垂直于弦的直径的逆定理PPT课件
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垂直于弦的直径课件(共21张PPT)
C E A
O
D
B
三 垂径定理的有关计算 例2 如图，⊙ O的弦AB＝8cm ，直径CE⊥AB于
D，DC＝2cm，求半径OC的长.
解：连接OA，∵ CE⊥AB于D， ∴
1 1 AD AB 8 4 (cm) 2 2
E
方程思想
A
D C
Hale Waihona Puke O ·设OC=xcm，则OD=x-2,根据 勾股定理，得 x2=42+(x-2)2， 解得 x=5， 即半径OC的长为5cm.
试一试：根据刚刚所学，你能利用垂径定理求出引入 中赵州桥主桥拱半径的问题吗?
7.23米
37米
解：如图，用AB表示主桥拱，设 AB所在圆的圆心为O，半径为R. 经过圆心O作弦AB的垂线OC 垂足为D，与弧AB交于点C， 则D是AB的中点，C是弧AB的 中点，CD就是拱高. ∴ AB=37m，CD=7.23m.
C B O A
D
定理及推论，总结： 一条直线只需满足： （1）过圆心 （2）垂直于弦 （3）平分弦 （4）平分弦所对的优弧 （5）平分弦所对的劣弧 上述条件中的任意两个条件，就能推 出其它三个.
五 学以致用
例2 赵州桥(图24.1-7)是我国隋代建造白石拱桥，距今 约有1 400年的历史，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶.它 的主桥拱是圆弧形，它的跨度(弧所对的弦的长)为37 m,拱高 (弧的中点到弦的距离)为7.23 m,求赵州桥主桥拱的半径(结果 保留小数点后一位).
一 三 垂径定理的有关计算 例1 如图，OE⊥AB于E，若⊙O的 半径 AB 为10cm, 16 61 cm. OE=6cm,则 半径为 AB=
A
E
B
解析：连接OA， ∵ OE⊥AB， ∴∠AEO=90°，AB=2AE
24.1.2垂直于弦的直径.PPT教学课件
（3）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。
只要具备上述五个条件中任两个,就可以推出其余三个14.
练习 1.如图所示:
C
A M└
B
(1)若CD⊥AB, CD是直径,
●O
则 AM=BM 、A⌒D=B⌒D
⌒⌒ 、 AC=BC
.
(2)若AM=MB, CD是直径,
D
则 CD⊥AB 、 A⌒D=B⌒D 、A⌒C=B⌒C .
垂径定理的几个基本图形：
C
O
A
E
BA
D
CD过圆心 CD⊥AB于E
A
O
D
B
D
B
O
A
C
C
AE=BE
AC= BC AD= BD
O
C
B
17
1、如图，AB是⊙O的直径，CD为弦， CD⊥AB于E，则下列结论中不成C 立的是（ ）
A、∠COE=∠DOE B、CE=DE C、OE=AE
⌒⌒
D、BD=BC
A
C
D
C
·O
AE D
知二推三
∵ CD是直径， CD⊥AB ∴ AE=BE,A⌒C ⌒ A⌒D ⌒ =BC, =BD.
• 老师提示:
B • 垂径定理是圆中一个重要的定理
,三种语言要相互转化,形成整体,
才能运用自如.
9
问题 & 探究3 问题：把垂径定理中的题设垂直于弦的 直径换为平分弦的直径。你会得到什么结论？
• 学习难点：垂径定理及其推论。
3
自学指导
• 认真看书81-83页，独立完成以下问题，看 谁做得又对又快？
• 1、结合81探究，同学们动手操作，你发现 了什么？你得到什么结论？你会证明你的 结论吗？
人教版初中数学垂直于弦的直径课文课件PPT
上述五个条件中的任何 两 个条件都可以推出其 他 三 个结论(知二推三）
垂径定理的推论
① 直径过圆心 ③ 平分弦 （不是直径）
C
② 垂直于弦 ④ 平分弦所对优弧 ⑤ 平分弦所对的劣弧
① 直径过圆心
③ 平分弦
O E
④ 平分弦所对优弧 ② 垂直于弦 ⑤ 平分弦所对的劣弧
A
B
D ④ 平分弦所对优弧 ⑤ 平分弦所对的劣弧
① 直径过圆心 ② 垂直于弦 ③ 平分弦
垂径定理的推论
② 垂直于弦
① 直径过圆心
③ 平分弦
④ 平分弦所对优弧
C
⑤ 平分弦所对的劣弧
O E A
② 垂直于弦 ④ 平分弦所对优弧
B
① 直径过圆心 ③ 平分弦 ⑤ 平分弦所对的劣弧
D
② 垂直于弦 ⑤ 平分弦所对的劣弧
① 直径过圆心 ③ 平分弦 ④ 平分弦所对优弧
•
2.该类题目考察学生对文本的理解， 在一定 程度上 是在考 察学生 对这类 题型答 题思路 。因此 一定要 将这些 答题技 巧熟记 于心， 才能自 如运用 。
•
3. 结合实际，结合原文，根据知识库 存，发 散思维 ，大胆 想象。 由文章 内容延 伸到现 实生活 ，对现 实生活 中相关 现象进 行解释 。对人 类关注 的环境 问题等 提出解 决的方 法，这 种题考 查的是 学生的 综合能 力，考 查的是 学生对 生活的 关注情 况。
2
创设情境，导入新知
如图，1 400 多年前，我国隋代建造的赵州石拱桥 主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦长）是 37 m， 拱高（弧的中点到弦的距离）为 7.23 m，求赵州桥主桥
拱的半径（精确到 0.1 m）．
创设情境，导入新知
24.1.2垂直于弦的直径(2)课件ppt
求半径OC的长。
O
D
A
B
C
练习1:在⊙O中，CE是直径，
E
CE交弦AB于 D，且AD=BD,
OD=4 ㎝，弦AC= 1㎝0 ，
求圆O的半径。
O
D
A
B
C
第7页，共16页。
2.如图，CD为圆O的直径，弦 AB交CD于E， ∠ CEB=30°， DE=9㎝，CE=3㎝，求弦AB的长。
D
A
F
E C
O B
3.如图，AB是⊙O的弦，∠OCA=300，OB=5cm，
E
O
A
D
B
第12页，共16页。
如图，⊙O的直径为10，弦AB=8,P为AB上
的一个动点，那么OP长的取值范围
是 3cm≤O。P≤5cm
O
5
3
A 4 CP
B
第13页，共16页。
1.已知P为⊙O内一点，且OP＝2cm，如 果⊙O的半径是3cm,那么过P点的最短的
弦等于 2 5c. m
2.过⊙O内一点M的最长弦长为4厘米，最短弦
C
•
证明：连接AO、BO，
∵AO=BO ∴△AOB为等腰三角形 ∵AE=BE ∴CD⊥AB ∵CD是直径，
∴⌒AD=⌒BD,A⌒C=⌒BC
•O
A
E•
•B
•
D
第4页，共16页。
垂径定理的推论 1
为什么弦 不是直径？
C
平分弦(不是直径)的直径垂
直于弦，并且平分弦所得的
两条弧. C
O
B
E
A
B
O(E) D
OC=8cm，则AB=
；
O
45
课件《垂直于弦的直径》优秀课件完美版_人教版3
你能你找到能多少发条对现称轴图？ 中有那些相等的线段和弧？为什么？
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧.
平分弦
4.
（）
（1）是轴对称图形．直径CD所在 图(1)
图(2)
（1）是轴对称图形．直径CD所在
的直线是它的对称轴 【规律方法】运用垂径定理及其推论解决一些数学问题.
经过圆心(或者说直径) 2.
2.运用探索、推理，充分把握圆中的 垂径定理及其逆定理.
3.拓展思维，与实践相结合，运用垂 径定理及其逆定理进行有关的计算 和证明.
知识讲解
1.圆是轴对称图形吗？ 是
2.它的对称轴是什么?
圆的对称轴是任意一条经 过圆心的直线
3.你能找到多少条对称轴？ ● O 它有无数条对称轴.
活动一:引入
如图，AB是⊙O的一条弦，做直径CD，使CD⊥AB，垂足为E．
A CB C ,A D B D .
推论
AB是⊙O的弦（不是直径）.作一条平分AB的直径CD,交 AB于点M.你能发现图中有哪些等量关系?
C
A
M
O
B ∵直径CD平分弦AB ∴ CD⊥AB
AC BC AD BD
定理： D
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.
结论：
知二推三
平分 弦（不是直径）
C
两条弧.
A
M B
∵ 直径CD⊥AB，
O
∴ AM = BM =1 AB，
2
AC BC，
AD BD.
D
证明定理
C
连接OA,OB,则OA=OB.
AM
B
└
∵OA=OB，OM⊥AB，
●O
垂直于弦的直径的逆定理
⌒ ⌒. AN = BN.
⌒ ⌒ NC = ⌒ ND ⌒ AC = BD. ⌒ MC = ⌒ MD.
C
N
垂径定理的逆应用
在直径为650mm的圆柱形油槽内装入 一些油后，截面如图所示.若油面宽 AB = 600mm，求油的最大深度.
A
600
D
B
O ø650
C
小 结
垂径定理及其逆定理的图式
直径垂直于弦=>
.
⌒ ⑤AD=BD.
⌒
只要具备其中两个条件,就可 推出其余三个结论
D
你可以写出相应的命题吗? 相信自己是最棒的!
C
垂径定理及逆定理
条件 ①② 结论 ③④⑤ 命题
A
M└
●
B O
①③
①④ ①⑤
②④⑤
②③⑤ ②③④
D 平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平 分弦所对的两条弧. 平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的 另一条弧. 弦的垂直平分线经过圆心,并且平分这条弦所对的两条弧. 垂直于弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心,并且 平分弦和所对的另一条弧. 平分弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心,垂直于 弦,并且平分弦所对的另一条弧. 平分弦所对的两条弧的直线经过圆心,并且垂直平分弦.
垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所的两条弧.
②③
②④ ②⑤ ③④ ③⑤ ④⑤
①④⑤
①③⑤ ①③④ ①②⑤ ①②④ ①②③
1、判断： ⑴垂直于弦的直线平分这条弦,并且平分弦所对 的两条弧. （ ） ⑵平分弦所对的一条弧的直径一定平分这条弦 所对的另一条弧. （ ） ） ⑶经过弦的中点的直径一定垂直于弦. （
⑷圆的两条弦所夹的弧相等，则这两条弦平行. （ ） ）
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的两条弧.
（）
⑵平分弦所对的一条弧的直径一定平分这条弦
所对的另一条弧.
（）
⑶经过弦的中点的直径一定垂直于弦. （ ）
⑷圆的两条弦所夹的弧相等，则这两条弦平行. （）
⑸弦的垂直平分线一定平分这条弦所对的弧. （）
2020年10月2日
6
2.已知：如图,⊙O 中,弦AB∥CD,AB＜CD, 直径MN⊥AB,垂足为E,交弦CD于点F.
2020年10月2日
1
垂径定理三种语言
定理 垂直于弦的直径平分弦,且平分弦所的两条弧.
C
A M└
B
●O
D
如图∵ CD是直径, CD⊥AB,
∴AM=BM,
A⌒C =B⌒C, A⌒D=B⌒D.
2020年10月2日
2
探究垂径定理的逆定理
• AB是⊙O的一条弦,且AM=BM.
过点M作直径CD.
右图是轴对称图形吗?如果是,其对称轴是什么?
命题
垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所的两条弧. D 平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平 分弦所对的两条弧.
①④ ②③⑤ 平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的 ①⑤ ②③④ 另一条弧.
②③ ①④⑤ ②④ ①③⑤ ②⑤ ①③④
弦的垂直平分线经过圆心,并且平分这条弦所对的两条弧.
• 你能发现图中有哪些等量关系? 与同伴说说你的想法和理由.
C
A
┗●
M
●O
D
2020年10月2日
由 ① CD是直径 B ③ AM=BM
可推得
②CD⊥AB,
④A⌒C=B⌒C, ⑤A⌒D=B⌒D.
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且 平 分弦所对的两条弧.
3
C
A M└
B
●O
D
垂径定理的逆 定理的拓展
垂直于弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心,并且 平分弦和所对的另一条弧.
③④ ①②⑤ 平分弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心,垂直于 ③⑤ ①②④ 弦,并且平分弦所对的另一条弧.
④⑤2020①年1②0月③2日 平分弦所对的两条弧的直线经过圆心,并且垂直平分弦. 5
1、判断：
⑴垂直于弦的直线平分这条弦,并且平分弦所对
图中相等的线段有 :AEBECF. DF
图中相等的劣弧有:
A⌒M = B⌒M ⌒ AN = B⌒N. .
⌒NC = ⌒ND ⌒ AC = B⌒D. ⌒MC =⌒MD.
B M
E D
A OF
C N
2020年10月2日
7
垂径定理的逆应用
在直径为650mm的圆柱形油槽内装入 一些油后，截面如图所示.若油面宽 AB = 600mm，求油的最大深度.
汇报人：XXX 汇报日期：20XX年10月10日
9
A
60D0
B
O ø650
C
2020年10月2日
8
演讲完毕，谢谢观看！
Thank you for reading! In order to facilitate learning and use, the content of this document can be modified, adjusted and printed at will after downloading. Welcome to download!
如图,在下列五个条件中:
① CD是直径, ② CD⊥AB,
③ AM=BM, ④A⌒C=B⌒C, ⑤A⌒D=B⌒D.
只要具备其中两个条件,就可 推出其余三个结论.
你可以写出相应的命题吗? 相信自己是最棒的!
2020年10月2日
4
垂径定理及逆定理
C
A M└
B
●O
条件 结论 ①② ③④⑤ ①③ ②④⑤