八上第二章《轴对称图形》暑假辅导(难题)单元测试(一)(有答案)

八上第二章《轴对称图形》暑假辅导（难题）单元测试（一）班级：___________姓名：___________得分：___________一、选择题1.如图，在△ABC中，∠ABC=45∘，F是高线AD和BE的交点.若CD=4，则线段DF的长为()A. 2B. 4C. 3D. 4√22.如图，∠AOB=30°，∠AOB内有一定点P，且OP=12，在OA上有一动点Q，OB上有一动点R.若△PQR周长最小，则最小周长是()A. 6B. 12C. 16D. 203.如下图，△ABC中，∠A=60°，BE，BF三等分∠ABC；CE，CF三等分∠ACB，分别交于点E、F，连接EF，则∠BEF等于()A. 40°B. 45°C. 60°D. 50°4.如图，AD是△ABC的边BC上的高，DE⊥AB，DF⊥AC，由下列条件中的某一个就能推出△ABC是等腰三角形的是()①BD=CD；②∠BAD=∠CAD；③S△ABD=S△ACD；④DE=DF．A. ①②B. ①④C. ②③④D. ①②③④5.如图，C是线段AB上的一点，△ACD和△BCE都是等边三角形，AE交CD于M，BD交CE于N，交AE于O.则①DB=AE；②∠AMC=∠DNC；③∠AOB=60°；④DN=AM；⑤△CMN是等边三角形．其中，正确的有()A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个6.如图，已知AB=A1B，A1B1=A1A2，A2B2=A2A3，A3B3=A3A4…，若∠A=70°，则∠A n−1A n B n−1(n>2)的度数为()A. 702n B. 702n+1C. 702n−1D. 702n+27.在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°，AC=6，点D、E在AB边上，AD=CD，点E关于AC、CD的对称点分别为F、G，则线段FG的最小值等于()A. 2B. 3C. 4D. 58.如图，已知：∠MON=30°，点A1、A2、A3、…在射线ON上，点B1、B2、B3、…在射线OM上，△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4、…均为等边三角形，若OA1=1，则△A9B9A10的边长为()A. 32B. 64C. 128D. 256二、填空题9.如图，△ABC的面积为10cm2，AP垂直∠B的平分线BP于点P，则△PBC的面积为______．10.如图a是长方形纸带，∠DEF=26°，将纸带沿EF折叠成图b，再沿BF折叠成图c，则图c中的∠CFE的度数是________．11.如图，在△ABC中，AB=AC，点D为AC上一点，且BD=BC.将△BCD沿直线BD折叠后，点C落在AB上的点E处，若AE=DE，则∠A的度数为__________．12.如图，DE是Rt△ABC的斜边AB的垂直平分线，分别交AB、BC于D、E，AE平分∠BAC.若∠B=30°，EC=5cm，则BE的长为______ ．13.如图，△ABC中，∠C=90°，CA=CB，∠A，BG⊥点M在线段AB上，∠GMB=12MG，垂足为G，MG与BC相交于点H.若MH=8cm，则BG=____cm．14.如图，已知AC平分∠DAB，CE⊥AB于点E，AB=AD+2BE，则下列结论：①AE=1(AB+AD)；②∠ADC+∠B=180°；③CD=CB；④S△ACE−S△BCE=S ACD.其中正确2的是_________________．15.如图，过边长为6的等边△ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于E，Q为BC边延长线上一点，当PA=CQ时，连接PQ交AC边于点D，则DE=________．16.如图，△ABC中，AB=AC，DE垂直平分AB，BE⊥AC，AF⊥BC，则∠EFC=______°.三、解答题17.如图，在△ABC中，AB=AC，点D，E，F分别在AB，BC，AC边上，且BE=CF，BD=CE．(1)求证：△DEF是等腰三角形；(2)当∠A=50°时，求∠DEF的度数；(3)若∠DEF=∠A，FD=4，求△DEF的周长．18.(1)如图①，△ABC中，AB=AC，∠ABC、∠ACB的平分线交于O点，过O点作EF//BC交AB、AC于E、F.图中有个等腰三角形.猜想：EF与BE、CF之间有怎样的关系，并说明理由．(2)如图②，若AB≠AC，其他条件不变，图中有_____个等腰三角形.它们是_____________.EF与BE、CF间的关系是___________________．(3)如图③，若△ABC中∠ABC的平分线与三角形外角平分线交于O，过O点作OE//BC交AB于E，交AC于F.这时图中有_______个等腰三角形.EF与BE、CF关系又如何？说明你的理由．19.已知∠AOB=30°，在∠AOB的内部有一个定点P，OP=10，在∠AOB的两边OA、OB上分别有动点Q、R(不与点O重合)．(1)画出使△PQR周长最小时Q、R的位置．(2)求出△PQR周长的最小值．(3)当△PQR周长取最小值时，求∠RPQ的度数．20.如图，在△ABC中，AB=AC，∠B=40°，点D在线段BC(不含端点B、C)上运动，连接AD，作∠ADE=40°，DE与线段AC相交于点E．(1)当∠BDA=120°时，求∠DEC的度数；(2)当CD=BA时，说明△ABD≌△DCE；(3)在运动变化过程中，是否存在点D，使△ADE是等腰三角形，若存在，请求出∠BDA的度数；若不存在，说明理由．答案和解析1.B解：∵AD是△ABC的高线，，∵∠ABC=45°，，∴∠ABD=∠BAD，∴AD=BD，∵BE是△ABC的高线，，，，∴∠CBF=∠DAC，∵BD=AD，∠BDF=∠ADC，∴ΔBDF≌ΔADC(ASA)，∴DC=DF，∵CD=4，∴DF=4．2.B解：设∠POA=θ，则∠POB=30°−θ，作PM⊥OA与OA相交于M，并将PM延长一倍到E，即ME=PM，作PN⊥OB与OB相交于N，并将PN延长一倍到F，即NF=PN，连接EF与OA相交于Q，与OB相交于R，再连接PQ，PR，则△PQR即为周长最短的三角形，∵OA是PE的垂直平分线，∴EQ=QP；同理，OB是PF的垂直平分线，∴FR=RP，∴△PQR的周长=EF，∵OE=OF=OP=12，且∠EOF=∠EOP+∠POF=2θ+2(30°−θ)=60°，∴△EOF是正三角形，∴EF=12，即在保持OP=12的条件下△PQR的最小周长为12．3.D解：如图，过点F作FG⊥BC于G，FM⊥BE于M，FN⊥CE于N，∵∠ABC的三等分线与∠ACB的三等分线分别交于点E、F，∴BF平分∠EBC，CF平分∠ECB，∴FG=FM，FG=FN，∴FM=FN，∴EF平分∠BEC，∴∠BEF=12∠BEC，∵∠A=60°，∴∠ABC+∠ACB=180°−∠A=180°−60°=120°，根据三等分∠EBC+∠ECB=23(∠ABC+∠ACB)=23×120°=80°，在△BEC中，∠BEC=180°−(∠EBC+∠ECB)=180°−80°=100°，∴∠BEF=12×100°=50°．4.D解：能推出△ABC是等腰三角形的条件有①②③④，理由如下：证明：①∵AD是△ABC的边BC上的高，BD=CD，∴AD垂直平分BC，∴AB=AC，∴△BAC是等腰三角形；②当∠BAD=∠CAD时，∵AD是BC边上的高，∴∠ADB=∠ADC=90°，又AD=AD，∴△ABD≌△ACD，∴AB=AC，∴△ABC是等腰三角形；③由S△ABD=S△ACD，可知BD=CD，∴AD垂直平分BC，∴AB=AC，∴△BAC是等腰三角形；④∵DE=DF，且DE⊥AB，DF⊥AC，∴AD是∠BAC的平分线，∵AD是BC边上的高，∴△ABD≌△ACD，∴AB=AC，∴△ABC是等腰三角形．综上所述：能推出△ABC是等腰三角形的条件有①②③④．5.C解：∵∠ACD=∠BCE=60°，∴∠DCE=60°，在△ACE和△DCB中，{AC=DC∠ACE=∠DCB CE=CB,∴△ACE≌△DCB(SAS)，∴∠BDC=∠EAC，DB=AE，①正确；∠CBD=∠AEC，∵∠AOB=180°−∠OAB−∠DBC，∴∠AOB=180°−∠AEC−∠OAB=120°，③错误；在△ACM和△DCN中，{∠BDC=∠EACDC=AC∠ACD=∠DCN=60°,∴△ACM≌△DCN(ASA)，∴AM=DN，④正确；∠AMC=∠DNC，②正确；CM=CN，∵∠MCN=60°，∴△CMN是等边三角形，⑤正确；故有①②④⑤正确．6.C解：∵在△ABA1中，∠A=70°，AB=A1B，∴∠BA1A=70°，∵A1A2=A1B1，∠BA1A是△A1A2B1的外角，∴∠B1A2A1=∠BA1A2=35°；同理可得，∠B2A3A2=17.5°，∠B3A4A3=12×17.5°=35°4，∴∠A n−1A n B n−1=70°2n−1．7.B解：如图：∵点E和F关于AC对称，∴AC垂直平分EF，∴CE=CF，∠CEF=∠CFE，∵点E和G关于CD对称，∴CD垂直平分EG，设CD交EF于H，AC交EG于S，交EF于K，连结HG，∴CE=CG，EH=GH，∠CEF=∠CGH，∴CE=CG=CF，∠CGH=∠CFE，∵∠ACB=90°，∠B=60°，∴∠A=30°，∵AD=CD，∴∠ACD=∠A=30°，∴∠BCD=60°，∴△BCD是等边三角形，∵∠ACB=90°，∴AC⊥BC，又EF⊥AC，∴EF//BC，∴∠DEH=∠B=60°，∠EHD=∠BCD=60°，∴∠DHG=∠EHD=60°，∴∠FHG=60°，∵∠CGH=∠CFE，∠CKF=∠HKG，∴∠FCG=∠FHG=60°，∵CF=CG，∴△CFG是等边三角形，∴FG=CF=CE，AC=3，∵当CE⊥AB时，CE最短，此时CE=12∴FG的最小值为3，8.D解：如图，∵△A1B1A2是等边三角形，∴A1B1=A2B1，∠3=∠4=∠12=60°，∴∠2=120°，∵∠MON=30°，∴∠1=180°−120°−30°=30°，又∵∠3=60°，∴∠5=180°−60°−30°=90°，∵∠MON=∠1=30°，∴OA1=A1B1=1，∴A2B1=1，∵△A2B2A3、△A3B3A4是等边三角形，∴∠11=∠10=60°，∠13=60°，∵∠4=∠12=60°，∴A1B1//A2B2//A3B3，B1A2//B2A3，∴∠1=∠6=∠7=30°，∠5=∠8=90°，∴A2B2=2B1A2，B3A3=2B2A3，∴A3B3=4B1A2=4，A4B4=8B1A2=8，A5B5=16B1A2=16，…∴△A n B n A n+1的边长为2n−1，∴△A9B9A10的边长为29−1=28=256．9.5cm2解：延长AP交BC于E，∵AP垂直∠B的平分线BP于P，∠ABP=∠EBP，又知BP=BP，∠APB=∠BPE=90°，∴△ABP≌△BEP，∴S△ABP=S△BEP，AP=PE，∴△APC和△CPE等底同高，∴S△APC=S△PCE，S△ABC=5cm2，∴S△PBC=S△PBE+S△PCE=1210.102°解：∵四边形ABCD是矩形，∴AD//BC，∴∠BFE=∠DEF=26°，∴∠CFE=∠CFG−∠EFG=180°−2∠BFE−∠EFG=180°−3×26°=102°，11.36°12.10cm解：∵AE平分∠BAC，DE⊥AB，∴DE=EC=5cm，∵∠B=30°，∴BE=2DE=2×5=10cm．13.4解：如图，作MD⊥BC于D，延长MD交BG的延长线于E，∵△ABC中，∠C=90°，CA=CB，∴∠ABC=∠A=45°，∵∠GMB=12∠A，∴∠GMB=12∠A=22.5°，∵BG⊥MG，∴∠BGM=90°，∴∠GBM=90°−22.5°=67.5°，∴∠GBH=∠EBM−∠ABC=22.5°．∵MD//AC，∴∠BMD=∠A=45°，∴△BDM为等腰直角三角形，∴BD=DM，而∠GMB=22.5°，∴GM平分∠BMD，而BG⊥MG，∴∠MGB=∠MGE=90°，∠GMB=∠GME，又GM=GM∴△MGB≌MGE，∴BG=EG，即BG=12BE，在△BED和△MHD中，{∠EDB=∠HDM=90°BD=MD∠EBD=∠HMD=22.5°,∴△BED≌△MHD(ASA)，∴BE=MH，∴BG=12MH=4．14.①②③④解：①在AE取点F，使EF=BE，连接CF，∵AB=AD+2BE=AF+EF+BE，EF=BE，∴AB=AD+2BE=AF+2BE，∴AD=AF，∴AB+AD=AF+EF+BE+AD=2AF+2EF=2(AF+EF)=2AE，∴AE=1(AB+AD)，故①正确；2②在△ACD与△ACF中，∵AD=AF，∠DAC=∠FAC，AC=AC，∴△ACD≌△ACF，∴∠ADC=∠AFC．∵CE垂直平分BF，∴CF=CB，∴∠CFB=∠B．又∵∠AFC+∠CFB=180°，∴∠ADC+∠B=180°，故②正确；③由②知，△ACD≌△ACF，∴CD=CF，又∵CF=CB，∴CD=CB，故③正确；④易证△CEF≌△CEB，∴S△ACE−S△BCE=S△ACE−S△FCE=S△ACF，又∵△ACD≌△ACF，∴S△ACF=S△ADC，∴S△ACE−S△BCE=S△ADC，故④正确．综上所述，正确的结论是①②③④．15.3解：作QF⊥AC，交AC的延长线于点F，则∠QFC=90°，∵△ABC是等边三角形，PE⊥AC于点E，∴∠A=∠ACB=60°，∠PEA=90°，∴∠PEA=∠QFC，∵∠ACB=∠QCF，∴∠A=∠QCF，在△PEA和△QFC中，{∠A=∠QCF∠PEA=∠QFC PA=QC，∴△PEA≌△QFC(AAS)，∴AE=CF，PE=QF，∵AC=AE+EC=6，∴EF=CF+EC=6，∵∠PED=90°，∠QFD=90°，∴∠PED=∠QFD，在△PED和△QFD中，{∠PED=∠QFD ∠EDP=∠FDQ PE=QF，∴△PED≌△QFD(AAS)，∴ED=FD，∵ED+FD=EF=6，∴DE=3，16.45解：∵DE垂直平分AB，∴AE=BE，∵BE⊥AC，∴△ABE是等腰直角三角形，∴∠BAE=∠ABE=45°，又∵AB=AC，∴∠ABC=12(180°−∠BAC)=12(180°−45°)=67.5°，∴∠CBE=∠ABC−∠ABE=67.5°−45°=22.5°，∵AB=AC，AF⊥BC，∴BF=CF，∵EF=12BC(直角三角形斜边中线等于斜边的一半)，∴BF=EF=CF，∴∠BEF=∠CBE=22.5°，∴∠EFC=∠BEF+∠CBE=22.5°+22.5°=45°．17.(1)证明：∵AB=AC，∴∠B=∠C，在△BDE和△CEF中，∵{BD=CE ∠B=∠C BE=CF,∴△BDE≌△CEF(SAS)，∴DE=EF，∴△DEF为等腰三角形；(2)解：由(1)知△BDE≌△CEF，∴∠BED=∠CFE，∠BDE=∠CEF，又∵∠A=50°，AB=AC，∴∠B=∠C=65°，∴∠BED+∠BDE=115°，即∠BED+∠CEF=115°，∵∠BED+∠CEF+∠DEF=180°，∴∠DEF=180°−∠BED−∠CEF=180°−115°=65°．(3)解：由(1)知△BDE≌△CEF，∴∠BED=∠CFE，∠BDE=∠CEF，∵∠BED+∠BDE+∠B=180°，∠BED+∠CEF+∠DEF=180°，∴∠B=∠DEF，∵∠A=∠DEF，AB=AC，∴∠A=∠B=∠C，∴△ABC为等边三角形，∴∠A=∠DEF=60°，又∵DE=EF，∴△DEF为等边三角形，∵FD=4，∴△DEF的周长C△DEF=3×4=12．18.解：(1)5；EF=BE+CF，理由：∵BO平分∠ABC，∴∠EBO=∠OBC，∵EF//BC，∴∠EOB=∠OBC，∴∠EOB=∠EBO，∴EO=EB，同理FO=FC，∴EF=EO+FO=BE+CF；(2)2，△BEO，△CFO，EF=BE+CF；(3)2；EF=BE−CF，∵BO平分∠ABC，∴∠EBO=∠OBC，∵EF//BC，∴∠EOB=∠OBC，∴∠EOB=∠EBO，∴EO=EB，同理FO=FC，∴EF=EO−FO=BE−CF．解：(1)∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB∵EF//BC，∴∠AEF=∠ABC，∠AFE=∠ACB，∴∠AEF=∠AFE，∵EF//BC，∴∠EOB=∠OBC，∠FOC=∠OCB，∵∠ABC和∠ACB的平分线交于点O，∴∠EBO=∠OBC，∠FCO=∠OCB，∴∠EBO=∠EOB，∠FOC=∠FCO，∵∠ABC=∠ACB，∴∠OBC=∠OCB，∴BE=OE，OF=CF，∴△ABC，△AEF，△BOC，△BEO，△CFO是等腰三角形；故答案为5；关系见答案；(2)证明：∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，∴∠EBO=∠OBC，∠FCO=∠OCB，∵EF//BC，∴∠EOB=∠OBC，∠FOC=∠OCB，∴∠EBO=∠EOB，∠FOC=∠FCO，∴BE=OE，CF=OF，∴△BEO和△CFO是等腰三角形；即图中等腰三角形有△BEO，△CFO；EF与BE、CF之间的关系是EF=BE+CF，理由是：∵BE=OE，CF=OF∴EF=BE+CF；故答案为2；△BEO，△CFO；EF=BE+CF．(3)∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACG，∴∠EBO=∠OBC，∠FCO=∠OCG，∵EF//BC，∴∠EOB=∠OBC，∠FOC=∠OCG，∴∠EBO=∠EOB，∠FOC=∠FCO，∴BE=OE，CF=OF，∴△BEO和△CFO是等腰三角形即图中等腰三角形有△BEO，△CFO；19.解：(1)如图，作PM⊥OA与OA相交于M，并将PM延长一倍到E，即ME=PM，作PN⊥OB与OB相交于N，并将PN延长一倍到F，即NF=PN，连接EF与OA相交于Q，与OB相交于R，再连接PQ，PR，则△PQR即为周长最短的三角形，(2)设∠POA=θ，则∠POB=30°−θ，∵OA是PE的垂直平分线，∴EQ=QP；同理，OB是PF的垂直平分线，∴FR=RP，∴△PQR的周长=EF，∵OE=OF=OP=10，且∠EOF=∠EOP+∠POF=2θ+2(30°−θ)=60°，∴△EOF是正三角形，∴EF=10，即在保持OP=10的条件下△PQR的最小周长为10．(3)根据对称的性质得到∠OEQ=∠OPQ，∠OFR=∠OPR，∴∠OEQ+∠OFR=∠OPQ+∠OPR，∵△EOF为等边三角形，∴∠OEQ+∠OFR=120°，∴∠OPQ+∠OPR=120°，即∠QPR=120°．20.解：(1)如图，∵AB=AC，∴∠B=∠C=40°，又∵∠1=120°，∴∠ADC=60°，又∵∠2=40°，∴∠3=20°，∴∠5=180°−20°−40°=120°，即∠DEC=120°；(2)∵∠2=40°，∴∠1+∠3=140°，又∵∠C=40°，∴∠3+∠5=140°，∴∠1=∠5，在△ABD和△DCE中{∠1=∠5∠B=∠C AB=DC，∴△ABD≌△DCE(AAS)；(3)存在，有三种情况，分别讨论如下：<1>如图①，若AD=DE，∵∠2=40°，∴∠4=12(180°−∠2)=70°，又∠C=40°，∴∠3=∠4−∠C=30°，∴∠1=180°−∠2−∠3=110°；<2>如图②，若AE=DE，∵∠2=40°，∴∠4=180°−2∠2=100°，又∠C=40°，∴∠3=∠4−∠C=60°，∴∠1=180°−∠2−∠3=80°；<3>如图③，若AD=AE，∵∠2=40°，∴∠4=40°，∴∠5=180°−∠4=140°，则∠5+∠C+∠3=180°+∠3>180°，这与三角形的内角和矛盾，∴这种情况不存在，综上：∠BDA的度数是110°或80°．。