2020年高考数学二轮复习(上海专版) 专题15 数形结合思想(原卷版)
高三数学第二轮专题讲座复习 数形结合思想 试题
卜人入州八九几市潮王学校望城区白箬高三数学第二轮专题讲座复习：数形结合思想高考要求数形结合思想在高考中占有非常重要的地位，其“数〞与“形〞结合，互相浸透，把代数式的准确刻划与几何图形的直观描绘相结合，使代数问题、几何问题互相转化，使抽象思维和形象思维有机结合应用数形结合思想，就是充分考察数学问题的条件和结论之间的内在联络，既分析其代数意义又提醒其几何意义，将数量关系和空间形式巧妙结合，来寻找解题思路，使问题得到解决运用这一数学思想，要纯熟掌握一些概念和运算的几何意义及常见曲线的代数特征重难点归纳应用数形结合的思想，应注意以下数与形的转化〔1〕集合的运算及韦恩图〔2〕函数及其图象〔3〕数列通项及求和公式的函数特征及函数图象〔4〕方程〔多指二元方程〕及方程的曲线以形助数常用的有借助数轴；借助函数图象；借助单位圆；借助数式的构造特征；借助于解析几何方法以数助形常用的有借助于几何轨迹所遵循的数量关系；借助于运算结果与几何定理的结合典型题例示范讲解例1设A={x｜–2≤x≤a}，B={y｜y=2x+3，且x∈A}，C={z｜z=x2，且x∈A}，假设C⊆B，务实数a 的取值范围此题借助数形结合，考察有关集合关系运算的题目知识依托解决此题的关键是依靠一元二次函数在区间上的值域求法确定集合C进而将C⊆B用不等式这一数学语言加以转化错解分析考生在确定z=x2，x∈［–2,a］的值域是易出错，不能分类而论巧妙观察图象将是上策不能漏掉a＜–2这一种特殊情形技巧与方法解决集合问题首先看清元素终究是什么，然后再把集合语言“翻译〞为一般的数学语言，进而分析条件与结论特点，再将其转化为图形语言，利用数形结合的思想来解决解∵y=2x+3在［–2,a］上是增函数Array∴–1≤y≤2a+3，即B={y｜–1≤y≤2a+3}作出z =x 2的图象，该函数定义域右端点x =a 有三种不同的位置情况如下①当–2≤a ≤0时，a 2≤z ≤4即C ={z ｜a 2≤z ≤4}要使C ⊆B ,必须且只须2a +3≥4得a ≥21与–2≤a ＜0矛盾 ②当0≤a ≤2时，0≤z ≤4即C ={z ｜0≤z ≤4}，要使C ⊆B ，由图可知必须且只需⎩⎨⎧≤≤≥+20432a a 解得21≤a ≤2③当a ＞2时，0≤z ≤a 2，即C ={z ｜0≤z ≤a 2}， 要使C ⊆B 必须且只需⎩⎨⎧>+≤2322a a a 解得2＜a ≤3 ④当a ＜–2时，A =∅此时B =C =∅，那么C ⊆B 成立综上所述，a 的取值范围是(–∞,–2)∪［21,3］ 例2a cos α+b sin α=c ,a cos β+b sin β=c (ab ≠0,α–β≠k π,k ∈Z )求证22222cosba c +=-βα 此题主要考察数学代数式几何意义的转换才能知识依托解决此题的关键在于由条件式的构造联想到直线方程进而由A 、B 两点坐标特点知其在单位圆上错解分析考生不易联想到条件式的几何意义，是为瓶颈之一如何巧妙利用其几何意义是为瓶颈之二技巧与方法擅长发现条件的几何意义，还要根据图形的性质分析清楚结论的几何意义，这样才能巧用数形结合方法完成解题证明:在平面直角坐标系中，点A 〔cos α,sin α〕与点B 〔cos β, sin β〕是直线l :ax +by =c 与单位圆x 2+y 2=1的两个交点如图从而｜AB ｜2=(cos α–cos β)2+(sin α–sin β)2=2–2cos(α–β)又∵单位圆的圆心到直线l 的间隔22||ba c d+=由平面几何知识知｜OA ｜2–(21｜AB ｜)2=d 2即 b a c d +==---2224)cos(221βα∴22222cos b a c +=-βα例3曲线y =1+24x -(–2≤x ≤2)与直线y =r (x –2)+4有两个交点时，实数r 的取值范围解析方程y =1+24x -的曲线为半圆，y =r (x –2)+4为过〔2，4〕的直线答案〔43,125］ 例4设f (x )=x 2–2ax +2,当x ∈［–1,+∞)时，f (x )＞a 恒成立，求a 的取值范围解法一由f (x )＞a ，在［–1,+∞)上恒成立⇔x 2–2ax +2–a ＞0在［–1,+∞)上恒成立考察函数g (x )=x 2–2ax +2–a 的图象在［–1,+∞］时位于x 轴上方如图两种情况不等式的成立条件是(1)Δ=4a 2–4(2–a )＜0⇒a ∈(–2,1)(2)⇒⎪⎩⎪⎨⎧>--<≥∆0)1(10g a a ∈(–3,–2]， 综上所述a ∈(–3,1)解法二由f (x )＞a ⇔x 2+2＞a (2x +1)令y 1=x 2+2,y 2=a (2x +1),在同一坐标系中作出两个函数的图象如图满足条件的直线l 位于l 1与l 2之间，而直线l 1、l 2对应的a 值〔即直线的斜率〕分别为1，–3， 故直线l 对应的a ∈(–3,1)学生稳固练习1方程sin(x –4π)=41x 的实数解的个数是() A 2B 3C 4D 以上均不对2f (x )=(x –a )(x –b )–2〔其中a ＜b )，且α、β是方程f (x )=0的两根〔α＜β)，那么实数a 、b 、α、β的大小关系为()A α＜a ＜b ＜βB α＜a ＜β＜bC a ＜α＜b ＜βD a ＜α＜β＜b3(4cos θ+3–2t )2+(3sin θ–1+2t )2，(θ、t 为参数)的最大值是4集合A ={x ｜5–x ≥)1(2-x },B ={x ｜x 2–ax ≤x –a }，当AB 时，那么a 的取值范围是M 12-2oyxa-1o yxa -1oyx-12-1o yx5设关于x 的方程sin x +3cos x +a =0在〔0,π〕内有相异解α、β〔1〕求a 的取值范围； 〔2〕求tan(α+β)的值6设A ={(x ,y )｜y =222x a -,a ＞0}，B ={(x ,y )｜(x –1)2+(y –3)2=a 2,a ＞0},且A ∩B ≠∅，求a的最大值与最小值参考答案1解析在同一坐标系内作出y 1=sin(x –4π)与y 2=41x 的图象如图答案B2解析a ,b 是方程g (x )=(x –a )(x –b )=0的两根，在同一坐标系中作出函数f (x )、g (x )的图象如下列图答案A3解析联想到间隔公式，两点坐标为A (4cos θ,3sin θ),B (2t –3,1–2t )点A 的几何图形是椭圆，点B表示直线考虑用点到直线的间隔公式求解答案227 4解析解得A ={x ｜x ≥9或者x ≤3}，B ={x ｜(x –a )(x –1)≤0}，画数轴可得答a ＞35解y =sin(x +3π)(x ∈(0,π))及y =–2a 的图象，知当｜–2a ｜＜1且–2a≠23时，曲线与直线有两个交点，故a ∈(–2,–3)∪(–3,2)②把sin α+3cos α=–a ,sin β+3cos β=–a 相减得tan332=+βα， 故tan(α+β)=36解∵集合A 中的元素构成的图形是以原点O 为圆心，2a 为半径的半圆；集合B 中的元素是以点O ′(1,3)为圆心，a 为半径的圆如下列图∵A ∩B ≠∅，∴半圆O 和圆O ′有公一共点显然当半圆O 和圆O ′外切时，a 最小2a +a =｜OO ′｜=2,∴amin=22–2当半圆O 与圆O ′内切时，半圆O 的半径最大，即2a 最大此时2a–a=｜OO′｜=2,∴a max=22+2。
2020年高考数学二轮复习讲义：数形结合思想
第二讲数形结合思想!航知识整合v|E KP4 ilM St* fkll 囁 . ■数形结合思想的实质是把抽象的数学语言与直观的图形语言有机结合,形象思维的和谐统一. 通过对规范图形或示意图形的观察分析， 化抽象为直观，化直观为精 确，从而使问题得到解决.数形结合包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大致可以分为两种情形： 是借助形的生动性和直观性来阐明数形之间的联系， 即以形作为手段，数作为目的，比如应用函数的图象来直观地说明函数的性质；二是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质.命题方向1数形结合思想在方程的根或函数零点中的应用例 1 若 f (x) + 1 =器，当 xq ［0，1］时，f(x )= x ，若在区间(-1,1］，内 g(x)=f(x) — mx — m 有两个零点，则实数 m 的取值范围是如图所示，作出函数 f(x)在区间(一1,1］内的图象， 而函数g(x)零点的个数即为函数f(x)与y = mx + m 图象交点的个数，显然函数y = mx + m 的图象为经过点 P(— 1,0)，斜率为m 的直 线.I知识整合Zhi shi zhe ng he弋知识整合・易错警示》C C达到抽命题热点突破MN 1UU 经典例題*提升能力》A . [0, 11)1【2，)C . [0, 11)［解析］当 x q — 1,0]时，x + 1€(0,1],•••当x q o,1]时，f (x )= x , 而由 f(x) + 1 = fx + 1，可得f(x) =1f x + 11 x + 1—1(x 6(— 1,0]).1=鼻；直线PO 的斜率为k 21- -1 2=0•由图可知，函数f(x)与y = mx + m 的图象有两个交点，则直线y = mx + m 的斜率k 2<m w k 1,1即m q o , 2】•『规律总结』利用数形结合求方程解应注意两点1.讨论方程的解(或函数的零点)可构造两个函数，使问题转化为讨论两曲线的交点问 题，但用此法讨论方程的解一定要注意图象的准确性、全面性、否则会得到错解.2•正确作出两个函数的图象是解决此类问题的关键，数形结合应以快和准为原则而采 用，不要刻意去数形结合.跟踪训练 ：:：. Gen zong xun lia n|2x + 1|, x<1,已知函数 f(X )—若 f(X 1)= f(X 2)= f(X 3)(X 1, X 2, x 3 互不相等)，且冷 +log2(x — m 、x>1,X 2 + X 3的取值范围为(1,8)，则实数m 的值为1.［解析］作出f(x)的图象，如图所示，可令 X 1 <X 2<X 3，则由图知点(X 1,0) , (X 2,0)关于直线X 1=—对称，所以X 1 + X 2=— 1•又 1<X 1 + X 2 + X 3<8，所以 2<X 3<9.由 f(X 1) = f(X 2)= f(X 3)(X 1 , X 2, X 3互不相等), 结合图象可知点 A 的坐标为(9,3)，代入函数解析式，得3 = Iog 2(9 — m),解得m = 1.命题方向2利用数形结合思想解决最值问题DC DA = — 2，动点 P , M 满足 |AP|= 1, PM = MC ，则 |BM|2 的最大值是(B )如图所示，f(1) = 1，故B(1,1) •直线PB 的斜率k i =例2在平面内，定点 A , B , C , D 满足 |DA|= |DB|= |DC|, DA DB = DB DC =49 443 437 + 6*3 C . 4［思路探究］看到求|BM|2的最大值，所以我们要把它用参数表示出来， 再利用圆的性质 得出最值.［解析］ 依题设知：Z ADC = ZADB = /BDC = 120 ° |DA|= |DB = |DC|= 2,所以以 D 为原 点、直线DA 为x 轴建立平面直角坐标系，则A(2,0), B(— 1, — 3), C(— 1 , 3).设P(x ,y),因为 |AP|= 1，所以(x — 2)2+ y 2= 1，又PM = MC ，所以 M^,匕討)，B M =耳，廿?,BM 2= ”1 I 汁3 3，它表示圆(x — 2)2+ y 2= 1上的点(x , y)与点(一1 , — 3.3)的距离的平方的1,所以 |BM max = 1C '32+ 3.3 2+ 1)2= 49 『规律总结』利用数形结合思想解决最值问题的一般思路(1)对于几何图形中的动态问题，应分析各个变量的变化过程，找出其中的相互关系求 解.(2)对于求最大值、最小值问题，先分析所涉及知识，然后画出相应的图象数形结合求 解.跟踪训练：::・G■en zong xun lia n已知a , b 是单位向量，a b = 0•若向量c 满足|c — a — b |= 1,则|c |的最大值为(C )B .2D ..2 + 2D 37+ 2岳A . 2— 1C . 2 + 1［解析］••|a |= |b |= 1, 且 a b = 0, •••可设 a = (1,0), b = (0,1), c = (x , y).•'c — a — b = (x — 1, y — 1).•|c -a — b |= 1,• x — 1 2+ y — 1 2= 1, 即(x - 1)2+ (y - 1)2= 1.由图可知，当c 对应的点(X , y)在点C 处时，C 有最大值且|c |max =「12+忙+ 1= 2 + 1.命题方向3利用数形结合思想解决不等式、参数问题例3实系数一元二次方程X 2+ ax + 2b = 0的一个根在(0,1)上,另一个根在(1,2) b — 2上，则尸的取值范围是(D )A . [1,4]B . (1,4) 1 1C . [4, 1]D .(4, 1)[解析] 设f(x)= x 2 + ax + 2b , x 2+ ax + 2b = 0的一个根在(0,1)内，因为另一个根在区间 (1,2)内,作出满足上述不等式组对应的点(a , b)所在的平面区域，得到△ ABC 及其内部，即如图所示的阴影部分(不含边界).b — 2 其中A(— 3,1), B( — 2,0), C( — 1,0)，设点E(a , b)为区域内的任意一点，贝U k=-a — 1 表示点E(a , b)与点D(1,2)连线的斜率.EF2 一 1 1 2 一 0 因为 k AD = =；, k cD = = 1,1+ 3 4 1+ 1结合图形可知：k AD <k< k cD , b — 2 1所以 的取值范围是(1, 1).a — 1 4又 |c | =x 2 + y 2,如图所示. f0>0,所以可得 f 1 <0,f 2 >0,b>°, 即 a + 2b + 1<0,.a + b + 2>0,『规律总结』1.数形结合思想解决参数问题的思路(1)分析条件所给曲线.(2)画出图象.(3 )根据图象求解.2.常见的数与形的转化⑴集合的运算及韦恩图.(2)函数及其图象.⑶数列通项及求和公式的函数特征及函数图象.(4)方程(多指二元方程)及方程的曲线.跟踪训练・：■・z-\G en zong xun lia n当x € (1,2)时，(x—1)2<log a x恒成立，则实数a的取值范围是.曲.2 2［解析］•••函数y= (x—1)在区间(1,2)上单调递增，.••当x6(1,2)时，y= (x—1) 6(0,1)，若2 ^>1，不等式(x—1)2<log a X恒成立，则-'-Ka< 2.［_log a2> 1,。
2020届高三理科数学二轮复习讲义：模块一第二讲数形结合思想Word版含解析.doc
第二讲数形联合思想思想方法解说数形联合思想：是依据数与形之间的对应关系，经过数与形的互相转变来解决数学识题的思想．经过“以形助数，以数辅形” ，使复杂问题简单化，抽象问题详细化，能够变抽象思想为形象思想.重点一利用数形联合思想研究函数的零点、方程的根、图象的交点问题[ 分析 ] (1)函数 f(x)＝lnx－x－a 的零点，即对于 x 的方程 lnx－x－a ＝0 的实根，将方程 lnx－x－a＝0 化为方程 lnx＝x＋a，令 y1＝lnx，y2＝x＋a，由导数知识可知，直线 y2＝x＋a 与曲线 y1＝lnx 相切时有 a ＝－ 1，如下图，若对于 x 的方程 lnx－x－a＝ 0 有两个不一样的实根，则实数 a 的取值范围是 (－∞，－ 1)．应选 B.1(2)方程 x＋2＝a|x|有三个不一样的实数解等价于函数1y＝ x＋2与 y＝1a|x|的图象有三个不一样的交点．在同向来角坐标系中作出函数y＝x＋2与 y＝a|x|的图象，如下图，由图易知，a>0.当－ 2<x<0 时，设函数1y＝a|x|＝－ ax 的图象与函数f(x)＝x＋2的图象相切于点 (x0，y0)，因为y0＝－ ax0，f ′(x0)＝－12，则有y0＝ 1 ，解得 a＝1，因此实数 a x0＋2x0＋21x0＋2 2＝a，的取值范围为 (1，＋∞)，应选 C.[ 答案 ] (1)B (2)C利用数形联合求方程解、函数零点问题的 2 个注意点(1)议论方程的解 (或函数的零点 )可结构两个函数，使问题转变为议论两曲线的交点问题，但用此法议论方程的解必定要注企图象的准确性、全面性，不然会获取错解．(2)正确作出两个函数的图象是解决此类问题的重点，数形联合应以快和准为原则而采纳，不要故意去数形联合．[对点训练 ]|x|，x≤m，1．(2017·大连模拟)已知函数f(x)＝x2－2mx＋4m，x>m，此中 m>0.若存在实数 b，使得对于 x 的方程 f(x)＝b 有三个不一样的根，则 m 的取值范围是 ________．[分析 ]作出f(x)的图象如下图．当x>m 时， x2－2mx＋4m＝(x－m)2＋4m－ m2，∴要使方程 f(x)＝b 有三个不一样的根，则有4m－m2<m，即 m2－3m>0.又 m>0，解得 m>3.[答案 ](3，＋∞ )2．设点 M(x0,1)，若在圆 O：x2＋y2＝1 上存在点 N，使得∠ OMN ＝45°，则 x0的取值范围是 ________．[ 分析 ]如下图，由题意可知M在直线y＝1上运动，设直线y＝1与圆 x2＋y2＝1 相切于点 P(0,1)．当 x0＝0 即点 M 与点 P 重合时，明显圆上存在点 N( ±1,0)切合要求；当 x0≠0 时，过 M 作圆的切线，切点之一为点 P，此时对于圆上随意一点 N，都有∠ OMN≤∠ OMP，故要存在∠ OMN＝45°，只要∠ OMP≥45°.特别地，当∠ OMP＝45°时，有 x0＝±1.联合图形可知，切合条件的x0的取值范围为 [－1， 1]．[答案 ] [－1,1]重点二利用数形联合思想解决最值问题2x＋3y－3≤0，[ 分析 ] (1)作出不等式组2x－3y＋3≥0，对应的可行域，如y＋3≥0图中暗影部分所示．易求得可行域的极点A(0,1)，B(－6，－3)，C(6，－3)，平移直线 y＝－ 2x＋z，当直线 y＝－ 2x＋z 过点 B(－6，－3)时，z获得最小值， z min＝2×(－6)－3＝－ 15，选择 A.(2)依据题意，画出表示图，如下图，则圆心 C 的坐标为 (3,4)，1半径 r＝1，且|AB|＝2m，因为∠ APB＝90°，连结 OP，易知 |OP|＝2|AB|＝m.要求 m 的最大值，即求圆 C 上的点 P 到原点 O 的最大距离．因为 |OC|＝32＋42＝5，因此 |OP|max＝|OC|＋r＝6，即 m 的最大值为 6，应选 B.[ 答案 ] (1)A (2)B利用数形联合思想解决最值问题的 3 点思路(1)对于几何图形中的动向问题，应剖析各个变量的变化过程，找出此中的互相关系求解．(2)对于求最大值、最小值问题，先剖析所波及知识，而后画出相应图象，数形联合求解．(3)假如 (不)等式、代数式的结构包含着明显的几何特色，就要考虑用数形联合的思想方法来解题，即所谓的几何法求解．[对点训练 ]3． (2017 ·石家庄市高三二检)在平面直角坐标系中，不等式组x＋y≤0，x－y≤0，(r 为常数表示的平面地区的面积为π，若，知足上)x yx2＋y2≤r2x＋y＋1述拘束条件，则 z＝x＋3的最小值为 ()A．－152＋1C.1D．－7 B．－735[分析]作出不等式组表示的平面地区，如图中暗影部分所示，由题意，知1π2＝π，解得 r＝2.z＝x＋y＋1y－2＝1＋，表示可行域内4r x＋3x＋3的点与点 P(－3,2)连线的斜率加上 1，由图知当可行域内的点与点 P 的连线与圆相切时斜率最小．设切线方程为 y－ 2＝k(x＋3)，即 kx－y＋3k＋2＝0，则有|3k＋2|＝2，解得 k＝－12或 k＝0(舍去 )，因此z mink2＋15＝1－1275 ＝－5.应选 D.[答案]D4．(2017 ·武汉二模 )已知抛物线的方程为 x2＝8y，F 是其焦点，点 A(－2,4)，在此抛物线上求一点 P，使△ APF 的周长最小，此时点 P 的坐标为 ________．[ 分析 ]因为(－2)2<8×4，因此点A(－2,4)在抛物线x2＝8y的内部，如图，设抛物线的准线为l，过点 P 作 PQ⊥l 于点 Q，过点 A 作 AB⊥l 于点 B，连结 AQ，由抛物线的定义可知△APF 的周长为|PF|＋|PA|＋|AF|＝|PQ|＋|PA|＋|AF|≥|AQ|＋|AF|≥|AB|＋|AF|，当且仅当 P，B，A 三点共线时，△APF 的周长获得最小值，即|AB|＋|AF|.因为 A(－2,4)，因此不如设△APF的周长最小时，点P 的坐标为(－2，y0)，代入2x＝8y，得1 y0＝2，故使△APF的周长最小的抛物线上的点P 的坐标为11－2，2 ，故填－2，2 .[答案]1－2，2重点三利用数形联合思想解决不等式、参数问题[ 分析 ] (1)曲线方程可转变为 (x－ 2)2＋(y－3)2＝4(1≤y≤3)，即表示圆心为 (2,3)，半径为 2 的下半圆，如图，依照数形联合，当直线y＝x＋b 与此半圆相切时，圆心(2,3)到直线 y＝x＋b 的距离等于 2，|2－3＋b|∴＝2，解得 b＝1＋2 2或 b＝1－2 2，因为是下半圆，所2以 b＝1－2 2；当直线过 (0,3)时，可得b＝ 3，因此1－2 2≤b≤3.应选 C.(2)对随意 x∈R，都有 f(x)≤|k－1|建立，即 f(x)max≤|k－ 1|.因为 f(x)的草图如下图，－x2＋x，x≤1，1察看f(x)＝log1 x，x>1的图象可知，当x＝2时，函数31135f(x)max＝4，因此 |k－1|≥4，解得 k≤4或 k≥4.35[答案 ] (1)C－∞，4∪ 4，＋∞利用数形联合思想解不等式或求参数范围问题的技巧求参数范围或解不等式问题时常常联系函数的图象，依据不等式中量的特色，选择适合的两个(或多个)函数，利用两个函数图象的上、下地点关系转变数目关系来解决问题，常常能够防止繁琐的运算，获取简捷的解答．[对点训练 ]5．(2017 ·河南郑州月考 )使 log2(－x)<x＋1 建立的 x 的取值范围是()A ．(－1,0) B．[－1,0) C．(－2,0) D．[－2,0)[ 分析 ] 在同一坐标系内作出 y＝log2(－x)，y＝ x＋1 的图象，知知足条件的 x∈(－1,0)．[答案]A6． (2017 ·济南一模 )已知函数f(x)＝x2－4x，x≤0，若 f(x)－sin πx，x>0，ax≥－1，则实数 a 的取值范围是 ________．[ 分析 ]依题意得f(x)≥ax－1.在同一平面直角坐标系中分别作出函数 y＝f(x)与 y＝ax－1(该直线过定点 (0，－1)、斜率为 a)的图象，如下图．设直线 y＝ax－ 1 与曲线 y＝x2－4x(x≤0)相切于点 (x0，y0)，a＝2x0－4，x0≤0，则有x20－4x0＝ax0－1，解得x0＝－1，a＝－6.联合图形可知，实数 a 的取值范围是 [－6,0]．[答案 ] [－6,0]—————————————————————运用数形联合思想剖析解决问题的三原则1．等价性原则在数形联合时，代数性质和几何性质的变换一定是等价的，不然解题将会出现破绽，有时，因为图形的限制性，不可以完好地表现数的一般性，这时图形的性质只好是一种直观而浅易的说明．2．双向性原则2020届高三理科数学二轮复习讲义：模块一第二讲数形结合思想Word版含解析.doc在数形联合时，既要进行几何直观的剖析，又要进行代数抽象的探究，双方面相辅相成，仅对代数问题进行几何剖析(或仅对几何问题进行代数剖析 )在很多时候是很难行得通的．3．简单性原则找到解题思路以后，至于用几何方法仍是用代数方法或许兼用两种方法来表达解题过程，则取决于哪一种方法更加简单．。
2020版高考理科数学二轮课件：1-3 数形结合思想
而 y1＝x＋k 中，k 是直线的纵截距，由图知，方程有一个解⇔直线与上述半圆只有一
个公共点⇔k＝ 2或－1≤k<1，故选 D.
【答案】 D
考点三 利用数形结合解决最值问题
x＋2y≥0， 【例 4】 (2019 年西安调研)已知变量 x，y 满足约束条件mx－y≤0， 若 z＝2x－y
典例精讲
考点一 利用数形结合研究函数零点、方程的根、图象的交点问题 【例 1】 (2019 年沈阳质检)方程 sinπx＝4x的解的个数是( ) A．5 B．6 C．7 D．8
【解析】 在同一平面直角坐标系中画出 y1＝sinπx 和 y2＝4x的图象，如图 1，观察图 象可知，y1＝sinπx 和 y2＝4x的图象在第一象限有 3 个交点，根据对称性可知，在第三象限 也有 3 个交点，再加上原点，共 7 个交点，所以方程 sinπx＝4x有 7 个解，故选 C.
应用类型
1．构建函数模型并结合其图象求参数的取值范围或解不等式． 2．构建函数模型并结合其图象研究方程根或函数零点的范围． 3．构建解析几何模型求最值或范围．
4．如果参数、代数式的结构蕴含着明显的几何特征，一般考虑用数形结合的方法来 解题，即所谓的几何法求解，比较常见的有：
(1)y＝kx＋b 中 k 表示直线的斜率，b 表示直线在 y 轴上的截距． (2)ab－－mn 表示坐标平面上两点(a，b)，(m，n)连线的斜率． (3) （a－m）2＋（b－n）2表示坐标平面上两点(a，b)，(m，n)之间的距离． (4)导数 f′(x0)表示曲线在点(x0，f(x0))处切线的斜率．
【答案】 C
【例 2】 (2018 年高考·课标全国卷Ⅰ)已知函数 f(x)＝elnx，x，x≤x>00，，g(x)＝f(x)＋x＋a.
2020年高考数学二轮复习(上海专版)专题15数形结合思想(原卷版)
1 ． (2019 ?闵行区一模 )已知函数 f ( x) | x 1| ( x 1) ， x [ a ， b ] 的值域为 [0 ， 8] ，则 a b 的取值范围
是
．
2 ． (2020 ?奉贤区一模 )已知直线 y x 1 上有两个点 A(a1 ， b1 ) 、 B( a2 ， b2 ) ，已知 a1 、 b1 、 a2 、 b2 满足
例题剖析
一、数形结合思想在求参数、代数式的取值范围、最值问题中的应用
【例 1】 若方程 x2－ 4x＋ 3＋ m＝ 0 在 x∈ (0，3) 时有唯一实根，求实数 m 的取值范围．
2x－ 1， x＞ 0，
【变式训练 1】 已知函数 f(x)＝
若函数 g(x)＝ f(x)－m 有 3 个零点， 则实数 m 的取值范
________.
二、选择题
π
6．若不等式 log ax>sin2x (a>0， a≠1)对任意 x∈ (0， 4 )都成立，则实数 a 的取值范围为 (
)
π
π
π
π
A ． (0， 4 ) B． (0， 4 ] C． [ 4 ， 1) D． ( 4 ， 1)
7．已知 y＝ f(x)是最小正周期为 2 的函数，当 x∈ [－ 1， 1] 时， f(x)＝ x2，则函数 y＝ f(x)( x∈ R)图像与 y＝|log5|x||图像的交点的个数是 ( )
2，x＞ 0，
个数为 ________．
【例 5】 若方程 lg(－ x2＋ 3x－ m)＝ lg(3 －x)在 x∈ (0， 3)内有唯一解，求实数 m 的取值范围．
三、数形结合思想在平面解析几何中的应用 【例 6】已知直线 y＝x－ 2 与圆 x2＋ y2－4x＋ 3＝ 0 及抛物线 y2＝8x 依次交于 A、B、C、D 四点，则 |AB|
2020届二轮复习 数形结合思想 课件(25张)(全国通用)
【解析】
作出y＝|x－2a|和y＝
1 2
x＋a－1的简
图，依题意知应有2a≤2－2a，故a≤12.
【答案】 (－∞，12]
(3)(2019·郑州第二次质量预测)设变量x，y满足约束条件
y≤2，
xx－＋yy≤≥11，，则目标函数z＝(13)3x＋y的最大值为(
)
A．(13)11
B．(13)3
A．2＋ 2 C. 2＋ 2
B．2＋2 2 D. 2＋2 2
【解析】 沿直线A1B将△ ABA1折起，使A，B，C，D1， A1五点共面，则AP＋PD1≥AD1，由余弦定理可求得|AD1|＝
2＋ 2.故选C. 【答案】 C
把x＝
y2 2
代入上式，求得yA＝2，xA＝2，∴|AF|＝|AA1|＝
5 2
，
故SS△△ ABCCFF＝||ABFF||＝25＝45.故选B. 2
【答案】 B
(2)(2019·衡水调研卷)如图所示，在棱长为1的正方体ABCD －A1B1C1D1的面对角线A1B上存在一点P，使得AP＋D1P最短， 则AP＋D1P的最小值为( )
交于点C，若|BF|＝2，则△ BCF和△ ACF的面积之比为( )
A.23
B.454ຫໍສະໝຸດ 1C.7D.2
【审题】 △ BCF与△ ACF有一公共顶点F.把F当顶点，则
S△ BCF S△ ACF
＝
|BC| |AC|
，相似三角形对应边成比例，过A，B向准线作垂
线，应用抛物线定义．
【解析】 如图，过A，B分别作准线l：x
【答案】 A
(2)(2019·惠州第一次调研)若函数f(x)＝ax－2，g(x)＝loga|x|， 其中a>0，且a≠1，f(2)·g(2)<0，则函数f(x)，g(x)在同一坐标系中 的大致图象是( )
2019-2020年高考数学二轮复习数学思想领航二数形结合思想课件文
(4)根式——可考虑两点间的距离.
思维升华 解析 答案
跟踪演练 2
x＋ y－ 3 ≤ 0，
设点
P(x，y)满足：
x x
－ ≥
y＋ 1，
1
≥
0，
则yx－xy的取值范围是
y ≥ 1，
A.32，＋∞
√B.－32，32
C.－32，1
D.[－1,1]
典例3 已知点P在抛物线y2＝4x上，那么点P到点Q(2，－1)的距离与点 P到抛物线焦点的距离之和取得最小值时，点P的坐标为
√A.14，－1
B.14，1
C.(1,2)
D.(1，－2)
思维升华 破解圆锥曲线问题的关键是画出相应的图形，注意数和形的相 互渗透，并从相关的图形中挖掘对应的信息进行研究.直线与圆锥曲线的 位置关系的转化有两种，一种是通过数形结合建立相应的关系式，另一种
所
√
有实数解之和为 A.－7 C.－3
B.－6 D.－1
解析 答案
方法二 几何意义数形沟通法
模型解法 几何意义数形沟通法即在解决问题的过程中对题目中的一些代数式进行几 何意义分析，将其转化为与几何结构相关的问题，通过解决几何问题达到 解决代数问题的目的.此方法适用于难以直接解决的抽象问题，可利用图 形使其直观化，再通过图形的性质快速解决问题.破解此类题的关键点： ①分析特征，一般从图形结构、性质等方面分析代数式是否具有几何意义. ②进行转化，把要解决的代数问题转化为几何问题. ③得出结论，将几何问题得出的结论回归到代数问题中，进而得出结论.
二、数形结合思想 方法一 函数图象数形沟通法 方法二 几何意义数形沟通法 方法三 圆锥曲线数形沟通法
以形助数(数题形解)
以数辅形(形题数解)
2019-2020年高三数学第二轮专题复习数形结合思想课堂资料
方法 ,包含“以形助数”和“以数解形”两个方面 . 一是借助形的生动和直观性来阐明数之间的联系，即以形
作为手段，数为目的，比如应用函数的图像来直观地说明函数的性质；二是借助于数的精确性和规范严密
性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质
数形结合的思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图像结合起来，关键是代数问题与图形之间的
2019-2020 年高三数学第二轮专题复习数形结合思想课堂资料
一、基础知识整合
中学数学的基本知识分三类：一类是纯粹数的知识，如实数、代数式、方程（组）
、不等式（组） 、函
数等；一类是关于纯粹形的知识，如平面几何、立体几何等；一类是关于数形结合的知识，主要体现是解
析几何 .
所谓数形结合，就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种思想
则不等式 x 2 x的解，就是使 y1 x 2的图象
在y2 x的上方的那段对应的横坐标， 如下图，不等式的解集为 { x | x A ≤ x xB } 而 xB 可由 x 2 x，解得， x B 2， x A 2， 故不等式的解集为 { x | 2≤ x 2}。
[例 3] 已知 0 a 1，则方程 a|x| | log a x |的实根个数为 ( )
数形结合的思想方法应用广泛，常见的如在解方程和解不等式问题中，在求函数的值域，最值问题中， 在求三角函数问题中，运用数形结合思想，不仅直观易发现解题途径，而且能避免复杂的计算与推理，大 大简化了解题过程。这在解选择题、填空题中更显其优越，要注意培养这种思想意识，要争取胸中有图， 见数想图，以开拓自己的思维视野。
曲线与方程的对应关系；④以几何元素和几何条件为背景，建立起来的概念，如三角函数
2020版《3年高考2年模拟》(二轮)二、高考数学数形结合思想(可自主编辑PPT)
30°
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= 3× 3=3.
22
栏目索引
应用四
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应用四 数形结合思想在解析几何中的应用
例4 (1)已知圆C:(x-3)2+(y-4)2=1和两点A(-m,0),B(m,0)(m高>考0)导.若航圆C上存在
点P,使得∠APB=90°,则m的最大值为
.
(2)已知抛物线x2=8y,F是其焦点,点A(-2,4),在此抛物线上求一点P,使△APF的
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则有A(0,0),B
1,0 t
,C(0,t),t>0.
由
uuur
AP =
uuur uAuBur
+
uuur 4uAuuCr
可知P(1,4),
|AB| |AC|
那么
uuur PB
=
1 t
-1,-4
,
uuur PC
=(-1,t-4),
故
uuur PB
uuur
·PC
=
1 t
-1,-4
·(-1,t-4)
|AF|≥|AB|+|AF|,当且仅当P,B,A三点共线时,△APF的周长取得最小值,即|AB|+
|AF|.因为A(-2,4),所以不妨设△APF的周长最小时,点P的坐标为(-2,y0),代入x2
=8y,得y0=
1 2
,
故使△APF的周长最小的抛物线上的点P的坐标为
=(x-a)2+2a-a2.
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若a>1,则f(x)在(-∞,1]上是减函数,
∴f(x)≥f(1)=1>0恒成立;
若a≤1,则f(x)≥f(a)=2a-a2,
要使f(x)≥0在(-∞,1]上恒成立,
上海高三数学高考二轮复习教案思想专题之数形结合(1)含答案
沪教版（上海）高中数学度高三数学二轮复习思想专题之数形结合思想①教学目标认识一些常见的数形结合题目的类型，并能熟练掌握用数形结合思想解决有关函数、方程、不等式、数列及解析几何问题【解读：数形结合题型往往更多的出现在选择、填空题中，要求学生掌握一些常见的数形结合的题型，并且掌握用数形结合的方法去解决这些有关函数、方程、不等式、数列及解析几何的问题】知识梳理1、数形结合思想：所谓的数形结合，就是根据数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数含义，又揭示其几何意义，使数量关系和空间形式巧妙、和谐地结合起来，并充分利用这种“结合”，寻找解题思路，使问题得到解决，数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法。
2、数形结合思想常用来解决的一些问题有哪些？答：1．构建函数模型并结合其图象求参数的取值范围；2．构建函数模型并结合其图象研究方程根的范围；3．构建函数模型并结合其图象研究量与量之间的大小关系；4．构建函数模型并结合其几何意义研究函数的最值问题和证明不等式；5．构建立体几何模型研究代数问题；6．构建解析几何中的斜率、截距、距离等模型研究最值问题；7．构建方程模型，求根的个数；8．研究图形的形状、位置关系、性质等。
【解读：在讲解此块内容时，可以让学生自己回忆一些曾经做过的数形结合类的题目，并且询问学生是如何解决的，同时一起回顾在用数形结合思想中所要用到的一些数学公式和定理，巩固学生的数学基础知识；对于这部分内容学生一般是回答不完整的，对于学生没有想到的可以在讲解完本专题之后，再由老师和学生一起把它补充完整】典例精讲例1. （★★） 若关于x 的方程2230x kx k ++=的两根都在1-和3之间，求k 的取值范围。
分析：令2()23f x x kx k =++，其图像与x 轴交点的横坐标就是方程()0f x =的解，由()y f x =的图像可知，要使两根都在1-和3之间，只需(1)0,(3)0,()()02b f f f f k a->>-=-<同时成立，解得10k -<<，故(1,0)k ∈-【一元二次方程根的分布问题是最基本的用数形结合思想来解决的题目类型，在讲解此类问题时一定要讲解的详细，注意总结如何通过函数图像来分析此类问题，并转化成等价的不等式问题】例2. （★★）已知01a <<，则方程log xa a x =的实根个数为（ ） .1A 个 .2B 个 .3C 个 .4D 个分析：判断方程的根的个数就是判断函数图像xy a =与log a y x =的交点个数，画出两个函数的图像，易知两图像只有两个交点，故方程有两个实数根，选B【求根的个数问题也是高考常考的一种题目类型，在讲解这个问题时，一定要帮助学生回顾常见的函数图像的画法，只有把函数图像画对了才能继续往下做】例3. （★★）如果实数,x y 满足22(2)3,x y -+=则y x的最大值为（ ）1.2A 3.3B 3.2C .3D 分析：等式22(2)3,x y -+=有明显的几何意义，它表示坐标平面上的一个圆，圆心为(2,0)，半径为3r =（如图），而00y y x x -=-则表示圆上的点(,)x y 与坐标原点(0,0)的连线的斜率。
2020届二轮复习 数形结合思想 作业
思想方法训练3数形结合思想一、能力突破训练1.若i为虚数单位,图中网格纸的小正方形的边长是1,复平面内点Z表示复数z,则复数z1+i对应的点位于复平面内的()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限答案:D解析:由题图知,z=2+i,则z1+i =2+i1+i=2+i1+i·1-i1-i=32−12i,所以复数z1+i对应的点位于复平面内的第四象限.故选D.2.方程sin(x-π4)=14x的实数解的个数是()A.2B.3C.4D.1 答案:B解析:在同一平面直角坐标系内作出y=sin(x-π4)与y=14x的图象,如图,可知它们有3个不同的交点.3.若x∈{x|log2x=2-x},则()A.x2>x>1B.x2>1>xC.1>x2>xD.x>1>x2答案:A解析:设y1=log2x,y2=2-x,在同一平面直角坐标系中作出两个函数的图象,如图.由图可知,交点的横坐标1<x<2,则有x2>x>1.4.已知函数f(x)={1+lnx,0<x≤1,12x-1,x>1,若关于x的方程f2(x)-(1+a)f(x)+a=0恰有三个不同的实数根,则实数a的取值范围为()A.(-∞,0)B.(0,+∞)C.(1,+∞)D.(0,1)答案:D解析:f2(x)-(1+a)f(x)+a=0可变形为[f(x)-a][f(x)-1]=0,解得f(x)=a或f(x)=1.由题可知函数f(x)的定义域为(0,+∞),当x∈(0,1]时,函数f(x)单调递增;当x∈(1,+∞)时,函数f(x)单调递减,画出函数f(x)的大致图象,如图所示.当且仅当x=1时,f(x)=1.因为关于x的方程f2(x)-(1+a)f(x)+a=0恰有三个不同的实数根,所以f(x)=a恰有两个不同的实数根,即y=f(x),y=a的图象有两个交点.由图可知当0<a<1时,y=f(x),y=a的图象有两个交点,所以实数a的取值范围为(0,1),故选D.5.已知函数f(x)={|lgx|,0<x≤10,-12x+6,x>10.若a,b,c互不相等,且f(a)=f(b)=f(c),则abc的取值范围是()A.(1,10)B.(5,6)C.(10,12)D.(20,24)答案:C解析:作出f(x)的大致图象.由图象知,要使f(a)=f(b)=f(c),不妨设a<b<c,则-lg a=lg b=-12c+6.∴lg a+lg b=0,∴ab=1,∴abc=c.由图可知10<c<12,∴abc∈(10,12).6.已知函数f(x)=4x与g(x)=x3+t.若f(x)与g(x)图象的交点在直线y=x的两侧,则实数t的取值范围是()A.(-6,0]B.(-6,6)C.(4,+∞)D.(-4,4)答案:B解析:如图.因为f(x)=4x 与g(x)=x3+t图象的交点位于y=x两侧,则有{23+t>2,(-2)3+t<-2,解得-6<t<6.7.“a≤0”是“函数f(x)=|(ax-1)x|在区间(0,+∞)内单调递增”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案:C解析:当a=0时,f(x)=|x|,f(x)在区间(0,+∞)内单调递增;当a<0,x>0时,f(x)=(-ax+1)x=-a(x-1a)x,结合二次函数的图象(图略)可知f(x)=|(ax-1)x|在区间(0,+∞)内单调递增;当a>0时,函数f(x)=|(ax-1)x|的图象大致如图.函数f(x)在区间(0,+∞)内有增有减,从而“a≤0”是“函数f(x)=|(ax-1)x|在区间(0,+∞)内单调递增”的充要条件,故选C.8.在平面直角坐标系xOy中,若直线y=2a与函数y=|x-a|-1的图象只有一个交点,则a的值为.答案:-12解析:在同一平面直角坐标系中画出y=2a和y=|x-a|-1的图象如图.由图可知,要使两函数的图象只有一个交点,则2a=-1,a=-12.9.函数f (x )=2sin x sin (x +π2)-x 2的零点个数为 . 答案:2解析:f (x )=2sin x sin (x +π2)-x 2=2sin x cos x-x 2=sin2x-x 2.如图,在同一平面直角坐标系中作出y=sin2x 与y=x 2的图象,当x ≥0时,两图象有两个交点,当x<0时,两图象无交点,综上,两图象有两个交点,即函数的零点个数为2. 10.若不等式√9-x 2≤k (x+2)-√2的解集为区间[a ,b ],且b-a=2,则k= . 答案:√2解析:令y 1=√9-x 2,y 2=k (x+2)-√2,在同一平面直角坐标系中作出其图象,如图.∵√9-x 2≤k (x+2)-√2的解集为[a ,b ],且b-a=2,结合图象知b=3,a=1,即直线与圆的交点坐标为(1,2√2),∴k=2√2+√21+2=√2.11.已知λ∈R ,函数f (x )={x -4,x ≥λ,x 2-4x +3,x <λ.当λ=2时,不等式f (x )<0的解集是 .若函数f (x )恰有2个零点,则λ的取值范围是 . 答案:(1,4) (1,3]∪(4,+∞) 解析:当λ=2时,f (x )={x -4,x ≥2,x 2-4x +3,x <2.当x ≥2时,f (x )=x-4<0,解得x<4,∴2≤x<4. 当x<2时,f (x )=x 2-4x+3<0,解得1<x<3, ∴1<x<2.综上可知,1<x<4,即f (x )≤0的解集为(1,4). 分别画出y 1=x-4和y 2=x 2-4x+3的图象如图.由函数f (x )恰有2个零点,结合图象可知1<λ≤3或λ>4. 故λ的取值范围为(1,3]∪(4,+∞).12.已知函数f (x )=A sin(ωx+φ)A>0,ω>0,0<φ<π2的部分图象如图所示.(1)求f (x )的解析式;(2)设g (x )=[f (x -π12)]2,求函数g (x )在区间[-π6,π3]上的最大值,并确定此时x 的值. 解:(1)由题图知A=2,T4=π3,则2πω=4×π3,得ω=32.∵f (-π6)=2sin [32×(-π6)+φ]=2sin (-π4+φ)=0, ∴sin (φ-π4)=0.∵0<φ<π2,-π4<φ-π4<π4,∴φ-π4=0,即φ=π4, ∴f (x )的解析式为f (x )=2sin (32x +π4). (2)由(1)可得f (x -π12)=2sin [32(x -π12)+π4]=2sin (32x +π8), g (x )=[f (x -π12)]2=4×1-cos(3x+π4)2=2-2cos (3x +π4).∵x ∈[-π6,π3],∴-π4≤3x+π4≤5π4,∴当3x+π4=π,即x=π4时,g(x)max=4.二、思维提升训练13.已知函数f(x)=|ln x|,g(x)={0,0<x≤1,|x2-4|-2,x>1.若关于x的方程f(x)+m=g(x)恰有三个不相等的实数解,则m的取值范围是()A.[0,ln 2]B.(-2-ln 2,0]C.(-2-ln 2,0)D.[0,2+ln 2]答案:B解析:设h(x)=f(x)+m,则h(x)的图象可由f(x)的图象沿着直线x=1上下平移得到.当x=1时,h(1)=f(1)+m=ln1+m=m,所以直线x=1与函数h(x)的图象的交点坐标为(1,m).当x=1时,g(1)=0,当x=2时,g(2)=-2,所以直线x=2与函数g(x)的图象的交点为(2,-2).当x=2时,h(2)=ln2+m,所以直线x=2与函数h(x)的图象的交点为(2,ln2+m),要使方程f(x)+m=g(x)恰有三个不相等的实数解,则等价为h(x)与g(x)的图象有三个不同的交点,则满足{ℎ(1)≤g(1),ℎ(2)>g(2),即{m≤0,m+ln2>-2,得{m≤0,m>-2-ln2,即-2-ln2<m≤0,即实数m的取值范围是(-2-ln2,0],故选B.14.设函数f(x)=e x(2x-1)-ax+a,其中a<1,若存在唯一的整数x0使得f(x0)<0,则a的取值范围是()A.[-32e ,1)B.[-32e,34)C.[32e ,34)D.[32e,1)答案:D解析:设g(x)=e x(2x-1),h(x)=a(x-1),则不等式f(x)<0即为g(x)<h(x).因为g'(x)=e x(2x-1)+2e x=e x(2x+1),当x<-12时,g'(x)<0,函数g(x)单调递减;当x>-12时,g'(x)>0,函数g(x)单调递增.所以g(x)的最小值为g(-12).而函数h (x )=a (x-1)表示经过点P (1,0),斜率为a 的直线. 如图,分别作出函数g (x )=e x (2x-1)与h (x )=a (x-1)的大致图象. 显然,当a ≤0时,满足不等式g (x )<h (x )的整数有无数多个.函数g (x )=e x (2x-1)的图象与y 轴的交点为A (0,-1),与x 轴的交点为D (12,0). 取点C (-1,-3e ).由图可知,不等式g (x )<h (x )只有一个整数解时,须满足k PC ≤a<k PA .而k PC =0-(-3e)1-(-1)=32e ,k PA =0-(-1)1-0=1,所以32e ≤a<1.故选D .15.已知定义在R 上的函数f (x )满足f (x+4)=f (x ),f (x )={-x 2+1,-1≤x ≤1,-|x -2|+1,1<x ≤3.若方程f (x )-ax=0有5个实根,则正数a 的取值范围是( ) A.(14,13) B.(16,14) C.(16,8-2√15)D.(16-6√7,16)答案:C解析:由f (x+4)=f (x ),知函数f (x )是以4为周期的周期函数,作出函数y=f (x )与函数y=ax 的图象,由图象可得方程y=-(x-4)2+1=ax ,即x 2+(a-8)x+15=0在区间(3,5)内有两个实数根,由{Δ=(a -8)2-60>0,32+3(a -8)+15>0,52+5(a -8)+15>0,3<8-a 2<5,解得0<a<8-2√ 由方程f (x )=ax 在区间(5,6)内无解可得,6a>1,a>16. 综上可得,16<a<8-2√15,故选C.16.三名工人加工同一种零件,他们在一天中的工作情况如图所示,其中点A i 的横、纵坐标分别为第i 名工人上午的工作时间和加工的零件数,点B i 的横、纵坐标分别为第i 名工人下午的工作时间和加工的零件数,i=1,2,3.(1)记Q i 为第i 名工人在这一天中加工的零件总数,则Q 1,Q 2,Q 3中最大的是 ;(2)记p i 为第i 名工人在这一天中平均每小时加工的零件数,则p 1,p 2,p 3中最大的是 . 答案:(1)Q 1 (2)p 2解析:(1)连接A 1B 1,A 2B 2,A 3B 3,分别取线段A 1B 1,A 2B 2,A 3B 3的中点C 1,C 2,C 3,显然C i 的纵坐标即为第i 名工人一天平均加工的零件数.由图可知点C 1最高,故Q 1,Q 2,Q 3中最大的是Q 1.(2)设某工人上午、下午加工的零件数分别为y 1,y 2,工作时间分别为x 1,x 2,则该工人这一天中平均每小时加工的零件数为p=y 1+y 2x1+x 2=y 1+y 22x 1+x 22=k OC (C 为点(x 1,y 1)和(x 2,y 2)的中点).由图可得k OC 2>k OC 1>k OC 3,故p 1,p 2,p 3中最大的是p 2.17.设函数f (x )=ax 3-3ax ,g (x )=bx 2-ln x (a ,b ∈R ),已知它们的图象在x=1处的切线互相平行. (1)求b 的值; (2)若函数F (x )={f (x ),x ≤0,g (x ),x >0,且方程F (x )=a 2有且仅有四个解,求实数a 的取值范围.解:函数g (x )=bx 2-ln x 的定义域为(0,+∞).(1)f'(x)=3ax2-3a⇒f'(1)=0.因为g'(x)=2bx-1x,所以g'(1)=2b-1.依题意2b-1=0,得b=12.(2)当x∈(0,1)时,g'(x)=x-1x <0,当x∈(1,+∞)时,g'(x)=x-1x>0.所以当x=1时,g(x)取得极小值g(1)=12.当a=0时,方程F(x)=a2不可能有且仅有四个解.当a<0,x∈(-∞,-1)时,f'(x)<0,当x∈(-1,0)时,f'(x)>0,所以当x=-1时,f(x)取得极小值f(-1)=2a,又f(0)=0,所以F(x)的图象如图①所示.从图象可以看出F(x)=a2不可能有四个解.当a>0,x∈(-∞,-1)时,f'(x)>0,当x∈(-1,0)时,f'(x)<0,所以当x=-1时,f(x)取得极大值f(-1)=2a.又f(0)=0,所以F(x)的图象如图②所示.从图象看出方程F(x)=a2有四个解,则12<a2<2a,所以实数a的取值范围是(√22,2).图①图②。
上海市2020〖人教版〗高三数学复习试卷全国统一高考数学试卷15
上海市2020年〖人教版〗高三数学复习试卷全国统一高考数学试卷创作人：百里安娜创作日期：202X.04.01审核人：北堂王会创作单位：明德智语学校一、选择题：本大题共12小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）=（）A．﹣8B．8C．﹣8iD．8i2．（5分）设集合A={1，2，3}，B={4，5}，M={x|x=a+b，a∈A，b∈B}，则M中元素的个数为（）A．3B．4C．5D．63．（5分）已知向量=（λ+1，1），=（λ+2，2），若（+）⊥（﹣），则λ=（）A．﹣4B．﹣3C．﹣2D．﹣14．（5分）已知函数f（x）的定义域为（﹣1，0），则函数f （2x+1）的定义域为（）A．（﹣1，1）B．C．（﹣1，0）D．5．（5分）函数f（x）=log2（1+）（x＞0）的反函数f﹣1（x）=（）A．B．C．2x﹣1（x∈R）D．2x﹣1（x＞0）6．（5分）已知数列{a n}满足3a n+1+a n=0，a2=﹣，则{a n}的前10项和等于（）A．﹣6（1﹣3﹣10）B．C．3（1﹣3﹣10）D．3（1+3﹣10）7．（5分）（1+x）3（1+y）4的展开式中x2y2的系数是（）A．5B．8C．12D．188．（5分）椭圆C：的左、右顶点分别为A1、A2，点P 在C上且直线PA2斜率的取值范围是[﹣2，﹣1]，那么直线PA1斜率的取值范围是（）A．B．C．D．9．（5分）若函数f（x）=x2+ax+是增函数，则a的取值范围是（）A．[﹣1，0]B．[﹣1，+∞）C．[0，3]D．[3，+∞）10．（5分）已知正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=2AB，则CD与平面BDC1所成角的正弦值等于（）A．B．C．D．11．（5分）已知抛物线C：y2=8x的焦点为F，点M（﹣2，2），过点F且斜率为k的直线与C交于A，B两点，若，则k=（）A．B．C．D．212．（5分）已知函数f（x）=cosxsin2x，下列结论中不正确的是（）A．y=f（x）的图象关于（π，0）中心对称B．C．D．f（x）既是奇函数，又是周期函数二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13．（5分）已知α是第三象限角，sinα=﹣，则cotα=．14．（5分）6个人排成一行，其中甲、乙两人不相邻的不同排法共有种．（用数字作答）15．（5分）记不等式组所表示的平面区域为D．若直线y=a（x+1）与D有公共点，则a的取值范围是．16．（5分）已知圆O和圆K是球O的大圆和小圆，其公共弦长等于球O的半径，，则球O的表面积等于．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）等差数列{a n}的前n项和为S n．已知S3=a22，且S1，S2，S4成等比数列，求{a n}的通项式．18．（12分）设△ABC的内角A，B，C的内角对边分别为a，b，c，满足（a+b+c）（a﹣b+c）=ac．（Ⅰ）求B．（Ⅱ）若sinAsinC=，求C．19．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，∠ABC=∠BAD=90°，BC=2AD，△PAB与△PAD都是等边三角形．（Ⅰ）证明：PB⊥CD；（Ⅱ）求二面角A﹣PD﹣C的大小．20．（12分）甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判，设各局中双方获胜的概率均为，各局比赛的结果都相互独立，第1局甲当裁判．（Ⅰ）求第4局甲当裁判的概率；（Ⅱ）X表示前4局中乙当裁判的次数，求X的数学期望．21．（12分）已知双曲线C：=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为3，直线y=2与C的两个交点间的距离为．（I）求a，b；（II）设过F2的直线l与C的左、右两支分别相交于A、B两点，且|AF1|=|BF1|，证明：|AF2|、|AB|、|BF2|成等比数列．22．（12分）已知函数．（I）若x≥0时，f（x）≤0，求λ的最小值；（II）设数列{a n}的通项a n=1+．参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设集合A={1，2，3}，B={4，5}，M={x|x=a+b，a∈A，b∈B}，则M中元素的个数为（）A．3B．4C．5D．6【考点】13：集合的确定性、互异性、无序性；1A：集合中元素个数的最值．【专题】11：计算题．【分析】利用已知条件，直接求出a+b，利用集合元素互异求出M中元素的个数即可．【解答】解：因为集合A={1，2，3}，B={4，5}，M={x|x=a+b，a ∈A，b∈B}，所以a+b的值可能为：1+4=5、1+5=6、2+4=6、2+5=7、3+4=7、3+5=8，所以M中元素只有：5，6，7，8．共4个．故选：B．【点评】本题考查集合中元素个数的最值，集合中元素的互异性的应用，考查计算能力．2．（5分）=（）A．﹣8B．8C．﹣8iD．8i【考点】A5：复数的运算．【分析】复数分子、分母同乘﹣8，利用1的立方虚根的性质（），化简即可．【解答】解：故选：A．【点评】复数代数形式的运算，是基础题．3．（5分）已知向量=（λ+1，1），=（λ+2，2），若（+）⊥（﹣），则λ=（）A．﹣4B．﹣3C．﹣2D．﹣1【考点】9T：数量积判断两个平面向量的垂直关系．【专题】5A：平面向量及应用．【分析】利用向量的运算法则、向量垂直与数量积的关系即可得出．【解答】解：∵，．∴=（2λ+3，3），．∵，∴=0，∴﹣（2λ+3）﹣3=0，解得λ=﹣3．故选：B．【点评】熟练掌握向量的运算法则、向量垂直与数量积的关系是解题的关键．4．（5分）已知函数f（x）的定义域为（﹣1，0），则函数f （2x+1）的定义域为（）A．（﹣1，1）B．C．（﹣1，0）D．【考点】33：函数的定义域及其求法．【专题】51：函数的性质及应用．【分析】原函数的定义域，即为2x+1的范围，解不等式组即可得解．【解答】解：∵原函数的定义域为（﹣1，0），∴﹣1＜2x+1＜0，解得﹣1＜x＜﹣．∴则函数f（2x+1）的定义域为．故选：B．【点评】考查复合函数的定义域的求法，注意变量范围的转化，属简单题．5．（5分）函数f（x）=log2（1+）（x＞0）的反函数f﹣1（x）=（）A．B．C．2x﹣1（x∈R）D．2x﹣1（x＞0）【考点】4R：反函数．【专题】51：函数的性质及应用．【分析】把y看作常数，求出x：x=，x，y互换，得到y=log2（1+）的反函数．注意反函数的定义域．【解答】解：设y=log2（1+），把y看作常数，求出x：1+=2y，x=，其中y＞0，x，y互换，得到y=log2（1+）的反函数：y=，故选：A．【点评】本题考查对数函数的反函数的求法，解题时要认真审题，注意对数式和指数式的相互转化．6．（5分）已知数列{a n}满足3a n+1+a n=0，a2=﹣，则{a n}的前10项和等于（）A．﹣6（1﹣3﹣10）B．C．3（1﹣3﹣10）D．3（1+3﹣10）【考点】89：等比数列的前n项和．【专题】11：计算题；54：等差数列与等比数列．【分析】由已知可知，数列{a n}是以﹣为公比的等比数列，结合已知可求a1，然后代入等比数列的求和公式可求【解答】解：∵3a n+1+a n=0∴∴数列{a n}是以﹣为公比的等比数列∵∴a1=4由等比数列的求和公式可得，S10==3（1﹣3﹣10）故选：C．【点评】本题主要考查了等比数列的通项公式及求和公式的简单应用，属于基础试题7．（5分）（1+x）3（1+y）4的展开式中x2y2的系数是（）A．5B．8C．12D．18【考点】DA：二项式定理．【专题】11：计算题．【分析】由题意知利用二项展开式的通项公式写出展开式的通项，令x的指数为2，写出出展开式中x2的系数，第二个因式y2的系数，即可得到结果．【解答】解：（x+1）3的展开式的通项为T r+1=C3r x r令r=2得到展开式中x2的系数是C32=3，（1+y）4的展开式的通项为T r+1=C4r y r令r=2得到展开式中y2的系数是C42=6，（1+x）3（1+y）4的展开式中x2y2的系数是：3×6=18，故选：D．【点评】本题考查利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题，本题解题的关键是写出二项式的展开式，所有的这类问题都是利用通项来解决的．8．（5分）椭圆C：的左、右顶点分别为A1、A2，点P 在C上且直线PA2斜率的取值范围是[﹣2，﹣1]，那么直线PA1斜率的取值范围是（）A．B．C．D．【考点】I3：直线的斜率；KH：直线与圆锥曲线的综合．【专题】5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】由椭圆C：可知其左顶点A1（﹣2，0），右顶点A2（2，0）．设P（x0，y0）（x0≠±2），代入椭圆方程可得．利用斜率计算公式可得，再利用已知给出的的范围即可解出．【解答】解：由椭圆C：可知其左顶点A1（﹣2，0），右顶点A2（2，0）．设P（x0，y0）（x0≠±2），则，得．∵=，=，∴==，∵，∴，解得．故选：B．【点评】熟练掌握椭圆的标准方程及其性质、斜率的计算公式、不等式的性质等是解题的关键．9．（5分）若函数f（x）=x2+ax+是增函数，则a的取值范围是（）A．[﹣1，0]B．[﹣1，+∞）C．[0，3]D．[3，+∞）【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．【专题】53：导数的综合应用．【分析】由函数在（，+∞）上是增函数，可得≥0在（，+∞）上恒成立，进而可转化为a≥﹣2x在（，+∞）上恒成立，构造函数求出﹣2x在（，+∞）上的最值，可得a的取值范围．【解答】解：∵在（，+∞）上是增函数，故≥0在（，+∞）上恒成立，即a≥﹣2x在（，+∞）上恒成立，令h（x）=﹣2x，则h′（x）=﹣﹣2，当x∈（，+∞）时，h′（x）＜0，则h（x）为减函数．∴h（x）＜h（）=3∴a≥3．故选：D．【点评】本题考查的知识点是利用导数研究函数的单调性，恒成立问题，是导数的综合应用，难度中档．10．（5分）已知正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=2AB，则CD与平面BDC1所成角的正弦值等于（）A．B．C．D．【考点】MI：直线与平面所成的角．【专题】15：综合题；16：压轴题；5G：空间角；5H：空间向量及应用．【分析】设AB=1，则AA 1=2，分别以的方向为x 轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，设=（x，y，z）为平面BDC1的一个法向量，CD与平面BDC1所成角为θ，则sinθ=||，在空间坐标系下求出向量坐标，代入计算即可．【解答】解：设AB=1，则AA 1=2，分别以的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，如下图所示：则D（0，0，2），C1（1，0，0），B（1，1，2），C（1，0，2），=（1，1，0），=（1，0，﹣2），=（1，0，0），设=（x，y，z）为平面BDC1的一个法向量，则，即，取=（2，﹣2，1），设CD与平面BDC1所成角为θ，则sinθ=||=，故选：A．【点评】本题考查直线与平面所成的角，考查空间向量的运算及应用，准确理解线面角与直线方向向量、平面法向量夹角关系是解决问题的关键．11．（5分）已知抛物线C：y2=8x的焦点为F，点M（﹣2，2），过点F且斜率为k的直线与C交于A，B两点，若，则k=（）A．B．C．D．2【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算；K8：抛物线的性质．【专题】11：计算题；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】斜率k存在，设直线AB为y=k（x﹣2），代入抛物线方程，利用=（x1+2，y1﹣2）•（x2+2，y2﹣2）=0，即可求出k的值．【解答】解：由抛物线C：y2=8x得焦点（2，0），由题意可知：斜率k存在，设直线AB为y=k（x﹣2），代入抛物线方程，得到k2x2﹣（4k2+8）x+4k2=0，△＞0，设A（x1，y1），B（x2，y2）．∴x1+x2=4+，x1x2=4．∴y1+y2=，y1y2=﹣16，又=0，∴=（x1+2，y1﹣2）•（x2+2，y2﹣2）==0∴k=2．故选：D．【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系，考查向量的数量积公式，考查学生的计算能力，属于中档题．12．（5分）已知函数f（x）=cosxsin2x，下列结论中不正确的是（）A．y=f（x）的图象关于（π，0）中心对称B．C．D．f（x）既是奇函数，又是周期函数【考点】H1：三角函数的周期性；HW：三角函数的最值．【专题】11：计算题；57：三角函数的图像与性质．【分析】根据函数图象关于某点中心对称或关于某条直线对称的公式，对A、B两项加以验证，可得它们都正确．根据二倍角的正弦公式和同角三角函数的关系化简，得f（x）=2sinx（1﹣sin2x），再换元：令t=sinx，得到关于t的三次函数，利用导数研究此函数的单调性可得f（x）的最大值为，故C 不正确；根据函数周期性和奇偶性的定义加以验证，可得D项正确．由此可得本题的答案．【解答】解：对于A，因为f（π+x）=cos（π+x）sin （2π+2x）=﹣cosxsin2x，f（π﹣x）=cos（π﹣x）sin（2π﹣2x）=cosxsin2x，所以f （π+x）+f（π﹣x）=0，可得y=f（x）的图象关于（π，0）中心对称，故A正确；对于B，因为f（+x）=cos（+x）sin（π+2x）=﹣sinx（﹣sin2x）=sinxsin2x，f（﹣x）=cos（﹣x）sin（π﹣2x）=sinxsin2x，所以f （+x）=f（﹣x），可得y=f（x）的图象关于直线x=对称，故B正确；对于C，化简得f（x）=cosxsin2x=2cos2xsinx=2sinx（1﹣sin2x），令t=sinx，f（x）=g（t）=2t（1﹣t2），﹣1≤t≤1，∵g（t）=2t（1﹣t2）的导数g'（t）=2﹣6t2=2（1+t）（1﹣t）∴当t∈（﹣1，﹣）时或t∈（，1）时g'（t）＜0，函数g（t）为减函数；当t∈（﹣，）时g'（t）＞0，函数g（t）为增函数．因此函数g（t）的最大值为t=﹣1时或t=时的函数值，结合g（﹣1）=0＜g（）=，可得g（t）的最大值为．由此可得f（x）的最大值为而不是，故C不正确；对于D，因为f（﹣x）=cos（﹣x）sin（﹣2x）=﹣cosxsin2x=﹣f（x），所以f（x）是奇函数．因为f（2π+x）=cos（2π+x）sin（4π+2x）=cosxsin2x=f （x），所以2π为函数的一个周期，得f（x）为周期函数．可得f （x）既是奇函数，又是周期函数，得D正确．综上所述，只有C项不正确．故选：C．【点评】本题给出三角函数式，研究函数的奇偶性、单调性和周期性．着重考查了三角恒等变换公式、利用导数研究函数的单调性和函数图象的对称性等知识，属于中档题．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13．（5分）已知α是第三象限角，sinα=﹣，则cotα= 2．【考点】GG：同角三角函数间的基本关系．【专题】56：三角函数的求值．【分析】根据α是第三象限的角，得到cosα小于0，然后由sinα的值，利用同角三角函数间的基本关系求出cosα的值，进而求出cotα的值．【解答】解：由α是第三象限的角，得到cosα＜0，又sinα=﹣，所以cosα=﹣=﹣则cotα==2故答案为：2【点评】此题考查学生灵活运用同角三角函数间的基本关系化简求值，是一道基础题．学生做题时注意α的范围．14．（5分）6个人排成一行，其中甲、乙两人不相邻的不同排法共有 480 种．（用数字作答）【考点】D9：排列、组合及简单计数问题．【专题】11：计算题．【分析】排列好甲、乙两人外的4人，然后把甲、乙两人插入4个人的5个空位中即可．【解答】解：6个人排成一行，其中甲、乙两人不相邻的不同排法：排列好甲、乙两人外的4人，有中方法，然后把甲、乙两人插入4个人的5个空位，有种方法，所以共有：=480．故答案为：480．【点评】本题考查了乘法原理，以及排列的简单应用，插空法解答不相邻问题．15．（5分）记不等式组所表示的平面区域为D．若直线y=a（x+1）与D有公共点，则a的取值范围是[，4]．【考点】7C：简单线性规划．【专题】16：压轴题；59：不等式的解法及应用．【分析】本题考查的知识点是简单线性规划的应用，我们要先画出满足约束条件的平面区域，然后分析平面区域里各个角点，然后将其代入y=a（x+1）中，求出y=a（x+1）对应的a的端点值即可．【解答】解：满足约束条件的平面区域如图示：因为y=a（x+1）过定点（﹣1，0）．所以当y=a（x+1）过点B（0，4）时，得到a=4，当y=a（x+1）过点A（1，1）时，对应a=．又因为直线y=a（x+1）与平面区域D有公共点．所以≤a≤4．故答案为：[，4]【点评】在解决线性规划的小题时，我们常用“角点法”，其步骤为：①由约束条件画出可行域⇒②求出可行域各个角点的坐标⇒③将坐标逐一代入目标函数⇒④验证，求出最优解．16．（5分）已知圆O和圆K是球O的大圆和小圆，其公共弦长等于球O的半径，，则球O的表面积等于 16π．【考点】LG：球的体积和表面积．【专题】16：压轴题；5F：空间位置关系与距离．【分析】正确作出图形，利用勾股定理，建立方程，即可求得结论．【解答】解：如图所示，设球O的半径为r，AB是公共弦，∠OCK是面面角根据题意得OC=，CK=在△OCK中，OC2=OK2+CK2，即∴r2=4∴球O的表面积等于4πr2=16π故答案为16π【点评】本题考查球的表面积，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）等差数列{a n}的前n项和为S n．已知S3=a22，且S1，S2，S4成等比数列，求{a n}的通项式．【考点】85：等差数列的前n项和；88：等比数列的通项公式．【专题】11：计算题；54：等差数列与等比数列．【分析】由，结合等差数列的求和公式可求a 2，然后由，结合等差数列的求和公式进而可求公差d，即可求解通项公式【解答】解：设数列的公差为d由得，3∴a2=0或a2=3由题意可得，∴若a2=0，则可得d2=﹣2d2即d=0不符合题意若a2=3，则可得（6﹣d）2=（3﹣d）（12+2d）解可得d=0或d=2∴a n=3或a n=2n﹣1【点评】本题主要考查了等差数列的通项公式及求和公式的应用，等比数列的性质的简单应用，属于基础试题18．（12分）设△ABC的内角A，B，C的内角对边分别为a，b，c，满足（a+b+c）（a﹣b+c）=ac．（Ⅰ）求B．（Ⅱ）若sinAsinC=，求C．【考点】GP：两角和与差的三角函数；HR：余弦定理．【专题】58：解三角形．【分析】（I）已知等式左边利用多项式乘多项式法则计算，整理后得到关系式，利用余弦定理表示出cosB，将关系式代入求出cosB的值，由B为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出B的度数；（II）由（I）得到A+C的度数，利用两角和与差的余弦函数公式化简cos（A﹣C），变形后将cos（A+C）及2sinAsinC的值代入求出cos（A﹣C）的值，利用特殊角的三角函数值求出A ﹣C的值，与A+C的值联立即可求出C的度数．【解答】解：（I）∵（a+b+c）（a﹣b+c）=（a+c）2﹣b2=ac，∴a2+c2﹣b2=﹣ac，∴cosB==﹣，又B为三角形的内角，则B=120°；（II）由（I）得：A+C=60°，∵sinAsinC=，cos（A+C）=，∴cos（A﹣C）=cosAcosC+sinAsinC=cosAcosC﹣sinAsinC+2sinAsinC=cos（A+C）+2sinAsinC=+2×=，∴A﹣C=30°或A﹣C=﹣30°，则C=15°或C=45°．【点评】此题考查了余弦定理，两角和与差的余弦函数公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．19．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，∠ABC=∠BAD=90°，BC=2AD，△PAB与△PAD都是等边三角形．（Ⅰ）证明：PB⊥CD；（Ⅱ）求二面角A﹣PD﹣C的大小．【考点】LW：直线与平面垂直；M5：共线向量与共面向量．【专题】11：计算题；5G：空间角．【分析】（I）取BC的中点E，连接DE，过点P作PO⊥平面ABCD于O，连接OA、OB、OD、OE．可证出四边形ABED是正方形，且O为正方形ABED的中心．因此OE⊥OB，结合三垂线定理，证出OE⊥PB，而OE是△BCD的中位线，可得OE∥CD，因此PB⊥CD；（II）由（I）的结论，证出CD⊥平面PBD，从而得到CD⊥PD．取PD的中点F，PC的中点G，连接FG，可得FG∥CD，所以FG⊥PD．连接AF，可得AF⊥PD，因此∠AFG为二面角A﹣PD﹣C的平面角，连接AG、EG，则EG∥PB，可得EG⊥OE．设AB=2，可求出AE、EG、AG、AF和FG的长，最后在△AFG中利用余弦定理，算出∠AFG=π﹣arccos，即得二面角A﹣PD﹣C的平面角大小．【解答】解：（I）取BC的中点E，连接DE，可得四边形ABED 是正方形过点P作PO⊥平面ABCD，垂足为O，连接OA、OB、OD、OE∵△PAB与△PAD都是等边三角形，∴PA=PB=PD，可得OA=OB=OD 因此，O是正方形ABED的对角线的交点，可得OE⊥OB∵PO⊥平面ABCD，得直线OB是直线PB在内的射影，∴OE⊥PB∵△BCD中，E、O分别为BC、BD的中点，∴OE∥CD，可得PB⊥CD；（II）由（I）知CD⊥PO，CD⊥PB∵PO、PB是平面PBD内的相交直线，∴CD⊥平面PBD∵PD⊂平面PBD，∴CD⊥PD取PD的中点F，PC的中点G，连接FG，则FG为△PCD有中位线，∴FG∥CD，可得FG⊥PD连接AF，由△PAD是等边三角形可得AF⊥PD，∴∠AFG为二面角A﹣PD﹣C的平面角连接AG、EG，则EG∥PB∵PB⊥OE，∴EG⊥OE，设AB=2，则AE=2，EG=PB=1，故AG==3在△AFG中，FG=CD=，AF=，AG=3∴cos∠AFG==﹣，得∠AFG=π﹣arccos，即二面角A﹣PD﹣C的平面角大小是π﹣arccos．【点评】本题给出特殊的四棱锥，求证直线与直线垂直并求二面角平面角的大小，着重考查了线面垂直的判定与性质、三垂线定理和运用余弦定理求二面的大小等知识，属于中档题．20．（12分）甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判，设各局中双方获胜的概率均为，各局比赛的结果都相互独立，第1局甲当裁判．（Ⅰ）求第4局甲当裁判的概率；（Ⅱ）X表示前4局中乙当裁判的次数，求X的数学期望．【考点】CB：古典概型及其概率计算公式；CH：离散型随机变量的期望与方差．【专题】5I：概率与统计．【分析】（I）令A1表示第2局结果为甲获胜，A2表示第3局甲参加比赛时，结果为甲负，A表示第4局甲当裁判，分析其可能情况，每局比赛的结果相互独立且互斥，利用独立事件、互斥事件的概率求解即可．（II）X的所有可能值为0，1，2．分别求出X取每一个值的概率，列出分布列后求出期望值即可．【解答】解：（I）令A1表示第2局结果为甲获胜．A2表示第3局甲参加比赛时，结果为甲负．A表示第4局甲当裁判．则A=A1•A2，P（A）=P（A1•A2）=P（A1）P（A2）=；（Ⅱ）X的所有可能值为0，1，2．令A3表示第3局乙和丙比赛时，结果为乙胜．B1表示第1局结果为乙获胜，B2表示第2局乙和甲比赛时，结果为乙胜，B3表示第3局乙参加比赛时，结果为乙负，则P（X=0）=P（B 1B2）=P（B1）P（B2）P（）=．P（X=2）=P（B 3）=P（）P（B3）=．P（X=1）=1﹣P（X=0）﹣P（X=2）=．从而EX=0×+1×+2×=．【点评】本题考查互斥、独立事件的概率，离散型随机变量的分布列和期望等知识，同时考查利用概率知识解决问题的能力．21．（12分）已知双曲线C：=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为3，直线y=2与C的两个交点间的距离为．（I）求a，b；（II）设过F2的直线l与C的左、右两支分别相交于A、B两点，且|AF1|=|BF1|，证明：|AF2|、|AB|、|BF2|成等比数列．【考点】K4：椭圆的性质；KH：直线与圆锥曲线的综合．【专题】14：证明题；15：综合题；16：压轴题；35：转化思想；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（I）由题设，可由离心率为3得到参数a，b的关系，将双曲线的方程用参数a表示出来，再由直线建立方程求出参数a即可得到双曲线的方程；（II）由（I）的方程求出两焦点坐标，设出直线l的方程设A （x1，y1），B（x2，y2），将其与双曲线C的方程联立，得出x1+x2=，，再利用|AF1|=|BF1|建立关于A，B坐标的方程，得出两点横坐标的关系，由此方程求出k 的值，得出直线的方程，从而可求得：|AF2|、|AB|、|BF2|，再利用等比数列的性质进行判断即可证明出结论．【解答】解：（I）由题设知=3，即=9，故b2=8a2所以C的方程为8x2﹣y2=8a2将y=2代入上式，并求得x=±，由题设知，2=，解得a2=1所以a=1，b=2（II）由（I）知，F1（﹣3，0），F2（3，0），C的方程为8x2﹣y2=8 ①由题意，可设l的方程为y=k（x﹣3），|k|＜2代入①并化简得（k2﹣8）x2﹣6k2x+9k2+8=0设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1≤﹣1，x2≥1，x1+x2=，，于是|AF1|==﹣（3x1+1），|BF1|==3x2+1，|AF1|=|BF1|得﹣（3x1+1）=3x2+1，即故=，解得，从而=﹣由于|AF2|==1﹣3x1，|BF2|==3x2﹣1，故|AB|=|AF2|﹣|BF2|=2﹣3（x1+x2）=4，|AF2||BF2|=3（x1+x2）﹣9x1x2﹣1=16因而|AF2||BF2|=|AB|2，所以|AF2|、|AB|、|BF2|成等比数列【点评】本题考查直线与圆锥曲线的综合关系，考查了运算能力，题设条件的转化能力，方程的思想运用，此类题综合性强，但解答过程有其固有规律，一般需要把直线与曲线联立利用根系关系，解答中要注意提炼此类题解答过程中的共性，给以后解答此类题提供借鉴．22．（12分）已知函数．（I）若x≥0时，f（x）≤0，求λ的最小值；（II）设数列{a n}的通项a n=1+．【考点】6E：利用导数研究函数的最值；8E：数列的求和；8K：数列与不等式的综合．【专题】16：压轴题；35：转化思想；53：导数的综合应用；54：等差数列与等比数列．【分析】（I）由于已知函数的最大值是0，故可先求出函数的导数，研究其单调性，确定出函数的最大值，利用最大值小于等于0求出参数λ的取值范围，即可求得其最小值；（II）根据（I）的证明，可取λ=，由于x＞0时，f（x）＜0得出，考察发现，若取x=，则可得出，以此为依据，利用放缩法，即可得到结论【解答】解：（I）由已知，f（0）=0，f′（x）==，∴f′（0）=0欲使x≥0时，f（x）≤0恒成立，则f（x）在（0，+∞）上必为减函数，即在（0，+∞）上f′（x）＜0恒成立，当λ≤0时，f′（x）＞0在（0，+∞）上恒成立，为增函数，故不合题意，若0＜λ＜时，由f′（x）＞0解得x＜，则当0＜x＜，f′（x）＞0，所以当0＜x＜时，f（x）＞0，此时不合题意，若λ≥，则当x＞0时，f′（x）＜0恒成立，此时f（x）在（0，+∞）上必为减函数，所以当x＞0时，f（x）＜0恒成立，综上，符合题意的λ的取值范围是λ≥，即λ的最小值为（ II）令λ=，由（I）知，当x＞0时，f（x）＜0，即取x=，则于是a2n﹣a n+=++…++====＞=ln2n﹣lnn=ln2所以【点评】本题考查了数列中证明不等式的方法及导数求最值的普通方法，解题的关键是充分利用已有的结论再结合放缩法，本题考查了推理判断的能力及转化化归的思想，有一定的难度创作人：百里安娜创作日期：202X.04.01审核人：北堂王会创作单位：明德智语学校。
上海市2020〖人教版〗高三数学复习试卷高考数学试卷理科高考模拟卷15
上海市2020年〖人教版〗高三数学复习试卷高考数学试卷理科高考模拟卷创作人：百里安娜创作日期：202X.04.01审核人：北堂王会创作单位：明德智语学校一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.（5分）复数z=i•（1+i）（i为虚数单位）在复平面上对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.（5分）某学校有男、女学生各500名，为了解男、女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在显著差异，拟从全体学生中抽取100名学生进行调查，则宜采用的抽样方法是（）A.抽签法B.随机数法C.系统抽样法D.分层抽样法3.（5分）在锐角△ABC中，角A，B所对的边长分别为a，b.若2asinB=b，则角A等于（）A. B. C. D.4.（5分）若变量x，y满足约束条件，则x+2y的最大值是（）A. B.0 C. D.5.（5分）函数f（x）=2lnx的图象与函数g（x）=x2﹣4x+5的图象的交点个数为（）A.3B.2C.1D.06.（5分）已知，是单位向量，，若向量满足，则的取值范围为（）A. B. C. D.7.（5分）已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形，则该正方体的正视图的面积不可能是（）A.1B.C.D.8.（5分）在等腰直角三角形ABC中，AB=AC=4，点P是边AB边上异于AB的一点，光线从点P出发，经BC，CA反射后又回到点P（如图），若光线QR经过△ABC的重心，则AP等于（）A.2B.1C.D.二、填空题：本大题共8小题，考生作答7小题，第小题5分，共35分.（一）选做题（请考生在第9，10，11三题中任选两题作答、如果全做，则按前两题记分）（二）必做题（12～16题）9.在平面直角坐标系xOy中，若直线l：，（t为参数）过椭圆C：（θ为参数）的右顶点，则常数a的值为. 10.（5分）已知a，b，c∈R，a+2b+3c=6，则a2+4b2+9c2的最小值为.11.（5分）如图，在半径为的⊙O中，弦AB，CD相交于点P，PA=PB=2，PD=1，则圆心O到弦CD的距离为.12.（5分）若x2dx=9，则常数T的值为.13.（5分）执行如图所示的程序框图，如果输入a=1，b=2，则输出的a的值为.14.（5分）设F1，F2是双曲线C：（a＞0，b＞0）的两个焦点，P是C上一点，若|PF1|+|PF2|=6a，且△PF1F2的最小内角为30°，则C的离心率为.15.（5分）设S n为数列{a n}的前n项和，S n=（﹣1）n a n﹣，n∈N*，则（1）a3=；（2）S1+S2+…+S100=.16.（5分）设函数f（x）=a x+b x﹣c x，其中c＞a＞0，c＞b＞0.（1）记集合M={（a，b，c）|a，b，c不能构成一个三角形的三条边长，且a=b}，则（a，b，c）∈M所对应的f（x）的零点的取值集合为.（2）若a，b，c是△ABC的三条边长，则下列结论正确的是.（写出所有正确结论的序号）①∀x∈（﹣∞，1），f（x）＞0；②∃x∈R，使a x，b x，c x不能构成一个三角形的三条边长；③若△ABC为钝角三角形，则∃x∈（1，2），使f（x）=0.三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（12分）已知函数f（x）=sin（x﹣）+cos（x﹣），g （x）=2sin2.（Ⅰ）若α是第一象限角，且f（α）=，求g（α）的值；（Ⅱ）求使f（x）≥g（x）成立的x的取值集合.18.（12分）某人在如图所示的直角边长为4米的三角形地块的每个格点（指纵、横直线的交叉点以及三角形顶点）处都种了一株相同品种的作物.根据历年的种植经验，一株该种作物的年收获Y（单位：kg）与它的“相近”作物株数X之间的关系如下表所示：X1234Y51484542这里，两株作物“相近”是指它们之间的直线距离不超过1米.（I）从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物，求它们恰好“相近”的概率；（II）在所种作物中随机选取一株，求它的年收获量的分布列与数学期望.19.（12分）如图，在直棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AD∥BC，∠BAD=90°，AC⊥BD，BC=1，AD=AA1=3.（Ⅰ）证明：AC⊥B1D；（Ⅱ）求直线B1C1与平面ACD1所成的角的正弦值.20.（13分）在平面直角坐标系xOy中，将从点M出发沿纵、横方向到达点N的任一路径称为M到N的一条“L路径”.如图所示的路径MM1M2M3N与路径MN1N都是M到N的“L路径”.某地有三个新建居民区，分别位于平面xOy内三点A（3，20），B（﹣10，0），C（14，0）处.现计划在x轴上方区域（包含x轴）内的某一点P处修建一个文化中心.（I）写出点P到居民区A的“L路径”长度最小值的表达式（不要求证明）；（II）若以原点O为圆心，半径为1的圆的内部是保护区，“L 路径”不能进入保护区，请确定点P的位置，使其到三个居民区的“L路径”长度之和最小.21.（13分）过抛物线E：x2=2py（p＞0）的焦点F作斜率率分别为k1，k2的两条不同直线l1，l2，且k1+k2=2.l1与E交于点A，B，l2与E交于C，D，以AB，CD为直径的圆M，圆N（M，N为圆心）的公共弦所在直线记为l.（Ⅰ）若k1＞0，k2＞0，证明：；（Ⅱ）若点M到直线l的距离的最小值为，求抛物线E的方程.22.（13分）已知a＞0，函数.（Ⅰ）记f（x）在区间[0，4]上的最大值为g（a），求g（a）的表达式；（Ⅱ）是否存在a使函数y=f（x）在区间（0，4）内的图象上存在两点，在该两点处的切线互相垂直？若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由.参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.（5分）复数z=i•（1+i）（i为虚数单位）在复平面上对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【分析】化简复数z，根据复数与复平面内点的对应关系可得答案.【解答】解：z=i•（1+i）=﹣1+i，故复数z对应的点为（﹣1，1），在复平面的第二象限，故选：B.【点评】本题考查复数的代数表示法及其几何意义，属基础题. 2.（5分）某学校有男、女学生各500名，为了解男、女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在显著差异，拟从全体学生中抽取100名学生进行调查，则宜采用的抽样方法是（）A.抽签法B.随机数法C.系统抽样法D.分层抽样法【分析】若总体由差异明显的几部分组成时，经常采用分层抽样的方法进行抽样.【解答】解：总体由男生和女生组成，比例为500：500=1：1，所抽取的比例也是1：1.故拟从全体学生中抽取100名学生进行调查，则宜采用的抽样方法是分层抽样法.故选：D.【点评】本小题主要考查抽样方法，属基本题.3.（5分）在锐角△ABC中，角A，B所对的边长分别为a，b.若2asinB=b，则角A等于（）A. B. C. D.【分析】利用正弦定理可求得sinA，结合题意可求得角A.【解答】解：∵在△ABC中，2asinB=b，∴由正弦定理==2R得：2sinAsinB=sinB，∴sinA=，又△ABC为锐角三角形，∴A=.故选：A.【点评】本题考查正弦定理，将“边”化所对“角”的正弦是关键，属于基础题.4.（5分）若变量x，y满足约束条件，则x+2y的最大值是（）A. B.0 C. D.【分析】作出题中不等式组表示的平面区域，得如图的△ABC及其内部，再将目标函数z=x+2y对应的直线进行平移，可得当x=，y=时，x+2y取得最大值为.【解答】解：作出不等式组表示的平面区域，得到如图的△ABC及其内部，其中A（﹣，﹣1），B（，），C（2，﹣1）设z=F（x，y）=x+2y，将直线l：z=x+2y进行平移，当l经过点B时，目标函数z达到最大值∴z最大值=F（，）=故选：C.【点评】本题给出二元一次不等式组，求目标函数z的最大值，着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识，属于基础题.5.（5分）函数f（x）=2lnx的图象与函数g（x）=x2﹣4x+5的图象的交点个数为（）A.3B.2C.1D.0【分析】本题考查的知识点是指数函数的图象，要求函数f（x）=2lnx的图象与函数g（x）=x2﹣4x+5的图象的交点个数，我们画出函数的图象后，利用数形结合思想，易得到答案.【解答】解：在同一坐标系下，画出函数f（x）=2lnx的图象与函数g（x）=x2﹣4x+5的图象如图：由图可知，两个函数图象共有2个交点故选：B.【点评】求两个函数图象的交点个数，我们可以使用数形结合的思想，在同一坐标系中，做出两个函数的图象，分析图象后，即可等到答案.6.（5分）已知，是单位向量，，若向量满足，则的取值范围为（）A. B. C. D.【分析】令，，，作出图象，根据图象可求出的最大值、最小值.【解答】解：令，，，如图所示：则，又，所以点C在以点D为圆心、半径为1的圆上，易知点C与O、D共线时达到最值，最大值为+1，最小值为﹣1，所以的取值范围为[﹣1，+1].故选：A.【点评】本题考查平面向量的数量积运算，根据题意作出图象，数形结合是解决本题的有力工具.7.（5分）已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形，则该正方体的正视图的面积不可能是（）A.1B.C.D.【分析】求出满足条件的该正方体的正视图的面积的范围为即可得出.【解答】解：水平放置的正方体，当正视图为正方形时，其面积最小为1；当正视图为对角面时，其面积最大为.因此满足棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形，则该正方体的正视图的面积的范围为.因此可知：A，B，D皆有可能，而＜1，故C不可能.故选：C.【点评】正确求出满足条件的该正方体的正视图的面积的范围为是解题的关键.8.（5分）在等腰直角三角形ABC中，AB=AC=4，点P是边AB边上异于AB的一点，光线从点P出发，经BC，CA反射后又回到点P（如图），若光线QR经过△ABC的重心，则AP等于（）A.2 B.1 C. D.【分析】建立坐标系，设点P的坐标，可得P关于直线BC的对称点P1的坐标，和P关于y轴的对称点P2的坐标，由P1，Q，R，P2四点共线可得直线的方程，由于过△ABC的重心，代入可得关于a 的方程，解之可得P的坐标，进而可得AP的值.【解答】解：建立如图所示的坐标系：可得B（4，0），C（0，4），故直线BC的方程为x+y=4，△ABC的重心为（，），设P（a，0），其中0＜a＜4，则点P关于直线BC的对称点P1（x，y），满足，解得，即P1（4，4﹣a），易得P关于y轴的对称点P2（﹣a，0），由光的反射原理可知P1，Q，R，P2四点共线，直线QR的斜率为k==，故直线QR的方程为y=（x+a），由于直线QR过△ABC的重心（，），代入化简可得3a2﹣4a=0，解得a=，或a=0（舍去），故P（，0），故AP=故选：D.【点评】本题考查直线与点的对称问题，涉及直线方程的求解以及光的反射原理的应用，属中档题.二、填空题：本大题共8小题，考生作答7小题，第小题5分，共35分.（一）选做题（请考生在第9，10，11三题中任选两题作答、如果全做，则按前两题记分）（二）必做题（12～16题）9.在平面直角坐标系xOy中，若直线l：，（t为参数）过椭圆C：（θ为参数）的右顶点，则常数a的值为 3 .【分析】直接划参数方程为普通方程得到直线和椭圆的普通方程，求出椭圆的右顶点，代入直线方程即可求得a的值.【解答】解：由直线l：，得y=x﹣a，再由椭圆C：，得，①2+②2得，.所以椭圆C：的右顶点为（3，0）.因为直线l过椭圆的右顶点，所以0=3﹣a，所以a=3.故答案为3.【点评】本题考查了参数方程和普通方程的互化，考查了直线和圆锥曲线的关系，是基础题.10.（5分）已知a，b，c∈R，a+2b+3c=6，则a2+4b2+9c2的最小值为12 .【分析】根据柯西不等式，得（a+2b+3c）2=（1×a+1×2b+1×3c）2≤（12+12+12）（a2+4b2+9c2）=3（a2+4b2+9c2），化简得a2+4b2+9c2≥12，由此可得当且仅当a=2，b=1，c=时，a2+4b2+9c2的最小值为12.【解答】解：∵a+2b+3c=6，∴根据柯西不等式，得（a+2b+3c）2=（1×a+1×2b+1×3c）2≤（12+12+12）[a2+（2b）2+（3c）2]化简得62≤3（a2+4b2+9c2），即36≤3（a2+4b2+9c2）∴a2+4b2+9c2≥12，当且仅当a：2b：3c=1：1：1时，即a=2，b=1，c=时等号成立由此可得：当且仅当a=2，b=1，c=时，a2+4b2+9c2的最小值为12故答案为：12【点评】本题给出等式a+2b+3c=6，求式子a2+4b2+9c2的最小值.着重考查了运用柯西不等式求最值与柯西不等式的等号成立的条件等知识，属于中档题.11.（5分）如图，在半径为的⊙O中，弦AB，CD相交于点P，PA=PB=2，PD=1，则圆心O到弦CD的距离为.【分析】首先利用相交弦定理求出CD的长，再利用勾股定理求出圆心O到弦CD的距离，注意计算的正确率.【解答】解：由相交弦定理得，AP×PB=CP×PD，∴2×2=CP•1，解得：CP=4，又PD=1，∴CD=5，又⊙O的半径为，则圆心O到弦CD的距离为d===.故答案为：.【点评】此题主要考查了相交弦定理，垂径定理，勾股定理等知识，题目有一定综合性，是中、高考题的热点问题.12.（5分）若x2dx=9，则常数T的值为 3 .【分析】利用微积分基本定理即可求得.【解答】解：==9，解得T=3，故答案为：3.【点评】本题考查定积分、微积分基本定理，属基础题.13.（5分）执行如图所示的程序框图，如果输入a=1，b=2，则输出的a的值为32 .【分析】模拟执行程序，依次写出每次循环得到的a的值，当a=32时，满足条件a＞31，退出循环，输出a的值为32.【解答】解：模拟执行程序，可得a=1，b=2不满足条件a＞31，a=2不满足条件a＞31，a=4不满足条件a＞31，a=8不满足条件a＞31，a=16不满足条件a＞31，a=32满足条件a＞31，退出循环，输出a的值为32.故答案为：32.【点评】本题主要考查了程序框图和算法，正确写出每次循环得到的a的值是解题的关键，属于基本知识的考查.14.（5分）设F1，F2是双曲线C：（a＞0，b＞0）的两个焦点，P是C上一点，若|PF1|+|PF2|=6a，且△PF1F2的最小内角为30°，则C的离心率为.【分析】利用双曲线的定义求出|PF1|，|F1F2|，|PF2|，然后利用最小内角为30°结合余弦定理，求出双曲线的离心率.【解答】解：因为F1、F2是双曲线的两个焦点，P是双曲线上一点，且满足|PF1|+|PF2|=6a，不妨设P是双曲线右支上的一点，由双曲线的定义可知|PF1|﹣|PF2|=2a所以|F1F2|=2c，|PF1|=4a，|PF2|=2a，∵△PF1F2的最小内角∠PF1F2=30°，由余弦定理，∴|PF2|2=|F1F2|2+|PF1|2﹣2|F1F2||PF1|cos∠PF1F2，即4a2=4c2+16a2﹣2×2c×4a×，∴c2﹣2ca+3a2=0，∴c=a所以e==.故答案为：.【点评】本题考查双曲线的定义，双曲线的离心率的求法，考查计算能力.15.（5分）设S n为数列{a n}的前n项和，S n=（﹣1）n a n﹣，n∈N*，则（1）a3= ﹣；（2）S1+S2+…+S100=.【分析】（1）把给出的数列递推式先分n=1和n≥2讨论，由此求出首项和n≥2时的关系式.对此关系式再分n为偶数和奇数分别得到当n为偶数和奇数时的通项公式，则a3可求；（2）把（1）中求出的数列的通项公式代入，n∈N*，则利用数列的分组求和和等比数列的前n项和公式可求得结果.【解答】解：由，n∈N*，当n=1时，有，得.当n≥2时，.即.若n为偶数，则.所以（n为正奇数）；若n为奇数，则=.所以（n为正偶数）.所以（1）.故答案为﹣；（2）因为（n为正奇数），所以﹣，又（n为正偶数），所以.则.，.则.….所以，S1+S2+S3+S4+…+S99+S100====.故答案为.【点评】本题考查了数列的求和，考查了数列的函数特性，解答此题的关键在于当n为偶数时能求出奇数项的通项，当n为奇数时求出偶数项的通项，此题为中高档题.16.（5分）设函数f（x）=a x+b x﹣c x，其中c＞a＞0，c＞b＞0.（1）记集合M={（a，b，c）|a，b，c不能构成一个三角形的三条边长，且a=b}，则（a，b，c）∈M所对应的f（x）的零点的取值集合为{x|0＜x≤1}.（2）若a，b，c是△ABC的三条边长，则下列结论正确的是①②③.（写出所有正确结论的序号）①∀x∈（﹣∞，1），f（x）＞0；②∃x∈R，使a x，b x，c x不能构成一个三角形的三条边长；③若△ABC为钝角三角形，则∃x∈（1，2），使f（x）=0.【分析】（1）由集合M中的元素满足的条件，得到c≥a+b=2a，求得的范围，解出函数f（x）=a x+b x﹣c x的零点，利用不等式可得零点x的取值集合；（2）对于①，把函数式f（x）=a x+b x﹣c x变形为，利用指数函数的单调性即可证得结论成立；对于②，利用取特值法说明命题是正确的；对于③，由△ABC为钝角三角形说明f（2）＜0，又f（1）＞0，由零点的存在性定理可得命题③正确.【解答】解：（1）因为c＞a，由a，b，c不能构成一个三角形的三条边长得c≥a+b=2a，所以，则.令f（x）=a x+b x﹣c x=.得，所以.又∵＞1，则ln＞0，所以x=＞0，所以0＜x≤1.故答案为{x|0＜x≤1}；（2）①因为，又，所以对∀x∈（﹣∞，1），.所以命题①正确；②令x=﹣1，a=2，b=4，c=5.则a x=，b x=，c x=.不能构成一个三角形的三条边长.所以命题②正确；③若三角形为钝角三角形，则a2+b2﹣c2＜0.f（1）=a+b﹣c＞0，f（2）=a2+b2﹣c2＜0.所以∃x∈（1，2），使f（x）=0.所以命题③正确.故答案为①②③.【点评】本题考查了命题真假的判断与应用，考查了函数零点的判断方法，训练了特值化思想方法，解答此题的关键是对题意的正确理解，此题是中档题.三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（12分）已知函数f（x）=sin（x﹣）+cos（x﹣），g（x）=2sin2.（Ⅰ）若α是第一象限角，且f（α）=，求g（α）的值；（Ⅱ）求使f（x）≥g（x）成立的x的取值集合.【分析】（1）利用两角和差的三角公式化简函数f（x）的解析式，可得f（α）的解析式，再根据f（α）=，求得cosα的值，从而求得g（α）=2sin2=1﹣cosα的值.（2）由不等式可得 sin（x+）≥，解不等式 2kπ+≤x+≤2kπ+，k∈z，求得x的取值集合.【解答】解：（1）∵f（x）=sinx﹣cosx+cosx+sinx=sinx，所以f（α）=sinα=，所以sinα=.又α∈（0，），所以cosα=，所以g（α）=2sin2=1﹣cosα=.（2）由f（x）≥g（x）得sinx≥1﹣cosx，所以sinx+cosx=sin（x+）≥.解2kπ+≤x+≤2kπ+，k∈z，求得2kπ≤x≤2kπ+，k∈z，所以x的取值范围为〔2kπ，2kπ+〕k∈z.【点评】本题主要考查两角和差的三角公式、二倍角公式的应用，解三角不等式，正弦函数的图象及性质，属于中档题.18.（12分）某人在如图所示的直角边长为4米的三角形地块的每个格点（指纵、横直线的交叉点以及三角形顶点）处都种了一株相同品种的作物.根据历年的种植经验，一株该种作物的年收获Y（单位：kg）与它的“相近”作物株数X之间的关系如下表所示：X1234Y51484542这里，两株作物“相近”是指它们之间的直线距离不超过1米.（I）从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物，求它们恰好“相近”的概率；（II）在所种作物中随机选取一株，求它的年收获量的分布列与数学期望.【分析】（I）确定三角形地块的内部和边界上的作物株数，分别求出基本事件的个数，即可求它们恰好“相近”的概率；（II）确定变量的取值，求出相应的概率，从而可得年收获量的分布列与数学期望.【解答】解：（I）所种作物总株数N=1+2+3+4+5=15，其中三角形地块内部的作物株数为3，边界上的作物株数为12，从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株的不同结果有=36种，选取的两株作物恰好“相近”的不同结果有3+3+2=8，∴从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物，求它们恰好“相近”的概率为=；（II）先求从所种作物中随机选取一株作物的年收获量为Y的分布列∵P（Y=51）=P（X=1），P（48）=P（X=2），P（Y=45）=P（X=3），P（Y=42）=P（X=4）∴只需求出P（X=k）（k=1，2，3，4）即可记n k为其“相近”作物恰有k株的作物株数（k=1，2，3，4），则n1=2，n2=4，n3=6，n4=3由P（X=k）=得P（X=1）=，P（X=2）=，P（X=3）==，P（X=4）==∴所求的分布列为Y5148 45 42P数学期望为E（Y）=51×+48×+45×+42×=46【点评】本题考查古典概率的计算，考查分布列与数学期望，考查学生的计算能力，属于中档题.19.（12分）如图，在直棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AD∥BC，∠BAD=90°，AC⊥BD，BC=1，AD=AA1=3.（Ⅰ）证明：AC⊥B1D；（Ⅱ）求直线B1C1与平面ACD1所成的角的正弦值.【分析】（I）根据直棱柱性质，得BB1⊥平面ABCD，从而AC⊥BB1，结合BB1∩BD=B，证出AC⊥平面BB1D，从而得到AC⊥B1D；（II）根据题意得AD∥B1C1，可得直线B1C1与平面ACD1所成的角即为直线AD与平面ACD1所成的角.连接A1D，利用线面垂直的性质与判定证出AD1⊥平面A1B1D，从而可得AD1⊥B1D.由AC⊥B1D，可得B1D⊥平面ACD1，从而得到∠ADB1与AD与平面ACD1所成的角互余.在直角梯形ABCD中，根据Rt△ABC∽Rt△DAB，算出AB=，最后在Rt△AB 1D中算出B1D=，可得cos∠ADB1=，由此即可得出直线B1C1与平面ACD1所成的角的正弦值.【解答】解：（I）∵BB1⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴AC⊥BB1，又∵AC⊥BD，BB1、BD是平面BB1D内的相交直线∴AC⊥平面BB1D，∵B1D⊂平面BB1D，∴AC⊥B1D；（II）∵AD∥BC，B1C1∥BC，∴AD∥B1C1，由此可得：直线B1C1与平面ACD1所成的角等于直线AD与平面ACD1所成的角（记为θ），连接A1D，∵直棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，∠BAD=∠B1A1D1=90°，∴B1A1⊥平面A1D1DA，结合AD1⊂平面A1D1DA，得B1A1⊥AD1又∵AD=AA1=3，∴四边形A1D1DA是正方形，可得AD1⊥A1D∵B1A1、A1D是平面A1B1D内的相交直线，∴AD1⊥平面A1B1D，可得AD1⊥B1D，由（I）知AC⊥B1D，结合AD1∩AC=A可得B1D⊥平面ACD1，从而得到∠ADB1=90°﹣θ，∵在直角梯形ABCD中，AC⊥BD，∴∠BAC=∠ADB，从而得到Rt△ABC∽Rt△DAB因此，，可得AB==连接AB1，可得△AB1D是直角三角形，∴B 1D2=B1B2+BD2=B1B2+AB2+BD2=21，B1D=在Rt△AB1D中，cos∠ADB1===，即cos（90°﹣θ）=sinθ=，可得直线B1C1与平面ACD1所成的角的正弦值为.【点评】本题给出直四棱柱，求证异面直线垂直并求直线与平面所成角的正弦之值，着重考查了直四棱柱的性质、线面垂直的判定与性质和直线与平面所成角的定义等知识，属于中档题.21.（13分）过抛物线E：x2=2py（p＞0）的焦点F作斜率率分别为k1，k2的两条不同直线l1，l2，且k1+k2=2.l1与E交于点A，B，l2与E交于C，D，以AB，CD为直径的圆M，圆N（M，N为圆心）的公共弦所在直线记为l.（Ⅰ）若k1＞0，k2＞0，证明：；（Ⅱ）若点M到直线l的距离的最小值为，求抛物线E的方程.【分析】（Ⅰ）由抛物线方程求出抛物线的焦点坐标，写出两条直线的方程，由两条直线方程和抛物线方程联立求出圆M和圆N 的圆心M和N的坐标，求出向量和的坐标，求出数量积后转化为关于k1和k2的表达式，利用基本不等式放缩后可证得结论；（Ⅱ）利用抛物线的定义求出圆M和圆N的直径，结合（Ⅰ）中求出的圆M和圆N的圆心的坐标，写出两圆的方程，作差后得到两圆的公共弦所在直线方程，由点到直线的距离公式求出点M到直线l的距离，利用k1+k2=2转化为含有一个未知量的代数式，配方后求出最小值，由最小值等于求出p的值，则抛物线E的方程可求.【解答】解：（I）由题意，抛物线E的焦点为，直线l1的方程为.由，得.设A，B两点的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），则x1，x2是上述方程的两个实数根.从而x1+x2=2pk1，.所以点M的坐标为，.同理可得点N的坐标为，.于是.由题设k1+k2=2，k1＞0，k2＞0，k1≠k2，所以0＜.故.（Ⅱ）由抛物线的定义得，，所以，从而圆M的半径.故圆M的方程为，化简得.同理可得圆N的方程为于是圆M，圆N的公共弦所在的直线l的方程为.又k2﹣k1≠0，k1+k2=2，则l的方程为x+2y=0.因为p＞0，所以点M到直线l的距离为=.故当时，d取最小值.由题设，解得p=8.故所求抛物线E的方程为x2=16y.【点评】本题考查了抛物线的标准方程，考查了平面向量数量积的运算，考查了直线与圆锥曲线的关系，直线与圆锥曲线联系在一起的综合题在高考中多以高档题、压轴题出现，主要涉及位置关系的判定，弦长问题、最值问题、对称问题、轨迹问题等.突出考查了数形结合、分类讨论、函数与方程、等价转化等数学思想方法.属难题.22.（13分）已知a＞0，函数.（Ⅰ）记f（x）在区间[0，4]上的最大值为g（a），求g（a）的表达式；（Ⅱ）是否存在a使函数y=f（x）在区间（0，4）内的图象上存在两点，在该两点处的切线互相垂直？若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由.【分析】（I）利用绝对值的几何意义，分类讨论，结合导数确定函数的单调性，从而可得g（a）的表达式；（II）利用曲线y=f（x）在两点处的切线互相垂直，建立方程，从而可转化为集合的运算，即可求得结论.【解答】解：（I）当0≤x≤a时，；当x＞a时，∴当0≤x≤a时，，f（x）在（0，a）上单调递减；当x＞a时，，f（x）在（a，+∞）上单调递增.①若a≥4，则f（x）在（0，4）上单调递减，g（a）=f（0）=②若0＜a＜4，则f（x）在（0，a）上单调递减，在（a，4）上单调递增∴g（a）=max{f（0），f（4）}∵f（0）﹣f（4）==∴当0＜a≤1时，g（a）=f（4）=；当1＜a＜4时，g（a）=f（0）=，综上所述，g（a）=；（II）由（I）知，当a≥4时，f（x）在（0，4）上单调递减，故不满足要求；当0＜a＜4时，f（x）在（0，a）上单调递减，在（a，4）上单调递增，若存在x1，x2∈（0，4）（x1＜x2），使曲线y=f（x）在两点处的切线互相垂直，则x1∈（0，a），x2∈（a，4），且f′（x1）f′（x2）=﹣1∴•=﹣1∴①∵x1∈（0，a），x2∈（a，4），∴x1+2a∈（2a，3a），∈（，1）∴①成立等价于A=（2a，3a）与B=（，1）的交集非空∵，∴当且仅当0＜2a＜1，即时，A∩B≠∅综上所述，存在a使函数y=f（x）在区间（0，4）内的图象上存在两点，在该两点处的切线互相垂直，且a的取值范围是（0，）.【点评】本题考查导数知识的运用，考查分类讨论的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，正确分类是关键.20.（13分）在平面直角坐标系xOy中，将从点M出发沿纵、横方向到达点N的任一路径称为M到N的一条“L路径”.如图所示的路径MM1M2M3N与路径MN1N都是M到N的“L路径”.某地有三个新建居民区，分别位于平面xOy内三点A（3，20），B（﹣10，0），C（14，0）处.现计划在x轴上方区域（包含x轴）内的某一点P处修建一个文化中心.（I）写出点P到居民区A的“L路径”长度最小值的表达式（不要求证明）；（II）若以原点O为圆心，半径为1的圆的内部是保护区，“L 路径”不能进入保护区，请确定点P的位置，使其到三个居民区的“L路径”长度之和最小.【分析】（I）根据“L路径”的定义，可得点P到居民区A的“L路径”长度最小值；（II）由题意知，点P到三个居民区的“L路径”长度之和的最小值为点P到三个居民区的“L路径”长度最小值之和（记为d）的最小值，分类讨论，利用绝对值的几何意义，即可求得点P的坐标.【解答】解：设点P的坐标为（x，y），则（I）点P到居民区A的“L路径”长度最小值为|x﹣3|+|y﹣20|，y∈[0，+∞）；（II）由题意知，点P到三个居民区的“L路径”长度之和的最小值为点P到三个居民区的“L路径”长度最小值之和（记为d）的最小值①当y≥1时，d=|x+10|+|x﹣14|+|x﹣3|+2|y|+|y﹣20|∵d1（x）=|x+10|+|x﹣14|+|x﹣3|≥|x+10|+|x﹣14|≥24∴当且仅当x=3时，d1（x）=|x+10|+|x﹣14|+|x﹣3|的最小值为24∵d2（y）=2|y|+|y﹣20|≥21∴当且仅当y=1时，d2（y）=2|y|+|y﹣20|的最小值为21∴点P的坐标为（3，1）时，点P到三个居民区的“L路径”长度之和的最小，且最小值为45；②当0≤y≤1时，由于“L路径”不能进入保护区，∴d=|x+10|+|x﹣14|+|x﹣3|+1+|1﹣y|+|y|+|y﹣20|此时d1（x）=|x+10|+|x﹣14|+|x﹣3|，d2（y）=1+|1﹣y|+|y|+|y﹣20|=22﹣y≥21由①知d1（x）=|x+10|+|x﹣14|+|x﹣3|≥24，∴d1（x）+d2（y）≥45，当且仅当x=3，y=1时等号成立综上所述，在点P（3，1）处修建文化中心，可使该文化中心到三个居民区的“L路径”长度之和最小.【点评】本题考查新定义，考查分类讨论的数学思想，考查学生建模的能力，同时考查学生的理解能力，属于难题.。
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专题15 数形结合思想
专题点拨
数形结合思想通过“以形助数，以数解形”，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从形的直观和数的严谨两方面思考问题，拓宽了解题思路，是数学的规律性与灵活性的有机结合．
(1)数形结合思想解决的问题常有以下几种：
①构建函数模型并结合其图像求参数的取值范围；
②构建函数模型并结合其图像研究方程根的范围；
③构建函数模型并结合其图像研究量与量之间的大小关系；
④构建函数模型并结合其几何意义研究函数的最值问题和证明不等式；
⑤构建立体几何模型研究代数问题；
⑥构建解析几何中的斜率、截距、距离等模型研究最值问题；
⑦构建方程模型，求根的个数；
⑧研究图形的形状、位置关系、性质等．
(2)数形结合思想是解答高考数学试题的一种常用方法与技巧，特别是在解填空题、选择题时发挥着奇特功效，这就要求我们在平时学习中加强这方面的训练，以提高解题能力和速度．具体操作时，应注意以下几点：
①准确画出函数图像，注意函数的定义域；
②用图像法讨论方程(特别是含参数的方程)的解的个数是一种行之有效的方法，值得注意的是首先把方程两边的代数式看作是两个函数的表达式(有时可能先作适当调整，以便于作图)，然后作出两个函数的图像，由图求解．
(3)在运用数形结合思想分析问题和解决问题时，需做到以下四点：
①要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征；
②要恰当设参，合理用参，建立关系，做好转化；
③要正确确定参数的取值范围，以防重复和遗漏；
④精心联想“数”与“形”，使一些较难解决的代数问题几何化，几何问题代数化，以便于问题求解．
例题剖析
一、数形结合思想在求参数、代数式的取值范围、最值问题中的应用
【例1】 若方程x 2－4x ＋3＋m ＝0在x ∈(0，3)时有唯一实根，求实数m 的取值范围．
【变式训练1】 已知函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧2x －1，x ＞0，
－x 2－2x ，x ≤0.若函数g (x )＝f (x )－m 有3个零点，则实数m 的取值范
围为________．
【例2】 若实系数一元二次方程x 2＋ax ＋2b ＝0有两个根，一个根在区间(0，1)内，另一个根在区间(1，2)内，求：
(1)点(a ，b )对应的区域的面积； (2)b －2
a －1的取值范围； (3)(a －1)2＋(
b －2)2的值域．
二、数形结合思想在不等式求最值问题、求方程的根的相关问题中的应用 【例3】若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －1≥0，x －y ≤0，x ＋y －4≤0，
则y
x
的最大值为________．
【例4】设函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧x 2＋bx ＋c ，x ≤0，
2，x ＞0，若f (－4)＝f (0)，f (－2)＝－2，则函数y ＝g (x )＝f (x )－x 的零点
个数为________．
【例5】 若方程lg(－x 2＋3x －m )＝lg(3－x )在x ∈(0，3)内有唯一解，求实数m 的取值范围．
三、数形结合思想在平面解析几何中的应用
【例6】已知直线y ＝x －2与圆x 2＋y 2－4x ＋3＝0及抛物线y 2＝8x 依次交于A 、B 、C 、D 四点，则|AB |＋|CD |等于( )
A ．10
B ．12
C ．14
D ．16
巩固训练
1．已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪
⎧x －y ＋3≤03x ＋y ＋5≤0x ＋3≥0，则z ＝x ＋2y 的最大值是________．
2．设奇函数f (x )在(0，＋∞)上为单调递增函数，且f (2)＝0，则不等式x [f (－x )－ f (x )]<0的解集为________．
3.已知点P 在抛物线y 2＝4x 上，那么点P 到点Q (2，－1)的距离与点P 到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P 的坐标为________．
4．若x ∈()1，2时，不等式(x －1)2<log a x 恒成立，则实数a 的取值范围为________．
5．已知函数f (x )＝{－x 2＋2x ，x ≤0，ln （x ＋1），x >0，若|f (x )|≥ax ，则实数a 的取值范围是________.
二、选择题
6．若不等式log a x >sin2x (a >0，a ≠1)对任意x ∈(0，π
4)都成立，则实数a 的取值范围为( )
A ．(0，π4)
B ．(0，π4]
C ．[π4，1)
D ．(π
4，1)
7．已知y ＝f (x )是最小正周期为2的函数，当x ∈[－1，1]时，f (x )＝x 2，则函数y ＝ f (x )(x ∈R )图像与y ＝|log 5|x ||图像的交点的个数是( ) A ．8 B ．9 C ．10 D ．12 三、解答题
8.已知函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧ax 2＋2x ＋1，x ≥0，
－x 2＋bx ＋c ，x <0是偶函数，直线y ＝t 与函数f (x )的图像自左至右依次交于四个不
同点A 、B 、C 、D ，若||AB ＝||BC ，求实数t 的值．
新题速递
1．(2019•闵行区一模)已知函数()|1|(1)f x x x =-+，[x a ∈，]b 的值域为[0，8]，则a b +的取值范围是 ．
2．(2020•奉贤区一模)已知直线1y x =+上有两个点1(A a ，1)b 、2(B a ，2)b ，已知1a 、1b 、2a 、2b 满足
2222
12121122
2||a a b b a b a b +=+⨯+，若12a a >，||22AB =+，则这样的点A 有 个．。