数字图像处理――数学形态学mathematical .
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数字图像处理第9章-数学形态学原理(1)..
集合代表图像中物体的形状，例如：在二进 制图像中所有黑色像素点的集合就是对这幅图像 的完整描述。在二进制图像中，当前集合指二维 整形空间的成员，集合中的每个元素都是一个二
9.2 数学形态学的基本概念和运算
在数学意义上，我们用形态学来处理一些图像, 用以描述某些区域的形状如边界曲线、骨架结构和 凸形外壳等。另外,我们也用形态学技术来进行预 测和快速处理如形态过滤，形态细化，形态修饰等。 而这些处理都是基于一些基本运算实现的。
用于描述数学形态学的语言是集合论。数 学形态学最初是建立在集合论基础上的代数系 统。它提出了一套独特的变换和概念用于描述 图像的基本特征。这些数学工具是建立在积分 几何和随机集论的基础之上。这决定了它可以 得到几何常数的测量和反映图像的体视性质。
1）提出所要描述的物体几何结构模式，即 提取物体的几何结构特征；
2）根据该模式选择相应的结构元素，结构 元素应该简单而对模式具有最强的表现力；
3）用选定的结构元对图像进行击中与否（HMT）变换， 便可得到比原始图像显著突出物体特征信息的图像。 如果赋予相应的变量，则可得到该结构模式的定量 描述；
4）经过形态变换后的ຫໍສະໝຸດ 像突出了我们需要的信息， 此时，就可以方便地提取信息；
1964年，法国学者J.Serra对铁矿石的岩相 进行了定量分析，以预测铁矿石的可轧性。几乎 在同时，G.Matheron研究了多孔介质的几何结构、 渗透性及两者的关系，他们的研究成果直接导致 “数学形态学”雏形的形成。
随后，J.Serra和 G.Matheron在法国共同建立了枫 丹白露（Fontainebleau）数学形态学研究中心。在 以后的几年的研究中，他们逐步建立并进一步完善 了“数学形态学”的理论体系，此后，又研究了基 于数学形态学的图像处理系统。
《数图》第11章形态学处理
9
3.形态学运算过程
图像集合X 和结构元素B之间的逻辑运算，
结构元素 B
过程类似于卷积运算。
形
态
输入图像 X
学 运
算
输出图像 Y
图11.3 形态学图像处理运算过程示意图
Digital Image Processing
10
第2节 基本形态学处理
二值形态学运算： 二值图像X 集合，二值结构元素B 集合， 用B 对X 进行形态学操作（运算）。
A的补集，记为Ac，定义为 Ac {x | x A} 。
如一幅二值图像中目标的补集就是它的背景。
Digital Image Processing
4
7）差集：
两个集合A和B的差集，记为A-B，定义为：
A B {x | x A, x B} A I Bc （11.1）
8）对称集：
集合A的对称集（又称反射）记为 Aˆ ，定义为：
数字图像处理基础
Digital Image Processing
第十一章 形态学处理
Digital Image Processing 1
形态学（morphology） 生物学的一个分支，常用它来处理动物和植物的形状和结构，
数学形态学（mathematical morphology） 建立在集合论基础上的数学理论。
13
将类似卷积的形态学逻辑运算转化为与计算机相适应的位移运算。 【例11.2】例11.1的图像采用向量运算进行腐蚀。
图像的左上角像素设为（0,0），结构元素的参考点（0,0）是B中的“+”点。 为：X={(2,2),(2,3),(3,3),(4,3)X,(3,4),(4,4),(3,5)}，共7个像素； 为：B={(0,0),(1,0),(0,1)}ocessing
数字图像处理_第六章形态学
(a) 强邻接象素模板 (b)弱邻接象素模板 (c)邻接象素模板 相对原点的各种邻接象素模板
第二十七页，共71页。
6.3 二值图像的形态学处理
1 基本概念 强连通：假设x和y为区域中的任意两个象素，在x和y之间存在一
个象素序列，若该象素序列也在这个区域中，且序列中象素间为 强邻接的，则这个区域是强连通的。
AB
利用圆盘膨胀
第十三页，共71页。
6.2 数学形态学基本算法
2、腐蚀与膨胀 膨胀
膨胀的等效方程：膨胀可以通过相对结构元素的所有点 平移输入图像，然后计算其并集得到。
A B { A b :b B }
第十四页，共71页。
用膨胀的等效方程计算膨胀结果
A
B
膨胀结果
第十五页，共71页。
6.2 数学形态学基本算法
A
B
包含、击中和击不中示意图
第五页，共71页。
6.2 数学形态学基本算法
1、基本概念 平移：将一个集合A平移距离x可以表示为A+x，其定义为：
A x{ax|a A }
A a
A+x a+x
x
二值图象的平移
第六页，共71页。
6.2 数学形态学基本算法
1、基本概念
对称集：设有一幅图像A，将A中所有元素相对原点转180o，即
腐蚀过程中，不连通的区域不断产生，某些区域又不断消失，
一个连通成分在消失前的最后一步，称为最终连通成分。所有
最终连通成分的并就是相对B的极限腐蚀，用
来表示。
Ult( A)
第四十三页，共71页。
6.3 二值图像的形态学处理
5、流域分割方法
基本概念
距离函数：对于A内给定一点x，距离函数dist(x)为从x
第二十七页，共71页。
6.3 二值图像的形态学处理
1 基本概念 强连通：假设x和y为区域中的任意两个象素，在x和y之间存在一
个象素序列，若该象素序列也在这个区域中，且序列中象素间为 强邻接的，则这个区域是强连通的。
AB
利用圆盘膨胀
第十三页，共71页。
6.2 数学形态学基本算法
2、腐蚀与膨胀 膨胀
膨胀的等效方程：膨胀可以通过相对结构元素的所有点 平移输入图像，然后计算其并集得到。
A B { A b :b B }
第十四页，共71页。
用膨胀的等效方程计算膨胀结果
A
B
膨胀结果
第十五页，共71页。
6.2 数学形态学基本算法
A
B
包含、击中和击不中示意图
第五页，共71页。
6.2 数学形态学基本算法
1、基本概念 平移：将一个集合A平移距离x可以表示为A+x，其定义为：
A x{ax|a A }
A a
A+x a+x
x
二值图象的平移
第六页，共71页。
6.2 数学形态学基本算法
1、基本概念
对称集：设有一幅图像A，将A中所有元素相对原点转180o，即
腐蚀过程中，不连通的区域不断产生，某些区域又不断消失，
一个连通成分在消失前的最后一步，称为最终连通成分。所有
最终连通成分的并就是相对B的极限腐蚀，用
来表示。
Ult( A)
第四十三页，共71页。
6.3 二值图像的形态学处理
5、流域分割方法
基本概念
距离函数：对于A内给定一点x，距离函数dist(x)为从x
数字图像处理8
数学形态学—开和闭
形态学滤波应用（例）——去噪 图(a)中的二值图像A是受噪声污染的部分指纹图像——噪声表现为黑色 背景上的亮元素和亮指纹部分的暗元素。 ——由开操作后紧跟着闭操作形成的形态学滤波器可以消除噪声 图(b)是所使用的结构元素。 图(c)是使用结构元素对A腐蚀的结果——背景噪声在腐蚀过程中被消除， 但包含于指纹中的噪声元素的尺寸增加了。 图(d)是对(c)再进行膨胀的结果（即对A的开）——包含于指纹噪声分量 的尺寸被减小，但指纹纹路间产生了新的间断。 图(e)是在开操作的基础上进行膨胀的结果——间断被恢复，但纹路变 粗了，可以通过腐蚀弥补。 图(f)是对(d)态学—击中或击不中变换
4、击中或击不中变换 (HMT) ——形状检测的基本工具。 若B表示由X和X的背景构成的集合，则在A中对X进行的匹配表 示为：
_ _ AB = (A X)[Ac (WX)]
（W是包含X的窗口）
图(a)为集合A（三种形状目标）； 图(b)为包含待检测形状X的窗口W和X的背景(WX);
A B
形态学概念
数学形态学—基本概念
一、基本概念
集合—具有某种性质的确定的事物的全体（“空集”
表示某种事物不存
在) 子集—当且仅当集合A的所有元素都属于B时，称A为B的子集
并集— 交集—
A和B的所有元素的集合成为A和B的并： AB A和B的共同元素的集合成为A和B的交： A B Ac = {x| xA } AB = {x| xA, xB } = ABc A A的映像为 ^= {x| x= a, aA} A相对于x 的平移为 (A)x = {z | z = a+x , aA}
边界提取
_ (A) = A – A B
所选结构元素使 边界为4连通
数字图像处理(Mathematical Morphology)
膨胀
A
B AB
离散情况下的明克夫斯基和（膨胀）
小结
1、膨胀可以实现图像缝隙的连接；
2、腐蚀可以去除小颗粒噪声或毛刺；
3、多种组合，实现开、闭、击中、击不中； 4、典型的非线性滤波，滤波效果可交互控制；
5、模板设计与算法设计
膨胀、腐蚀的组合滤波效果
应用
边界提取
骨架抽取 极限腐蚀 Top-hat变换 流域变换 灰度形态变换
腐蚀的性质
1、如果原点在结构元素的内部，则腐蚀后的图像为原图像 的一个子集，即腐蚀具有收缩图像的作用，也就是可以去除 比模板小的噪声； 2、如果原点不在结构元素的内部，则腐蚀后的图像可能不 在原图像的内部，反而可能具有填充图像内孔洞的作用。
A
A
B
B
原点在结构元素内部时的腐蚀
原点不在结构元素内部时的腐蚀
Applications
– Filtering – Segmentation – Coding & Compression – Object detection – Computer vision
Question
What is Mathematical Morphology ?
A Commercial Answer
A B 集合A被集合B―腐蚀”，表示为
AB {x : B x A}
其中A为输入图像，B为结构元素 腐蚀的结果由将B平移x，但仍然包含在A内的所 有x点组成。 如果将B看作模板，则由在平移过程中，所有可 以填入A 内部的模板的原点组成。 腐蚀还有几种常用表示：E(A,B)，ERODE(A,B)
– Basic Morphology Operators
HALCON数字图像处理 第9章 数学形态学
并、交、补、减
HALCON数字图像处理
9.3 形态学基本运算
▪ 腐蚀 (erosion) ▪ 膨胀 (dilation) ▪ 开、闭运算 (opening 、 closing) ▪ 击中击不中变换 (hit-or-miss)
HALCON数字图像处理
1、腐蚀 (erosion)
定义：
集合A被集合B腐蚀，表示为 AB，数学形式为
HALCON数字图像处理
1、边界提取 (Boundary)
腐蚀膨胀最常用的应用是计算区域的边界：相当于采用 一个3*3的结构元素对原图像进行腐蚀，只有那些8邻域都是 黑点的内部点被保存，再用原图像减去腐蚀后的图像。
（a）原图 （b）腐蚀的结构元素B （c）A被B腐蚀 （d） 用A减去（c）中腐蚀图像
5、击中击不中变换 (hit-or-miss)
击中击不中变换需要两个结构基元E和F，一个探测图 像内部，一个探测图像外部，其定义为：
A B ( Aห้องสมุดไป่ตู้) ( ACF ) E F EUF B
击中与击不中变换是用我们感兴趣的E去腐蚀图像A， 得到的结果是使E完全包含于A的图像内部时其中心点位 置的集合U1，可以将U1看作是E在A中所有匹配的中心点 的集合。
开运算相关算子：opening；opening_circle；opening_rectangle1等
HALCON数字图像处理
4、闭运算 (closing)
闭运算是开运算的对偶运算，定义为先作膨胀然后再
作腐蚀。利用B对A作闭运算表示为 A • B ，定义为:
A • B [A (B)(B)]
闭运算是用-B对A进行膨胀，将其结果用-B进行腐蚀。 闭运算通常会弥合较窄的间断和细长的沟壑，还能消除
HALCON数字图像处理
9.3 形态学基本运算
▪ 腐蚀 (erosion) ▪ 膨胀 (dilation) ▪ 开、闭运算 (opening 、 closing) ▪ 击中击不中变换 (hit-or-miss)
HALCON数字图像处理
1、腐蚀 (erosion)
定义：
集合A被集合B腐蚀，表示为 AB，数学形式为
HALCON数字图像处理
1、边界提取 (Boundary)
腐蚀膨胀最常用的应用是计算区域的边界：相当于采用 一个3*3的结构元素对原图像进行腐蚀，只有那些8邻域都是 黑点的内部点被保存，再用原图像减去腐蚀后的图像。
（a）原图 （b）腐蚀的结构元素B （c）A被B腐蚀 （d） 用A减去（c）中腐蚀图像
5、击中击不中变换 (hit-or-miss)
击中击不中变换需要两个结构基元E和F，一个探测图 像内部，一个探测图像外部，其定义为：
A B ( Aห้องสมุดไป่ตู้) ( ACF ) E F EUF B
击中与击不中变换是用我们感兴趣的E去腐蚀图像A， 得到的结果是使E完全包含于A的图像内部时其中心点位 置的集合U1，可以将U1看作是E在A中所有匹配的中心点 的集合。
开运算相关算子：opening；opening_circle；opening_rectangle1等
HALCON数字图像处理
4、闭运算 (closing)
闭运算是开运算的对偶运算，定义为先作膨胀然后再
作腐蚀。利用B对A作闭运算表示为 A • B ，定义为:
A • B [A (B)(B)]
闭运算是用-B对A进行膨胀，将其结果用-B进行腐蚀。 闭运算通常会弥合较窄的间断和细长的沟壑，还能消除
Mathematica数字图像处理功能颇强（1）
Mathematica数字图像处理功能颇强（1）来源看到这样一个例子,如何把图片中的红球变成蓝色。
实现方法目前三个答案里面最好的一个来自自称有“工程师强迫症”的@belisarius：思路是，先生成球的蒙板，再仅对特定区域的颜色作处理，这样就不会影响其它部分。
1.结果2 . 代码i=Import["/Qr7Tx.jpg"];getReds[x_Image]:=First@ColorSeparate[x,"Hue"]isolateSphere[x_Image]:=SelectComponents[Binarize[getRe ds[x],.9],Large]makeMask[x_Image]:=Image@Graphics[Disk@@(1/.Compo nentMeasurements[isolateSphere[x],{"Centroid","BoundingDisk Radius"}]),{PlotRange->Thread[{1,#}],ImageSize->#}&@ImageDi mensions@x]getAreaToChange[x_Image]:=ImageMultiply[i,ColorNegate @makeMask[x]]shiftColors[x_Image]:=Image[ImageData[getAreaToChange[ x]]/.p:{r_,g_,b_}/;r>.3:>RotateLeft[p,1]]finishIt[x_Image]:=ImageAdd[ImageMultiply[x,makeMask[x] ],ColorConvert[shiftColors[x],"RGB"]]{#,getReds@#,isolateSphere@#,makeMask@#,getAreaToCh ange@#,shiftColors@#,finishIt@#}&@i•1•2•3•4•5•6•7•8这个例子只是让人感受一下， Mathematica中已经提供了足够强大的函数功能完成一些颇为复杂的数字图象处理过程。
12形态学图像处理介绍
腐蚀运算的示例
图(a)中的阴影部分为集合X，图(b)中的中的阴 影部分为结构元素S，而图(c)中黑色部分给出 了腐蚀结果。
由图可见，腐蚀将图如果B上 的所有点都包含在X的范围内，则该点保留， 否则删除。
matlab中与腐蚀相关的两个函数为 (1) imerode I2=imerode(I, SE) I为原始图像，对应为二值图像 SE为由strel函数返回的自定义或预设的结构元 素对象 (2) strel strel函数为形态学运算生成结构元素SE，当生 成供二值形态使用的结构元素时，调用形式为： SE= strel(shape, parameters)
第二种情形说明S+x与X不相关，
而第三种情形说明S+x与X只是部分相关
2. 二值图像中形态学运算
1、腐蚀及其实现
对于集合A和S，使用S对A进行腐蚀，记为A S， 定义为：
AS {z | (S ) z A}
如果当S的原点移到z点时S能够完全包含于A中， 则所有这样的z点构成的集合即为S对A的腐蚀 图像。 腐蚀运算的结果不仅与结构元素的形状(矩形、 圆形、菱形等)选取有关，而且还与原点位置的 选取有关。
形态学图像处理
形态学即数学形态学（Mathematical Morphology)主要用于从图像中提取对表达和描 绘区域形状有意义的图像分量。 基本思想：用具有一定形态的结构元素去度量 和提取图像中的对应形状以达到对图像分析和 识别的目的 形态学图像处理的数学基础和所用语言是集合 论
形态学图像处理表现为一种邻域运算形式；
一种特殊定义的邻域称之为“结构元素” （Structure Element），在每个像素位置上它与 二值图像对应的区域进行特定的逻辑运算，逻 辑运算的结果为输出图像的相应像素。 形态学运算的效果取决于结构元素的大小、内 容以及逻辑运算的性质。
数字图像处理形态学
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形态学操作是由一组形态学代数运算子组 成的，它的基本运算有4个：
膨胀（或扩张）- Dilating 腐蚀（或侵蚀）- Eroding 开启（开运算）- Opening 闭合（闭运算）- Closing
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腐蚀
把结构元素B平移a后 得到Ba，若Ba包含于X， 我们记下这个a点，所 有满足上述条件的a点 组成的集合称做X被B 腐蚀的结果。用公式 表示为：
形态学的数学基础和所用语言是集合论
它具有完备的数学基础，这为形态学用于图像分 析和处理、形态滤波器的特性分析和系统设计奠 定了坚实的基础
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1. 元素（element）
设有一幅图象X，若点a在X的区域以内， 则称a为X的元素，记作a∈X
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2．结构元素（structure element）
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设有两幅图象B，X。若X是被处理的对 象，而B是用来处理X的，则称B为结构元素， 又被形象地称做刷子。结构元素通常都是 一些比较小的图象。
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3. B包含于X（included in） 设有两幅图象B，X。对于B中所有的元
素bi，都有bi∈X，则称B包含于X，记作
BX
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8
开运算： 蓝色
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形态学用于灰度图像边缘检测处理
原始遥感图像
形传传态统统学soL灰baep度lla算边ce子缘算结检子果测结结果果
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18
消除城市地图中道路上的文字噪声
地图的原图
形态梯度效果图
梯度消除文字效果图
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数学形态学
数字图像处理中的形态学（摘自某文献，因为贴图的数目有限制，后面的公式图片没有能够上，电脑重装后文档已经找不到了，囧）一引言数学形态学是一门建立在集论基础上的学科，是几何形态学分析和描述的有力工具。
数学形态学的历史可回溯到19世纪。
1964年法国的Matheron和Serra在积分几何的研究成果上，将数学形态学引入图像处理领域，并研制了基于数学形态学的图像处理系统。
1982年出版的专著《Image Analysis and Mathematical Morphology》是数学形态学发展的重要里程碑，表明数学形态学在理论上趋于完备及应用上不断深入。
数学形态学蓬勃发展，由于其并行快速，易于硬件实现，已引起了人们的广泛关注。
目前，数学形态学已在计算机视觉、信号处理与图像分析、模式识别、计算方法与数据处理等方面得到了极为广泛的应用。
数学形态学可以用来解决抑制噪声、特征提取、边缘检测、图像分割、形状识别、纹理分析、图像恢复与重建、图像压缩等图像处理问题。
该文将主要对数学形态学的基本理论及其在图像处理中的应用进行综述。
二数学形态学的定义和分类数学形态学是以形态结构元素为基础对图像进行分析的数学工具。
它的基本思想是用具有一定形态的结构元素去度量和提取图像中的对应形状以达到对图像分析和识别的目的。
数学形态学的应用可以简化图像数据，保持它们基本的形状特征，并除去不相干的结构。
数学形态学的基本运算有4个：膨胀、腐蚀、开启和闭合。
它们在二值图像中和灰度图像中各有特点。
基于这些基本运算还可以推导和组合成各种数学形态学实用算法。
（1）二值形态学数学形态学中二值图像的形态变换是一种针对集合的处理过程。
其形态算子的实质是表达物体或形状的集合与结构元素间的相互作用，结构元素的形状就决定了这种运算所提取的信号的形状信息。
形态学图像处理是在图像中移动一个结构元素，然后将结构元素与下面的二值图像进行交、并等集合运算。
基本的形态运算是腐蚀和膨胀。
数字图像Ch08-形态学处理
3)数字图像形态学处理的目的
研究数字图像中物体目标的结构及拓扑关系.
2 基本处理定义
1)二值形态学处理
A, B E N , A为物体,B为结构单元 结构单元B包含于A,记作B A; 结构单元B击不中A ( MISS ),B ∩ A = ; 结构单元B击中A ( HIT ),记作B ∩ A ≠ ;
3 形态学变换
A B
A
B
A
B
3 形态学变换
Lenna close 变换后的二 值图像
3 形态学变换
3)交变序列滤波器(ASF)
(1)开运算对并噪声的滤波作用
未被噪声污染的图像S 噪声图像N 被噪声污染的图像
S∪N
因为 S B (S ∪ N ) B S ∪ N 因此 滤波后的图象在非噪声污染图象和噪声污染图象之间
4 形态学变换的应用
5 灰度图像形态学
灰度图像膨胀和腐蚀
以像素邻域的最大值和最小值来定义 以像素邻域的最大值和最小值来定义 最大值 灰度膨胀
(f
⊕ b ) ( x , y ) = max f ( x x ′, y y ′ ) + b ( x ′, y ′ ) ( x ′, y ′ ) ∈ Db
集合A与二值图像 集合 与二值图像f(x,y)的关系 与二值图像 的关系
2 基本处理定义
2 基本处理定义
2)平移(translation)
A, x E N,A平移x记作Ax,定义为 Ax = c E N , c = a + x, a ∈ A} 其中AB 表示x = B时的平移.
{
例:A = ( 0,1) , (1,1) , ( 2,1) , ( 2,2 ) , ( 3,0 )}, x = ( 0,1)}
数学形态学在图像处理中的应用
灰度形态学运算
灰度腐蚀
灰度膨胀
通过结构元素来腐蚀灰度图像，使图像的亮 度值发生变化，达到去噪声、平滑图像的目 的。
通过结构元素来膨胀灰度图像，扩大亮区范 围，连接断开的物体。
灰度开运算
灰度闭运算
先进行灰度腐蚀操作，再进行灰度膨胀操作 ，可以消除小的物体，同时平滑边界。
先进行灰度膨胀操作，再进行灰度腐蚀操作 ，可以填充小的孔洞，同时平滑边界。
彩色形态学运算
彩色腐蚀
通过结构元素来腐蚀彩色图像，使 图像的颜色发生变化，达到去噪声 、平滑图像的目的。
彩色膨胀
通过结构元素来膨胀彩色图像，扩 大颜色范围，连接断开的物体。
彩色开运算
先进行彩色腐蚀操作，再进行彩色 膨胀操作，可以消除小的物体，同 时平滑边界。
彩色闭运算
先进行彩色膨胀操作，再进行彩色 腐蚀操作，可以填充小的孔洞，同 时平滑边界。
可能改变图像特征
如果使用不当，数学形态学方法 可能会改变图像中的一些特征， 这可能会对后续处理产生影响。
对噪声敏感
如果图像中存在噪声，数学形态 学方法可能会将噪声放大，导致 处理效果不佳。
05
数学形态学在图像处理中的未来展望及改
进建议
未来展望
理论深入研究
数学形态学作为一门新兴的交叉学科，其理论体 系仍需进一步深化和完善。未来，可以期待在理 论创新方面取得更多突破。
• 图像分割：通过形态学运算将图像分割成不同的 区域或对象，方便后续的分析和处理。
• 特征提取：利用形态学运算提取图像中的 形状和结构信息，用于识别和分类。
• 图像压缩：通过形态学运算实现图像的压缩 和编码，降低存储空间的需求。
• 图像恢复：利用形态学运算来修复和恢复 图像中的缺失或损坏部分，实现图像的修 复和还原。
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