【9年级数学】九年级寒假班第7讲：平面向量-学生版

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人教版初三数学平面向量与向量运算

人教版初三数学平面向量与向量运算平面向量是数学中的重要概念，对于初中数学的学习来说，平面向量与向量运算是其中的关键内容。

本文将详细介绍人教版初三数学中关于平面向量与向量运算的知识点。

1. 平面向量的定义与表示方法平面向量是有大小和方向的量，可以用有向线段表示。

在坐标系中，平面向量a可以表示为(a, a)，其中a和a分别表示向量在a轴和a轴上的分量。

平面向量的起点是坐标原点，终点由分量确定。

2. 平面向量的运算2.1 向量的加法向量的加法定义为，对于向量a(a₁, a₁)和向量a(a₂, a₂)，它们的和可以表示为(a₁ + a₂, a₁ + a₂)。

具体而言就是将两个向量的分量进行相加即可。

2.2 向量的数乘向量的数乘定义为，对于向量a(a, a)和实数a，它的数乘可以表示为(aa, aa)。

即将向量的分量乘以实数即可。

3. 平面向量的表示方法3.1 分点表示法平面向量的终点a可以由起点a加上平面向量的表示得到。

例如，向量a的起点是a，终点是a，则a=aa。

3.2 坐标表示法在坐标系中，平面向量的起点是原点，终点由分量确定。

根据平面向量的定义，向量a(a, a)的起点是原点，终点是(a, a)。

4. 平面向量的运算性质4.1 交换律向量的加法满足交换律，即a + a = a + a。

这意味着向量的加法不依赖于顺序。

4.2 结合律向量的加法满足结合律，即(a + a) + a = a + (a + a)。

这意味着向量的加法不依赖于加法的分组方式。

4.3 数乘结合律向量的数乘满足结合律，即a(a + a) = aa + aa。

这意味着数乘与向量加法可以互相结合。

5. 平面向量的模与方向角5.1 平面向量的模平面向量的模表示了向量的大小，可以通过勾股定理计算得到。

对于平面向量a(a, a)，它的模表示为|a| = √(a² + a²)。

5.2 平面向量的方向角平面向量的方向角表示了向量与正a轴的夹角。

(完整版)平面向量全部讲义

第一节平面向量的概念及其线性运算1．向量的有关概念(1)向量：既有大小，又有方向的量叫向量；向量的大小叫做向量的模．(2)零向量：长度为0的向量，其方向是任意的．(3)单位向量：长度等于1个单位的向量．(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量共线．(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量．(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量．例1．若向量a与b不相等，则a与b一定()A．有不相等的模B．不共线C．不可能都是零向量D．不可能都是单位向量例2．.给出下列命题：①若|a|＝|b|，则a＝b；②若A，B，C，D是不共线的四点，则AB＝DC等价于四边形ABCD为平行四边形；③若a＝b，b＝c，则a＝c；④a＝b等价于|a|＝|b|且a∥b；⑤若a∥b，b∥c，则a∥c.其中正确命题的序号是()A．②③B．①②C．③④D．④⑤CA2．向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算三角形法则平行四边形法则(1)交换律：a＋b＝b＋a；(2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)减法求a与b的相反向量－b的和的运算叫做a与b的差三角形法则a－b＝a＋(－b)数乘求实数λ与向量a的积的运算(1)|λa|＝|λ||a|；(2)当λ＞0时，λa的方向与a的方向相同；当λ＜0时，λa的方向与a的方向相反；λ(μa)＝(λμ)a；(λ＋μ)a＝λa＋μa；λ(a＋b)＝λa＋λb例3：化简AC→－BD→＋CD→－AB→得() A.AB→B.DA→C.BC→D．0例4：(1)如图，在正六边形ABCDEF中，BA＋CD＋EF＝()A．0B．BE C．AD D．CF(2)设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD＝12AB，BE＝23BC.若DE＝λ1AB＋λ2AC(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．巩固练习：1．将4(3a＋2b)－2(b－2a)化简成最简式为______________．2．若|OA→＋OB→|＝|OA→－OB→|，则非零向量OA→，OB→的关系是() A．平行B．重合C．垂直D．不确定3．若菱形ABCD的边长为2，则|AB－CB＋CD|＝________4．D是△ABC的边AB上的中点，则向量CD等于()A．－BC＋12BA B．－BC－12BA C．BC－12BA D．BC＋12BA5．若A，B，C，D是平面内任意四点，给出下列式子：①AB＋CD＝BC＋DA；②AC＋BD＝BC＋AD；③AC－BD＝DC＋AB.其中正确的有()A．0个B．1个C．2个D．3个6．如图，在△ABC中，D，E为边AB的两个三等分点，CA→＝3a，CB→＝2b，求CD→，CE→.DD12巩固练习1。

九年级向量知识点总结

九年级向量知识点总结在九年级数学学科中，向量是一个重要的知识点。

掌握了向量的相关概念和运算规则，可以帮助我们更好地理解几何和代数等数学内容。

本文将对九年级向量的相关知识进行总结。

一、向量的定义与性质1. 向量的定义：向量是有大小和方向的量，用箭头表示。

2. 向量的性质：- 向量具有方向性和大小性。

- 向量具有平行性，即两个向量的方向相同或相反。

- 向量具有共线性，即若两个向量的方向相同或相反，则它们是共线向量。

二、向量的表示与运算1. 向量的表示方法：- 用字母加上箭头表示向量，如A B⃗表示从点A指向点B的向量。

- 用坐标表示向量，如⃗AB=(x2-x1, y2-y1)。

2. 向量的运算：- 向量的加法：将两个向量的对应分量相加即可。

- 向量的减法：将两个向量的对应分量相减即可。

- 向量的数量乘法：将向量的每个分量乘以一个实数。

- 向量的点乘：对应分量相乘后相加。

- 向量的叉乘：只适用于三维向量，结果是一个向量。

三、向量的模与单位向量1. 向量的模：向量的大小叫做向量的模，用||⃗a||表示。

2. 单位向量：模为1的向量称为单位向量，用⃗a表示。

四、向量的性质与判定1. 平行向量与共线向量：- 平行向量：若两个向量的方向相同或相反，则它们是平行向量。

- 共线向量：若两个向量的方向相同或相反，则它们是共线向量。

2. 相等向量与零向量：- 相等向量：若两个向量的对应分量相等，则它们是相等向量。

- 零向量：模为0的向量称为零向量，用⃗0表示。

3. 垂直向量与正交向量：- 垂直向量：若两个向量的点乘为0，则它们是垂直向量。

- 正交向量：若两个向量的点乘为0，则它们是正交向量。

五、向量的应用1. 几何意义：向量可以表示平移、方向、位置等几何概念。

2. 物理意义：向量可以表示力、速度、加速度等物理量。

六、习题与解析以下是几个习题以及解析，帮助你巩固向量的知识：1. 已知向量⃗a=(2, -3)，求向量⃗b，使得⃗a与⃗b正交。

(完整版)高中数学平面向量讲义

平面向量 (学生专用 )专题六平面向量一. 基本知识【1】向量的基本看法与基本运算（1）向量的基本看法：①向量：既有大小又有方向的量向量不能够比较大小，但向量的模能够比较大小．②零向量：长度为0 的向量，记为0 ，其方向是任意的，0 与任意向量平行③单位向量：模为 1 个单位长度的向量④平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量⑤相等向量：长度相等且方向相同的向量uuur r uuur r r uuur uuur uuur（2）向量的加法：设AB a, BC b ，则a+ b = AB BC = AC① 0 a a 0 a ；②向量加法满足交换律与结合律；uuur uuur uuur uuur uuur uuurAB BC CD L PQ QR AR ，但这时必定“首尾相连”．（3）向量的减法：①相反向量：与 a 长度相等、方向相反的向量，叫做 a 的相反向量②向量减法：向量 a 加上b的相反向量叫做 a 与b的差，③作图法： a b 能够表示为从 b 的终点指向a的终点的向量（ a 、b有共同起点）（4）实数与向量的积：实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa，它的长度与方向规定以下：（Ⅰ）a a ；（Ⅱ）当0 时，λ a 的方向与 a 的方向相同；当0 时，λa 的方向与 a 的方向相反；当0 时，a0 ，方向是任意的（5）两个向量共线定理：向量b与非零向量 a 共线有且只有一个实数，使得b= a （6）平面向量的基本定理：若是e1, e2是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任向来量 a ，有且只有一对实数 1 ,2使：a1e12e2，其中不共线的向量e1 , e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底【2】平面向量的坐标表示第1页（1）平面向量的坐标表示：平面内的任向来量rr r rr 。

a 可表示成 axi yj ，记作 a =(x,y) （2）平面向量的坐标运算：rrr rx 1 x 2 , y 1 y 2①若 ax 1 , y 1 , bx 2 , y 2 ，则 a buuur②若 A x 1 , y 1 , B x 2 , y 2 ，则 AB x 2 x 1 , y 2 y 1r =(x,y) ，则 r x, y)③若 a a =(r r r r x 1 y 2 x 2 y 1 0④若 ax 1 , y 1 , b x 2 , y 2 ，则 a // b r r r r y 1 y 2⑤若 a x 1 , y 1 , b x 2 , y 2 ，则 a b x 1 x 2r r y 1 y 2⑥若 a b ，则 x 1 x 2【3】平面向量的数量积（1）两个向量的数量积：已知两个非零向量r rr r r rr ra 与b ，它们的夹角为，则 a · b =︱ a ︱·︱ b ︱ cos 叫做 a 与 b 的数量积（或内积）r r规定 0 arr rrr= a b（2）向量的投影：︱ b ︱ cosr ∈ R ，称为向量 b 在 a 方向上的投影投影的绝对值称| a |为射影（3）数量积的几何意义：r r r r ra ·b 等于 a 的长度与 b 在 a 方向上的投影的乘积（4）向量的模与平方的关系：r r r 2 r 2 a a a | a |（5）乘法公式成立：r r rrr 2 r 2 r 2 r 2 r r 2 r 2r r r 2r 2 r r r 2a b a ba b ab ； a ba 2ab ba2a b b（6）平面向量数量积的运算律：①交换律成立：rrr r a bb a②对实数的结合律成立： r r r r r r Ra ba b a b③分配律成立：r r r r r r r r r r a b c a cb c c a b第 2页特别注意：（ 1）结合律不成立：r r r r r r ab c a b c ；r rrrr r （ 2）消去律不成立 a ba c 不能够获取b c（rr=0r r r r3） a b 不能够获取 a =0 或 b=0（7）两个向量的数量积的坐标运算：rrrry 1 y 2已知两个向量 a ( x 1, y 1), b ( x 2 , y 2 ) ，则 a · b= x 1 x 2r r uuur r uuur r （ 8 ）向量的夹角：已知两个非零向量 a 与 b ，作 OA = a ,OB = b , 则 ∠ AOB= （0 0180 0 ）叫做向量r 与 r 的夹角abr r r rx 1 x 2 y 1 y 2a ? bcos= cosa ,br r = 2222a ? bx 1y 1x 2y 2当且仅当两个非零向量rrr rra 与b 同方向时， θ =0 ，当且仅当 a 与 b 反方向时θ=180 ，同时 0 与其他任何非零向量之间不谈夹角这一问题r r 0则称 r r r r （9）垂直：若是 a 与 b 的夹角为 90 a 与 b 垂直，记作 a ⊥ b（ 10）两个非零向量垂直的充要条件： a ⊥ ba ·b ＝ Ox xy y20 平面向量1 21数量积的性质二. 例题解析【模块一】向量的基本运算【例 1】给出以下六个命题：①两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同；rr r r ②若 a b ，则 ab ③在平行四边形 ABCD 中必然有uuur uuurAB DC ；ur r r ur ur ur r r r r r r④若 m n, n p ，则 m p ； ⑤若 a // b ， b // c , 则 a // cr r r r r r r⑥任向来量与它的相反以下不相等. ⑦已知向量 a 0 ，且 a b 0 ，则 b 0r r r r r r r r r r r r⑧ a b 的充要条件是 a b 且 a // b ；⑨若 a 与 b 方向相同，且 a b ，则 ab ；⑩由于零向量的方向不确定，故零向量不与任意向量平行；其中正确的命题的序号是第 3页r rr r ruur【例 2】已知向量 a, b 夹角为 45 ，且 a 1, 2a b10 ；求 b 的值 .uur uur r rr r【变式 1】若 a 2 ， b 3 ， a b3 求 a b 的值 .【变式 2】设向量 a ， b 满足 | a|=|b |=1 及 | 3a-2 b|=3 ，求 | 3a+b| 的值r r r rrr r r【例 3】已知向量 a 、 b 的夹角为 60o ， |a| 3， | b |2 ，若 (3a 5b) (ma b) ，求 m 的值.rrr r r r【例 4】若向量 a1,2 ， b1, 1 求 2a b 与 a b 的夹角 .【变式】设 x, y R, 向量 a x,1 ,b 1, y , c2, 4 , 且 a c,b // c, 则 a b_______（）A ． 5B ． 10C ． 2 5D ． 10【例 5】已知两个非零向量r rr r rra,b 满足 a ba b ，则以下结论必然正确的选项是（）r r r rr r DA a // bB a b Ca br r r r a b a b【变式 1】设 a , b 是两个非零向量 . （）A ．若 | a +b |=| a |-| b |, 则 a ⊥ bB ．若 a ⊥b , 则| a +b |=| a |-| b |C ．若 | a +b |=| a |-| b |, 则存在实数 λ, 使得 a =λbD ．若存在实数 λ, 使得 a =λb , 则| a +b |=| a |-| b |第 4页r r r r r r【变式 2】若平面向量a, b满足 : 2a b 3 ;则 agb 的最小值是_____【例 6】设0,rcosr13 2， a,sin ，b,22r r r r （1）证明 a b a b ；（2）r r r r的值 .当 2a b a2b时求角r rr ra b）【例 7】设a、b都是非零向量 , 以下四个条件中 , 使r r成立的充足条件是（| a ||b |r r r r r r r rr r A．a b B．a // b C．a 2b D．a // b且| a | | b |【模块二】向量与平面几何【例 1】在△ ABC中， A 90o AB 1, ACuuur uuur 2 ,设P、Q满足 AP AB ，uuur1uuurRuuur uuur2 ，则AQ AC ，BQ CP=（）A 1B2C4D2 333第5页AB2uuur uuur uuur uuur 【变式 1】已知△ ABC为等边三角形，设 P、Q满足AP AB AQ 1AC，，uuur uuur 3，则R BQ CP=（）2A 1B12C 1 10D 3 2 2222uuur uuur【例 2】在△ ABC中 ,AB=2,AC=3,ABgBC = 1则 BC ___ .（）A．3B．7C．2 2D．23uuur uuur uuur【变式 1】若向量BA2,3 , CA4,7 ,则 BC（）A．2, 4B．2,4C．6,10D．6, 10【例 3 】若等边ABC 的边长为2 3 ，平面内一点M 满足CM 1CB2CA ,则63MA? MB________.第6页平面向量 (学生专用 )uuur r uuur r r r r r2 ,则【例 4】ABC 中, AB 边上的高为 CD ,若CB a,CA b, a b0,| a |1,|b | uuurAD（）A．1r1rB．2r2rC．3r3rD．4r4r a b a b a b5a b 3333555uuur3【例5】在平面直角坐标系中,O (0,0), P(6,8) ,将向量 OP按逆时针旋转后 , 得向量4 uuurOQ ，则点 Q 的坐标是（）A．( 7 2,2) B． (72,2)C．( 4 6, 2)D．( 46, 2)uuur uuur【例 6】在ABC中, M是 BC的中点, AM=3, BC=10,则AB AC =______________.【例 7】在平行四边形中, ∠A= 3, 边、的长分别为2、1.若、分别是边、ABCD AB AD M N BC CD上的点,且满足| BM|| CN | ,则AM AN 的取值范围是_________ .| BC || CD |,【例 8】如图 ,在矩形 ABCD 中, AB 2 ，BC2，点E为 BC 的中点,点F在边 CD uuur uuur uuur uuur上, 若AB g AF 2 ,则 AE g BF 的值是____.第7页平面向量 (学生专用 )9 】已知正方形ABCD 的边长为1, 点 E 是 AB 边上的动点uuur uuur【例, 则DE CB的值为uuur uuur________; DE DC 的最大值为________.【例 10】已知直角梯形ABCD 中，AD// BC ,ADC 900, AD2, BC 1 , P 是腰uuur uuurDC 上的动点，则PA3PB 的最小值为___________uuur uuur uuur【例 11】如图，在VABC中，AD AB , BC 3 BD ,AD 1 ,uuur uuur3.则 AC gAD【例 12】 (15)uuur uuur1uuur1uuur3uuur 在四边形 ABCD中，AB = DC =（ 1，1），uuur BA uuur BC uuur BD ，BA BC BD则四边形ABCD的面积是第8页平面向量 (学生专用 ) uuur uuur【例 13】在VABC中，若AB2,3 , AC 6, 4 ，则 VABC 面积为【例 14】（ 2012 年河北二模）在VABC中，AB 边上的中线CD=6 ，点 P 为 CD 上（与 C,D ）uuur uuur uuur不重合的一个动点，则PA PB .PC的最小值是A 2B 0C -9D -18第9页。

九年级向量知识点汇总图

九年级向量知识点汇总图向量是数学中的重要概念，它在几何、物理等领域中有广泛的应用。

在九年级数学学习中，学生要掌握向量的定义、性质、运算以及与平面几何和解析几何的关系。

本文将对九年级向量知识点进行汇总，并以图表的形式进行展示。

1. 向量的定义向量可以用有向线段来表示，它具有大小和方向两个属性。

图中用箭头表示方向，线段的长度表示向量的大小。

2. 向量的表示方法a) 用字母加箭头表示，如AB→表示从点A到点B的向量。

b) 用坐标表示，如向量AB的坐标表示为(AB)。

3. 向量的性质a) 相等向量的性质：具有相同大小和方向的向量是相等的。

b) 零向量的性质：零向量的大小为0，没有确定的方向。

c) 相反向量的性质：相反向量的大小相等，方向相反。

4. 向量的运算a) 向量的加法：向量的加法满足三角形法则，即将两个向量首尾相连，用第一个向量的起点和第二个向量的终点构成一个新的向量，称为它们的和向量。

b) 向量的减法：向量的减法可以转化为向量的加法，即A减去B等于A加上-B的相反向量。

c) 数量乘向量：将向量的大小乘以一个实数，即可得到新的向量，它的方向与原向量相同（当实数为正数）或相反（当实数为负数）。

5. 平面向量的坐标表示平面上的向量可以用坐标表示。

设A(x1, y1)和B(x2, y2)为平面上的两点，向量AB的坐标表示为(x2 - x1, y2 - y1)。

6. 向量的数量积和向量积a) 向量的数量积（点积）定义为两个向量的模的乘积与它们夹角的余弦值的乘积。

b) 向量的数量积的性质：满足交换律和分配律。

c) 向量的数量积的应用：可以求向量的模、判断向量是否垂直或平行、求向量夹角等。

d) 向量的向量积（叉积）定义为两个向量的模的乘积与它们夹角的正弦值的乘积。

e) 向量的向量积的性质：满足反交换律和分配律。

f) 向量的向量积的应用：可以求平行四边形的面积、判断向量是否垂直或平行、求直线的方程等。

7. 向量与平面几何的关系a) 向量共线：若两个向量的夹角为0°或180°，则它们共线。

《平面向量》优秀说课稿（通用3篇）

《平面向量》优秀说课稿（通用3篇）作为一位不辞辛劳的人民教师，就不得不需要编写说课稿，通过说课稿可以很好地改正讲课缺点。

那么什么样的说课稿才是好的呢？下面是小编为大家整理的《平面向量》优秀说课稿（通用3篇），希望对大家有所帮助。

《平面向量》说课稿1一、说教材平面向量的数量积是两向量之间的乘法，而平面向量的坐标表示把向量之间的运算转化为数之间的运算。

本节内容是在平面向量的坐标表示以及平面向量的数量积及其运算律的基础上，介绍了平面向量数量积的坐标表示，平面两点间的距离公式，和向量垂直的坐标表示的充要条件。

为解决直线垂直问题，三角形边角的有关问题提供了很好的办法。

本节内容也是全章重要内容之一。

二、说学习目标和要求通过本节的学习，要让学生掌握（1）：平面向量数量积的坐标表示。

（2）：平面两点间的距离公式。

（3）：向量垂直的坐标表示的充要条件。

以及它们的一些简单应用，以上三点也是本节课的重点，本节课的难点是向量垂直的坐标表示的充要条件以及它的灵活应用。

三、说教法在教学过程中，我主要采用了以下几种教学方法：（1）启发式教学法因为本节课重点的坐标表示公式的推导相对比较容易，所以这节课我准备让学生自行推导出两个向量数量积的坐标表示公式，然后引导学生发现几个重要的结论：如模的计算公式，平面两点间的距离公式，向量垂直的坐标表示的充要条件。

（2）讲解式教学法主要是讲清概念，解除学生在概念理解上的疑惑感；例题讲解时，演示解题过程！主要辅助教学的手段（powerpoint）（3）讨论式教学法主要是通过学生之间的相互交流来加深对较难问题的理解，提高学生的自学能力和发现、分析、解决问题以及创新能力。

四、说学法学生是课堂的主体，一切教学活动都要围绕学生展开，借以诱发学生的学习兴趣，增强课堂上和学生的交流，从而达到及时发现问题，解决问题的目的。

通过精讲多练，充分调动学生自主学习的积极性。

如让学生自己动手推导两个向量数量积的坐标公式，引导学生推导4个重要的结论！并在具体的问题中，让学生建立方程的思想，更好的解决问题！五、说教学过程这节课我准备这样进行：首先提出问题：要算出两个非零向量的数量积，我们需要知道哪些量？继续提出问题：假如知道两个非零向量的坐标，是不是可以用这两个向量的坐标来表示这两个向量的数量积呢？引导学生自己推导平面向量数量积的坐标表示公式，在此公式基础上还可以引导学生得到以下几个重要结论：（1）模的计算公式（2）平面两点间的距离公式。

九年级向量知识点

九年级向量知识点向量是数学中的一个重要概念，九年级学生需要学习和理解向量的基本知识和操作方法。

本文将为九年级学生介绍向量的相关概念、性质和运算规则，以及向量在几何和代数中的应用。

一、向量的概念和表示方法向量是具有大小和方向的量，用箭头表示。

向量有起点和终点，起点表示向量的作用点，终点表示向量的方向和大小。

向量常用小写字母加上上方有箭头的字母符号表示，如向量a表示为→a。

二、向量的性质1. 零向量：零向量表示大小为零的向量，用0或→0表示。

2. 平行向量：如果两个向量的方向相同或相反，则它们是平行向量。

3. 相等向量：如果两个向量的大小和方向完全相同，则它们是相等向量。

4. 共线向量：如果两个向量的终点都在同一直线上，则它们是共线向量。

5. 数乘：向量乘以一个实数k，其终点与原向量相同，但长度发生变化。

三、向量的运算规则1. 向量的加法：将两个向量的起点相连，然后画出连接它们终点的直线，该直线即为两向量的和的方向，而最终的终点即为和向量。

2. 向量的减法：将两个向量的起点相连，然后从第二个向量箭头的方向，画出连接箭头起点和尾点的直线，该直线即为两向量的差的方向，而最终的终点即为差向量。

3. 数乘：将向量的长度与实数k相乘，得到的向量方向与原向量相同（若k为正数）或相反（若k为负数）。

四、向量的应用1. 几何应用：向量可以用来表示位移、速度、加速度等物理量，方便解析求解运动问题。

2. 平面几何应用：通过向量的加法和减法可以求解平面图形的边长、角平分线、垂直平分线等问题。

3. 代数应用：向量的运算可以用来解方程组、求解线性空间、判断向量组的线性相关性等。

总结：九年级学生在学习向量的过程中，需要了解向量的概念、表示方法和性质，掌握向量的加法、减法和数乘运算规则，并能够在几何和代数中应用向量进行问题求解。

通过理解和掌握向量的知识，能够提高数学解题能力，并为高中阶段的学习打下坚实的基础。

注：此文章所用格式为一般的论述性文章格式，包括总述和小节划分。

初三数学复习教案平面向量的基本概念

初三数学复习教案平面向量的基本概念初三数学复习教案——平面向量的基本概念本教案旨在对初三学生进行数学复习，重点介绍平面向量的基本概念。

平面向量是初等数学中的重要内容之一，理解和掌握平面向量的基本概念对于解决几何和代数问题都具有重要意义。

通过本教案的学习，同学们将能够熟练运用平面向量的定义、性质和运算法则，提升解题能力。

1. 平面向量的基本定义在初步认识平面向量之前，我们先来了解平面向量的基本定义。

平面向量是指具有大小和方向的箭头，用线段来表示。

定义一个平面向量时，需要指明它的大小和方向。

2. 平面向量的表示方法平面向量的表示方法有多种，常用的方式有两点坐标表示和分解表示。

两点坐标表示是通过给出平面上的两个点来定义一个平面向量，分解表示是将一个平面向量分解为两个不相交的向量之和。

3. 平面向量的性质熟悉平面向量的性质有助于我们更好地理解和运用平面向量。

平面向量具有以下几个重要的性质：- 平行性：若两个向量的方向相同或相反，则它们是平行向量。

- 相等性：当且仅当两个向量的大小和方向都相同时，它们才是相等的向量。

- 零向量：大小为0的向量称为零向量，记作O。

- 负向量：一个向量的方向相反，大小不变，称为它的负向量。

- 平移不变性：对于平面上的任意向量a和一个定点A，以A为起点作一个向量，其终点为A'，则a和AA'是平行向量。

4. 平面向量的运算法则平面向量的运算法则包括加法和数乘两种运算。

通过学习运算法则，我们可以进行向量的加减、伸缩等操作。

- 加法：向量的加法满足“三角形法则”，即将两个向量按顺序首尾相接，连接首尾得到的向量为它们的和向量。

- 数乘：向量的数乘是指一个向量乘以一个实数，结果是一个新向量，大小为原向量大小的绝对值与实数绝对值之积，方向与原向量相同或相反。

5. 平面向量的几何应用平面向量的几何应用主要包括向量共线、向量垂直和向量的模运算。

应用这些概念可以解决诸如判断线段是否共线、垂直以及计算线段长度等问题。

初三数学教材平面向量的运算与应用

初三数学教材平面向量的运算与应用数学是一门抽象而又实用的学科，对于每一个初中学生来说，平面向量的学习是数学中的一个关键重点。

本文将详细介绍初三数学教材中关于平面向量的运算与应用。

一、平面向量的基本概念平面向量是由大小和方向共同决定的，常用字母表示，如向量a、向量b等。

在平面直角坐标系中，向量可以用一对有序实数(x, y)表示。

其中，x表示向量在x轴上的投影，y表示向量在y轴上的投影。

平面向量有三种运算，分别是加法、数乘和减法。

二、平面向量的加法运算平面向量的加法运算是指两个向量相加得到一个新的向量。

具体运算规则如下：设有向量a(x1, y1)和向量b(x2, y2)，则它们的和向量c(x1+x2,y1+y2)。

三、平面向量的数乘运算平面向量的数乘运算是指向量与一个实数相乘得到一个新的向量。

具体运算规则如下：设有向量a(x, y)和一个实数k，则k与向量a的数乘结果为向量ka(kx, ky)。

四、平面向量的减法运算平面向量的减法运算是指一个向量减去另一个向量得到一个新的向量。

具体运算规则如下：设有向量a(x1, y1)和向量b(x2, y2)，则它们的差向量c(x1-x2, y1-y2)。

五、平面向量的应用1. 位移向量：位移向量是一种常见的应用形式，用来表示物体从一个位置到另一个位置的位移情况。

例如，一个物体在平面内从点A移动到点B，其位移向量可以表示为向量AB。

2. 向量组的线性组合：线性组合是指将多个向量按照一定的比例相加的运算。

若有n个向量a1, a2, ..., an和n个实数k1, k2, ..., kn，则它们的线性组合为向量b=k1a1+k2a2+...+knan。

3. 三角形的有向线段及其运算：利用平面向量的性质，可以简化对三角形的研究。

例如，可以通过将三角形的三个顶点表示为向量，来推导三角形的性质和关系。

4. 平行四边形的面积与向量乘积：平行四边形的面积可以通过两个相邻边所对的向量的模的乘积来计算。

初三数学知识点归纳平面向量初步理解与运用

初三数学知识点归纳平面向量初步理解与运用初三数学知识点归纳：平面向量初步理解与运用引言：数学作为一门重要的学科，存在于我们日常的生活中。

在初中阶段，数学的学习内容相对较多，其中涵盖了平面向量的理解与运用。

本文将归纳初三数学中与平面向量相关的知识点，包括向量的表示、向量的基本运算、共线与平行、向量的模和单位向量以及向量的投影等内容。

一、向量的表示向量是具有大小和方向的量，可以用线段来表示。

在平面直角坐标系中，我们通常用有向线段的终点坐标减去起点坐标表示一个向量。

例如，向量AB可以表示为→AB，其中A、B为向量的起点和终点。

二、向量的基本运算1. 向量的加法向量的加法满足平行四边形法则，即将两个向量的起点相连，然后将它们的终点相连，得到一个新的向量作为它们的和向量。

例如，→AB + →AC = →AD。

2. 向量的减法向量的减法可以转化为向量的加法进行处理，即将被减向量取负后与减向量进行加法运算。

例如，→AB - →AC = →AB + (-→AC)。

3. 向量的数量乘法向量的数量乘法是指将一个向量乘以一个实数。

当实数为正数时，向量的方向不变，长度变为原来的倍数；当实数为负数时，向量的方向相反，长度变为原来的绝对值倍。

例如，k→AB表示向量→AB的长度变为原来的k倍。

三、共线与平行1. 共线向量若两个非零向量可以表示为倍数关系，即存在实数k使得一个向量等于另一个向量的k倍，则称这两个向量共线。

共线的向量有相同的或者相反的方向。

例如，若→AB = k→AC，则向量→AB与→AC共线。

2. 平行向量若两个非零向量的方向相同或者相反，则称这两个向量平行。

平行向量的模有可能相等，也有可能不相等。

例如，若→BC与→DE平行，则向量→BC与→DE方向相同或者相反。

四、向量的模和单位向量1. 向量的模向量的模表示向量的长度，可以通过勾股定理求得。

向量→AB的模表示为|→AB|或者AB。

例如，向量→AB的模等于√((x₂-x₁)²+(y₂-y₁)²)。

初三平面向量的定义与性质

初三平面向量的定义与性质平面向量是数学中一个重要的概念，它在几何、物理以及工程等领域中都有着广泛的应用。

在初三阶段，我们对平面向量的定义与性质需要进行深入的学习和理解。

本文将详细探讨初三平面向量的定义与性质，帮助读者更好地理解与掌握这一知识点。

一、平面向量的定义平面向量是用有向线段来表示的。

每个平面向量都有一个起点与一个终点，同时具有模长和方向。

用符号→表示平面向量，如AB→表示向量AB。

平面向量的模长用|AB→|表示，方向由向量的箭头所指示。

平面向量可以用坐标形式表示，如AB→=(x₁, y₁)。

二、平面向量的性质1. 向量的相等性若向量AB→与向量CD→的终点相同且方向相同，则称向量AB→与向量CD→相等。

即若AB→=CD→，则A、B、C、D四点共线。

2. 平行向量与零向量若向量AB→与向量CD→的方向相同或相反，则称向量AB→与向量CD→平行。

若向量AB→与向量CD→平行且模长相等，则AB→=CD→。

零向量是指模长为零的向量，记作O→。

任何向量与零向量平行且相等。

3. 负向量若向量AB→的模长为a，则存在一个向量BA→，其模长也为a，方向相反，称向量BA→为向量AB→的负向量。

4. 向量的加法设有向量AB→和向量BC→，则向量AC→=AB→+BC→。

向量的加法满足三角形法则，即向量相加的结果是由起点为第一个向量的起点，终点为第二个向量的终点所围成的三角形的对角线。

5. 向量的数量积设有向量AB→和向量CD→，向量AB→与向量CD→的数量积，记作AB→·CD→，定义为AB→·CD→=|AB→|·|CD→|·cosθ，其中θ为向量AB→与向量CD→之间的夹角。

6. 向量的性质(1) 量积的交换律：AB→·CD→=CD→·AB→(2) 量积的结合律：AB→·(BC→+CD→)=AB→·BC→+AB→·CD→(3) 数量积与向量加法的关系：AB→·CD→=0当且仅当向量AB→与向量CD→垂直三、平面向量的应用平面向量的应用十分广泛。

初三数学知识点归纳平面向量的运算与应用

初三数学知识点归纳平面向量的运算与应用初三数学知识点归纳：平面向量的运算与应用一、向量的定义和坐标表示向量是具有大小和方向的量，用箭头来表示，箭头的长度表示向量的大小，箭头的方向表示向量的方向。

向量的坐标表示是指用有序数对表示向量的方法。

二、向量的相等与加法运算向量相等的条件是它们的大小和方向都相同。

向量的加法运算是指将两个向量相加得到一个新的向量，它的大小等于两个向量大小的和，方向与两个向量的方向相同。

三、向量的数乘运算向量的数乘运算是指将向量的大小乘以一个实数得到一个新的向量，它的方向与原向量相同或相反，取决于实数的正负。

四、向量的数量积和向量积1. 向量的数量积（点积）：向量的数量积是指两个向量的数量乘积再求和得到一个实数。

数量积的性质包括交换律、分配律、与夹角的余弦值有关。

2. 向量的向量积（叉积）：向量的向量积是指两个向量叉乘得到一个新的向量。

向量积的大小等于两个向量大小的乘积与夹角的正弦值的乘积，方向垂直于两个向量所在的平面。

五、向量的投影向量的投影是指将一个向量在另一个向量上的投影，投影的大小等于两个向量的数量积除以另一个向量的大小，方向与另一个向量相同或相反，取决于夹角的正负。

六、平面向量的应用平面向量在几何、力学和物理等领域有广泛的应用。

在几何中，可以利用平面向量来研究几何图形的平移、旋转、镜像等变换；在力学中，可以利用平面向量来研究物体的平衡、运动和受力情况；在物理中，可以利用平面向量来研究力的合成、分解和受力分析等问题。

综上所述，平面向量的运算与应用是初三数学中的重要知识点。

通过学习和掌握向量的定义、坐标表示、相等与加法运算、数乘运算、数量积和向量积、投影以及平面向量的应用，可以提高数学思维能力和解决实际问题的能力。

因此，初三学生应该认真学习和理解这些知识点，加强练习和应用，提高数学水平。

初三数学知识点归纳平面向量与向量的运算

初三数学知识点归纳平面向量与向量的运算初三数学知识点归纳：平面向量与向量的运算数学作为一门学科，包含了许多重要的知识点。

在初三数学学习中，平面向量与向量的运算是一个非常重要且常见的内容。

本文将对初三平面向量与向量的运算进行归纳总结，帮助同学们更好地理解和掌握相关知识。

一、平面向量的定义和表示方式在数学中，平面向量可定义为具有大小和方向的几何对象，用于描述平面中的位移、力、速度等量。

平面向量常用字母小写字母表示，如 `a` 或 `b`。

平面向量也可以用一个带箭头的线段来表示，线段的长度表示向量的大小，箭头的方向表示向量的方向。

二、平面向量的加法和减法1. 平面向量的加法平面向量加法的定义：设有两个平面向量 `a` 和 `b`，则其加法运算记作 `a + b`。

加法运算的几何意义：将向量 `b` 的起点放在向量 `a` 的终点上，然后连接向量 `a` 的起点和向量 `b`的终点，所得线段的起点为向量 `a`的起点，终点为向量 `b` 的终点，所得线段即为向量 `a + b`。

2. 平面向量的减法平面向量减法的定义：设有两个平面向量 `a` 和 `b`，则其减法运算记作 `a - b`。

减法运算的几何意义：将向量 `b` 的起点放在向量 `a` 的终点上，然后连接向量 `a` 的起点和向量 `b`的起点，所得线段的起点为向量 `a` 的起点，终点为向量 `b` 的终点，所得线段即为向量 `a - b`。

三、平面向量的数量积和夹角1. 平面向量的数量积平面向量的数量积定义：设有两个平面向量 `a` 和 `b`，则其数量积（又称点积、内积）的定义为`a·b = |a| |b| cosθ`，其中 `|a|` 和 `|b|` 分别表示向量 `a` 和 `b` 的模长，`θ` 表示向量 `a` 和 `b` 之间的夹角。

2. 平面向量的夹角平面向量的夹角定义：设有两个非零平面向量 `a` 和 `b`，则其夹角`θ` 的定义为`cosθ = a·b / (|a| |b|)`，其中 `|a|` 和 `|b|` 分别表示向量 `a` 和 `b` 的模长。

九年级数学平面向量的优秀教案范本

九年级数学平面向量的优秀教案范本一、引言平面向量作为数学中的重要概念，对于九年级学生来说是一个相对较新的知识点。

在学习平面向量时，如何设计一份优秀的教案，充分激发学生的学习兴趣，提高他们的学习效果，是每位数学教师都面临的挑战。

本文将提供一份九年级数学平面向量的优秀教案范本，旨在帮助教师们更好地教授这一知识点。

二、教学目标1. 理解平面向量的概念，掌握平面向量的表示方法；2. 掌握平面向量的运算规则，包括加法、减法和数量乘法；3. 能够应用平面向量解决几何和代数问题；4. 培养学生的问题解决能力、合作能力和创新思维。

三、教学准备1. 教材：九年级数学教材；2. 教具：白板、彩色笔、投影仪；3. 素材：习题集、实例题集；4. 案例：几何图形的平移和旋转案例。

四、教学步骤步骤一：引入通过呈现一个实际生活中的例子，引入平面向量的概念。

例如，一辆汽车向东方向行驶100公里，我们可以用一个向量→AB来表示这辆汽车的位移，其中A代表起点，B代表终点。

引导学生从生活中观察向量的存在。

步骤二：讲解基本概念1. 定义平面向量：引导学生理解向量的定义，并给出明确的数学表达。

解释向量的长度和方向的概念。

2. 向量的表示方法：通过几何图形和代数形式，分别向学生展示向量的表示方法，例如用有向线段表示、用坐标表示等。

让学生通过绘制向量以及阅读示例题，加深对这些表示方法的理解。

步骤三：向量运算1. 向量的加法：通过几何图形和坐标表示法，教授如何进行向量的加法运算。

给出多个实例，让学生进行实际计算和分析。

2. 向量的减法：同样通过几何图形和坐标表示法，教授向量的减法运算。

与向量的加法进行对比，让学生理解向量减法的概念和运算法则。

3. 向量的数量乘法：介绍向量的数量乘法的定义和规则，引导学生掌握向量与数的乘积的概念。

步骤四：应用实例结合习题集和实例题集，设计一些与平面向量相关的问题，引导学生运用所学知识解决几何和代数问题。

例如，利用平面向量解决平行四边形的问题，或者利用平面向量计算三角形的面积。

初三平面向量的应用

初三平面向量的应用在初三数学学习中，平面向量是一个重要的概念，它不仅能够用于描述物体的位移、速度等，还能够应用于解决几何问题。

本文将介绍初三平面向量的应用，包括向量的加法、减法、数量积和向量积在几何问题中的具体运用。

1. 向量的加法和减法在几何中的应用在平面向量中，加法和减法是最基本的运算。

通过向量的加法和减法，我们可以描述物体的位移、速度等信息，并解决相关的几何问题。

例1：已知平面上三个点A、B、C，向量AB=（1，2），向量BC=（-3，4），求向量AC的坐标表示。

解：根据向量的加法，向量AC等于向量AB加上向量BC。

向量AC = 向量AB + 向量BC = (1，2) + (-3，4) = (-2，6)所以向量AC的坐标表示为(-2，6)。

例2：已知向量AB=（1，2），向量BC=（-3，4），向量CD=（2，-3），求向量AD的坐标表示。

解：根据向量的减法，向量AD等于向量AB减去向量CD。

向量AD = 向量AB - 向量CD = (1，2) - (2，-3) = (-1，5)所以向量AD的坐标表示为(-1，5)。

2. 向量的数量积在几何中的应用数量积是向量运算中的一种重要形式，它能够衡量两个向量之间的夹角和长度关系。

在几何中，数量积可用于计算向量之间的夹角、判断是否垂直或平行等问题。

例3：已知向量AB=（1，2），向量BC=（-3，4），求向量AB 和向量BC的夹角。

解：根据向量的数量积公式，夹角θ的余弦值等于向量AB与向量BC的数量积除以它们的长度乘积。

cosθ = (向量AB·向量BC) / (|向量AB|*|向量BC|)= (1*-3 + 2*4) / (sqrt(1^2+2^2) * sqrt((-3)^2+4^2))= (10 / (sqrt(5) * 5)所以θ = arccos(10 / (sqrt(5) * 5))例4：已知向量AB=（1，2），向量BC=（-3，4），判断向量AB和向量BC是否垂直。

初三平面向量的计算与应用

初三平面向量的计算与应用在初中数学中，平面向量是一个非常重要的概念。

它不仅用于计算和解决几何问题，还应用于解决力学、物理等实际问题。

本文将重点介绍初三平面向量的计算方法和一些实际应用。

一、平面向量的概念和表示方法平面向量由大小和方向组成，通常用箭头表示，箭头的长度表示向量的大小，箭头的方向表示向量的方向。

平面向量可以用有序数对表示，也可以用带方向的线段表示。

在数学中，平面向量通常用大写字母加箭头表示，如AB→。

二、平面向量的计算1. 向量的加法向量的加法满足三角形法则，即将两个向量首尾相接，用从第一个向量的起点到第二个向量的终点的向量表示它们的和。

设有两个向量AB→和BC→，则它们的和为AC→。

2. 向量的减法向量的减法可以转化为向量的加法，即将被减向量取反后与减向量进行加法运算。

设有两个向量AB→和BC→，则它们的差为AC→。

3. 向量的数量积向量的数量积又称为点积，表示为AB→·BC→，计算方法为AB→·BC→=|AB→|·|BC→|·cosθ，其中θ为两个向量之间的夹角。

4. 向量的向量积向量的向量积又称为叉积，表示为AB→×BC→，计算方法为AB→×BC→=|AB→|·|BC→|·sinθ·n→，其中θ为两个向量之间的夹角，n→为垂直于AB→和BC→的单位向量。

三、平面向量的应用平面向量在实际应用中具有广泛的作用，下面介绍几个常见的应用场景。

1. 推箱子问题推箱子问题是一个经典的思维逻辑题，解决这个问题时可以利用平面向量的知识。

假设有一个箱子ABCD，需要将其移动到指定位置，可以通过将箱子的位置表示为平面向量来进行计算和推理。

2. 平抛运动平抛运动是物理学中的一个重要概念，在解决平抛运动问题时，可以利用平面向量的知识来计算物体在平面上的位移、速度和加速度等相关参数。

3. 力的分解在解决力的分解问题时，可以利用平面向量的知识将力向量分解为垂直于斜面的分力和平行于斜面的分力，从而简化问题的计算和分析过程。

初中九年级数学向量知识点

初中九年级数学向量知识点数学是一门重要且广泛应用的学科，其中向量是数学中的一个重要概念。

在初中九年级数学课程中，学生将学习关于向量的基本概念、性质以及相关运算法则。

本文将围绕初中九年级数学向量知识点展开讨论。

一、向量的基本概念向量是由大小和方向两个部分组成的量。

在几何上，向量通常用箭头表示，箭头的长度表示向量的大小，箭头的方向表示向量的方向。

向量记作AB（向量上加一个箭头）或者直接用字母a、b等表示。

二、向量的表示方法有多种方式来表示一个向量，包括数学表示法和几何表示法。

（一）数学表示法在数学表示法中，我们用坐标来表示一个向量。

例如，以点A 和坐标原点O为例，向量OA可以表示为：OA = (x1, y1)这里的x1和y1分别表示OA向量在x轴和y轴上的分量。

（二）几何表示法在几何表示法中，我们使用起点和终点的坐标表示一个向量。

以向量AB为例，起点为点A，终点为点B。

我们可以通过两点之间的坐标差来表示该向量：AB = (x2 - x1, y2 - y1)三、向量的性质向量具有一些基本的性质，包括：（一）相等性两个向量相等，当且仅当它们大小相等且方向相同。

（二）相反性一个向量的相反向量，其大小相等但方向相反。

（三）平行性如果两个向量的方向相同或相反，它们是平行的。

（四）共线性如果两个向量在同一直线上，它们是共线的。

（五）零向量零向量表示大小为零的向量，它没有方向。

四、向量的运算有几种基本的向量运算，包括向量的加法、减法和数量乘法。

（一）向量的加法向量的加法是指将两个向量进行相加的运算。

对于两个向量a = (x1, y1)和b = (x2, y2)，它们的和可以表示为：a +b = (x1 + x2, y1 + y2)（二）向量的减法向量的减法是指将一个向量从另一个向量中减去的运算。

对于两个向量a = (x1, y1)和b = (x2, y2)，它们的差可以表示为：a -b = (x1 - x2, y1 - y2)（三）数量乘法向量的数量乘法是指将一个向量乘以一个实数的运算。