梁的强度和刚度计算

例7-2 18号工字钢制成的简支梁如图所示。试求D截面上a、b两 点处的正应力。 解：(1)求D截面的弯矩： MD=30kN.m (2)确定中性轴位置 和截面惯性矩： 查型钢表 IZ=1660cm4 (3)求D截面a、b两点的正应力： 180 y a yb 10 .7 79.3mm; 2 M D ya 30 10 3 79 .3 10 3 a 143 .3MPa; 8 z 1660 10
max
105 0 0
M max
d , b(截面尺寸取整！）
(3)确定梁的 许可荷载
M max M Wz P ; M Qmax [Q ] [ ] A [ P ](取[ P ]为[ P ] . ） h/2
b h2 bh3 2 y1bdy ( y ); I z , 2 4 12
η沿截面高度按 抛物线规律变化。
Q h2 6Q h 2 2 ( y ) 3 ( y 2 ); 2I z 4 bh 4
h 6Qh 2 3 Q y , 0; y 0, max ; 3 2 4bh 2 bh
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二、正应力公式的推导：
（一）变形几何关系：
取梁微段dx考虑变形 几何关系，得应变规律：

S yd y ; dx d
当M>0时：y>0,ε>0，为受拉区；y<0,ε<0,为受压区。 （二）物理关系： y 由假设2及虎克定律，梁横 E E 截面上的正应力变化规律为： 此式表明：梁横截面上任一点的正应力，与该点距中性轴 （z轴）的距离y成正比，而与该点距y轴的距离z无关。正应 力沿截面高度呈直线规律分布。中性层处y=0,ζ＝0；上下边 缘处有ymax，故有ζmax。 返回 下一张 上一张 小结
b 143 .3MPa;
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第二节 梁横截面上的剪应力
一、矩形截面梁： 矩形截面梁任意截面上剪力Q 都与对称轴重合。对狭长横截面上 剪应力的分布规律可作两个假设： (1)横截面上各点均与该面上Q 同向且平行； (2)剪应力沿截面宽度均匀分布。 从梁微段中取窄条cdmn分析：
N1 * 1dA
A
M M dM Sz ; N2 Sz ; Iz Iz
N 2 dT 0;
dT ' bdx;
x 0, N
'
1
dMSz dM , Q, ' ; dxI z b dx

QS z ; I zb
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W1 z 763 763 146 .7cm3 ;W2 z 86.7cm3 ; y1 5.2 y2 8.8
（三）静力学关系： 纯弯曲梁上各点只有正应力，微面积dA上法 向合力dN=σdA。截面上各微内力形成沿X轴的空 间平行力系。可简化成三个内力分量：Nx、My、Mz。
E M y zdA 0 zydA 0; —中性轴是截面的形心主轴。

N d 0
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所有开口薄壁截面的剪应 力均符合“剪应力流”规 律。 2. T字型截面： T字型截面与工字型截面 * QS z 相似，最大剪应力仍发生在截 Izd 面中性轴上。其腹板上应力为：
3. 圆形及环形截面： 圆形与薄壁环形截面其最大竖向剪应力 也都发生在中性轴上，并沿中性 4Q max 轴均匀分布，其值为： 圆形截面 3 A1 薄壁环形截面 2 Q max A2 式中：Q—截面上的剪力 A1、A2—圆形、薄壁环形截面的面积
max
M max ymax M max ; Iz Wz
令W z Iz ; ymax
Wz ___ 抗弯截面系数（模量），反映截面抵抗弯曲变形的能力；单位：m3 , mm 3 . bh2 D 3 D 3 矩形截面：Wz ;圆形截面：Wz ; 环形截面：Wz (1 4 ); 各种型钢查表。 6 32 32
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例7-3：矩形截面简支梁如图,已 知:l=2m,h=15cm,b=10cm,h1=3cm, q=3kN/m.试求A支座截面上K点 的剪应力及该截面的最大剪应力. 解：1、求剪力：QA=3kN
bh3 10 15 3 z 2810 cm4 12 12 S z * yc 10 4.5 5.25 236 cm3
max 3Q 3 ; 2A 2
（ 平均剪应力）
由剪切虎克定律η＝Gγ，知剪应变 沿截面高度也按抛物线规律变化，引起 截面翘曲。但变形很小，可忽略不计。
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二、其它形状截面的剪应力：
1. 工字形截面梁： 工字形截面是由上、下翼缘及中间腹板组成的。 1)腹板上的剪应力：腹板为狭长矩形,承担截面绝大部分剪应力。 故中性轴处有最大剪应力 QS z max Q 或 max max h1d zd
例7-5 图示为T形截面的铸铁梁。已知： y1=5.2cm,y2=8.8cm,P1=10.8kN,P2=4.8kN, a=1m,铸铁许用拉应力[+]=30MPa,许用压 应力[-]=60MPa,试校核梁的正应力强度。 解：(1)作出梁的弯矩图,可知: MC=3.0KN.m; MD=-4.8KN.m (2)梁的两个抗弯截面模量为:
例7-4 倒T形截面外伸梁如图, l=600mm,b=30mm,P1=24kN,
已知：
P2=9kN, y1=72mm, Iz=573cm4,
试求 梁横截面上的最大剪应力。 解：1. 求最大剪力： 在CB梁段。 1 1 S z A* yo by12 30 72 2 77800 mm 2 ; 2 2 2. 求最大剪应力：
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正应力公式的使用范围：①纯弯曲梁；②弹性范围（ζ≤ζp）； ③平面弯曲（截面有对称轴，形状不限）；④细长梁的横力弯曲。 （一般l/h>5为细长梁，其计算误差满足工程精度要求δ<5％。）
例7-1 图示悬臂梁。试求C截面上a、b两点的正应力和该截面最大拉、压应力。 解：（1）计算C截面的弯矩M M c 2 P 2 1.5 3KN m （2）确定中性轴位置，并计算惯性矩 bh3 12 18 3 z 5830 cm4 12 12 18 ya 3 6cm; yb 3cm. （3）求a、b两点的正应力 2 M c ya 3 10 3 0.06 a 3.09 MPa; 8 z 5830 10 M c yb 3 10 3 0.03 b 1.54 MPa; 8 z 5830 10 h 18 ymax 9cm; (4)求C截面最大拉应力+max和最大压应力 -max 2 2 M c ymax 3 10 3 9 10 2 max 4.63 MPa max ; z 5830 10 8 （在截面上下边缘。） 返回 下一张 上一张 小结
横截面上只有弯矩而没有剪力 的弯曲称作纯弯曲。
如图简支梁，AC、DB段为横 力弯曲；CD段为纯弯曲。 本章研究梁的应力和变形计算， 解决梁的强度和刚度计算问题。
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第一节 梁横截面上的正应力
为推导梁横截面上的正应力，考虑纯弯曲情况。 用三关系法：实验观察→平面假设； 几何关系→变形规律， 物理关系→应力规律， 静力学关系→应力公式。 一、实验观察与分析： ①横线仍为直线,但倾斜角度d； ②纵线由直变弯,仍与横线正交, 凸边伸长, 凹边缩短； ③横截面相对于纵向伸长区域缩 短，纵向缩短区域伸长。 假设:①平面假设—变形前 后横 截面保持平面不变； ②单向受力假设—纵向纤维之间互不挤压仅伸长或缩短。 中性层—长度不变的纤维层； 中性轴—中性层与横截面的交线。
E
yd 0 —中性轴Z必通过形心。
M z ydA M

E 2 y dA M
My z —纯弯曲梁横截面上任一点正应力计算公式
1 M —纯弯曲梁的 ; E z 变形计算公式
Iz—截面对其中性轴的惯性矩； M—截面上的弯矩； y—所求正应力点到中性轴的距离。 为避免符号错误，计算中各量以绝对值代入，ζ符号依点 所处区域直接判断。（根据弯矩方向，中性轴将截面分为受 拉区和受压区；M>0,上压下拉；M<0，上拉下压。） 式中:
对称截面梁的正应力强度条件： max
M max [ ] __ 弯曲许用应力，查表确 Wz
定。
非对称截面梁的正应力强度条件： max
M max [ ] __ 弯曲许用应力，查表确 定。 Wz 返回 下一张 上一张 小结
二、剪应力强度条件： max
Q k [ ] __ 材料的许用剪应力，试 A
验确定。
Q 3 4 矩形截面：k ;圆形截面：k ; 环形截面：k 2; 各种型钢查表或k 1( max max )。 2 3 h1d
三、梁的强度计算： 一般情况下，细长梁多为横力弯曲，横截面上同时存在弯矩 和剪力，应同时满足正应力和剪应力强度条件。由此可进行三方 面的强度计算： (1)强度校核: max 105 % max 105 % (2)选择截面: Wz
2、求K点剪应力：
QA S z 3 10 3 236 10 3 k 0.252 MPa 4 1 zb 2810 10 10 10
3、求最大剪应力：
max
Q 1.5 3 10 3 1.5 0.3MPa 2 A 15 10 10
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式中:Q—横截面上的剪力； h1—腹板高度； Iz— 截面对z轴惯性矩； d—腹板厚度； Szmax—中性轴一侧面积对中性轴的惯性矩； （对于型钢，Szmax：Iz 的值可查型钢表确定）