马尔可夫预测

4.6 马尔可夫预测

4.6.1 马尔可夫预测法分析概述

马尔可夫是俄国著名的数学家，马尔可夫过程是以马尔可夫名字命名的一种特殊的描述事物发展过程的方法。马尔可夫过程主要用于对企业产品的市场占有率的预测。

众所周知，事物的发展状态总是随着时间的推移而不断地变化的。对于有些事物的发展,需要综合考察其过去与现在的状态，才能预测未来。但有些事物的发展，只要知道现在状态,就可以预测将来的状态而不需要知道事物的过去状态。例如，在下中国象棋时，一个棋子下一步应该怎样走，只与它当前的位置有关，而不需要知道它以前处于什么位置，也不需要知道它是怎么走到当前位置的。这种与过去的取值无关，称为无后效性。这种无后效性的事物的发展过程，就称为马尔可夫过程。

1.一步转移概率与转移概率矩阵

如果变量的状态是可数的，假设有N个，那么从状态i经一步转移到j,都有发生的可能，我们称Pij为一步转移概率。将这些依序排列起来构成的一个矩阵，叫做转移概率矩阵：

转移概率矩阵具有下述性质;

(1)矩阵每个元素均非负；

(2)矩阵每行元素之各等于1.

2.多步转移概率与转移概率矩阵

在一步转移概率概念的基础上，可导出多步转移概率。若系统在时刻T0处于状态i,经过n步转移，在时刻Tn时处于状态j,这种转移的可能性的数量指标称为n步转移概率，记为P（Xn=j|X0=i）=Pij(n)。n步转移概率矩阵记为

经过计算，可以得到一个有用的结论：

同时,n步转移概率同一步转移概率一样具有下列性质;

2.4.2市场占有率预测分析

1.市场占有率预测分析概述

在市场经济条件下，各企业都十分重视扩大自身产品的市场占有率。因此，预测企业产品市场占有率，也就成为企业十分关心的问题。

市场占有率是指在一定地理范围内，某一类商品因为具有相同的用途或性质而相互竞争，那么在这类商品的整个销售市场上，每一种品牌的产品的销售额（销量）点该类商品总销售额（销量）的份额即为该品牌商品的市场占有率。

2.市场占有率预测分析的基本

市场占有率预测分析的基本步骤如下:假设该地区市场上有三种同类商品。

(1)调查目前市场占有率情况，得到市场占有率向量A

首先，通过抽样调查，了解目前市场占有率情况。根据调查结果，构建市场占有率向量A。则A=（P1 , P2 ,P3）

(2)调查消费者的变动情况，计算转移概率矩阵P

通过合理的消费者抽样调整，汇总消费者消费变动的情况，并计算出转移概率矩阵P。则

（3）预测 1 月或数月后的市场占有率

1 个月后的市场占有率为，2个月后的市场占有率

为。一般地，k 个月后的市场占有率可记为。

(4)计算稳定后的市场占有率

设是稳定后的市场占有率，则 X 不随时间的推移而变化，即市场占有率处于动态平衡。这时，一步转移概率矩阵 B 也就对 X 不起作用，即有：

。

则可得到方程组：

。

由于X1，X2和X3是三种商品的市场占有率，同时假定，市场上只有这三种同类商品，故有X1+X2+ X3＝１，联立上面的方程组，可以解得X1, X2和X3的值，此值就是在稳定后的三种商品的市场占有率。

3.两商品市场占有率预测实例分析

【例2-4】假定某大学有1万学生，每人每月用1支牙膏，并且只使用“中华”牙膏与“黑妹”牙膏两者之一。根据本月（12月）调查，有3000人使用黑妹牙膏，7000人使用中华牙膏。又据调查,使用黑妹牙膏的3000人中，有60％的人下月将继续使用黑妹牙膏，40％的人将改用中华牙膏；使用中华牙膏的7000人中，有70％的人下月将继续使用中华牙膏，30％的人将改用黑妹牙膏。试用马尔可夫法预测两种牙膏1个月后和2月后各产品的的市场占用率和使用人数？

运用EXCEL构建市场预测分析模型的步骤如下：

步骤1：根据已知数据运用EXCEL构建市场预测分析模型表格，如图2-35所示。

图2-35 市场预测分析EXCEL模型构建步骤2：计算一个月后的市场占有率及使用人数。

根据现在的产品占有及使用人数、转移概率矩阵及马尔可夫预测法有关思路计算一个月后的市场占有率。则市场占有率数据产生方法为首先选择单元格D11：E11，然后在单元格D11输入公式“=MMULT(C6:D6,F5:D6)”，按组合键CTRL+SHIFT+ENTER。使用人数数据产生方法为首先选择单元格D12：E12，然后在单元格D12输入公式为“= MMULT(C5:D5,F5:D6)”，然后按组合键CTRL+SHIFT+ENTER。结果如图2-36所示。

图2-36 一个月后的产品市场占有率及使用人数

备注：数组公式的输入，为首选选择产生数组数据的单元格，然后在左上角单元格输入数组公式，并按组合键CTRL+SHIFT+ENTER。如果在输入公式时只选择了左上角一个单元格，则可以通过再选择所有单元格，然后把鼠标放在编辑公式栏，并按组合键CTRL+SHIFT+ENTER也可以实现。方法如图2-37所示。

图2-37 产生所在数组数据方法

步骤3：计算二个月后的市场占有率及使用人数。

根据一个月后的产品占有及使用人数和转移概率矩阵计算二个月后的市场占有率。则二个月后数据产生方法为使用一个月后的市场占用率、使用人数及转移概率矩阵进行矩阵乘积运算。首先选择占有率单元格F11：G11，然后在单元格F11输入公式“=MMULT(D11：F11,F5:D6)”，按组合键CTRL+SHIFT+ENTER。选择单元格F12：G12，然后在单元格F12输入公式为“= MMULT(D12:F12,F5:D6)”，然后按组合键“CTRL+SHIFT+ENTER”。结果如图2-38所示。

图2-38 二个月后的产品市场占有率及使用人数

备注：通过上述步骤可以看到在每次输入公式时都要用到转移概率矩阵，这样多次的重复利用单元格区域引进可能会造成输入的失误，是不是可以采用一种方法，不用单元格引用不考虑单元格的位置来引用转移概率矩阵单元格呢，答案是肯定的，定义名称可以解决此问题。

基本方法及步骤为：

(1)选择转移概率矩阵所在单元格区域，单击【插入】菜单，选择【名称】功能的子功能【定义】命令，弹出【定义名称】对话框，把转移概率矩阵的单元格区域定义为转移概率矩阵，如图2-39所示。单击【确定】按钮。此时名称已经定义好，其中引用位置为转移矩阵所在的单元格区域。

图2-39 转移概率矩阵名称定义

(2)把原来公式中的所在转移概率矩阵单元格引用全部换为“转移概率矩阵”名称，方法为单击【编辑】菜单，选择【替换】命令，弹出【查找与替换】对话框，在查找内容文本