高等数学(级数)期末试卷

合集下载

西安工业大学高数期末考试题附标准答案试题

高等数学(H)期末参考答案、填空题(每小题 3分，共36 分)u = ln ..x 2• y 2• z 2，则它在点 M °(1, -1,1)处地方向导数地最大值为f (x, y) =2x 2 ax xy 22y 在点(1, -1)处取得极值，则常数 a =「5.7.设平面曲线L 为下半圆周y 二 - .1 - x28.设匕为曲面z = . x 2 y 2在0岂z 乞1地部分，贝U I I xdS 二0 .10.设y 1, y 2, y 是微分方程 9 p(x)y ' q(x)y 二f (x)地三个不同地解，且 y —社=常 y 2 -y 3数，则微分方程地通解为C’y , -y 2) • C 2(y 2 - y 3) * % .2 21 2，贝U [ (x + y ) ds = (1 -ds = ? 4 兀=三5.空线 y 2 二 2x, z 2 = 1「x 在点 (>,J 处地切线方程为1 x --2 1=_y -1 .2 z ―— 2 1 一 2i 22 2x _x 26.改变积分次序：I dx ,f (x, y)dy -1 1 • 1 _y°dy 亠口？ f(x,y)dx .L 1 1.lim 1 —X f1 xy-V二 lim i 1 — xy丿劣xy 丿 Jlim 1 丄阚Ixy 丿Hr 12.函数z二z(x, y)由方程e^ sin 》=0确定，则 —=xcyF yF1 y-cos- x x xz xeco 显X ~2 xz x e3.设函数4.设函数 9.设 f (x) n -xe1,--•：：： x ■ 0 ,则其以2兀为周期地傅里叶级数在处收敛于 0 岂 x ：二'11.函数f(x) =1 展开为x 地幕级数地形式为 a 」yx n(-2, 2).2—x n^2n41112.微分方程y y = xe x地通解为Cx - xe xx-------二、计算下列各题(每小题6分，共18分)1•设z 二f(y,e xy)，y =(x)，其中f,「均为一阶可微函数，求 x解:虫=f 「yx 2 yf 2 e xy( y xy)dxx二2f 2 e xy( (x) X : (x))x2.求曲面z =4(x 2y 2)与平面z = 2所围立体地体积. 2解：所围立体在xoy 面地投影域D ： x2• y 2_ 4，所围立体地体积V = M[4_；(x 2+y 2)] _2Rxdy = 2JJdxdy —1 2二.22d ： r rdr =8 二-4 二-4 ■:解：设曲面在第一卦限地切点地坐标为M (x, y, z)，令F (x, y,z) = x 22y 23z 2「66，则切平面地法向量n = (F x , F y , F Z )M 二(2x, 4y, 6z),已知平面x y ^1地法向量n 1 =(1, 1, 1)依题意n//ni ，即空=41 =央令t1 1 1代入曲面方程中解地 x =6, y =3, z=2，即切点坐标为 M (6, 3, 2). 三、计算下列各题(每小题6分，共18分)1.设门是由锥面.x 2 y 2与半球面z= J -x 2 -y 2围成地空间区域,dz dx(x 2 y 2)dxdyD3.在曲面x 2 2y 23z-66上第一卦限部分求一点，使该点地切平面与已知平面2x s(x)_ (1 _x)2 _1 xx2(5 (1))，1s(2)二x+ x 2_ I X(2n-1)于 . n 1 2 _(1 - X) 1 x=2边界地外侧，求曲面积分[jxdydz- ydzdx • zdxdy .Q(x, y,z)=y ， R(x, y,z) = z ，由高斯公式有cP cQcR ■i I xdydz ydzdx zdxdy 二 ()dv ¥ ¥r rr L\、x _y_z= 3 ! i idv = 3 o dr °4d [；r 2sin ： drQ=3 2 二(1 2) [=(2-、2)二 2 3 13 572.写出级数--飞 N •…地通项，判别该级数地敛散性.若级数收敛时，试求其和2 2 2 2limUnl^im 1,n = u n n=2 2n —12由比值审敛法知该级数收敛.令解：已知 P(x, y,z) = x , 解：该数项级数地通项为 U n 二2n -1 2n;级数为正项级数，由于s(x) oOoo八(2n -1) x n= 2x'二 nxn -1oOn=2x®(x)-s 2(x) x (—1,1)，x :: Xo3(t)dt 二 I 。

高等数学期末试题(含答案)

高等数学期末试题(含答案) 高等数学检测试题一。

选择题（每题4分，共20分）1.计算 $\int_{-1}^1 xdx$，答案为（B）2.2.已知 $2x^2y=2$，求$\lim\limits_{(x,y)\to(0,0)}\frac{x^4+y^2}{x^2y}$，答案为（D）不存在。

3.计算 $\int \frac{1}{1-x}dx$，答案为（D）$-2(x+\ln|1-x|)+C$。

4.设 $f(x)$ 的导数在 $x=a$ 处连续，且 $\lim\limits_{x\to a}\frac{f'(x)}{x-a}=2$，则 $x=a$ 是 $f(x)$ 的（A）极小值点。

5.已知 $F(x)$ 的一阶导数 $F'(x)$ 在 $\mathbb{R}$ 上连续，且 $F(0)=0$，则 $\frac{d}{dx}\int_0^x F'(t)dt$ 的值为（D）$-F(x)-xF'(x)$。

二。

填空：（每题4分，共20分）1.$\iint\limits_D dxdy=1$，若 $D$ 是平面区域 $\{(x,y)|-1\leq x\leq 1,1\leq y\leq e\}$，则 $\iint\limits_D y^2x^2dxdy$ 的值为（未完成）。

2.$\lim\limits_{x\to\infty}\frac{\left(\cos\frac{\pi}{n}\right)^2+\left(\cos\frac{2\pi}{n}\right)^2+\cdots+\left(\cos\frac{(n-1)\pi}{n}\right)^2}{n\pi}$ 的值为（未完成）。

3.设由方程 $xyz=e$ 确定的隐函数为 $z=z(x,y)$，则$\frac{\partial z}{\partial x}\bigg|_{(1,1)}$ 的值为（未完成）。

4.设 $D=\{(x,y)|x^2+y^2\leq a^2\}$，若$\iint\limits_D\sqrt{a^2-x^2-y^2}dxdy=\pi$，则 $D$ 的面积为（未完成）。

高数期末考试题

往届高等数学期终考题汇编2021-01-12一．解答以下各题(6*10分): 1．求极限)1ln(lim10xx e x ++→.⎪⎭⎫ ⎝⎛++++=22222ln a x x a a x x y ,求y d .3.设⎪⎩⎪⎨⎧-=-=3232tt y tt x ，求22d d xy .4.判定级数()()0!12≥-∑∞=λλλn nn n n e 的敛散性.7.⎰-π03d sin sin x x x .⎪⎩⎪⎨⎧≤≤<=πππx x x x f 2,02,)(在[]ππ,-上展为以π2为周期的付里叶级数，并指出收敛于()x f 的区间.0d )4(d 2=-+y x x x y 的解.1=xy 与直线0,2,1===y x x 所围平面图形绕y 轴旋转一周所得旋转体的体积.二.(8分)将()()54ln -=x x f 展开为2-x 的幂级数,并指出其收敛域.三.(9分)在曲线()10sin 2≤≤=x x y 上取点()()10,sin ,2≤≤a a a A ,过点A 作平行于ox 轴的直线L ,由直线L ,oy 轴与曲线()a x x y ≤≤=0sin 2所围成的图形记为1S ,由直线L ,直线1=x 与曲线()1sin 2≤≤=x a x y 所围成的图形面积记为2S ,问a 为何值时,21S S S +=取得最小值.四.(9分)冷却定律指出,物体在空气中冷却的速度与物体与空气温度之差成正比,空气温度为30℃时,物体由100℃经15分钟冷却至70℃,问该物体冷却至40℃需要多少时间五.(8分)(学习工科数学分析的做〔1〕，其余的做〔2〕)〔1〕证明级数∑∞=-02n nx e x 在[),0+∞上一致收敛.〔2〕求幂级数()∑∞=-----122121212)1(n n n n x n 的收敛域与与函数.六.(6分)设()[]b a C x f ,2∈,试证存在[]b a ,∈ξ,使()()()()⎰''-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=b af a b b a f a b dx x f ξ324122021．1．15一．解答以下各题(6*10分): 1.计算极限 ()xx x e x x 30sin 22lim++-→.2.设,5arctan log 22π+-=x x e y x 求y d .3.设,20;cos sin ,cos ln ⎪⎭⎫ ⎝⎛<<⎩⎨⎧-==πt t t t y t x 求322d d π=t x y .4.判定级数∑∞=123n n nn 的敛散性.8.求函数()⎩⎨⎧<<≤≤=21,210,1x x x f 在[]2,0上展成以4为周期的正弦级数.()()0d d 132=++++y y y x x y 的通解.72+=x y 与532+=x y 所围成的图形绕ox 轴旋转一周而成的旋转体的体积.二.(9分)证明:当0≥x 时,有三.(9分) 设抛物线()02<+=a bx ax y 通过点()3,1M ,为了使此抛物线与直线x y 2=所围成的平面图形的面积最小,试确定a 与b 的值.四.(8分)设一车间空间容积为10000立方米,空气中含有0.12%的二氧化碳(以容积计算),现将含二氧化碳0.04%的新鲜空气以1000立方米每分钟的流量输入该车间,同时按1000立方米的流量抽出混合气体，问输入新鲜空气10分钟后，车间内二氧化碳的浓度降到多少？五．〔8分〕求幂级数nn nx n n ∑∞=+0!21的收敛域与其与函数. 六.(6分)设函数()x f 在0=x 的邻域内有连续的一阶导数,且()a xx f x =→0lim()0>a ,证明:()⎪⎭⎫⎝⎛-∑∞=-n f n n 1111条件收敛.2007年1月一. 计算以下各题(6*10分):1．计算极限()xx x e x x arctan 11ln lim 0---+→.2. 设21arcsin x y -=, 求y d .3. 设⎪⎩⎪⎨⎧=+-=⎰-.01sin .d 02y t e u e x y t u 求0d d =x x y . 4. 判定级数∑∞=+134n nn的敛散性. 5. 计算反常积分()⎰∞+11d xx x.6设()21ln x x ++为()x f 的原函数, 求()⎰'x x f x d .7. 将()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤<≤≤=.2 ,0;20 ,1πππx x x f 展开成以π2为周期的傅立叶正弦级数, 并求此级数分别在π23=x 与π25=x 两点的收敛值.8. 将函数()x x f ln =展开为2-x 的幂级数,并指出其收敛域.9求微分方程()()27121+=-'+x y y x 的通解.10. 求抛物线25y x =与21y x +=所围图形的面积.二. (9分) 假设函数()⎪⎩⎪⎨⎧=≠=⎰.0,;0 ,d 1cos 2x a x xte xf x t 在0=x 点可导. 求a 与()0f '.三. (9分) 在曲线()0≥=-x e y x 上求一点()0,0x e x -,使得过该点的切线与两个坐标轴所围平面图形的面积最大, 并求出此最大面积. 四(8分)半径为R 的半球形水池充满水,将水从池中抽出, 当抽出的水所作的功为将水全部抽出所作的功的一半时, 试问此时水面下降的深度H 为多少五.(8分)求幂级数()∑∞=+11n nx n n 的与函数并求出级数()∑∞=+1211n nn n 的与.六. (6分) 函数()x f 在[)+∞,0上可导, 且()10=f 并满足等式()()()0d 110=+-+'⎰xt t f x x f x f , 求()x f '并证明()().0 1≥≤≤-x x f e x 2006年1月一. 计算以下各题(6*10分):1. 30sin tan lim xxx x -→ ⎪⎭⎫ ⎝⎛=2tan 21arctan x y , 求y d .()⎪⎩⎪⎨⎧<+≥=-0,10,2x x x e x f x , 求()x x f d 121⎰--. 4. 判定级数212121n n n n n ⎪⎭⎫⎝⎛+∑∞=的敛散性.5. 设()x y y =由方程()y x y +=tan 所确定,求y '.7. 将()x x f +=2, []ππ,-∈x 展成以π2为周期的傅立叶级数. 8. 将函数()2312++=x x x f 展成()4+x 的幂级数, 并指出收敛区间.9. 求微分方程x e x y y x 43=-'的通解.10. 设曲线2ax y =()0,0≥>x a 与21x y -=交于点A, 过坐标原点O 与点A 的直线与曲线2ax y =围成一个平面图形. 问: 当a 为何值时,该图形绕x 轴旋转一周所产生的旋转体体积最大二. (8分) 证明不等式: 当0>x 时, ααα-≤-1x x , ()10<<α.三. (9分). 设()⎰-=221d x t t ex f , 求()⎰1d x x xf .四. (9分). 一物体在某一介质中按3ct x =作直线运动,介质的阻力与物体速度的平方成正比, 计算物体由0=x 移动到a x =时克制阻力所作的功.五. (9分) 求级数()∑∞=+0311n nn 的与.六. (5分). 设()0>''x f , []b a x ,∈, 证明:2005年1月15日一. 解答以下各题〔6×10分〕1．计算极限()xx x x x e x x sin 1sin lim 0-+-→ 2．设()1ln 211222++++=x x x x y ，求y d .3．设()⎩⎨⎧>+≤=02 , ,x x b ax x x x x f 在0x 处可导,求常数a 与b .4．判定级数()∑∞=--1131n nn n 的敛散性. 假设收敛,是条件收敛还是绝对收敛5．设()x y y =由方程ye y x y ++-=)ln(1所确定,求y '.6．设()x f 连续,且满足()x t t f x =⎰-13d .求()?26=f .7．求()1123223+--=x x x x f 的极值. 8．计算不定积分⎰-xxx 2ln 4d .9．计算定积分x x d arctan1⎰.10．求由曲线12+=x y , 直线,0=y 0=x , 1=x 所围成的平面图形绕y 轴旋转一周所产生的旋转体的体积.二. (8分). 试证明不等式⎪⎭⎫⎝⎛∈2,0πx 时, 3tan 3x x x +>.三. (9分) 将函数()3212-+=x x x f 展成3-x 的幂级数,并指出收敛区间.四. (9分) ()x f 在12=x 的邻域内可导, 且()0lim 12=→x f x ,()22005lim 12='→x f x . 求极限()()312121212d d lim x t u u f t xt x -⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎰⎰→→. 五.(8分) 求幂级数nn x n n ∑∞=+0!1的收敛域与与函数. 六. (6分) 设()x f 在[]1,0上连续, 在()1,0内可导, 且()10≤'<x f , ()00=f .证明 ()()x x f dx x f d 103210⎰⎰≥⎥⎦⎤⎢⎣⎡ 2004年1月一、解以下各题1、10lim ,(0,0)2xxxx a b a b →⎛⎫+>>⎪⎝⎭其中2、设22(sin )x x y x e x -=+,求y '3、求不定积分arctan x xdx ⎰4、求不定积分21(1)dx x x +⎰5、求定积分4⎰6、求由曲线1|ln |,,y x x x e e===与x 轴围成的图形的面积。

第二学期高数下期末考试试卷及答案

第二学期期末高数（下）考试试卷及答案1一、填空题(每空 3 分，共 15 分) 1.设()=⎰22t xFx e dt ，则()F x '=-22x xe.2.曲面sin cos =⋅z x y 在点,,⎛⎫⎪⎝⎭1442ππ处的切平面方程是--+=210x y z .3.交换累次积分的次序：=(),-⎰⎰2302xxdx f x y dy.4.设闭区域D 是由分段光滑的曲线L 围成,则：使得格林公式： ⎛⎫∂∂-=+ ⎪∂∂⎝⎭⎰⎰⎰ÑD LQ P dxdy Pdx Qdy x y 成立的充分条件是：()(),,和在D上具有一阶连续偏导数P x y Q x y .其中L 是D 的取正向曲线;5.级数∞=-∑1nn 的收敛域是(],-33.二、单项选择题 (每小题3分,共15分)1.当→0x ，→0y 时,函数+2423x yx y 的极限是()DA.等于0;B. 等于13;C. 等于14; D. 不存在.2.函数(),=zf x y 在点(),00x y 处具有偏导数(),'00x f x y ，(),'00y f x y 是函数在该点可微分的()CA.充分必要条件;B.充分但非必要条件;C.必要但非充分条件;D. 既非充分又非必要条件.3.设()cos sin =+x ze y x y ，则==10x y dz()=BA.e ;B. ()+e dx dy ;C. ()-+1edx dy ; D. ()+x e dx dy .4.若级数()∞=-∑11nn n a x 在=-1x 处收敛,则此级数在=2x处()AA.绝对收敛;B.条件收敛;C.发散;D.收敛性不确定.5.微分方程()'''-+=+3691x y y y x e 的特解*y 应设为()DA. 3xae ; B.()+3x ax b e ;C. ()+3x xax b e ; D. ()+23x x ax b e .三.（8分）设一平面通过点(),,-312,而且通过直线-+==43521x y z,求该平面方程. 解：()(),,,,,--312430QA B(),,∴=-142u u u rAB 平行该平面∴该平面的法向量()()(),,,,,,=⨯-=--5211428922rn∴所求的平面方程为：()()()----+=83912220x y z即：---=8922590x y z四.（8分）设(),=yz fxy e ,其中(),f u v 具有二阶连续偏导数,试求∂∂z x 和∂∂∂2zx y. 解：令=u xy ，=y v e五.（8分）计算对弧长的曲线积分⎰L其中L 是圆周+=222xy R 与直线,==00x y在第一象限所围区域的边界.解：=++123L L L L其中： 1L ：(),+=≥≥22200xy R x y2L ：()=≤≤00x y R3L ：()=≤≤00y x R而Re ==⎰⎰1202RR L e Rdt ππ故：()Re =+-⎰212R R Le π六、（8分）计算对面积的曲面积分∑⎛⎫++ ⎪⎝⎭⎰⎰423z x y dS ,其中∑为平面++=1234x y z在第一卦限中的部分. 解：Q xy D ：≤≤⎧⎪⎨≤≤-⎪⎩023032x y x=3-==⎰⎰323200x dx七.（8分）将函数()=++2143f x x x ,展开成x 的幂级数.解：()⎛⎫=-=⋅-⋅ ⎪+++⎝⎭+111111121321613Q f x xx x x , 而 ()∞=⋅=-+∑01111212n nn x x , (),-11 ()∞=-⋅=+∑01116313nn n n x x , (),-33 ()()∞+=⎛⎫∴=-+ ⎪⎝⎭∑10111123nnn n f x x , (),-11八.（8分）求微分方程：()()+-+-+=42322253330xxy y dx x y xy y dy 的通解.解：∂∂==-∂∂263Q P Qxy y y x,∴原方程为：通解为：++-=532231332x y x y y x C九.幂级数：()()!!!!=++++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅246212462nx x x x y x n1.试写出()()'+y x y x 的和函数;（4分）2.利用第1问的结果求幂级数()!∞=∑202nn x n 的和函数.（8分）解：1、()()!!!-'=+++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅-35213521n x x x y x x n (),-∞∞于是()()!!'+=++++⋅⋅⋅=23123x x x y x y x x e (),-∞∞ 2、令：()()!∞==∑202nn x S x n由1知：()()'+=x S x S x e 且满足：()=01S通解：()()--=+=+⎰12x x x xx Sx e C e e dx Ce e 由()=01S ，得：=12C ；故：()()-=+12xx S x e e十.设函数()f t 在(),+∞0上连续,且满足条件其中Ωt 是由曲线⎧=⎨=⎩2z ty x ,绕z 轴旋转一周而成的曲面与平面=zt (参数>0t )所围成的空间区域。

第二学期高等数学期末考试试卷及答案1

第二学期高等数学期末考试试卷答案一．填空题（本题满分15分，共有5道小题，每道小题3分），请将合适的答案填在空中．1．过点()121-，，P 且与直线1432-=-=+-=t z t y t x ，，，垂直的平面方程为_____________________________． 2．设()22ln y x z +=，则=∂∂==11y x xz ， ________________________．3．交换累次积分的顺序()=⎰⎰12xxdyy x f dx， ______________________．4．设222lnz y x u ++=，则()=u grad div ___________________．5．设幂级数∑∞=0n nn x a 的收敛半径为1R ，幂级数∑∞=0n n n x b 的收敛半径为2R ，且+∞<<<210R R ，则幂级数()∑∞=+0n nn n x b a 的收敛半径为_____________．答案：⒈ 043=+--z y x ； ⒉ 1；⒊ ()⎰⎰1yydx y x f dy ，；⒋2221zy x ++；⒌ 1R ．二．选择填空题（本题满分15分，共有5道小题，每道小题3分）。

以下每道题有四个答案，其中只有一个答案是正确的，请选出合适的答案填在空中，多选无效． 1．函数()y x f ，在点()00y x ，处连续是函数()y x f ，在该点处存在偏导数的【】．（A ）．充分条件；（B ）．必要条件；（C ）．充分必要条件；（D ）．既不是必要，也不是充分条件．2．设D 是xOy 平面上以()11，、()11，-、()11--，为顶点的三角形区域，1D 是D 在第一象限的部分，则积分()⎰⎰+Ddxdyy x xy sin cos等于【】．（A ）．⎰⎰1sin cos 2D ydxdy x ；（B ）．⎰⎰12D xydxdy ；（C ）．()⎰⎰+1sin cos 4D dxdy y x xy ；（D ）．0．3．下列级数中，属于条件收敛的是【】．（A ）．()()∑∞=+-111n nnn ；（B ）．()∑∞=-1si n 1n nn nn π ；（C ）．()∑∞=-121n nn；（D ）．()∑∞=+-1131n nn ．4．设函数()x f 是以π2为周期的周期函数，它在[)ππ，-上的表达式为()⎩⎨⎧<≤<≤-=ππx x xx f 000 ，再设()x f 的Fourier （傅立叶）级数的和函数为()x s ，则()=πs 【】．（A ）．2π-；（B ）．π- ；（C ）．0 ；（D ）．π ．5．设向量a 、b 、c 满足：0c b a =++，则=⨯+⨯+⨯a c c b b a【】．（A ）．0 ；（B ）．c b a⨯⨯；（C ）．c b ⨯；（D ）．()b a⨯3．答案： ⒈ （A ）； ⒉ （C ）； ⒊ （B ）； ⒋ （A ）； ⒌ （D ）．三．（本题满分7分）设()xy y x f z ，22-=，其中函数f 具有二阶连续的偏导数，试求xz ∂∂，yx z ∂∂∂2．解：212f y f x xz '+'=∂∂ ，()2221222112224f xyffyx xyf yx z ++-+-=∂∂∂ ．四．（本题满分7分）计算三重积分()⎰⎰⎰Ω+=dxdydzz x I ，其中Ω是由曲面22y x z +=及221y x z --=所围成的空间区域．解：作球坐标变换θϕρcos sin =x ，θϕρsin sin =y ，ϕρcos =z ，则空间区域Ω变为，104020≤≤≤≤≤≤Ω'ρπθπθ，，：，因此，()⎰⎰⎰Ω+=dxdydzz x I()⎰⎰⎰Ω+=ρϕθϕρϕρθϕρd d d s i n c o s c o s s i n 2()⎰⎰⎰+=12420s i n c o s c o s s i n ρϕρϕρθϕρϕθππd d d8π=五．（本题满分8分）计算曲面积分()()⎰⎰∑-+++=dxdy z dzdx z y dydz xz I 322912其中∑为曲面122++=y x z ()21≤≤z ，取下侧．解：取平面21=∑z ：，取上侧．则∑与1∑构成封闭曲面，取外侧．令∑与1∑所围空间区域为Ω，由Gauss 公式，得 ⎰⎰⎰⎰∑∑+∑-=11I()⎰⎰⎰⎰⎰≤+Ω--=132229y x dxdydxdydz⎰⎰⎰⎰⎰≤+--=121120222y x rdxdydz rdr d πθ2π-=六．（本题满分8分）判别级数()()()()()∑∞=++++12222!2!!3!2!1n n n的敛散性．解： ()()()()()!2!!3!2!102222n n u n ++++=≤()()()()()!2!!!!2222n n n n n ++++≤， ()()n v n n n =⋅=!2!2而()()()()()()()!2!!12!11limlim221n n n n n n v v n nn n ⋅++⋅+=→∞+→∞()()()14122121lim3<=+++=→∞n n n n n所以，由比值判别法，知级数()()∑∑∞=∞=⋅=121!2!n n n n n n v 收敛．再由比较判别法知级数()()()()()∑∑∞=∞=++++=122221!2!!3!2!1n n nn n u 收敛．七．（本题满分8分）选取a 与b ，使得dy yx b y x dx yx y ax 2222++--++成为某一函数()y x u ，的全微分，并求()y x u ，．解：()22y x y ax y x P ++=，，()22y x by x y x Q ++-=，由()()()dy y x Q dx y x P y x du ，，，+=，得xQ yP ∂∂=∂∂即有()()()()222222222222yxxb y x y x yxyy ax y x +⋅+--+=+⋅+-+解得，1=a ，0=b ．所以，()()()()()⎰+--+=y x yx dyy x dx y x y x u ，，，0122⎰⎰+--=yxdy yxyx xdx 0221()⎰⎰+++⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=yyyx y x d x y x y d x 0222202211ln()x yx xy x ln ln 21arctan ln 22-++-=()xyyx a r c t a n ln 2122-+=八．（本题满分8分）过直线⎩⎨⎧=-+=-+0272210z y x z y x 作曲面273222=-+z y x 的切平面，求此切平面的方程．解：过已知直线作平面束方程()0272210=-++--+z y x z y x λ，即()()()0272210=-+-+++z y x λλλ，其法向量为{}λλλ--++=2210，，n．设所求切平面的切点坐标为()000z y x ，，，则有()()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+-+++=-+---=+=+02722102732222610000202020000z y x z y x z y x λλλλλλ ，解得1113000-====λ，，，z y x ．或1917173000-=-=-=-=λ，，，z y x ．因此，所求切平面方程为027339=--+z y x ，或02717179=-+--z y x ．九．（本题满分8分）求极限：()422221lim xx tu t x x eduedt ---→-⎰⎰+．解：交换积分()⎰⎰--222x tu t x du edt 中的顺序，有()()⎰⎰⎰⎰----=uu t x x tu t x dt edu du edt 022222，u t v -=，则有()⎰⎰-----=uvuu t dv edt e22所以()()4242222221lim 1lim xuu t xx xx tu t x x edt edueduedt---→---→-=-⎰⎰⎰⎰++4242002222221l i m 1l i mxx vx xxuvx ex d veed ud v e---→---→⎰⎰⎰-=-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=++212lim lim 1lim424222==-⋅=-→--→-→+++⎰xx x vx xx ex dvee十．（本题满分8分）利用⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x dx d 1cos 的幂级数展开式，求级数()()∑∞=⎪⎭⎫⎝⎛--122!2121n nn n n π的和．解：设()⎪⎭⎫⎝⎛-=x x dx d x s 1cos ，由于()()()()∑∑∞=-∞=-=--=-11202!211!211c o s n n nn nnn xxn xxx ()-∞<<∞-x因此，()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∑∞=-112!211c o s n n n n xdx d x x dx d x s()()∑∞=---=122!2121n n nxn n另一方面， ()21c o s s i n 1c o s x x x x x x dxd x s +--=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=所以，()()∑∞=---=+--1222!21211c o s s i n n n nxn n xx x x ()-∞<<∞-x当2π=x 时，()()∑∞=-⎪⎭⎫⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛1222!21212n n nn n s ππ，所以，()()⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫⎝⎛--∑∞=222!2121212πππs n n n nn2221c o s s i n 2ππ=+--⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛=x x x x x22212c o s 2s i n24⎪⎭⎫ ⎝⎛+--⋅=πππππ21π-=十一．（本题满分8分）已知x 、y 、z 为实数，而且32=++z y e x证明：32≤z y e x．（提示：考虑函数()()223ye y e y xf xx--=，．）解：设()()223ye y e y xf xx--=，，由题设32=++z y e x ，得 32≤+y e x，即 32=+y e x为其边界．下面只需证明：()()223ye y e y xf xx--=，在区域32≤+y ex上的最大值为1．令：()()()()⎪⎩⎪⎨⎧=--='=--='0232023222y e y e y x f y e y e y x f x x y x x x ，，，解方程组得驻点()10，，()10-，和()0，x ．对于驻点()10，和()10-，，有 ()110=，f ，()110=-，f对于驻点()0，x ，()00=，x f ；在边界32=+y e x 上，()002=⋅=y e y x f x，，所以，函数()()223y e y e y x f x x --=，的最大值为1，即()()1322≤--=ye y e y xf xx，即32≤z ye x．。

高等数学上册期末考试卷

高等数学上册期末考试卷一、选择题（每题2分，共10分）1. 已知函数$ f(x) = 3x^2 - 2x + 1 $，求$ f(-1) $的值。

A. 4B. 2C. -2D. -42. 极限$ \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} $的值是多少？A. 0B. 1C. $ \frac{\pi}{2} $D. 不存在3. 以下哪个函数是偶函数？A. $ f(x) = x^2 $B. $ f(x) = x^3 $C. $ f(x) = |x| $D. $ f(x) = \sin x $4. 以下哪个级数是收敛的？A. $ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} $B. $ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} $C. $ \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n \frac{1}{n} $D. $ \sum_{n=1}^{\infty} n $5. 函数$ y = \ln(x) $的导数是：A. $ \frac{1}{x} $B. $ \frac{x}{1} $C. $ \frac{1}{x^2} $D. $ \frac{1}{x} + 1 $二、填空题（每空1分，共10分）1. 若$ \int_{0}^{1} f(x)dx = 2 $，则$ \int_{1}^{2} f(x)dx$的值是______。

2. 函数$ f(x) = \frac{1}{x} $在$ x = 0 $处的极限是______。

3. 若$ \lim_{x \to 2} (x^2 - 4x + 4) = a $，则$ a $的值是______。

4. 函数$ y = \ln(1 + x) $的二阶导数是______。

5. 级数$ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n(n+1)} $的和是______。

2021-2022学年高等数学期末考试试卷

2021～2022 学年《高等数学》期末考试试卷一、选择题（每小题3分，共30分）1. 下列微分方程是线性的是（）A.22y x y '=+B.2x y y e '+=C.2y x y '+=D.2y y xy '-=.2.若()f x 为可导、可积函数，则（）A. ()d ()f x x f x '⎡⎤=⎣⎦⎰B. d ()()f x dx f x ⎡⎤=⎣⎦⎰ C. ()d ()f x x f x '=⎰ D. d ()()f x f x =⎰3.ln d xx x =⎰（）A. 21ln 2x x C +B. 21ln 2x C +C. ln x C x +D. 221ln x C x x-+ 4. 若2()f x dx x C =+⎰，则2(1)xf x dx -=⎰（）。

A. 222(1)x C ++ B. 222(1)x C --+ C.221(1)2x C ++ D. 221(1)2x C --+ 5. 设)(x f 在],[b a 上连续，且⎰=badx x f 0)(，则（）。

A.在],[b a 的某个子区间上，0)(=x f ；B. 在],[b a 上，0)(≡x f ；C. 在],[b a 内至少有一点c ，0)(=c f ；D. 在],[b a 内不一定有x ，使0)(=x f 。

6．下列所给级数，发散的是（）A ．()∑∞=11.0n n nB ．∑∞=12321n n C ．()∑∞=+-18100101n nn D ．∑∞=11sin n n n7.设(,)f x y是连续函数，则二次积分011(,)x dx f x y dy -+⎰改变积分顺序为( )A．1120111(,)(,)y dy f x y dx dy f x y dx ---+⎰⎰⎰ B ．111(,)y dy f x y dx --⎰⎰C．11111(,)(,)y dy f x y dx f x y dx ---+⎰⎰⎰D．21(,)dy f x y dx -⎰⎰8. 设∑∞=1n na收敛，则∑∞=1n na（）A ．必收敛，且收敛于∑∞=1n na的和 B ．不一定收敛C ．必收敛，但不一定收敛于∑∞=1n na的和 D ．一定发散9. 设)(x f 是区间[]02，上的连续函数，且20()xf t dt x =-⎰(1)f =（）A ． 2B ． -2C ． 0D ．110.设12()()y x y x ，是二阶线性齐次微分方程()()0y P x y Q x y '''++=的两个解，12c c ，是任意常数，则1122()()y c y x c y x =+ ( )A ．是此方程的通解B ．是此方程的特解C ．不一定是该方程的解D ．是该方程的解二、填空题（每小题2分，共10分）11. 微分方程4230xy y y ''''++=的阶数为；12. 如果x e -是函数()f x 的一个原函数，则()f x dx =⎰ ；13. 幂级数(21)nn n x∞=+∑的收敛域为；14. 设:00D y x a ≤≤≤≤，由二重积分的几何意义知2Ddxdy =⎰⎰___________；15.设()f x 是连续函数，且0()sin ()d f x x xf x x π=+⎰，则()f x = ；二、计算题（每小题6分，共48分）16.⎰ 17. 2arctan 1xdx x +⎰18. ⎰--112d x x x19. 计算二重积分d d Dx x y ⎰⎰，其中D 是由抛物线2y x =及直线2y x =+所围成的区域；20.利用极坐标计算二重积分arctan d d Dy x y x ⎰⎰，其中22:14,0,D x y y y x ≤+≤≥≤；21.判断级数的收敛性：1!n n n n ∞=∑；22. 求解微分方程232x y y y e -'''++=的通解；23.求幂级数11n n nx∞-=∑的和函数.四、证明应用题（每小题6分，共12分）24.证明：设)(x f 在区间)0(],[>-a a a 上连续，证明：[]0()()()a a af x dx f x f x dx -=-+⎰⎰25.求一曲线的方程，这曲线通过原点，并且它在点(,)x y 处的切线的斜率等于2x y +.。

大一(第一学期)高数期末考试题及答案

页眉内容大一上学期高数期末考试一、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1. )(0),sin (cos )(　处有则在设=+=x x x x x f .（A ）(0)2f '= （B ）(0)1f '=（C ）(0)0f '= （D ）()f x 不可导.2. ）时（　，则当，设133)(11)(3→-=+-=x x x x xx βα.（A ）()()x x αβ与是同阶无穷小，但不是等价无穷小；（B ）()()x x αβ与是等价无穷小；（C ）()x α是比()x β高阶的无穷小；（D ）()x β是比()x α高阶的无穷小.3. 若()()()02xF x t x f t dt=-⎰，其中()f x 在区间上(1,1)-二阶可导且'>()0f x ，则（）.（A ）函数()F x 必在0x =处取得极大值；（B ）函数()F x 必在0x =处取得极小值；（C ）函数()F x 在0x =处没有极值，但点(0,(0))F 为曲线()y F x =的拐点；（D ）函数()F x 在0x =处没有极值，点(0,(0))F 也不是曲线()y F x =的拐点。

4.)()( , )(2)( )(1=+=⎰x f dt t f x x f x f 则是连续函数，且设（A ）22x （B ）222x +（C ）1x - （D ）2x +.二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分） 5. =+→xx x sin 2)31(l i m .6. ,)(cos 的一个原函数是已知x f xx=⋅⎰x xxx f d cos )(则.7.lim(cos cos cos )→∞-+++=22221n n nnnn ππππ .8. =-+⎰21212211arcsin －dx xx x .三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分）9. 设函数=()y y x 由方程sin()1x ye xy ++=确定，求'()y x 以及'(0)y . 10. .d )1(177x x x x ⎰+-求11. ．　求，，设⎰--⎪⎩⎪⎨⎧≤<-≤=1 32)(1020)(dx x f x x x x xe x f x12. 设函数)(x f 连续，=⎰10()()g x f xt dt，且→=0()limx f x A x ，A 为常数. 求'()g x 并讨论'()g x 在=0x 处的连续性.13. 求微分方程2ln xy y x x '+=满足=-1(1)9y 的解.四、解答题（本大题10分）14. 已知上半平面内一曲线)0()(≥=x x y y ，过点(,)01，且曲线上任一点M x y (,)00处切线斜率数值上等于此曲线与x 轴、y 轴、直线x x =0所围成面积的2倍与该点纵坐标之和，求此曲线方程. 五、解答题（本大题10分）15. 过坐标原点作曲线x y ln =的切线，该切线与曲线x y ln =及x 轴围成平面图形D.(1) 求D 的面积A ；(2) 求D 绕直线x = e 旋转一周所得旋转体的体积V .六、证明题（本大题有2小题，每小题4分，共8分）16. 设函数)(x f 在[]0,1上连续且单调递减，证明对任意的[,]∈01q ，1()()≥⎰⎰qf x d x q f x dx.17. 设函数)(x f 在[]π,0上连续，且)(0=⎰πx d x f ，cos )(0=⎰πdx x x f .证明：在()π,0内至少存在两个不同的点21,ξξ，使.0)()(21==ξξf f （提示：设⎰=xdxx f x F 0)()(）解答一、单项选择题(本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1、D 2、A 3、C 4、C二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分）5. 6e . 6.c x x +2)cos (21　.7. 2π. 8.3π.三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分） 9. 解：方程两边求导(1)c o s ()()x ye y xy xy y +''+++= cos()()cos()x y x ye y xy y x e x xy +++'=-+0,0x y ==，(0)1y '=-10. 解：767u x x dx du == 1(1)112()7(1)71u du duu u u u -==-++⎰⎰原式 1(ln ||2ln |1|)7u u c =-++ 7712ln ||ln |1|77x x C =-++11. 解：101233()2x f x dx xe dx x x dx---=+-⎰⎰⎰123()1(1)xxd e x dx--=-+--⎰⎰00232cos (1sin )x x xe e d x πθθθ----⎡⎤=--+-=⎣⎦⎰　令3214e π=--12. 解：由(0)0f =，知(0)0g =。

高等数学期末试卷及答案

高等数学期末试卷及答案一、填空题（每小题3分，共18分）1.[3分]设)arctan(y x z +=，则y z '=___________； 2. [3分]交换二次积分⎰⎰⎰⎰+121212212),(),(yydxy x f dy dx y x f dy 的积分顺序为； 3. [3分]已知∑∞=1!2n nn n n 收敛,则=∞→n n n n n !2lim ;4. [3分]设L 是从A(1,0)到B(-1,2)的直线段,则()x y dsL+⎰=_____________;5. [3分]设),(y x f 为连续函数, 且(1,1)6f =, 则有2222(1)(1)1lim(,)x y f x y dxdy ρρπρ→-+-≤=⎰⎰__________；6. [3分]微分方程dydx x y =-()3的通解是_________________。

二、试解下列各题（本题共3小题，每小题6分，共18分）1．[6分] 设222(,,)x yzu f x y z e ++==, 而2sin z x y =.求ux ∂∂和 u y ∂∂； 2. [6分] 求函数2yz xe =在点P(1,0)处沿从点P(1,0)到点Q(2,-1)的方向的方向导数；3. [6分] 计算⎰⎰=D xyd I σ其中D 是由抛物线x y =2及直线2-=x y 所围成的闭区域。

三、试解下列各题（本题共3小题，每小题6分，共18分）1．[6分] 求微分方程25)1(12+=+x x y dx dy －的通解；2．[6分] 将函数()1,(0)f x x x π=-≤≤展开成余弦级数；3．[6分]计算曲面积分⎰⎰∑=z dSI , 其中∑是球面2222a z y x =++被平面h z =)0(a h <<截出的顶部。

四、[本题8分]求函数z y x u 22+-=在条件x y z 2221++=下的极值。

高等数学第二学期期末考试试题真题及完整答案(第2套)

高等数学第二学期期末考试试题真题及完整答案一、填空题（将正确答案填在横线上)(本大题共5小题，每小题4分，总计20分)1、设函数，则=2、曲面在点处的切平面方程为____3、= .4、曲面积分= ，其中，为与所围的空间几何形体的封闭边界曲面，外侧.5、幂级数的收敛域为。

二、选择题（将选项填在括号内）(本大题共5小题，每小题4分，总计20分）1、函数在(1,1）点沿方向的方向导数为（ )。

（A） 0 （B） 1 （C) 最小 (D）最大2、函数在处( ）.(A）不连续，但偏导数存在 (B)不连续，且偏导数不存在（C)连续，但偏导数不存在 (D)连续，且偏导数存在3、计算=（ )，其中为（按逆时针方向绕行)．（A）0 (B）（C） (D)4、设连续,且,其中D由所围成，则（ )。

（A）（B) （C） (D)5、设级数收敛，其和为，则级数收敛于( )。

（A）(B）(C）（D）三、解答下列各题(本大题共3小题，每小题8分,总计24分)1、设函数由方程所确定，计算，。

2、计算，其中,为曲线,．3、求幂级数的和函数．三、解答下列各题(本大题共3小题，每小题8分，总计24分）1、求内接于半径为的球面的长方体的最大体积．2、计算，其中平面区域．3、计算，其中为平面被柱面所截得的部分.五、解答下列各题(本大题共2小题,每小题6分，总计12分）1、计算其中为上从点到点．2、将函数展开成的幂级数.答案及评分标准一、填空题 (本大题分5小题，每小题4分，共20分)1、 2、3、 4、 5、二、选择题（将选项填在括号内）(本大题共5小题，每小题4分，共20分）1、C2、A3、B4、D5、B三、解答下列各题(本大题共3小题,每小题8分，共24分)1、解：方程两端同时对分别求偏导数，有，………………6分解得：.…………………………………………8分2、解:作图（略）。

原式=………………………2分.………………………8分3、解：经计算，该级数的收敛域为。

(完整版)无穷级数期末复习题高等数学下册(上海电机学院)

第十一章无穷级数一、选择题1.在下列级数当中，绝对收敛的级数是（ C ）（A）∑∞=+1121n n(B)()()2311nnn∑∞=-(C)()∑--nn3111(D)()nnnn111--∑∞=2.()∑∞=-2!1nnnnx在-∞<x<+∞的和函数()=xf（A ）（A）e x2-(B) e x2(C) e x--2(D) e x2-3.下列级数中收敛的是（ B ）（A）∑+∞=11n nn(B)∑+∞=111n nn(C)()∑+∞=1121n n(D)()∑+∞=12111n n4.lim=∞→u nn是级数∑∞=1nnu收敛的（ B ）（A）充分条件(B) 必要条件(C) 充要条件(D) 无关条件5.级数∑∞=1nnu收敛的充分必要条件是（ C ）（A）lim=∞→u nn(B)1lim1<=+∞→ruunnn(C)s nn∞→lim存在（s n=u1+u2+…+u n）(D) nu n21≤6.下列级数中，发散的级数是（ B ）（A）∑∞=121n n(B)∑∞=11cosnn(C)()∑∞=131nn(D)()∑∞=-1132nn7.级数()()nx nnn51111-∑-∞=-的收敛区间是（ B ）（A）（0，2）(B)(]2,0 (C)[)2,0(D) [0，2]8.()+∞<<∞-∑∞=xnnnx1!的和函数是（ B ）（A）e x(B) 1-e x(C) 1+e x(D) x-119.下列级数中发散的是（ A ）（A）∑∞=12sinnnπ(B)()∑-∞=-1111nnn(C) ∑⎪⎭⎫⎝⎛∞=143nn(D)∑⎪⎭⎫⎝⎛∞=131n n10.幂级数()∑∞=-13nnx的收敛区间是（ B ）（A）()1,1-(B)()4,2(C) [)4,2(D)(]4,211.在下列级数中发散的是（ D ）（A）∑∞=123nn(B)()nnn1111∑∞=--(C) ∑∞=+1312n nn(D)∑∞=+13)1(1n nn12.幂级数()()xnnnn120!121+∞=∑+-的和函数是（ D ）（A）e x(B) xcos(C)()x+1ln(D) xsin13. 级数()()nx nn n 51111-∑-∞=-的收敛区间是（B ）（A ）（0，2） (B) (]2,0 (C) [)2,0 (D) [0，2]14. 在下列级数当中，绝对收敛的级数是（ C ）（A ）∑∞=+1121n n (B)()()2311nn n∑∞=-(C)()∑--n n 3111 (D)()n n n n111--∑∞=15. 下列级数中不收敛的是（ A ）．A ．∑∞=+-11)1(n nn n B ．∑∞=-11)1(n n n C ．∑∞=-1321)1(n n n D ．∑∞=-121)1(n nn16．在下列级数中发散的是（C ）（A ）∑∞=131n n（B ）Λ+++++321161814121 （C ）Λ+++3001.0001.0001.0（D ）()()()Λ+-+-53535353432 17．幂级数x n n nn ∑∞=++11)1ln(的收敛区间是（C ）（A ）[]1,1- (B)（-1，1）(C) [)1,1- (D) (]1,1-18．下列级数中条件收敛的是（ B ）A ．∑∞=--11)32()1(n n n B ．∑∞=--11)1(n n nC ．∑∞=--11)31()1(n nn D ．∑∞=-+-1212)1(n n n n19．幂级数∑∞=++11)21(n nn x 的收敛区间是（ C ） A ．)2123(,- B ．]2123[,- C ．)2123[,-D ．]2123(,-20.在下列级数中，条件收敛的是（ B ）（A ）()111+∑-∞=n n n n(B) ()n n n 111∑-∞= (C)()∑-∞=1211n nn (D)∑∞=11n n21.级数∑⎪⎭⎫⎝⎛∞=+1152n n 的和Ｓ＝（ D ）（A ）23 (B) 35 (C) 52 (D) 3222. 设f(x)是周期为π2的周期函数，他在),[ππ-上的表达式为f(x)=x, 若f(x)的傅立叶级数展开式为∑∞=++1)sin cos (2n n n nx b nx a a ，则=n a [D] A.1)1(2+-n n B.n n )1(2- C. 1)1(1+-n nD. 0 23. 设f(x)是周期为π2的周期函数，他在),[ππ-上的表达式为f(x)=2x , 若f(x)的傅立叶级数展开式为∑∞=++1)sin cos (2n n n nx b nx a a ，则=n b [A] A. 0 B.n n)1(4- C. 1)1(2+-n n D. 1)1(4+-n n二、填空题 1．幂级数()∑∞=-02!1n nnn x的和函数是 e x 2-2.幂级数∑∞=02n nnx的收敛半径为21=R 。

西南财经大学高等数学期末考卷及解答

西南财经大学高等数学期末考卷及解答一、选择题（每题5分，共25分）A. f(x) = |x|B. f(x) = x^2 + xC. f(x) = x^3D. f(x) = x^2 x2. 设函数f(x) = e^x，则f'(x)在x=0处的值为（）A. 0B. 1C. eD. e^23. 下列极限中，收敛的是（）A. lim(x→∞) (sin x / x)B. lim(x→0) (1 / x^2)C. lim(x→1) (x^2 1) / (x 1)D. lim(x→∞) (x^3 e^x)4. 不定积分∫(1 / (x^2 + 1)) dx的结果是（）A. arctan x + CB. ln(x^2 + 1) + CC. 1 / x + CD. e^x + C5. 设函数f(x) = x^3 3x，则f''(x)的零点个数为（）A. 0C. 2D. 3二、填空题（每题5分，共25分）1. 设函数f(x) = x^2 + 2x，则f'(x) = _______。

2. 设函数f(x) = e^x，则f''(x) = _______。

3. 不定积分∫(cos x) dx = _______ + C。

4. 定积分∫(从0到π/2) (sin x) dx = _______。

5. 设函数f(x) = ln(x)，则f''(x) = _______。

三、计算题（每题10分，共30分）1. 求极限lim(x→0) (sin x / x)。

2. 求不定积分∫(x^2 + 1) / (x^2 + 2) dx。

3. 求定积分∫(从1到e) (1 / x) dx。

四、解答题（每题20分，共40分）1. 设函数f(x) = x^3 3x，求f'(x)和f''(x)，并判断f(x)在x=0处的凹凸性。

2. 设函数g(x) = e^x，求g'(x)和g''(x)，并讨论g(x)的单调性和极值。

(完整版)大一高等数学期末考试试卷及答案详解

标准答案
一、1 B;2 C; 3 D;4 A.
二、1 2 3 0; 4 0.
三、1解原式 6分
2 解 2分
4分
3解原式 3分
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ2分
1分
4 解令则2分
5 1分
6 1分
1分
1分
7 两边求导得 2分
8 1分
1分
2分
9 解 2分
10 4分
11 解原式= = 6分
四、1解令则 3分
= 2分
2分
1分
2 解 3分
-----------3
3．求摆线在处的切线的方程.
解：切点为 -------2
-------2
切线方程为即 . -------2
4.设，则 .
5．设，求 .
解： ---------2
--------------2
= ------------2
故 =
四．应用题（每小题9分，3题共27分）
1．求由曲线与该曲线过坐标原点的切线及轴所围图形的面积.
(A)必不可导 (B)一定可导(C)可能可导 (D)必无极限
二、填空题（共12分）
1．（3分）平面上过点，且在任意一点处的切线斜率为的曲线方程为.
2. （3分） .
3. （3分） =.
4. （3分）的极大值为.
三、计算题（共42分）
1.（6分）求
2.（6分）设求
3.（6分）求不定积分
4.（6分）求其中
(D)(D)若可积函数为奇函数,则也为奇函数.
4.设 ,则是的（C）.
(A)连续点;(B)可去间断点;
(C)跳跃间断点;(D)无穷间断点.

高等数学期末复习题答案

《高等数学》期末练习题答案一、填空题：一、填空题：1、点10918M (,,)到点21715M (,,)之间的距离12M M =14 ，2、()345x xy x ¶+=¶2125x y +， 3、342dy x y y,dx +==23324x y - ，4、微分方程58dy y x dx+=分离变量,得5(8)ydy x dx =-，5、微分方程7120y y y ¢¢¢-+=的特征方程的根为123,4r r ==，6、()11A --= A ， 7、EA = A ，8、若幂级数n n n a x ¥=å的系数满足条件1lim2n n n a a +®¥=,则收敛半径R =12，9、当l= 1 时，齐次方程12120x x x x l +=ìí+=î有非零解有非零解1010、若、若()517A =,253013B æöç÷=-ç÷ç÷-èø，则AB =()046， 1111、掷一枚骰子，出现点数大于、掷一枚骰子，出现点数大于4的概率是13，1212、对甲、乙两厂检查，设、对甲、乙两厂检查，设A ={={甲厂合格甲厂合格甲厂合格}}，B ={={乙厂合格乙厂合格乙厂合格}}，则事件，则事件{{甲、乙两厂至少一个不合格}用A B 、的运算关系表示为：A B A B + 或，，1313、已知、已知()0.5,()0.8,()0.4p A p B p AB ===,则()p A B += 0.9 ，，1414、设、设()0.5,()0.3,p B p A B ==则 ()p AB = 0.15 ，，1515、设、设x 是连续性随机变量，密度函数()51p x x =-,则{5}P x == 0 。

大一上册期末高等数学试卷

一、选择题（每题5分，共20分）1. 下列函数中，在区间（0，+∞）上单调递减的是：A. f(x) = x^2B. f(x) = e^xC. f(x) = ln(x)D. f(x) = 1/x2. 函数y = x^3 - 6x + 9的极值点为：A. x = -1B. x = 1C. x = -3D. x = 33. 下列积分中，结果为π的是：A. ∫(0 to π) sin(x) dxB. ∫(0 to π) cos(x) dxC. ∫(0 to π) tan(x) dxD. ∫(0 to π) cot(x) dx4. 设f(x) = x^3 - 3x，则f(x)的导数f'(x)为：A. 3x^2 - 3B. 3x^2 - 2xC. 3x^2 + 2xD. 3x^2 + 35. 下列级数中，收敛的是：A. ∑(n=1 to ∞) (1/n^2)B. ∑(n=1 to ∞) (1/n)C. ∑(n=1 to ∞) (1/n^3)D. ∑(n=1 to ∞) (n^2)二、填空题（每题5分，共20分）1. 函数f(x) = 2x^3 - 3x^2 + x在x=1处的导数值为______。

2. 极限lim(x→0) (sin(x)/x) 的值为______。

3. 若f(x) = x^2 + 1，则f'(x) = ______。

4. 函数y = e^x的导数y' = ______。

5. 级数∑(n=1 to ∞) (1/n^2) 的和为______。

三、解答题（每题10分，共40分）1. 求函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 4x的导数。

2. 求函数y = ln(x^2 + 1)的导数。

3. 计算极限lim(x→∞) (1/x^2 + 1/x^3)。

4. 求函数y = e^(2x)的积分。

四、应用题（每题10分，共20分）1. 一辆汽车以v = 20m/s的速度匀速行驶，当刹车后，每秒减速5m/s，求汽车停止前行驶的距离。

高等数学期末复习题库

高等数学期末复习题库一、选择题1. 函数f(x)=x^2+3x-2在区间[-5, 4]上的最大值是：A. 0B. 2C. 10D. 162. 曲线y=x^3-6x^2+9x+1在点(2,5)处的切线斜率是：A. 1B. -1C. 3D. -33. 定积分∫(0,1) x^2 dx的值是：A. 1/3B. 1/4C. 1/2D. 14. 幂级数Σ(n=1 to ∞) x^n/n 收敛的区间是：A. (-1, 1)B. (-∞, ∞)C. [1, ∞)D. [0, 1]5. 函数f(x)=sin(x)+cos(x)的周期是：A. πB. 2πC. π/2D. π/4二、填空题6. 函数f(x)=x^3-2x^2+x-3在x=______处取得极小值。

7. 若f(x)=e^x，g(x)=ln(x)，则f(g(x))=______。

8. 函数y=x^2-4x+3的图像与x轴的交点坐标是(1, 0)和(______, 0)。

9. 若定积分∫(a,b) f(x) dx = 5，且a=1，f(x)=x^2，则b=______。

10. 利用泰勒公式展开e^x在x=0处的前三项是______。

三、解答题11. 求函数f(x)=x^3-6x^2+11x-6在区间[1, 3]上的最大值和最小值。

12. 证明：对于任意的正整数n，有1^2 + 1/2^2 + 1/3^2 + ... +1/n^2 < 2。

13. 解微分方程dy/dx + 2y = x^2，初始条件为y(0)=1。

14. 求定积分∫(0,π/2) sin(x) dx。

15. 利用傅里叶级数展开函数f(x)=x^2在区间[-π, π]上的周期延拓。

四、证明题16. 证明函数f(x)=x^3在R上是严格递增的。

17. 证明定积分∫(0,1) x ln(x) dx = -1/4。

18. 证明级数Σ(n=1 to ∞) (1/n^2)是收敛的。

五、应用题19. 一个物体从静止开始，以初速度为0，加速度为常数a=2m/s^2，求物体在t=3秒时的位置。

无穷级数期末复习题高等数学下册 (上海电机学院)

第十一章无穷级数一、选择题1.在下列级数当中，绝对收敛的级数是（ C ）（A）∑∞=+1121n n(B)()()2311nnn∑∞=-(C)()∑--nn3111(D)()nnnn111--∑∞=2.()∑∞=-2!1nnnnx在-∞<x<+∞的和函数()=xf（A ）（A）e x2-(B) e x2(C) e x--2(D) e x2-3.下列级数中收敛的是（ B ）（A）∑+∞=11n nn(B)∑+∞=111n nn(C)()∑+∞=1121n n(D)()∑+∞=12111n n4.lim=∞→u nn是级数∑∞=1nnu收敛的（ B ）（A）充分条件(B) 必要条件(C) 充要条件(D) 无关条件5.级数∑∞=1nnu收敛的充分必要条件是（ C ）（A）lim=∞→u nn(B)1lim1<=+∞→ruunnn(C)s nn∞→lim存在（s n=u1+u2+…+u n）(D) nu n21≤6.下列级数中，发散的级数是（ B ）（A）∑∞=121n n(B)∑∞=11cosnn(C)()∑∞=131nn(D)()∑∞=-1132nn7.级数()()nx nnn51111-∑-∞=-的收敛区间是（ B ）（A）（0，2）(B)(]2,0 (C)[)2,0(D) [0，2]8.()+∞<<∞-∑∞=xnnnx1!的和函数是（ B ）（A）e x(B) 1-e x(C) 1+e x(D) x-119.下列级数中发散的是（ A ）（A）∑∞=12sinnnπ(B)()∑-∞=-1111nnn(C) ∑⎪⎭⎫⎝⎛∞=143nn(D)∑⎪⎭⎫⎝⎛∞=131n n10.幂级数()∑∞=-13nnx的收敛区间是（ B ）（A）()1,1-(B)()4,2(C) [)4,2(D)(]4,211.在下列级数中发散的是（ D ）（A）∑∞=123nn(B)()nnn1111∑∞=--(C) ∑∞=+1312n nn(D)∑∞=+13)1(1nnn12.幂级数()()xnnnn120!121+∞=∑+-的和函数是（ D ）（A）e x(B) xcos(C)()x+1ln(D) xsin13. 级数()()nx nn n 51111-∑-∞=-的收敛区间是（B ）（A ）（0，2） (B) (]2,0 (C) [)2,0 (D) [0，2]14. 在下列级数当中，绝对收敛的级数是（ C ）（A ）∑∞=+1121n n (B)()()2311nn n∑∞=-(C)()∑--n n 3111 (D)()nn n n111--∑∞=15. 下列级数中不收敛的是（ A ）．A ．∑∞=+-11)1(n nn n B ．∑∞=-11)1(n nnC ．∑∞=-1321)1(n n nD ．∑∞=-121)1(n nn16．在下列级数中发散的是（C ）（A ）∑∞=131n n（B ）+++++321161814121（C ） +++3001.0001.0001.0（D ）()()()+-+-5353535343217．幂级数x n n nn ∑∞=++11)1ln(的收敛区间是（C ）（A ）[]1,1- (B)（-1，1）(C) [)1,1- (D) (]1,1-18．下列级数中条件收敛的是（ B ）A ．∑∞=--11)32()1(n nnB ．∑∞=--11)1(n n nC ．∑∞=--11)31()1(n nn D ．∑∞=-+-1212)1(n n nn19．幂级数∑∞=++11)21(n nnx 的收敛区间是（ C ）A ．)2123(,- B ．]2123[,- C ．)2123[,-D ．]2123(,-20.在下列级数中，条件收敛的是（ B ）（A ）()111+∑-∞=n nn n(B)()n n n111∑-∞=(C)()∑-∞=1211n nn (D)∑∞=11n n21.级数∑⎪⎭⎫ ⎝⎛∞=+1152n n 的和Ｓ＝（ D ）（A ）23(B) 35(C) 52(D) 3222. 设f(x)是周期为π2的周期函数，他在),[ππ-上的表达式为f(x)=x, 若f(x)的傅立叶级数展开式为∑∞=++10)sin cos (2n n nnx b nx aa ，则=n a [D]A. 1)1(2+-n nB.nn)1(2- C.1)1(1+-n nD. 023. 设f(x)是周期为π2的周期函数，他在),[ππ-上的表达式为f(x)=2x , 若f(x)的傅立叶级数展开式为∑∞=++10)sin cos (2n n nnx b nx aa ，则=nb [A]A. 0B.nn)1(4- C.1)1(2+-n nD. 1)1(4+-n n二、填空题1．幂级数()∑∞=-02!1n nnn x 的和函数是 e x 2-2.幂级数∑∞=02n nnx的收敛半径为21=R 。

2021-2022学年高等数学期末考试卷(含答案)

2021-2022学年高等数学期末考试一、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分）1．极限(,)lim y x y →= 。

2．已知函数22ln(1)z x y =-+，则(1,2)|dz = 。

3．设:L 22(1)4x y -+=，则ds y x x L )2(22+-⎰= 。

4．判断级数21(1)1nn n +∞=-+∑ 。

（填绝对收敛，条件收敛，发散）5．点)3,1,2(-M 到平面 0332=+--z y x 的距离为。

二、单项选择题（本题共5小题，每小题3分，共15分）6．函数(,)z f x y =在点),(00y x 处连续是它在该点偏导数存在的（）（A ）必要而非充分条件；（B ）充分而非必要条件；（C ）充分必要条件；（D ）非充分又非必要条件。

7．曲面2223z x y =+在点(1,2,14)处的切平面方程为（）（A ）41242x y z ++=；（B ）12144121x y z ---==-；（C ）41214x y z +-=；（D ）12144121x y z ---==。

8．幂级数11(21)n n x n ∞=+∑的收敛域为（）（A ）(1,1)-；（B ）[1,0)-；（C ）(1,0]-；（D ）[1,0]-。

9．直线 41112:1--==+z y x L 与 22221:2-=-+=z y x L 的夹角是（）。

（A ）2π；（B ）3π；（C ）4π；（D ）6π。

10．将函数()1f x x =+，[0,]x π∈展开为正弦级数1()sin n n f x b nx ∞==∑，则级数的系数4b =（）（A ） 12-；（B ）13；（C ）13-；（D ）12。

三、计算题(本题8分)11. 直线l 过点M(1,2,3)且与两平面02=-+z y x 和6432=+-z y x 都平行，求直线l 的方程。

天津大学高数期末考试试卷

∞ e n
,求函数项级
五、计算下列各题(每小题7分，共21分) 1.计算三重积分I =
Ω
n=1
fn (x)之和.
(x + z )dV,其中Ω是曲面z =
x2 + y 2 与z =
1 − x2 − y 2 所
围成的区域. 2.求
(y −1)dx−xdy ,其中L为含有点(0, 1)的区域D的边界闭曲线,方向取逆时针. x2 +(y −1)2
二、单项选择题(每小题3分，共15分) 1.设有级数
(−1)n np ，则(
) (B)当p > 1时，该级数收敛;
(A)当p > 1时，该级数条件收敛;
(C)当0 < p ≤ 1时，该级数绝对收敛; (D)当0 < p ≤ 1时，该级数发散. 2.已知，则下面答案正确的是( ) 2
(A)点(3, 2)是函数的极大点; (B)点(3, 2)是函数的极小点; (C)点(3, −2)是函数的极大点; (D)点(3, −2)是函数的极小点. 3.若L是平面曲线x2 + y 2 = a2 (a > 0)，L依顺时针方向转动一周，则
(B) 3 4;
(C)− 1 2;
(D)1.
二、填空题(每小题3分，共15分) 1.曲线积分
x L (e sin y
+ my )dx + ex cos ydy 的值为
,其中L为上半
圆x2 + y 2 ≤ 2ax(a > 0, y ≥ 0). 2.设u = z + 3.幂级数
∞ n=1
x2 + y 2 ,则div(gradu) =
1 4
3.(7分)求二重积分 4.(7分)计算I =

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

《高等数学》--级数期末考试试卷
班级学号姓名
一、填空：本大题共8小题，每题2分，共16分。

1、写出几何级数，通项为。

2、写出调和级数，通项为。

3、写出p 级数，第100项为。

4、设级数1
n n u ∞
=∑收敛于s ，a 为不等于零的常数，则级数1
n n au ∞
==∑ 。

5、已知级数1
2!n
n n ∞
=∑收敛，则2lim !n n n →∞= 。

6、若级数1
n n u ∞=∑发散，则原级数1
n n u ∞
=∑ （填敛散性）。

7、将函数()sin f x x =展开成马克劳林级数为。

8、将函数()cos f x x =展开成幂级数为。

二、选择题：本大题共8小题，每小题3分，共24分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的。

9、lim 0n n u →∞
=是级数
1
n
n u
∞
=∑收
敛的------------------------
--------------------------------------------------------------------------------------------（）
A 、充分条件
B 、必要条件
C 、充要条件
D 既非充分又非必要条件
10、设级数1
n n u ∞=∑收敛，级数1
n n v ∞=∑发散，则级数1
()n n n u v ∞
=+∑------（）
A 、收敛
B 、绝对收敛
C 、发散
D 、敛散性不定 11、下列级数收敛的是----------------------------------------------------（）
A 、1n n ∞
=∑ B 、1ln n n ∞
=∑ C 、11n n n ∞
=+∑ D 、1
1
(1)n n n ∞
=+∑
12、下列级数的发散的是-------------------------------------------------（） A
、1n ∞
= B 、111
248+++
C
、0.001 D 、13
()5n
n ∞
=∑
13、若级数1
n n u ∞
=∑收敛，n s 是它的前n 项部分和，则1
n n u ∞
=∑的和为（）
A 、n s
B 、n u
C 、lim n n s →∞
D 、lim n n u →∞
14、幂级数0!
n
n x n ∞
=∑的收敛区间为 -----------------------------------（）
A （-1，1）
B 、(0,)+∞
C 、(,)-∞+∞
D 、（1，2）
15、被世界公认的微积分的创始人为----------------------------（） A 、阿基米德和刘徽 B 、牛顿和庄子 C 、莱布尼兹和牛顿 D 、欧拉 16、若幂级数0n n n a x ∞
=∑的收敛区间为(1,2)-则-------------------（）
A 、在1x =-处收敛
B 、在4x =处不一定发散
C 、在2x =处发散
D 、在0x =处收敛
三、解答题：本大题共8小题，共60分。

解答应写出文字说明过程或演算步骤。

17、按级数敛散定义讨论级数0(0)n n ar a ∞
=≠∑的敛散性。

(本题10分)
18、判定下列级数是否绝对收敛、条件收敛或发散。

(每题6分，共12分) （1）21(1)ln n
n n ∞
=-∑ （2）11
2(1)(1)5n n n n ∞
+=+--∑
19、求下列幂级数0(1)32n
n
n x ∞
=-∑
的收敛半径和收敛域。

(本题10分)
20
、求幂级数0
2)n n x ∞
=+的收敛区间。

(本题10分)
21、求下列函数的幂级数展开式(每题6分，共18分) （1）2
2()x f x x e -= （2）()ln()f x a x =+ （0a >）
（3）21
()34
f x x x =+-。