曲边梯形的面积ppt课件(最新)
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曲边梯形的面积.ppt
f (x1)x f(x 2 )x f(x n )x
表示了曲边梯形面积的近似值
14
小结:求由连续曲线yf(x)对应的
曲边梯形面积的方法
（1）分割
（2）近似代替 （3）求和
（4）取极限 n
15
二 汽车行驶的路程 思考1：汽车以速度v作匀速直线运动， 经过时间t所行驶的路程为多少？如果汽 车作变速直线运动，那么在相同时间内 所行驶的路程相等吗？
0.273 437 50
0.302 734 50
0.317 871 09
0.325 561 52
0.329 437 26
0.331 382 75
0.332 357 41
0.332 845 21
0.333 089 23
…
11
y
(过剩近似值)
y x2
12 nn
k n
nx
n
S
n i1
Si
n i1
S 1 (1 1 )(2 1 ) 1 6n n3
所以S 1 .
3
10
我们还可以 从数值上可 以看出这一 变化趋势 （请见表）
区间[0，1] 的等分数n
2 4 8 16 32 64 128 256 512 1024 2048 …
S的近似值 Sn
0.125 000 00
0.218 750 00
5
y = f(x) y
A1
Ai
An
Oa
bx
将曲边梯形分成 n个小曲边梯形，并用小矩形
的面积代替小曲边梯形的面积， 于是曲边梯形的
面积A近似为
A A1+ A2 + + An
—— 以直代曲,无限逼近
表示了曲边梯形面积的近似值
14
小结:求由连续曲线yf(x)对应的
曲边梯形面积的方法
（1）分割
（2）近似代替 （3）求和
（4）取极限 n
15
二 汽车行驶的路程 思考1：汽车以速度v作匀速直线运动， 经过时间t所行驶的路程为多少？如果汽 车作变速直线运动，那么在相同时间内 所行驶的路程相等吗？
0.273 437 50
0.302 734 50
0.317 871 09
0.325 561 52
0.329 437 26
0.331 382 75
0.332 357 41
0.332 845 21
0.333 089 23
…
11
y
(过剩近似值)
y x2
12 nn
k n
nx
n
S
n i1
Si
n i1
S 1 (1 1 )(2 1 ) 1 6n n3
所以S 1 .
3
10
我们还可以 从数值上可 以看出这一 变化趋势 （请见表）
区间[0，1] 的等分数n
2 4 8 16 32 64 128 256 512 1024 2048 …
S的近似值 Sn
0.125 000 00
0.218 750 00
5
y = f(x) y
A1
Ai
An
Oa
bx
将曲边梯形分成 n个小曲边梯形，并用小矩形
的面积代替小曲边梯形的面积， 于是曲边梯形的
面积A近似为
A A1+ A2 + + An
—— 以直代曲,无限逼近
课件5：1.5.1 曲边梯形的面积
方案2
y=x2
x
y
O
1
△Si
案例探究
2、近似代替(以直代曲)
3、求和
y=x2
x
y
O
1
案例探究
第i个小曲边梯形
方案3
y=x2
x
O
1
△Si
案例探究
2、近似代替(以直代曲)
3、求和
y=x2
x
y
O
1
案例探究
通过动画演示我们可以看出，n越大，区间分的越细，各个结果就越接近真实值。为此，我们让n无限变大，这就是一个求极限的过程。
深入思考
怎样使各个结果更接近真实值？
方案一
方案二
方案三
4、取极限
（1）在分割时一定要等分吗？不等分影响结果吗？ （2）在近似代替时用小区间内任一点处的函数值影响结果吗 ？ （3）总结一般曲边梯形面积的表达式？
即时小结
不一定
不影响
不影响
归纳概括
一般曲边梯形的面积的表达式
思考1：怎样“以直代曲”？ 能整体以“直”代“曲吗？ 思考2：怎样分割最简单？ 思考3：对每个小曲边梯形 如何“以直代曲”？
y=x2
x
y
O
1
1、分割
将曲边梯形分割为等高的小曲边梯形
这样[0,1]区间
分成n个小区间：
对应的小曲边梯形面积为△Si
y=x2
把底边[0,1]分成n等份, 在每个分点作底边
分割、近似代替、求和、求极限
“以直代曲”和“逼近”思想
四个步骤
课堂小结
有位成功人士曾说过：“做事业的过程就是在求解一条曲线长度的过程。每一件实实在在的小事就是组成事业曲线的直线段。”想想我们的学习过程、追求理想的过程又何尝不是这样？希望大家能用微积分的思想去学习、去做事！
y=x2
x
y
O
1
△Si
案例探究
2、近似代替(以直代曲)
3、求和
y=x2
x
y
O
1
案例探究
第i个小曲边梯形
方案3
y=x2
x
O
1
△Si
案例探究
2、近似代替(以直代曲)
3、求和
y=x2
x
y
O
1
案例探究
通过动画演示我们可以看出，n越大，区间分的越细，各个结果就越接近真实值。为此，我们让n无限变大，这就是一个求极限的过程。
深入思考
怎样使各个结果更接近真实值？
方案一
方案二
方案三
4、取极限
（1）在分割时一定要等分吗？不等分影响结果吗？ （2）在近似代替时用小区间内任一点处的函数值影响结果吗 ？ （3）总结一般曲边梯形面积的表达式？
即时小结
不一定
不影响
不影响
归纳概括
一般曲边梯形的面积的表达式
思考1：怎样“以直代曲”？ 能整体以“直”代“曲吗？ 思考2：怎样分割最简单？ 思考3：对每个小曲边梯形 如何“以直代曲”？
y=x2
x
y
O
1
1、分割
将曲边梯形分割为等高的小曲边梯形
这样[0,1]区间
分成n个小区间：
对应的小曲边梯形面积为△Si
y=x2
把底边[0,1]分成n等份, 在每个分点作底边
分割、近似代替、求和、求极限
“以直代曲”和“逼近”思想
四个步骤
课堂小结
有位成功人士曾说过：“做事业的过程就是在求解一条曲线长度的过程。每一件实实在在的小事就是组成事业曲线的直线段。”想想我们的学习过程、追求理想的过程又何尝不是这样？希望大家能用微积分的思想去学习、去做事！
课件2：1.4.1曲边梯形的面积
以这段时间内行驶的路程 S 是 km.
3
[点拨] 用分割、近似代替、求和、取极限这四个步骤可以求曲边
多边形的面积，它体现了一种化整(分割)为零，积零为整(逼近)的
思想方法．
练 2
一辆汽车作变速直线运动，设汽车在时间 t 的速度 v(t)
6
＝ 2，求汽车在 t＝1 到 t＝2 这段时间内运动的路程．
小，可以认为汽车近似于做匀速直线运动，从而求得汽车在每个
小区间上行驶的路程的近似值，再求和得s的近似值，最后让n趋
向于无穷大就得到s的精确值.
专题一求曲边梯形的面积
例1
求由直线＝，＝和＝及曲线＝3所围成的曲边梯形的面积．
[分析]
将曲边梯形分割成许多个小曲边梯形，用小矩形的面积近
似代替小曲边梯形的面积，得到每个小曲边梯形的面积的近似值，
=1
3
1
∙
④取极限：当分点数目越多，即Δ越小时，和式的值就越接近曲
边梯形的面积S，因此 → ∞，即△→0时，和式的极限就是所
求的曲边梯形的面积．
+−
因为
= +−
=
=
= − + − + − +
1.4.1曲边梯形的面积与
用第
一
章
：
导
数
及
其
应
自主学习
• 1.连续函数
连续不断
• 如果函数＝()在某个区间I上的图象是一条①________的曲
线，那么就把它称为区间I上的连续函数．
• 2.曲边梯形的面积
3
[点拨] 用分割、近似代替、求和、取极限这四个步骤可以求曲边
多边形的面积，它体现了一种化整(分割)为零，积零为整(逼近)的
思想方法．
练 2
一辆汽车作变速直线运动，设汽车在时间 t 的速度 v(t)
6
＝ 2，求汽车在 t＝1 到 t＝2 这段时间内运动的路程．
小，可以认为汽车近似于做匀速直线运动，从而求得汽车在每个
小区间上行驶的路程的近似值，再求和得s的近似值，最后让n趋
向于无穷大就得到s的精确值.
专题一求曲边梯形的面积
例1
求由直线＝，＝和＝及曲线＝3所围成的曲边梯形的面积．
[分析]
将曲边梯形分割成许多个小曲边梯形，用小矩形的面积近
似代替小曲边梯形的面积，得到每个小曲边梯形的面积的近似值，
=1
3
1
∙
④取极限：当分点数目越多，即Δ越小时，和式的值就越接近曲
边梯形的面积S，因此 → ∞，即△→0时，和式的极限就是所
求的曲边梯形的面积．
+−
因为
= +−
=
=
= − + − + − +
1.4.1曲边梯形的面积与
用第
一
章
：
导
数
及
其
应
自主学习
• 1.连续函数
连续不断
• 如果函数＝()在某个区间I上的图象是一条①________的曲
线，那么就把它称为区间I上的连续函数．
• 2.曲边梯形的面积
曲边梯形的面积 课件
(2)求曲边梯形面积的方法与步骤： ①分割：把区间[a，b]分成许多小区间，进而把曲边 梯形拆分为一些小曲边梯形(如图②)； ②近似代替：对每个小曲边梯形“以直代曲”，即 用矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积，得到每个小 曲边梯形面积的近似值(如图②)；
③求和：把以近似代替得到的每个小曲边梯形面积 的近似值求和；
答案：S2＜S1
类型 2 求曲边梯形的面积
[典例 2] 如图所示，求直线 x＝0，x＝3，y＝0 与二 次函数 f(x)＝－x2＋2x＋3 的图象所围成的曲边梯形的面 积．
解： (1)分割：如图所示，分割将区间[0，3]n 等分， 则每个小区间3（i—n 1），3ni(i＝1，2， 3.…，n)的长度为Δx＝n3.分别过各分点 作 x 轴的垂线，把原曲边梯形分成 n 个小曲边梯形．
(3)当 f(ξi)为负值时，取|f(ξi)|为一边构造小矩形． (4) 两 个 常 用 的 求 和 公 式 ： 1 ＋ 22 ＋ 32 ＋ … ＋ n2 ＝ n（n＋1）6（2n＋1），1＋23＋33＋…＋n3＝n（n2＋1）2.
[变式训练] 求直线 x＝1、x＝2、y＝0 与曲线 y＝x3 所围成的曲边梯形的面积．
(2)近似代替：以每个小区间的左端点函数值为高作 n
个小矩形．则当 n 很大时，用 n 个小矩形面积之和 Sn 近 似代替曲边梯形的面积 S.
(3)求和：Sn＝i＝n1f3（i－n 1）Δx
n
＝
i＝1
－9（i－n21）2＋2×3（i－n 1）＋3·n3
＝－2n73[12＋22＋…＋(n－1)2]＋1n82[1＋2＋…＋(n－1)] ＋9
1．用极限逼近原理求曲边梯形的面积，是一种“以 直代曲”的思想，它体现了对立统一、量变与质变的辩 证关系.
③求和：把以近似代替得到的每个小曲边梯形面积 的近似值求和；
答案：S2＜S1
类型 2 求曲边梯形的面积
[典例 2] 如图所示，求直线 x＝0，x＝3，y＝0 与二 次函数 f(x)＝－x2＋2x＋3 的图象所围成的曲边梯形的面 积．
解： (1)分割：如图所示，分割将区间[0，3]n 等分， 则每个小区间3（i—n 1），3ni(i＝1，2， 3.…，n)的长度为Δx＝n3.分别过各分点 作 x 轴的垂线，把原曲边梯形分成 n 个小曲边梯形．
(3)当 f(ξi)为负值时，取|f(ξi)|为一边构造小矩形． (4) 两 个 常 用 的 求 和 公 式 ： 1 ＋ 22 ＋ 32 ＋ … ＋ n2 ＝ n（n＋1）6（2n＋1），1＋23＋33＋…＋n3＝n（n2＋1）2.
[变式训练] 求直线 x＝1、x＝2、y＝0 与曲线 y＝x3 所围成的曲边梯形的面积．
(2)近似代替：以每个小区间的左端点函数值为高作 n
个小矩形．则当 n 很大时，用 n 个小矩形面积之和 Sn 近 似代替曲边梯形的面积 S.
(3)求和：Sn＝i＝n1f3（i－n 1）Δx
n
＝
i＝1
－9（i－n21）2＋2×3（i－n 1）＋3·n3
＝－2n73[12＋22＋…＋(n－1)2]＋1n82[1＋2＋…＋(n－1)] ＋9
1．用极限逼近原理求曲边梯形的面积，是一种“以 直代曲”的思想，它体现了对立统一、量变与质变的辩 证关系.
求曲边梯形的面积PPT教学课件
3、手艺道上的人，捏泥人的“泥人张”排第一， 而且，有第一，没第二，第三差着十万八千 里。（夸张）
巧妙运用多种艺术表现手法
延伸拓展
在写“刷子李”时，课文先浓墨重彩地 描绘了天津码头的环境，为什么？
• 作者把截然相反的两种人做了一番鲜明的 对比，生动地写出了“码头上的人，不强 活不成。”的“优胜劣汰”的环境，为人 物预设了一个极其不同寻常的背景，一波 三折地叙述了刷子李的奇妙绝活，使刷子 李的“奇”得到了一次次的渲染。表达了 作者对刷子李这个具有超凡技艺的“奇人” 由衷的赞叹和肯定。
• 在我们的生活中，也不乏有个性人物，我们要注意观 察，从他们的生活中找到能表现其个性的小事，还应 该去尝试着抓住这些人物的动作、语言、神态等特征 对他们进行描写。如果我们学会了去发现人物的个性 美，我们眼中的世界就会变得丰富多彩了。
1．有绝活的，吃荤，亮堂，站在大街中 央；没能耐的，吃素，发蔫，靠边站着。 这个句子在句式上有什么特点?这样写突出 了作者什么观点?
怎样从品读《俗世奇人》这篇小文章中获取 经验，去品读我们的现实生活这篇大文章？
• 刷子李、泥人张这两位手艺人，都是听起来神乎其神， 而实际上存在过的活生生的人物。他们为生活所迫， 练就了超凡绝伦的手艺；他们有个性，但又和常人一 样喜怒哀乐样样俱全。他们是某些方面的才能很突出 的常人，在他们所擅长的方面，他们的行事言语高于 常人。既为奇人，他们有许多轶事 ，但作者均只选择 一件极富个性色彩的小事来表现他们的“奇”。刷子 李充满自信、豪气干云的个性和泥人张沉稳、干练、 镇定自若的个性，都是通过曲折的故事情节和人物富 有个性的行事言语表现出来的。
上劲。
有浓郁的“天津风味”
1、有绝活的，吃荤，亮堂，站在大街中央； 没能耐的，吃素，发蔫，靠边呆着。
巧妙运用多种艺术表现手法
延伸拓展
在写“刷子李”时，课文先浓墨重彩地 描绘了天津码头的环境，为什么？
• 作者把截然相反的两种人做了一番鲜明的 对比，生动地写出了“码头上的人，不强 活不成。”的“优胜劣汰”的环境，为人 物预设了一个极其不同寻常的背景，一波 三折地叙述了刷子李的奇妙绝活，使刷子 李的“奇”得到了一次次的渲染。表达了 作者对刷子李这个具有超凡技艺的“奇人” 由衷的赞叹和肯定。
• 在我们的生活中，也不乏有个性人物，我们要注意观 察，从他们的生活中找到能表现其个性的小事，还应 该去尝试着抓住这些人物的动作、语言、神态等特征 对他们进行描写。如果我们学会了去发现人物的个性 美，我们眼中的世界就会变得丰富多彩了。
1．有绝活的，吃荤，亮堂，站在大街中 央；没能耐的，吃素，发蔫，靠边站着。 这个句子在句式上有什么特点?这样写突出 了作者什么观点?
怎样从品读《俗世奇人》这篇小文章中获取 经验，去品读我们的现实生活这篇大文章？
• 刷子李、泥人张这两位手艺人，都是听起来神乎其神， 而实际上存在过的活生生的人物。他们为生活所迫， 练就了超凡绝伦的手艺；他们有个性，但又和常人一 样喜怒哀乐样样俱全。他们是某些方面的才能很突出 的常人，在他们所擅长的方面，他们的行事言语高于 常人。既为奇人，他们有许多轶事 ，但作者均只选择 一件极富个性色彩的小事来表现他们的“奇”。刷子 李充满自信、豪气干云的个性和泥人张沉稳、干练、 镇定自若的个性，都是通过曲折的故事情节和人物富 有个性的行事言语表现出来的。
上劲。
有浓郁的“天津风味”
1、有绝活的，吃荤，亮堂，站在大街中央； 没能耐的，吃素，发蔫，靠边呆着。
曲边梯形的面积、汽车行驶的路程 课件
思考3 能否将求曲边梯形的面积问题转化为求“直边图形”的面积问题？ (归纳主要步骤)
知识点二 求变速直线运动的(位移)路程
如果物体做变速直线运动，速度函数为v＝v(t)，那么也可以采用 分割 、 近似代替 、求和、 取极限 的方法，求出它在a≤t≤b内所作的位移s.
类型一 求曲边梯形的面积
例1 求由直线x＝0，x＝1，y＝0和曲线y＝x(x－1)围成的图形面积.
类型二 求变速运动的路程 例2 有一辆汽车在笔直的公路上变速行驶，在时刻t的速度为v(t)＝3t2＋ 2(单位：km/h)，那么该汽车在0≤t≤2(单位：h)这段时间内行驶的路程 s(单位：km)是多少？
Hale Waihona Puke 曲边梯形的面积 汽车行驶的路程
知识点一 曲边梯形的面积
思考1 如何计算下列两图形的面积？
答 ①直接利用梯形面积公式求解.②转化为三角形和梯形求解.
思考2 如图，为求由抛物线y＝x2与直线x＝1， y＝0所围成的平面图形的面积S，图形与我们熟 悉的“直边图形”有什么区别？
答 已知图形是由直线x＝1，y＝0和曲线y＝x2所围成的，可称为曲边梯 形，曲边梯形的一条边为曲线段，而“直边图形”的所有边都是直线段.
曲边梯形的面积、汽车行驶的路程 课件
B.f(x)的值变化很大
C.f(x)的值不变
D.当 n 很大时,f(x)的值变化很小
答案:D
)
【做一做 2-2】 求由抛物线 f(x)=x2,直线 x=1 以及 x 轴所围成
的平面图形的面积时,若将区间[0,1]5 等分,如图所示,以抛物线
f(x)=x2 在小区间中点处的函数值为高,所有小矩形的面积之和
2n-1 2n
1 1
.
=6n n 2n
sn= ∑
(4)取极限
s= lim sn = lim 6n
n→∞
n→∞
1 1
n 2n
= 3.
所以这段时间内运动的路程 s=3.
解:(1)分割:在区间[0,2]上等间隔地插入(n-1)个分点,将区间分
2(n-1) 2n
,
, 记第i 个小区间为
n
n
2(t-1) 2t
ABCD的面积S.
因此,当n→∞,即Δx→0时,和式①的极限就是所求的曲边梯形
ABCD的面积.
①
n-1
n+t 3 1
因为 ∑ n
·n
t=0
=
n-1
1
∑ (n + t)3
n4 t=0
1 n-1
= 4 ∑ (n3 + 3n2t + 3nt2 + t3)
n t=0
1 4
n(n-1)
1
1
2
= 4 n + 3n ·
求曲边梯形的面积相比,这里采用的“以不变代变”的思想方法更直
观、更容易理解.
求解步骤为:
(1)分割:n 等分区间[a,b].
(2)近似代替:取点 ξi∈[xi-1,xi].
C.f(x)的值不变
D.当 n 很大时,f(x)的值变化很小
答案:D
)
【做一做 2-2】 求由抛物线 f(x)=x2,直线 x=1 以及 x 轴所围成
的平面图形的面积时,若将区间[0,1]5 等分,如图所示,以抛物线
f(x)=x2 在小区间中点处的函数值为高,所有小矩形的面积之和
2n-1 2n
1 1
.
=6n n 2n
sn= ∑
(4)取极限
s= lim sn = lim 6n
n→∞
n→∞
1 1
n 2n
= 3.
所以这段时间内运动的路程 s=3.
解:(1)分割:在区间[0,2]上等间隔地插入(n-1)个分点,将区间分
2(n-1) 2n
,
, 记第i 个小区间为
n
n
2(t-1) 2t
ABCD的面积S.
因此,当n→∞,即Δx→0时,和式①的极限就是所求的曲边梯形
ABCD的面积.
①
n-1
n+t 3 1
因为 ∑ n
·n
t=0
=
n-1
1
∑ (n + t)3
n4 t=0
1 n-1
= 4 ∑ (n3 + 3n2t + 3nt2 + t3)
n t=0
1 4
n(n-1)
1
1
2
= 4 n + 3n ·
求曲边梯形的面积相比,这里采用的“以不变代变”的思想方法更直
观、更容易理解.
求解步骤为:
(1)分割:n 等分区间[a,b].
(2)近似代替:取点 ξi∈[xi-1,xi].
《曲边梯形的面积》课件
i 1 n
(i ) n
1 3
1
1 n
1
1 2n
12
观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
13
观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
14
观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
15
观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
25
探究(四) 取极限
S1
lim Sn n
lim 1 (1 n 3
1 )(1 n
1) 2n
1 3
S
lim Sn n
lim 1 (1 n 3
1 )(1 n
1) 2n
1 3
29
探究(五) 分割方案
方案1
Si
f (i 1)x n
( i 1)2 n
1 n
方案2
Si
f ( i )x n
( i )2 n
1 n
方案3
Si
f
(
i-1) n
f
(
i n
)
x
2
( i-1)2 n
( i )2 n
x
2
方案4
Si
f ( 2i-1)x 2n
( 2i 1)2 x 2n
30
牛顿:英国伟大的数学家、物理学家、 莱布尼兹:德国最重要的自然科学家、数
天文学家,其研究领域包括了物理学、数 学家、物理学家、历史学家和哲学家，一位
32
魏晋时期的数学家刘徽的割圆术
“…割之弥细，所失弥少，割之又 割，以至于不可割，则与圆周合体 而无所失矣…”
(i ) n
1 3
1
1 n
1
1 2n
12
观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
13
观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
14
观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
15
观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
25
探究(四) 取极限
S1
lim Sn n
lim 1 (1 n 3
1 )(1 n
1) 2n
1 3
S
lim Sn n
lim 1 (1 n 3
1 )(1 n
1) 2n
1 3
29
探究(五) 分割方案
方案1
Si
f (i 1)x n
( i 1)2 n
1 n
方案2
Si
f ( i )x n
( i )2 n
1 n
方案3
Si
f
(
i-1) n
f
(
i n
)
x
2
( i-1)2 n
( i )2 n
x
2
方案4
Si
f ( 2i-1)x 2n
( 2i 1)2 x 2n
30
牛顿:英国伟大的数学家、物理学家、 莱布尼兹:德国最重要的自然科学家、数
天文学家,其研究领域包括了物理学、数 学家、物理学家、历史学家和哲学家，一位
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魏晋时期的数学家刘徽的割圆术
“…割之弥细，所失弥少，割之又 割，以至于不可割，则与圆周合体 而无所失矣…”