工程流体力学(水力学)闻德第五章-实际流体动力学基础课后答案

工程流体力学闻德课后习题答案 第五章 实际流体动力学基础

5—1设在流场中的速度分布为u x =2ax ，u y =-2ay ，a 为实数，且a >0。试求切应力τxy 、τyx 和附加压应力p ´x 、p ´y 以及压应力p x 、p y 。

解：0y x xy yx u u x y ττμ∂⎛⎫

∂==+= ⎪∂∂⎝⎭

24x

x

u p a x

μμ∂'=-=-∂，24y y u p a y μμ∂'=-=∂， 4x x p p p p a μ'=+=-，4y y p p p p a μ'=+=+

5－2 设例５－1中的下平板固定不动，上平板以速度v 沿x 轴方向作等速运动（如图

所示），由于上平板运动而引起的这种流动，称柯埃梯（Couette ）流动。试求在这种流动情况下，两平板间的速度分布。（请将

d 0d p

x

=时的这一流动与在第一章中讨论流体粘性时的流动相比较）

解：将坐标系ox 轴移至下平板，则边界条件为 y ＝０，0X u u ==；y h =，u v =。 由例５－1中的（11）式可得

2d (1)2d h y p y y

u v h x h h μ=-

- （１） 当d 0d p x =时，y u v h

=，速度ｕ为直线分布，这种特殊情况的流动称简单柯埃梯流动或简单剪切流动。它只是由于平板运动，由于流体的粘滞性带动流体发生的流动。 当

d 0d p

x

≠时，即为一般的柯埃梯流动，它是由简单柯埃梯流动和泊萧叶流动叠加而成，速度分布为

(1)u y y y

p v h h h

=-- （２） 式中2d ()2d h p

p v x

μ=

- （３） 当p ＞０时，沿着流动方向压强减小，速度在整个断面上的分布均为正值；当p ＜０时，沿流动方向压强增加，则可能在静止壁面附近产生倒流，这主要发生p ＜－１的情况．

5－3 设明渠二维均匀（层流）流动，如图所示。若忽略空气阻力，试用纳维—斯托克斯方程和连续性方程，证明过流断面上的速度分布为2sin (2)2

x

g u zh

z ，单宽流量

3

sin 3

gh q

。

解：（1）因是恒定二维流动，

0y x

z u u u t

t

t

，u u x =，0y u ，0z

u ，

由纳维——斯托克斯方程和连续性方程可得

2210x x u p f x z μρρ∂∂-+=∂∂，10z

p f z ρ∂-=∂，0x u x ∂=∂ sin x

f g ，cos z

f g 。因是均匀流，压强分布与x 无关，

0x

p

=∂∂，因此，纳维——斯托克斯方程可写成

22sin 0x u g z μθρ∂+=∂，

1cos 0p

g z

θρ∂--=∂ 因u x 只与z 方向有关，与x 无关，所以偏微分可改为全微分，则

22

d sin

0d x

u g z ，积分得

1d sin d x u g

z C z ρθμ

-=+， 212sin 2x g

u z C z C ρθμ=-++，当0z ，0x u ；h z =，d 0d x u z ，得1

sin g C h ，0C 2=，2sin sin 2x g g u z hz ρρθθμμ=-+，2sin (2)2

x g u zh z

（2）2

d sin (2)d 2

h h x g q

u z

zh z z

3

3

3

sin ()sin 2

33

g h gh h

。 5－4 设有两艘靠得很近的小船，在河流中等速并列向前行驶，其平面位置，如图a 所示。（1）试问两小船是越行越靠近，甚至相碰撞，还是越行越分离。为什么？若可能要相碰撞，则应注意，并事先设法避免。（2）设小船靠岸时，等速沿直线岸平行行驶，试问小船是越行越靠岸，还是越离岸，为什么？（3）设有一圆筒在水流中，其平面位置如图b 所示。当圆筒按图中所示方向（即顺时针方向）作等角转速旋转，试问圆筒越流越靠近D 侧，还是C 侧，为什么？

解：（1）取一通过两小船的过流断面，它与自由表面的交线上各点的2

2p

u z

g g

应相等。现两船间的流线较密，速度要增大些，压强要减小些，而两小船外侧的压强相对要大一些，致使将两小船推向靠近，越行越靠近，甚至可能要相碰撞。事先应注意，并设法避免、预防。

（2）小船靠岸时，越行越靠近岸，理由基本上和上面（1）的相同。

（3）因水流具有粘性，圆筒旋转后使靠D 侧流速增大，压强减小，致使越流越靠近D 侧。

5-5 设有压圆管流（湍流），如图所示，已知过流断面上的流速分布为71

max )(r y

u u =，

max u 为管轴处的最大流速。试求断面平均流速v （以u max 表示）和动能修正系数α值。

解：设17

n

， 0

max 02

000d 1()2()d r n A

u A Q y

v

u

r y y

A

A

r r max max 20.8167(1)(2)u u n n 0

333

2max 0max 00011d [()]2π()d 2π()3132

r n A

y u A

u r y y u r r n n 33d 1.058A

u A

v A

5－6 设用一附有水银压差计的文丘里管测定倾斜管恒定水流的流量，如图所示。已知

d 1 =0.10m ，d 2 =0.05m ，压差计读数h ＝0.04ｍ，文丘里管流量系数μ =0.98，试求流量Q 。

解：由伯努利方程得

22

111222

1222p v p v z z g g g g

ααρρ++=++ （１） 由连续性方程得

22

2122210.05(

)()0.250.1

d v v v v d === （２） 由压差计得 1122()p g z z z h p gz gh ρρρ+-++=++Hg

1212()()p p

z z g g

ρρ+-+()()g g h h g ρρρρρρ--==Hg

Hg 1212()()p p z z g g ρρ+-+136001000()12.61000

h h -== （３） 将式（２）（３）代入（１）得

22222

1221222

120.06250.9375()()2g 2g 2g 2g 2g p p v v v v v z z g g ρρ+-+=-=-=

2

2

0.937512.62g

v h =，212.60.0429.8m/s 3.246m/s 0.9375v ⨯⨯⨯=

= 2

233322ππ0.05 3.246m /s 6.3710m /s 44

-==⨯⨯=⨯d Q v

330.98 6.2410m /s Q Q Q 实μ-===⨯

5－7 设用一附有水银压差计的文丘里管测定铅垂管恒定水流流量，如图所示。已知d 1 =0.10m ，d 2 =0.05m ，压差计读数h ＝0.04ｍ，文丘里管流量系数µ =0.98，试求流量Q ．请