大数定律和中心极限定理资料.
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又设 表示100袋味精的重量，则 i , E 10000,
D
400，由中心极限定理,
i 1
～N (10000,400)
(近似)
所求概率为：P{ 10050} 1 P{ 10050}
1
F
(10050)
1
10050 10000 20
1
(2.5)
0.00621
例1：计算机在进行加法时，每个加数取整数。
}
1
则称随机变量序列 {n } 依概率收敛于a 。
当n充分大时，几乎所有的n 都落在a的 邻域内。
(n a•
)
切比雪夫(Chebyshev) 不等式 设 的期望E和方
差D存在，则对任给常数 0 ，有
P{| E | } D
2
或
P{|
E
|
}
1
D 2
(
•)
E
只要期望和方差存在，可用上式估计上述事件的概率。
补例：用一机床制造大小相同的零件,由于随机误差，
每个零件的重量在(0.95，1.05)(kg)上均匀分布.设每个零件重量 相互独立,制造1200个零件,问总重量大于1202kg的概率是多少？
解 : 设Xi表示第i个零件重量,(i 1, 2...,1200),
则每个Xi～U (0.95,1.05),于是 :
1500
记 i ,由独立同分布中心极限定理,近似的有 :
i 1
~ N (1500 0,1500 1 ) N (0, 1500),
12
12
于是: P( 15) 1 P( 15)
1 P( 0 15 )
1500 /12 1500 /12
2 2(1.34) 0.18024.
1
推论（伯努利大数定律）设 nA为n重伯努利试验中A
发生的次数，p P( A), 则对任给常数 0, 有
lim
n
P
nA n
p
1
即 事件A的频率依概率收敛于A的概率。这是用频率
近似代替概率的理论依据。
证设
1, 第i次试验中A发生
i 0，第i次试验中A发生 ,
则
i Ei p, Di p(1 p) 1,
c(i 1,2, ;c为常数)，
前n个随机变量的算术平均
lim
n
P
1 n
n
i
i 1
1 n
n i 1
i
1
证
D
1 n
n i 1
i
1 n2
n i 1
D i
1 nc c
n2
n
由切比雪夫不等式
1
P
1 n
n
i
i1
1 n
n i1
1
1
i
1
D
1 n
n i1
i
2
c 1
n 2
第四章 大数定律与中心极限定理
大数定律从理论上解决：
用频率近似代替概率问题： P( A) nA n
用样本均值近似代替理论均值问题： E x
中心极限定理阐述：独立随机变量之和以正态分 布为极限分布， 即 用正态分布作近似计算。
定义4.1 若存在常数a，使对任给常数 0 ,有
lim
n
P{|
n
a
|
1
n
n i 1
i
nA n
,
1 n
n i 1
i
np n
p,
由定理4.1得证。
定理4.2（辛钦Khinchine大数定律）设 1 ,2 ,
相互独立且同分布，Ei (i 1,2, ), 则对任何 0,有
lim
n
P
1 n
n i 1
i
1
即 独立同分布随机变量的算术平均依概率收敛于
理论均值。
n
x
1
x t2
e 2 dt
( x)
2
n
n
n
令 i , 有 E Ei n, D Di n 2
i 1
i 1
i 1
当n充分大时， n i ~ N (n, n 2 ) (近似)
i 1
n ～N (0,1) （近似）
n
注意：不必知道 i的确切分布，只要求独立、同分布。
条件还隐含了每个 i
0.95
补例:设~e(),用切比雪夫不等式估计
P
1
(
C)
A. 1 B. 2 C. 4 D. 1 4
例：EX 2,EY 2,DX 1,DY 4, XY 0.5,
由切比雪夫不等式，P{ X Y 6} (1/12)
定理4.1（切比雪夫大数定律）设 1 ,2 , 相互独立，
E则对i 任何i , Di 0, 有i2
对总和
n
i
的影响不大。
i 1
定理的实际意义：…
补例（P.113A.3）设一袋味精的重量是随机变量，平
均值100克，标准差2克。求100袋味精的重量超过
10.05公斤的概率。
分布
解 设 i 表示第 i 袋味精的重量，
未知
且可以E认i 为1001 ,,2 ,D,i1040是独(i 立 1同,2分,布,1的10000，)
设所有的取整误差是相互独立的,且都在 [-0. 5,0.5]上服从均匀分布. 若将1500个数相加，求误差总和的绝对值超过15的概率.
解 : 设i表示第i次取整误差,
则每个i～U[0.5,0.5],于是 : E(i
(i 1, 2...,1500),
)Biblioteka Baidu
0,
D(i )
(0.5 0.5)2 12
1 12
0.95 1.05
E(Xi)
1200
2
1,
(1.05 0.95)2 1
D(Xi )
12
1200
记X Xi ,由独立同分布中心极限定理,近似的有 :
i 1
X ~ N (12001,1200
~ B(10000, 0.7) (P{6800 7200}
E np 10000 0.7
7199
7000,
Ck 10000
0.7k
0.310000k
)
k 6801
D 10000 0.7 0.3 2100
P{6800 7200} P{| 7000 | 200}
1
2100 2002
证 （对连续型） 设 ~ f ( x), 则
P{| E | } 12 f ( x)dx |x E |
( | x E | 1)
|x E |
( x E )2
f ( x)dx
2
1
( x E )2 f ( x)dx
2
1 D 2
补例（P.113A.2) 有10000盏电灯，夜晚每盏灯开灯的 概率均为0.7。各电灯开、关相互独立。估计：同时开 着的灯的数量在6800至7200之间的概率。 解 设 表示同时开着的灯的数量， 则
由定理4.1
lim
n
P
1 n
n
i
i 1
1 n
n i 1
i
1
§4.2 中心极限定理
定理4.3（林德伯格－列维Lindberg-Levy定理）
设随机变量 1 ,2 , 相互独立且同分布，
Ei , Di 2 (0 2 , i 1,2, ), 则对任何实数 x，有
n
i n
lim P i1 n
D
400，由中心极限定理,
i 1
～N (10000,400)
(近似)
所求概率为：P{ 10050} 1 P{ 10050}
1
F
(10050)
1
10050 10000 20
1
(2.5)
0.00621
例1：计算机在进行加法时，每个加数取整数。
}
1
则称随机变量序列 {n } 依概率收敛于a 。
当n充分大时，几乎所有的n 都落在a的 邻域内。
(n a•
)
切比雪夫(Chebyshev) 不等式 设 的期望E和方
差D存在，则对任给常数 0 ，有
P{| E | } D
2
或
P{|
E
|
}
1
D 2
(
•)
E
只要期望和方差存在，可用上式估计上述事件的概率。
补例：用一机床制造大小相同的零件,由于随机误差，
每个零件的重量在(0.95，1.05)(kg)上均匀分布.设每个零件重量 相互独立,制造1200个零件,问总重量大于1202kg的概率是多少？
解 : 设Xi表示第i个零件重量,(i 1, 2...,1200),
则每个Xi～U (0.95,1.05),于是 :
1500
记 i ,由独立同分布中心极限定理,近似的有 :
i 1
~ N (1500 0,1500 1 ) N (0, 1500),
12
12
于是: P( 15) 1 P( 15)
1 P( 0 15 )
1500 /12 1500 /12
2 2(1.34) 0.18024.
1
推论（伯努利大数定律）设 nA为n重伯努利试验中A
发生的次数，p P( A), 则对任给常数 0, 有
lim
n
P
nA n
p
1
即 事件A的频率依概率收敛于A的概率。这是用频率
近似代替概率的理论依据。
证设
1, 第i次试验中A发生
i 0，第i次试验中A发生 ,
则
i Ei p, Di p(1 p) 1,
c(i 1,2, ;c为常数)，
前n个随机变量的算术平均
lim
n
P
1 n
n
i
i 1
1 n
n i 1
i
1
证
D
1 n
n i 1
i
1 n2
n i 1
D i
1 nc c
n2
n
由切比雪夫不等式
1
P
1 n
n
i
i1
1 n
n i1
1
1
i
1
D
1 n
n i1
i
2
c 1
n 2
第四章 大数定律与中心极限定理
大数定律从理论上解决：
用频率近似代替概率问题： P( A) nA n
用样本均值近似代替理论均值问题： E x
中心极限定理阐述：独立随机变量之和以正态分 布为极限分布， 即 用正态分布作近似计算。
定义4.1 若存在常数a，使对任给常数 0 ,有
lim
n
P{|
n
a
|
1
n
n i 1
i
nA n
,
1 n
n i 1
i
np n
p,
由定理4.1得证。
定理4.2（辛钦Khinchine大数定律）设 1 ,2 ,
相互独立且同分布，Ei (i 1,2, ), 则对任何 0,有
lim
n
P
1 n
n i 1
i
1
即 独立同分布随机变量的算术平均依概率收敛于
理论均值。
n
x
1
x t2
e 2 dt
( x)
2
n
n
n
令 i , 有 E Ei n, D Di n 2
i 1
i 1
i 1
当n充分大时， n i ~ N (n, n 2 ) (近似)
i 1
n ～N (0,1) （近似）
n
注意：不必知道 i的确切分布，只要求独立、同分布。
条件还隐含了每个 i
0.95
补例:设~e(),用切比雪夫不等式估计
P
1
(
C)
A. 1 B. 2 C. 4 D. 1 4
例：EX 2,EY 2,DX 1,DY 4, XY 0.5,
由切比雪夫不等式，P{ X Y 6} (1/12)
定理4.1（切比雪夫大数定律）设 1 ,2 , 相互独立，
E则对i 任何i , Di 0, 有i2
对总和
n
i
的影响不大。
i 1
定理的实际意义：…
补例（P.113A.3）设一袋味精的重量是随机变量，平
均值100克，标准差2克。求100袋味精的重量超过
10.05公斤的概率。
分布
解 设 i 表示第 i 袋味精的重量，
未知
且可以E认i 为1001 ,,2 ,D,i1040是独(i 立 1同,2分,布,1的10000，)
设所有的取整误差是相互独立的,且都在 [-0. 5,0.5]上服从均匀分布. 若将1500个数相加，求误差总和的绝对值超过15的概率.
解 : 设i表示第i次取整误差,
则每个i～U[0.5,0.5],于是 : E(i
(i 1, 2...,1500),
)Biblioteka Baidu
0,
D(i )
(0.5 0.5)2 12
1 12
0.95 1.05
E(Xi)
1200
2
1,
(1.05 0.95)2 1
D(Xi )
12
1200
记X Xi ,由独立同分布中心极限定理,近似的有 :
i 1
X ~ N (12001,1200
~ B(10000, 0.7) (P{6800 7200}
E np 10000 0.7
7199
7000,
Ck 10000
0.7k
0.310000k
)
k 6801
D 10000 0.7 0.3 2100
P{6800 7200} P{| 7000 | 200}
1
2100 2002
证 （对连续型） 设 ~ f ( x), 则
P{| E | } 12 f ( x)dx |x E |
( | x E | 1)
|x E |
( x E )2
f ( x)dx
2
1
( x E )2 f ( x)dx
2
1 D 2
补例（P.113A.2) 有10000盏电灯，夜晚每盏灯开灯的 概率均为0.7。各电灯开、关相互独立。估计：同时开 着的灯的数量在6800至7200之间的概率。 解 设 表示同时开着的灯的数量， 则
由定理4.1
lim
n
P
1 n
n
i
i 1
1 n
n i 1
i
1
§4.2 中心极限定理
定理4.3（林德伯格－列维Lindberg-Levy定理）
设随机变量 1 ,2 , 相互独立且同分布，
Ei , Di 2 (0 2 , i 1,2, ), 则对任何实数 x，有
n
i n
lim P i1 n