34用构造局部不等式法证明不等式
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用构造局部不等式法证明不等式
有些不等式的证明，若从整体上考虑难以下手，可构造若干个结构完全相同的局部不等式，逐一证明后，再利用同向不等式相加的性质，即可得证。
例1. 若a b R ，∈*，a b +=2，求证：212123a b +++≤
分析：由a ，b 在已知条件中的对称性可知，只有当a b ==1，即213a +=时，等号才能成立，所以可构造局部不等式。 证明：213321333213233
2a a a a +=+≤++=+···()() 同理，2133
2b b +≤+() ∴212133233223a b a b +++≤
+++=()() 例2. 设x x x n 12，，…，是n 个正数，求证：x x x x x x x x x x n n n 1222231221
12++++≥+-… ++…x n 。
证明：题中这些正数的对称性，只有当x x x n 12===…时，等号才成立，构造局部不等式如下：
x x x x x x x x x x x x x x x x n n n n n n 122212233212121
12222+≥+≥+≥+≥--，，…，，。 将上述n 个同向不等式相加，并整理得：
x x x x x x x x x x x n n n n 1222231221
12++++≥+++-……。 例3. 已知a a a n 12，，…，均为正数，且a a a n 121+++=…，求证：
a a a a a a a a a n n 121222232112
++++++≥…。 证明：因a a a n 12，，…，均为正数，故a a a a a a 12121214
+++≥，
a a a a a a a a a a a a n n n n 222323221144
+++≥+++≥，…，。 又∵a a a a a a a a a n n 12231124441212
++++++=+++=……()， ∴把以上各个同向不等式相加，整理得：
a a a a a a a a a a a a n n n 12122223211212
1+++++++≥+++=…… 故a a a a a a a a a n n 121222232112
++++++≥…。 例4. 设a b c R ，，∈*，且abc =1，求证：
111333a b c b c a c a b ()()()+++++≥32
。 （第36届IMO ） 证明：由a ，b ，c 在条件中的对称性知，只有当a b c ===1时，才有可能达到最小值32，此时刚好1412
3a b c b c bc ()+=+=。所以，可构造如下局部不等式。 ∵14214133a b c b c bc a bc a
()+++≥=， 14214133b a c a c ac b ac b
()+++≥=， 14214133c a b a b ab c ab c
()+++≥=， ∴
11111114333a b c b c a c a b a b c b c bc a c ac a b ab ()()()()()+++++≥++-+++++ =++≥=1211132132
3()a b c abc 例5. 设a b c R ，，∈*，且a b c ++=2，求证：a b c b c a c a b
222
1+++++≥。 证明：由a ，b ，c 在条件中的对称性知，只有当a b c ===23
时，才可能达到最小值1，
此时刚好
a
b c
b c
2
4
+
=
+
。所以，可构造如下局部不等式。
∵
a
b c
b c
a
b
c a
c a
b
c
a b
a b
c 222
444
+
+
+
≥
+
+
+
≥
+
+
+
≥
，，
∴
a
b c
b
c a
c
a b
a b c a b c 2221
2
+
+
+
+
+
+++≥++
()
即
a
b c
b
c a
c
a b
222
1 +
+
+
+
+
≥