含绝对值的函数的图像
高考数学微专题4 分段函数(含有绝对值的函数)的图象与性质 课件
实数 m 的最小值为( )
27 A. 8
29 B. 8
13 C. 4
15 D. 4
【思路分析】 根据已知计算出 f(x)＝21n[1－|2x－(2n＋1)|]≤21n，画出
图象，计算 f(x)＝332，解得 x＝289，从而求出实数 m 的最小值．
内容索引
【解析】 由题意，得当 x∈[1,2)时，f(x)＝12×f(x－1)＝12(1－|2x－3|)； 当 x∈[2,3)时，f(x)＝12f(x－1)＝14(1－|2x－5|)；…，可得在区间[n，n＋1)(n ∈Z)上，f(x)＝21n[1－|2x－(2n＋1)|]≤21n，所以当 n≥4 时，f(x)≤332.作出函 数 y＝f(x)的图象，如图所示，当 x∈72，4时，由 f(x)＝18(1－|2x－7|)＝332， 解得 x＝289，则 m≥289，所以实数 m 的最小值为289.
【答案】 ABD
1234
内容索引
－x2＋2， x≤1， 3. (2022 浙江卷)已知函数 f(x)＝x＋1x－1， x>1，
则 ff12＝
________；若当 x∈[a，b]时，1≤f(x)≤3，则 b－a 的最大值是________.
1234
内容索引
【解析】 f12＝－122＋2＝74，f74＝74＋47－1＝3278，所以 ff12＝3278.当 x≤1 时，由 1≤f(x)≤3，得 1≤－x2＋2≤3，所以－1≤x≤1；当 x>1 时， 由 1≤f(x)≤3 可得 1≤x＋1x－1≤3，所以 1<x≤2＋ 3.综上，由 1≤f(x)≤3， 得－1≤x≤2＋ 3，所以[a，b]⊆[－1,2＋ 3]，所以 b－a 的最大值为 3＋
内容索引
含绝对值的函数
含绝对值的函数知识定位灵活的掌握含有绝对值的函数，主要包括图像画法、函数解析式、与分段函数之间的联系。
本节我们通过一些实例的求解，旨在介绍数学竞赛中与二次函数相关问题的常见题型及其求解方法本讲将通过例题来说明这些方法的运用知识梳理1、用“三点定形法”画单绝对值函数)0()(≠+-=a k h x a x f 的图象：)0()(≠+-=a k h x a x f 与)0()()(2≠+-=a k h x a x g 的图象类似，它们的顶点都是（k h ,），开口方向相同，对称轴相同，单调区间相同。
所不同的是前者的图象是折线，在对称轴两侧是两条射线，而后者的图象是抛物线，在对称轴两侧是两条曲线。
所以可用三点定其型。
三点中，顶点（k h ,）必取，然后在其两侧任意各取一点，分别以顶点为端点，过另一点作出射线，即得)0()(≠+-=a k h x a x f 的图象。
2.用“两点定形法”作双绝对值差式函数b x a x x f ---=)(的图象（1）当a<b 时，⎪⎩⎪⎨⎧>-≤≤-+<-=---=)()(2)()(b x a b b x a ba x a x ba b x a x x f ，可见其图象是由两端为两条平行的射线，中间为连接两射线的端点构成的图形，而图象总是在两个绝对值代数式的零点处转折。
（2）当a>b 时同理。
据此，可以点))(,()),(,(b f b a f a 确定函数b x a x x f ---=)(的图象3.用“多点定形法”作多绝对值函数)()(212211i i i a a a a x m a x m a x m x f <<<-++-+-= 的图象因为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥+++-++++<≤+++-+---+<++++----=)()()()()()()()()()(221121212211211221121i i i i i i i i i i a x a m a m a m x m m m a x a a m a m a m x m m m a x a m a m a m x m m m x f可知其图象是由i 个顶点i A A A 21、、、 决定的折线图，各顶点横坐标由各绝对值代数式的零点决定，中间由1-i 条顺次连接相邻两点的线段组成，两端为两条射线。
微分方程中的绝对值
微分方程中的绝对值引言微分方程是数学中重要的一门分支，它描述了自然界中许多现象的变化规律。
在解微分方程的过程中，经常会遇到绝对值函数的出现。
绝对值函数在数学中具有重要的意义，它能够将变量的取值范围限制在非负数上，从而简化问题的求解过程。
本文将介绍微分方程中的绝对值函数的性质和应用。
绝对值函数的定义绝对值函数是一种常见的数学函数，表示为|x|。
它的定义如下：|x|={x,若x≥0−x,若x<0绝对值函数的图像是一条以原点为对称中心的V字形曲线。
当x大于等于零时，|x|的值等于x；当x小于零时，|x|的值等于−x。
绝对值函数的性质绝对值函数具有以下性质：1.非负性：对于任意实数x，|x|的值都是非负数，即|x|≥0。
2.对称性：|x|关于原点对称，即|x|=|−x|。
3.三角不等式：对于任意实数x和y，有|x+y|≤|x|+|y|。
4.最大最小值：对于任意实数x，|x|的最小值为零，即|x|≥0；当且仅当x=0时，|x|取到最小值零。
绝对值函数在微分方程中的应用在微分方程的求解过程中，绝对值函数经常出现在初始条件的表达式中。
绝对值函数的出现，往往与问题的实际背景密切相关。
以下是几个常见的应用场景。
1. 弹簧振动问题考虑一个简单的弹簧振动系统，设弹簧的伸长量为x，则弹簧的力可以表示为F=−kx，其中k为弹簧的劲度系数。
根据牛顿第二定律，可以得到弹簧振动的微分方程：m d2xdt2=−kx其中m为质量。
如果考虑弹簧振动的初始条件为x(0)=x0和v(0)=v0，其中x0为初始位移，v0为初始速度。
解这个微分方程可以得到弹簧振动的解析解。
但是在实际问题中，初始位移和初始速度可能具有不同的符号，即可能出现x0<0或v0<0的情况。
此时，我们需要使用绝对值函数来表示初始条件，即x(0)=|x0|和v(0)= |v0|。
2. 电路中的电流问题考虑一个电路中的电感器，根据电感器的性质，电感器的电流满足L didt =V，其中L为电感系数，V为电压。
绝对值二次函数
例6、设函数f ( x ) x 2 | 2 x a | (a为常数) (1)若f ( x )为偶函数，求实数a的值 (2)设a 2, 求函数f ( x )的最小值
Байду номын сангаас
含绝对值的二次函数
例1：已知函数f ( x ) x 2 | x | 2与y m有4个零点， 求m的取值范围
变式：直线y 1与曲线y x 2 | x | a有4个交点， 求实数a的取值范围
变式：已知函数f ( x ) | x 2 2 x a | 与y 3有四个交点， 求a的取值范围
变式：偶函数f ( x )在[0, )上为减函数，不等式 f (ax 1) f (2 x )恒成立，求实数a的取值范围
2
1 例4：已知函数f ( x ) | x 2 x | a在R上有4个零 2 点x1 , x2 , x3 , x4 (互不相同)
2
(1)求x1 +x2 +x3 +x4的值 (2)求x1 x2 x3 x4的范围
例2：函数f ( x ) x | x m | 2 x 3在R上单调递增， 求m的取值范围
变式：设函数f ( x ) x 2 | x 2 ax 9 | (a为实数)， 在区间( , 3)和(3, )上单调递增，求实数a 的取值范围
例3：已知函数f ( x ) x | x |,当x [a , a 1]时，不等式 f ( x 2a ) f (4 x )恒成立，求实数a的范围
例5、已知函数f ( x ) x 2 2ax 5(a 1), 若f ( x )在区间 ( , 2]上是减函数，且对任意的x1 , x2 [1, a 1], 总有 | f ( x1 ) f ( x2 ) | 4, 求实数a的取值范围
【高中数学】绝对值函数的图像
1.一个绝对值函数图像（“V ”函数）y m a x =-
2.二个绝对值函数()()f x a x m b x n m n =-+-< 其它可以化为这种形式 写成分段形式()()()(),,,a b x am bn x n f x a b x am bn m a b x am bn x x n m +-->⎧⎪=--+⎨⎪-+++<⎩
从图中可以得到一些有用的结论：
当0a b +=时，()f x 有最大值和最小值
当0a b +>时，()f x 有最小值
当0a b +<时，()f x 有最大值
都在分界点取最值！
分三大类0,0,0a b a b a b +=+>+<共8个图
①当0a b +=时有两种情形
【高中数学】绝对值函数的图像
a b+>时有三种情形
②当0
a b+<时有三种情形
③当0
注：对于三个以上的绝对值函数图像，用同样的方法可以得到。
（高考很难见到！）三个以上绝对值配合图像求最值：奇尖偶平，取中间。
绝对值函数大题综合
绝对值函数大题综合绝对值函数是一种常见的数学函数，用来表示一个数与零的差的绝对值。
在解决数学问题的过程中，绝对值函数经常出现。
本文将综合讨论绝对值函数的一些重要性质和解题技巧。
1. 绝对值函数的定义绝对值函数记作 $|x|$，表示一个实数 $x$ 与零的差的绝对值。
当 $x\geq 0$ 时，$|x|=x$；当 $x<0$ 时，$|x|=-x$。
2. 绝对值函数的图像绝对值函数的图像是以原点为对称中心的 V 型曲线。
当$x>0$ 时，$|x|$ 的图像位于 x 轴上方；当 $x<0$ 时，图像位于 x 轴下方。
3. 绝对值函数的性质- 非负性：对于任意实数 $x$，绝对值函数 $|x|$ 的值大于等于零，即 $|x|\geq 0$。
非负性：对于任意实数 $x$，绝对值函数$|x|$ 的值大于等于零，即 $|x|\geq 0$。
- 奇偶性：绝对值函数 $|x|$ 是一个奇函数，即 $|-x|=|x|$。
这意味着它关于原点对称。
奇偶性：绝对值函数 $|x|$ 是一个奇函数，即 $|-x|=|x|$。
这意味着它关于原点对称。
- 等式性：对于任意实数 $a$ 和 $b$，如果 $|a|=|b|$，那么$a$ 和 $b$ 可能相等，也可能互为相反数。
等式性：对于任意实数$a$ 和 $b$，如果 $|a|=|b|$，那么 $a$ 和 $b$ 可能相等，也可能互为相反数。
4. 绝对值函数的求解技巧在解决绝对值函数相关问题时，有一些常用的技巧可以简化计算：- 绝对值函数的不等式：针对 $|x|<a$、$|x|\leq a$、$|x|>a$、$|x|\geq a$ 这类不等式，可以根据 x 的正负情况进行讨论，从而得出解集。
绝对值函数的不等式：针对 $|x|<a$、$|x|\leq a$、$|x|>a$、$|x|\geq a$ 这类不等式，可以根据 x 的正负情况进行讨论，从而得出解集。
含绝对值函数的图象
含绝对值函数的图象【基础内容与方法】1.绝对值在自变量上，则去掉函数y 轴左边的图像，再把y 轴右边的图像沿y 轴翻折得到新的图像；2.绝对值在函数解析式上，把x 轴下方的图像沿x 轴翻折得到新的图像；3.同时，函数图像也遵循平移的原则. 类型一：含绝对值的一次函数 1．已知函数+2y k x b =+的图象经过点（2-，4）和（6-，2-），完成下面问题： （1）求函数+2y kx b =+的表达式；（2）在给出的平面直角坐标系中，请用适当的方法画出这个函数的图象，并写出这个函数的一条性质；（3）已知函数1+12y x =的图象如图所示，结合你所画出+2y k x b =+的图象，直接写出1+2+12kx b x +＞的解集．【答案】（1）3242y x =-++；（2）当2x <-时，y 随x 增大而增大；当2x >-时，y 随x 增大而减少；（3）60x -<<．【解析】（1）根据在函数+2y k x b =+中，把点（2-，4）和（6-，2-）代入，可以求得该函数的表达式；（2）根据（1）中的表达式可以画出该函数的图象，根据函数图像增减性几块得出结论；（3）根据图象可以直接写出所求不等式的解集．解：（1）根据题意，得4622=⎧⎨⋅-++=-⎩b k b解方程组，得324⎧=-⎪⎨⎪=⎩k b 所求函数表达式为3242y x =-++．（2）列表如下：描点并连线,函数的图象如图所示，由图像可知，3242y x =-++性质为：当2x <-时，y 随x 增大而增大；当2x >-时，y 随x 增大而减少．（3）由图象可知：1+2+12kx b x +＞的解集是：60x -<<．【点睛】本题考查一次函数和反比例函数的交点、一元一次不等式与一次函数的关系，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答．类型二：含绝对值的二次函数 （一）绝对值在自变量上2．某班“数学兴趣小组”对函数y ＝﹣x 2+2|x |+1的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整．（1）自变量x 的取值范围是全体实数，x 与y 的几组对应值列表如下：其中，m ＝ ．（2）根据上表数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，画出了函数图象的一部分，请画出该函数图象的另一部分． （3）观察函数图象，写出两条函数的性质． （4）进一步探究函数图象发现：①方程﹣x 2+2|x |+1＝0有 个实数根；②关于x 的方程﹣x 2+2|x |+1＝a 有4个实数根时，a 的取值范围是 ．【答案】（1）1；（2）详见解析；（3）①函数的最大值是2，没有最小值；②当x ＞1时，y随x的增大而减小；（4）①2；②1＜a＜2．【解析】（1）根据对称可得m=1；（2）画出图形；（3）①写函数的最大值和最小值问题；②确定一个范围写增减性问题；（4）①当y=0时，与x轴的交点有两个，则有2个实数根；②当y=a时，有4个实根，就是有4个交点，确定其a的值即可．解：（1）由表格可知：图象的对称轴是y轴，∴m＝1，故答案为：1；（2）如图所示；（3）性质：①函数的最大值是2，没有最小值；②当x＞1时，y随x的增大而减小；（4）①由图象得：抛物线与x轴有两个交点∴方程﹣x2+2|x|+1＝0有2个实数根；故答案为2；。
绝对值函数
• = ������������+������ + ������������+������ + ⋯ + ������������������−������ − ������������ + ������������ + ⋯ + ������������−������
应用
• 例1、（2011年陕西省理科高考试题第14题）植树节某班20名同学 在一段直线公路一侧植树，每人植一棵，相邻两棵树相距10米，开始 时需将树苗集中放置在某一树坑旁边，使每位同学从各自树坑出发前 来领取树苗往返所走的路程总和最小，这个最小值为 。
������
������������ − ������������ − ������������ ������ > ������������ • ������ = ������������ − ������������ ������������ ≤ ������ ≤ ������������ −������������ + ������������ + ������������ ������ < 图像
• 作函数������ = ������������ − ������ + ������������ + ������ 的图像
������
• ������ =
−������������ − ������ ������ ≤ −������
������ ������������ + ������ ������ ≥ ������ ������ ������ −������ ≤ ������ ≤ ������
绝对值函数
绝对值函数的图像
探究绝对值函数的图像与性质
探究绝对值函数的图像与性质绝对值函数是我们在数学中经常遇到的一种函数形式。
它的图像和性质在数学的学习中具有重要的意义。
本文将探究绝对值函数的图像与性质，帮助读者更好地理解和运用这一函数。
首先，我们来了解一下绝对值函数的定义。
绝对值函数通常用符号“|x|”表示，其中x可以是任意实数。
绝对值函数的定义如下：当x≥0时，|x|=x；当x<0时，|x|=-x。
绝对值函数的定义可以简单地理解为，它的值就是x的绝对值，即无论x是正数还是负数，它的绝对值都是正数。
接下来，我们来探究绝对值函数的图像。
为了更好地理解，我们可以通过绘制函数图像来观察其特点。
我们以y=|x|为例，绘制其图像。
首先，我们将x轴分为两个区间：x≥0和x<0。
在x≥0的区间内，绝对值函数的值与x的值相等，因此图像为一条通过原点的斜率为1的直线。
在x<0的区间内，绝对值函数的值与x的值相反，即取相反数，因此图像为一条通过原点的斜率为-1的直线。
当x=0时，绝对值函数的值为0，因此图像在原点处有一个拐点。
综上所述，绝对值函数的图像是一条以原点为拐点的V字形曲线。
除了通过绘制图像来观察绝对值函数的特点，我们还可以通过分析函数的性质来深入理解。
首先，我们来讨论绝对值函数的奇偶性。
绝对值函数是一个奇函数，即满足f(-x)=-f(x)。
这是因为当x>0时，绝对值函数的值等于x，而当x<0时，绝对值函数的值等于-x。
因此，绝对值函数关于原点对称，即图像在原点处对称。
接下来，我们来讨论绝对值函数的单调性。
在x≥0的区间内，绝对值函数是递增的，即随着x的增大，函数的值也增大。
在x<0的区间内，绝对值函数是递减的，即随着x的减小，函数的值也减小。
这是因为在x≥0的区间内，绝对值函数的值与x的值相等，而在x<0的区间内，绝对值函数的值与-x的值相等。
此外，绝对值函数还具有一个重要的性质，即绝对值函数的最小值为0。
这是因为绝对值函数的定义中，当x=0时，函数的值为0。
绝对值函数的概念和像
绝对值函数的概念和像绝对值函数是一种常见的数学函数，在实数集上有广泛的应用。
它的定义简单明了，可以帮助我们描述数的大小关系和距离。
本文将介绍绝对值函数的概念和特性，以及它的像的一些重要性质。
一、绝对值函数的定义和性质绝对值函数通常用符号“|x|”表示，它表示一个实数x与0的距离（即x到0的距离）。
它的定义如下：当x≥0时，|x|=x；当x<0时，|x|=-x。
根据这个定义，我们可以看出绝对值函数的特性：1. |x| ≥ 0，对于任意实数x都成立；2. 当且仅当x=0时，|x|=0；3. 对于正数x，|x|=x；4. 对于负数x，|x|=-x。
二、绝对值函数的图像绝对值函数的图像通常表现为一条以原点为顶点，开口向上的抛物线。
当x≥0时，图像在x轴的右侧，与y轴的交点为(0,0)；当x<0时，图像在x轴的左侧，与y轴的交点为(0,0)。
绘制绝对值函数的图像可以帮助我们更直观地理解其性质和特点。
三、绝对值函数的像绝对值函数的像是指函数在定义域内所有可能的取值。
对于绝对值函数来说，其像的范围是非负实数集合[0,+∞)。
换句话说，对于任意实数x，绝对值函数的值都不会是负数。
证明：对于任意实数x，根据绝对值函数的定义可知，当x≥0时，|x|=x，此时x是非负实数，属于[0,+∞)范围；当x<0时，|x|=-x，此时-x 是非负实数，也属于[0,+∞)范围。
因此，绝对值函数的像为[0,+∞)。
绝对值函数的像的性质：1. 像的范围为非负实数集合[0,+∞)；2. 不同的定义域可能对应相同的像，比如|x|=|-x|。
四、绝对值函数的应用1. 距离的概念：绝对值函数可以帮助我们计算两个数之间的距离。
例如，设A、B为实数，两者之间的距离d=|A-B|，它表示A到B的距离。
2. 绝对值不等式：绝对值函数在不等式中有重要的应用。
例如，|x-a|<b表示与a的距离小于b的一组实数解集，称为开区间；|x-a|>b表示与a的距离大于b的一组实数解集，称为开区间的补集。
带有绝对值的函数图像怎么画
带有绝对值的函数图像怎么画要正确地画出带有绝对值的函数的图像，我们需要了解绝对值函数的定义和特点。
绝对值函数的定义：对于任意实数x，绝对值函数，x，的值等于x的绝对值，即：如果x≥0，x，=x如果x<0，x，=-x绝对值函数的图像通常是沿着x轴对称的关于y轴的V形，也可能是一条直线。
以下是绘制绝对值函数图像的步骤：步骤一：确定定义域和值域首先，确定绝对值函数的定义域和值域。
对于绝对值函数，定义域为所有实数集R，值域为非负实数集R+。
步骤二：找到x轴的截距当x等于0时，绝对值函数的值为，0，=0。
所以绝对值函数图像经过原点，即在点(0,0)处与x轴相交。
步骤三：找到y轴截距当x等于0时，绝对值函数的值为，0，=0。
所以绝对值函数图像经过原点，即在点(0,0)处与y轴相交。
步骤四：寻找其他点在原点(0,0)处找到了绝对值函数的图像，我们可以从该点开始，通过选择其他一些x值来计算相应的y值，以找到更多的点。
当x大于0时，绝对值函数的值等于x本身。
所以我们可以选择一些正的x值，计算得到相应的y值。
例如，当x等于1时，1，=1、因此，我们可以得到点(1,1)。
当x小于0时，绝对值函数的值等于-x。
所以我们可以选择一些负的x值，计算得到相应的y值。
例如，当x等于-1时，-1，=-(-1)=1、因此，我们可以得到点(-1,1)。
通过选择更多的x值，我们可以计算得到更多的点，并继续寻找一些关键点。
步骤五：连接点并绘制图像通过已知的点，我们可以开始绘制绝对值函数的图像。
根据绝对值函数的特性，我们知道图像将是一条沿着x轴对称的关于y轴的V形。
连接已知的点，并通过一条平滑的曲线或线段将它们连接起来。
确保图像在过原点、(1,1)和(-1,1)的地方出现拐点，因为这些点是关键点。
步骤六：确定图像的范围和形状根据函数的定义域和值域来确定图像的形状和范围。
绝对值函数的定义域是所有实数集R，值域是非负实数集R+。
要注意，图像是关于y轴对称的，所以如果我们只画出对称的一半，就可以得到完整的图像。
x绝对值的定义域
x绝对值的定义域绝对值是数学中常见的概念之一，它表示一个数距离零点的距离，无论这个数是正数还是负数。
x绝对值的定义域是指x的取值范围，使得绝对值有意义。
在本文中，我们将探讨x绝对值的定义域及其相关概念。
一、绝对值的定义绝对值是一个实数的非负数部分，用符号“|x|”表示。
例如，|3|=3，|-3|=3。
绝对值的定义可以表示为：|x|=x，当x≥0时|x|=-x，当x<0时绝对值的定义可以用于解决绝对值不等式、绝对值方程等问题。
二、x绝对值的定义域在数学中，函数的定义域是指函数可以取的自变量的取值范围。
对于x绝对值函数，我们需要确定x的取值范围，使得绝对值有意义。
因为绝对值只有在非负实数范围内有意义，所以x的取值范围应该是x≥0或x<0。
因此，x绝对值函数的定义域可以表示为：D={x∈R|x≥0或x<0}也可以表示为：D=(-∞,0)∪[0,+∞)三、x绝对值函数的图像x绝对值函数的图像是一个以原点为对称轴的V型曲线，如下图所示：当x≥0时，y=x；当x<0时，y=-x。
因此，x绝对值函数的图像在x=0处有一个拐点。
四、x绝对值函数的性质1. 奇函数x绝对值函数是一个奇函数，即f(-x)=-f(x)。
这是因为当x<0时，|x|=-x，因此f(-x)=-|-x|=-(-x)=x=-f(x)。
当x≥0时，|x|=x，因此f(-x)=-|x|=-x=-f(x)。
2. 非单调递增或递减x绝对值函数在x=0处有一个拐点，因此它既不是单调递增函数也不是单调递减函数。
它在x=0处取得最小值0。
3. 连续x绝对值函数在定义域内是连续的。
4. 可导x绝对值函数在定义域内是可导的，除了在x=0处。
在x=0处，它的导数不存在。
五、x绝对值函数的应用1. 解绝对值不等式绝对值不等式是指含有绝对值符号的不等式。
例如，|x-3|<5。
我们可以将它转化为两个不等式：x-3<5，即x<8-(x-3)<5，即x>-2因此，|x-3|<5的解集是(-2,8)。
26.7 含绝对值符号的函数+雷刚
第五节 含绝对值符号的函数26.7 含绝对值符号的函数1.形如)(x f y =的函数试一试 如何作出函数21+=x y 的图像？ 根据绝对值的定义，函数21+=x y 可以表示为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<+-≥+=021021x x x x y ，， （1）作当x ≥0时，21+=x y 的图像，即图26.7.1中的射线AC ； （2）作当x >0时，21+-=x y 的图像，即图26.7.1的射线AB ； （3）图26.7.1中的折线BAC 即为函数21+=x y 的图像。
由上面我们可以看出，对于函数)(x f y =，当自变量x 取值互为相反数时，所得到的函数值相等，即)()(x f x f -=，因此函数)(x f =图像就是函数)(x f y =（x ≥0）的图像与)0)((<-=x x f y 的图像的全部，并且函数)(x f 的图像关于y 轴对称。
例1 作函数3412--=x x y 的图像解 因为222x x x ==，所以3412--=x x y 是)(x f y =类型的函数 （1）作出当x ≥0时，3412--=x x y 的图像，这是一个开口向上的抛物线在y 轴右边的部分。
由03412=--x x 可以得知，抛物线与x 轴的交点为（2-，0）和（6，0），与y 轴的交点为（0，－3）.抛物线的顶点坐标为（2，－4），如图26.7.2所示，曲线ABC 就是当x ≥0时，3412--=x x y 的图像； （2）以y 轴为对称轴，作曲线ABC 的对称图形''C AB ；（3）图中的曲线ABC B C ''即为3412--=x x y 的图像由此，我们可以发现： 画函数)(x f y =的图像的一般步骤：①先作出)0)((>=x x f y 的图像；②将)0)((>=x x f y 的图像沿y 轴翻折到y 轴左侧，就得到了函数)(x f y =的图像例2 已知方程1+=ax x ，有一个负根且无一正根，求a 的取值范围分析 可以把等号两边的式子看作是函数，从函数图像入手比较直观地解决问题 解 原方程即ax x =-1，如图26.7.3，在同一坐标系作函数1-=x y 与ax y =的图像 1-=x y 是尖点（0，－1）的“V ”字形折线，而ax y =是过原点斜率为a 的直线，如图虚线OA 是ax y =的一个极根位置，y 轴是它的另一根限位置，易见当1≥a （即直线OA 的向上的方向与x 轴正方向的夹角不小于︒45）时，OA 与1-=x y 的图像交点位于第三 象限，即方程ax x =-1有一个负根且没有正根。
绝对值函数图像的画法
首先要从简单的绝对值函数画起; 2-=x y ：是一条以()0,2为拐点的折线;
或者可以理解为将直线2-=x y 在x 轴下面的部分沿x 轴翻折上去
然后再着手于复杂的图像的画法;
22
1121-++=x x y ,先单独画出两个绝对值的图像,再合到一起;叠加后直线的斜率不同 其中-2和4由两个绝对值为零算的,3为由x=-2和x=4算得的y 值;
最后,最复杂的二次函数中的绝对值的画法;
122--=x x y ,很显然绝对值是将x 变成正数,由前面的图像可知a x y -=的图像总会关于a x =轴对称,故x y 21-=关于y 轴对称,又122-=x y 也关于y 轴对称,所以图像合并起来就容易多了;。
[精品]含绝对值的函数的图像
![[精品]含绝对值的函数的图像](https://img.taocdn.com/s3/m/95b2b6d45a8102d277a22fbe.png)
含绝对值的函数的图像———给朱正怡同学答疑大罕含绝对值的函数，如去掉绝对值符号，则是分段函数。
化为分段函数，是作这类函数图像的“保底”的方法。
含绝对值的函数，其绝对值符号出现的方式无非以下三种情况⑴整“绝”（函数式右边整个加绝对值）：y=|f(x)| ,例如y=|x－1|；⑵x“绝”（函数式右边纯x处均加绝对值）：y=f(|x|)，例如y=|x|－1；⑶乱“绝”（函数式右边杂乱无章地加绝对值）：例如y=x2-2|x+1| -1乱“绝”函数的图像，一般需要先化为分段函数，再画图。
整“绝”函数的图像，一般用翻折法画图，方法是“上留下翻”：先画y=f(x)图像，将x轴上方部分留着，将在x轴下方的图像以x轴为对称轴翻折到x轴上边去，即得 y=|f(x)|图像。
x“绝”函数的图像，一般用翻折法画图，方法是“右留翻左”：先画y=f(x)图像，将y轴右方部分留着，并将它以y轴为对称轴翻折到y轴右边去，即得y=f(|x|)图像。
两个或多个整“绝”的一次函数的和，有乱“绝”之嫌，当然可以先化为分段函数再画图之，但是，由于其图像是三段直线型（一条线段和二条射线）图像组成，可以用折点（拐点）作图法：先逐个找出每个绝对值的零点（局部零点），再以此为横坐标算出相应的纵坐标，得到若干个折点，并将诸折点连接成线段，然后在最左边和最右边的折点的两边，利用函数式得到各得到一个辅助点，并连成射线。
于是函数的图像大功告成。
例1 作函数y=| x-1|+|x+2|图像。
解：图像如图1，作法从略。
利用函数图像，可以简捷地解决一些问题，如解不等式，求取值范围，证明恒成立。
例2 解不等式：| x-1|+|x+2|≤4解：在同一直角坐标系下，分别作出y=| x-1|+|x+2|和y=4的图像如图2；再解方程| x-1|+|x+2|＝4得，x1=-3/2，x2=5/2，由图可知，-3/2≤x≤5/2为所求。
思考题：解不等式：| x-1|－|x+2|＞3（提示：方法与例2一样。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
在下面分别从三个方面讲如何画含绝对值的函数的图像，以及在具体的题目中的应用。
希望对雨我们学习这部分的知识有所帮助。
、三点作图法
三点作图袪是画函数ιy = ⅛ f +⅛ ∖^-c(ak≠ 0)的图象的一种i罚捷方法(该函数图形®Ufft G V fl i故称召型图人
步曝是E①先画出站型图顶点,石；
—)
②在顶点两侧各找出一点；卩
③次顶点为端点分别与另两个点画两条射线，就得到函数y ≈k∖ ax+⅛
I⅛⅛⅛≠ 0)的图彖*
例1作出下列各函数的圏象.
(1) y =| 2x 亠J ll 一1； {2) y = 1- ∣2x ÷ 11 ・
解’⑴ 顶点：,-才两点g 0λ (b O)D其图彖如图1所示.
圏b
<2)顶点f-lΛ两点(一1, 0), (0, 0).其图象如图2所示.
I 2 j
图2
注
I
当40时图象奔口向上，当衣D时图彖开口向下•函数图象关于直线Λ= --对称口
翻转作图法是画函数y H .rω I的图象的一种简捷方法.
注I ⅛ k>0时图象开口向上，当衣0时图象开口向下.函数图象关于直线Λ = --对称"
制转作图法是画函数丁H∕ω I的图象的一种简捷方法.
二爾转作IS
二詡转作l⅛
步麋是
* ©5t
作出
P = /(x)
的图彖;②若y - /(Λ)的图家不位于X轴下方, 则函数I y = /(>)的图象就⅛⅛^ιy =| f{x) \的图象;③若函数4y = h∕(x)的图象育位于H轴下方的，则可把X轴下方的图象绕X轴翻转180φ到盟轴上方，就得到了函数
I y=I I/(Λ)∣的图家・
例t作出下列各函数的图讓.
U) 7=U⅛-⅛i y=∣√-2^-3∣j ¢3) y=∣⅛(r+3)∣c 解；⑴先作出^=μ∣-l的图象如图3,把图3中盟轴下右的图家翻上去！得至(］图乳图召就是妾IsJ的函数图象n
C2)先作出y = X2- 2x-3的图熟如图5.把图5中梵轴T方的图象翻±⅛
⑶ 先作出^ = Ig(X+ 3)的图熟如图亿把图7中忙轴下丹的图象翻上去，得
到图3.图&就是婪画的1S数图象・
三、分段破作图法
分段函数作图法是把瘟函数等价转化沟分段函数后再作图，这种右法是画含有绝对值的函数的图象的有效有法.
例1作出下列函数的图家U
(I)J = Z a-2μ∣+b ¢2) J=μ + l∣ + μ-l∣j (3) jμ=∣Λ2-2τr-3h
图4
图9就是所要画的函数图蒙.
u≤-l)
(2) 尹=| 忙+11
+1 ;T-Il= $ 2 (-1 < <
1)
(E
圏5就是所要画的函数圈家-
(3) y⅛[x 2-2x-3∖
_ ∖2-2τ-3(x i -Ξx -3≥0)
^ -X 2 +Ξx + 3(x 3 -2x^3 <0)
Λ2 - 2Λ- 3(Λ ≤ -1⅛S Λ ≥ 3)
-X 2 +2^+3(-1 <x<3)
ffl Ii 就是所ι≡ιfflι≥5数图象B
解 I (1) I y = X J — 21 x I +1= Λ -2z+l(x> O) X a ÷2x + l(x <O)
图11 S io
a：分段函数作图法是画含绝对值函数的图家的常规之法.三点作图法、翻转作图法虽然简便，但要注意适应的题型，第(引小题也可用翻转作图法，有兴趣的同学不妨试一试.
四、应用
把数化为形是"数形结合∙v思想.利用图形的直观性化难为易，有事半功倍之憩，简洁明快之感•
1.求函数值⅛L
例丄求函数＞=μ+ι∣+∣;C-IlSg值域.
解：由图10知函数的值域为［⅛+∞) β
2求函数的单调区间.
例丄求函^=IX a"2X~3∣的单调谨増区间•
解：由图6知函数单调谨増区间为［一打叮Y［3,+∞)β
3.求育程解的个数.
Vi 6求方程√-2μ∣+l =∣⅛(x + 3)∣解的个数.
B：赛程√-2∣x∣+l=∣⅛tx+3)∣W的亍数就是函数j = √ -2∣Λ∣+1的图象与函数I ymIg(X+ R I的图象在同一坐标系中交点的个亂由≡ 12M两个函数图象荷5个交点，所UA肓程X2- 2∣ X I +1 =∣⅛(^+3)∣W 5个解Il
图1；。