浅议灰色关联度分析方法及其应用

i 个被评价对象可描述为
xi={xi1，xi2，… ，xip} ， 3.1 确定参考序列
i＝1 ，2 ，… ，n
根据各评价指标的经济含义，在 n 个被评价对象中选出各项指标
的最优值组成参考序列 x0 x0={x01，x02，… ，x0p} 实际上，参考序列 x0 构成了一个相对理 想 化 的 最 优 样 本 ，是 综 合
x11 x12 … x1n
{x1(t) ，x2(t) ，… ，xp(t)}＝
x21 …
x22 …
… …
x2n …
xp1 xp2 … xpn
上式中，n 为数列的数据长度，即数据的个数。
从几何角度看，关联程度实质上是参考数列与比较数列曲线形状
的相似程度。 凡比较数列与参考数列的曲线形状接近，则两者间的关
处理。 其方法包括初值化、均值化等。
2.1.1 初值化。 即用同一数列的第一个数据去除后面的所有数据，得
到一个各个数据相对于第一个数据的倍数数列，即初值化数列。 一般
地，初值化方法适用于较稳定的社会经济现象的无量纲化，因为这样
的数列多数呈稳定增长趋势，通过初值化处理，可使增长趋势更加明
显。 比如，社会经济统计中常见的定基发展指数就属于初值化数列。
再分别计算其余 4 年的各绝对差。 全部结果如表 3 所示。 从中找
出最大值和最小值为：
Δmax＝0.1161
Δmin＝0.002
表 3 绝对差计算表
年份
Δ01(t)
Δ02(t)
Δ03(t
0.0632
2004
0.0061
0.0096
0.0102
2005
0.0781
0.0493
为此，要先计算各被评价对象序列与最优参考序列间的绝对差序
列。 计算公式：
Δij= xij-1
i＝1 ，2 ，… ，n；j＝1 ，2 ，… ，p
在此基础上，依公式
Δ(max)= max 1≤i≤0
2 关联度的计算
灰色关联度分析的核心是计算关联度。 一般说来，关联度的计算
首先要对原始数据进行处理，然后计算关联系数，由此就可计算出关
联度。
2.1 原始数据的处理
由于各因素各有不同的计量单位，因而原始数据存在量纲和数量
级上的差异，不同的量纲和数量级不便于比较，或者比较时难以得出
正确结论。 因此，在计算关联度之前，通常要对原始数据进行无量纲化
显然，当参考数列的长度为 n 时，由 p 个比较数列共可计算出 n×
p 个关联系数。
2.3 求关联度
由于每个比较数列与参考数列的关联程度是通过 n 个关联系数
来反映的，关联信息分散，不便于从整体上进行比较。 因此，有必要对
关联信息作集中处理。 而求平均值便是一种信息集中的方式。 即用比
较数列与参考数列各个时期的关联系数之平均值来定量反映这两个
2007
0.1810
0.2956
0.8382
第四步，计算关联度。 利用表 4，分别求各个数列每个时期的关联
系数的平均值即得关联度：
r01=
1 5
(0.4414+0.8596+0.2489+0.9994+0.1810)=0.5460
r02=
1 5
(0.6008+0.7673+0.3478+0.5588+0.2956)=0.5141
= 0.02522 Δ0i(t)+0.02322
当 t＝2003 时
ζ01(2003)=
0.02522 0.0339+0.02322
=0.4414
ζ02(2003)=
0.02522 0.0188+0.02322
=0.6008
ζ03(2003)=
0.02522 0.0632+0.02322
=0.2919
Δok(min)和 Δok(max)。 对 p 个比较数列，又记 p 个 Δok(min)中的最小者为
Δ(min)，p 个 Δok(max)中的最大者为 Δ(max)。 这样 Δ(min)和 Δ(max)分别
是所有 p 个比较数列在各期的绝对差值中的最小者和最大者。 于是，
第 k 个比较数列与参考数列在 t 时期的关联程度(常称为关联系数)可
影响一个经济变量的因素很多。 但由于客观事物很复杂，人们对事物
的认识有信息不完全性和不确定性，各个因素对经济总量的影响作用
不是一下子就能够看清楚的，需要进行深入的研究，这就是经济变量
的因素分析。 运用灰色关联度进行因素分析是非常有效的，而且特别
适用于各个影响因素和总量之间不存在严格数学关系的情况。
例 1：利用关联度分析方法研究某公路施工企业工资序列（表 1）。
联度较大；反之，如果曲线形状相差较大，则两者间的关联度较小。 因
此，可用曲线间的差值大小作为关联度的衡量标准。
将第 k 个比较数列(k＝1，2，…，p)各期的数值与参考数列对应期的
差值的绝对值记为：
Δok(t)= x0(t)-xk(t)
t＝1 ，2 ，… ，n
对 于 第 k 个 比 较 数 列 ，分 别 记 n 个 Δok(t)中 的 最 小 数 和 最 大 数 为
工资总额的影响属于同一水平。
3 用灰色关联度分析方法进行综合评价的方法步骤
灰色关联度分析法的应用之二，就是用来进行综合评价。 基本思
路是，从样本中确定一个理想化的最优样本，以此为参考数列，通过计
算各样本序列与该参考序列的关联度，对被评价对象做出综合比较和
排序。
设有 n 个被评价对象，每个被评价对象有 p 个评价指标。 这样，第
5797.5
2007
24020.3
5744.0
11575.2
6701.0
x軃i
18372.3
4821.7
8450.0
5098.6
根 据 表 1 中 数 据 ，以 工 资 总 额 为 参 考 数 列 x0(t)，以 计 时 工 资 x1(t)、 档案工资 x2(t)和 承 包 工 资 x3(t)为 比 较 数 列 ，计 算 三 种 工 资 对 于 工 资 总 额的关联度。
通过下式计算：
ζok(t)=
Δ(min)+ρΔ(max) Δok(t)+ρΔ(max)
式中 ρ 为分辩系数，用来削弱 Δ(max)过大而使关联系数失真的影
响。 人为引入这个系数是为了提高关联系数之间的差异显著性。 0＜ρ＜
1。
可见，关联系数反映了两个数列在某一时期的紧密程度。 例如，在
使 Δok(t)＝Δ(min)的时期，ζok(t)＝1，关联系数最大；而在 使 Δok(t)＝Δ(max)的 时期，关联系数最小。 由此可知，关联系数变化范围为 0＜ζok(t)≤1。
用同样方法分别计算其余 4 年的各个关联系数， 计算结果见表
4。
表 4 关联系数计算表
年份
ζ01(t)
ζ02(t)
ζ03(t)
2003
0.4414
0.6008
0.2919
2004
0.8596
0.7673
0.7546
2005
0.2489
0.3478
0.8115
2006
0.9994
0.5588
0.4104
数列的关联程度，其计算公式为：
n
Σ rok=
1 n
ζok(t)
i=1
式中，rok 为第 k 个比较数列与参考数列的关联度。 不难看出，关联度与比较数列、参考数列及其长度有关。 而且，原
始数据的无量纲化方法和分辩系数的选取不同，关联度也会有变化。
2.4 排关联度
由上述分析可见，关联度只是因素间关联性比较的量度，只能衡
1.1913
1.3695
1.3143
第二步，计算各比较数列同参考数列在同一时期的绝对差。
当 t＝2003 时，
Δ01(2003)＝|0.7606-0.7945|＝0.0339
Δ02(2003)＝|0.7606-0.7794|＝0.0188
Δ03(2003)＝|0.7606-0.6974|＝0.0632
【关键词】灰色关联度；分析方法；综合评价；应用
1 关联度的概念
关联度是事物之间、因素之间关联性大小的量度。 它定量地描述 了事物或因素之间相互变化的情况，即变化的大小、方向与速度等的 相对性。 如果事物或因素变化的态势基本一致，则可以认为它们之间 的关联度较大，反之，关联度较小。 对事物或因素之间的这种关联关 系，虽然用回归、相关等统计分析方法也可以做出一定程度的回答，但 往往要求数据量较大、数据的分布特征也要求比较明显。 而且对于多 因素非典型分布特征的现象，回归相关分析的难度常常很大。 相对来 说，灰色关联度分析所需数据较少，对数据的要求较低，原理简单，易 于理解和掌握，对上述不足有所克服和弥补。
表 1 某公路施工企业工资序列表 单位：千元
年份
工资总额
计时工资
档案工资
承包工资
2003
13974.2
3831.0
6587.2
3556.0
2004
15997.6
4228.0
7278.0
4491.6
2005
17681.3
5017.0
7717.4
4946.9
2006
20188.3
5288.6
9102.2
r03=
1 5
(0.2919+0.7546+0.8115+0.4104+0.8382)=0.6213
第五步，排关联序
由关联度数值可看出，r03＞r01＞r02。 这表明，三种工资对工资总额的 关联程度的排列顺序为：承包工资、计时工资、档案工资。 即该公路施
工企业的工资发展方向是以承包工资为主导，计时工资和档案工资对
量因素间密切程度的相对大小， 其数值的绝对大小常常意义不大，关
键是反映各个比较数列与同一参考数列的关联度哪个大哪个小。
当比较数列有 p 个时，相应的关联度就有 p 个。 按其数值的大小
顺序排列，便组成关联序。 它反映了各比较数列对于同一参考数列的
“主次”、“优劣”关系。
灰色关联度分析方法的运用之一，就是因素分析。 在实际工作中，
2.1.2 均值化。 先分别求出各个原始数列的平均数，再用数列的所有
数据除以该数列的平均数，就得到一个各个数据相对于其平均数的倍
数数列，即均值化数列。 一般说来，均值化方法比较适合于没有明显升
降趋势现象的数据处理。
2.2 计算关联系数
设经过数据处理后的参考数列为：
{x0(t)}＝{x01，x02，… ，x0n} 与参考数列作关联程度比较的 p 个数列(常称为比较数列)为：
第一步，对各数列作均值化处理。 工资总额和三种工资的均值分别为：
880
科技信息
○公路与管理○
SCIENCE & TECHNOLOGY INFORMATION
2010 年 第 17 期
x0軈＝18372.3，x1軈＝4821.7，x2軈＝8450.0，x3軈＝5098.6 分别用以上均值去除各原始数列得均值化数列，见表 2：
2010 年 第 17 期
SCIENCE & TECHNOLOGY INFORMATION
○公路与管理○
科技信息
浅议灰色关联度分析方法及其应用
孙芳芳 (濮阳市公路管理局 河南 濮阳 457000)
【摘 要】灰色关联度是灰色数学中的一种方法，用来研究事物相互关联、相互作用的复杂因素的影响作用，确定影响事物的本质因素，使 各种影响因素之间的“灰色”关系清晰化。 本文介绍了灰色关联度在实际工作中的分析方法和步骤，为定量描述事物或因素之间相互变化的情 况提供了理论依据。
由于受各评价指标量纲和数量级不同的影响，使各评价指标间不具有
可比性 。 因此，必须对各指标实际值进行无量纲化处理 。 采用直线型无
量纲化公式，即：
xij’=
xij x0j
i=1 ，2 ，… ，n ；j＝1 ，2 ，… ，p
此时，各指标的最优值均为 1。 为叙述方便，把无量纲化后的数据
仍记为 xij，则最优参考序列为 x0＝{1，1，…，1}。 3.3 求两级最大差 Δ(max)和两级最小差 Δ(min)
0.0079
2006
0.002
0.0219
0.0382
2007
0.1161
0.0621
0.0069
第三步，计算关联系数，取分辩系数 ρ＝0.2，则计算公式为：
ζ0i(t)
Δ(min)+0.2Δ(max) Δoi(t)+0.2Δ(max)
=
0.002+0.2×0.1161 Δ0i(t)+0.2×0.1161
表 2 均值化处理数列表
年份
工资总额
计时工资
档案工资
承包工资
2003
0.7606
0.7945
0.7794
0.6974
2004
0.8707
0.8769
0.8611
0.8809
2005
0.9624
1.0405
0.9131
0.9702
2006
1.0988
1.0968
1.0769
1.1371
2007
1.3074
评价的标准。 如果第 j 项指标是数值越大越好的正向指标 ，则 x0j 就是 n 个被评价对象第 j 项指标实际值的最大值；如果是逆向指标，则是最
小值；如果是适度指标，便是该指标的适度值。
3.2 无量纲化
无量纲化是指通过一定的数学变换来消除原始变量不同量纲的
影响， 因子分析采用对指标值进行正态标准处理来消除量纲的影响。