【9年级数学】九年级寒假班第7讲：平面向量-学生版

九年级寒假班数学

（学生版）

最

新

教

案

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一、平面向量的相关概念

1、向量：既有大小、又有方向的量叫做向量；

2、向量的长度：向量的大小也叫做向量的长度（或向量的模）；

3、零向量：长度为零的向量叫做零向量，记作0；

4、相等的向量：方向相同且长度相等的两个向量叫做相等的向量；

5、互为相反向量：方向相反且长度相等的两个向量叫做互为相反向量；

6、 平行向量：方向相同或相反的两个向量叫做平行向量． 二、实数与向量相乘的运算

设k 是一个实数，a 是向量，那么k 与a 相乘所得的积是一个向量，记作ka ． 1、 如果0k ≠，且0a ≠，那么ka 的长度ka k a =；

ka 的方向：当k > 0时ka 与a 同方向；当k < 0时ka 与a 反方向．

2、 如果k = 0或0a =，那么0ka =． 三、实数与向量相乘的运算律 设m 、n 为实数，则

平面向量

知识结构

模块一：向量的概念及计算

知识精讲

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（1）()()m na mn a =；（2）()m n a ma na +=+；（3）()

m a b ma mb +=+． 四、平行向量定理

如果向量b 与非零向量a 平行，那么存在唯一的实数m ，使b ma =． 五、 单位向量

单位向量：长度为1的向量叫做单位向量．设e 为单位向量，则1e =． 单位向量有无数个；不同的单位向量，是指它们的方向不同． 对于任意非零向量a ，与它同方向的单位向量记作0a ． 由实数与向量的乘积可知：0a a a =，01a a a =

．

【例1】 向量是既有______又有______的量，它的______也叫向量的长度．

【例2】 有下列说法：

○

1互相平行且长度相等的两个向量是相等的向量； ○

2方向相同且长度相等的两个向量是相等的向量； ○

3方向相反且长度相等的两个向量是相反的向量． 其中正确的说法的个数有( ) A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个

【例3】 计算：AB BA +=______．

【例4】 如果非零向量a 、b 满足3a b =-，那么a 与b 的方向______，a 、b 满足的关系

式是______．

【例5】 下列命题中的假命题是( )

A ．向量A

B 与BA 的长度相等 B ．只有零向量的长度等于0

C ．平行的单位向量方向都相同

例题解析

D ．两个相等向量若起点相同，则终点必相同

【例6】 如果向量e 是单位向量，设5PQ e =-，那么PQ =______．

【例7】 （2015学年·松江区二模·第9题）计算：()

23a b b -+=______．

【例8】 （2015学年·浦东新区二模·第10题）计算：()()

322a b b a -+-=______． 【例9】 下列说法中，正确的是( )

A ．一个向量与零相乘，乘积为零

B ．向量不能与无理数相乘

C ．非零向量乘以一个负数所得向量比原向量短

D ．非零向量乘以一个负数所得向量与原向量方向相反

【例10】 已知非零向量a ，求作2a ，a -．

【例11】 （2014学年·长宁区二模·第13题）已知b ka =，如果2a =，6b =，

那么实数k =______．

【例12】

5m n a +=，2m n a -=-，那么m 与n 是平行向量吗？

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一、 平面向量的加减法则

1、几个向量相加的多边形法则；

2、向量减法的三角形法则；

3、向量加法的平行四边形法则． 二、 向量的线性运算

向量加法、减法、实数与向量相乘以及它们的混合运算叫做向量的线性运算．

如25a b +、3a b -、()

23a b +、3553a a b ⎛

⎫-+- ⎪⎝

⎭等，都是向量的线性运算．

一般来说，如果a 、b 是两个不平行的向量，c 是平面内的一个向量，那么c 可以用a 、b 表示，并且通常将其表达式整理成c xa yb =+的形式，其中x 、y 是实数．

三、 向量的合成与分解

如果a 、b 是两个不平行的向量，c ma nb =+（m 、n 是实数），那么向量c 就是向量ma 与nb 的合成；也可以说向量c 分解为ma 、nb 两个向量，这时，向量ma 与nb 是向量c 分别在a 、b 方向上的分向量，ma nb +是向量c 关于a 、b 的分解式． 平面上任意一个向量都可以在给定的两个不平行向量的方向上分解．

【例13】 如图，已知a 、b ，求作向量：1

2

a b -，2a b +．

模块二：向量的线性运算

例题解析

a

b

知识精讲

A

B

C

D

M

【例14】 如图，已知向量OA 、OB 和a 、b ，求作：

（1）向量a 分别在OA 、OB 方向上的分向量； （2）向量b 分别在OA 、OB 方向上的分向量．

【例15】 已知向量a 、b 不平行，x 、y 是实数，且()231xa yb ya x b +=--，求x 、y 的值．

【例16】 如图，已知等腰梯形ABCD 中，AB = 2CD ，点M 是AB 的中点．在以点A 、B 、C 、

D 、M 中的两点为起点和终点的向量中， （1）写出所有与向量AB 平行的向量；

（2）设3CD =，写出向量AB 的长度以及所有与向量CD 互为相反向量的向量； （3）设AD a =，CD b =，分别将向量DM 、BC 、BD 用向量a 、b 表示出来．