21曲线与方程30628

曲线和方程之间有什么对应关系呢？
(1)第一、三象限里两轴间夹角平分线的方程是 x-y=0.
第一、三象限角平分线 l 点的横坐标与纵坐标相等 条件
曲线
x=y（或x- y=0）方程
l y x-y=0 0x
含有关系：
（1） l上点的坐标都是方程x-y=0的解
（2）以方程x-y=0的解为坐标的点都
在 l上
∴说直线 l 的方程是 x y 0 ,又说方程 x y 0 的直线是 l .
定义: 一般地,在直角坐标系中,如果某曲线C(看作 点的集合或适合某种条件的点的轨迹)与二元方 程f(x,y)=0的实数解 (2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点.
布置作业:课本练习第2题 习题A1、
一、方程的曲线和曲线的方程: ⑴曲线上的点的坐标都是方程的解;(纯粹性) ⑵以方程的解为坐标的点都在曲线上;(完备性)
就说这条曲线是这个方程的曲线,这个方程是
这条曲线的方程.
二、坐标法 形成 解析几何
在平面上建立直角坐标系:
y
f(x,y)=0
点 一一对应 坐标(x,y)
两边开方取算术根，得
x02 y02 5,
即点M (x0,y0)到坐标原点的距离等于5，点M (x0,y0)是这个
圆上的一点.
由(1)、(2)可知， x2 +y2 = 25,是以坐标原点为圆 心，半径等于5的圆的方程.
小结
归纳: 证明已知曲线的方程的方法和步骤 第一步，设M (x0,y0)是曲线C上任一点，
0
曲线 坐标化 曲线的方程
研究
平面解析几何研究的主要问题是：
x
迪卡尔
1.求曲线的方程; 2.通过方程研究曲线的性质.
问题 1.
设 A、B 两点的坐标是 (-1,-1)、(3,7), 求线段 AB 的垂直平分线的方程.
如何求曲线的方程?
法一:运用现成的结论──直线方程的知识来求.
解:∵ kAB 又∵线段
证明(x0,y0)是f(x,y)=0的解； 第二步，设(x0,y0)是f(x,y)=0的解，证明 点M (x0,y0)在曲线C上.
变式练习
课堂练习1:下列各题中，下图各曲线的曲线方 程是所列出的方程吗？为什么？
(1)曲线C为过点A(1，1)，B(-1，1)的
折线(如图(1))其方程为(x-y)(x+y)=0; 不是
证明：与两条坐标轴的距离的积是常数 k(k 0) 的点的轨迹方程是 xy k .
自学课本 P35 例 1
例2 证明以坐标原点为圆心，半径等于5的圆的
方程是x2 +y2 = 25.
证明：(1)设M(x0,y0)是圆上任意一点.因为点M到坐标原点的距
离等于5，所以
x02 y02 5,
也就是x02 +yo2 = 25. 即 (x0,y0) 是方程x2 +y2 = 25的解. (2)设 (x0,y0) 是方程x2 +y2 = 25的解，那么x02 +y02 = 25
❖ 那么,这个方程f(x,y)=0叫做
y
f(x,y)=0
这条曲线C的方程;
❖ 这条曲线C叫做这个方程f(x,y)=0
0
x
的曲线.
说明:1.曲线的方程——反映的是图形所满足的数量关系; 方程的曲线——反映的是数量关系所表示的图形.
继续
例1判断下列结论的正误并说明理由 对 (1)过点A（3，0）且垂直于x轴的直线 的方程为x=3; 错 (2)到 x 轴距离为 2 的点的轨迹方程为 y=2 ; 错 (3)到两坐标轴距离乘积等于k 的点的 轨迹方程为xy=k.
解:设 M(x,y)是线段 AB 的垂直平分线上的任一点,
则 |MA|=|MB|
需要尝试、摸索
先找曲线上的点满足的几何条件
∴ (x 1)2 ( y 1)2 (x 3)2 ( y 7)2 坐标化
∴ x2 2x 1 y2 2y 1 x2 6x 9 y2 14y 49 化简
∴ x 2y 7 0 (Ⅰ)
∴ y = x2 ( y 4)2
∴ y2 x2 y2 8 y 16 ∴ x2 8 y 16 这就是所求的轨迹方程.
建立坐标系 设点的坐标
限(找几何条件) 代(把条件坐标化
化简
合作愉快
Y
Y
Y
Y
1
1
1
1
O 1X
A
O 1 X -1 O
1X O
1X
-1 -1
B
C
D
①表示 B ②表示 C ③表示 D
继续
课堂练习3：
设圆M的方程为 (x3)2(y2)22, 直线
l的方程为x+y-3=0, 点P的坐标为(2,1)，那
么（ C ） A.点P在直线上，但不在圆上 B.点P在圆上，但不在直线上； C.点P既在圆上，也在直线上 D.点P既不在圆上，也不在直线上
(2)曲线C是顶点在原点的抛物线其方
程为x+ y =0; 不是
(3)曲线C是Ⅰ, Ⅱ象限内到x轴，y轴
的距离乘积为1的点集其方程为y= 。是
y
y
y
1
1
1
-1 0
x 1
-2 -1 0 1 2 x
-2 -1 0 1 2 x
⑴
⑵
⑶
练习2
练习3
课堂练习2:下述方程表示的图形分别是 下图中的哪一个？
① x - y =0 ② |x|-|y|=0 ③ x-|y|=0
√3.用坐标表示条件 P(M ) ,列出方程 f (x, y) 0 ; 4.化简方程 f (x, y) 0 为最简形式;
√ √ 5.证明(查漏除杂).
以上过程可以概括为一句话:建．设．现．(．限．)．代．化．.
例 3 已知一条直线 l 和它上方的一个点 F,点 F 到 l 的距离是 2.一条曲线也在 l 的上方,它上面的每一 点到 F 的距离减去到 l 的距离的差都是 2,建立适 当的坐标系,求这条曲线的方程.
⑴由上面过程可知,垂直平分线上的任一点
证明
的坐标都是方程 x 2y 7 0 的解;
⑵设点 M1 的坐标 (x1, y1) 是方程(Ⅰ)的解,即 x1 2 y1 7 0
∵上面变形过程步步可逆,∴ (x1 1)2 (y1 1)2 (x1 3)2 (y1 7)2
综上所述M,线1A段ABM的1方B1垂法直小平结分线的方程是 x 2y 7 0 .
7 (1) 2 ,∴所求直线的斜率 k 3 (1)
AB 的中点坐标是 (1 3 , 1 7)
=1 2
即(1,3)
22
∴线段 AB 的垂直平分线的方程为 y 3 1 (x 1) .
2
法二:若没有现成的结论怎么办 即 x+2y-7=0
──需要掌握一般性的方法
问题 1.设 A、B 两点的坐标是 (-1,-1)、(3,7),求线段 AB 的垂直平分线的方程.我们的目标就是要找x与y的关系式
解:设曲线上任一点 M 的坐标为(x,y)
y
(0 , 2 )
F.
.M
(x, y)
0
l
x
课堂练习: 练习 1.已知点 M 与 x 轴的距离和点 M 与点 F(0,4) 的距离相等,求点 M 的轨迹方程.
解:设点 M 的坐标为(x,y) ∵点 M 与 x 轴的距离为 y ,
FM x2 ( y 4)2
第一种方法运用现成的结论当然快,但它需要你对研 究的曲线要有一定的了解;第二种方法虽然有些走弯路,但 这种方法有一般性.
求曲线的方程可以这样一般地尝试,注意其中的步骤:
求曲线的方程(轨迹方程),一般有下面几个步骤:
√ √ 1.建立适当的坐标系,设曲线上任一点 M 的坐标 (x, y) ;
2.写出适合条件 P 的几何点集: P M P(M ) ;