马尔可夫预测
马尔可夫预测算法
马尔可夫预测算法综述马尔可夫预测法以系统状态转移图为分析对象，对服从给定状态转移率、系统的离散稳定状态或连续时间变化状态进行分析马尔可夫预测技术是应用马尔可夫链的基本原理和方法研究分析时间序列的变化规律，并预测其未来变化趋势的一种技术。
方法由来马尔可夫是俄国的一位著名数学家 (1856—1922)，20世纪初，他在研究中发现自然界中有一类事物的变化过程仅与事物的近期状况有关，而与事物的过去状态无关。
针对这种情况，他提出了马尔可夫预测方法，该方法具有较高的科学性，准确性和适应性，在现代预测方法中占有重要地位。
基础理论在自然界和人类社会中，事物的变化过程可分为两类:一类是确定性变化过程；另一类是不确定性变化过程。
确定性变化过程是指事物的变化是由时间唯一确定的，或者说，对给定的时间，人们事先能够确切地知道事物变化的结果。
因此，变化过程可用时间的函数来描述。
不确定性变化过程是指对给定的时间，事物变化的结果不止一个，事先人们不能肯定哪个结果一定发生，即事物的变化具有随机性。
这样的变化过程称为随机过程一个随机试验的结果有多种可能性，在数学上用一个随机变量（或随机向量）来描述。
在许多情况下，人们不仅需要对随机现象进行一次观测，而且要进行多次，甚至接连不断地观测它的变化过程。
这就要研究无限多个，即一族随机变量。
随机过程理论就是研究随机现象变化过程的概率规律性的。
客观事物的状态不是固定不变的，它可能处于这种状态，也可能处于那种状态，往往条件变化，状态也会发生变化状态即为客观事物可能出现或存在的状况，用状态变量表示状态：⎪⎪⎭⎫⎝⎛⋅⋅⋅=⋅⋅⋅==,2,1,,2,1t N i i X t 它表示随机运动系统，在时刻),2,1( =t t 所处的状态为),2,1(N i i =。
状态转移：客观事物由一种状态到另一种状态的变化。
设客观事物有N E E E E ...,,321共 N 种状态，其中每次只能处于一种状态，则每一状态都具有N 个转向（包括转向自身），即由于状态转移是随机的，因此，必须用概率来描述状态转移可能性的大小，将这种转移的可能性用概率描述，就是状态转移概率。
马尔可夫链预测
N
pij 0,
p
j 1
ij
1
若由X n i转移到X n 1 j的概率pij与n无关,则称该马尔 可夫链是齐次的。
12
几个概念：
13
几个概念：
概率向量：对于任意的行向量（或列 向量），如果其每个元素均非负且总和等于1， 则称该向量为概率向量。
(2)
P
0.7 0.3 0.76 0.24 P 0.72 0.28 0.9 0.1
2
2
如已知初始概率向量 P(0)：
含义？
P(0) (0.8 0.2)
0.7 0.3 0.1
p1 (0)
0.9
p2 (0)
37
0.7 0.3 P 0.9 0.1
23
马尔可夫链中任何k步状态转移概率都可由 1步状态转移概率求出。
24
马尔可夫链中任何k步状态转移概率都可由 1步状态转移概率求出。
全概率公式
25
马尔可夫链中任何k步状态转移概率都可由 1步状态转移概率求出。
全概率公式
P ( k ) P ( k 1) P
P
k
P , k 1
k
P —— 一步状态转移概率矩阵
例3
33
考察一台机床的运行状态。机床的运行 存在正常和故障两种状态。S={1,2}。机床在运行中出 现故障：1－>2；处于故障中的机床经维修，恢复到正 常状态：2－>1。 以一个月为单位，经观察统计，知其从某个月份到 下月份，机床出现故障的概率为0.3。在这一段时间内， 故障机床经维修恢复到正常状态的概率为0.9。 0.3 1 0.9
马儿可夫预测例题
马儿可夫预测例题《马尔可夫预测例题》随着人工智能技术的不断发展，马尔可夫预测模型被广泛应用于各个领域。
马尔可夫预测模型是以数学统计为基础的模型，它基于过去的观测结果来预测未来的情况。
通过建立状态转移矩阵，我们可以根据当前状态的概率分布来预测下一个状态的概率分布，从而达到预测未来的目的。
以下是一个关于马尔可夫预测的例题：某小区的路口有一辆交通灯，该交通灯只有两种状态：红灯和绿灯。
统计数据显示，红灯状态持续的平均时间为3分钟，而绿灯状态持续的平均时间为2分钟。
根据这些数据，我们可以建立如下状态转移矩阵：状态 | 红灯 | 绿灯------------ | ------------ | -------------红灯 | 0.5 | 0.5绿灯 | 0.6 | 0.4假设初始状态为红灯，问小区交通灯状态在6分钟后是红灯的概率是多少？我们要计算的是在初始状态下穿越状态转移矩阵6次后，恢复到红灯状态的概率。
根据状态转移矩阵，我们可以得到：P(T0为红灯状态) = 1P(T1为红灯状态) = P(T0为红灯状态) * P(T1为红灯状态 | T0为红灯状态) = 1 * 0.5 = 0.5P(T2为红灯状态) = P(T1为红灯状态) * P(T2为红灯状态 | T1为红灯状态) + P(T1为绿灯状态) * P(T2为红灯状态 | T1为绿灯状态) = 0.5 * 0.5 + 0.5 * 0.6 = 0.55P(T3为红灯状态) = P(T2为红灯状态) * P(T3为红灯状态 | T2为红灯状态) + P(T2为绿灯状态) * P(T3为红灯状态 | T2为绿灯状态) = 0.55 * 0.5 + 0.45 * 0.6 = 0.545P(T4为红灯状态) = P(T3为红灯状态) * P(T4为红灯状态 | T3为红灯状态) + P(T3为绿灯状态) * P(T4为红灯状态 | T3为绿灯状态) = 0.545 * 0.5 + 0.455 * 0.6 = 0.5425P(T5为红灯状态) = P(T4为红灯状态) * P(T5为红灯状态 | T4为红灯状态) + P(T4为绿灯状态) * P(T5为红灯状态 | T4为绿灯状态) = 0.5425 * 0.5 + 0.4575 * 0.6 = 0.542因此，在经过6分钟后，小区交通灯状态是红灯的概率约为0.542。
马尔科夫链预测方法
一、几个基本概念
3.马尔可夫过程 若每次状态的转移都只仅与前 一时刻的状态有关、而与过去的状态无关，或 者说状态转移过程是无后效性的，则这样的状 态转移过程就称为马尔可夫过程。
在区域开发活动中，许多事件发展过程中的状 态转移都是具有无后效性的，对于这些事件的 发展过程，都可以用马尔可夫过程来描述。
9月
10月
0.1 0.2 0.7 p( 2) p(0) P 2 (0.3,0.2,0.5) 0 . 1 0 . 7 0 . 2 0.08 0.04 0.88
2
11月
0.1 0.2 0.7 (0.2512 ,0.1816 ,0.5672) p( 3) p(0) P 3 (0.3,0.2,0.5) 0 . 1 0 . 7 0 . 2 0.08 0.04 0.88 (0.2319 ,0.1698 ,0.5983 )
3
1 0.7 1 0.1 2 0.08 3 2 0.1 1 0.7 2 0.04 3 由 得 (0.219,0.156,0.625) 3 0.2 1 0.2 2 0.88 3 1 2 3 1
率及极限分布.
解：频数转移矩阵为
得转移概率矩阵为
336 48 96 N 32 224 64 64 32 704
0.7 P 0.1 0.08
0.1 0.7 0.04
0.2 0.2 0.88
n个月的市场占有率为 p(n)= p(0) Pn
二、马尔可夫预测法
表2-19 某地区1990—2000年农业收成状态概率预测值
二、马ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ可夫预测法
（二)终极状态概率预测
马尔科夫预测法的原理
马尔科夫预测法的原理
马尔科夫预测法是一种基于马尔科夫链的预测方法。
其原理是利用过去的一系列观测值，通过构建一个马尔科夫链模型来预测未来的观测值。
马尔科夫链是一种具有状态转移概率的数学模型，其特点是当前状态的转移只依赖于前一个状态，与其他历史状态无关。
马尔科夫预测法假设未来的观测值只与过去的观测值有关，而与其他因素无关。
具体实施马尔科夫预测法的步骤如下：
1. 收集并整理历史数据，将其分为一系列观测值的序列。
2. 根据历史数据计算每个状态之间的转移概率。
即计算每个观测值之间的转移概率，这可以通过统计历史数据中观测值之间的频率来进行估计。
3. 根据已知的初始状态分布，选择一个初始状态作为预测的起点。
4. 根据转移概率和初始状态，依次生成未来的观测值，直到达到所需的预测长度。
马尔科夫预测法的关键在于确定状态和计算状态之间的转移概率。
这可以通过统计方法、最大似然估计或其他相应的方法来实现。
然后，使用马尔科夫链的转移概率来模拟未来的状态转移，从而得到未来观测值的预测。
马尔可夫预测法
马尔可夫预测法马尔可夫预测法是一种基于概率论的预测方法。
它通过分析系统的状态变化来预测未来的状态。
该方法适用于具有一定规律性的系统，并且可以用于各种领域，例如物理、经济、生物等。
下面将详细介绍马尔可夫预测法的原理和应用。
原理马尔可夫预测法是基于马尔可夫过程的。
马尔可夫过程是一个具有无记忆性的随机过程，即在给定当前状态的情况下，未来的状态只与当前状态有关，与过去的状态无关。
这个过程可以用一个状态转移矩阵来描述。
状态转移矩阵描述了从一个状态到另一个状态的概率，它的每个元素都代表了从一个状态到另一个状态的概率。
通过对状态转移矩阵的分析，可以预测系统在未来的状态。
应用马尔可夫预测法在各种领域都有广泛的应用。
在物理学中，它可以用于预测粒子的运动状态；在经济学中，它可以用于预测股市的走势；在生物学中，它可以用于预测疾病的传播。
下面将分别介绍这些应用。
物理学中的应用在物理学中，马尔可夫预测法可以用于预测粒子的运动状态。
例如，在原子的轨道运动中，电子的运动状态可以用一个状态向量来描述。
通过对状态向量的分析，可以预测电子在未来的位置。
经济学中的应用在经济学中，马尔可夫预测法可以用于预测股市的走势。
例如，在股市中，每一天的股价可以看作是一个状态。
通过对状态转移矩阵的分析，可以预测未来股价的走势。
这种方法已经被证明是一种有效的预测股市走势的方法。
生物学中的应用在生物学中，马尔可夫预测法可以用于预测疾病的传播。
例如，在流行病学中，每个人的健康状态可以看作是一个状态。
通过对状态转移矩阵的分析，可以预测疾病的传播。
这种方法已经被证明是一种有效的预测疾病传播的方法。
总结马尔可夫预测法是一种基于概率论的预测方法。
它通过分析系统的状态变化来预测未来的状态。
该方法适用于具有一定规律性的系统，并且可以用于各种领域。
在物理、经济、生物等领域中，马尔可夫预测法已经成为一种重要的预测方法。
马尔可夫预测算法
马尔可夫预测算法马尔可夫预测算法是一种基于马尔可夫链的概率模型，用于进行状态转移预测。
它被广泛应用于自然语言处理、机器翻译、语音识别等领域。
马尔可夫预测算法通过分析过去的状态序列来预测未来的状态。
本文将介绍马尔可夫预测算法的原理、应用以及优缺点。
一、原理1.马尔可夫链马尔可夫链是指一个随机过程，在给定当前状态的情况下，未来的状态只与当前状态有关，与其他历史状态无关。
每个状态的转移概率是固定的，可以表示为一个概率矩阵。
马尔可夫链可以用有向图表示，其中每个节点代表一个状态，每个边表示状态的转移概率。
（1）收集训练数据：根据需要预测的状态序列，收集过去的状态序列作为训练数据。
（2）计算转移概率矩阵：根据训练数据，统计相邻状态之间的转移次数，然后归一化得到转移概率矩阵。
（3）预测未来状态：根据转移概率矩阵，可以计算出目标状态的概率分布。
利用这个概率分布，可以进行下一步的状态预测。
二、应用1.自然语言处理在自然语言处理中，马尔可夫预测算法被用于语言模型的建立。
通过分析文本中的单词序列，可以计算出单词之间的转移概率。
然后利用这个概率模型，可以生成新的文本，实现文本自动生成的功能。
2.机器翻译在机器翻译中，马尔可夫预测算法被用于建立语言模型，用于计算源语言和目标语言之间的转移概率。
通过分析双语平行语料库中的句子对，可以得到句子中单词之间的转移概率。
然后利用这个转移概率模型，可以进行句子的翻译。
3.语音识别在语音识别中，马尔可夫预测算法被用于建立音频信号的模型。
通过分析音频数据中的频谱特征，可以计算出特征之间的转移概率。
然后利用这个转移概率模型，可以进行音频信号的识别。
三、优缺点1.优点（1）简单易懂：马尔可夫预测算法的原理相对简单，易于理解和实现。
（2）适用范围广：马尔可夫预测算法可以应用于多个领域，例如自然语言处理、机器翻译和语音识别等。
2.缺点（1）数据需求大：马尔可夫预测算法需要大量的训练数据，才能准确计算状态之间的转移概率。
决策与预测第八章马尔可夫预测
决策与预测第八章马尔可夫预测马尔可夫预测（Markov Prediction）是一种基于马尔可夫模型的预测方法。
马尔可夫模型是一种具有状态转移特性的随机过程，即当前状态的发生只与前一个状态有关，与之前的状态无关。
马尔可夫预测依据这一性质，通过对已有的状态序列进行分析，来预测未来可能的状态。
马尔可夫预测在许多领域都有应用，比如天气预测、股市预测、自然语言处理等。
在天气预测中，我们可以将天气分为晴天、阴天、雨天等若干个状态，通过观察历史天气数据，建立马尔可夫模型，从而预测未来几天的天气情况。
在股市预测中，我们可以将股票价格分为涨、跌、平稳等若干个状态，通过分析历史股价数据，建立马尔可夫模型，从而预测未来股票价格的走势。
马尔可夫预测的关键是确定马尔可夫链的阶数。
马尔可夫链的阶数决定了当前状态只与前几个状态有关。
一般情况下，阶数越高，预测的准确性越高，但计算复杂度也越高。
选择合适的阶数需要根据具体问题进行权衡。
马尔可夫预测的关键步骤包括状态定义、状态转移矩阵的估计和预测结果生成。
首先，需要将观测序列转化为状态序列。
状态定义需要根据具体问题确定，通常是将连续的观测值离散化为若干个状态。
然后，需要估计马尔可夫链的状态转移矩阵。
状态转移矩阵描述了从一个状态转移到另一个状态的概率。
可以通过历史数据来估计状态转移矩阵，常用的方法有最大似然估计和贝叶斯估计。
最后，通过状态转移矩阵和当前的状态，可以通过马尔可夫链进行状态的预测。
马尔可夫预测有一些优点和限制。
优点是简单易用，不需要太多的领域知识，只需要一些历史数据。
同时，马尔可夫预测可以处理非线性和非平稳的数据，具有一定的适应性。
然而，马尔可夫预测也有一些限制。
首先，马尔可夫模型假设当前状态只与前一个状态相关，而与之前的状态无关，这个假设在一些情况下可能不成立。
其次，马尔可夫模型对于状态转移矩阵的估计需要大量的历史数据，否则预测的准确性可能较低。
在实际应用中，马尔可夫预测通常与其他方法结合使用，以提高预测的准确性。
马尔可夫预测方法
马尔可夫预测方法1马尔可夫预测的性质及运用对事件的全面预测，不仅要能够指出事件发生的各种可能结果，而且还必须给出每一种结果出现的概率，说明被预测的事件在预测期内出现每一种结果的可能性程度。
这就是关于事件发生的概率预测。
马尔可夫（Markov)预测法，就是一种关于事件发生的概率预测方法。
它是根据事件的目前状况来预测其将来各个时刻（或时期)变动状况的一种预测方法。
马尔可夫预测法是地理预测研究中重要的预测方法之一。
2基本概念（一)状态、状态转移过程与马尔可夫过程1.状态 在马尔可夫预测中，“状态”是一个重要的术语。
所谓状态，就是指某一事件在某个时刻（或时期)出现的某种结果。
一般而言，随着所研究的事件及其预测的目标不同，状态可以有不同的划分方式。
譬如，在商品销售预测中，有“畅销”、“一般”、“滞销”等状态；在农业收成预测中，有“丰收”、“平收”、“欠收”等状态；在人口构成预测中，有“婴儿”、“儿童”、“少年”、“青年”、“中年”、“老年”等状态；等等。
2.状态转移过程 在事件的发展过程中，从一种状态转变为另一种状态，就称为状态转移。
事件的发展，随着时间的变化而变化所作的状态转移，或者说状态转移与时间的关系，就称为状态转移过程，简称过程。
3.马尔可夫过程 若每次状态的转移都只仅与前一时刻的状态有关、而与过去的状态无关，或者说状态转移过程是无后效性的，则这样的状态转移过程就称为马尔可夫过程。
在区域开发活动中，许多事件发展过程中的状态转移都是具有无后效性的，对于这些事件的发展过程，都可以用马尔可夫过程来描述。
（二)状态转移概率与状态转移概率矩阵1.状态转移概率 在事件的发展变化过程中，从某一种状态出发，下一时刻转移到其它状态的可能性，称为状态转移概率。
根据条件概率的定义，由状态E i 转为状态E j 的状态转移概率P （E i →E j )就是条件概率P （E j /E i )，即P(Ei Ej)=P(Ej/Ei)=Pij → （１）2.状态转移概率矩阵 假定某一种被预测的事件有E 1，E 2，…，E n ，共n 个可能的状态。
计量地理学第三章——7 马尔可夫预测
例:土地利用格局变化预测
（1）原始数据
2002-2012年时间段各土地类型面积的转化情况
1
(k
),
lim
k
2
(k
),,
lim
k
n
(k
)]
lim (k)
k
② 终极状态概率应满足的条件：
P 0 i 1 ( i 1,2,,n )
n
i 1
i 1
例题：在例1中，设终极状态的状态概率为 [1, 2, 3]
则
0.2000 0.4667 0.3333
[1, 2 , 3 ] [1, 2 , 3 ]0.5385 0.1538 0.3077
某地区2000～2010年农业收成状态概率预测值
年份
2000
2001
2002
2003
E1 状态概率 0.5
385
E2 0.15 28
E3 0.30 77
E1 0.30 24
E2 0.41
4
E3 0.28 37
E1 0.38 67
E2 0.33 34
E3 0.27 99
E1 0.35 87
E2 0.35 89
P(E2
E3 )
5 11
0.4545
P33
P(E3
E3 )
P(E3
E3 )
2 11
0.1818
该地区农业收成变化的状态转移概率矩阵为
预测方法——马尔可夫预测
预测⽅法——马尔可夫预测马尔可夫预测若某⼀系统在已知现在情况的条件下，系统未来情况只与现在有关，与历史⽆直接关系，则称描述这类随机现象的数学模型为马尔可夫模型（马⽒模型）。
时齐马尔可夫链：系统由状态i转移到状态j的转移概率只与时间间隔长短有关，与初始时刻⽆关。
状态转移概率矩阵及柯尔莫哥洛夫定理：概率矩阵：若系统在时刻 t0 处于状态 i，经过 n 步转移，在时刻 tn 处于状态 j 。
那么，对这种转移的可能性的数量描述称为 n 步转移概率。
记为:P(xn =j|x=i)=P(n)ij令P(n)=P11(n)P12(n)⋯P1N(n) P21(n)P22(n)⋯P2N(n)⋯⋯⋯P N1(n)P N2(n)⋯P NN(n)为n部转移概率矩阵。
(P0为初始分布⾏向量)性质：1. P(n)=P(n−1)P2. P(n)=P n转移概率的渐进性质——极限概率分布正则矩阵:若存在正整数k，使得p k的每⼀个元素都是正数，则称该马尔可夫链的转移矩阵P是正则的。
马克可夫链正则阵的性质：1. P有唯⼀的不动点向量W，W的每个分量为正，满⾜WP=W；2. P的n次幂P n随n的增加趋近于矩阵V, V的每⼀⾏向量均等于不动点向量W。
马尔可夫链预测法步骤：1. 划分预测对象可能出现的状态；2. 计算初始概率，由此计算⼀步状态转移概率；3. 计算多步状态转移概率；4. 根据状态转移概率进⾏预测。
()实例：eg：由于公路运输的发展，⼤量的短途客流由铁路转向公路。
历年市场调查结果显⽰，某铁路局发现今年⽐上年相⽐有如下规律：原铁路客流有85%仍由铁路运输，有15%转由公路运输，原公路运输的客流有95%仍由公路运输，有5%转由铁路运输。
已知去年公、铁客运量合计为12000万⼈，其中铁路10000万⼈，公路2000万⼈。
预测明年总客运量为18000万⼈。
运输市场符合马⽒链模型假定。
试预测明年铁、公路客运市场占有率各是多少？客运量是多少？最后发展趋势如何？解：1. 计算去年铁路、公路客运市场占有率将旅客由铁路运输视为状态1，由公路运输视作状态2，则铁、公占有率就是处于两种状态的概率，分别记作a1,a2.以去年作为初始状态，则初始状态概率向量:A(0)=(a1(0),a2(0))=(0.83,0.17)2. 建⽴状态转移矩阵PP=0.850.15 0.050.953. 预测明年铁路，公路客运市场占有率A(2)=(a1(2),a2(2))=A(0)P2=(0.83,0.17)0.850.150.050.952=(0.62,0.38)4. 进后发展趋势lim ()()Loading [MathJax]/jax/element/mml/optable/BasicLatin.js。
《马尔可夫预测》PPT课件
二、状态和状态转移 1、状态：系统在某时刻出现的某种结果。 常用Ei表示（i=1，2，…，N）。 2、状态变量Xt=i：表示系统在时刻t处于 Ei 。 3、状态转移：系统由一种状态转移为另一种状态 。常用Ei →Ej表示。
状态举例： 例1：人民生活水平可分为三种水平状态：温 饱、小康、富裕。 例2：企业经营状况可分为：盈利、不盈不亏、 亏损。 例3：商品销售状况可分为：畅销、平销、滞 销。 状态转移举例： 例4：营业情况由盈利→亏损。
例：设一步转移矩阵为：
0.5 0.5 P 求P(2) 0.6 0.4 0.5 0.5 解： P(2) 0.6 0.4 0.5 0.5 0.5 0.6 0.5 0.5 0.5 0.4 = 0.6 0.5 0.4 0.6 0.6 0.5 0.4 0.4 0.55 0.45 = 0.54 0.46
0≤ Pij ≤1 ∑ Pij =1
所有Pij构成的矩阵为：
P 11 P P 21 PN 1 P 12 P22 PN 2 P 1N P2 N P ij N N PNN
称为一步转移概率矩阵。
在多步转移中，k步转移概率记为：
解：状态转移概率为
400 P 0.8 11 500 20 P21 0.05 400 10 P31 0.1 100 50 P 0.1 12 500 300 P22 0.75 400 10 P32 0.1 100 50 P 0.1 13 500 80 P23 0.2 400 80 P33 0.8 100
五、状态转移概率和转移概率矩阵
设系统有N个状态Ei（i=1，2，…，N），以状态变量 xt=i表示在时刻t处于Ei（i=1，2，…，N），如果系统在时 刻t处于Ei而在时刻t+1转移到Ej的概率只与Ei有关而与t以 前处的状态无关，则此概率可表示为： Pij=P（Ei→Ej）=P（ xt+1 =j∣xt =i） 并称为一步转移概率。
3.2 马尔可夫预测模型
pij1 p j1 j2 p jk j
。n步转移概率矩阵 P( n ) 与一步转移概率矩阵P的关
系为 P( n ) Pn 。
定义3.2.2 马尔可夫链 X T {X n , n 0,1,2,} ，初始时刻
取各状态的概率 P{ X 0 i} pi , i I .称为 X T 的初始概
其中状态空间为 I ={0,1,2,} ,若对任意的正整数
ti ti 1 ( i 0,1, 2,，k 1 ) k，任意 ti T ，
及任意非负整数 i0 , i1 , , ik 1 ，
有 P{X t
k 1
ik 1 | X t0 i0 , X t1 i1 ,, X tk ik } P{ X tk 1 ik 1 | X tk ik }
条件概率称为在时刻n系统从状态i经过k步转移到状态j的k步转移概率记为一般地转移概率不仅与状态i和j有关而且与时刻n有关当与n无关时表明马尔可nknpxjxikijnknpnpxjxiijikijpnkijpn夫链具有平稳的转移概率此时称马尔可夫链为时间齐次的马尔可夫链并把记为
数学模型
安徽大学数学科学学院 周礼刚 lg_zhou@
3.2 马尔可夫预测模型
马尔可夫（Markov）链模型是1906年由俄国
数学家Markov对其研究而命名的，后来
Kolmogorrov、Feller、Doob等数学家对其进行了
进一步的研究与发展。马尔可夫链的定义如下：
T {0,1, 2,} 定义3.2.1 设有随机过程 X T { X T , t T }，
i 0
，满足条件 ( j) 0
的惟一解，即该有限状态空间的马尔可夫链平稳分布 存在且惟一。
马尔科夫预测法例题人力资源
有关“马尔科夫预测法”的例题
马尔科夫预测法是一种基于状态转移概率的预测方法，其基本思想是假设事件未来的状态只与当前的状态有关，而与过去的状态无关。
有关“马尔科夫预测法”的例题如下：
假设有一个市场，只有三种状态：繁荣（State 1）、持平（State 2）、亏本（State 3）。
根据历史数据，我们知道从一个状态转移到另一个状态的转移概率。
现在我们要预测未来3个月的市场状态。
首先，我们需要确定初始概率值，即各个状态在初始时刻的概率。
然后，我们需要确定状态转移矩阵，即各个状态之间转移的概率。
假设初始概率为：P(S0)=[0.4 0.3 0.3]
状态转移矩阵为：P=[0.4 0.3 0.3; 0.2 0.5 0.3; 0.1 0.2 0.7]
其中，P(Si|Sj)表示从状态Si转移到状态Sj的概率。
根据马尔科夫预测的原理，未来某个时刻的状态概率可以通过以下公式计算：
P(St)=P(S0)×P^t
其中，P(St)表示t时刻的状态概率，P(S0)表示初始状态概率，P^t表示t时刻的状态转移矩阵。
在本例中，我们要预测未来3个月的状态概率，因此需要计算P(S3)。
因此，未来3个月市场处于繁荣、持平、亏本的概率分别为0.4488、0.31872、0.23248。
数学建模之马尔可夫预测
马尔可夫预测马尔可夫过程是一种常见的比较简单的随机过程。
该过程是研究一个系统的 状况及其转移的理论.它通过对不同状态的初始概率以及状态之间的转移概率的研究,来确定状态的变化趋势，从而达到对未来进行预测的目的。
三大特点： （1）无后效性一事物的将来是什么状态，其概率有多大，只取决于该事物现在所处的状态如何，而与以前的状态无关。
也就是说,事物第n 期的状态,只与第n 期内的变化和第n-1期状态有关，而与第n-1期以前的状态无关. （2）遍历性不管事物现在所处的状态如何，在较长的时间内马尔可夫过程逐渐趋于稳定状态，而与初始状态无关。
（3)过程的随机性。
该系统内部从一个状态转移到另一个状态是，转变的可能性由系统内部的原先历史情况的概率值表示. 1.模型的应用, ①水文预测, ②气象预测, ③地震预测,④基金投资绩效评估的实证分析， ⑤混合动力车工作情况预测， ⑥产品的市场占有情况预测。
2.步骤①确定系统状态有的系统状态很确定。
如：机床工作的状态可划分为正常和故障，动物繁殖后代可以划分为雄性和雌性两种状态等。
但很多预测中,状态需要人为确定。
如:根据某种产品的市场销售量划分成滞销、正常、畅销等状态。
这些状态的划分是依据不同产品、生产能力的大小以及企业的经营策略来确定的，一般没有什么统一的标准。
在天气预报中，可以把降水量划分为旱、正常和涝等状态。
②计算初始概率()0i S用i M 表示实验中状态i E 出现的总次数，则初始概率为()()011,2,ii i nii M S F i n M=≈==∑③计算一步转移概率矩阵令由状态i E 转移到状态j E 的概率为()|ij j i P P E E =，则得到一步转移概率矩阵为：111212122212n n n n nn p p p p p p P p p p ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦④计算K 步转移概率矩阵若系统的状态经过了多次转移,则就要计算K 步转移概率与K 步转移概率矩阵。
马尔可夫预测方法
马尔可夫预测方法1马尔可夫预测的性质及运用对事件的全面预测，不仅要能够指出事件发生的各种可能结果，而且还必须给出每一种结果出现的概率，说明被预测的事件在预测期内出现每一种结果的可能性程度。
这就是关于事件发生的概率预测。
马尔可夫（Markov)预测法，就是一种关于事件发生的概率预测方法。
它是根据事件的目前状况来预测其将来各个时刻（或时期)变动状况的一种预测方法。
马尔可夫预测法是地理预测研究中重要的预测方法之一。
2基本概念（一)状态、状态转移过程与马尔可夫过程1.状态 在马尔可夫预测中，“状态”是一个重要的术语。
所谓状态，就是指某一事件在某个时刻（或时期)出现的某种结果。
一般而言，随着所研究的事件及其预测的目标不同，状态可以有不同的划分方式。
譬如，在商品销售预测中，有“畅销”、“一般”、“滞销”等状态；在农业收成预测中，有“丰收”、“平收”、“欠收”等状态；在人口构成预测中，有“婴儿”、“儿童”、“少年”、“青年”、“中年”、“老年”等状态；等等。
2.状态转移过程 在事件的发展过程中，从一种状态转变为另一种状态，就称为状态转移。
事件的发展，随着时间的变化而变化所作的状态转移，或者说状态转移与时间的关系，就称为状态转移过程，简称过程。
3.马尔可夫过程 若每次状态的转移都只仅与前一时刻的状态有关、而与过去的状态无关，或者说状态转移过程是无后效性的，则这样的状态转移过程就称为马尔可夫过程。
在区域开发活动中，许多事件发展过程中的状态转移都是具有无后效性的，对于这些事件的发展过程，都可以用马尔可夫过程来描述。
（二)状态转移概率与状态转移概率矩阵1.状态转移概率 在事件的发展变化过程中，从某一种状态出发，下一时刻转移到其它状态的可能性，称为状态转移概率。
根据条件概率的定义，由状态E i 转为状态E j 的状态转移概率P （E i →E j )就是条件概率P （E j /E i )，即 P(Ei Ej)=P(Ej/Ei)=Pij → （１）2.状态转移概率矩阵 假定某一种被预测的事件有E 1，E 2，…，E n ，共n 个可能的状态。
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4.6 马尔可夫预测4.6.1 马尔可夫预测法分析概述马尔可夫是俄国著名的数学家，马尔可夫过程是以马尔可夫名字命名的一种特殊的描述事物发展过程的方法。
马尔可夫过程主要用于对企业产品的市场占有率的预测。
众所周知，事物的发展状态总是随着时间的推移而不断地变化的。
对于有些事物的发展,需要综合考察其过去与现在的状态，才能预测未来。
但有些事物的发展，只要知道现在状态,就可以预测将来的状态而不需要知道事物的过去状态。
例如，在下中国象棋时，一个棋子下一步应该怎样走，只与它当前的位置有关，而不需要知道它以前处于什么位置，也不需要知道它是怎么走到当前位置的。
这种与过去的取值无关，称为无后效性。
这种无后效性的事物的发展过程，就称为马尔可夫过程。
1.一步转移概率与转移概率矩阵如果变量的状态是可数的，假设有N个，那么从状态i经一步转移到j,都有发生的可能，我们称Pij为一步转移概率。
将这些依序排列起来构成的一个矩阵，叫做转移概率矩阵：转移概率矩阵具有下述性质;(1)矩阵每个元素均非负；(2)矩阵每行元素之各等于1.2.多步转移概率与转移概率矩阵在一步转移概率概念的基础上，可导出多步转移概率。
若系统在时刻T0处于状态i,经过n步转移，在时刻Tn时处于状态j,这种转移的可能性的数量指标称为n步转移概率，记为P（Xn=j|X0=i）=Pij(n)。
n步转移概率矩阵记为经过计算，可以得到一个有用的结论：同时,n步转移概率同一步转移概率一样具有下列性质;2.4.2市场占有率预测分析1.市场占有率预测分析概述在市场经济条件下，各企业都十分重视扩大自身产品的市场占有率。
因此，预测企业产品市场占有率，也就成为企业十分关心的问题。
市场占有率是指在一定地理范围内，某一类商品因为具有相同的用途或性质而相互竞争，那么在这类商品的整个销售市场上，每一种品牌的产品的销售额（销量）点该类商品总销售额（销量）的份额即为该品牌商品的市场占有率。
2.市场占有率预测分析的基本市场占有率预测分析的基本步骤如下:假设该地区市场上有三种同类商品。
(1)调查目前市场占有率情况，得到市场占有率向量A首先，通过抽样调查，了解目前市场占有率情况。
根据调查结果，构建市场占有率向量A。
则A=（P1 , P2 ,P3）(2)调查消费者的变动情况，计算转移概率矩阵P通过合理的消费者抽样调整，汇总消费者消费变动的情况，并计算出转移概率矩阵P。
则（3）预测 1 月或数月后的市场占有率1 个月后的市场占有率为，2个月后的市场占有率为。
一般地，k 个月后的市场占有率可记为。
(4)计算稳定后的市场占有率设是稳定后的市场占有率，则 X 不随时间的推移而变化，即市场占有率处于动态平衡。
这时，一步转移概率矩阵 B 也就对 X 不起作用，即有：。
则可得到方程组：。
由于X1，X2和X3是三种商品的市场占有率，同时假定，市场上只有这三种同类商品，故有X1+X2+ X3＝１，联立上面的方程组，可以解得X1, X2和X3的值，此值就是在稳定后的三种商品的市场占有率。
3.两商品市场占有率预测实例分析【例2-4】假定某大学有1万学生，每人每月用1支牙膏，并且只使用“中华”牙膏与“黑妹”牙膏两者之一。
根据本月（12月）调查，有3000人使用黑妹牙膏，7000人使用中华牙膏。
又据调查,使用黑妹牙膏的3000人中，有60％的人下月将继续使用黑妹牙膏，40％的人将改用中华牙膏；使用中华牙膏的7000人中，有70％的人下月将继续使用中华牙膏，30％的人将改用黑妹牙膏。
试用马尔可夫法预测两种牙膏1个月后和2月后各产品的的市场占用率和使用人数？运用EXCEL构建市场预测分析模型的步骤如下：步骤1：根据已知数据运用EXCEL构建市场预测分析模型表格，如图2-35所示。
图2-35 市场预测分析EXCEL模型构建步骤2：计算一个月后的市场占有率及使用人数。
根据现在的产品占有及使用人数、转移概率矩阵及马尔可夫预测法有关思路计算一个月后的市场占有率。
则市场占有率数据产生方法为首先选择单元格D11：E11，然后在单元格D11输入公式“=MMULT(C6:D6,F5:D6)”，按组合键CTRL+SHIFT+ENTER。
使用人数数据产生方法为首先选择单元格D12：E12，然后在单元格D12输入公式为“= MMULT(C5:D5,F5:D6)”，然后按组合键CTRL+SHIFT+ENTER。
结果如图2-36所示。
图2-36 一个月后的产品市场占有率及使用人数备注：数组公式的输入，为首选选择产生数组数据的单元格，然后在左上角单元格输入数组公式，并按组合键CTRL+SHIFT+ENTER。
如果在输入公式时只选择了左上角一个单元格，则可以通过再选择所有单元格，然后把鼠标放在编辑公式栏，并按组合键CTRL+SHIFT+ENTER也可以实现。
方法如图2-37所示。
图2-37 产生所在数组数据方法步骤3：计算二个月后的市场占有率及使用人数。
根据一个月后的产品占有及使用人数和转移概率矩阵计算二个月后的市场占有率。
则二个月后数据产生方法为使用一个月后的市场占用率、使用人数及转移概率矩阵进行矩阵乘积运算。
首先选择占有率单元格F11：G11，然后在单元格F11输入公式“=MMULT(D11：F11,F5:D6)”，按组合键CTRL+SHIFT+ENTER。
选择单元格F12：G12，然后在单元格F12输入公式为“= MMULT(D12:F12,F5:D6)”，然后按组合键“CTRL+SHIFT+ENTER”。
结果如图2-38所示。
图2-38 二个月后的产品市场占有率及使用人数备注：通过上述步骤可以看到在每次输入公式时都要用到转移概率矩阵，这样多次的重复利用单元格区域引进可能会造成输入的失误，是不是可以采用一种方法，不用单元格引用不考虑单元格的位置来引用转移概率矩阵单元格呢，答案是肯定的，定义名称可以解决此问题。
基本方法及步骤为：(1)选择转移概率矩阵所在单元格区域，单击【插入】菜单，选择【名称】功能的子功能【定义】命令，弹出【定义名称】对话框，把转移概率矩阵的单元格区域定义为转移概率矩阵，如图2-39所示。
单击【确定】按钮。
此时名称已经定义好，其中引用位置为转移矩阵所在的单元格区域。
图2-39 转移概率矩阵名称定义(2)把原来公式中的所在转移概率矩阵单元格引用全部换为“转移概率矩阵”名称，方法为单击【编辑】菜单，选择【替换】命令，弹出【查找与替换】对话框，在查找内容文本框中输入F5:G6,在替换为文本框中输入“转移概率矩阵”，然后单击【全部替换】按钮。
结果如图2-40所示。
图2-40执行替换后的结果通过上图可以看出用名称替换单元格引用后不影响公式的输出结果。
同时减少了单元格区域引用的错误。
2.4.3 不同市场状况下的期望利润预测分析在企业的经营管理中，除了需要摸清销路的变化性况外，还要对利润的变化情况进行预测。
下面通过【例2-5】加以描述说明：【例2-5】某产品在某一地区的销售有三种情况发生，即畅销、正常和滞销。
通过有关人员的市场调查，知统计三种市场状态的可能转移情况如表2-6状态转移概率矩阵所示。
同时通过市场分析和统计计算，在产品销售情况发生变化时，其利润也会发生变化，表2-7是状态发生变化时利润的变化情况。
现在求三个月以后的各种市场状态下的期望利润？表2-6 产品销售状态转移概率矩阵表表2-7 利润增减矩阵单位：万元运用EXCEL构建市场预测分析模型的步骤如下：步骤1：根据已知数据运用EXCEL构建期望利润预测分析模型表格，如图2-41所示。
图2-41 EXCEL模型表格步骤2：根据一步转移概率矩阵计算三个月后的转移概率矩阵。
根据多步转移概率的计算方法三个月后转移概率矩阵应该=一步转移概率矩阵3，则三个月后的转移概率矩阵单元格H3:J5公式为“=MMULT（C3：E3，MMULT（C3：E3，C3:E3））”，其运行结果如图2-42所示。
图2-42 运行结果步骤3：计算三个月后的期望利润变化值。
根据题意三个月后的期望利润变化值计算公式为：如果本期为畅销，R1=P11R11+P12R12+P13R13；如果本期为正常，R2=P21R21+P22R22+P23R23；如果本期为滞销，R3=P31R31+P32R32+P33R33。
则期望利润变化值单元格H9：H11公式分别为H9=MMULT(H3：J3，transpose（C9：E9）；H10= MMULT(H4：J4，transpose（C10：E10）；H11= MMULT(H5：J5，transpose（C11：E11）。
图2-43 运行结果备注：数组公式所在单元格输入公式时不能为单元格合并，要想把输出结果如上图单元格合并的效果，方法为合并前先输入数组公式，然后再合并单元格。
1． P134第7、题2．某产品每月的市场状态有畅销和滞销两种，三年的历史记录如表5所示，其中“1”代表畅销，“2”代表滞销。
①求市场状态转移的一步以及二步转移概率矩阵；②若从畅销到畅销的利润为50万元，从畅销到滞销的利润为30万元，从滞销到畅销的利润为15万元，从滞销到滞销的亏损10万元。
预测未来三个月的期望利润。
3．用组合预测法预测河南省2010年的货运量（写出原始数据，两种以上预测方法参与组合，权重的确定方法是标准差法或误差平方和最小法）胡世刚。