圆压轴八大模型题切割线互垂.docx

圆压轴题八大模型题（二）

引言：与圆有关的证明与计算的综合解答题，

往往位于许多省市中考题中的倒数第二题

的位置上， 是试卷中综合性与难度都比较大的习题。 一般都会在固定习题模型的基础上变化

与括展，本文结合近年来各省市中考题，

整理了这些习题的常见的结论，破题的要点，

常用

技巧。把握了这些方法与技巧，就能台阶性地帮助考生解决问题。 类型 2 切割线互垂

在 Rt △ABC 中，点 E 是斜边 AB 上一点，以 EB 为直径的⊙ O 与 AC 相切于点 D ，与 BC 相交于点

F.

C

C

C

D

F

D

F

D

F

A

E

O

B

A

E

O

B

A

E O

B

图(1)

图(2) 图(3)

(1)AD=20,AE=10, 求 r;

(3)AC=32 ， AE=10，求 r. (5)DB 2=BCBE; (2)AB=40,BC=24, 求 r.

(4) ∠ ABD=∠ CBD.

(6)AD 2=AEAB.

【分析】 (1) 在 Rt △ADO 中， (10+r) 2=r 2+202, 得 r=15.

(2) 由 DO ∥BC,得

DO AO ,∴ r 40 r

得： r=15.

BC

AB 24

40

(3)在 Rt △ADO 中， AD= (10

r )2 r 2 ， DO=r ， AO=10+r ，

由 DO ∥ BC ，

AD

AO

得， r=15.

AC AB

(4)连结 DO,DO=BO,∠ ODB=∠ OBD;由 DO ∥ BC 得∠ CBD=∠ ODB,∴∠ ABD=∠ CBD.

(5) 由 Rt △BCD ∽ Rt △ BDE 得 BD 2=BCBE.

2

(6) 由△ ADE ∽△ ABD 得 AD=AEAB.

C

C

C

D

F

D F

D F G

A

E

G

O

B

A

E O

B

A

E O

B

图 (4) 图(5) 图 (6)

(7) △ DCF ≌△ DGE; (10)DC=12,CF=6,

(11)DC=12,CF=6, 求 (8)DF 2=CFBE;

求 r 和 BF.

CO 上任意线段的长 .

(9)AG:AC=1:2,BD=10. 求 r.

【分析】

(7)由∠ EBD=∠ FBD 得 DE=DF,∴ DE=DF,又∠ DFC=∠ DEG,∠C=∠ DGE=90°得△ DCF ≌△ DGE.

(8)由△ CDF ∽△ DBE 得

CF

DE 2

=CFBE.

,且 DE=DF,∴ DF DF BE

(9) 由△ ADG ∽△ ABC 得 AG:AC=DG:BC=1:2,设 DG=k,则 DC=DG=k,BC=2k,DB= 5 k=10, ∴ k=2

5 ,

2 2

5 EB, ∴ EB=5 5 5 5 ∴BG=BC=2k=4 5 , 由 Rt △ DBG ∽ Rt △ EBD 得 DB=GBEB, ∴ 10 =4

,r=.

2

(10) ∠ C=∠CFG=∠ CDG=90°得矩形 DGFC,∴ DG=CF=6,DC=GF=GE=12,

2 2 2 2

2

2

C

∴在 Rt △ GEO 中， GO+EG=EO, ∴ (r-6)

+12 =r .

∴r=15.GO=15-6=9 ，由中位线定理得 BF=2GO=18.

D

F

(11)如图，在 Rt △ DCO 中， CO= 12

2

152

=3 41 ， GO=15-6=9,

G P

A

B

O

CF CP 6

9 41 E

由 D0∥ CB 得 ,

2 ,∴ PO=

3 CO=.

GO OP 9 3 5 5

同理可得图中

CO 上其它线段的长度 .

图 a

【典例】

（2018 ·四川成都）如图，在 Rt △ABC 中，∠ C ＝90°，AD 平分∠ BAC 交 BC 于点 D ，O 为 AB 上一点，经过点 A ， D 的⊙ O 分别交 AB ， AC 于点 E ，F ，连接 OF 交 AD 于点 G.

（1）求证： BC 是⊙ O 的切线；

（2）设 AB ＝ x ， AF ＝ y ，试用含 x, y 的代数式表示线段 AD 的长；

（ 3）若 BE ＝ 8，sinB ＝ 5

13

，求 DG 的长 .

A

O

G

【分析】（ 1）连接 OD ，由 AD 为角平分线得到一

E

F

对角相等， 再由等边对等角得到一对角相等，

等量

B

C

D

代换得到内错角相等，进而得到 OD 与 AC 平行，

（图 2-1）

得到 OD 与 BC 垂直，即可得证；

（2）连接 DF ，由（ 1）得到 BC 为圆 O 的切线，由弦切角等于夹弧所对的圆周角，进而得到

三角形 ABD 与三角形 ADF 相似，由相似得比例，即可表示出 AD ；

（3）连接 EF ，设圆的半径为 r ，由 sinB 的值，利用锐角三角函数定义求出 r 的值，由直径

所对的圆周角为直角，得到

EF 与 BC 平行，得到 sin ∠AEF ＝sinB ，进而求出 DG 的长即可．

解：（ 1）证明：如图，连接 OD ，

∵AD 为∠ BAC 的角平分线，∴∠ BAD ＝∠ CAD ，

∵OA ＝OD ，∴∠ ODA ＝∠ OAD ，

∴∠ ODA ＝∠ CAD ，∴ OD ∥ AC ，

∵∠ C ＝ 90°，∴∠ ODC ＝ 90°，∴ OD ⊥ BC ，

图 b

∴BC 为圆 O 的切线；