大数定律和中心极限定理资料.
中心极限定理和大数定律
中心极限定理和大数定律中心极限定理和大数定律是统计学中非常重要的两个概念。
它们在统计学中被广泛应用，对于理解随机事件的规律性和分析数据具有重要意义。
本文将对中心极限定理和大数定律进行详细的阐述。
一、中心极限定理1. 定义中心极限定理是指当样本量足够大时，样本均值的分布近似于正态分布。
也就是说，如果我们从总体中抽取足够多的样本，并计算每个样本的平均值，那么这些平均值将近似于正态分布。
2. 原理中心极限定理的原理可以用数学公式表示为：当n趋向于无穷大时，样本均值（Xbar）服从正态分布N（μ,σ^2/n）。
其中，μ代表总体均值，σ代表总体标准差。
3. 应用中心极限定理在实际应用中非常广泛。
例如，在质量控制过程中，我们可以通过抽取一小部分产品进行检测，并根据检测结果推断整个批次产品的质量状况。
而根据中心极限定理，我们可以通过抽取足够多的样本并计算样本均值，来推断总体均值和标准差，从而判断整个批次产品的质量是否符合要求。
二、大数定律1. 定义大数定律是指当样本量足够大时，样本平均值趋近于总体平均值。
也就是说，如果我们从总体中抽取足够多的样本，并计算每个样本的平均值，那么这些平均值将趋近于总体的平均值。
2. 原理大数定律的原理可以用数学公式表示为：当n趋向于无穷大时，样本均值（Xbar）趋近于总体均值（μ）。
3. 应用大数定律在实际应用中也非常广泛。
例如，在股票市场中，我们可以通过抽取一小部分股票进行分析，并根据分析结果预测整个市场的走势。
而根据大数定律，我们可以通过抽取足够多的股票并计算它们的收益率，来推断整个市场的平均收益率和风险水平。
三、中心极限定理和大数定律之间的关系1. 相似性中心极限定理和大数定律都是关于样本均值的定理，它们都是基于样本量足够大的前提条件下成立的。
2. 区别中心极限定理和大数定律的主要区别在于它们所描述的内容不同。
中心极限定理描述了样本均值的分布情况，而大数定律描述了样本均值与总体均值之间的关系。
大数定律和中心极限定理
大数定律和中心极限定理1 大数定律这里强调的是总体与样本大数定律就是说：当随机事件发生的次数足够多时，发生的频率趋近于预期的概率大数定律说的是当随机事件重复多次时频率的稳定性，随着试验次数的增加，事件发生的频率趋近于预期的“概率”2 赌徒缪误：1，2，4，8-----在赌钱时——输了就翻倍，一直到赢为止有人说：如果已经连续4次出现正面，接下来的第5次还是正面的话，就接连有5次“正面”，根据概率论，连抛5次正面的几率是1/25=1/32。
所以，第5次正面的机会只有1/32，而不是1/2。
以上混淆了“在硬币第1次抛出之前，预测接连抛5次均为正的概率”和“抛了4次正之后，第5次为正的概率”，既（11111）---- 1/32，(1111)1 ---- 1/2。
3 中心极限定理3.1 大数定律和中心极限定理的关系：上面通过赌徒谬误介绍了概率论中的大数定律。
大数定律说的是当随机事件重复多次时频率的稳定性，随着试验次数的增加，事件发生的频率趋近于预期的“概率”。
但大数定律并未涉及概率之分布问题。
此外大数定律说明了在一定条件下，当系统的个体足够多时，系统的算数平均值会集中在期望位置。
从这个角度，中心极限定理包含了大数定律。
因为中心极限定理在于揭示系统在期望附近的统计性质，即“以何种方式”集中在期望。
总的来说就是——大数定律反映的是频率->概率（或者认为广义的期望）；而中心极限定理反映的是——在整体结果下，结果内部发生各种情况下的一个概率分布情况。
3.2 那什么是中心极限定理？中心极限定理指的是分别适用于不同条件的一组定理，但基本可以用一句通俗的话来概括它们：大量相互独立的随机变量，其求和后的平均值以正态分布（即钟形曲线）为极限。
Eg：以二项分布为例进行解释（抛硬币）对于抛n次硬币，出现正面k次的一个分布情况，如下：但是对于二项分布不一定是对对称的，除了受抛的次数n影响，还受对应的概率p的影响3.3 晋级再后来，中心极限定理的条件逐渐从二项分布推广到独立同分布随机序列，以及不同分布的随机序列。
(完整版)大数定律和中心极限定理
第五章 大数定律和中心极限定理一、内容提要（一）切贝谢夫不等式 1. 切贝谢夫不等式的内容设随机变量X 具有有限的数学期望E （X ）和方差D （X ），则对任何正数ε，下列不等式成立。
(){}()(){}().1,22εεεεX D X E X P X D X E X P -≤-≤≥-2. 切贝谢夫不等式的意义（1）只要知道随机变量X 的数学期望和方差（不须知道分布律），利用切贝谢夫不等式，就能够对事件(){}ε≥-X E X 的概率做出估计，这是它的最大优点，今后在理论推导及实际应用中都常用到切贝谢夫不等式。
（2）不足之处为要计算(){}ε≥-X E X P 的值时，切贝谢夫不等式就无能为力，只有知道分布密度或分布函数才能解决。
另外，利用本不等式估值时精确性也不够。
（3）当X 的方差D (X )越小时，(){}ε≥-X E X P 的值也越小，表明X 与E (X )有较大“偏差”的可能性也较小，显示出D (X )确是刻画X 与E (X )偏差程度的一个量。
（二）依概率收敛如果对于任何ε＞0，事件{}ε a X n -的概率当n →∞时，趋于1，即{}1lim =-∞→ε a X P n n ，则称随机变量序列X 1,X 2,…,X n ,…当n →∞时依概率收敛于α。
（三）大数定律 1. 大数定律的内容（1）大数定律的一般提法若X 1,X 2,…,X n ,…是随机变量序列，如果存在一个常数序列α1,…,αn ,…，对任意ε＞0，恒有11lim 1=⎭⎬⎫⎩⎨⎧-∑=∞→ε n i n i n a X n P ， 则称序列{X n }服从大数定律（或大数法则）。
（2）切贝谢夫大数定律设随机变量X 1,X 2,…,X n ,…相互独立，分别有数学期望E(X i )和方差D(X i )，且它们的方差有公共上界C ，即()().,,,2,1, n i C X D i =≤则对于任意的ε＞0，恒有()111lim 11=⎭⎬⎫⎩⎨⎧-∑∑==∞→ε n i ni i i n X E n X n P 。
大数定律与中心极限定理总结
大数定律与中心极限定理总结大数定律和中心极限定理是概率论中两个重要的定理，它们可以帮助我们理解随机事件的规律性。
本文将对这两个定理进行总结，并提供相关参考内容。
一、大数定律：大数定律是概率论中的一个基本定理，它描述了随着随机事件的重复进行，样本均值逐渐趋近于其期望值的现象。
大数定律包括弱大数定律和强大数定律。
1. 弱大数定律：弱大数定律又称为辛钦定律，它是在较宽松的条件下得到的。
根据弱大数定律，当独立同分布的随机变量的期望存在时，它们的算术平均值会以很高的概率接近于它们的期望值。
参考内容：- H.W. Robbins, D. Siegmund. A Weak Law of Large Numbers for Partial Sums of Random Variables with Infinite Variance. The Annals of Probability, 21(1), 197-205.- Erdos, P. (1949). On a Family of Polynomial Identities Involving Sums of Random Variables. Bulletin of the American Mathematical Society, 55(6), 538-543.2. 强大数定律：强大数定律是在严格条件下得到的。
它指出，对于独立同分布的随机变量序列，样本均值会以概率1收敛到其期望值。
参考内容：- Gromov, M. (2014). Large Scale Geometry. European Mathematical Society, 9.- Petrov, V. V. (2012). Sums of Independent Random Variables. Springer Science & Business Media.二、中心极限定理：中心极限定理是概率论中的一个重要定理，它描述了大量独立随机变量之和的分布近似服从正态分布的现象。
大数定律与中心极限定理总结
大数定律与中心极限定理总结大数定律与中心极限定理是概率论与数理统计中的两个重要定理，用于描述随机变量序列的性质。
下面我将分别对这两个定理进行总结，并给出相关的参考内容。
一、大数定律大数定律是概率论中的一个基本定理，描述了随机变量序列的极限性质。
大数定律可以分为弱大数定律和强大数定律两种。
1. 弱大数定律弱大数定律是指对于一个随机变量序列，如果序列的均值存在，并且均值收敛于某个常数，那么这个序列就满足弱大数定律。
弱大数定律的代表是辛钦大数定律。
具体来说，如果一个随机变量序列X1, X2, ..., Xn，其中Xi是相互独立、同样分布的随机变量序列，它们的均值为μ，方差为σ^2。
那么对于任意给定的正数ε，有：lim(n→∞)P( |X1+X2+...+Xn)/n - μ| ≤ ε ) = 1这意味着当样本数量趋向于无穷大时，样本均值的概率逼近于1，即样本均值趋近于总体均值μ。
2. 强大数定律强大数定律是指对于一个随机变量序列，如果序列的均值存在，并且均值以概率1收敛于某个常数，那么这个序列就满足强大数定律。
强大数定律的代表是伯努利大数定律和切比雪夫大数定律。
伯努利大数定律是对于一个独立随机变量序列X1, X2, ..., Xn，其中每个随机变量取值为0或1，概率为p或1-p，那么对于任意给定的正数ε，有：lim(n→∞)P( |X1+X2+...+Xn)/n - p| ≤ ε ) = 1切比雪夫大数定律是对于一个独立随机变量序列X1, X2, ..., Xn，其具有相同的均值μ和方差σ^2，那么对于任意给定的正数ε，有：lim(n→∞)P( |X1+X2+...+Xn)/n - μ| ≤ ε ) = 1以上的大数定律说明了随机变量序列的均值具有稳定的性质，当样本数量足够大时，样本均值可以准确地反映总体均值。
二、中心极限定理中心极限定理是概率论与数理统计中的一个基本定理，描述了独立随机变量和的分布的极限性质。
大数定律与中心极限定理
大数定律与中心极限定理大数定律和中心极限定理是统计学中两个重要的概念，它们被广泛应用于概率论、数理统计以及各种实际问题的分析与推导中。
本文将详细介绍大数定律与中心极限定理的概念、原理及应用，以期帮助读者更好地理解和应用这两个定律。
一、大数定律大数定律是指在随机试验中，当试验次数趋于无穷时，样本均值趋近于总体均值的概率趋于1的现象。
简言之，大数定律说明了在重复独立试验的过程中，随着试验次数增加，样本均值与总体均值之间的差距将会逐渐减小。
大数定律有多种形式，其中最为著名的是弱大数定律和强大数定律。
弱大数定律也称为大数定律的辛钦特例，它是在满足一定条件下，样本均值趋近于总体均值的概率收敛于1。
而强大数定律则对样本均值的收敛速度和稳定性做出了更严格的要求。
在实际应用中，大数定律可以用来解释和预测各种现象。
例如，当进行大规模的舆情调查时，可以通过随机抽样的方式来获取一部分样本，然后利用大数定律来推断出总体的舆情倾向。
此外，在生产过程中对产品质量的控制和检验中，也可以使用大数定律来判断产品的批量质量是否合格。
二、中心极限定理中心极限定理是概率论中的一个重要定理，它说明了在某些条件下，当样本容量足够大时，样本均值的分布将近似服从于正态分布。
也就是说，无论总体分布是否服从正态分布，在大样本条件下，样本均值的分布都将趋于正态分布。
中心极限定理的重要性在于它提供了许多统计推断和参数估计的基础。
例如，在对总体均值进行估计时，可以利用样本均值的分布接近于正态分布来构建置信区间，从而对总体均值进行区间估计。
此外，中心极限定理还为假设检验提供了支持。
假设检验是统计推断的一种常用方法，通过对样本数据进行假设检验，可以判断总体参数是否与假设相符。
而中心极限定理则为假设检验提供了理论基础，使得假设检验的结果更加可靠和准确。
综上所述，大数定律和中心极限定理是统计学中两个重要的理论基础。
大数定律说明了随机试验中样本均值与总体均值的关系，而中心极限定理则揭示了样本均值的分布特征。
167;34大数定律和中心极限定理
1 n
nk1 Xk E(Xk)
(3)
1n nk1Xk
P
也就是当观察次数无限增多时，观察
结果的算术平均值几乎变成一个常数，不是随机的了。
定理2（贝努利大数定理）设n是n次独立试验 中事件A发生的次数，则对任意的正数有
lim P | np| 1 , 其P 中 A p
n n
引人随机变量
k=1,2,…则对任意实数 x有
n
Xk
n
lim Pk1`
x
x
1
t2
e 2dt
n
n
2
n
Xk n
(1)令Ynk1 n 的分布Fn函 x， 数那么
n l i F m （ nx ） n l i P m (Y nx) x 2 1e t2 2d t (x)
E n Xk n E(Xk)n, k1 k1
课内练习2. 某单位设置一电话总机，共有200架分机.设每个 电话分机是否使用外线通话是相互独立的. 设每时刻每个分 机有 5% 的概率要使用外线通话. 问总机需要多少外线才能 以不低于90%的概率保证每个分机要使用外线时可供使用？
设需要k条外线, X为某时刻通话的分, 机数 则 X ~ B (2,0 0 .0 0 )5 n , p 1,n 0 p 9 .5 q P(0Xk)kn npp q 0 nnpp q
|X n a | a X n a
Xn
a a a
或Xn落在（a - ε，a + ε ）的概率无限接近于1。
二、两个大数定理
定理1 ( 切比雪夫大数定律 ) 设X1,X2,…,Xn…是一
个随机变量序列, 且E(Xk)= ,D(Xk)=2 (k=1,2,…）
则对任意正数 , 有
大数定律及中心极限定理
定理1 （切比雪夫定理旳特殊情况）设随机变量序
列 X1,X2,…,Xn, ...相互独立，且具有相同旳数学期望
和方差： E(Xk)=，D(Xk)=2 (k=1,2,...) , 则对任意
旳
> 0，有
lim P n
1 n
n
Xi
i 1
1
即
X
1 n
第五章 大数定律及中心极限定理
§5.1 大数定律 §5.2 中心极限定理
§5.1 大数定律
定义1 设Y1, Y2 …,Yn ,...为一随机变量序列，a是常数， 若对任意正数，有
lim
则称随机变量序列Y1, Y2 ,…,Yn , ... 依概率收敛于a ，
记为: Yn P a
性质：设 Xn P a, Yn P b , g(x, y)在点(a, b)连续,
100
于是, 一盒螺丝钉旳重量为 X Xi i 1
且 E( X i ) 100, D( X i ) 10, n 100
由中心极限定理
100
P{ X 10200} P{ i 1
Xi
10200}
P
100
Xi
i 1
n
n
10200 n n
P
X
1000 100
10200 1000
Φ
k 120 48
Φ
120 48
0.999
k 141.48,
至少供电142千瓦,才干确保以不不大于99.9%旳概率正常工作.
例3 在人寿保险企业里,有3000个同一年龄旳人参加保险.设在
一年内这些人旳死亡率为0.1%, 参加保险旳人在一年旳头一天 交付保险费10元，死亡时，家眷可从保险企业领取2023元． 求 （1）保险企业一年中获利不不大于10000元旳概率；
大数定律及中心极限定理
返回主目录
第五章 大数定律及中心极限定理
例1
§2 中心极限定理
某车间有200台车床,它们独立地工作着,开工 率为0.6,开工时耗电各为1千瓦,问供电所至少要 供给这个车间多少电力才能以99.9%的概率保证 这个车间不会因供电不足而影响生产. 解: 记某时在工作着的车床 数为 X, X ~ B(200,0.6). 则 设至少要供给这个车间r千瓦电才能以99.9%的概率 保证这个车间不会因供电不足而影响生产.由题 r k 意有:P{ X ≤ r} = ∑ C200 (0.6) k (0.4) 200k
1
k
∑X n
n
= p (1 p ), k = 1, 2 , , n ,
i
p |< ε } = 1 ,
第五章 大数定律及中心极限定理
§1 大数定律
定理 4(辛钦大数定律) 设 X 1 ,, X n , 相互独立同分布,且 具有 数学期望 EX k = ,k = 1,2,, n, ,
则:对任意的ε > 0 ,有
k =1 k =1 n n
∑ DX
k =1
n
k
,
若对任意 x ∈ R1 ,有 nlim P{Z n ≤ x} = >∞
1 2π
Hale Waihona Puke ∞∫ext2 2
dt .
则称 { X n } 服从中心极限定理.
返回主目录
第五章 大数定律及中心极限定理
§2 中心极限定理
定理1 (独立同分布的中心极限定理) 设 X 1 ,, X n , 是独立同分布的随机变量序 列,且 EX k = ,DX k = σ 2 ≠ 0, (k = 1,2,) 则 { X n } 服从中心极限定理,即:
第5章__大数定律和中心极限定资料
解：设在n重贝努里试验中，事件A出现的次数为X，
则X Bn,0.75,E X np 0.75n, D X npq 0.1875n,
又A事件的频率为：fn
A
X n
(1) n 7500, P
0.74
X n
0.76
P X 0.75n
0.01n
1
0.1875n
0.01n 2
1 n2
n
DXk
k 1
1 n2
n 2
2
n
由契比雪夫不等式得：P
1 n
n k 1
Xk
1
2
2
n
lim
n
P
1 n
n
Xk
k 1
1
7
定理二 伯努利大数定理
设事件A在每次试验中发生的概率为p，记nA为n次独立重复试验
中A发生的次数, 则
0, 有：lim
P
n
nA n
p
1
证明： nA Bn, p
1,
则称随机变量序列Yn依概率收敛于常数a，
记为：Yn P a。
a a a
依概率收敛性质： 若 X n P a, Yn Pb, 且g(x, y)在(a,b)处 连续，则 g( X n ,Yn）P g(a,b)
6
定理一 契比雪夫定理的特殊情况：
设随机变量序列X1, X 2, , X n , 相互独立，且具有相同的
且存在数学期望，作前n个随机变量的算术平均： X
1 n
n k 1
Xk
则 0，有：
lim P
n
X
lim
n
P
1 n
n
Xk
k 1
第5章大数定律和中心极限定理资料
第5章 大数定律和中心极限定理本章教学基本要求1.了解切比雪夫不等式，会用该不等式估算某些事件的概率.2.了解相关大数定律.3.了解相关中心极限定理，会用定理近似计算事件的概率.5.1大数定律一、主要知识归纳1.切比雪夫不等式：设随机变量X 具有均值u X E =)(，方差2)(σ=X D ，则对于任意正数ε，有不等式 22}{εσε≤≥-u X P 成立.2. 切比雪夫大数定理：设随机变量⋅⋅⋅,,21X X 相互独立，均具有有限方差，且有公共上界，即C X D i <)( )2,1( =i ，则对于任意0>ε，有1})(11{lim 11=<-∑∑==∞→εni i n i i n X E n X n P 成立.3.辛钦大数定理：设⋅⋅⋅,,21X X 相互独立，服从同一分布的随机变量序列，且具有数学期望u X E k =)(),2,1(⋅⋅⋅=k .作前n 个变量的算术平均值∑=ni i X n 11，则对于任意0>ε，有1}1{lim 1=<-∑=∞→εu X n P ni i n 成立 4.伯努利大数定理：设X 是n 次重复独立试验中事件A 发生的次数，)10(<<p p 是在一次试验中事件A 发生的概率，则对于任意正数ε，有0}{lim =≥-∞→εp nXP n 成立.二、基础练习1．设随机变量X 的数学期望u X E =)(，方差2)(σ=X D ，试利用切比雪夫不等式估计下列概率值：（1）}{σ≥-u X P （2）}3{σ≥-u X P .2．用切比雪夫不等式估计200个新生儿中,男孩多于80个且少于120个的概率(假定生男孩和女孩的概率均为0.5)3.设随机变量n X X X ,,,21⋅⋅⋅是独立同分布的随机变量，其分布函数为)0(arctan 1)(≠+=b bxa x F π，则辛钦大数定理对此序列（ ） A 适用 B 当常数a 、b 取适当数值时适用 C 不适用 D 无法判断5.2中心极限定理一、主要知识归纳：1.独立同分布中心极限定理:设随机变量n X X X ,,,21⋅⋅⋅相互独立服从同一分布，且具有有限的均值与方差，则对任意实数x 有⎰∑∑∑∞--===∞→=<-xt ni i ni i ni in dt ex X D X E XP 2111221})()({lim π成立.2.棣莫佛-拉普拉斯（De Moivre-Laplace ）定理:设X ～),(p n B ，则对任意实数x ，有)(21})1({lim 22x dt ex p np np X P t xn Φ==<---∞-∞→⎰π成立.二、基础练习1.一加法器同时收到20个噪声电压k V )20,,2,1(⋅⋅⋅=k ，设它们是相互独立的随机变量，且都在区间)10,0(上服从均匀分布.记∑==201k kVV ，求}105{>V P 的近似值.2.对于一个学生而言，来参加家长会的家人是一个随机变量，设一个学生无家长、1名家长、2名家长来参加会议的概率分别为0.05、0.8、0.15.若学校共有400名学生，设各学生参加会议的家长人数相互独立，且服从同一分布. （1）求参加会议的家长人数X 超过450的概率；（2）求有1名家长来参加会议的学生人数不多于340的概率.本章小结一 本章知识结构图二、综合练习1. 设随机变量X 的数学期望100)(=X E ，方差10)(=X D ，则由切比雪夫不等式有______}12080{≥<<X P .2.一颗骰子连续掷4次,点数总和为X .估计}1810{<<X P .3.生产灯泡的合格率为0.6,求10000个灯泡中合格数在5800~6200的概率.4.一大批种蛋中,良种蛋占80%.从中任取500枚,求其中良种蛋率未超过81%的概率.5.某商店负责供应某地区1000人商品,某种商品在一段时间内每人需用一件的概率为0.6,假定在这一段时间个人购买与否彼此无关,问商店应预备多少件这种商品,才能以99.7%的概率保证不会脱销(假定该商品在某一段时间内每人最多可以买一件).6.对敌人的防御阵地进行100次轰炸，每次轰炸命中目标的炸弹数目是一个随机变量，其数学期望是2，方差是1.69，求在100次轰炸中有180颗到220颗炸弹命中目标的概率.7.设)50,,2,1( =i X i 是相互独立的随机变量,且它们都服从参数为03.0=λ的泊松分布.记5021X X X Z +++= ,利用中心极限定理计算}3{≥Z P8.设某种器件使用寿命(单位:小时)服从指数分布,其平均使用寿命为20小时,具体使用时是当以器件损坏后立即更换另一新器件,如此继续,已知每个器件进价为a 元,试求在年计划中应为此器件作多少元预算,才可以有95%的把握一年够用(假定一年有2000个工作小时).三、单元测试一、 填空题：（每小题5分，共20分）1．设随机变量X 与Y 相互独立，且1)(-=X E ，1)(=Y E ，2)(2=X E ，3)(2=Y E ，则由切比雪夫不等式有______}6{≥<+Y X P .2．设n X X X ,,,21⋅⋅⋅是n 个相互独立同分布的随机变量，u X E i =)(，8)(=i X D ，),,2,1(n i ⋅⋅⋅=，对于∑==ni inX X 1，则______}{≤≥-εu X P ，______}4{≥<-u X P . 3．设X ～)6.0,200(B ，当999.0}{≥≤k X P 时，则______≥k . 4．设随机变量10021,,,X X X ⋅⋅⋅相互独立同分布，且1!1}{-==e k k X P i ，⋅⋅⋅=,2,1k ，则______}120{1001=<∑=i i X P .二、选择题：（每小题5分，共20分）1．设随机变量X ～),(2σu N ，则随σ的增大，概率}{σ<-u X P 是（ ） A 单调增大 B 单调减少 C 保持不变 D 增减不定2．设⋅⋅⋅,,21X X 为独立同分布序列，且i X ),2,1(⋅⋅⋅=i 服从参数为λ的指数分布，则（ ）其中dt ex Y t x2221)(-∞-⎰=π.A )(}{lim 1x Y x nnX p ni i n =≤-∑=+∞→λ B )(}{lim 1x Y x nnXp ni in =≤-∑=+∞→C )(}{lim 1x Y x nXp ni in =≤-∑=+∞→λλD )(}{lim 1x Y x n Xp ni in =≤-∑=+∞→λλ3．设随机变量921,,,X X X ⋅⋅⋅相互独立同分布，1)(=i X E ，1)(=i X D ，)9,,2,1(⋅⋅⋅=i ，令∑==919i iXS ，则对任意0>ε，从切比雪夫不等式直接可得（ ）A 2911}1{εε-><-S P B 2991}9{εε-≥<-S PC 2911}9{εε-><-S P D 2911}191{εε-≥<-S P4．假设随机变量⋅⋅⋅,,21X X 相互独立且服从同参数λ的泊松分布，则下面随机变量序列中不满足切比雪夫大数定律的是（ ）A ⋅⋅⋅⋅⋅⋅,,,,21n X X XB ⋅⋅⋅+⋅⋅⋅++,,,2,121n X X X nC ⋅⋅⋅⋅⋅⋅,1,,21,21n X nX X D ⋅⋅⋅⋅⋅⋅,,,2,21n nX X X 三、计算题：（每小题12分，共60分）1．已知正常成人男性血液中，每一毫升含白细胞数平均为7300，均方差为700，试利用切比雪夫不等式估计每毫升含白细胞数在5200至9400之间的概率.2．设各零件的重要都是随机变量，它们相互独立，且服从相同的分布，其数学期望为0.5公斤，均方差为0.1公斤.问5000只零件的总重量超过2510公斤的概率是多少？3．一部件包括10个部分，每部分的长度是一个随机变量，它们相互独立，且服从同一分布，其数学期望为2毫米，均方差为0.05毫米.规定总长度为20±0.1毫米时产品合格，试求产品合格的概率.4．某工厂生产炭末电阻，在正常生产情况下，废品的概率为0.01，今取500个装成一盒，问废品不超过5个的概率是多少？5．有一批建筑房屋用的木柱，其中80%的长度不小于3米，现从木柱中随机取出100根，问其中至少有30根短于3米的概率是多少？第6章 数理统计基础知识本章教学基本要求1.理解总体、样本、统计量等基本概念，了解经验分布函数。
5第五章大数定律与中心极限定理资料
例1
某人要测量甲、乙两地之间的距离。限于测量
工具，他分成 1200 段来测量。 每段测量误差（单位：
厘米）服从于（-0.5, 0.5)上的均匀分布。求总距离误 差的绝对值超过20厘米的概率。
解
设第k 段的测量误差为 X k
k 1,2,,1200.
,1200.
且 X 1 , X 2 ,, X 1200 是独立同分布的随机变量。且
定理1（独立同分布的中心及限定理）
设 X1, X 2 ,
, Xn,
相互独立， 且服从同一分布，
即独立同分布，且具有相同的期望和方差
E X k , D X k 2 0, k 1,2, , n.
则
n X i n i 1 lim P x ( x) n n
X
i 1
n
i
在什么条件下趋于什么分布。
§5.1 大数定律
大数定律的客观背景
大量抛掷硬币 正面出现频率
生产过程中的 字母使用频率 废品率
大量的随机现象中平均结果的稳定性
几个常见的大数定律
定理1（切比雪夫大数定律） 设 X1 , X2 , … 是一列相互独立的随机变量序列，
2 它们都有相同的数学期望 E ( X i ) 和方差D （X ） i
P70 X 86
npq 16 4
1.5 2.5 1 0.9332 0.9938 1 0.927
86 80 70 80 4 4
P X 80 1 P X 80 1 0 0.5
第五章 大数定律与中心极限定理
§5.1 大数定律
§5.2 中心极限定理
大数定律与中心极限定理
大数定律与中心极限定理大数定律和中心极限定理是概率论中两个重要的定理，它们分别描述了随机变量序列的极限行为。
在统计学和概率论中，这两个定理被广泛应用于估计和推断，对于理解随机现象的规律具有重要意义。
一、大数定律大数定律是概率论中的一个基本定理，它描述了独立同分布随机变量序列的均值在概率意义下收敛于其数学期望的现象。
大数定律分为弱大数定律和强大数定律两种形式。
1. 弱大数定律弱大数定律又称为辛钦大数定律，它是概率论中最早被证明的大数定律之一。
弱大数定律指出，对于独立同分布的随机变量序列$X_1, X_2, \cdots, X_n$，如果这些随机变量的数学期望存在且有限，记为$E(X_i)=\mu$，则随着样本量$n$的增大，样本均值$\bar{X}_n=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i$以概率1收敛于数学期望$\mu$，即$\lim_{n \to \infty}P(|\bar{X}_n-\mu|<\varepsilon)=1$，其中$\varepsilon$为任意小的正数。
弱大数定律的直观解释是，随着样本量的增加，样本均值会逐渐接近总体均值，即样本的平均表现会趋向于总体的真实情况。
这一定律在统计学中有着广泛的应用，例如在抽样调查、质量控制等领域中被频繁使用。
2. 强大数定律强大数定律是大数定律的另一种形式，它要求更高，即要求随机变量序列的方差有限。
强大数定律指出，对于独立同分布的随机变量序列$X_1, X_2, \cdots, X_n$，如果这些随机变量的方差存在且有限，记为$Var(X_i)=\sigma^2$，则随着样本量$n$的增大，样本均值$\bar{X}_n$以概率1收敛于数学期望$\mu$，即$\lim_{n \to\infty}P(\bar{X}_n=\mu)=1$。
强大数定律相比于弱大数定律更加严格，要求随机变量序列的方差有限，但在实际应用中，强大数定律的条件并不总是成立。
大数定律与中心极限定理
大数定律与中心极限定理大数定律和中心极限定理是数理统计中的两个重要概念，它们描述了随机现象的统计规律。
本文将介绍大数定律和中心极限定理的定义、作用和应用，并分析它们在实际问题中的重要性。
一、大数定律大数定律是指在独立重复试验中，随着试验次数的增加，随机变量的平均值会趋向于其数学期望。
大数定律分为两种形式：辛钦大数定律和伯努利大数定律。
辛钦大数定律是指对于独立同分布的随机变量序列，其算术平均值会以概率1收敛于其数学期望。
也就是说，随着试验次数的增加，随机变量的平均值将无限接近于其数学期望，而且以极高的概率收敛。
伯努利大数定律是指对于一系列相互独立的伯努利试验，当试验次数趋向于无穷大时，随机变量的频率会趋向于其概率。
也就是说，当我们对一个随机事件进行大量重复试验时，事件发生的频率将逐渐接近事件发生的概率。
大数定律的作用在于揭示了随机现象的规律性。
通过大数定律，我们可以准确估计随机变量的期望值或概率，并且通过增加样本量可以提高估计的准确性。
在实际应用中，大数定律常被用于统计推断、抽样调查、质量控制等领域。
二、中心极限定理中心极限定理是指在一定条件下，大量独立随机变量的和的分布近似于正态分布。
中心极限定理包括李雅普诺夫中心极限定理、林德伯格-列维中心极限定理和伯努利-拉普拉斯中心极限定理。
李雅普诺夫中心极限定理适用于具有有限方差的独立同分布随机变量序列。
当样本量足够大时，这些随机变量的和的分布将接近于正态分布。
林德伯格-列维中心极限定理适用于具有相同数学期望和方差的独立随机变量序列。
同样地，随着样本量的增加，这些随机变量的和的分布将趋于正态分布。
伯努利-拉普拉斯中心极限定理适用于大量相互独立的伯努利试验。
当重复伯努利试验的次数很大时，事件发生的次数将近似于正态分布。
中心极限定理的作用在于在不知道总体分布的情况下，通过大样本推断总体的统计规律。
它对于统计推断、假设检验、置信区间估计等方面具有重要意义。
总结起来，大数定律和中心极限定理是数理统计中两个基本的定理，它们揭示了随机现象的统计规律，为我们处理随机数据提供了重要依据。
大数定律和中心极限定理
大数定律和中心极限定理大数定律（Law of Large Numbers）是概率论中的一个重要定理，它揭示了在一系列独立随机事件中，随着样本量的增大，样本均值将趋于总体均值的规律。
中心极限定理（Central Limit Theorem）则是统计学中的一项基本定理，它说明了在大样本条件下，一组独立随机变量的和具有近似正态分布的特性。
两个定理在统计分析和推断中都起到了重要作用。
大数定律（Law of Large Numbers）大数定律是概率论中的一个基础定理，它描述了独立随机事件的平均值在大样本条件下会无限接近于事件的真实概率。
根据大数定律，当独立随机事件重复进行时，样本均值将逐渐接近总体均值。
大数定律有两种形式：辛钦大数定律和伯努利大数定律。
辛钦大数定律是指当随机变量的期望存在时，样本均值以概率1收敛于期望值。
也就是说，无论一个事件发生的可能性有多小，只要重复进行足够多的实验，该事件发生的频率将无限接近于其概率。
伯努利大数定律是针对二项分布的情况，它说明了在一系列独立重复的二项试验中，随着试验次数的增加，事件发生的频率将逐渐接近于事件的概率。
大数定律在实际应用中有着广泛的作用。
例如，投资者根据历史数据计算股票收益率的期望，大数定律告诉我们当样本容量足够大时，计算得到的样本均值将逼近真实的期望收益率，从而提供了对未来股票表现的一定参考。
中心极限定理（Central Limit Theorem）中心极限定理是统计学中的一项基本定理，它指出在大样本条件下，一组独立随机变量的和具有近似正态分布的特性。
中心极限定理是统计学中推断的基础，它的重要性在于它使得我们可以利用正态分布的性质进行概率和置信区间的计算。
中心极限定理的表述可以分为两种形式：李雅普诺夫型和林德伯格-李维定理。
李雅普诺夫型定理给出了随机变量和的分布函数收敛到正态分布的条件，其中随机变量可以不是独立同分布的。
林德伯格-李维定理则是对独立同分布随机变量和的和近似服从正态分布的定理。
3.8大数定律及中心极限定理
一. 大数定律 二. 中心极限定理
大数定律的客观背景
事件的频率在大样本下具有稳定性，即随着试验次数的 增加，事件的频率逐渐稳定于某个常数. 大量测量值的平均值 也具有这种稳定性，这种稳定性就是大数定律的客观背景.
大量抛掷硬币 正面出现频率
生产过程中的 废品率
某字母使用 频率
n
lim P{|
1 1 X EX i | } 1 i n i 1 n i 1
n
n
契比雪夫
推论：在上述定理中，令 则有，
n
E X k
k 1,2,
1 n (X Xk ) n k 1
lim P{| X | } 1
切比雪夫大数定律表明，在一定条件下，n个随机变量的 算术平均值依概率收敛于常数。 即，当n充分大时，它几乎为常数，这为估计期望值提供了一 条切实可行的途径。
DX
np( 1 p ) 10000 0.7 0.3 45.83
P{ 6800 X 7200 } 7200 7000 6800 7000 45.83 45.83 4.36 4.36 2 4.36 1 0.99999
n
P a. 记 Xn
2、伯努利大数定律 定理1、 设nA是n重伯努利试验中事件A发生的 次数，p是事件A在每次试验中发生的概率， 则对任给的ε> 0， nA nA lim P{| p | } 0 lim P{| p | } 1 或 n n n n
定理4（林德伯格-列维中心极限定理 ）设随机变量 X1,X2,…,Xn,...相互独立，服从同一分布，且
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
设所有的取整误差是相互独立的,且都在 [-0. 5,0.5]上服从均匀分布. 若将1500个数相加，求误差总和的绝对值超过15的概率.
解 : 设i表示第i次取整误差,
则每个i～U[0.5,0.5],于是 : E(i
(i 1, 2...,1500),
)
0,
D(i )
(0.5 0.5)2 12
1 12
又设 表示100袋味精的重量，则 i , E 10000,
D
400，由中心极限定理,
i 1
～N (10000,400)
(近似)
所求概率为：P{ 10050} 1 P{ 10050}
1
F
(10050)
1
10050 10000 20
1
(2.5)
0.00621
例1：计算机在进行加法时，每个加数取整数。
n
x
1
x t2
e 2 dt
( x)
2
n
n
n
令 i , 有 E Ei n, D Di n 2
i 1
i 1
i 1
当n充分大时， n i ~ N (n, n 2 ) (近似)
i 1
n ～N (0,1) （近似）
n
注意：不必知道 i的确切分布，只要求独立、同分布。
条件还隐含了每个 i
补例：用一机床制造大小相同的零件,由于随机误差，
每个零件的重量在(0.95，1.05)(kg)上均匀分布.设每个零件重量 相互独立,制造1200个零件,问总重量大于1202kg的概率是多少？
解 : 设Xi表示第i个零件重量,(i 1, 2...,1200),
则每个Xi～U (0.95,1.05),于是 :
对总和
n
i
的影响不大。
i 1
定理的实际意义：…
补例（P.113A.3）设一袋味精的重量是随机变量，平
均值100克，标准差2克。求100袋味精的重量超过
10.05公斤的概率。
分布
解 设 i 表示第 i 袋味精的重量，
未知
且可以E认i 为1001 ,,2 ,D,i1040是独(i 立 1同,2分,布,1的10000，)
证 （对连续型） 设 ~ f ( x), 则
P{| E | } 12 f ( x)dx |x E |
( | x E | 1)
|x E |
( x E )2
f ( x)dx
2
1
( x E )2 f ( x)dx
2
1 D 2
补例（P.113A.2) 有10000盏电灯，夜晚每盏灯开灯的 概率均为0.7。各电灯开、关相互独立。估计：同时开 着的灯的数量在6800至7200之间的概率。 解 设 表示同时开着的灯的数量， 则
0.95 1.05
E(Xi)
1200
2
1,
(1.05 0.95)2 1
D(Xi )
12
1200
记X Xi ,由独立同分布中心极限定理,近似的有 :
i 1
X ~ N (12001,1200
c(i 1,2, ;c为常数)，
前n个随机变量的算术平均
lim
n
P
1 n
n
i
i 1
1 n
n i 1
i
1
证
D
1 n
n i 1
i
1 n2
n i 1
D i
1 nc c
n2
n
由切比雪夫不等式
1
P
1 n
n
i
i1
1 n
n i1
1
1
i
1
D
1 n
n i1
i
2
c 1
n 2
0.95
补例:设~e(),用切比雪夫不等式估计
P
1
(
C)
A. 1 B. 2 C. 4 D. 1 4
例：EX 2,EY 2,DX 1,DY 4, XY 0.5,
由切比雪夫不等式，P{ X Y 6} (1/12)
定理4.1（切比雪夫大数定律）设 1 ,2 , 相互独立，
E则对i 任何i , Di 0, 有i2
由定理4.1
lim
n
P
1 n
n
i
i 1
1 n
n i 1
i
1
§4.2 中心极限定理
定理4.3（林德伯格－列维Lindberg-Levy定理）
设随机变量 1 ,2 , 相互独立且同分布，
Ei , Di 2 (0 2 , i 1,2, ), 则对任何实数 x，有
n
i n
lim P i1 n
1
推论（伯努利大数定律）设 nA为n重伯努利试验中A
发生的次数，p P( A), 则对任给常数 0, 有
lim
n
P
nA n
p
1
即 事件A的频率依概率收敛于A的概率。这是用频率
近似代替概率的理论依据。
证设
1, 第i次试验中A发生
i 0，第i次试验中A发生 ,
则
i Ei p, Di p(1 p) 1,
~ B(10000, 0.7) (P{6800 7200}
E np 10000 0.7
7199
7000,
Ck 10000
0.7k
0.310000k
)
k 6801
D 10000 0.7 0.3 2100
P{6800 7200} P{| 7000 | 200}
1
2100 2002
1500
记 i ,由独立同分布中心极限定理,近似的有 :
i 1
~ N (1500 0,1500 1 ) N (0, 1500),
12
12
于是: P( 15) 1 P( 15)
1 P( 0 15 )
1500 /12 1500 /12
2 2(1.34) 0.18024.
1
n
n i 1
i
nA n
,
1 n
n i 1
i
np n
p,
由定理4.1得证。
定理4.2（辛钦Khinchine大数定律）设 1 ,2 ,
相互独立且同分布，Ei (i 1,2, ), 则对任何 0,有
lim
n
P
1 n
n i 1
i
1
即 独立同分布随机变量的算术平均依概率收敛于
理论均值。
}
1
则称随机变量序列 {n } 依概率收敛于a 。
当n充分大时，几乎所有的n 都落在a的 邻域内。
(n a•
)
切比雪夫(Chebyshev) 不等式 设 的期望E和方
差D存在，则对任给常数 0 ，有
P{| E | } D
2
或
P{|
E|Leabharlann }1D 2
(
•)
E
只要期望和方差存在，可用上式估计上述事件的概率。
第四章 大数定律与中心极限定理
大数定律从理论上解决：
用频率近似代替概率问题： P( A) nA n
用样本均值近似代替理论均值问题： E x
中心极限定理阐述：独立随机变量之和以正态分 布为极限分布， 即 用正态分布作近似计算。
定义4.1 若存在常数a，使对任给常数 0 ,有
lim
n
P{|
n
a
|