最新初中数学图形的相似全集汇编附答案(3)

最新初中数学图形的相似全集汇编附答案(3)

一、选择题

1．如图，在正方形ABCD 中，3AB =，点M 在CD 的边上，且1DM =，AEM ∆与ADM ∆关于AM 所在直线对称，将ADM ∆按顺时针方向绕点A 旋转90°得到ABF ∆，连接EF ，则cos EFC ∠的值是 （ ）

A 171365

B 61365

C 71525

D ．617

【答案】A

【解析】

【分析】 过点E 作//HG AD ，交AB 于H ，交CD 于G ，作EN BC ⊥于N ，首先证明

AEH EMG V :V ，则有13

EH AE MG EM == ，设MG x =，则3EH x =，1DG AH x ==+， 在Rt AEH V 中利用勾股定理求出x 的值，进而可求

,,,EH BN CG EN 的长度，进而可求FN ，再利用勾股定理求出EF 的长度，最后利用cos FN EFC EF

∠=

即可求解． 【详解】 过点E 作//HG AD ，交AB 于H ，交CD 于G ，作EN BC ⊥于N ，则

90AHG MGE ∠=∠=︒，

∵四边形ABCD 是正方形，

∴3,90AD AB ABC C D ==∠=∠=∠=︒ ，

∴四边形AHGD,BHEN,ENCG 都是矩形．

由折叠可得，90,3,1AEM D AE AD DM EM ∠=∠=︒====，

90AEH MEG EMG MEG ∴∠+∠=∠+∠=︒ ，

AEH EMG ∴∠=∠，

AEH EMG ∴V :V ，

13

EH AE MG EM ∴== ． 设MG x =，则3EH x =，1DG AH x ==+

在Rt AEH V 中，

222AH EH AE +=Q ，

222(1)(3)3x x ∴++= ， 解得45

x =或1x =-（舍去）， 125EH BN ∴==，65

CG CD DG EN =-== ． 1BF DM ==Q 175FN BF BN ∴=+=

． 在Rt EFN △ 中， 由勾股定理得，2213EF EN FN =+=，

17cos 1365

FN EFC EF ∴∠=

=． 故选：A ．

【点睛】

本题主要考查正方形，矩形的性质，相似三角形的判定及性质，勾股定理，锐角三角函数，能够作出辅助线是解题的关键．

2．如果两个相似正五边形的边长比为1：10，则它们的面积比为（ ）

A ．1：2

B ．1：5

C ．1：100

D ．1：10 【答案】C

【解析】

根据相似多边形的面积比等于相似比的平方，由两个相似正五边形的相似比是1：10，可知它们的面积为1：100．

故选：C ．

点睛：此题主要考查了相似三角形的性质：相似三角形的面积比等于相似比的平方．

3．如图，四边形ABCD 内接于O e ，AB 为直径，AD CD =，过点D 作DE AB ⊥于点

E ，连接AC 交DE 于点

F .若3sin 5

CAB ∠=，5DF =，则AB 的长为( )

A ．10

B ．12

C ．16

D ．20

【答案】D

【解析】

【分析】 连接BD ，如图，先利用圆周角定理证明ADE DAC ∠=∠得到5FD FA ==，再根据正弦的定义计算出3EF =，则4AE =，8DE =，接着证明ADE DBE ∆∆∽，利用相似比得到16BE =，所以20AB =．

【详解】

解：连接BD ，如图，

AB Q 为直径，

90ADB ACB ∴∠=∠=︒，

AD CD =Q ，

DAC DCA ∴∠=∠，

而DCA ABD ∠=∠，

DAC ABD ∴∠=∠，

DE AB ∵⊥，

90ABD BDE ∴∠+∠=︒，

而90ADE BDE ∠+∠=︒，

ABD ADE ∴∠=∠，

ADE DAC ∴∠=∠，

5FD FA ∴==，

在Rt AEF ∆中，3sin 5

EF CAB AF ∠=

=Q ， 3EF ∴=， 22534AE ∴=-=，538DE =+=，

ADE DBE ∠=∠Q ，AED BED ∠=∠，

ADE DBE ∴∆∆∽，

::DE BE AE DE ∴=，即8:4:8BE =，

16BE ∴=，

41620AB ∴=+=．

故选：D ．

【点睛】

本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90︒的圆周角所对的弦是直径．也考查了解直角三角形．

4．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，∠A ＝60°，AC ＝2，D 是AB 边上一个动点（不与点A 、B 重合），E 是BC 边上一点，且∠CDE ＝30°．设AD ＝x ，BE ＝y ，则下列图象中，能表示y 与x 的函数关系的图象大致是（ ）

A ．

B ．

C ．

D ．

【答案】C

【解析】

【分析】 根据题意可得出4,23,AB BC ==4,23,BD x CE y =-=-然后判断△CDE ∽△CBD ，继而利用相似三角形的性质可得出y 与x 的关系式，结合选项即可得出答案．

【详解】

解：∵∠A ＝60°，AC ＝2，

∴4,23,AB BC ==4,23,BD x CE y =-=-

在△ACD 中，利用余弦定理可得CD 2＝AC 2+AD 2﹣2AC •AD cos ∠A ＝4+x 2﹣2x ，

故可得242CD x x =-+,

又∵∠CDE ＝∠CBD ＝30°，∠ECD ＝∠DCB （同一个角），

∴△CDE ∽△CBD ，即可得,CE CD CD CB

= 即2

22342,2342y

x x x x --+=-+ 故可得： 23343.633

y x x =-

++ 即呈二次函数关系，且开口朝下． 故选C ．

【点睛】

考查解直角三角形，相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定定理与性质定理是解题的关键.

5．如图，在ABC ∆中，点D E F 、、分别在边AB AC BC 、、上，

// ,//DE BC DF AC ，则下列结论一定正确的是( )