梁的正应力

200kN吊车
150kN吊车
2≤x ≤2.667
2.确定工字钢型号
A
FA
C
F l
辅助梁
B M ( A = 200×(l −2.667) =266.6kN m ) m ax
x
m ax FB Mm (B) =150×2 =300kN
σm = ax
W≥ Z
Mm (B) ax ≤[σ] W z
Mm (B) ax
MZ = ρ EIZ 1
dx
y
Mz y σ= Iz
M
M
中性轴
MZ:横截面上的弯矩
m
n
z
y
y:到中性轴的距离
o
o
dA
σ
IZ:截面对中性轴的惯性矩
σ
M
m
dx
n
z
y
M
Mz Mz y σmx = σ= a W Iz z
σmx = a
M( x) W z
中性轴
正应力计算公式适用范围
M σ= y Iz
横力弯曲时，截面上有切应力， 横力弯曲时，截面上有切应力，平面假设不严格成立 之比大于5（即为细长梁） 但当梁跨度 l 与高度 h 之比大于 （即为细长梁）时 弹性力学指出： 弹性力学指出：上述公式近似成立 截面惯性积 Iyz = 0 推导时用到郑玄-胡克定律， 推导时用到郑玄 胡克定律，但可用于已屈服的梁截面 胡克定律
σm <σs ax
σm =σs ax
例题 4.20
A
l 2
FL
长为l的矩形截面悬臂梁，在自由端作用一集中力F， 已知b＝120mm，h＝180mm、l＝2m，F＝1.6kN， 试求B截面上a、b、c各点的正应力。 h6 a F B h b C l 2 h2 c b
1 MB = FL 2
1 h F L MB ya 2 3 = σa = bh3 IZ 12
3 求曲率半径
EIz 200×5.832 ρ1 = = ×10 =194.4m M 60 1
例2
外伸梁
P＝20kN q=10kN/m B 2m 2m D 2m y2 C y1
A
E
T形梁截面，用铸铁制成， 形梁截面，用铸铁制成， 形梁截面
Iz = 4.0×107m 4, y1 =140 m y2 =60m m m , m [σt ] =3 M a, [σc] =1 0M a 5 P 0 P
梁横截面上的正应力.梁的正应力条件 纯弯曲时梁横截面上的正应力
a
A
F
F
C
F
D
a
B
F
纯弯曲：梁 受力弯曲后，如 其横截面上只有 弯矩而无剪力， 这种弯曲称为纯 弯曲。
wenku.baidu.comF a
实验现象：
F F
m n
1、变形前互相平行的纵向直线、 变形前互相平行的纵向直线、 变形后变成弧线， 变形后变成弧线，且凹边纤维缩 凸边纤维伸长。 短、凸边纤维伸长。 2、变形前垂直于纵向线的横向 变形后仍为直线， 线,变形后仍为直线，且仍与弯曲 了的纵向线正交， 了的纵向线正交，但两条横向线 间相对转动了一个角度。 间相对转动了一个角度。 平面假设： 平面假设： 变形前杆件的横截面变形后仍 为平面。 为平面。
（2）找出危险截面上的危险点
20kN*m A (-) B D (+) 10kN*m E
M σ= y Iz
y2 C y1
拉应力
a
e
压应力
压应力 B截面 截面
b
d
拉应力 D截面 截面
危险点： 危险点： a, b, d
（3）计算危险点应力 拉应力 计算危险点应力 校核强度
a
e
压应力
M y2 σa = B = Iz
P 拉 = 30M a（ ） B截面 截面 M y1 σb = B 最大压应力： 最大压应力： Iz
压应力
b
d
拉应力 D截面 截面
Pa σ P 压 = −70M a（ ） σcmax = − b = 70M <[σc ]
M y1 σd = d Iz Pa 拉 = 35M （ ）
Pa σtmax =σd = 35M =[σt ]
y
+ m ax − m ax
= 200+50−96.4 =153.6m m =96.4m m
σ
+ m ax
Mm y+ax =24.09M a P = IZ
y
− σm ax
M m =15.12M a y−ax P = IZ
例题 4.23
长为2.5m的工字钢外伸梁，如图示，其外伸部分为0.5m，梁上 承受均布荷载，q=30kN/m，试选择工字钢型号。已知工字钢抗弯 强度［σ］=215MPa。 ］
校核梁的强度。 校核梁的强度。
解： （1）梁的内力分析，找出危险截面 梁的内力分析，
P＝20kN A q=10kN/m B 35kN 20kN*m A (-) B D (+) 10kN*m 危险截面： 危险截面： B, D？ ？ E 画弯矩图： 画弯矩图： 可省去制表 D E 5kN 包含反力的 全部外载荷
z
d d
d 2 d 2
z
d 2 d 2
z z
d
d
(a)
(b)
(c)
σm (a) = ax
Mz 6Mz = 3 d3 d 6
Mz 6M σm (b) = 2 ⋅ = 3 z ax d 2 d .d 2 6
B
Mz 12M σm (c) = 2 2 ⋅ = 3 z ax d d d 2 6
q = 30 kN m
A
0.5m
W = Z
B
Mm ax
[σ]
3 =61.2cm
2m
FB = 28.1kN
FA = 46.9kN
31.9
查表 N0 12.6工字钢 WZ=77.5cm3
15 3.75
kN
28.1
kNm
13.16
例题 4.25
铸铁制作的悬臂梁，尺寸及受力如图示，图中F＝20kN。梁 的截面为T字形，形心坐标yc=96.4mm。已知材料的拉伸许用应 力和压缩许用应力分别为[σ]+＝40MPa， [σ]－＝100MPa。试 校核梁的强度是否安全。 y
[q] =15.68kN/ m
例题 4.30
q A
x
dx
简支梁如图所示，试求梁的最底层纤维的总伸长。
B
h
l
b
解：
1、计算梁底层微段的伸长量 1 1 qlx− qx2 M(x) 2 3q 2 ε(x) = = = (lx −x2) EW bh2 Ebh2 Z E 6 3q ∆(dx) = (lx −x2)dx Ebh2 2、梁的最底层纤维的总伸长
(A σm (a) pσm (b) pσm (c)； ) ax ax ax (B) σm (a) =σm (b) pσm (c)； ax ax ax (C) σm (a) pσm (b) =σm (c) ； ax ax ax (D σm (a) =σm (b) =σm (c) ) 。 ax ax ax
120 y
1 A 1m 1
q=60kN/m B 2m + x
2
解：1 画 M 图求有关弯矩
qL qx2 x M =( − ) x=1 =60kN m 1 2 2
Mm =qL /8 =67.5kN m ax
2
M M1
qL 8 Mmax
180 30
bh Iz = =5.832×10−5m4 12
W = Iz / ym =6.48×10 m ax z
MByy IZ
12×103 ×(250−96.4) =18.07M a P 1.02
例题 4.26
为了起吊重量为F＝300kN的大型设备，采用一台150kN和一台 200kN的吊车，以及一根工字形轧制型钢作为辅助梁，组成临时的 附加悬挂系统，如图示。如果已知辅助梁的长度l=4m，型钢材料的 许用应力[σ] ＝160MPa ，试计算：1.F加在辅助梁的什么位置，才 能保证两台吊车都不超载？2.辅助梁应该选择多大型号的工字钢？
梁的强度符合要求
最大拉应力： 最大拉应力：
−4 3
2 求应力 3
1
2 z
My σ1 =σ2 = 1 Iz −60×60 5 = ×10 = −61.7M Pa 5.832
120 y
σ1m ax
σm ax
M 60 4 1 = = ×10 =92.6M Pa W 6.48 z
Mm 67.5 4 ax = = ×10 =104.2M Pa W 6.48 z
F
B
C
A
150
B
2F
1400 600
A
50 96.4
z
200
12kN m
50
16kN m
MAyl 16×103 ×(250−96.4) σ = =24.09M a 8 P IZ 1.02×10
+ A
σ =
− A
MAyy IZ
16×103 ×96.4 =15.12M a8 P 1.02×10
σ =
− B
梁的强度
F = B
9q kN 4
FB
B
C
A
FA
2m
1m
M ax 0.5q ≤[σ] σ= m = WZ WZ
1 q 2
q≤
W [σ] Z =15.68kN/ m 0.5
9q 4 ≤[σ] 1 2 πd 4
杆的强度
9q 32
F BD σ = N ≤[σ] A
1 kN/ m q≤ π 2[σ] =22.3 d 9
竖放
100
例题 4.22
图示T形截面简支梁在中点承受集中力F＝32kN，梁的长度L＝2m。T形 截面的形心坐标yc＝96.4mm，横截面对于z轴的惯性矩Iz＝1.02×108mm4。求 弯矩最大截面上的最大拉应力和最大压应力。 y
F
150
A
l 2
B
50
96.4
l 2
200 50
C
z
Mm ax
FL = =16kN m 4
1.875−1.86 .％ ×100％ =0 8 1.875
[σ]
3 =1.875×103cm
例题 4.27
图示结构承受均布载荷，AC为10号工字钢梁，B处用直 径d=20mm的钢杆BD悬吊，梁和杆的许用应力[σ] ＝ 160MPa 。不考虑切应力，试计算结构的许可载荷[q]。
D
q
d
3q F = kN A 4
bh3 IZ = 12
=1.65M a P
1 h F L MB yc P = 2 3 2 =2.47M a （压） σc = bh IZ 12
σb =0
例题 4.21
试计算图示简支矩形截面木梁平放与竖放时的最大 正应力，并加以比较。
q = 2 kN m
200
200
4m
100
2 qL 8
2 qL M ax P σm = m = 82 =6M a ax bh W Z 6 横放 2 qL M ax P σm = m = 82 =12M a ax hb W Z 6
m
n
中性层
中性轴： 中性轴： 中性层与横截面的交线称 为中性轴。 为中性轴。
m
n
o 1
m
o 2
n
中性轴
F
F
m
n
(ρ + y)dθ −ρdθ ε=
ρdθ
=
y
ρ
m
n
中性轴
M
M
σ =εE= y E ρ
dA = F =∫σ N A
E
m
n
z
y
∫ ydA ρ
A
=0
o
dA
σ
o
ρ
dθ
m
dx
n
z
y
My =∫ zσ = E ∫ zydA =0 dA A ρ A EZ I E 2 dA Mz =∫ yσ = ∫ y dA = A ρ ρ A
200kN吊车
150kN吊车 B
1.确定F加在辅助梁的位置
A
FA
∑M ∑M
A
=0 =0
C
F l
辅助梁
x
FB
B
F (l −x) P FBl −F(l −x) =0 F= B l F x −Fxl = 0 A F =F A l
令: F = Fx ≤ 200kN A l
F = B
F (l −x) l
≤150kN
弯曲应力例题
1 A 1m 1 2m q=60kN/m B
例1 简支梁 求：（1）1—1截面上1、2两 ：（1 1截面上1 点的正应力； 点的正应力； （2）此截面上的最大正应力； 此截面上的最大正应力； （3）全梁的最大正应力； 全梁的最大正应力；
1
2 z
180 30
GPa， （4）已知 E = 200 GPa， 求1—1截面的曲率半径。 1截面的曲率半径。
σ(x) = x)
M(x) W Z
σ(x) = E⋅ε(x)
∆(dx) ε(x) = dx
3q l 2 l 3 = ( x − x) ∆ = ∫ ∆(dx) l 2 0 Ebh 2 3
l
l 0
ql3 = 2E 2 bh
例题 4.31
承受相同弯矩Mz的三根直梁，其截面组成方式如图所示。图（a） 的截面为一整体；图（b）的截面由两矩形截面并列而成（未粘接）；图 （c）的截面有两矩形截面上下叠合而成（未粘接）。三根梁中的最大正 应力分别为σmax（a）、 σmax（b）、 σmax（c）。关于三者之间的关系 有四种答案，试判断哪一种是正确的。
x ≤2.667m
x ≥2m
2≤x ≤2.667
为了起吊重量为F＝300kN的大型设备，采用一台150kN和一台 200kN的吊车，以及一根工字形轧制型钢作为辅助梁，组成临时的附加 悬挂系统，如图示。如果已知辅助梁的长度l=4m，型钢材料的许用应力 [σ] ＝160MPa ，试计算：1.F加在辅助梁的什么位置，才能保证两台吊 车都不超载？2.辅助梁应该选择多大型号的工字钢？