叠加而成。 的波形伸展叠加而成。
H ( jΩ ) =
T 0 ｜Ω｜< Ωs
/2
｜Ω｜≥ Ωs / 2
的频谱。 就得到原信号 X a ( jΩ ) 的频谱。
根据模拟系统的频域描述理论， 根据模拟系统的频域描述理论，有
第四章连续时间信号的采样
k
n
x[n] hr (k) (t k nT )
n
k
xr (t) x[n]hr (t nT ) xc (t)
n
理想重构滤波器增益为T（补偿作用）
截止频率为Ωc，取Ωc = Ωs/2 = π/T
hr
(t)
sin πt / πt / T
Yeff
(
j)
H (e 0.
jT
),
π/T π/T
式中Heff(jΩ) 为有效频率响应（effective frequency response）
表示：连续时间系统 （等效）线性时不变系统
4.4.2 脉冲响应不变（Impulse invariance）
已知 连续时间系统 （实现）离散时间系统
先求S(jΩ)，由傅里叶变换特性
s(t)周期冲击串S(jΩ)周期冲击串
即：
S( jΩ)
2
T
k
(Ω
kΩs )
Ωs
2
T
证明：
因为s(t)为周期函数，用傅立叶级数可表示为：
s(t)
a e jkst k
k
由于t的区间：-1/T ~ 1/T
ak
(
ks )d
1 T
X c ( j
k
jks )
X s
( jΩ)
1 T
X c ( jΩ
k
kjΩs
)
Xc(jΩ)与Xs(jΩ)的关系周期重复叠加
Xs(jΩ)重复部分 不重叠的条件：
离散时间信号处理奥本海姆第二版课后答案第三章
第三章连续时间信号的采样3.1 序列[]⎪⎭⎫⎝⎛=n n x 4cos π， ∞<<∞-n ， 用采样模拟信号()()t t x c 0cos Ω=， ∞<<∞-t 。
而得到，采样率为1000样本/每秒，问有哪两种可能的0Ω值以同样的采样率能得到该序列[]n x ？解：对模拟信号 ()()()t f t t x c 002cos cos π=Ω=以采样率s f 进行采样产生离散时间序列[]()()n f f nT x n x ss c 02cos π==，又对任意整数k ，⎪⎪⎭⎫⎝⎛+±=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛±n f kf f n f f s ss 002cos 2cos ππ ∴ 当以采样频率为s kf f f +±=0的正弦波都会产生相同的序列，对于[]⎪⎭⎫⎝⎛=n n x 4cos π∴ 420ππ=s f f ∴ 125810==s f f （样本/秒），π2500=Ω或π2250rad/s 均可。
所以0Ω取π250或π2250都能以同样的采样率得到该序列。
3.2 令()t h c 记作某一线性时不变连续时间滤波器的冲击响应，()n h d 为某一线性时不变离散时间滤波器的冲击响应。
()a 若()⎩⎨⎧<≥=-00t t e t h atc 求该连续时间滤波器的频率响应，并画出它的幅度特性。
()b 若()()nT Th n h c d =，()t h c 如()a 所给，求该离散时间滤波器的频率响应，并画出它的幅度特性。
()c 若给定a 的值，作为T 的函数，求离散时间滤波器频率响应的最小幅度值。
解：（a ）由连续时间信号的傅氏变换得：()ωωj a j H c +=1()221ωω+=a j H c(b) []()()()∑∞-∞=-==n c c d nT t t Th nT Th n h δ()()∑∞-∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛-Ω*⋅=k c j d T jkj Tj H T eH πδπωπω2221 =∑∞-∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛-k cT k j T j H πω2 =πωω<⎪⎭⎫ ⎝⎛T jH c=πωω<+Tja 1（c ）若a 为定值，当πω=时，幅度最小为：()22min1Ta e H j d πω+=（它是T 的函数）3.3 图P3.3-1表示一种多径信道的简单模型。
-离散时间信号与连续时间信号的联系
22
2）选fs 200Hz
则采样间隔为：T 1/ fs 0.005s
xa (nT ) sin(2 f0nT /8) sin(2 f0n / fs /8)
sin(2 50 n /8) sin( 1 n /8)
200
2
xˆa (t) xa (nT ) (t nT ) n
sin( 1 n ) (t
n
)
n
2
8
200
2019/11/2
sin( 1 n )
28
2 2 4 N
0 1/ 2
k
N 4为最小正整数
x(n)的周期为N 4
2019/11/2
24
正弦信号的抽样
7
1、抽样信号及其频谱
求理想抽样的频谱Xˆ a ( j)
Xˆ a
(
j)
DTFT [ xˆa
(t)]
1
2
[Xa
(
j)
*
T
(
j)]
1
2
Xa(
j )T
(
j
j
)d
1
2
[
X
a
(
j
)
2
T
( ks
k
)d ]
1 T k
h
s 2
，
s 为折叠频率 2
则延拓分量产生频谱混叠
2019/11/2
10
2、时域采样定理 奈奎斯特抽样定理： 要想抽样后能够不失真地还原出原信号，则抽样 频率必须大于两倍信号谱的最高频率
信号与系统连续时间信号的抽样及重建
05
结论
抽样与重建的重要性和意义
信号的抽样是信号处理中的基础环节， 它涉及到信号的数字化和后续处理，是 实现信号传输、存储和复原的关键步骤。
连续时间信号的抽样及重建对于通信、 雷达、音频处理等领域具有重要意义， 它能够将连续时间信号转换为离散时间 信号，从而实现对信号的准确表示和传
输。
抽样及重建技术对于现代信号处理技术 的发展和应用起到了重要的推动作用， 是实现数字化、网络化、智能化的重要
系统
系统是指由若干相互关联、相互作用的元素组成的集合，具有特定功能或行为。 在信号处理中，系统通常指用来处理、变换或传输信号的物理装置或电路。
抽样与重建的意义
抽样
抽样是指将连续时间信号转换为离散时间信号的过程。通过 抽样，可以将连续时间信号转换为可以在计算机或数字设备 中处理的离散时间信号。
重建
重建是指将离散时间信号恢复为连续时间信号的过程。在信 号处理中，重建是抽样的逆过程，通过重建可以将离散时间 信号还原为原始的连续时间信号。
THANKS
感谢观看
滤波器法
通过设计适当的滤波器，将离 散时间信号滤波为连续时间信 号。
近似法
对于某些特定类型的信号，可 以利用近似方法简化重建过程
。
04
抽样与重建的应用
在通信系统中的应用
数字信号传输
在通信系统中，连续时间信号通常被转换为数字信号进行传输。抽样是实现这一 转换的关键步骤，它通过对连续时间信号的离散化，将模拟信号转换为数字信号 ，以便于传输和存储。
抽样的数学表示
时域表示
连续时间信号 $f(t)$ 在时域上的抽 样可以表示为 $f(at)$，其中 $a$ 是抽样因子。
频域表示
连续时间信号 $f(t)$ 在频域上的抽 样可以表示为 $F(bu)$，其中 $b$ 是频率偏移因子。
连续信号的采样与重构实验报告
信号与系统上机实验报告学院：电子信息学院班级：08011202姓名：王喜成学号：2012301794上机实验 5 连续信号的采样与重构一、实验目的（1）验证采样定理；（2）熟悉信号的抽样与恢复过程；（3）通过实验观察欠采样时信号频域的混迭现象；（4）掌握采样前后信号频域的变化，加深对采样定理的理解；（5）掌握采样频域的确定方法。
二、实验内容和原理信号的采样与恢复示意图如图2.5-1所示图2.5-1 信号的抽样与恢复示意图抽样定理指出：一个有限频宽的连续时间信号)(t f ，其最高频率为m ω，经过等间隔抽样后，只要抽样频率s ω不小于信号最高频率m ω的二倍，即满足m s ωω2≥，就能从抽样信号)(t f s 中恢复原信号，得到)(0t f 。
)(0t f 与)(t f 相比没有失真，只有幅度和相位的差异。
一般把最低的抽样频率m s ωω2min =称为奈奎斯特抽样频率。
当m s ωω2<时，)(t f s 的频谱将产生混迭现象，此时将无法恢复原信号。
f （t ）的幅度频谱为)(ωF ；开关信号)(t s 为周期矩形脉冲，其脉宽τ相对于周期s T 非常小，故将其视为冲激序列，所以)(t s 的幅度频谱)(ωS 亦为冲激序列；抽样信号)(t f s 的幅度频谱为)(ωs F ；)(0t f 的幅度频谱为)(0ωF 。
观察抽样信号的频谱)(ωs F ，可以发现利用低通滤波器（其截止频率满足m s c m ωωωω-<<）就能恢复原信号。
信号抽样与恢复的原理框图如图2.5-2所示。
图2.5-2 信号抽样与恢复的原理框图由原理框图不难看出，A/D转换环节实现抽样、量化、编码过程；数字信号处理环节对得到的数字信号进行必要的处理；D/A转换环节实现数/模转换，得到连续时间信号；低通滤波器的作f。
用是滤除截止频率以外的信号，恢复出与原信号相比无失真的信号)(0t三、涉及的MATLAB函数subplot(2,1,1)xlabel('时间, msec');ylabel('幅值');title('连续时间信号x_{a}(t)');axis([0 1 -1.2 1.2])stem(k,xs);grid;linspace(-0.5,1.5,500)';ones(size(n)freqs(2,[1 2 1],wa);plot(wa/(2*pi),abs(ha)buttord(Wp, Ws, 0.5, 30,'s');[Yz, w] = freqz(y, 1, 512);M= input('欠采样因子= ');length(nn1)y = interp(x,L)[b,a] = butter(N, Wn, 's');get(gfp,'units');set(gfp,'position',[100 100 400 300]);fx1=fft(xs1)abs(fx2(n2+1))如有帮助，欢迎下载支持。
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1.2 连续时间信号的采样 4. 一个声音信号
x(t) 2Acos(10t) 2Bcos(30t) 2C cos(50t) 2Dcos(60t)
试问:(1)这个信号由哪些频率构成？ (2)信号的哪些部分是可以听到的？为什么？ (3)如果不加前置滤波器，听到的是什么？ (4)如果前置滤波器的截止频率为20kHz,听到的是什么？
X (e j )
L
0 hT 2
2 fh fs 频谱产生混叠
1.2 连续时间信号的采样 二.信号的实际采样
1.实际采样定义
采样脉冲是一定宽度周期脉冲的采样。 2.频谱之间的关系
X
(e
j
)
1 T
k
sin( 2
)
e
j
2
X
(
j
2
k
)
T
2
3.频谱的变化规律
(1)也以2为周期进行延拓，幅度遵循 sin x 变化；
(2)满足fs
2
f
时，频谱不产生混叠。
h
x
1.2 连续时间信号的采样
三.举例
1.设实连续信号中含有频率分别为70Hz和152Hz的正弦
信号，现用 fs 200Hz的抽样率对该信号进行抽样，
并利用DFT近似计算信号的频谱。利用DFT近似计算
出的频谱中，其谱峰将出现在
70，48
Hz.
2004年北京交通大学
前置 x(t) 滤波器 y(t)
H(f )
fs=40kHz y(n) 采样器
D/A
y(t)
1.2 连续时间信号的采样
解：(1)5,15,25,30kHz
(2)5,15kHz可以听到
x1(t) 2Acos(10t) 2Bcos(30t)
(3)x2(t) 2Acos(10t) 2(B C) cos(30t) 2D cos(20t) 失真
1 50
0 40 60
- -3/4
1
0 3/4
其中X ( j)为x(t)的频谱，H (e j )为h(n)的频率响应。
当采样间隔T
=
1 40
秒时，试画出信号x(n),
y(n)的频谱。
1.2 连续时间信号的采样
解：
X ( j)
-50
0
50
X ( j /T)/T
-5/4
L
2 -5/4
- -¾
X ( j)
X (e j ) 1 X ( j 2 k )
T k
T
(1)对连续信号的频谱X ( j)进行
h
0
h
X ( j /T )
尺度变换得X ( j /T ); (2)频谱的幅度乘常数因子1/T； (3)将频谱X ( j /T ) /T位移 2，
4，L ，对X ( j /T ) /T及所有
X ( j) x(t)e jtdt
理想采样信号x(n)的傅里叶变换为：
X
a
(
jX()e
j
1 )T
kn
xX(na )(ejjn
jk
2) T
X (e j )
1.2 连续时间信号的采样
2.频谱之间的关系
由x(n)
x(t)
|t nT
1
2
X ( j)e jnT d
1
(2k 1) /T X ( j)e jnT d
2 k
(2k 1) /T
令 T 2 k则有
x(n)
1
1 X ( j 2 k )e jn(2 k)d
k 2 T
T
1
[
1 X ( j 2 k )]e jnd
2
T k
T
X (e j ) 1 X ( j 2 k )
T k
T
1.2 连续时间信号的采样
3.由连续信号频谱获得离散信号频谱的步骤
位移的频谱求和即得周期为2
hT
hT
0 hT
X ( j /T) /T 0 hT
的离散信号的频谱 X (e j )。
X (e j )
L
L
2 T 0 T 2
1.2 连续时间信号的采样
4.频谱混叠
L
2
X (e j ) hT 0 hT
L
2
奈奎斯特抽样率：2 fh
L
2 hT
折叠频率：fs 2
2fh fs 频谱不产生混叠
0
5/4
X (e j )
0
5/4
H (e j )
1
0 ¾
L
2
- -3/4
Y (e j )
1
0 3/4
思考题：
1.若x(t)=cos(500×2πt)+sin (300×2πt)， 则奈奎斯特抽样频率为多少？
2.若x(t)=cos(500×2πt)sin (300×2πt)， 则奈奎斯特抽样频率为多少？
(4)x3(t) 2Acos(10t) 2Bcos(30t)
消除失真
数字系统一般在采样前都加前置滤波器
1.2 连续时间信号的采样 5. 利用数字系统处理模拟信号的框图如下所示：
x(t) A/D x(n) h(n) y(n) D/A y(t)
T
X ( j)
H (e j )
-50 -60 -40
3.已知 fs 50Hz,一模拟信号
x(t) 3cos(20 t) 5sin(60 t) 10 cos(120 t)
试求：采样后的x(n), 若从x(n)信号恢复成连续 信号，是否与原模拟信号一样，为什么？
解：
x(n) 13cos(0.4 n) 5sin(0.8n)
不一样，混叠
fs 2 fh
2.已知一个连续时间信号的最高频率成分不超过5kHz，
按10kHz进行抽样,得到离散信号；对此离散信号作
DTFT，在 0.3 处存在一个冲激串。
(1)在 轴其它位置是否也有冲激,若有写出其位置的值；
(2)这个冲激对应的模拟信号的频率值是多大？
(1)1.7
2005年北京理工大学
(2)1ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ5kHz
1.2 连续时间信号的采样
1.2 连续时间信号的采样
采样:x(n) x(t) |tnT
采样周期：T
采样频率：fs
1 T
信号
频谱
x(t) 傅里叶变换 X ( j)
采样
x(n) 傅里叶变换 X (e j )
1.2 连续时间信号的采样 一.信号的理想采样
1.理想采样定义
采样脉冲是冲激函数时的采样。
连续时间信号x(t)的傅里叶变换为：