《对圆的进一步认识》复习课件

D
A
●
B
O ①∠AOB=∠A′O′B′
可推出
┏ A′ D′ B′ 如由条件: ③AB=A′B′Βιβλιοθήκη ②AB=A′B′⌒ ⌒
④ OD=O′D′
三、圆周角定理及推论
D
B
●
C E A C
●
C O
O
O
B
A
●
B
A
定理:在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的 圆周角相等,都等于这弧所对的圆心角的一半 . 推论:直径所对的圆周角是 直角 . 90°的圆周角所对的弦是 直径 .
证明OD∥AC.
C 方法一：利用 D B O A E
等边对等角证 ∠C=∠BDO；
方法二：利用 三线合一证明 OD为△ABC的 中位线
点击中考
（2011江苏泰州）如图，以点O为圆心的两个同心圆中， 矩形ABCD的边BC为大圆的弦，边AD与小圆相切于点M，OM 的延长线与BC相交于点N．（1）点N是线段BC的中点吗？ 为什么？（2）若圆环的宽度（两圆半径之差）为6cm， AB=5cm，BC=10cm，求小圆的半径．
C
3
（1）求证：CB∥PD;
（2）若BC=3cm，
P
A
1 O E
B
sinP=0.6，求⊙O的直径。
方法总结：由AB为⊙O的直径， AB⊥CD得弧BC等于弧BD，从 而得∠P=∠A，并连接AC构造 Rt△ABC是解题的关键。
D
例2、如图，AB为⊙O的直径，BC与⊙O相切于B，AC 交⊙O于E，点D是BC边的中点，连结DE． （1）求证：DE与⊙O相切； DE 3 ，求AE． （2）若⊙O的半径为 3，
三角形的外心 三角形三边垂直平分线的交点
三角形的内心
三角形三内角角平分线的交点
性质
到三角形各顶点 的距离相等 到三角形各边的 距离相等
八、弧长和扇形面积的计算
弧长公式
扇形面积公式
nR l 180
nR S 360
1 S lR 2
2
典例解析
例1、如图，AB是⊙O的直径，弦 CD⊥AB于点E，点P在⊙O上， ∠1=∠C。
三角形与圆
三角形的内切圆 圆中的计算
弧长和扇形面积的计算
一、垂径定理 1.定理 垂直于弦的直径平分弦,并且平分 弦所对的两条弧 . C
A
M└
●
B O
若 ① CD是直径 ② CD⊥AB
③AM=BM,
可推得
⌒ ⌒ ④AC=BC,
⌒ ⌒ ⑤AD=BD.
D
重视：模型“垂径定理直角三角形”
垂径定理的逆定理
O A
（1）利用垂径定理 （2）在Rt△BON中， 利用勾股定理列出方 程
r r 6
M N
D
5
C
B
5
达标检测
1、（2011江苏南通）如图，⊙O的弦AB＝8，M是AB的中 点，且OM＝3，则⊙O的半径等于（ B） A.8 B. 5 C. 10 D. 2
2、（2011四川凉山）如图，∠AOB=100°，点C在 ⊙O上，且点C不与A，B重合，则∠ACB的度数为（ D ）
四、切线的判定定理 • 定理 经过半径的外端,并且垂直于这条半径的 直线是圆的切线. 如图 ∵OA是⊙O的半径, 且CD⊥OA, ∴ CD是⊙O的切线.
C
●
O
A
D
五、切线的性质定理
圆的切线垂直于过切点的半径.
∵CD切⊙O于Ａ, OA是⊙O的 半径
●
O D
∴CD⊥OA.
C
A
六、圆与圆的位置关系
交点个数
O A C
5 3
M 2X
X
E
N
B D
教师寄语：
学习目标
1、回顾总结圆的有关性质定理及其 应用。 2、通过典例解析，总结解题规律， 提高解题技能。
知识网络
圆的对称性 圆的基本性质
轴对称
垂径定理
中心对称
圆心角、弧、弦
之间的关系定理 圆周角定理
与圆有关的角的性质
点与圆的位置关系
与圆有关的位置关系 圆
直线与圆的位置关系 圆与圆的位置关系
三角形的外接圆
A.50°
B.50°或80°
C.130° D.50°或130°
3、已知两圆的半径分别为3和7，且这两圆有 公共点，则这两圆的圆心距d为（ D ） A.4 B.10 C.4或10 D.4《d《10
4、（2011湖北荆州）如图，⊙O是△ABC的外接圆， CD是直径，∠B＝40°，则∠ACD的度数是 50° .
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平 分弦所对的两条弧.
C
A
┗
●
B
O

M
●
由 ① CD是直径 ③ AM=BM
②CD⊥AB,
可推得
⌒ ⌒ ④AC=BC,
⌒ ⌒ ⑤AD=BD.
D
二、圆心角、弧、弦、弦心距的关系 在同圆或等圆中,如果①两个圆心角,②两 条弧,③两条弦,④两条弦心距中,有一组量相 等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等.
A
2 3 O
E
B
D 6
方法总结： 1、如果已知直线与圆有 交点，常连接圆心与交 点，再证明连线垂直于 半径即可； 2、如果不明确直线 与圆的交点，往往要作 出圆心到直线的垂线段， C 再证明这条垂线段等于 半径即可．
巩固练习 1、如图，AB是⊙O的直径，AB⊥CD于点E，则 在不添加辅助线的情况下，求出图中与∠CDB相 等的角 ∠CAB ∠BAD ∠BCD 方法总结：充分利用 “垂径定理”与“等 弧或同弧所对的圆周 角相等”得出结论
C A O B D
5、（2010南京）如图，以O为圆心的两个同心 圆中，大圆的弦AB是小圆的切线，C为切点。 若两圆的半径分别为3cm和5cm，则AB的长为 8 ______cm 。
O A C B
6、（2011上海）如图，点C、D分别在扇形AOB的 半径OA、OB的延长线上，且OA＝3，AC＝2，CD平 行于AB，并与弧AB相交于点M、N． （1）求线段OD的长； 1 （2）若 tan C ，求弦MN的长． 2
d R r
名称
d , R , r 的关系 d>R+r d=R+r
0
外离
1
外切 相交
2
相切R-r< d < R+ r
d=R-r
相离
1
内切
内含 0 同心圆是内含的特殊情况
d<R-r
七、三角形的外接圆和内切圆
A A
O C B B 三角形外接圆的圆心叫三角形的外心
I
C 三角形内切圆的圆心叫三角形的内心。
实质
A O C E B D
2、如图所示，草地上一根长5米的绳子，一端拴 在墙角的木桩上，另一端拴着一只小羊，那么， 小羊在草地上的最大活动区域的面积是多少？
小羊 5米
方法总结： 正确画出小羊的 1米 最大活动区域是 解决问题的关键
4米
1米
4米
3、已知：如图，在△ABC中，AB=AC，以AB 为直径的⊙O交BC于点D，过点D作DE⊥AC于 点E。求证：DE是⊙O的切线。 解题关键：