随机变量序列的两种收敛
茆诗松《概率论与数理统计教程》(第2版)(课后习题 大数定律与中心极限定理)【圣才出品】
是直线上的连续函数，试证：
证：若 g（x）是 m 次多项式函数，即 下证一般情况，对任意的 又选取 N1 充分大，使当
，则由上一题知有
，取 M 充分大，使有
时，有
，于是有
对取定的 M，因为 g（x）是连续函数，所以可以用多项式函数去逼近 g（x），并且在任意
有限区间上还可以是一致的，因而存在 m 次多项式
，于是有
，因为
，故存在充分
由 的任意性知，当
时，有
结论得证．
6．设 D（x）为退化分布： 试问下列分布函数列的极限函数是否仍是分布函数？（其中 n＝1，2，…）
（1）
（2）
（3）
解：（1）因为此时的极限函数为
性质： lim F x=0 ，所以不是分布函数． x－
，不满足分布函数的基本
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有
故当
时，
即
成立，进一步由
可得
，所以又有
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成立．
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（2）先证明
对任意的
，取 M 足够大（譬如
），使有
成立，对取定的 M，存在 N，当 n＞N 时，有
这时有
从而有
由 的任意性知
，同理可证
由上面（1）得
即
成立．
3．如果
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证：先证充分性，令
，则
，
故 f（x）是 x 的严格单调增函数，因而对任意的
，有
于是对任意的
，当
时，有参见 2.3 第 12 题．
充分性得证．
随机变量序列的两种收敛性
§4.2随机变量序列的两种收敛性在上一节中，我们从频率的稳定性出发，引入了n η=∑=n i i n 11ξ−→−p a （n ∞→） 即随机变量序列{}n η依概率收敛于常数a 这么一个概念。
我们自然可以把所讨论的问题推广到a 不是一个常数，而是一个随机变量这样的情形，于是需要引入下面的定义。
定义4.2 设有一列随机变量1η，2η，3η，…，n η，如果对任意的ε>0,都有 lim ∞→n P ()εηη<-n （4.6）则称随机变量序列{}n η依概率收敛于η，并记作lim ∞→n r η−→−p η 或n η−→−p η （n ∞→） 由此可知，前一节中讨论过的大数定律只是上述依概率收敛的一种特殊情况。
我们已经知道分布函数全面地描述了随机变量的统计规律，如果已知n η−→−p η（n ∞→），那么它们相应的分布函数n F （x ）与F （x ）之间的关系会有什么样的关系呢?一个猜测是,对所有的x ，都有n F （x ）→ F （x ）（n ∞→）成立，这个猜测对不对呢?让我们看一个很简单的例子。
例4.2 设η，n η都是服从退化分布的随机变量，且P （η=0）=1,P （n η=-n 1）=1，n=1,2,… 于是对任给的ε>0，当n>ε1时有 P （ηη-n ≥ε）=P （n η≥ε）=0所以n η−→−p η （n ∞→） 成立。
又设η，n η的分布函数分别为F （x ），n F （x ），则F （x ）=⎩⎨⎧≤>0,20,1x xF （x ）=⎪⎩⎪⎨⎧-≤->n x n x 1,21,1 显然,当x ≠0时，lim ∞→n n F （x ）= F （x ）成立，当x=0时，lim ∞→n n F （0）=lim ∞→n 1=1≠0= F （0） 这个简单的例子表明，一个随机变量序列依概率收敛于某一个随机变量，相应的分布函数列不一定是在每一点上都收敛于这个随机变量的分布函数的。
茆诗松《概率论与数理统计教程》(第2版)笔记和课后习题(含考研真题)详解-第4~5章【圣才出品】
（1）|φ （t）|≤φ （0）＝1．
——————
——————
（2）φ （－t）＝φ （t），其中φ （t）表示 φ （t）的共轭．
（3）若 y＝aX＋b，其中 a，b 是常数，则 φ Y（t）＝eibtφ X（at）．
（4）独立随机变量和的特征函数为每个随机变量的特征函数的积．即设 X 与 Y 相互独
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P
Xn a
P
Yn b
则有 ①
P
X n Yn a b
②
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P
X n Yn a b
③
P
Xn Yn a b(b 0)
2．按分布收敛、弱收敛
（1）按分布收敛
设随机变量 X，X1，X2，…的分布函数分别为 F（X），F1（X），F2（X），…．若对 F（x）
p(x) x e n/21 x/2 ，x 0 Γ (n / 2)2n/2
exp
it
2t 2
2
(1 it )1
(1 it )
(1 2it )n / 2
贝塔分布
Be(a，b)
p(x) Γ (a b) xa1 (1 x)b1，0 x 1 Γ (a)Γ (b)
Γ (a b)
(it)k Γ (a k)
P
Xn x
或者说，绝对偏差|Xn－x|小于任一给定量的可能性将随着 n 增大而愈来愈接近于 1， 即等价于 P（|Xn－x|＜ε）→1（n→∞）．
特别当 x 为退化分布时，即 P（X－c）＝1，则称序列{Xn}依概率收敛于 C． （2）依概率收敛于常数的四则运算性质如下： 设{Xn}，{Yn}是两个随机变量序列，a，b 是两个常数．如果
大数定律与中心极限定理
⼤数定律与中⼼极限定理⽬录随机变量序列的两种收敛性依概率收敛：设{X n}为⼀随机变量序列，X为⼀随机变量，若对于任意ϵ>0,有P(|X n−X|≥ϵ)→0(n→∞)则称序列{X n}依概率收敛于X，记作X n P →X依概率收敛的性质：若X n P →aY n P →b则：X n±Y n P→a±bX n Y n P→abX n÷Y n P→a÷b弱收敛（按分布收敛）：随机变量X,X1,X2…的分布函数为F(x),F1(x),F2(x)…，若对于F(x)的任意⼀个连续点x，有lim n→∞F n(x)=F(x)则称分布函数序列{F n(x)}弱收敛于F(x),记作F n(x)W→F(x)也称{X n}按分布收敛于X,记作X n L →X特征函数特征函数：设X是⼀个随机变量，则φ(t)=E(e itX)为X的特征函数。
常⽤分布的特征函数0-1分布：φ(t)=pe it+q泊松分布:φ(t)=∑e itx λk e−λk!=e−λ∑(λe it)kk!=eλ(e it−1)均匀分布:φ(t)=∫b ae itxb−a dx=e itb−e itait(b−a)标准正态分布:φ(t)=e−1 2t2证明：φ(t)=∫∞−∞e itx1√2πe−12x2dx=1√2π∫∞−∞∞∑n=0(itx)nn!e−12x2dx=∞∑n=0(it)nn![∫∞−∞x n1√2πe−12x2]dx=∞∑n=0(it)nn!E(X n)当n为奇数时，E(X n)=∫∞−∞x n1√2πe−12x2dx=0当n为偶数时，E(X n)=E(X2m)=∫∞−∞x2m1√2πe−12x2dx=1√2π∫∞−∞−x2m−1d(e−12x2)=1√2π(2m−1)∫∞−∞x2m−2e−12x2dx=(2m−1)(2m−3)…1∫∞−∞1√2πe−12x2dx=(2m−1)!!=2m!2m(m−1)!故φ(t)=∞∑m=0(it)2m(2m)!E(X2m)=∞∑m=0(it)2m(2m)!2m!2m(m−1)!=∞∑m=0(−t22)mm!=e−1 2t2指数分布的特征函数:φ(t)=(1−it λ)−1证明：φ(t)=∫∞0e itxλe−λx dx=λ[∫∞0cos(tx)e−λx dx+i∫∞0sin(tx)e−λx dx]I=∫∞0cos(tx)e−λx dx=∫∞01t e−λx dsin(tx)=λt∫∞sin(tx)e−λx dx=−λt2[−1+λ∫∞cos(tx)e−λx dx]=−λ2t2I+λt2故I=λλ2+t2φ(t)=λ(λλ2+t2+itλ2+t2)=λλ2+t2(λ+it)=λλ−it=(1−it λ)−1特征函数的性质|φ(t)|≤φ(0)=1证明:|φ(t)|=|∫e itx f(x)dx|≤∫|e itx|f(x)dx=1若Y=aX+b，则φY(t)=e ibtφX(at)证明：φY(t)=∫e it(ax+b)f(x)dx=e itb∫e itax f(x)dx=e ibtφX(at)若X和Y相互独⽴，则有φX+Y(t)=φX(t)φY(t)证明：E(e it(X+Y))=E(e itx e ity)=E(e itx)E(e ity)=φX(t)φY(t)若E(X l)存在，则X的特征函数l次可导，且对1≤k≤l有φ(k)(0)=i k E(X k)证明：φ(k)(t)=∫i k x k e ixt f(x)dx将t=0代⼊得φ(k)(0)=i k∫x k f(x)dx=i k E(X k)⼤数定律 概率是频率的稳定值，其中稳定是什么意思？⼤数定律详细的描述了这个问题。
依分布收敛与依概率收敛
依分布收敛与依概率收敛
依分布收敛与依概率收敛是概率论和统计学中的两个重要概念，常
用于描述随机变量序列的收敛性质。
下面分别介绍这两种收敛的定义
和特点。
依分布收敛：
所谓依分布收敛，是指随机变量序列逐渐趋向于某个分布的过程。
具
体而言，对于一组随机变量序列{Xi}和分布函数F(x)，如果对于任意
的x，当n趋向于无穷大时，有Fn(x)都趋向于F(x)，则称{Xi}依分布
收敛于分布函数F(x)，记作Xi~F(x)。
依分布收敛的特点是：
1. 收敛的结果是一个分布函数，可以通过累加分布函数来计算概率值。
2. 收敛的充分条件是连续的性质，具有普遍性。
3. 各种随机变量均可以进行依分布收敛。
依概率收敛：
依概率收敛是指随机变量序列以大概率趋近于某一常数的过程。
具体
而言，对于一组随机变量序列{Xi}和常数a，如果对于任意的小于等于ε（ε>0），有lim P(|Xi-a|>ε)=0，则称{Xi}依概率收敛于a，记作Xi→a （p）。
依概率收敛的特点是：
1. 收敛的结果是一个确定值，其概率趋向于1。
2. 收敛的充分条件是可测性的性质，具有更弱的条件限制。
3. 仅限于实数的随机变量序列（也可以进行有限维的推广）。
以上是依分布收敛与依概率收敛的定义和特点，两者之间存在差异，但都是表示随机变量序列逐渐趋向于某一结果的重要方法。
在实际应用中，需要根据具体问题和需求选择适合的方法进行处理。
随机变量序列的几种收敛性注记
科教论坛科技风2020年10月DOC10.19392/ki.1671-7341.202028033随机变量序列的几种收敛性注记杨元启三峡大学理学院湖北宜昌443002摘要：随机变量序列的收敛性理论主要源自测度论中可测函数序列的收敛性理论，但由于概率测度的特殊性，使得随机变量序列的敛散性有自己的特点。
这些理论既是概率论的重点，也是难点。
本文准备详细介绍随机变量序列的各种收敛性概念,讨论他们之间的联系，并以适当的例题来说明收敛的性质。
关键词:几乎必然收敛;依概率收敛；完全收敛;一致可积性本科教材中关于随机变量序列的收敛概念一般只有两种:依概率收敛和依分布收敛,分别关联大数定律和中心极限定理。
但根据序列收敛的强弱,有多种强弱不同的收敛概念,它们的侧重点不一样，相互之间也有联系，讨论如下。
设79,9，”=1,2,3｝是概率空间(*,,p)上的随机变量序列，随机变量9的分布函数记作F(0=p(X<x+,x(R,X n 的分布函数记作F(0#以下是几种常用的收敛性：(1)若对F(0)的每个连续点0,有0)=F(0)，则称随机变量序列｛X”｝依分布收敛于X,记作X”厶X；(2)若对任意&>0,li rn P(X…-X|'&)=0,则称随机变P量序列｛X”｝依概率收敛于随机变量X,记作X”一X；(3)设r>0,=X”存在，且”X”-X|'=0,则称随机变量序列｛X”｝r阶收敛于随机变量X,记作X”二X,这时易知=X>也存在；(4)若P(”im X…=X)=1,则称随机变量序列｛X”｝几乎必然收敛于随机变量X,记作X”上$X；(5)若对任意的&>0,都有lim-P(|X»-X|'&)=0称随”$"7=”c机变量序列｛X”｝完全收敛于随机变量X,记作X”一X#下面几个概念与随机变量序列的收敛性关系密切：(1)对任给的&>0,存在(使得对任一"(F,当P(")d 时，便有spf j X”|$p<&,则称随机变量列｛X”｝是一致绝对连续的；(2)若epJj X”|$P<",则称随机变量列｛X”｝积分一致 有界；(3)若sp|X”|$P=0,则称随机变量列｛X”｝是一致可积的；由测度论的理论,有下列结论:(1)｛X”｝是一致可积的充要条件是｛X”｝是一致绝对连续的且积分一致有界；(2)X”上$X当且仅当对于任意的&>0,^｛*”7X”-X丨'&｝｝=0以及X”上$x当且仅当对于任意的&>0,P(/*7X m-X|'&｝)=0；”=1>=”P(3)X…-$X当且仅当对｛X”｝的任一子序列｛X”？，均存在子序列7X”》｝0｛X”？,使得X”7上$x；“、a・s.,、，P(4)X”一X时必有X”一X；r P(5)X”---------$X时必有X”----------$X；P<(6)X”---------$X时必有X”----------$X；C., a.s.(7)X”---------$X时必有X”----------$X；(8)”F"IX-XI=0的充要条件是｛X”｝是一致可积且PX”$X上述部分结论的证明可以从本文所列文献中找到，这里就不赘述了#我们只证(2)和(7)#先介绍一个引理#"8888弓【理如果-P("”)<8,则P(/U"”)=0,P(*/"”.)=1,即事件序列｛"”｝中有无穷多个"”发生的概率为0,或者说事件序列｛"”｝中至多有有限个"”发生的概率为1;如果P("”)=8,而｛"”｝是两两独立的事件序列，则P8888(/*"”)=1,P(*/"”.)=0,即事件序列｛"”｝中有无穷多个"”发生的概率为1,或者说事件序列｛"”｝中至多有有限个"”发生的概率为0#这是著名的波雷尔-康特立引理#(2)的证明:若X”上$X,即*中除了某个概率测度为零的集合8以外的所有点)对于任何&>0,当”>”0(&,)时就有t”_X I<&,也就是说，满足对任意的”,总存在>'”，使得X”-X的点)必属于零测度集8,亦即/*7X”-X'”一1>—”&｝08,因此P(/*7|X>-X|'&｝)=0；”=1>=”所以说X”上$X当且仅当对于任意的&>0,P (/*7X m-X|'&｝)=0；”=1>=”66科技风2020年10月另外，根据概率的连续性，显然有P(/*i19-91>&!)=+=17=+0i U/P{U7丨9”-9|'&}=0,反之,若对于任意的&>0, >=+有U m：{U79”-9|'&}=0,则由于/U79”-9|'&8 +$">=++=1>=+"880U7X m-9|'&,有0!：(/U7X m-9|)!Um：>=++=1>=++$8 {U+7.|9>-9|}=0综上有：as889—」9%对于任意的&>0,P(/U7丨9”-9|)=0+=1>—+%对于任意的&>0,fm P{U7丨9”-9|}=0#+—8>—+C8(7)的证明：因为9―$9,即任意的&>0,Um-：+$87=+ (9,,-9'&)—0,因此Um：{U7丨9”-9|}<Um-：+$8>=++$8>=+ (9m-9|'&)=0,即|=9#以下通过几个例子进一步讨论随机变量序列的性质#例1设{9”}为相互独立的随机变量序列，若9…上$证明:设9…上$0,则对任意的&>0,有：(/U79-0)=0”=17=+即：(limyp7I9t1>&)=0,由｛9…｝相互独立及波雷尔-康特立引理，知-:(9>'&)<8,因此Um-：>=1”$8>=+ (9”|'&)=0,此即9 0注：(1)显然，此结论可改为：若｛9…｝相互独立，则9…上$0等价于9…亠0'或者，若｛9…｝相互独立，则9…上$0等价于2&>0,-：7(191>&)!<8#+=1(2)若｛9｝独立，｛,”｝为常数列，则9上$0等价于2&>0,-：7(19<8#”—1例2设｛9”｝为以概率1单调的随机变量序列，且9…: a.s.—9,则9”一9#:证明:不妨设2)(*,｛9”｝为单调递增，由于9…-$9,因此对｛9”｝的任一子序列｛9”？,均存在子序列｛9”？0 79…7!,使得9”7上$9,而｛9”｝为单调递增，故2)(*,9”$ 9,因此9”9#例3设随机变量序列｛9+｝依分布收敛于常数，，则9”:-----，#「1久',证明：常数，的分布函数；(0)=匸，｛9”｝依分布0x<<收敛于，,对任意的&>0,：(丨9”-|'&)=：(9”<,-&+：(9”'a+&)<;”(a-&)+—：(9”«+£&二；”(Q-&)+—;”(a+&:-0)=0+1-1二0,所以9”---a#例4设｛9”｝是独立同分布的随机变量序列，二阶矩有2”：界,则十*-@@―”(”+1)@12”证明:记=91=#,A91=*2,则*2<8,=(,2八-忑)—”(”1)@=1 )”乔17=( -9心A含9)=心-2”2”川-弘予，A(»-9)=4*2亍-==232”+11*2$0,(”$8)2=13”(”+1)2”由契贝雪夫不等式有2&>0,P(I十丁--=91I'&)”(”1)=12”<”(”&)@——$0,(+$»)，亦即尸石-9厶=91# &”(”+1)=1例5设｛9”｝为独立同分布的随机变量序列，密度函数「2-0a)兀'a</(0=L，记B”=m/791，…9”!，则B”—a# 050<af1-2"(0"a)兀'a 证明：容易算得公共分布函数;(0)-,0050<a'a时,：(B”>0)=：(m/791，…9”!>0)=：(/{9=>0)=1=(1-F(0))”=2一0-)2&>0,P(I”-a l'&)=：(B”'a+&)+P(B”<a-&)=2兀+：(*79=<a-&!)=1=2^+-：(9=<a-&)=1—e-&+0$0,”$8:<所以B”$a，因此,B”$a#例6设{9”}为独立同分布的随机变量序列,P(9”=1)1”9»=：(9”=0)=*,B”=-出”=1,2,3,则B”的分布收敛于27=12［0,1］上的均匀分布#证明：9»的特征函数为/()=*(1+e")—as寺2“,；的特征函数为+()-寺(1+e")=cos2)71“,7=1,2,3,由于97独立同分布,7=1,2,3,故B”的特征函数为,”(-=3(cos7=1tsin命抽')=丁-----------eM-,由于”/0”(-=〒Cn寺=Sm2”+丄(2“-1)，而［0,1］上的均匀分布的特征函数恰为丄*2“-1), It It由逆极限定理知B”的分布收敛于［0,1］上的均匀分布#参考文献：［1］王寿仁.概率论基础与随机过程［M&.北京：科学出版社，1997.［2］严家安.测度论讲义.北京:科学出版社,2000.［3］周民强.实变函数论.北京：北京大学出版社,2003.［4］严士健，王隽骧，刘秀芳.概率论基础.北京：科技出版社,$982.67。
概率论课件 第4章第2讲随机变量序列的两种收敛性
0,当( x a)2 ( y b)2 2时有
| f ( x, y) f (a, b) |
于是 {| f (k ,k ) f (a, b) | } {( a)2 ( b)2 2 }
辛钦k 1n Nhomakorabeak
a | } 1
证明: {n } 同分布, 它们有相同的特征函数, 这个相同的特征函数记为 (t )
1 n 记 n k n k 1
a E ( k )
(0)
i
(t ) (0) (0)t o(t ) 1 iat o(t )
的分布函数Fn ( x) F ( x).
显然有 lim Fn ( x) F ( x)
n
L Xn Y
但对任意的0<ε<2,恒有
P{| n | } P{2 | | } 1
即不可能有{n }依概率收敛于
所以:依分布收敛依概率收敛不真
定理:随机变量序列依概率收敛于常数C 的充要条件是依分布收敛于常数C 证明:必要性已证,下面只证充分性
§4.2 随机变量序列的两种收敛性 上一节我们由大数定理可得,在贝努里试验中, 事件发生的频率稳定于概率,即
lim P{
n
n
n
P } 1
自然想到的是, 随机变量序列是否依 这种方式能稳定于一个随机变量呢 ?
这就是我们要讲的依概率收敛问题.
1
依概率收敛 定义：设{ n }是随机变量序列,若存在随机 变量 (或常数),对于任意ε>0,有
x x
令y x, z x,由x为F ( x)的连续点, 有
随机变量序列的几种收敛性和关系毕业论文
由上面四种收敛性间的关系可得：
几乎处处收敛 依概率收敛 依分布收敛.
阶收敛 依概率收敛 依分布收敛.
3.
因为随机变量取值的统计规律可由它的分布函数完全确定，所以自然会考虑利用分布函数的收敛性来定义随机变量的收敛性，又分布函数和特征函数一一对应，而判断一个分布函数的序列的收敛是否弱收敛有时是很麻烦的，但判断相应的特征函数序列的收敛性却往往比较容易，下面给出弱收敛的充要条件，首先做一些准备：
后来我们引入了伯努利概型来刻画独立重复试验.将一成功（即A发生）概率为p的试验独立重复n次，其中成功 次，则 是二项分布随机变量.
因此成功的频率 也是随机变量.其期望为p与n无关，且方差 当 时趋于0.熟知，方差为0的随机变量恒等于它的期望，所以当 时频率 应以概率p为极限.另一方面，可以写 ，其中 相互独立，具有一样的伯努利分布，至此，问题转化为研究 时 的平均值序列 的极限行为.鉴于已在上面讨论过随机变量列的各种收敛性，因此我们可以给出大数定律的严格定义.
注：由于 连续，如 广义均匀收敛到 ，则 必定是连续函数.
系1设分布函数列 对应的特征函数列为 ，则下列四条件等价：
（1） 弱收敛于某分布函数 ，
（2） 收敛到某函数 ， 在点0连续，
（3） 收敛到某连续函数 ，
（4） 广义均匀收敛到某函数 .
当任一条件满足时， 是 的特征函数.
下面说明系1中等价条件（2）中“ 在 的连续性”是不可缺少的条件.
则对任意的 ，有 成立.
证明：因为 有一样分布，所以也有一样的特征函数，记这个特征函数为 ，又因为 存在，从而特征函数 有展开式：
=
再由独立性知 的特征函数为
对任意取定的t,有
而 是退化分布的特征函数，相应的分布函数为
茆诗松《概率论与数理统计教程》第3版笔记和课后习题含考研真题详解(大数定律与中心极限定理)【圣才出品
设{Xn}是独立同分布的随机变量序列，且 E（Xi）＝μ，Var（Xi）＝σ2＞0 存在，若记
Y n
X1 X2 X n n n
，则对任意实数 y，有
lim
n
P(Yn
y)
(
y)
1 2
y t2 e 2dt
2．棣莫弗—拉普拉斯中心极限定理 设 n 重伯努利试验中，事件 A 在每次试验中出现的概率为 p（0＜p＜1），记 Sn 为 n
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Var（Xi）≤c，i＝1，2，…，则{Xn}服从大数定律，即对任意的ε＞0，，nlim P(
Sn n
p
)
1
成立。
（2）马尔可夫大数定律
对随机变量序列{Xn}，若
1 n2
Var (
n i1
Xi)
0
，成立，则{Xn}服从大数定律，即对任意
即 X n Yn P X Y 成立。
（2）先证
X
2 n
P
X
2
，∀ε＞0，δ＞0，取
M
足够大（譬如ε/M≤1），使有
P{|X|
＞（M-1）/2}＜δ成立，对于选择的 M，∃N，当 n＞N 时，有
P{|Xn-X|≥1}≤P{|Xn-X|≥ε/M}＜δ
此时
P{| X n X | M } P{| X n X | | 2X | M } P({| X n X | | 2X | M } I {| X n X | 1}) P({| X n X | | 2X | M }I | X n X | 1) P{| 2X | M 1} P{| X n X | 1} 2
U P( X
Y)
依概率收敛和依分布收敛
依概率收敛和依分布收敛在概率论和数理统计中，依概率收敛和依分布收敛是两个重要的概念。
它们是用来描述随机变量序列的收敛性质的。
本文将详细介绍这两个概念的定义、特点及其在实际应用中的意义。
一、依概率收敛依概率收敛是指在概率意义下，随机变量序列Xn收敛于随机变量X的概率趋于1。
形式化的表示为：当n趋向于无穷大时，P(|Xn-X|>=ε)→0其中，ε>0是一个任意给定的正数。
以下是对这个定义的解释：- 在数学语言中，“P(|Xn-X|>=ε)”表示Xn与X之间的距离大于等于ε的概率。
- 在一般情况下，当n趋向无穷大时，Xn与X越来越接近，因此“P(|Xn-X|>=ε)”越来越小。
- 依概率收敛的定义是独立于分布的，也就是说，在随机变量的分布不同的情况下，只要满足上述条件，就可以说Xn依概率收敛于X。
二、依分布收敛依分布收敛是指当n趋向于无穷大时，随机变量序列Xn的分布函数Fn(x)收敛于X的分布函数F(x)。
形式化的表示为：当n趋向于无穷大时，Fn(x)→F(x)，对于F(x)的任意一个连续点x。
- 在数学语言中，“Fn(x)→F(x)”表示Fn(x)越来越接近于F(x)。
- 依分布收敛的定义是与随机变量的取值无关的，它只关注于随机变量的分布函数。
- 由于随机变量的分布可以是不同的，因此不能像依概率收敛那样简单地将它们放在一起比较，必须先将它们转换成分布函数的形式，然后再进行比较。
依概率收敛和依分布收敛是两种不同的收敛方式，但它们之间存在着一定的联系，可以通过下面的命题来描述它们之间的关系：如果随机变量序列Xn依概率收敛于随机变量X，则序列Xn也必定依分布收敛于X。
命题的证明需要使用Helly定理，这里不作赘述。
但需要注意的是，反过来则不成立，即随机变量序列Xn依分布收敛于随机变量X并不能推出Xn依概率收敛于X。
依概率收敛和依分布收敛可以用来判断概率极限定理的应用条件，从而给出概率极限的结果。
§4.1特征函数§4.2大数定律§4.3随机变量序列的两种收敛性
第10页
特征函数的定理
定理4.1.1 一致连续性.
定理4.1.2 非负定性.
定理4.1.3 逆转公式.
定理4.1.4 定理4.1.5
分布函数的唯一性.
连续场合，求p(密x)度函21数. eitx(t)dt
第11页
定理4.1.5 设X为连续型随机变量，密度函数
为p(x),若 | (t) | dt ,则 p(x) 1 eitx(t)dt 2
二、给定 n 和概率，求 y
例4 P237 15 设一家有500间客房的大旅馆的每间 客房装有一台2kw的空调机.若开房率为80%， 问需要多少kw的电力才能有99%的可能性保证 有足够的电力使用空调机？
第53页
三、给定 y 和概率，求 n
例5 用调查对象中的收看比例 作为某电
视节目的收视率 p 的估计 pˆ . 要有 90％ 的把握，使调查所得收视率 pˆ与实际收
第44页
练习 P238 6 某汽车销售点每天出售的汽车数服 从参数为λ＝2的泊松分布，若一年365天都经 营汽车销售，且每天出售的汽车数相互独立， 求一年中售出700辆以上汽车的概率.
第45页
例2 P238 4 掷一颗骰子100次，记第i次掷出的点
数为Xi , i=1,2,…,100,试求概率
å P{3 ＃ 1
性质4.1.1 |(t)| (0)=1
性质4.1.2 (t) (t)
性质4.1.3 aX b(t) eibtX (at)
第7页
性质4.1.4 若 X 与 Y 独立，则
X Y (t) X (t)Y (t)
性质4.1.5 若 E(X l )存在，则对0≤k≤l有
(k)(0) ik E(X k )
§4.1随机变量序列的两种收敛性§4.2特征函数§4.3大数定律
第8页
方法一：利用大数定律 例1 P215 18. 设随机变量序列{Xn }独立同分布， 2 期望、方差均存在，且 E( X n ) = 0,Var( X n ) = s
1 n P 2 2 X 揪 ? s 求证： å i n i= 1
思考题：P215 19
第9页
方法二：利用切比雪夫不等式 例2 P215 17. 设随机变量序列{Xn }独立同分布， 期望、方差均存在，且 E( X n ) = m.
注意：i 1 是虚数单位.
第20页
注 意 点(1)
(t ) e (1) 当X为离散随机变量时，
k 1
itxk
pk
itx ( t ) e (2) 当X为连续随机变量时， p( x)dx
这是 p(x) 的傅里叶变 换
第21页
注 意 点(2)
特征函数的计算中用到复变函数，为此注意： (1) 欧拉公式： eitx cos(tx) i sin(tx) (2) 复数的共轭： a bi a bi (3) 复数的模： a bi a2 b2
P
c 其中c为常数，并求c的值.
作业：习题4.1第12、15题
第13页
引例 设随机变量序列{ Xn } 服从以下的退化分布 1 P ( X n = ) = 1, n = 1, 2, L n 求{Xn }的分布函数，并求其极限函数. 它还是一个分布函数吗？
第14页
4.1.2
按分布收敛、弱Leabharlann 敛 lim P X X 若对任意的 >0，有 n n 0
则称随机变量序列{Xn}依概率收敛于X, 记为
Xn
P X
第4页
矩收敛推依概率收敛
矩收敛推依概率收敛数学中的矩收敛是指随机变量序列的各阶矩（期望值和方差等）随着样本量的增加而趋于稳定的现象。
而依概率收敛是指随机变量序列以一定的概率逐渐接近某个确定的随机变量。
矩收敛和依概率收敛是概率论和数理统计中两种常见的收敛形式。
从定义上来看，矩收敛要求随机变量序列的各阶矩都收敛到相应的随机变量矩，而依概率收敛则是要求随机变量序列以一定的概率逐渐接近某个确定的随机变量。
矩收敛通常被用于描述总体的性质以及样本估计量的性质。
在概率论和数理统计的研究中，矩收敛可以使我们推导出样本均值、样本方差等统计量的渐进分布，从而得到总体参数的估计。
当随机变量序列的各阶矩都收敛时，我们可以推断出这些随机变量在某种意义上是趋于稳定的，因此可以使用样本矩来逼近总体矩。
而依概率收敛则常常用于最大似然估计、最小二乘估计等统计推断中。
当随机变量序列依概率收敛时，我们可以认为这些随机变量逐渐趋于某个确定的随机变量，而这个确定的随机变量可以通过统计推断来估计出来。
矩收敛与依概率收敛之间存在一定的关系。
一般来说，如果一个随机变量序列依概率收敛，那么它也会矩收敛。
这是因为依概率收敛可以保证随机变量序列在某个意义上接近某个确定的随机变量，而接近性可以使得各阶矩也会收敛。
但是反过来，矩收敛不一定能够推出依概率收敛。
这是因为矩收敛只要求各阶矩收敛，但并没有考虑到变量之间的相关性和收敛的速度。
因此，在研究随机变量序列的收敛性质时，需要根据具体的问题选择适当的收敛形式进行推导和分析。
总结起来，矩收敛和依概率收敛是概率论和数理统计中常见的两种收敛形式。
矩收敛要求随机变量序列的各阶矩收敛到相应的随机变量矩，而依概率收敛要求随机变量序列以一定的概率逐渐接近某个确定的随机变量。
两者虽然存在关系，但并不完全等价。
在研究随机变量序列的收敛性质时，需要根据具体问题选择适当的收敛形式进行推导和分析。
依概率收敛和殆必收敛
依概率收敛和殆必收敛什么是依概率收敛和几乎必然收敛？在概率论和数学分析中，依概率收敛和几乎必然收敛是两个重要的概念。
它们描述的是随机变量序列的收敛性质。
在本文中，我们将逐步介绍这两个概念，并讨论它们的性质和应用。
首先，我们来定义依概率收敛。
考虑一个序列{X₁, X₂, X₃, ...}，其中Xₙ是一个随机变量。
我们说这个序列依概率收敛到一个随机变量X，如果对于任意的ε>0，有lim Pr( Xₙ-X >ε) = 0，即当n趋向于无穷大时，Xₙ以概率1趋向于X。
依概率收敛的定义可以理解为随着样本量的增加，随机变量序列逐渐“接近”某个固定的随机变量。
这个“接近”的程度由ε来衡量，并且可以任意小。
换句话说，依概率收敛是一种弱收敛性质，它只要求随机变量序列以很高的概率趋近于某个随机变量X。
接下来，我们引入几乎必然收敛的概念。
与依概率收敛类似，我们仍考虑一个随机变量序列{X₁, X₂, X₃, ...}，其中Xₙ是一个随机变量。
我们说这个序列几乎必然收敛到一个随机变量X，如果对于任意的ε>0，有Pr( Xₙ-X >ε，无穷大的n) = 0，即当n趋向于无穷大时，Xₙ以概率1趋向于X。
几乎必然收敛与依概率收敛的不同之处在于，几乎必然收敛要求随机变量序列在几乎所有情况下都趋近于X。
换句话说，只有在一个概率为0的事件集合之外的情况下，随机变量序列才会与X有差距。
因此，几乎必然收敛可以看作是一种强收敛性质，它要求随机变量序列在几乎所有情况下都收敛于某个随机变量X。
接下来，我们来讨论依概率收敛和几乎必然收敛的一些性质和应用。
首先，依概率收敛和几乎必然收敛是收敛的两种不同方式。
依概率收敛只要求序列以高概率趋近于某个随机变量，而几乎必然收敛要求序列在几乎所有情况下都趋近于某个随机变量。
因此，几乎必然收敛是依概率收敛的一种特殊情况，即几乎必然收敛蕴含依概率收敛。
其次，依概率收敛和几乎必然收敛在实际问题中具有广泛的应用。
均方收敛依概率收敛依分布收敛
均方收敛依概率收敛依分布收敛《均方收敛依概率收敛依分布收敛：概念与应用》一、引言均方收敛、概率收敛和分布收敛是概率论和数理统计中的重要概念，它们在各种领域都有着广泛的应用。
本文将分别介绍这三种收敛方式，并探讨它们的异同点及其在实际问题中的应用。
二、均方收敛的定义及性质1. 均方收敛的定义均方收敛是指在均方意义下的收敛，即对于随机变量序列{X_n}和X，当n趋于无穷大时，有E[(X_n - X)^2]趋于0，则称{X_n}在均方意义下收敛于X。
2. 均方收敛的性质（1）均方收敛蕴含概率收敛。
（2）均方有界序列有子列在概率意义下收敛。
三、概率收敛的定义及定理1. 概率收敛的定义概率收敛是指对于随机变量序列{X_n}和X，当n趋于无穷大时，有P(|X_n - X| > ε)收敛于0（其中ε为任意小的正数），则称{X_n}在概率意义下收敛于X。
2. 概率收敛的定理切比雪夫不等式、依概率收敛的夹逼定理等。
四、分布收敛的定义及特性1. 分布收敛的定义分布收敛是指对于随机变量序列{X_n}和X，当n趋于无穷大时，有F_n(x)收敛于F(x)，则称{X_n}在分布意义下收敛于X。
2. 分布收敛的特性（1）随机变量序列的分布收敛与其对应的分布函数的收敛。
（2）分布收敛蕴含概率收敛，但一般不蕴含均方收敛。
五、均方收敛、概率收敛和分布收敛的关系1. 关系概述均方收敛比概率收敛更强，概率收敛比分布收敛更弱。
2. 举例说明以随机变量序列的不同收敛方式为例，比如正态分布的中心极限定理，可以辅助理解三种收敛方式之间的关系。
六、应用举例通过一些实际问题的案例，如大数定律、中心极限定理等，展示均方收敛、概率收敛和分布收敛在实际问题中的应用。
七、结语总结三种收敛方式的特点和应用场景，强调在实际问题中选择合适的收敛方式的重要性。
以上是本文对于均方收敛、概率收敛以及分布收敛的深入探讨，通过对三种收敛方式的逐一介绍以及它们的相互关系和应用举例，希望读者能对这一概念有一个更深入的理解，并能在实际问题中灵活运用。
概率论中几乎处处收敛和依测度收敛的关系
概率论中几乎处处收敛和依测度收敛的关系概率论中几乎处处收敛和依测度收敛是两个不同的概念，但它们之间存在一定的关系。
几乎处处收敛是指在某个概率空间中，随机变量序列在几乎所有样本点处收敛于一个确定的随机变量，而依测度收敛则是指随着样本容量的增大，随机变量序列趋向于某个随机变量的分布，这种趋向是在概率测度的意义下进行的。
在一些情况下，几乎处处收敛和依测度收敛可能同时出现，比如对于一些收敛速度比较快的随机变量序列，在满足一定的条件下，几乎处处收敛和依测度收敛都会发生。
但是，对于一些收敛速度比较慢的随机变量序列，可能只存在几乎处处收敛或者只存在依测度收敛。
总的来说，在概率论中，几乎处处收敛和依测度收敛都是非常重要的概念，它们的性质和应用都是十分广泛的。
对于随机变量序列的研究和应用，需要综合考虑这两种收敛方式的特点和优缺点，才能做出正确的判断和应用。
- 1 -。
依概率收敛
2：定理， X n P X X n L X （或 Fn x W F (x) ）
证明：往证
F
x
0
lim
n
Fn
(x)
lim
n
Fn
(x)
F
x
0
：
先令 x' x
X x' X x'，X n x X n x X x'，X n x X x'，X n x
因此 PX x' PX x'，X n x X x'，X n x
对于随机变量序列X i ,i 1,2,...和某个随机变量 X ，假定 X 的 cdf 为 Fx ，
若，对于 Fx 得任何连续点 x ，都成立 PX i x n PX x，即
Fi x n F x ，则称随机变量序列 X i ,i 1,2,...依分布收敛到随机变量 X 。
也可以说，cdfs Fi x,i 1,2,....弱收敛到 Fx
P Xn 1 1, n
则他的分布函数：
n=1,2,3........
Fn
x
0
1
x1 n
x1 n
在点点都收敛的情况下 Fnx 的极限函数是：
注意极限函数后面限制中的 x 与分布函数是同等地位的 第一段：当n 时，即极限函数中x lim 1 0,而分布函数中的第一段
n n x 1 , (n 1,2) 包含了x 0的情形，所以：
F(x') PX x' PX x'，X n x PX x'，X n x Fn (x) PX x'，X n x
Fn (x) PX n X x x' Fn (x) P X n X x x'
矩收敛推依概率收敛
矩收敛推依概率收敛引言在概率论和数理统计中，收敛是一个重要的概念。
矩收敛和依概率收敛是两种常见的收敛方式。
本文将对矩收敛和依概率收敛进行详细介绍，并探讨它们之间的关系。
矩收敛定义设随机变量序列X n和随机变量X定义在同一概率空间上。
如果对于任意正整数k，有lim n→∞E(X n k)=E(X k)，则称随机变量序列X n矩收敛于随机变量X。
解释矩收敛是指随着样本量的增加，随机变量序列的各阶矩逐渐趋向于相应阶的极限值。
这种收敛方式可以用来描述随机变量序列整体性质的稳定性。
例子考虑一个骰子投掷问题，假设每次投掷得到的点数服从均匀分布。
我们定义随机变量X n表示第n次投掷得到的点数，X表示投掷无穷多次后的点数。
由于骰子是均匀的，每个点数出现的概率相等。
因此，对于任意正整数k，有E(X n k)=1 6(1k+2k+3k+4k+5k+6k)和E(X k)=16(1k+2k+3k+4k+5k+6k)。
因此，随机变量序列X n矩收敛于随机变量X。
依概率收敛定义设随机变量序列X n和随机变量X定义在同一概率空间上。
如果对于任意正实数ϵ，有lim n→∞P(|X n−X|≥ϵ)=0，则称随机变量序列X n依概率收敛于随机变量X。
解释依概率收敛是指随着样本量的增加，随机变量序列逐渐以较高的概率接近极限值。
这种收敛方式可以用来描述随机变量序列逐渐趋于某个确定值的趋势。
例子考虑一个硬币投掷问题，假设正面朝上的概率为p，反面朝上的概率为1−p。
我们定义随机变量X n表示第n次投掷正面朝上的次数，X表示投掷无穷多次后正面朝上的次数。
根据大数定律，当n趋于无穷大时，X nn依概率收敛于p。
这意味着随着投掷次数的增加，正面朝上的比例将以较高的概率接近p。
矩收敛推导依概率收敛矩收敛和依概率收敛是两种不同的收敛方式，它们之间存在一定的关系。
下面我们将通过推导来说明矩收敛可以推导出依概率收敛。
设随机变量序列X n矩收敛于随机变量X。
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概率论与数理统计
2）、设 n ,n 是两个随机变量序列， a，b为常数，
若 n P a,n Pb 且在g(x,y)在点（a,b）处连续， 则 g(n ,n ) P g(a,b), (n ). 证明略，方法类似于1） 3）、若 n P ,n P,
则n n P , (n )
nn P , (n )
1）、若 n P ,n P, 则P ( ) 1
证： n n
0
，由
则 n
2
与
n
2
中至
少有一个成立，即
n
2
n
2
于是
P(
) P(n
2
)
P(
n
) 0(n )
2
即 0,有P（ ） 1，从而P（ ） 1
这表明，若将两个以概率为1相等的随机变量看作 相等时，依概率收敛的极限是唯一的。
概率论与数理统计
定理5.6 随机变量序列 n P c(c为常数）
的充要条件为 Fn (x) W F (x)
这里 F(x)是 c 的分布函数，也就是退化分布
1, x c F(x) 0, x c
即
n P c
Fn (x) W F (x)
在F(x)的连续点．
当n P, (n ) 时，它们的分布函数之间就有
lim
n
Fn
(
x)
F
(
x)
成立．
1.定义
定义5.3
概率论与数理统计
设 Fx, F1(x), F2 (x), 是一列分布函数，如果对
F(x)的每一个连续点x，
都有
lim
n
Fn (x)
F ( x)
成立，
则称分布函数列 Fn (x) 弱收敛于分布函数F（x），
(x)
F
(x)
而当 x 0 时，有
成立。
lim
n
Fn
(0)
lim
n
0
0
1
F
(0)
概率论与数理统计
这个简单的例子表明,一个随机变量序列依概率 收敛于某个随机变量,相应的分布函数不一定在每一 点上都收敛于这个随机变量的分布函数的.
但是，如果再仔细观察一下这个例子，就可以 发现收敛关系不成立的点：x=0，恰好是F(x)的不连 续点．
节假定所得到的随机变量都是定义在同一概率空间
（ , F ，P）上的。
定义5.2
概率论与数理统计
设 1,2 , ,n 为一列随机变量， 为一随机变量，
如果 0 ，有
lim
n
P(
n
)
0或
lim
n
P(
n
)
1
则称随机变量序列n 依概率收敛于 ，记作
P
lni mn ，或 n P, (n )
由定义可知，
随机变量序列依概率收敛与函数序列收敛也不一样．
0,
lim
n
P(n
)
1 概n率论P与数理n统计
有了依概率收敛的概念，随机变量序列n 服从大
数定律就可以表达为
0,lim P( n
1 n
n i1
i
1 n
n i1
Ei
)
1
1
n
n
i
i1
P 1 n
n i1
Ei (n )
特别地，
0,lim P( n
，即 n P(n ) 则相对应的分布函数列
F1 (x), F2 (x) 弱收敛于分布函数F（x）即
Fn (x) W F (x)(n )
即 n P(n )
Fn (x) W F (x)(n )
证明 ：略。
注意：这个定理的逆命题不一定成立，即不能从分布 函数列的弱收敛肯定相应的随机变量序列依概率收敛， 但在特殊情况下，它却是成立的。
概率论与数理统计
主要内容
一、依概率收敛 二、依分布收敛
一、依概率收敛
概率论与数理统计
1、定义
在上一节上，我们从频率的稳定性出发，得出下面
的极限关系式：
lim
n
P(
n
a
)
0
其中
n
1 n
n
k
k 1
或等价于
lim
n
P(n
a
)
1
这与数学分析中通常的函数收敛的意义不同。在上
式中以随机变量 代替 a 以便得到新的收敛概念。本
n p ) 1
n
伯努利大数定律可以描述为
n P p
n
(n )
0, lim P( n
1 n
n
i
i1
a)
1
辛钦大数定律描述为
1
n
n
i
i 1
P a
(n )
概率论与数理统计
例1、设 n
是独立同分布的随机变量序根列据定，义即且证
E1 a, D1 2
lim
n
P(
2 n(n 1)
n k 1
二、依分布收敛
概率论与数理统计
上面我们讨论了随机序列依概率收敛的概念及有 关性质，现在我们要问：
如果已知 n P(n ), 那么它们相应的分布
函数 Fn (x)与F(x) 之间有什么关系呢？
是否对 x R 都有
Fn (x) F (x)(n ) 成立。
这个猜测对不对？
概率论与数理统计
例2、设 ,n 都是服从退化分布的随机变量，且 P 0 1
2
kk )
k 1
14
2 n2 (n 1)2
n
k 2Dk
k 1
4
2
1 n2 (n 1)2
n(n 1)(2n 1) 2
6
2 2 3 2
2n 1 n(n 1)
0(n )
故
lim P(
n
2 n(n 1)
n
k k
k 1
a
)
0
即
2
n(n 1)
n k 1
k k
P a(n
)
概率论与数理统计
2、性质
n P n P 0, (n )
概率论与数理统计
随机变量序列 n 依概率收敛和数学分析中的序列
收敛有很大的不同．
当我们说随机变量序列 n 依概率收敛于 ,
是指对 0， 如下事件
n
发生的概率，当n无限增大时，它无限接近于０．
1
而当我们说序列
1 n
趋于0，是指当n无限增大时，
n 无限接近于０．
于是对
Pn
0,当n
1 1,
1
n
时有
n
1,2,
P(n ) Pn 0
所以
n P, (n )
成立。
概率论与数理统计
又设 ,n 的分布函数分别为F (x), Fn (x),
则
F ( x)
1, 0,
x0 x0
1, Fn (x)
0,
x1 n
x1 n
显然，当
x0
时，有
lim
n
Fn
k k
a
)
0
试证：
2 n(n 1)
n
k k
k 1
P a
(n )
证：Q
E
2
n(n
1)
n k 1
kk
2 n(n 1)
n
kEk
k 1
2 a n(n 1)
n
k
k 1
a
0 ，由切比雪夫不等式 2 n
P( E
)
D 2
0
P(
2 n(n 1)
n
kk
k 1
a
)
D(n(n 1)
并记作 Fn (x) w F (x), (n ).
若随机变量序列n (n 1,2 ) 的分布函数 Fn (x)
弱收敛于随机变量 的分布函数F（x）, 也称 n
按分布收敛于 ，并记作
n L, (n ).
概率论与数理统计
2.依概率收敛与弱收敛之间的关系
定理4.若随机变量列1 ,2 ,依概率收敛于随机变量