实际问题与反比例函数(教案)

第2课时实际问题与反比例函数（2）

【知识与技能】

运用反比例函数解决实际应用问题，增强数学建模思想.

【过程与方法】

经历“实际问题一数学建模一拓展应用”的过程，发展学生分析问题，解决问题的能力.

【情感态度】

进一步锻炼学生的数学应用能力，增强数学应用意识，提高学习数学的兴趣.

【教学重点】

用反比例函数的有关知识解决实际应用问题.

【教学难点】

构建反比例函数模型解决实际应用问题，巩固反比例函数性质.

一、情境导入，初步认识

“给我一个支点，我可以撬动地球”，古希腊科学家阿基米德曾如是说，他的“杠杆定律”通俗地讲是：阻力×阻力臂=动力×动力臂.由上述等式，我们发现，当阻力、阻力臂一定时，动力和动力臂

成反比例函数关系.

二、典例精析，掌握新知

例1 小伟欲用撬棍撬动一块大石头，已知阻力和阻力臂不变，分别为1200 N和0.5 m.

(1 )动力F和动力臂l有怎样的函数关系？当动力臂为1.5 m时，撬动石头至少需要多大的力？

(2)若想使动力F不超过题(1)中所用力的一半，则动力臂l至少要加长多少？

【分析】显然本题应用杠杆定律相关知识来解决问题，首先由阻

力和阻力臂的数据得到动力F与动力臂l的函数关系式为F=600

l

(l＞0),再把l=1 . 5代入，求出动力的大小.注意“橇动石头至少需要多大的力”表面上看是不等关系，但用相等关系来解决更方便些.而

（2)中的问题即可用F=400×1

2

= 200代入求动力臂的长度的最小值，

也可利用不等关系，600

l ≤400×1

2

,得l的范围是l≥3，而动力臂至

少应加长1.5米才行.

【教学说明】在本例教学时，应仍由学生自主探究，构建适合题意的反比例函数关系式，让学生加深对反比例函数意义的理解，进一步增强分析问题和解决问题的能力.教师在学生练习过程中，巡视指导，帮助有困难同学形成正确认知，在大部分学生自主完成后，可提出以下问题让学生思考，巩固提高：（1 )用反比例函数知识解释：在我们使用撬棍时，为什么动力臂越长就越省力？（2)你能再举一些应用杠杆原理做实际例子吗？

例2 —个用电器的电阻是可调节的，其范

围是110〜220Ω，已知电压为220 V ，这个

用电器的电路图如图所示.

(1 )输出功率犘与电阻只有怎样的函数关系？

(2)这个用电器功率的范围是多少？

【分析】要想顺利解决本题，应了解电学中关于电功率P 、电阻R 和电压U 的关系，即有PR = U 2

，可以发现2U P R =或2U R P =.这样由于用电器电压U = 220 V 是确定的，从而可得（1)的解应为P =2220R

，再把R = 110和R = 220代入可得电功率P 值分别为440 W 和220 W ，

故电功率P 的范围为220≤P ≤440.事实上，这里还可以由2220R P

=及 110≤R ≤220，得110≤2220P

≤220,得220≤P ≤440. 【教学说明】教学时，教师应先让学生熟悉与本例相关的电学知识，即PR = U 2，然后让学生独立完成，由于题目难度不大，学生应该能予以解决，对个别有困难的同学，可予以指导，也可让他们与同伴交流，从而能解决问题，在大多数同学完成以后，教师仍可设置以下两个问题，让学生进一步加深对知识的理解：（1 )想一想，为什么收音机的音量，某些台灯的亮度以及电风扇的转速都可以调节？（2)你还能列举一些生活中用电器应用反比例函数性质的例子吗？培养学生学以致用的能力，即能用所学知识解决现实世界中实际问题的能力，也可增强 学生的学习兴趣.

三、运用新知，深化理解

1.一司机驾驶汽车从甲地去乙地，他以80 km/h 的平均速度用6小时到达目的地.

(1)当他按原路返回来，汽车的平均速度v 与时间t 有怎样的函数关系？

(2)如果该司机必须在4 h 之内回到甲地，则返程时的平均速度不能低于多少？

2.新建成的住宅楼主体工程已经竣工，只剩下楼体外表面需贴瓷砖，已知楼体的外表面面积为5×103 m 2 .

(1)所需的瓷砖块数n 与每块瓷砖的面积 S 有怎样的函数关系？

(2)为了使住宅楼的外观更漂亮，开发商决 定采用灰、白、蓝三种颜色的瓷砖，每块瓷砖的面积都是80 cm 2，灰、白、蓝瓷砖使用比例为2：2: 1，则需要三种瓷砖各多少块？

3.如图是放置在桌面上的一个圆台，已知圆台的上

底面积是下底面积的1/4，此时圆台对桌面的压强为

100 Pa.若把圆台翻过来放，则它对桌面的压强是

多大呢？

【教学说明】由学生独立完成，然后相互交流，发

现问题，及时纠正，从而巩固对反比例函数的性质的理解.在完成上述题目后，教师引导学生完成创优作业中本课时的“名师导学”部分.

【答案】1. ( 1 )V =

806t ，V =480t （t ＞0）. (2)V =4804

= 120 (km/h).

2.（1）n • S = 5× 103

, n

=3510S ⨯ (S >0). (2)80cm 2=8×10-3m 2

.3

53510 6.2510810n -⨯==⨯⨯(块）， 则有n 灰=6.25×105×25= 2.5×105(块)，n 白=6.25×105×25 =2.5

×105(块) ,n 蓝=6.25×105×51=1.25×105(块）.

3. 解：设下底面积为S 0，则上底面积为

04S . 由F p S

= ，且当S = S 0时,p = 100，∴0100F pS S ==⨯ . 同一物体质量不变，∴ F=100S 0是定值.

000

100400(Pa)44

S S F S p S S ∴====当时，. 因此，当把圆台翻过来放置时，它对桌面的压强是400Pa.

四、师生互动，课堂小结

1.请举出一些应用反比例函数的实例,同伴之间相互交流.

2.说说这节课你又有哪些收获？

1. 布置作业：从教材“习题26.2”中选取.

2. 完成创优作业中本课时的“课时作业”部分.

本节课讨论了反比例函数的其他一些应用（主要是在物理学科中的应用）.在这些实际应用中，备课时应注意到与学生的实际生活相联系，并且注意用函数观点来对这些问题做出某种解释，从而加深对函数的认识，并突出知识之间的内在联系，特别是与物理知识之间的联系.