不等式与不等关系复习专题

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考点25 高中数学-不等关系与不等关系-考点总结及练习题

考点25不等式与不等关系【命题趋势】解不等式一直贯穿于其他知识点的考查中，比如一元二次不等式的求解常与集合结合考查，以及函数式的大小比较，在导数的应用中都常有体现，要密切关注：【重要考向】一、比较大小二、求范围的问题比较大小（1）作差法的一般步骤是：作差，变形，定号，得出结论．注意：只需要判断差的符号，至于差的值究竟是什么无关紧要，通常将差化为完全平方式的形式或者多个因式的积的形式.（2）作商法的一般步骤是：作商，变形，判断商与1的大小，得出结论．注意：作商时各式的符号为正，若都为负，则结果相反.（3）介值比较法：①介值比较法的理论根据是：若a >b ,b >c ,则a >c ，其中b 是a 与c 的中介值.②介值比较法的关键是通过不等式的恰当放缩，找出一个比较合适的中介值.（4）利用单调性比较大小.（5）函数法，即把要比较的数值通过构造函数转化为该函数的函数值，然后利用函数的单调性将其进一步转化为自变量的大小问题来解决.（1）实数的大小顺序与运算性质的关系①a >b ⇔0a b ->；②0a b a b =⇔-=；③a ⇔<；(双向性)②传递性：a >b ，b >c ⇒a c >；(单向性)③可加性：a >b ⇔a ＋c >b ＋c ；(双向性)④a >b ，c >d ⇒a c b d +>+；(单向性)⑤可乘性：,0a b c ac bc >>⇒>；(单向性)a >b ，c <0⇒ac <bc ；(单向性)⑥a >b >0，c >d >0⇒ac bd >；(单向性)⑦乘方法则：()0,1nna b a b n n >>⇒>∈≥N ；(单向性)⑧开方法则：a >b >0>n ∈N ，n ≥2)．(单向性)注意：（1）应用传递性时，若两个不等式中有一个带等号而另一个不带等号，则等号无法传递.（2）可乘性中，要特别注意“乘数c ”的符号.【巧学妙记】1.若=22+1，=2+2，=−−3，试比较，，的大小.【解析】∵=22+1，=2+2，=−−3，∴−=(22+1)−(2+2p =2−2+1=(−1)2≥0，即≥，−=(2+2p −(−−3)=2+3+3=(+32)2+34>0，即>，综上可得：≥>.2.已知,,a b c ∈R ，给出下列条件：①22a b >；②11a b<；③22ac bc >，则使得a b >成立的充分而不必要条件的是A ．①B ．②C ．③D ．①②③【答案】C【解析】对于①，由22a b >，得||||a b >，不一定有a b >成立，不符合题意；对于②，当1,1a b =-=时，有11a b<，但a b >不成立，所以不符合题意；对于③，由22ac bc >，知c ≠0，所以有a b >成立，当a b >成立时，不一定有22ac bc >，因为c 可以为0，符合题意.3.若a >b ，则A ．ln(a −b )>0B ．3a <3bC ．a 3−b 3>0D ．│a │>│b │【答案】C【解析】取2,1a b ==，满足a b >，但ln()0a b -=，则A 错，排除A ；由219333=>=，知B 错，排除B ；取1,2a b ==-，满足a b >，但|1||2|<-，则D 错，排除D ；因为幂函数3y x =是增函数，a b >，所以33a b >，即a 3−b 3>0，C 正确.求范围的问题求范围的问题需用到不等式的性质，熟记不等式性质中的条件与结论是基础，灵活运用是关键.在使用不等式的性质时，一定要注意不等式成立的前提条件，特别是不等式两端同时乘以或同时除以一个数、两个不等式相乘、一个不等式两端同时求n 次方时，一定要注意其成立的前提条件，如果忽视前提条件就可能出现错误.【巧学妙记】4.设实数x ，y 满足212xy ≤≤，223x y ≤≤，则47x y的取值范围是______.【答案】[]2,27【解析】因为()324272x y x y xy ⎛⎫⎪⎝⎭=，()322282714x xy y ⎛⎫≤≤≤≤ ⎪⎝⎭，,所以47827[,][2,27]41x y ∈=.5.若二次函数y ＝f (x )的图象过原点，且)12(1f -≤≤，()314f ≤≤，求f (－2)的取值范围.【解析】方法一：∵二次函数y ＝f (x )的图象过原点，∴可设2(0())f x ax bx a =+≠.易知()()11f a b f a b =+⎧⎪⎨-=-⎪⎩，∴()()()()11121112a f f b f f ⎧=+-⎡⎤⎣⎦⎪⎪⎨⎪=--⎡⎤⎣⎦⎪⎩.则()2423)()11(f a b f f =---=+.∵)12(1f -≤≤，()314f ≤≤，∴62()10f -≤≤.方法二：由题意设2(0())f x ax bx a =+≠，则f (1)＝a ＋b ，f (－1)＝a －b .令m (a ＋b )＋n (a －b )＝f (－2)＝4a －2b ，∴42m n m n +=⎧⎨-=-⎩，∴13m n =⎧⎨=⎩.∴f (－2)＝(a ＋b )＋3(a －b )＝f (1)＋3f (－1).∵)12(1f -≤≤，()314f ≤≤，∴62()10f -≤≤.6.已知11x y -≤+≤，13x y ≤-≤，则182yx ⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭的取值范围是A ．82,2⎡⎤⎣⎦B ．81,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．72,2⎡⎤⎣⎦D ．71,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】C【解析】令()()()()3x y s x y t x y s t x s t y -=++-=++-，则31s t s t +=⎧⎨-=-⎩，∴12s t =⎧⎨=⎩，∵13x y ≤-≤，∴()226x y ≤-≤，①又11x y -≤+≤，②∴①+②得137x y ≤-≤．则371822,22yxx y -⎛⎫⎡⎤⋅=∈ ⎪⎣⎦⎝⎭．故选C ．一、单选题1．下列结论正确的是（）A ．若a b >，则ac bc >B ．若a b >，则11a b<C ．若22ac bc >，则a b>D ．若a b >，则22a b >2．已知a >b ，c >d ，则下列关系式正确的是（）A ．ac +bd >ad +bcB ．ac +bd <ad +bcC ．ac >bdD ．ac <bd3．若0a b <<，则下列不等式中，不能成立的是（）A ．11a b>B ．11a b a>-C ．a b>D ．22a b >4．已知a ＞c ，b ＞d ，则下列结论正确的是（）A ．ab ＞cd B ．a －b ＞c －d C ．ab ＋cd ＞ad ＋bcD ．||||a b c d +>+二、多选题5．下列推导过程，正确的为（）A ．因为a 、b 为正实数，所以2b a a b +≥=B ．因为x ∈R ，所以2111x >+C ．0a <，所以44a a +≥=D ．因为x 、y R ∈，0xy <，所以2x yx y y x y x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=--+-≤-=-⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦6．已知两个不为零的实数x ，y 满足x y <，则下列说法中正确的有（）A ．31x y ->B ．2xy y <C ．x x y y<D ．11x y>7．已知0a b c <<<，且lg lg a c =，则（）A ．2a c +>B ．a acb bc >C ．log log a a c b b c <D ．e ea c <8．已知实数a ，b ，c ，则下列命题为真命题的是（）A ．若0a b >>，则11a b>B ．若0,0,21a b a b >>+=，则21a b+的最小值为8C ．若0a b >>，1ab =，则12a b a b<+D ．若0a b >>，则sin sin a b>9．已知ln ln 0x y >>，则下列结论正确的是（）A ．11x y ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．log log y x x y>D ．()248x y x y +≥-10．已知a ，b ，c 为正数，且满足abc =1，则下列结论正确的是（）A ．(2a b +≥B ．222111a b c a b c++≤++C ．若0<c ≤1，则(a +1)(b +1)<4D ．22223a b c b+≥三、双空题11．已知13a b <<<，则a b +的取值范围是_________，ab的取值范围是________．12．已知14x y -<+<，23x y <-<，则x 的范围是_________，32x y +的范围是________．四、解答题13．已知0a b c >>>，比较a b c a b c 与()3a b c abc ++的大小一、单选题1．（2018·全国高考真题（理））设0.2log 0.3a =，2log 0.3b =，则A ．0a b ab +<<B ．0ab a b <+<C ．0a b ab+<<D ．0ab a b<<+2．（2008·江西高考真题（理））若121212120,0,1a a b b a a b b <<<<+=+=且，则下列代数式中值最大的是A ．1122a b a b +B ．1212a ab b +C ．1221a b a b +D ．123．（2014·山东高考真题（文））已知实数,x y 满足(01)x y a a a <<<，则下列关系式恒成立的是A ．33x y >B ．sin sin x y >C ．22ln(1)ln(1)x y +>+D ．221111x y >++4．（2008·广东高考真题（文））设,a b ∈R ，若0a b ->，则下列不等式中正确的是（）A ．0b a ->B ．330a b +<C ．220a b -<D ．0b a +>5．（2012·北京高考真题（文））已知{}n a 为等比数列，下面结论中正确的是A ．1322a a a +≥B ．2221322a a a +≥C ．若13a a =，则12a a =D ．若31a a >，则42a a >6．（2014·四川高考真题（文））若0,0,abcd >><<则一定有A ．a bc d>B ．a b c d<C ．a b d c>D ．a b d c<7．（2015·浙江高考真题（文））设a ，b 是实数，则“0a b +>”是“0ab >”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件8．（2016·北京高考真题（理））已知,x y R ∈，且0x y >>，则A ．110x y->B ．sin sin 0x y ->C ．11()()022xy-<D ．ln ln 0x y +>9．（2016·浙江高考真题（文））已知a ，b ＞0，且a≠1，b≠1.若log >1a b ，则A ．(1)(1)0a b --C ．D ．(1)()0b b a -->10．（2007·上海高考真题（理））已知,a b 为非零实数，且a b <，则下列命题成立的是A ．22a b <B ．22ab a b<C ．2211ab a b<D ．b a a b<11．（2015·浙江高考真题（文））有三个房间需要粉刷，粉刷方案要求：每个房间只用一种颜色，且三个房间颜色各不相同．已知三个房间的粉刷面积（单位：2m ）分别为x ，y ，z ，且x y z <<，三种颜色涂料的粉刷费用（单位：元/2m ）分别为a ，b ，c ，且a b c <<．在不同的方案中，最低的总费用（单位：元）是A ．ax by cz ++B ．az by cx ++C ．ay bz cx ++D ．ay bx cz++12．（2016·全国高考真题（理））若1a b >>，01c <<，则A ．cc a b b>0，且ab=1，则下列不等式成立的是A ．21log ()2a ba ab b +<<+B ．21log ()2a b a b a b<+<+C ．21log ()2aba ab b +<+<D ．21log ()2aba b a b +<+<二、填空题13．（2017·北京高考真题（文））能够说明“设,,a b c 是任意实数,若a b c >>,则a b c +>”是假命题的一组整数,,a b c 的值依次为__________.14．（2011·江西高考真题（理））对于实数x ，y ，若，，则的最大值为___________.一、单选题1．（2021·浙江高一期末）已知,,a b c ∈R ，且a b >，那么下列各式中正确的是（）A ．1ab>B ．11a b<C ．22ac bc >D ．33a b >2．（2021·浙江嘉兴市·高三其他模拟）若0a >，0b >，且11a b+=，则下列不等式错误的是（）A ．122ab+≥B+≤C ．26b a+≥D ．22log log 2a b -≤-3．（2021·浙江高二期末）已知0a b >>，给出下列命题：①若1a b -=，则1->；②若1a b -=，则331a b ->；③若1a b -=，则1a b e e ->；④若1a b -=，则ln ln 1a b ->．其中真命题的个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．44．（2021·黑龙江佳木斯市·佳木斯一中高三三模（文））已知x ，y ∈R ，且x y >，则下列说法是正确的是（）A ．11x y5．（2021·惠来县第一中学高三月考）古希腊科学家阿基米德在《论平面图形的平衡》一书中提出了杠杆原理，它是使用天平秤物品的理论基础，当天平平衡时，左臂长与左盘物品质量的乘积等于右臀长与右盘物品质量的乘积，某金店用一杆不准确的天平（两边臂不等长）称黄金，某顾客要购买10g 黄金，售货员先将5g 的砝码放在左盘，将黄金放于右盘使之平衡后给顾客；然后又将5g 的砝码放入右盘，将另一黄金放于左盘使之平衡后又给顾客，则顾客实际所得黄金（）A ．大于10gB ．小于10gC ．大于等于10gD ．小于等于10g6．（2021·四川省绵阳南山中学高一期中）实数x ､y ､z 满足244x x z y =+--且220x y ++=，则下列关系成立的是（）A ．y x z >≥B ．z x y ≥>C ．y z x>≥D ．z y x≥>7．（2021·河南郑州市·高二期末（文））已知bg 糖水中含有ag 糖()0b a >>，若再添加g m 糖完全溶解在其中，则糖水变得更甜了（即糖水中含糖浓度变大）．根据这个事实，下列不等式中一定成立的是（）A ．a a m b b m+>+B ．22m ma m ab m b ++<++C ．()()()()22a m b m a m b m ++<++D ．121313b a ->-8．（2021·全国高三其他模拟）已知：0a b >>，且333()a b a b -=-，有以下4个结论：①1a >，②1ab <，③2a b +>，④log log 2a b b a +>中，其中正确结论的个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．4二、多选题9．（2021·江苏盐城市·盐城中学高三其他模拟）下列命题为真命题的是（）A ．若0a b >>，则22ac bc >B ．若0a b <<，则22a ab b >>C ．若0a b >>，且0c <，则22c ca b >D ．若a b >，则11a b<10．（2021·福建上杭一中高三其他模拟）已知1x <-，那么下列不等式中，成立的是（）A ．210x ->B ．12x x+<-C ．sin 0x x ->D ．cos 0x x +>11．（2021·江苏高三其他模拟）已知g b 糖水中含有g a 糖(0b a >>)，若再添加g m 糖完全溶解在其中，则糖水变得更甜了(即糖水中含糖浓度变大)，根据这个事实，下列不等式中一定成立的有（）A ．a a m b b m+<+B ．22m ma m ab m b ++<++C ．()()()()22a m b m a m b m ++<++D ．121313b a -<-12．（2021·山东烟台市·高三其他模拟）下列命题正确的是（）A ．若0a b >>，0c <，则c ca b>B ．若0a >，0b >，0c >，则a a cb b c+≤+C ．若0a b >>，则2+<D ．若1a >-，0b >，22a b +=，则121a b++的最小值为313．（2021·山东高三其他模拟）已知0a >，0b >，且1a b -=，则（）A ．e e 1a b ->B ．e e 1a b -<C ．914a b-≤D ．222log log 2a b -≥14．（2021·江苏泰州市·高三其他模拟）已知c a >，若函数2()2f x x x b =-+有两个零点,c d ，()|ln |g x x d =-有两个零点,a b ，则下列选项正确的有（）A ．1d b <C ．ad bc>D ．log log a b c d>15．（2021·河北高三其他模拟）已知,0,1a b a b >+=，则（）A ．22a b ->B ．12log ()2ab ≥C ．(2)b ba a >-D ．234a b +≥参考答案跟踪训练1．C 【分析】根据不等式的性质，对四个选项一一验证：对于A ：利用不等式的可乘性的性质进行判断；对于B ：取1,1a b ==-进行否定；对于C ：利用不等式的可乘性的性质进行证明；对于D ：取1,1a b ==-进行否定.【详解】对于A ：当a b >时，若取0c ≤，则有ac bc ≤.故A 不正确；对于B ：当a b >时，取1,1a b ==-时，有11a b>.故B 不正确；对于C ：当22ac bc >，两边同乘以21c ，则a b >.故C 正确；对于D ：当a b >，取1,1a b ==-时，有22=a b .故D 不正确.故选：C.【点睛】（1）多项选择题是2020年高考新题型，需要要对选项一一验证；（2）判断不等式成立的解题思路：①取特殊值进行否定；②利用不等式的性质直接判断.2．A 【分析】利用作差法可判断A 、B ，利用特值法可判断C 、D .【详解】解：对于A 、B ：a >b ，c >d ，∴ac +bd -(ad +bc )=(a -b )(c -d )>0，故A 正确，B 错误；对于C ：当b =0，c <0时，ac <0，bd =0，故C 错误；对于D ：当a >b >0，c >d >0时，ac >bd ，故D 错误；故选：A.3．B 【分析】利用基本不等关系判断数的大小即可.【详解】若0a b <<，则110b aa b ab --=>，即11a b>，A 成立；11()0()()a a b b a b a a a b a a b ---==<---，即11a b a<-，B 不成立；a b >，C 成立；22a b >，D 成立；故选：B 4．C 【分析】取2,1,1,2a c b d ===-=-，则可判断A 、B 、D 错误.则可选出答案.【详解】若2,1,1,2a c b d ===-=-,此时2ab cd ==-，3a b c d -=-=，1a b c d +=+=.A 、因为b d >，所以0b d ->，又因为a c >，所以()()a b d c b d ab cd ad bc ->-⇒+>+，C 正确.故选C.5．AD 【分析】利用基本不等式可判断ACD 选项的正误，利用不等式的性质可判断B 选项的正误.【详解】对于A 选项，因为a 、b 为正实数，则b a 、ab为正实数，由基本不等式可得2b a a b +≥=，当且仅当a b =时，等号成立，A 选项正确；对于B 选项，211x +≥ ，所以，21011x <≤+，B 选项错误；对于C 选项，当0a <时，()444a a a a ⎡⎤⎛⎫+=--+-≤-- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，当且仅当2a =-时，等号成立，C 选项错误；对于D 选项，因为x 、y R ∈，0xy <，则y x、xy 均为负数，由基本不等式可得2x yx y y x y x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=--+-≤-=-⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦，当且仅当x y =时，等号成立，D 选项正确.故选：AD.【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.6．AC对四个选项一一验证：对于A ：利用=3x y 为增函数直接证明；对于B ：取特殊值判断；对于C ：若0x y <<时，利用同向不等式相乘判断；若0x y <<时，有0x x <y y <，直接判断；若0x y <<时，利用不等式的乘法性质进行判断对于D ：取特殊值判断；【详解】对于A ：因为两个不为零的实数x ，y 满足x y <，所以0x y ->，而=3x y 为增函数，所以033=1x y ->，即31x y ->；故A 正确；对于B ：可以取2,1x y =-=-，则有22,1xyy ==，所以2xy y >；故B 不正确；对于C ：若0x y <<时，则有0,0,x y x y ->->>>根据同向不等式相乘得：x x y y ->-，即x x y y <成立；若0x y <<时，有0x x <y y <，故x x y y <成立；若0x y <<时，则有2=x x x ，2=y y y ，因为0x y <<，所以22y x >，即x x y y <成立；故C 正确；对于D ：可以取2,1x y =-=，则有111,12x y=-=，所以11x y <；故D 不正确；故选：AC 【点睛】（1）判断不等式是否成立：①利用不等式的性质或定理直接证明；②取特殊值进行否定，用排除法；（2）多项选择题是2020年高考新题型，需要要对选项一一验证．（3）要证明一个命题是真命题，需要严格的证明；要判断一个命题是假命题，只需要举一个反例否定就看可以了.【分析】由于已知得1ac =，即1a c a a +=+利用基本不等式可判断A ；由1111aa a a a cbc c bc b b ---⎛⎫==> ⎪⎝⎭，可判断B ；令12a =，2c =，1b =，可判断C ，D ．【详解】由于0a b c <<<，且lg lg a c =，所以1lg lg lga c c=-=，所以1ac =，且1c >，01a <<，12a c a a+=+>，A 正确；因为1111aa a a a cbc c bc b b ---⎛⎫==> ⎪⎝⎭，即a a cb bc >，B 正确；令12a =，2c =，1b =，则log 0log a a c b b c =>，e e a c =>，C ，D 错误．故选；AB ．【点睛】本题考查了比较大小，解题的关键点是由已知得出1ac =，考查了学生分析问题、解决问题的能力和计算能力.8．ABC 【分析】作差法可判断A ；由基本不等式1的代换可判断B ；由已知可得11122,222a ab a a b a +=>=<⋅，从而可判断C ；举出反例可判断D .【详解】选项A 中110b a a b ab --=>，则A 正确；B ，214(2)48b a a b a b a b ⎛⎫++=++≥ ⎪⎝⎭，当且仅当4b a a b =，即11,24a b ==时，等号成立，则B 正确；选项C 中，因为1,0ab a b =>>，所以10>>>a b ，则11122,222a ab a a b a +=>=<⋅，所以12a b a b <+，则C 正确；若,2a b ππ==，满足0a b >>，而sin sin a b <，D 不正确，故选:ABC ．【点睛】方法点睛:判断不等式是否成立常用方法：1、举反例可说明其不成立；2、利用基本不等式可判断；3、作差、作商法；4、利用函数的单调性；5、放缩法.9．ACD 【分析】由ln ln 0x y >>，得到1x y >>，根据不等式的性质，可判定A 正确；根据1(3xy =的单调性，可判定B 错误；根据对数的运算性质，可判定C 项正确；结合基本不等式，可判定D 正确.【详解】因为ln ln 0x y >>，可得1x y >>，所以11x y<，所以A 正确；又由函数1()3x y =为单调递减函数，所以1133xy⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以B 错误；由log log 1y y x y >=，log log 1x x y x <=，所以log log y x x y >，所以C 项正确；由()()2224y x y x y x y +-⎡⎤-≤=⎢⎣⎦，所以()2224168x x y x y x +≥+≥-，当且仅当2x =，1y =时等号成立，所以D 项正确.故选：ACD.10．ABD 【分析】对于A ，根据a b +≥可得A 正确；对于B ，利用1abc =以及基本不等式可得B 正确；对于C ，利用11ab c=≥和基本不等式可得C 错误；对于D ，利用22222222121a a b a a b b c b b a b b a ⎛⎫⎛⎫+=+=-++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭和基本不等式可得D 正确.【详解】因为0,0,0a b c >>>，1abc =，对于A，因为a b +≥，所以(2a b +≥=，故A 正确；对于B ，222222222111222b c a c a b bc ac ab a b c a b c +++++=++≤+=++，故B 正确；对于C ，由01c <≤，得11ab c=≥，所以(1)(1)114a b ab a b ab ++=+++≥+≥，故C 错误；对于D，22222222121021a a b a a b b c b b a b b a ⎛⎫⎛⎫+=+=-++-≥+⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭3=，故D正确.故选：ABD 11．()2,61,13⎛⎫⎪⎝⎭【分析】由不等式的性质运算即可求得结果.【详解】13a b <<< ，即1a b <<，3a b <<，13a a b b ∴+<+<+，又12a +>，36b +<，26a b ∴<+<；又1113b a <<，13a a b ∴<<，又133a >，113a b∴<<.综上所述：a b +的取值范围为()2,6；a b 的取值范围为1,13⎛⎫⎪⎝⎭.故答案为：()2,6；1,13⎛⎫⎪⎝⎭.12．17,22⎛⎫⎪⎝⎭323,22⎛⎫- ⎪⎝⎭【分析】利用不等式的基本性质可求得x 的取值范围，利用待定系数法可得()()513222+=++-x y x y x y ，利用不等式的基本性质可求得32x y +的取值范围.【详解】14x y -<+< ，23x y <-<，两个不等式相加可得127x <<，解得1722x <<，设()()()()32+=++-=++-x y m x y n x y m n x m n y ，所以，32m n m n +=⎧⎨-=⎩，解得52m =，12n =，因为()551022x y -<+<，()13122x y <-<，由不等式的基本性质可得3233222x y -<+<.故答案为：17,22⎛⎫ ⎪⎝⎭；323,22⎛⎫- ⎪⎝⎭.【点睛】易错点点睛：本题考查利用不等式的基本性质求代数式的取值范围，一般而言，不等式次数用得越多，所得代数式的取值范围越不准确，本题在求32x y +的取值范围时，可充分利用待定系数法得出()()513222+=++-x y x y x y ，进而利用不等式的基本性质求解.13．()3a b ca b ca b c abc ++>【分析】利用作商法比大小.【详解】()3333333333a b a c b c a b a cb c b ac a c ba b ca b ca b ca ab abcb c c abc ---------+++++⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯⨯=⨯⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,1,03a a b b ->> 31a ba b -⎛⎫∴> ⎪⎝⎭同理31a c a c -⎛⎫> ⎪⎝⎭，31b c b c -⎛⎫> ⎪⎝⎭,从而()31a b ca b c a b c abc ++>，即a b c a b c >()3a b c abc ++.真题再现1．B 【详解】分析：求出0.2211log0.3,0.3log a b ==，得到11a b+的范围，进而可得结果．详解：.0.30.3log0.2,2a b log == 0.2211log0.3,0.3log a b ∴==0.3110.4log a b ∴+=1101a b ∴<+<,即01a b ab +<<又a 0,b 0>< ab 0∴<即ab a b 0<+<故选B.点睛：本题主要考查对数的运算和不等式，属于中档题．2．A 【详解】因为121212120,0,1a ab b a a b b <<<<+=+=22121212121()(222a ab b a a b b +++<+=112212************()()()()()0a b a b a b a b a a b a a b a a b b +-+=-+-=-->11221221()a b a b a b a b +>+12121122112112221()()2()a a b b a b a b a b a b a b a b =++=+++<+112212a b a b +>，综上可得1122a b a b +最大，故选A.3．A 【详解】由(01)x y a a a <<<知，,x y >所以，33x y >，选A.考点：指数函数的性质，不等式的性质.4．D【详解】解析】利用赋值法:令1,0a b ==排除A,B,C,选D.5．B【详解】设{a n }的首项为a 1，公比为q ，当a 1<0，q <0时，可知a 1<0，a 3<0，a 2>0，所以A 不正确；当q ＝－1时，C 选项错误；当q <0时，a 3>a 1⇒a 3q <a 1q ⇒a 4<a 2，与D 选项矛盾．因此根据基本不等式可知B 选项正确．6．D【详解】本题主要考查不等关系．已知0,0a b c d >><<,所以110d c->->，所以a b d c ->-，故a b d c<．故选D 7．D【详解】本题采用特殊值法：当3,1a b ==-时，0a b +>，但0ab <，故是不充分条件；当3,1a b =-=-时，0ab >，但0a b +<，故是不必要条件.所以“0a b +>”是“0ab >”的既不充分也不必要条件.故选D.考点：1.充分条件、必要条件；2.不等式的性质.8．C【详解】试题分析：A ：由，得，即，A 不正确；B ：由及正弦函数的单调性，可知不一定成立；C ：由，，得，故，C 正确；D ：由，得，但xy 的值不一定大于1，故ln ln =ln 0x y xy +>不一定成立，故选C.【考点】函数性质【名师点睛】函数单调性的判断：(1)常用的方法有：定义法、导数法、图象法及复合函数法．(2)两个增(减)函数的和仍为增(减)函数；一个增(减)函数与一个减(增)函数的差是增(减)函数；(3)奇函数在关于原点对称的两个区间上有相同的单调性，偶函数在关于原点对称的两个区间上有相反的单调性.9．D【详解】试题分析：log log 1a a b a >=，当1a >时，1b a >>，10,010,0a b a b a b ∴->->->-<，，(1)(1)0,(1)()0,(1)()0.a b a a b b b a ∴-->----当01a <<时，01b a ∴<<<，10,010,0,a b a b a b ∴-<-<--，(1)(1)0,(1)()0,(1)()0.a b a a b b b a ∴-->----观察各选项可知选D.【考点】对数函数的性质.【易错点睛】在解不等式log 1a b >时，一定要注意对a 分为1a >和01a <<两种情况进行讨论，否则很容易出现错误．10．C【详解】若a b 2，A 不成立；若220{,ab a b ab a b >⇒<,所以D 不成立,故选C.11．B【详解】由x y z <<，a b c <<，所以()()()ax by cz az by cx a x z c z x ++-++=-+-()()0x z a c =-->，故ax by cz az by cx ++>++；同理，()ay bz cx ay bx cz ++-++()()()()0b z x c x z x z c b =-+-=--<，故ay bz cx ay bx cz ++<++.因为()az by cx ay bz cx ++-++()()()()0a z y b y z a b z y =-+-=--<，故az by cx ay bz cx ++<++.故最低费用为az by cx ++.故选B.12．C【详解】试题分析：用特殊值法，令3a =，2b =，12c =得112232>，选项A 错误，11223223⨯>⨯，选项B 错误，3211log log 22>，选项D 错误，因为lg lg log log lg ()lg (11lg lg lg lg a b b b a b a a b a b a c b c c c a b b a a b a b a--=⋅-=⋅>>∴<<< lg lg 001lg 0log log lg lg a bb a a bc c a c b c b a-∴><<∴<∴< 选项C 正确，故选C ．【考点】指数函数与对数函数的性质【名师点睛】比较幂或对数值的大小,若幂的底数相同或对数的底数相同,通常利用指数函数或对数函数的单调性进行比较；若底数不同,可考虑利用中间量进行比较.13．B【详解】因为0a b >>，且1ab =，所以221,01,1,log ()log 1,2ab a b a b ><<∴+=12112log ()a b a a b a a b b b+>+>+⇒+>+，所以选B.【名师点睛】比较幂或对数值的大小,若幂的底数相同或对数的底数相同,通常利用指数函数或对数函数单调性进行比较,若底数不同,可考虑利用中间量进行比较.本题虽小，但考查的知识点较多，需灵活利用指数函数、对数函数的性质及基本不等式作出判断.14．1,2,3---【解析】试题分析：()123,1233->->--+-=->-，矛盾，所以−1，−2，−3可验证该命题是假命题.【名师点睛】对于判断不等式恒成立问题，一般采用举反例排除法．解答本题时利用赋值的方式举反例进行验证，答案不唯一．15．5【解析】此题，看似很难，但其实不难，首先解出x 的范围，，再解出y 的范围，，最后综合解出x-2y+1的范围，那么绝对值最大，就去5模拟检测1．D【分析】对于A ，B ，C 三项通过已知条件举反例即可排除，D 选项则通过作差法因式分解即可判断.【详解】对于A 选项：举反例1,1a b ==-，则11a b=-<，则A 不成立；对于B 选项：举反例1,1a b ==-，则,1111a b ==-，所以11a b >，则B 不成立；对于C 选项：举反例0c =，则220,0a c b c ==，所以22a c b c =，则C 不成立；对于D 选项：()()()2332221324a b a b a ab b a b a b b ⎡⎤⎛⎫-=-++=-++⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦∵a b >，∴0a b ->又∵2213024a b b ⎛⎫++> ⎪⎝⎭∴330a b ->，即33a b >.则D 成立故选：D.2．C【分析】A 利用基本不等式结合已知即可判断正误，B 完全平方公式得21+=+已知构造二次函数确定a b 的范围，即可判断正误，C 应用基本不等式“1”的代换求最值即可，D 根据B 中a b 的范围，结合对数的运算性质可判断正误.【详解】A ：122b a =+≥，当且仅当1a b =时等号成立，正确；B ：211ab =++=+，由11a b =-，则22111111()244a b b b b =-=--+≤，即22+≤，又0a >，0b >≤，当12a =，2b =时等号成立，正确；C ：2212()()333b b a aba ab ab +=++=++≥+=+当且仅当ab =时等号成立，而36+<，错误；D ：由B 知14a b ≤，故22221log log log log 24a ab b -=≤=-，当12a =，2b =时等号成立，正确；故选：C3．B举反例可以说明①④不正确，利用立方差公式可以证明②正确，利用指数函数的性质可以证明③正确．【详解】对于①，若1a b -=，取4,3a b ==21-=-<，①错误；对于②，因为1a b -=，0a b >>，所以1a >，()()()()()2222331131+11a b a b a ab b a a a a a a =-++=+-+-=-->，②正确；对于③，因为0b >，所以1b e >，即有()111b b a b b e e e e e e +--=->=，③正确；对于④，若1a b -=，取,1a e b e ==-，则()ln ln 1ln 11a b e -=--<，④错误．所以真命题的个数是2．故选：B ．4．C【分析】选项A,D 举反例即可判断，选项B ，设x x y e e -=-，由其单调性可判断，选项C.由12x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭为R 上的减函数，可判断.【详解】解：A ：当2x =，3y =-时，11x y>，∴A 错误，B ：设x x y e e -=-，则函数为R 上的增函数，∵x y >，∴x x y y e e e e --->-，即y x y x e e e e --+>+，∴B 错误.C ：∵12x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭为R 上的减函数，x y >，∴1122x y ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即11022x y⎛⎫⎛⎫-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴C 正确，D ：当2x =，3y =-时，22x y <，∴D 错误.故选：C .5．A设天平左臂长为a ，右臂长为b （不妨设a b >），先称得的黄金的实际质量为1m ，后称得的黄金的实际质量为2m .根据天平平衡，列出等式，可得12,m m 表达式，利用作差法比较12m m +与10的大小，即可得答案.【详解】解：由于天平的两臂不相等，故可设天平左臂长为a ，右臂长为b （不妨设a b >），先称得的黄金的实际质量为1m ，后称得的黄金的实际质量为2m .由杠杆的平衡原理：15bm a =⨯，25am b =⨯．解得15a m b =，25b m a=，则1255b a m m a b +=+.下面比较12m m +与10的大小：（作差比较法）因为()()2125551010b a b a m m a b ab-+-=+-=，因为a b ¹，所以()250b a ab ->，即1210m m +>.所以这样可知称出的黄金质量大于10g .故选：A6．D【分析】分别把两个等式转化，写成2244(2)0z y x x x -=-+=-≥及2(2)x y =-+的形式，从而比较数的大小.【详解】由244x x z y =+--知，2244(2)0z y x x x -=-+=-≥，即z y ≥；由220x y ++=知，2(2)x y =-+，则22172()024y x y y y -=++=++>，即y x >；综上，z y x≥>故选：D7．B【分析】利用已知的事实以及作差法、特殊值法可判断各选项中不等式的正误.【详解】对于A 选项，由题意可知a a m b b m+<+，A 选项错误；对于B 选项，作出函数2x y =与y x =的图象如下图所示：由图可知，当0x >时，2x x >，0m > ，则2m m >，所以，()()()()()()()()()()22220222m m m m m m m a b m a m b a b m a a m b b m b b m b b m ++-++--++-==>++++++，即22mm a m a b m b ++<++，B 选项正确；对于C 选项，()()()()()220a m b m a m b m m b a ++-++=->，所以，()()()()22a m b m a m b m ++>++，C 选项错误；对于D 选项，取1a =，2b =，则121113143b a -=<=-，D 选项错误.故选：B.8．B【分析】由已知可得223a ab b ++=，则结合0a b >>可得1a >，再根据222a b ab +>可得1ab <，由()222234a b a ab b ab +=++=+<可判断③，根据,a b 范围得出log 0,log 0a b b a <<.【详解】由立方差公式可得()()33223()a b a b a ab b a b -=-++=-，则223a ab b ++=，又0a b >>，222223a a a a ab b ∴++>++=，即21a >，1a >，故①正确；222a b ab +≥Q ，当a b =时取等号，则222a b ab +>，则223a ab b ab ++>，即1ab <，故②正确；()222234a b a ab b ab +=++=+<，2a b ∴+<，故③错误；1a >Q ，1ab <，01b ∴<<，则log 0,log 0a b b a <<，则log log 0a b b a +<，故④错误.综上，正确的有2个.故选：B.【点睛】关键点睛：解题的关键是得出223a ab b ++=，进而得出1a >，1ab <.9．BC【分析】利用不等式的性质逐一判断即可求解.【详解】选项A ：当0c =时，不等式不成立，故本命题是假命题；选项B:22,00a b a b a ab ab b a b ⎧<<⎧⇒>⇒>⎨⎨<<⎩⎩，22a ab b ∴>>，所以本命题是真命题；选项C:222211000a b a b a b >>⇒>>⇒<<，220,c c c a b<∴> ，所以本命题是真命题；选项D:若0,0a b ><时，11a b<显然不成立，所以本命题是假命题；故选：BC ．10．ABC【分析】根据不等式性质及基本不等式，以及三角函数的值域，逐个分析判断即可得解.【详解】对A ，由1x <-可得21x >，所以210x ->，A 正确，对B ，由1x <-，可得1x ->，所以11(2x x x x +=---<-=-，B 正确，对C ，1sin 1x -≤≤，1x ->，所以sin 0x x ->，C 正确，对D ，当取2x =-时，而1cos 1x -≤≤，显然cos 0x x +>错误，故选：ABC.11．ABD【分析】依题意得到a a mb b m +<+，再根据不等式的性质一一判断即可；【详解】对于A ，由题意可知a a m b b m+<+，正确；对于B ，因为2mm <，所以2222m mm m a m a m m a b m b m m b +++-+<=+++-+，正确；对于C ，22a m a m m a m b m b m m b m ++++<=++++即()()()()22a m b m a m b m ++<++，错误；对于D ，1122131131311333b b b b a --+<==<--+，正确.故选：ABD12．ACD【分析】对选项A ，利用不等式性质即可判断A 正确；对选项B ，利用特值法即可判断B 错误；对选项C ，利用基本不等式性质求解即可；对选项D ，首先根据题意得到123a b ++=，从而得到()1122112131a b a a b b ⎡⎤⎛⎫+=+ ⎪⎢⎥++⎝⎭⎣+⎦+，再展开利用基本不等式求解即可.【详解】对选项A ，因为0a b >>，所以11a b <，又因为0c <，所以c c a b>，故A 正确；对选项B ，因为0a >，0b >，0c >，设2a =，1b =，1c =，则2a b =，32a c b c +=+，a a c b b c+>+，故B 错误；对选项C ，因为0a b >>，所以()22a b a b <+⇒<+2422a b +⇒<⇒C 正确；对选项D ，因为22a b +=，所以123a b ++=，所以()()(211211212155311313231a b a b a b a b a b +⎡⎤⎡⎤⎛⎫+=+=++≥+=⎢⎥ ⎪⎢⎥+++⎝⎭⎣⎦+⎦+⎣，当且仅当()2121a b a b+=+，即0a =，1b =时，取等号.故D 正确.故选：ACD13．ACD【分析】对A ，化简可得()1a b b e e e e =--可判断；对B ，取特殊值可判断；对C ，由()9191a b a b a b ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭展开根据基本不等式可得；对C ，化简可得2222log log log 12b b a b ⎛⎫++ ⎪⎝=⎭-利用基本不等式可解.【详解】对A ，由0a >，0b >，且1a b -=可得0a b >>，则()()11b a a b b b e e e e e e -=-=--，0b > ，1b e ∴>，又11e ->，()11b e e ∴->，即e e 1a b ->，故A 正确；对B ，令2,1a b ==，则e e 211e a b =-->，故B 错误；对C ，()9191910104b a a b a b a b a b ⎛⎫⎛⎫-=--=-+≤- ⎪ ⎝⎭⎝⎭，当且仅当9b a a b =时等号成立，故C 正确；对D ，()22222222112log log log log lo 2g 22log b a b b b b a b ⎛⎫+⎛⎫==++≥+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎭-⎝=，当且仅当1b b=，即1b =时等号成立，故D 正确.故选：ACD.【点睛】关键点睛：解题的关键是巧妙利用已知条件1a b -=转化.14．AB【分析】由已知分析得选项A 正确，利用基本不等式证明选项B 正确；利用不等式性质得到选项C 错误，利用作差法得到选出D 错误.【详解】因为函数2()2f x x x b =-+有两个零点,c d ，所以440,1b b ∆=->∴<，所以2,1c d cd b +==<，令()|ln |g x x d =-=0，所|ln |x d =有两个零点,a b ，所以0,|ln ||ln |d a b d >==，所以1a >，因为,1c a c >∴>，所以01d <<，因为b d b c=<，所以选项A 正确；因为ln ,ln ,ln ln 0,ln()0,1b d a d a b ab ab -==∴+=∴=∴=，所以2,a b +>=因为1,22cd b cd =<∴<，所以2a b cd +>，所以选项B 正确；因为0,0,c a b d bc ad >>>>∴>，所以选项C 错误；11log log log log log log log log 0a b a a aa a a c d c d c cdb d-=-=-==<，所以log log a b c d <，所以选项D 错误.故选：AB【点睛】关键点睛：解答本题的关键在于证明10c a b d >>>>>.15．BD【分析】对AC 选择，只需要举反例说明即可；对于BD 选项需要借助于不等式的性质以及函数的图像与性质进行证明.【详解】对A ：当12a b ==时，02221a b -==<，即22a b -<，故A 错误；对B ：因为1a b +=，a b +≥1≥，即104ab <≤，由于12log y x =在R 上单调递减，所以()12log 2ab ≥，故B 正确；对C ：当12a b ==时，1212b a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()1122132(222b a ⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭，又由于12y x =在R 上单调递增，所以11221322⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即(2)b b a a <-，故C 错误；对D ：()22213124431a a a a a ⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭+-≥，故D 正确.故选：BD.。

专题34 不等关系与不等式-2020年领军高考数学一轮复习(文理通用)(解析版)

专题34不等关系与不等式最新考纲1.了解现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系.2.了解不等式(组)的实际背景.基础知识融会贯通1．两个实数比较大小的方法 (1)作差法⎩⎪⎨⎪⎧a －b >0⇔a >b a －b ＝0⇔a ＝ba －b <0⇔a <b(a ，b ∈R )(2)作商法⎩⎪⎨⎪⎧ab>1⇔a >b ab ＝1⇔a ＝ba b <1⇔a <b(a ∈R ，b >0)2．不等式的基本性质3.不等式的一些常用性质 (1)倒数的性质 ①a >b ，ab >0⇒1a <1b .②a <0b >0,0<c <d ⇒a c >bd.④0<a <x b >0，m >0，则①b a b －m a －m (b －m >0)． ②a b >a ＋m b ＋m ；a b <a －m b －m(b －m >0)．重点难点突破【题型一】比较两个数(式)的大小【典型例题】已知t ＝a +4b ，s ＝a +b 2+4，则t 和s 的大小关系是（） A ．t ＞sB ．t ≥sC ．t ＜sD ．t ≤s【解答】解：a +b 2+4﹣（a +4b ）＝b 2﹣4b +4＝（b ﹣2）2≥0； ∴t ≤s ．故选：D ．【再练一题】已知，则a 、b 、c 的大小关系为．【解答】解：lg 3∈（0，1），1，ln 0，故b ＞a ＞c ，故答案为：b ＞a ＞c思维升华比较大小的常用方法(1)作差法一般步骤：①作差；②变形；③定号；④结论．其中关键是变形，常采用配方、因式分解、有理化等方法把差式变成积式或者完全平方式．当两个式子都为正数时，有时也可以先平方再作差．(2)作商法一般步骤：①作商；②变形；③判断商与1的大小关系；④结论．(3)函数的单调性法：将要比较的两个数作为一个函数的两个函数值，根据函数的单调性得出大小关系．【题型二】不等式的性质【典型例题】已知a＞b＞0，x＝a+be b，y＝b+ae a，z＝b+ae b，则（）A．x＜z＜y B．z＜x＜y C．z＜y＜x D．y＜z＜x【解答】解：解法一：由题意，令a＝2，b＝1，则x＝2+e，y＝1+2e2，z＝1+2e；显然有1+2e2＞1+2e＞2+e，即x＜z＜y．解法二：a＞b＞0时，e a＞e b，∴ae a＞ae b＞be b，∴b+ae a＞b+ae b＞a+be b，这里a＞b＞0，∴z﹣x＝（b﹣a）+（a﹣b）e b＝（a﹣b）（e b﹣1）＞0，即x＜z＜y．故选：A．【再练一题】设b＞a＞0，c∈R，则下列不等式中不一定成立的是（）A．a b B．C．D．ac2＜bc2【解答】解：因为y＝x在（0，+∞）上是增函数，所以a b，因为y c在在（0，+∞）上是减函数，所以c c，因为0，所以，当c＝0是，ac2＝bc2，所以D不成立，故选：D．思维升华解决此类问题常用两种方法：一是直接使用不等式的性质逐个验证；二是利用特殊值法排除错误答案．利用不等式的性质判断不等式是否成立时要特别注意前提条件．【题型三】不等式性质的应用命题点1应用性质判断不等式是否成立【典型例题】若a，b，c∈R，且a＞b，则下列不等式一定成立的是（）A．a+c≥b﹣c B．（a﹣b）c2≥0C．ac＞bc D．【解答】解：a，b，c∈R，且a＞b，可得a﹣b＞0，因为c2≥0，所以（a﹣b）c2≥0．故选：B．【再练一题】下列不等式正确的是（）A．若a＞b，则a•c＞b•c B．若a＞b，则a•c2＞b•c2C．若a＞b，则D．若a•c2＞b•c2，则a＞b【解答】解：A．c≤0不成立；B．c＝0时不成立；C．取a＝2，b＝﹣1不成立；D．a•c2＞b•c2，可得a＞b．故选：D．命题点2求代数式的取值范围【典型例题】设a≥b≥c，且1是一元二次方程ax2+bx+c＝0的一个实根，则的取值范围为（）A．[﹣2，0] B．[，0] C．[﹣2，] D．[﹣1，]【解答】解：∵1是一元二次方程ax2+bx+c＝0的一个实根，∴a+b+c＝0，得b＝﹣a﹣c，∴a≥b≥c，即a≥﹣a﹣c≥c，即得，若a＞0，则不等式等价为，即得﹣2，若a＜0，则不等式等价为，即，此时不等式无解，综上的取值范围为﹣2，故选：C．【再练一题】若x1，x2，x3∈（0，+∞），设，则a，b，c的值（）A．至多有一个不大于1 B．至少有一个不小于1C．都大于1 D．都小于1【解答】解：x1，x2，x3∈（0，+∞），设，则a+b+c≥333，可得a，b，c中至少有一个不小于1，由于a，b，c中都小于1，则由不等式的可加性可得a+b+c＜3，矛盾，则a，b，c中至少有一个不小于1，故选：B．思维升华(1)判断不等式是否成立的方法①判断不等式是否成立，需要逐一给出推理判断或反例说明．②在判断一个关于不等式的命题的真假时，可结合不等式的性质，对数函数、指数函数的性质进行判断． (2)求代数式的取值范围利用不等式性质求某些代数式的取值范围时，一般是利用整体思想，通过“一次性”不等关系的运算求得整体范围，是避免错误的有效途径．基础知识训练1．【浙江省绍兴市第一中学2018-2019学年高一下学期学考模拟考试】已知实数x ，y 满足41x y −≤−≤−，145x y −≤−≤，则9x y −的取值范围是（）A ．[7,26]−B ．[1,20]−C ．[4,15]D ．[1,15]【答案】B 【解析】解：令m x y =−，4n x y =−，,343n m x n m y −⎧=⎪⎪⇒⎨−⎪=⎪⎩, 则855520941,33333z x y n m m m =−=−−≤≤−∴≤−≤ 又884015333n n −≤≤∴−≤≤，因此80315923z x y n m −=−=−≤≤，故本题选B.2．【四川省大竹中学2018-2019学年高一第二学期5月月考考前模拟】已知非零实数a b >，则下列说法一定正确的是（） A ．22a b > B ．||||a b >C ．11a b< D ．22a c b c ⋅≥⋅【答案】D 【解析】选项A.由不等式性质220a b a b >>⇒>可知；是两个正数存在a b >，才有22a b >，本题的已知条件没有说明是两个正数，所以本选项是错误的；选项B:若2,1−=−=b a ，显然结论||||a b >不正确，所以本选项是错误的；选项C:11b aa b ba−−=，a b >可以判断b a −的正负性，但是不能判断出ba 的正负性，所以本选项不正确；选项D:若0c =，由a b >，可以得到22ac bc =，若0c ≠时，由不等式的性质可知：a b >，2220c ac bc >⇒>，故由a b >可以推出22a c b c ⋅≥⋅，故本选项正确，所以本题选D.3．【浙江省衢州市2018-2019学年高一年级6月教学质量检测】若0a b >>，下列不等式一定成立的是（） A ．22a b ，A 错误；()20a ab a a b −=−>，则2a ab >，B 错误；10a>，10b <，则11a b >，C 错误；0a >，则1ba<等价于b a <，成立，D 正确. 本题正确选项：D4．【广东省广州第六中学2018-2019学年高一下学期数学期中】设，若，则下列不等式正确的是（） A ． B ． C ． D ．【答案】B 【解析】,A 项，，则b-a<0,故A 项错误；B 项，，则a+b>0,故B 项正确；C 项，，则,故C 项错误；D 项，a >|b |⇒，即，故D 项错误.故选：B5．【江西师范大学附属中学2018-2019学年高一下期期中考试】下列命题中，正确的是( ) A ．若ac bc >，则a b > B ．若,a b c d >>，则a c b d −>−C ．若,a b c d >>，则ac bd ≥D <a b <【答案】D 【解析】0c <时，若ac bc >，则a b <，排除A ；2,0,3a c b d ====−时，,a b c d >>成立，a c b d −>−不成立，排除B ； 2,2,3a c b d ===−=−时，,a b c d >>成立，ac bd ≥不成立，排除C ；故选D.6．【贵州省凯里市第一中学2018-2019学年高一下学期期中考试】若0a b >>，0c d <<，则下列选项中正确的是（） A ．11ac bdC ．a b c d> D ．a b d c< 【答案】D 【解析】由110,0,0,0,,a b a bc d c d a b d c d c d c<<−>−>−>−>>>∴><−−∴ 故选D.7．【湖南省张家界市慈利县2018-2019学年高一下学期期中检测】若a ＞b ，c ＞d ，下列不等式正确的是（） A ．c b d a −>− B ．ac bd > C ．a c b d −>− D ．a bd c> 【答案】A 【解析】由题意，因为a b >，所以a b −<−，即b a −>−，又因为c d >，所以c b d a −>−，故选：A ．8．【安徽省郎溪中学2018-2019学高一下学期期末考试】已知,a b 为非零实数，且a b <，则下列不等式成立的是（） A ．22a b C ．2211ab a b< D ．11a b a>− 【答案】C对于A ，若0a b <<，则0a b −>−>，两边平方得到22a b >，故A 不正确；对于B ，若0a b <<，则10a<，10b >，则11a b <，故B 不正确；对于C ，222211a bab a b a b−−= ，由于,a b 为非零数，a b <，则0a b −<，220a b >，故2222110a b ab a b a b −−=<，即2211ab a b<，所以C 正确。

高三不等关系与不等式复习课

答案： 3＋ 7<2 5
1．不等式性质使用时注意的问题：
在使用不等式时，一定要搞清它们成立的前提条
件．不可强化或弱化成立的条件．如“同向不等式” 才可相加、“同向且两边同正的不等式”才可相乘；可乘性中的“c的符号”等都需要注意． 2．作差法是比较两数(式)大小的常用方法，也是证明不
等式的基本方法．要注意强化化归意识，同时注意
如a＝2，b＝1，c＝－1，d＝－3时，a－c<b－d. 答案： B
4．(教材习题改编) 3＋ 7与2 5的大小关系是________．
解析：( 3＋ 7)2－(2 5)2＝10＋2 21－20 ＝2 21－10＝2( 21－5)． ∵ 21< 25＝5，∴2( 21－5)<0. ∴ 3＋ 7<2 5.
(
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
)
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
x2 6．(2012· 山西四校第二次联考)设实数x，y满足3≤xy2≤8,4≤ y x3 ≤9，则 y4的最大值是 A．27 81 C. 8 B．3 D．72 ( )
易错矫正围易错点
利用不等式性质求取值范
[考题范例] (2012· 青岛模拟)设f(x)＝ax2＋bx，若1≤f(－1)≤2, 2≤f(1)≤4，则f(－2)的取值范围是________．
A．大于0 C．小于0 B．等于0 D．不确定
(
)
解析：由a<0，ay>0知y<0，又x＋y>0，∴x>0.
故x－y>0.
答案： A
2．(教材习题改编)已知a，b，c满足c<b<a，且ac<0.那
么下列选项中一定成立的是 A．ab>ac C．cb2<ab2 ( B．c(b－a)<0 D．ac(a－c)>0 )

不等关系与不等式——比大小-高三数学二轮专题复习

，则a，b，c
的大小关系是___b____c____a__.
【解析】
由题意得，a
1 0.8 2
20，.8
b
log 1
2
2 3
log2
2 3
lo，g2
31
c 40.3 20.6
∴ b log2 3 1 1 c 20..6 a 20.8
故 b c a.
答案
出现函数“同构”形式时，可将数（式）看作同一个函数在某一区间借助函数的单调性来进行比较大小。
.
答案
1.一般情况下，作差，可处理底数不一样的的对数比大小； 2.作差的难点在于后续变形处理，注意此处的常见技巧和方法解 3.其中难点在于恒等变形的方向和变形的技巧，变形的目的是为了判断正负，所以可以因式分解，或者计算化简，或者放缩为具体值，准确计算找对变形方向是关键。
题型探究1
技巧二作商法例2.已知 2a 3 ，3b 4 则a，b 的大小关系是________.
变式探究
已知
a
30.7
,b
(1)0.8 , 3
c
log0.7
0.8
则a，b，c的大小关系是_c___a____b.
【解析】
因为
a
30.7
1
，b
1 3
0.8
30.8
30.7
a
，
c log0.7 0.8 log0.7 0.7 1，
所以 c 1 a b ,
故 c a b.
答案
题型探究1
23
lg lg
22 20
lg lg
23 22
lg
222 lg 20
lg 20 lg 22

高中数学高考总复习----不等式与不等关系知识梳理及考点梳理

高中数学高考总复习----不等式与不等关系知识梳理及考点梳理【考纲要求】1.了解不等关系、不等式（组）的实际背景；2.理解并掌握不等式的性质，理解不等关系；3.能用不等式的基本性质解决某些数学问题.【知识网络】、【考点梳理】要点一、符号法则与比较大小1.实数的符号任意，则（为正数）、或（为负数）三种情况有且只有一种成立。

2.两实数的加、乘运算结果的符号具有以下符号性质：①两个同号实数相加，和的符号不变符号语言：；②两个同号实数相乘，积是正数符号语言：；③两个异号实数相乘，积是负数符号语言：④任何实数的平方为非负数，0的平方为0符号语言：，.3、比较两个实数大小的法则：对任意两个实数、①；②；③。

对于任意实数、,,,三种关系有且只有一种成立。

不等式与不等关系不等式的性质基本性质的应用实际背景要点诠释：这三个式子实质是运用实数运算来比较两个实数的大小关系。

它是本章的基础，也是证明不等式与解不等式的主要依据。

要点二、不等式的基本性质１．不等式的基本性质（1）（2）（3）（4）２．不等式的运算性质（１）加法法则：（２）减法法则：（３）乘法法则：（４）除法法则：（５）乘方法则：（６）开方法则：要点诠释：不等式的概念和性质是进行不等式的变换，证明不等式和解不等式的依据，应正确理解和运用不等式的性质，弄清每条性质的条件与结论，注意条件与结论之间的关系。

基本不等式可以在解题时直接应用。

要点三、比较大小的方法1、作差法：任意两个代数式、，可以作差后比较与0的关系，进一步比较与的大小。

2、作商法：任意两个值为正的代数式、，可以作商后比较与1的关系，进一步比较与的大小。

3、中间量法：若且，则（实质是不等式的传递性）.一般选择0或1为中间量.4、利用函数的单调性比较大小：若两个式子具有相同的函数结构，可以利用相应的基本函数的单调性比较大小.【典型例题】类型一：比较代数式（值）的大小例1．已知：,比较和的大小.【解析】∵，，∴∴.【总结升华】作差比较法基本步骤：作差，变形，判断差的符号，结论，其中判断差的符号为目的，变形是关键，常用变形技巧有因式分解，配方，拆、拼项等方法.举一反三：【高清课堂：不等式与不等关系394833典型例题一】【变式1】若，则下列不等式中，不能成立的是()A. B. C. D.【解析】取特殊值，代入验证即可【答案】B【变式2】已知,试比较和的大小.【解析】∵，又∵即∴当时，；当时，.【变式3】且，比较与的大小.【解析】作差：(1)当，即时，，此时.(2)当，即(3)当，,此时，其中时取等号.(4)当即时，，此时例2．已知：、,且,比较的大小.【解析】∵、，∴，作商：（*）(1)若a>b>0,则，a-b>0,,此时成立；(2)若b>a>0,则,a-b<0，,此时成立。

《不等关系与基本不等式》知识归纳复习课件

不等关系与基本不等式知识归纳复习课件
目录
• 引言 • 不等关系 • 基本不等式 • 知识归纳与总结 • 复习方法与建议 • 练习题与自测题
01
引言
复习目的与要求
掌握不等关系与不等式的基本概念和性质：包括不等式的定义、性质、运算规则等。
理解基本不等式的推导和应用：如均值不等式、柯西不等式、切比雪夫不等式等。
本题还可以通过其他方法进行求解，如柯西不等式、拉格朗日乘数法等。同时，本题也启示我们在解决不等式问题时，可以通过转化和构造的方法进行处理。
05
复习方法与建议
系统梳理知识体系，形成知识网络图
梳理不等关系与基本不等式的基本概念、性质、定理等知识点。
利用思维导图等工具，将知识框架可视化，形成知识网络图。
也满足基本不等式。
01
02
03
04
05
基本不等式的形式
对于任意实数a、b，有 $a^2+b^2geq 2ab$，当
且仅当a=b时取等号。
对称性
若a、b满足基本不等式，则b、a也满足基本不等式
。
传递性
若a、b和b、c分别满足基本不等式，则式的证明
能够运用不等关系与基本不等式解决实际问题：如最值问题、不等式证明等。
知识体系概述
01
02
03
04
05
不等关系与不等式的基本…
基本不等式的推导和应用
不等式的解法
不等式的证明方不等关系与基本
法
不等式的…
包括不等式的定义、性质、分类等。
如均值不等式、柯西不等式、切比雪夫不等式等的推导过程和应用场景。
将知识点按照逻辑关系进行分类整理，形成清晰的知识框架。

专题05 不等式与不等式组专题详解(解析版)

专题05 不等式与不等式组专题详解专题05 不等式与不等式组专题详解 (1)9.1 不等式 (3)知识框架 (3)一、基础知识点 (3)知识点1 不等式及其解集 (3)知识点2 不等式的基本性质 (4)二、典型题型 (5)题型1 不等式的概念 (5)题型2 根据数量关系列不等式 (5)题型3不等式的解（集） (6)题型4 不等式性质的运用 (6)题型5 实际问题与不等式 (7)三、难点题型 (8)题型1 不等式性质的综合应用 (8)题型2 用作差法比较大小 (9)9.2 一元一次不等式 (10)知识框架 (10)一、基础知识点 (10)知识点1 一元一次不等式的解法 (10)知识点2 列不等式解应用题 (11)二、典型题型 (13)题型1 一元一次不等式的判定 (13)题型2 解一元一次不等式 (13)题型3 列不等式，求取值范围 (14)题型4 一元一次不等式的应用 (14)三、难点题型 (16)题型1 含参数的不等式 (16)题型2 不等式的整数解 (16)题型3 方程与不等式 (17)题型4 含绝对值的不等式 (18)9.3 一元一次不等式组 (19)知识框架 (19)一、基础知识点 (19)知识点1 一元一次不等式组及解集的定义 (19)知识点2 一元一次不等式组解集的确定及解法 (19)知识点3 双向不等式及解法 (21)二、典型题型 (23)题型1 一元一次不等式组的判定 (23)题型2 一元一次不等式组的解集 (23)题型3 解一元一次不等式组 (24)题型4 一元一次不等式组的应用 (25)一、用不等式组解决实际问题 (25)二、方案设计 (26)三、最值问题 (27)三、难点题型 (29)题型1 由不等式组确定字母的取值 (29)题型2 不等式组中的数学思想 (30)一、整体思想 (30)二、数形结合 (31)三、分类讨论 (31)题型3 不等式的应用 (32)题型4 不等式的综合 (33)9.1 不等式知识框架{基础知识点{不等式及其解集不等式的基本性质典型题型{ 不等式的概念根据数量关系列不等式不等式的解（集）不等式性质的运用实际问题与不等式难点题型{不等式性质的综合应用作差法比较大小一、基础知识点知识点1 不等式及其解集1）不等式：用不等符号表示不等关系的式子。

高中数学复习：不等关系与不等式

栏目索引
第一节不等关系与不等式
教 1.两个实数比较大小的方法材研读 2.不等式的基本性质
总纲目录栏目索引
考考点一比较代数式的大小
点突
考点二不等式的性质
破考点三不等式性质的应用
总纲目录栏目索引
教材研读
1.两个实数比较大小的方法
a b 0 a① b ,
(1)作差法(a,b∈R):a b 0 a② b ,
b bm b bm
教材研读栏目索引
教材研读栏目索引
1.判断正误(正确的打“√”,错误的打“✕”)
(1)两个实数a,b之间,有且只有a>b,a=b,a<b三种关系中的一种.
a
(2)若b >1,则a>b. ( ✕ ) (3)一个不等式的两边加上或乘同一个数,不等号方向不变. (
ab
(4)a>b>0,c>d>0⇒ d> c. ( √ )
∵a1,a2∈(0,1),∴(a1-1)(a2-1)>0,即M-N>0,即M>N.故选B.
(2)易知a,b>0,
a 1816 18 16 1 9 16 1 16 9 16
所以 b =1618 = 16 ×162 = 8 × 2 = 8 2 ,
9
9 16
∵8 2 ∈(0,1),∴ 8 2 <1,
11
(5)若ab>0,则a>b⇔a B C.A≤B D.A<B

专题7.1不等关系与不等式的性质及一元二次不等式(2021年高考数学一轮复习专题)

专题不等关系与不等式的性质及一元二次不等式一、题型全归纳题型一不等式性质的应用命题角度一判断不等式是否成立【题型要点】判断不等式是否成立的方法(1)判断不等式是否成立，需要逐一给出推理判断或反例说明．(2)在判断一个关于不等式的命题的真假时，可结合不等式的性质，对数函数、指数函数的性质进行判断．【例1】(2020·石家庄质量检测)已知a >0>b ，则下列不等式一定成立的是( ) A ．a 2<－ab B ．|a |<|b | C.1a >1bD ．(12)a >(12)b【解析】：通解：当a ＝1，b ＝－1时，满足a >0>b ，此时a 2＝－ab ，|a |＝|b |，⎝⎛⎭⎫12a <⎝⎛⎭⎫12b，所以A ，B ，D 不一定成立，因为a >0>b ，所以b －a <0，ab <0，所以1a －1b ＝b －a ab >0，所以1a >1b 一定成立，故选C.优解：因为a >0>b ，所以1a >0>1b ，所以1a >1b一定成立．故选C.【例2】若1a <1b <0，给出下列不等式：①1a ＋b <1ab ；①|a |＋b >0；①a －1a >b －1b ；①ln a 2>ln b 2.其中正确的不等式是( )A ．①①B ．①①C ．①①D ．①①【解析】因为1a <1b <0，所以b <a <0，|b |>|a |，所以|a |＋b <0，ln a 2<ln b 2，由a >b ，－1a >－1b 可推出a －1a >b －1b ，显然有1a ＋b<0<1ab ，综上知，①①正确，①①错误．命题角度二比较两个数(式)大小的两种方法【题型要点】比较两个数(式)大小的3种方法【例1】若a ＝ln 33，b ＝ln 44，c ＝ln 55，则( )A ．a b ；b c ＝5ln 44ln 5＝log 6251 024>1.所以b >c .即c e 时，函数f (x )单调递减．因为e<3<4<5，所以f (3)>f (4)>f (5)，即c 0，则f ′(x )＝1－ln x x 2，当x >e 时，f ′(x )<0，即函数f (x )在x >e 时是减函数．因为e<a ln bb，即b ln a >a ln b ，所以ln a b >ln b a ，则a b >b a .命题角度三求代数式的取值范围【题型要点】求代数式取值范围的方法利用不等式性质求某些代数式的取值范围时，多次运用不等式的性质时有可能扩大变量的取值范围．解决此类问题，一般是利用整体思想，通过“一次性”不等关系的运算求得整体范围，是避免错误的有效途径．【例1】(2020·长春市质量检测(一))已知角α，β满足－π2<α－β<π2，0<α＋β<π，则3α－β的取值范围是．【解析】：设3α－β＝m (α－β)＋n (α＋β)＝(m ＋n )α＋(n －m )β，则⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n ＝3，n －m ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2，n ＝1.因为－π2<α－β<π2，0<α＋β<π，所以－π<2(α－β)<π，故－π<3α－β<2π.【例2】已知－1<x<4，2<y<3，则x－y的取值范围是________，3x＋2y的取值范围是________．【解析】因为－1<x<4，2<y<3，所以－3<－y<－2，所以－4<x－y<2.由－1<x<4，2<y<3，得－3<3x<12，4<2y<6，所以1<3x＋2y<18.题型二一元二次不等式的解法【题型要点】一元二次不等式的解法(1)对于常系数一元二次不等式，可以用分解因式法或判别式法求解，题目简单，情况单一．(2)含有参数的不等式的求解，往往需要对参数进行分类讨论．①若二次项系数为常数，需先将二次项系数化为正数，再考虑分解因式，对参数进行分类讨论，若不易分解因式，则可依据判别式符号进行分类讨论；①若二次项系数为参数，则应先考虑二次项系数是否能为零，以确定不等式是一次不等式还是二次不等式，再讨论二次项系数不为零的情形，以便确定解集的形式；①对方程的根进行讨论，比较大小，以便写出解集．(3)若一元二次不等式的解集为区间的形式，则区间的端点值恰对应相应的一元二次方程的根，要注意解集的形式与二次项系数的联系．【易错提醒】当不等式中二次项的系数含有参数时，不要忘记讨论其等于0的情况．命题角度一不含参数的一元二次不等式解一元二次不等式的四个步骤【例1】不等式0<x2－x－2≤4的解集为．【答案】：[－2，－1)①(2，3]【解析】：原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －2>0，x 2－x －2≤4，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －2>0，x 2－x －6≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧（x －2）（x ＋1）>0，（x －3）（x ＋2）≤0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x >2或x <－1，－2≤x ≤3. 借助于数轴，如图所示，原不等式的解集为{x |－2≤x <－1或2<x ≤3}．命题角度二含参数的一元二次不等式解含参数的一元二次不等式的一般步骤【例2】解关于x 的不等式ax 2－(a ＋1)x ＋1<0.【解析】若a ＝0，原不等式等价于－x ＋1<0，解得x >1.若a <0，原不等式等价于⎪⎭⎫ ⎝⎛-a x 1(x －1)>0，解得x <1a 或x >1.若a >0，原不等式等价于⎪⎭⎫ ⎝⎛-a x 1(x －1)<0. ①当a ＝1时，1a ＝1，⎪⎭⎫ ⎝⎛-a x 1(x －1)<0无解；①当a >1时，1a <1，解⎪⎭⎫ ⎝⎛-a x 1(x －1)<0，得1a <x <1；①当0<a <1时，1a >1，解⎪⎭⎫ ⎝⎛-a x 1(x －1)<0，得1<x <1a .综上所述，当a <0时，解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧><11x a x x 或；当a ＝0时，解集为{x |x >1}；当0<a <1时，解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<a x x 11；当a ＝1时，解集为①；当a >1时，解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<11x a x.命题角度三已知一元二次不等式的解集求参数【例3】已知不等式ax 2－bx －1>0的解集是⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<31-21-x x ，则不等式x 2－bx －a ≥0的解集是________．【解析】由题意，知－12，－13是方程ax 2－bx －1＝0的两个根，且a <0，所以⎩⎨⎧－12＋⎝⎛⎭⎫－13＝ba ，－12×⎝⎛⎭⎫－13＝－1a ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－6，b ＝5.即不等式x 2－bx －a ≥0为x 2－5x ＋6≥0，解得x ≥3或x ≤2.【例4】(2020·黄冈模拟)关于x 的不等式ax ＋b >0的解集是(1，＋∞)，则关于x 的不等式(ax ＋b )(x －2)<0的解集是( )A ．(－∞，1)①(2，＋∞)B ．(－1,2)C ．(1,2)D ．(－∞，－1)①(2，＋∞)【解析】因为关于x 的不等式ax ＋b >0的解集是(1，＋∞)，所以a >0，且－ba＝1，所以关于x 的不等式(ax ＋b )(x －2)<0可化为⎪⎭⎫⎝⎛+a b x (x －2)<0，即(x －1)(x －2)<0，所以不等式的解集为{x |1<x <2}．命题角度四分式不等式的解法求解分式不等式的关键是对原不等式进行恒等变形，转化为整式不等式(组)求解．(1)f (x )g (x )>0(<0)①f (x )·g (x )>0(<0)；(2)f (x )g (x )≥0(≤0)①⎩⎪⎨⎪⎧f (x )·g (x )≥0(≤0)，g (x )≠0.【例5】不等式1－x 2＋x≥1的解集为( )A.⎥⎦⎤⎢⎣⎡--21,2 B.⎥⎦⎤ ⎝⎛21-2-，C ．(－∞，－2)①⎪⎭⎫ ⎝⎛∞+，21- D ．(－∞，－2]①⎪⎭⎫ ⎝⎛∞+，21- 【解析】：1－x 2＋x ≥1①1－x 2＋x －1≥0①1－x －2－x 2＋x ≥0①－2x －12＋x ≥0①2x ＋1x ＋2≤0①⎩⎪⎨⎪⎧（2x ＋1）（x ＋2）≤0x ＋2≠0①－2<x ≤－12.故选B.【例6】不等式2x ＋1x －5≥－1的解集为________．【解析】：将原不等式移项通分得3x －4x －5≥0，等价于⎩⎪⎨⎪⎧（3x －4）（x －5）≥0，x －5≠0，解得x >5或x ≤43.所以原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧><534x x x 或. 题型三一元二次不等式恒成立问题类型一形如f (x )≥0(f (x )≤0)(x ∈R )确定参数的范围【题型要点】一元二次不等式在R 上恒成立的条件【例1】若不等式(a －2)x 2＋2(a －2)x －4<0对一切x ①R 恒成立，则实数a 的取值范围是．【解析】当a －2＝0，即a ＝2时，不等式为－4<0，对一切x ①R 恒成立．当a ≠2时，则⎩⎪⎨⎪⎧a －2<0，Δ＝4（a －2）2＋16（a －2）<0，即⎩⎪⎨⎪⎧a <2－2<a <2，解得－2<a <2，a 的取值范围是(－2，2]．类型二形如f (x )≥0(f (x )≤0)(x ∈[a ，b ])确定参数的范围【题型要点】形如f (x )≥0(f (x )≤0)(x ①R )恒成立问题的求解思路(1)根据函数的单调性，求其最值，让最值大于等于或小于等于0，从而求出参数的范围； (2)数形结合，利用二次函数在端点a ，b 处的取值特点确定不等式求参数的取值范围．【例2】(2020·江苏海安高级中学调研)已知对于任意的x ①(－∞，1)①(5，＋∞)，都有x 2－2(a －2)x ＋a >0，则实数a 的取值范围是．【解析】设f (x )＝x 2－2(a －2)x ＋a .因为对于任意的x ①(－∞，1)①(5，＋∞)，都有f (x )＝x 2－2(a －2)x ＋a >0，所以Δ<0或⎩⎪⎨⎪⎧Δ≥0，1≤a －2≤5，f （1）≥0，f （5）≥0，解得1<a <4或4≤a ≤5，即1<a ≤5.类型三形如f (x )≥0(f (x )≤0)(参数m ∈[a ，b ])确定x 的范围【题型要点】形如f (x )>0或f (x )<0(参数m ①[a ，b ])的不等式确定x 的范围时，要注意变换主元，一般地，知道谁的范围，就选谁当主元，求谁的范围，谁就是参数．【例3】求使不等式x 2＋(a －6)x ＋9－3a >0，|a |≤1恒成立的x 的取值范围．【解析】将原不等式整理为形式上是关于a 的不等式(x －3)a ＋x 2－6x ＋9>0. 令f (a )＝(x －3)a ＋x 2－6x ＋9，则－1≤a ≤1.因为f (a )>0在|a |≤1时恒成立，所以 (1)若x ＝3，则f (a )＝0，不符合题意，应舍去．(2)若x ≠3，则由一次函数的单调性，可得⎩⎪⎨⎪⎧f （－1）>0，f （1）>0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2－7x ＋12>0，x 2－5x ＋6>0，解得x <2或x >4. 则实数x 的取值范围为(－∞，2)①(4，＋∞)．题型四转化与化归思想在不等式中的应用【题型要点】(1)一元二次不等式ax 2＋bx ＋c >0(a ≠0)的解集的端点值是一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的根，也是函数y ＝ax 2＋bx ＋c 与x 轴交点的横坐标．(2)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象在x 轴上方的部分，是由不等式ax 2＋bx ＋c >0的x 的值构成的；图象在 x 轴下方的部分，是由不等式ax 2＋bx ＋c <0的x 的值构成的，三者之间相互依存、相互转化．【例1】(2020·内蒙古包头)不等式f (x )＝ax 2－x －c >0的解集为{x |－2<x <1}，则函数y ＝f (－x )的图象为( )【解析】由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a <0，－2＋1＝1a ，－2×1＝－c a，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，c ＝－2，则函数y ＝f (－x )＝－x 2＋x ＋2，结合选项可知选C.【例2】a ，b 是关于x 的一元二次方程x 2－2mx ＋m ＋6＝0的两个实根，则(a －1)2＋(b －1)2的最小值是( ) A ．－494B ．18C ．8D ．－6【解析】：因为关于x 的一元二次方程x 2－2mx ＋m ＋6＝0的两个根为a ，b ，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝2m ，ab ＝m ＋6，且Δ＝4(m 2－m －6)≥0，解得m ≥3或m ≤－2.所以y ＝(a －1)2＋(b －1)2＝(a ＋b )2－2ab －2(a ＋b )＋2＝4m 2－6m －10＝4⎝⎛⎭⎫m －342－494. 由二次函数的性质知，当m ＝3时，函数y ＝4m 2－6m －10取得最小值，最小值为8.故选C.二、高效训练突破一、选择题1．(2020·潍坊模拟)已知集合A ＝{x |x 2－2x －3≥0}，B ＝{x |－2≤x ≤2}，则A ∩B ＝( ) A ．[－2，－1] B ．[－1,2] C ．[－1,1]D ．[1,2]【解析】A ＝{x |x 2－2x －3≥0}＝{x |(x －3)(x ＋1)≥0}＝{x |x ≤－1或x ≥3}，又B ＝{x |－2≤x ≤2}，所以A ∩B ＝{x |－2≤x ≤－1}．2．若正实数a ，b 满足a >b ，且ln a ·ln b >0，则( )A.1a >1bB ．a 2a ＋bD ．lg a ＋lg b >0【解析】由已知得a >b >1或0b 2，所以A ，B 错误；又ab >1或0<ab <1，因此lg a ＋lg b ＝lg (ab )>0或lg (ab )<0，所以D 错误；而ab ＋1－(a ＋b )＝(a －1)(b －1)>0，即ab ＋1>a ＋b ，所以C 正确．3．已知a >0>b ，则下列不等式一定成立的是( ) A ．a 2<－ab B ．|a |<|b | C.1a >1bD ．ba ⎪⎭⎫ ⎝⎛>⎪⎭⎫ ⎝⎛2121【解析】：法一：当a ＝1，b ＝－1时，满足a >0>b ，此时a 2＝－ab ，|a |＝|b |，ba⎪⎭⎫⎝⎛>⎪⎭⎫ ⎝⎛2121，所以A ，B ，D 不一定成立．因为a >0>b ，所以b －a <0，ab <0，所以1a －1b ＝b －a ab >0，所以1a >1b 一定成立，故选C.法二：因为a >0>b ，所以1a >0>1b ，所以1a >1b一定成立，故选C.4.(2020·安徽淮北一中（文）模拟)若(x －1)(x －2)<2，则(x ＋1)(x －3)的取值范围是( ) A ．(0，3) B ．[－4，－3) C ．[－4，0) D ．(－3，4]【解析】：由(x －1)(x －2)<2解得0<x <3，函数y ＝(x ＋1)(x －3)的图象的对称轴是直线x ＝1，故函数在(0，1)上单调递减，在(1，3)上单调递增，在x ＝1处取得最小值，最小值为－4，在x ＝3处取值为0，在x ＝0处取值为－3，故(x ＋1)(x －3)的取值范围为[－4，0)．5．若不等式x 2－2x ＋5≥a 2－3a 对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围为( )A ．[－1，4]B ．(－∞，－2]①[5，＋∞)C ．(－∞，－1]①[4，＋∞)D ．[－2，5] 【解析】：.x 2－2x ＋5＝(x －1)2＋4的最小值为4，所以x 2－2x ＋5≥a 2－3a 对任意实数x 恒成立，只需a 2－3a ≤4即可，解得－1≤a ≤4.6．(2020·湖南益阳4月模拟)已知函数f (x )＝ax 2＋(a ＋2)x ＋a 2为偶函数，则不等式(x －2)f (x )<0的解集为( ) A ．(－2，2)①(2，＋∞) B ．(－2，＋∞) C ．(2，＋∞)D ．(－2，2)【解析】：因为函数f (x )＝ax 2＋(a ＋2)x ＋a 2为偶函数，所以a ＋2＝0，得a ＝－2，所以f (x )＝－2x 2＋4，所以不等式(x －2)f (x )<0可转化为⎩⎪⎨⎪⎧x －2<0，f （x ）>0或⎩⎪⎨⎪⎧x －2>0，f （x ）<0，即⎩⎪⎨⎪⎧x <2，－2x 2＋4>0或⎩⎪⎨⎪⎧x >2，－2x 2＋4<0，解得－2<x <2或x >2.故原不等式的解集为(－2，2)①(2，＋∞)．故选A. 7.(2020·广东清远一中月考)关于x 的不等式ax －b ＜0的解集是(1，＋∞)，则关于x 的不等式 (ax ＋b )(x －3)＞0的解集是( )A ．(－∞，－1)①(3，＋∞)B ．(1,3)C ．(－1,3)D ．(－∞，1)①(3，＋∞)【解析】关于x 的不等式ax －b ＜0的解集是(1，＋∞)，即不等式ax ＜b 的解集是(1，＋∞)，①a ＝b ＜0，①不等式(ax ＋b )(x －3)＞0可化为(x ＋1)(x －3)＜0，解得－1＜x ＜3，①所求解集是(－1,3)．故选C. 8.设实数x ，y 满足0<xy <4，且0<2x ＋2y <4＋xy ，则x ，y 的取值范围是( ) A ．x >2且y >2 B ．x <2且y <2 C ．0<x <2且0<y <2D ．x >2且0<y <2【解析】：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧xy >0，x ＋y >0，则⎩⎪⎨⎪⎧x >0，y >0，由2x ＋2y －4－xy ＝(x －2)·(2－y )<0，得⎩⎪⎨⎪⎧x >2，y >2或⎩⎪⎨⎪⎧0<x <2，0<y <2，又xy <4，可得⎩⎪⎨⎪⎧0<x <2，0<y <2.9.(2020·天津市新华中学模拟)已知命题p ：1a >14，命题q ：①x ①R ，ax 2＋ax ＋1>0，则p 成立是q 成立的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】求解不等式1a >14可得0<a <4，对于命题q ，当a ＝0时，命题明显成立；当a ≠0时，有⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝a 2－4a <0，10.设a ，b ①R ，定义运算“①”和“①”如下：a ①b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≤b ，b ，a >b ，a ①b ＝⎩⎪⎨⎪⎧b ，a ≤b ，a ，a >b .若m ①n ≥2，p ①q ≤2，则( )A ．mn ≥4且p ＋q ≤4B ．m ＋n ≥4且pq ≤4C ．mn ≤4且p ＋q ≥4D ．m ＋n ≤4且pq ≤4【解析】：.结合定义及m ①n ≥2可得⎩⎪⎨⎪⎧m ≥2，m ≤n 或⎩⎪⎨⎪⎧n ≥2，m >n ，即n ≥m ≥2或m >n ≥2，所以mn ≥4；结合定义及p ①q ≤2，可得⎩⎪⎨⎪⎧p ≤2，p >q 或⎩⎪⎨⎪⎧q ≤2，p ≤q ，即q 1时，不等式的解集为{x |1<x <a }；当a <1时，不等式的解集为{x |a <x <1}，要使不等式的解集中至多包含2个整数，则a ≤4且a ≥－2，所以实数a 的取值范围是a ①[－2，4]，故选D. 12．已知函数f (x )＝－x 2＋ax ＋b 2－b ＋1(a ①R ，b ①R )，对任意实数x 都有f (1－x )＝f (1＋x )成立，若当x ①[－1，1]时，f (x )＞0恒成立，则b 的取值范围是( ) A ．(－1，0)B ．(2，＋∞)C ．(－∞，－1)①(2，＋∞)D ．不能确定【解析】：由f (1－x )＝f (1＋x )知f (x )的图象关于直线x ＝1对称，即a2＝1，解得a ＝2.又因为f (x )开口向下，所以当x ①[－1，1]时，f (x )为增函数，所以f (x )min ＝f (－1)＝－1－2＋b 2－b ＋1＝b 2－b －2， f (x )＞0恒成立，即b 2－b －2＞0恒成立解得b ＜－1或b ＞2.二、填空题1.设a >b ，有下列不等式①a c 2>b c 2；①1a <1b ；①|a |>|b |；①a |c |≥b |c |，则一定成立的有________．(填正确的序号)【解析】：对于①，1c 2>0，故①成立；对于①，a >0，b <0时不成立；对于①，取a ＝1，b ＝－2时不成立；对于①，|c |≥0，故①成立．2．已知实数a ①(1，3)，b ①⎪⎭⎫⎝⎛4181，，则a b的取值范围是________．【解析】：依题意可得4<1b <8，又1<a <3，所以4<ab <24，故答案为(4，24)．3．不等式|x (x －2)|>x (x －2)的解集是________．【解析】：不等式|x (x －2)|>x (x －2)的解集即x (x －2)<0的解集，解得0<x <2.4．(2020·扬州模拟)若a 1<a 2，b 10，即a 1b 1＋a 2b 2>a 1b 2＋a 2b 1.6.已知①ABC 的三边长分别为a ，b ，c 且满足b ＋c ≤3a ，则ca的取值范围为________．【解析】：由已知及三角形的三边关系得⎩⎪⎨⎪⎧a c ，a ＋c >b ，所以⎩⎪⎨⎪⎧1ca ，1＋c a >ba ，所以⎩⎨⎧1y ，a >b ，则在①a －x >b －y ；①a ＋x >b ＋y ；①ax >by ；①x －b >y －a ；①a y >bx 这五个式子中，恒成立的不等式的序号是________．【解析】：令x ＝－2，y ＝－3，a ＝3，b ＝2.符合题设条件x >y ，a >b .因为a －x ＝3－(－2)＝5，b －y ＝2－(－3)＝5.所以a －x ＝b －y ，因此①不成立．因为ax ＝－6，by ＝－6，所以ax ＝by ，因此①不成立．因为a y ＝3－3＝－1，b x ＝2－2＝－1，所以a y ＝bx，因此①不成立．由不等式的性质可推出①①成立．8.已知函数f (x )＝x 2＋2x ＋ax，若对任意x ①[1，＋∞)，f (x )>0恒成立，则实数a 的取值范围是________．【解析】对任意x ①[1，＋∞)，f (x )>0恒成立．等价于x 2＋2x ＋a >0，即a >－(x ＋1)2＋1在[1，＋∞)上恒成立，令g (x )＝－(x ＋1)2＋1，则g (x )在[1，＋∞)上单调递减，所以g (x )max ＝g (1)＝－3，所以a >－3.9.(2020·江西临川一中高考模拟)已知函数f (x )＝x ln (3－x )，则不等式f (lg x )>0的解集为________．【解析】因为f (x )＝x ln (3－x )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，3－x >0，解得0≤x <3，所以定义域为[0,3)，因为f (x )＝x ln (3－x )>0等价于⎩⎨⎧x >0，ln (3－x )>0，解得0<x <2，因为f (lg x )>0，所以⎩⎪⎨⎪⎧0≤lg x <3，0<lg x <2，x >0，解得1<x <100，所以解集为(1,100)．10.已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋b (a ，b ①R )的值域为[0，＋∞)，若关于x 的不等式f (x )<c 的解集为(m ，m ＋6)，则实数c 的值为________．【解析】：由题意知f (x )＝x 2＋ax ＋b ＝22⎪⎭⎫ ⎝⎛+a x ＋b －a 24，f (x )的值域为[0，＋∞)，所以b －a 24＝0，即b ＝a 24.所以f (x )＝(x ＋a 2)2.又f (x )<c ，所以(x ＋a 2)2<c ，即－a 2－c <x <－a2＋c .所以⎩⎨⎧－a2－c ＝m ①，－a2＋c ＝m ＋6 ①.①－①，得2c ＝6，所以c ＝9.三解答题1.求使不等式x 2＋(a －6)x ＋9－3a >0，|a |≤1恒成立的x 的取值范围．【解析】：将原不等式整理为形式上是关于a 的不等式(x －3)a ＋x 2－6x ＋9>0. 令f (a )＝(x －3)a ＋x 2－6x ＋9，因为f (a )>0在|a |≤1时恒成立，所以 (1)若x ＝3，则f (a )＝0，不符合题意，应舍去．(2)若x ≠3，则由一次函数的单调性，可得⎩⎪⎨⎪⎧f （－1）>0，f （1）>0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2－7x ＋12>0，x 2－5x ＋6>0，解得x <2或x >4则实数x 的取值范围为(－∞，2)①(4，＋∞)． 2．已知函数f (x )＝ax 2＋2ax ＋1的定义域为R .(1)求a 的取值范围；(2)若函数f (x )的最小值为22，解关于x 的不等式x 2－x －a 2－a <0. 【解析】：(1)因为函数f (x )＝ax 2＋2ax ＋1的定义域为R ，所以ax 2＋2ax ＋1≥0恒成立，当a ＝0时，1≥0恒成立．当a ≠0时，则有⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝（2a ）2－4a ≤0，解得0<a ≤1，综上可知，a 的取值范围是[0，1]．(2)因为f (x )＝ax 2＋2ax ＋1＝a （x ＋1）2＋1－a ，因为a >0，所以当x ＝－1时，f (x )min ＝1－a ，由题意得，1－a ＝22，所以a ＝12，所以不等式x 2－x －a 2－a <0可化为x 2－x －34<0. 解得－12<x <32，所以不等式的解集为⎪⎭⎫⎝⎛2321-，.3已知函数f (x )＝ax 2＋(b －8)x －a －ab ，当x ①(－∞，－3)①(2，＋∞)时，f (x )<0，当x ①(－3，2)时，f (x )>0. (1)求f (x )在[0，1]内的值域；(2)若ax 2＋bx ＋c ≤0的解集为R ，求实数c 的取值范围．【解析】：(1)因为当x ①(－∞，－3)①(2，＋∞)时，f (x )<0，当x ①(－3，2)时，f (x )>0. 所以－3，2是方程ax 2＋(b －8)x －a －ab ＝0的两个根，所以⎩⎨⎧－3＋2＝8－ba，－3×2＝－a －aba ，所以a ＝－3，b ＝5.所以f (x )＝－3x 2－3x ＋18＝－3221⎪⎭⎫ ⎝⎛+x ＋754.因为函数图象关于x ＝－12对称且抛物线开口向下，所以f (x )在[0，1]上为减函数，所以f (x )max ＝f (0)＝18， f (x )min ＝f (1)＝12，故f (x )在[0，1]内的值域为[12，18]．(2)由(1)知不等式ax 2＋bx ＋c ≤0可化为－3x 2＋5x ＋c ≤0，要使－3x 2＋5x ＋c ≤0的解集为R ，只需Δ＝b 2－4ac ≤0，即25＋12c ≤0，所以c ≤－2512，所以实数c 的取值范围为⎥⎦⎤ ⎝⎛∞1225--， 4．(2020·湖北孝感3月模拟)设关于x 的一元二次方程ax 2＋x ＋1＝0(a >0)有两个实根x 1，x 2.(1)求(1＋x 1)(1＋x 2)的值；(2)求证：x 1<－1且x 2<－1；(3)如果x 1x 2①⎥⎦⎤⎢⎣⎡10101，，试求a 的取值范围．【解析】：(1)因为关于x 的一元二次方程ax 2＋x ＋1＝0(a >0)有两个实根x 1，x 2. 所以x 1＋x 2＝－1a ，x 1x 2＝1a ，则(1＋x 1)(1＋x 2)＝1＋x 1＋x 2＋x 1·x 2＝1－1a ＋1a ＝1.(2)证明：由Δ≥0，得0<a ≤14.设f (x )＝ax 2＋x ＋1，则f (x )的对称轴与x 轴交点横坐标x ＝－12a ≤－2，又由于f (－1)＝a >0，所以f (x )的图象与x 轴的交点均位于点(－1，0)的左侧，故x 1<－1且x 2<－1. (3)由⎩⎨⎧x 1＋x 2＝－1a ，x 1·x 2＝1a①（x 1＋x 2）2x 1·x 2＝x 1x 2＋x 2x 1＋2＝1a .因为x 1x 2①⎣⎡⎦⎤110，10，所以1a ＝x 1x 2＋x 2x 1＋2①⎣⎡⎦⎤4，12110①a ①⎣⎡⎦⎤10121，14.又⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝1－4a ≥0①0<a ≤14，所以a 的取值范围为⎣⎡⎦⎤10121，14.。

高考数学讲义：不等关系与不等式(解析版)

第12讲：不等关系与不等式【学习目标】1.能用不等式(组)表示实际问题中的不等关系.2.初步学会作差法、作商法比较两实数的大小．【基础知识】基本事实两个实数a，b，其大小关系有三种可能，即a>b，a＝b，a<b.依据a>b⇔a－b>0. a＝b⇔a－b＝0. a<b⇔a－b<0结论要比较两个实数的大小，可以转化为比较它们的差与0的大小【考点剖析】考点一：不等式组表示不等关系例1．为了全面贯彻党的教育方针，落实“立德树人”的根本任务，切实改变边远地区孩子上学难的问题，某市政府准备投资1800万元兴办一所中学.经调查，班级数量以20至30个为宜，每个初、高中班硬件配置分别需要28万元与58万元，该学校的规模(初、高中班级数量)所满足的条件是___________.【答案】2030, 28581800,0,0,,x yx yx y x y N【详解】设该校有初中班x个，高中班y个，则有：2030, 28581800,0,0,,x yx yx y x y N故答案为：2030, 28581800,0,0,,x yx yx y x y N变式训练1：《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有一个问题：“今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等，交易其一，金轻十三两，问金、银一枚各重几何？”意思是：甲袋中装有黄金9枚(每枚黄金重量相同)，乙袋中装有白银11枚(每枚白银重量相同)，称重两袋相等，两袋互相交换1枚后，甲袋比乙袋轻了13两(袋子重量忽略不计)，问黄金、白银每枚各重多少两？设每枚黄金重x 两，每枚白银重y 两，根据题意可列方程组为________.【答案】 91110813x y y x x y【详解】设每枚黄金重x 两，每枚白银重y 两，由题意得： 91110813x y y x x y 故答案为： 91110813x y y x x y 变式训练2：A 杯中有浓度为%a 的盐水x 克，B 杯中有浓度为%b 的盐水y 克，其中A 杯中的盐水更咸一些．若将A 、B 两杯盐水混合在一起，其咸淡的程度可用不等式表示为___________．【答案】ax by b a x y【详解】由题意，将A 、B 两杯盐水混合再一起后浓度为ax by x y， b a y ax by a x y x y ∵， a b x ax by b x y x y，∵A 杯中的盐水更咸一些，a b ，ax by b a x y，故答案为：ax by b a x y.变式训练3：已知b 克盐水中含有 0a b a 克盐，若给盐水加热，蒸发了 0m m b a 克水后盐水更咸了，请将这一事实表示为一个不等式：______.【答案】a ab m b 【详解】原来盐占盐水的比例为a b ，给盐水加热，蒸发了 0m m b a 克水后，盐占盐水的比例为a b m ，则a a b m b考点二：作差法比较大小（一）例2．比较231x x 与221x x 两个代数式的大小：；【答案】（1）223121x x x x ；【详解】（1） 2222312122110x x x x x x x ∵，因此，223121x x x x ；变式训练1：已知2253M x x ，242N x x ，则M ________N （用>，<，=填）【答案】＞【详解】2253M x x ，242N x x ，222225342131024M N x x x x x x x ，故M N .故答案为： .变式训练2：试比较 15x x 与 23x 的大小.【答案】2(1)(5)(3)x x x 【详解】因为222153656940x x x x x x x ，2(1)(5)(3)x x x 变式训练3：比较3x 与21x x 的大小；【答案】详解见解析；【详解】作差得：323222(1)()(1)(1)(1)(1)(1)x x x x x x x x x x x （i）当1x 时，32(1)0x x x ，故321x x x ；（ii）当1x 时，32(1)0x x x ，故321x x x ；（iii）当1x 时，32(1)0x x x ，故321x x x .考点三：作差法比较大小（二）例3．证明不等式：（1）设0,0a b ，求证：3322a b ab a b ；（2）设,x y R ，求证：2252(2)x y x y .【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【详解】证明：（1）因为3322a b ab a b 3322a b ab a b 3232a ab b a b 2222a a b b b a 222a b a b a b a b ，因为00a b ，，所以 20a b a b ，所以33220a b ab a b ，所以3322a b ab a b ；（2）因为 22522x y x y 22542x y x y 22425x x y y22210x y ，所以 22522x y x y .变式训练1：若221a x ，22b x x ，3c x ，比较a ，b ，c 的大小.【答案】a b c .详解：∵221a x ，22b x x ，3c x ，∴22212a b x x x 222110x x x ，即a b ， 223b c x x x 223333024x x x ，即b c ，综上可得：a b c .变式训练2：已知a，b R ，比较22a b 与245a b 的大小．【答案】22245a b a b .【详解】a ∵，b R ，22245a b a b 222144a ab b 22(1)(2)0a b ，22245a b a b ，当且仅当1a ，2b 时，等号成立，两式相等．变式训练3：已知0a b ，比较22a b b a 与11a b 的大小.【答案】2211a b b a a b【详解】解：222211a b a b b a b a a b b a2211()a b b a222()()a b a b a b.∵0a b ，2()0a b ，∴222()()0a b a b a b ，当且仅当a b 时，取等号，∴2211a b b a a b.考点四：作商法比较大小例4．设 121p a a ，21q a a ，则（）A．p qB．p q C．p qD．p q 【答案】D【详解】 1222110132411p a a a a a，22131024q a a a ，则222121111a a a a a a a q a p 222222111a a a a .故p q ，当且仅当0a 时，取等号，故选：D变式训练1：2211,,()1P a a Q a R a a ，则,P Q 的大小关系为_______．【答案】≥【详解】因为22131024P a a a ，22131024a a a 则0Q 由 222224211111P a a a a a a a a Q所以P Q故答案为：变式训练2：已知0a ，0b，试比较a b 时取等号）【详解】a b2211，当且仅当ab 时等号成立，a b 时取等号）.变式训练3：设0a b ，比较2222a b a b与a b a b 的大小【答案】2222a b a b a b a b【详解】220,0,a b a b a b ∵，22220,0a b a b a b a b，.两数作商 222222a b a b a b a b a b a b a b a b a b22222211a b ab a b a b，2222a b a b a b a b.【过关检测】1、已知,a b R ，则2252a b _______42ab a ．（用“>”或“<”填空）【答案】>【详解】因为225242a b ab a 22(2)(1)1a b a ,又2(2)0a b ≥，2(1)0a ，所以2252420a b ab a ，所以225242a b ab a ，故答案为：>.2、已知0x ，则 221x 与421x x 的大小关系为_______.【答案】 221x 421x x 【详解】因为 221x 421x x 42422211x x x x x ，又0x ，所以20x .所以221x 421x x .故答案为： 221x 421x x .3、设222m a a ， 21n a ，则m ，n 的大小关系是______.【答案】m n .【详解】因为 2222110m n a a a ，所以m n .故答案为：m n .4、已知241Ma a ，122N a ，则M ________N .（填“>”或“<”）【答案】【详解】22312(1)022M N a a a，∴M N ．故答案为：．5、已知231M a a ，122N a，则M________N．（填“>”或“<”）【答案】【详解】22111()0224M N a a a，∴M N ．故答案为：．6、设x R ，231Mx x ，21N x x ，则M 与N 的大小关系为________.【答案】M N【详解】22311M N x x x x ∵222132222(1)2[(]024x x x x x ，M N故答案为：M N .7、已知a ，b 为实数，则221214a b______2ab a ．（填“＞”、“＜”、“≥”或“≤”）【答案】≥【详解】2222112121042a b ab a a b a ，当且仅当1a ，2b 取等号．故答案为：≥8、设2,1M x N x ，则M 与N 的大小关系是________.【答案】M N【详解】由作差比较法，可得22213(1)1(024M N x x x x x，所以M N .故答案为：M N .9、若 23x a a ， 34y a a ，则x 与y 的大小关系是__________.【答案】x y【详解】22233461260x y a a a a a a a a ，因此，x y .故答案为：x y .10、已知1x ，比较36x x 与26x 的大小.【答案】3266x x x .【详解】解： 32226616161x x x xx x x x ∵1x ，∴ 2610x x ∴3266x x x .11、若0x ，试比较251x 和2331x x 的大小；【答案】答案见解析；【详解】作差得： 22251331232212x x x x x x x ；所以当2x 时，2251331x x x ；当2x 时，2251331x x x ；当02x 时，2251331x x x ；12、设a 、b 为实数，比较22a b 与448a b 的值的大小.【答案】22448a b a b 【详解】由于a 、b 为实数，则 2222224484444220a ba b a a b b a b ，当且仅当22a b时，等号成立.因此，22448a b a b .13、比较221x y 与 21x y 的大小；【答案】 22121x y x y ；【详解】因为 2222211111x y x y x y ，又 2210,10x y ，所以222101x y x y ，所以 22121x y x y ；14、x R ，比较2(1)(1)2x x x 与 2(112x x x 的大小．【答案】 22111122x x x x x x【详解】由22(1)(1)(1212x x x x x x 323233331110222222x x x x x x所以 22111122x x x x x x15、设a ，b 为实数，比较22a b 与1ab a b 的大小．【答案】见解析详解：解：22(1)a b ab a b 221(222222)2a b ab a b22221[(2)(21)(21)]2a b ab a a b b 2221[()(1)(1)]2a b a b 222()0,(1)0,(1)0a b a b ∵，当且仅当1a b 时同时取等号22(1)0a b ab a b ，当且仅当1a b 时取等221a b ab a b 16、已知0a ，0b ，试比较11a b M a b 与11b a N a b的大小．【答案】当a b 时，M N =；当a b ¹时，M N .【详解】11111111a b b a a b a b M N a b a b a a b b Q 211111111a b a b a b a b a b a b a b .因为0a ，0b ，所以 110a b ， 20a b ，得0M N 当a b 时，M N =；当a b ¹时，M N .17、已知,R a b的大小．【详解】a ba ba b2，显然成立，，当且仅当a b 时取等号.18、若0a b ，0c d ，0e ，试比较 2e a c 与 2e b d 的大小.【答案】22e e a c b d 【详解】 22ee a c b d2222e b d a c a c b d22e a b c d b a c d a c b d ∵0a b ，0c d ，0a b ，0c d ，0b a ，0c d ，0a b c d ， 0b a c d .∵0e ， 0e a b c d b a c d 又 220a c b d ， 220eea cb d ，即 22e ea cb d .19、先后两次购买同一种物品，可采取两种不同的方式，第一种是不考虑物品价格的升降，每次购买该物品的数量一定；第二种是不考虑物品价格的升降，每次购买该物品所花的钱数一定.甲、乙二人先后两次结伴购买同一种物品，其中甲在两次购物时采用第一种方式，乙在两次购物时采用第二种方式.已知第一次购物时该物品单价为1p ，第二次购物时该物品单价为2p （12p p ）.甲两次购物的平均价格记为1Q ，乙两次购物的平均价格记为2Q .（1）求1Q ，2Q 的表达式（用12p p ，表示）；（2）通过比较1Q ，2Q 的大小，说明哪种购物方式比较划算.【答案】（1）1212121222p p p p Q Q p p，；（2）第二种购物方式比较划算.【详解】解：（1）设甲两次购物时购物量均为m，则两次购物总花费为1p m+2p m，购物总量为2m，平均价格为1212122p m p m p p Q m .设乙两次购物时用去钱数均为n，则两次购物总花费2n，购物总量为12n n p p ，平均价格为122121222p p n Q n n p p p p =综上，1212121222p p p p Q Q p p （2）∵12p p ，∴ 2212121212121212121242022()2()p p p p p p p p p p Q Q p p p p p p 12Q Q 由此可知，第二种购物方式比较划算.20、甲、乙两位消费者同时两次购买同一种物品，分别采用两种不同的策略，甲的策略是不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品的数量一定；乙的策略是不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品所花的钱数一定.（1）若两次购买这种物品的价格分别为6元，4元，求甲两次购买这种物品平均价格和乙两次购买这种物品平均价格分别为多少；（2）设两次购买这种物品的价格分别为a 元，b 元(0,0)a b ，问甲、乙谁的购物比较经济合算.【答案】（1）5，245；（2）乙的购物比较经济合算.【详解】（1）设甲每次购买这种物品的数量为m ，乙每次购买这种物品所花的钱数为n ，所以甲两次购买这种物品平均价格为，645m m m m ，乙两次购买这种物品平均价格为，224564n n n .（2）设甲每次购买这种物品的数量为m ，乙每次购买这种物品所花的钱数为n ，所以甲两次购买这种物品平均价格为，2am bm a b m m ，乙两次购买这种物品平均价格为22n ab n n a b a b ，22222()42()022()2()2()a b ab a b ab a b ab a b a b a b a b a b ，所以乙的购物比较经济合算.。

一轮复习：7.1不等式与不等关系

注意c的符号
同向可加性
a>b a＋c>b＋d ⇒__________ c>d a>b>0 ac>bd ⇒______ c>d>0
an>bn (n∈N，n≥1) a>b>0⇒_____
a> b n∈N，n≥2) a>b>0⇒________(
n n
⇒
同向同正可乘性可乘方性
又b＋c＝6－4a＋3a2，∴2b＝2＋2a2，∴b＝a2＋1，
∴b－a＝a
2 1 3 2 －a＋1＝a－2 ＋4>0，
∴b>a，∴c≥b>a.
ln 3 ln 4 ln 5 2.比较 a＝ 3 ，b＝ 4 ，c＝ 5 的大小解析方法一易知a，b，c都是正数，
b 3ln 4 ＝＝ log 8164<1， a 4ln 3 b 5ln 4 所以 a>b；c ＝4ln 5＝log6251 024>1，
A.①
C.②③ D.①②③ 1 1 解析由不等式性质及 a>b>1，知a<b， c c 又 c<0，∴a>b，①正确；构造函数 y＝ xc ， ∵c<0 ， ∴y ＝ xc 在 (0 ，＋ ∞) 上是单调递减的，又a>b>1，∴ac<bc，②正确；
∵a>b>1，c<0，∴a－c>b－c>1，
B.①②
1 1 A. >b a－b B.a <ab
2
√
|b| |b|＋1 C.|a|< |a|＋1
D.an>bn
(－4,0) (2)已知－1<x<y<3，则x－y的取值范围是________.

高考数学二轮专题复习练习01不等式与不等关系

不等式与不等关系课堂巩固1.已知函数x x f x 2log )31()(-=，0a b c <<<，0)()()(<c f b f a f ，实数d 是函数()f x 的一个零点．给出下列四个判断：①a d <；②b d >；③c d <；④c d >．其中可能成立的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．42.若01,a <<()|log |a f x x =，则下列各式中成立的是（）11.(2)()()34A f f f >> 11.()(2)()43B f f f >>11.()(2)()34C f f f >> 11.()()(2)43D f f f >>3.不等式01312>+-x x 的解集是（A ）}2131|{>-<x x x 或（B ）}2131|{<<-x x（C ）}21|{>x x（D ）}31|{->x x4.下列命题中，正确的命题是( )A 、若,a b c d >>，则ac bd >B 、若11a b>，则 a b <C 、若b c >，则a b a c ≥D 、若,a b c d >>，则a c b d ->-5.若22*1()1,()1,()()2f n n n g n n n n n N nϕ=+-=--=∈,用不等号从小到大连结起来为____________。

课后检测一、选择题1.β+αβα,,是锐角，cos cos a αβ=+,sin sin b αβ=+,sin()c αβ=+,则有 ( )A. c b a <<B. b c a <<C. c a b <<D. b a c <<2.若2log (1)a a ＋<log (2)a a <0，那么a 的取值范围是A ．（0，1）B ．（0，12） C ．（12，1） D ．（1，＋∞） 3.设xyy x yx P N M 3,)3(,233==+=+（其中0<x<y ），则M 、N 、P 的大小顺序是（）（A ）M<N<P（B ）N<P<M（C ）P<M<N（D ）P<N<M4.定义在上的偶函数满足：对任都有,当时, 则下列不等式成立的是 A ． B ．C ．D ．二、填空题5.若155a ≤≤，则1a a+的取值范围是 .6.在下列各命题中:①|a+b|－|a －b|≤2|b|； ②b 、c ∈R +,且x ≠0,则|bx+xc|≥2bc ； ③若|x －y|<ε,则|x|<|y|+ε；④当且仅当ab<0或ab=0时,|a|－|b|≤|a+b|中的等号成立.其中真命题的序号为_________.7.若+∈R b a ,，则b a 11+与ba +1的大小关系是 . 8.若110a b <<，则下列不等式：①ab b a <+；②||||b a >；③b a <；④2>+baa b 中，正确的不等式有（填序号）三、解答题9.求证ab+bc+cd+da ≤a 2+b 2+c 2+d 2并说出等号成立的条件．10.表示下列不等关系（1）a 是正数（2）a+b 是非负数（3）a 小于3，但不小于－1 （4）a 与b 的差的绝对值不大于5。

高考数学一轮复习：不等关系与不等式

2019年高考数学一轮复习：不等关系与不等式不等关系与不等式1．两个实数大小的比较(1)a＞b⇔a－b________；(2)a＝b⇔a－b________；(3)a＜b⇔a－b________.2．不等式的性质(1)对称性：a>b⇔__________；(2)传递性：a>b，b>c⇒__________；(3)不等式加等量：a>b⇔a＋c______b＋c；(4)不等式乘正量：a>b，c>0⇒__________，不等式乘负量：a>b，c<0⇒__________；(5)同向不等式相加：a>b，c>d⇒__________；※(6)异向不等式相减：a>b，c<d⇒a－c＞b－d；(7)同向不等式相乘：a>b>0，c>d>0⇒__________；※(8)异向不等式相除：a>b>0，0<c<d⇒a c＞bd；※(9)不等式取倒数：a>b，ab>0⇒1a＜1b；(10)不等式的乘方：a>b>0⇒______________；(11)不等式的开方：a>b>0⇒______________．※注：(5)(6)说明，同向不等式可相加，但不可相减，而异向不等式可相减；(7)(8)说明，都是正数的同向不等式可相乘，但不可相除，而都是正数的异向不等式可相除．自查自纠1．＞0＝0＜02．(1)b<a(2)a>c(3)>(4)ac>bc ac<bc(5)a＋c>b＋d(7)ac>bd(10)a n>b n(n∈N且n ≥2)(11)na>nb(n∈N且n≥2)(教材题改编)若－1＜a＜b＜1，则()A．－2＜a－b＜0 B．－2＜a－b ＜－1C．－1＜a－b＜0 D．－1＜a－b ＜1解：－1＜a＜1，－1＜－b＜1⇒－2＜a －b＜2.又a＜b，则－2＜a－b＜0.故选A.(2016·四川成都模拟)若a＜b＜0，则下列不等式中一定成立的是()A.1a＜1b B.⎝⎛⎭⎪⎫12a＜⎝⎛⎭⎪⎫12bC．a＋1b＜b＋1a D.ba＜b＋1a＋1解：因为a＜b＜0，所以b－a＞0，ab＞0，1a－1b＝b－aab＞0，因此A错误；由函数f(x)＝⎝⎛⎭⎪⎫12x是减函数知⎝⎛⎭⎪⎫12a＞⎝⎛⎭⎪⎫12b，B错误；由⎝⎛⎭⎪⎫a＋1b－⎝⎛⎭⎪⎫b＋1a＝(a－b)⎝⎛⎭⎪⎫1＋1ab＜0知C正确．或用特值法，取a ＝－2，b ＝－1，排除A ，B ，D.故选C .(2016·贵州模拟)若a ，b 都是实数，则“a －b >0”是“a 2－b 2>0”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解：由a －b >0得a >b ≥0，由a 2－b 2>0得a 2>b 2，即|a |＞|b |，所以“a －b >0”是“a 2－b 2>0”的充分不必要条件．故选A .已知a ＝27，b ＝6＋22，则a ，b 的大小关系是a _______b .解：由于a ＝27，b ＝6＋22，平方作差得a 2－b 2＝28－14－83＝14－83＝8⎝ ⎛⎭⎪⎫74－3＞0，从而a ＞b .故填＞. (2017·北京)能够说明“设a ，b ，c 是任意实数．若a ＞b ＞c ，则a ＋b ＞c ”是假命题的一组整数a ，b ，c 的值依次为________．解：a ，b ，c 是实数，若a ＞b ＞c ＞0，不等式a ＋b ＞c 成立；a ，b ，c 是实数，若a ＞0＞b ＞c ，不等式a ＋b ＞c 成立；a ，b ，c 是实数，若0＞a ＞b ＞c ，a ＋b ＝c ，不等式a ＋b ＞c 不成立，一组整数a ，b ，c 的值为负数，依次为－1，－2，－3.故填－1，－2，－3.类型一建立不等关系(2016·湖南模拟)用一段长为30 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18 m ，要求菜园的面积不小于108 m 2，靠墙的一边长为x m ，其中的不等关系可用不等式(组)表示为________．解：设矩形靠墙的一边长为x m ，则另一边长为30－x 2 m ，即⎝ ⎛⎭⎪⎫15－x 2 m ，根据题意知⎩⎪⎨⎪⎧0＜x ≤18，x ⎝⎛⎭⎪⎫15－x 2≥108. 故填⎩⎪⎨⎪⎧0＜x ≤18，x ⎝⎛⎭⎪⎫15－x 2≥108. 【点拨】解决有关不等关系的实际问题，应抓住关键字词，例如“要”“必须”“不少于”“大于”等，从而建立相应的方程或不等式模型．(2015·湖北改编)设x ∈R ，[x ]表示不超过x 的最大整数，若[t 2]＝4，则实数t 的取值范围是________．解：由已知有4≤t 2＜5，所以2≤t ＜5或－5＜t ≤－2.故填(－5，－2]∪[2，5)．类型二不等式的性质下列说法正确的是( ) A ．a ，b ∈R ，且a ＞b ，则a 2＞b 2B ．若a ＞b ，c ＞d ，则 a c ＞bdC ．a ，b ∈R ，且ab ≠0，则a b ＋ba ≥2D ．a ，b ∈R ，且a ＞|b |，则a n ＞b n (n ∈N *) 解：当a ＝0，b <0时A 选项不正确；当a >0>b ，0>c >d 时，a c <0，bd >0，所以B 选项不正确；当ab <0时，a b <0，ba <0，所以C 选项不正确．D 正确．故选D . 【点拨】运用不等式性质解题时，先从各个代数式的正负性考虑问题，直接判断各式大小；当各个代数式的正负性一致时，可考虑用不等式的性质进行证明，得出正确选项．若a ＞b ＞0，c ＜d ＜0，则一定有( )A.a c ＞b dB.a c ＜bdC.a d ＞b cD.a d ＜b c 解：由c ＜d ＜0⇒－1d ＞－1c ＞0，又a ＞b＞0，故由不等式性质，得－a d ＞－bc ＞0，所以ad ＜bc .故选D .类型三不等式性质的应用(1)若1<α<3，－4<β<2，则α2－β的取值范围是________．解：由1＜α＜3得12＜α2＜32，由－4＜β＜2得－2＜－β＜4，所以α2－β的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，112.故填⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，112.【点拨】①需要注意的是，两同向不等式可以相加但不可以相减，所以不能直接由12＜α2＜32和－4＜β＜2两式相减来得到α2－β的范围．②此类题目用线性规划也可解．(2)已知－1＜a ＋b ＜3且2＜a －b ＜4，则2a ＋3b 的取值范围是________．解：设2a ＋3b ＝x (a ＋b )＋y (a －b )，所以⎩⎨⎧x ＋y ＝2，x －y ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝52，y ＝－12.所以－52＜52(a ＋b )＜152，－2＜－12(a －b )＜－1.所以－92＜52(a ＋b )－12(a －b )＜132，即－92＜2a ＋3b ＜132.故填⎝ ⎛⎭⎪⎫－92，132.【点拨】由于a ＋b ，a －b 的范围已知，所以要求2a ＋3b 的取值范围，只需将2a ＋3b 用已知量a ＋b ，a －b 表示出来，可设2a ＋3b ＝x (a ＋b )＋y (a －b )，用待定系数法求出x ，y ，再利用同向不等式的可加性求解．(1)若角α，β满足－π2<α<β<π2，则2α－β的取值范围是________．解：因为－π2＜α＜β＜π2，所以－π2＜α＜π2，－π2＜β＜π2，－π2＜－β＜π2，而α＜β，所以－π＜α－β＜0，所以2α－β＝(α－β)＋α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π2，π2.故填⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π2，π2.(2)(2016·云南模拟)若－1≤lg xy ≤2，1≤lg(xy )≤4，则lg x 2y的取值范围是________．解：由1≤lg(xy )≤4，－1≤lg xy ≤2，得1≤lg x ＋lg y ≤4，－1≤lg x －lg y ≤2，则lg x 2y ＝2lg x －lg y ＝12(lg x ＋lg y )＋32(lg x －lg y )，所以－1≤lg x 2y ≤5.故填[－1，5]．类型四比较大小(2016·武汉模拟)已知a 1≤a 2，b 1≥b 2，则a 1b 1＋a 2b 2与a 1b 2＋a 2b 1的大小关系是________．解：a 1b 1＋a 2b 2－(a 1b 2＋a 2b 1)＝(a 1－a 2)(b 1－b 2)，因为a 1≤a 2，b 1≥b 2，所以a 1－a 2≤0，b 1－b 2≥0，于是(a 1－a 2)(b 1－b 2)≤0，故a 1b 1＋a 2b 2≤a 1b 2＋a 2b 1.故填a 1b 1＋a 2b 2≤a 1b 2＋a 2b 1.【点拨】作差(商)比较法的步骤是：①作差(商)；②变形：配方、因式分解、通分、分母(分子)有理化等；③判断符号(判断商和“1”的大小关系)；④作出结论．已知a <0，－1ab>ab2B．ab2>ab>aC．ab>a>ab2D．ab>ab2>a解：由于每个式子中都有a，故先比较1，b，b2的大小．因为－1<b<0，所以b<b2<1.又因为a<0，所以ab>ab2>a.故选D.1．理解不等关系的意义、实数运算的符号法则、不等式的性质，是解不等式和证明不等式的依据和基础．2．一般数学结论都有前提，不等式性质也是如此．在运用不等式性质之前，一定要准确把握前提条件，一定要注意不可随意放宽其成立的前提条件．3．不等式性质包括“充分条件(或者是必要条件)”和“充要条件”两种，前者一般是证明不等式的理论基础，后者一般是解不等式的理论基础．4．利用几个不等式来确定某个代数式的范围时要注意：“同向(异向)不等式的两边可相加(相减)”这种变形不是等价变形，若多次使用，则有可能使取值范围扩大，解决这一问题的方法是：先建立待求范围的整体与已知范围的整体的等量关系，再一次性的运用这种变形，即可求得正确的待求整体的范围．5．比较两个实数的大小，有作差法和作商法两种方法．一般多用作差法，注意当这两个数都是正数时，才可以用作商法．作差法是比较作差后的式子与“0”的大小关系；作商法是比较作商后的式子与“1”的大小关系．6．对于实际问题中的不等量关系，还要注意实际问题对各个参变数的限制．1．(2016·宜昌模拟)设a，b，c∈R，且a>b，则()A．ac>bc B.1a＜1bC．a2>b2D．a3>b3解：A选项，当c<0时，ac<bc，故A不正确；B选项，当a>0>b时，显然B不正确；C选项，当a＝1，b＝－2时，a2<b2，C不正确；D选项，因y＝x3是单调增函数，所以当a>b时，有a3>b3，D正确．故选D.2．(2015·浙江)设a，b是实数，则“a＋b ＞0”是“ab＞0”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解：若a＋b＞0，取a＝3，b＝－2，则ab＞0不成立；反之，若a＝－2，b＝－3，则a＋b＞0也不成立，因此“a＋b＞0”是“ab ＞0”的既不充分也不必要条件．故选D.3．(北京丰台区2017届高三上学期期末)已知a>b>0，则下列不等式一定成立的是()A．|a|<|b| B.1a>1bC.⎝⎛⎭⎪⎫12a＞⎝⎛⎭⎪⎫12bD．ln a>ln b 解：取a＝2，b＝1，则2＝|a|>|b|＝1，12＝1a<1b＝1，⎝⎛⎭⎪⎫12a＝⎝⎛⎭⎪⎫122＝14<12＝⎝⎛⎭⎪⎫121，ln a＝ln2>0＝ln1＝ln b.故选D.4．(2016·山东烟台期中检测)下列四个命题中，为真命题的是()A．若a＞b，则ac2＞bc2B．若a＞b，c＞d，则a－c＞b－dC．若a＞|b|，则a2＞b2D．若a＞b，则1a＜1b解：当c＝0时，A不成立；2＞1，3＞－1，而2－3＜1－(－1)，故B不成立；a＝2，b＝－1时，D不成立；由a＞|b|知a＞0，有a2＞b2.故选C.5．(2015·云南模拟)若a，b，c∈R，且a>b，则下列不等式一定成立的是()A．a＋c≥b－c B．(a－b)c2≥0C．ac>bc D.c2a－b>0解：A项：当c<0时，不等式a＋c<b－c 可能成立；B项：a>b⇒a－b>0，c2≥0，故(a －b)c2≥0；C项：当c＝0时，ac＝bc；D项：当c＝0时，c2a－b＝0.故选B.6．(2016·全国卷Ⅰ)若a>b>1，0<c<1，则()A．a c1，0<log a b<1，故此不等式成立；选项D中的不等式可以化为lg c lg a<lg clg b，进而1lg a＞1lg b，进而lg a<lg b，即a<b，故在已知条件下选项D中的不等式不成立．故选C.7．实数b＞a＞0，实数m＞0，比较a＋m b＋m与ab的大小，则a＋mb＋m________ab.解法一：(作差比较)：a＋mb＋m－ab＝b（a＋m）－a（b＋m）b（b＋m）＝m（b－a）b（b＋m），因为b＞a＞0，m＞0，所以m（b－a）b（b＋m）＞0，所以a＋mb＋m＞ab.解法二(作商比较)：因为b＞a＞0，m＞0，所以bm＞am⇒ab＋bm＞ab＋am＞0，所以ab＋bmab＋am＞1，即a＋mb＋m·ba＞1⇒a＋mb＋m＞ab.故填＞.8．(2015·江西模拟)设a＝lge，b＝(lge)2，c＝lg e，则a，b，c的大小关系为________．解：因为e＜10，所以lge＜lg10＝12，所以(lge)2＜12·lge＝lg e，即b＜c.又因为e＜e，所以lg e＜lge，即c＜a.故填b＜c＜a.9．已知a＋b＞0，且a≠b，比较1a＋1b与ab2＋ba2的大小．解：1a＋1b－⎝⎛⎭⎪⎫ab2＋ba2＝a－ba2＋b－ab2＝(a－b)⎝⎛⎭⎪⎫1a2－1b2＝(a－b)·（b－a）（b＋a）a2b2＝－（a－b）2（a＋b）a2b2.而a＋b＞0，a≠b，故上式小于0.从而1a＋1b＜ab2＋ba2.10．已知下列三个不等式①ab＞0；②ca＞db；③bc>ad.以其中两个作为条件，余下一个作结论，则可组成几个正确命题？解：(1)对②变形ca＞db⇔bc－adab＞0，由ab ＞0，bc＞ad得②成立，所以①③⇒②.(2)若ab＞0，bc－adab＞0，则bc＞ad，所以①②⇒③.(3)若bc＞ad，bc－adab＞0，则ab＞0，所以②③⇒①.综上所述可组成3个正确命题．11．设实数a，b，c满足①b＋c＝6－4a＋3a2，②c－b＝4－4a＋a2.试确定a，b，c的大小关系．解：因为c－b＝(a－2)2≥0，所以c≥b，又2b＝2＋2a2，所以b＝1＋a2，所以b－a＝a2－a＋1＝⎝⎛⎭⎪⎫a－122＋34＞0，所以b＞a，从而c≥b＞a.(2015·云南模拟改编)已知a＋b＋c＝0，且a>b>c，求ca的取值范围．解：因为a＋b＋c＝0，所以b＝－(a＋c)．又a>b>c，所以a>－(a＋c)>c，且3a＞a＋b＋c＝0＞3c，则a>0，c<0，所以1>－a＋ca＞ca，即1＞－1－ca＞ca，所以⎩⎪⎨⎪⎧2c a＜－1，ca＞－2，解得－2＜ca＜－1 2.故ca的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫－2，－12.。

第三讲不等式与不等关系-2025年高考数学一轮复习课件

正解：设a＋3b＝λ1(a＋b)＋λ2(a－2b)
＝(λ1＋λ2)a＋(λ1－2λ2)b，
5
2
解得 λ1＝，λ2＝－ .
3
3
5 5
5
2
2
又－ ≤ (a＋b)≤ ，－2≤－ (a－2b)≤－，
3 3
3
3
3
11
∴－ ≤a＋3b≤1.
3
题型五
不等式的综合问题
例5.（2024·江苏南通·模拟预测）设实数，，满足，2 +
作差法是比较两数（式）大小最为常用的方法，如果要比较的两数（式）均为正
数，且是幂或者因式乘积的形式，也可考虑使用作商法．
题型一
利用不等式性质判断命题真假
例1.判断下列命题是否正确，并说明理由．
(1)若 a＞b，则 ac2＞bc2；
a b
(2)若 2＞ 2，则 a＞b；
c c
1 1
(3)a＞b，ab≠0，则＜；
题型二
不等式性质的应用
例2（2024·北京海淀·二模）设, ∈ R, ≠ 0，且 > ，则（）

A． <
2

B．

+

>2
C．sin − < −
D．3 >
题型三
比较数（式）的大小与比较法证明
不等式
例3.已知 > 0且 ≠ 1， = log (3 + 1)， = log (2 + 1)，则与的大小关系
• 同向可加性与同向同正可乘性可以推广到
两个以上的不等式，即：
1a1＞b1

a2＞b2