2018版人教A版高中数学必修二同步学习讲义第三章直线与方程3.2.3 Word版含答案

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2018版人教A版高中数学必修二同步学习讲义第三章直线与方程疑难规律方法 Word版含答案

直线斜率的三种求法直线的斜率是用来衡量直线的倾斜程度的一个量，是确定直线方程的重要因素，还能为以后直线位置关系及直线与圆位置关系的进一步学习打好基础．．根据倾斜角求斜率例如图，菱形的∠＝°，求两条对角线与所在直线的斜率．分析由于题目背景是几何图形，因此可根据菱形的边角关系先确定与的倾斜角，再利用公式＝θ.解∵在菱形中，∠＝°，∴∠＝°，∠＝°.又菱形的对角线互相平分，∴∠＝°，∠＝°.∴∠＝°－∠＝°.∴＝°＝，＝°＝－.评注本题解答的关键是根据几何图形中直线与其他直线的位置关系(如平行、垂直、两直线的夹角关系等)，确定出所求直线的倾斜角，进而确定直线的斜率．．利用两点斜率公式例直线沿轴正方向平移个单位，再沿轴的负方向平移个单位，恰好与原直线重合，求直线的斜率.分析由于直线是由点构成的，因此直线的平移变化可以通过点的平移来体现．因此，本题可以采取在直线上取一点，经过相应的平移后得到一个新点，它也在直线上，则直线的斜率即为的斜率．解设(，)是直线上任意一点，按平移后，点的坐标移动到(－，＋)．∵点也在直线上，∴＝＝－.评注①本题解法利用点的移动去认识线的移动，体现了“整体”与“局部”间辩证关系在解题中的相互利用，同时要注意：点(，)沿轴正方向平移个单位，再沿轴正方向移动个单位，坐标由(，)变为(＋，＋)．②直线过两点(，)，(，)，若＝，≠，则倾斜角等于°，不能利用两点坐标的斜率公式，此时，斜率不存在．．利用待定系数法例如果直线沿轴负方向平移个单位，再沿轴正方向平移个单位后，又回到原来的位置，求直线的斜率．分析本题可以利用例的解法进行求解，即考虑抓住点的变化求解．除此之外，还可以考虑直线的方程的变化，利用待定系数法，通过比较系数可得结果．解设直线的方程为＝＋.把直线左移个单位，上移个单位后直线方程为－＝(＋)＋，即＝＋＋＋.由条件，知＝＋＋＋与＝＋为同一条直线的方程．比较系数，得＝＋＋，解得＝－.评注本题通过利用平移前与平移后的两个方程的同一性，进行相应系数的比较求得结果．直线方程中的“缺陷”．斜截式中斜率“缺陷”。

【测控指导】2018版高中数学人教A版必修2课件 3.2.3 直线的一般式方程

题型一
题型二
题型三
题型四
即直线l在x轴与y轴上的截距分别是3,-2. 则直线l与x轴、y轴的交点分别为A(3,0),B(0,-2),过点A,B作直线, 即为直线l,如图所示.
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题型一
题型二
题型三
题型四
反思在直线的一般式方程中:(1)令x=0,解得y值,即为直线在y轴上的截距,令y=0,解得x值,即为直线在x轴上的截距,这就确定了直线与两个坐标轴的交点坐标,从而画出图形.当然也可将一般式方程化为截距式来解决;(2)化为斜截式可讨论斜率与倾斜角以及在y轴上的截距等.
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题型一
题型二
题型三
题型四
反思已知直线的斜率和直线上点的坐标时,选用点斜式;已知直线的斜率和在y轴上的截距时,选用斜截式;已知直线上两点的坐标时, 选用两点式;已知直线在x轴、y轴上的截距(截距都不为0)时,选用截距式.
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题型二
题型三
题型四
题型三
利用一般式解决平行与垂直问题
【例3】 (1)求与直线3x+4y+1=0平行且过点(1,2)的直线l的方程; (2)求经过点A(2,1)且与直线2x+y-10=0垂直的直线l的方程. 解:(1)方法一:设直线l的斜率为k, 因为l与直线3x+4y+1=0平行,
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2018版人教A版高中数学必修二同步学习讲义：第三章直线与方程3-1-1 含答案精品

3.1.1倾斜角与斜率学习目标 1.理解直线的斜率和倾斜角的概念.2.理解直线倾斜角的唯一性及直线斜率的存在性.3.了解斜率公式的推导过程，会应用斜率公式求直线的斜率．知识点一直线的倾斜角思考1在平面直角坐标系中，只知道直线上的一点，能不能确定一条直线呢？答案不能．思考2在平面直角坐标系中，过定点P的四条直线如图所示，每条直线与x轴的相对倾斜程度是否相同？答案不同．梳理(1)倾斜角的定义①当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角．②当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°.(2)直线的倾斜角α的取值范围为0°≤α<180°.(3)确定平面直角坐标系中一条直线位置的几何要素是：直线上的一个定点以及它的倾斜角，二者缺一不可．知识点二直线的斜率与倾斜角的关系思考1 在日常生活中，我们常用“升高量前进量”表示“坡度”，图(1)(2)中的坡度相同吗？答案不同，因为32≠22.思考2 思考1中图的“坡度”与角α，β存在等量关系吗？答案存在，图(1)中，坡度＝tan α，图(2)中，坡度＝tan β. 梳理 (1)直线的斜率把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k 表示，即k ＝tan α. (2)斜率与倾斜角的对应关系知识点三过两点的直线的斜率公式直线过两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，其斜率k ＝y 2－y 1x 2－x 1(x 1≠x 2)．类型一直线的倾斜角例1 设直线l 过原点，其倾斜角为α，将直线l 绕坐标原点沿逆时针方向旋转40°，得直线l 1，则直线l 1的倾斜角为( ) A ．α＋40° B ．α－140° C ．140°－αD ．当0°≤α<140°时为α＋40°，当140°≤α<180°时为α－140° 答案 D解析根据题意，画出图形，如图所示：因为0°≤α<180°，显然A，B，C未分类讨论，均不全面，不合题意．通过画图(如图所示)可知：当0°≤α<140°时，l1的倾斜角为α＋40°；当140°≤α<180°时，l1的倾斜角为40°＋α－180°＝α－140°.故选D.反思与感悟(1)解答本题要注意根据倾斜角的概念及倾斜角的取值范围解答．(2)求直线的倾斜角主要根据定义来求，其关键是根据题意画出图形，找准倾斜角，有时要根据情况分类讨论．跟踪训练1已知直线l向上方向与y轴正向所成的角为30°，则直线l的倾斜角为．答案60°或120°解析有两种情况：①如图(1)，直线l向上方向与x轴正向所成的角为60°，即直线l的倾斜角为60°.②如图(2)，直线l向上方向与x轴正向所成的角为120°，即直线l的倾斜角为120°.类型二直线的斜率例2经过下列两点的直线的斜率是否存在？如果存在，求其斜率，并确定直线的倾斜角α.(1)A(2,3)，B(4,5)；(2)C(－2,3)，D(2，－1)；(3)P(－3,1)，Q(－3,10)．解(1)存在．直线AB的斜率k AB＝5－34－2＝1，即tan α＝1，又0°≤α<180°，所以倾斜角α＝45°.(2)存在．直线CD的斜率k CD＝－1－32－(－2)＝－1，即tan α＝－1，又0°≤α<180°，所以倾斜角α＝135°.(3)不存在．因为x P＝x Q＝－3，所以直线PQ的斜率不存在，倾斜角α＝90°. 反思与感悟(1)利用斜率公式求直线的斜率应注意的事项①运用公式的前提条件是“x 1≠x 2”，即直线不与x 轴垂直，因为当直线与x 轴垂直时，斜率是不存在的；②斜率公式与两点P 1，P 2的先后顺序无关，也就是说公式中的x 1与x 2，y 1与y 2可以同时交换位置．(2)在0°≤α<180°范围内的一些特殊角的正切值要熟记.跟踪训练2 如图所示，直线l 1，l 2，l 3都经过点P (3,2)，又l 1，l 2，l 3分别经过点Q 1(－2，－1)，Q 2(4，－2)，Q 3(－3,2)，计算直线l 1，l 2，l 3的斜率，并判断这些直线的倾斜角是锐角还是钝角．解设k 1，k 2，k 3分别表示直线l 1，l 2，l 3的斜率．由于Q 1，Q 2，Q 3的横坐标与P 点的横坐标均不相等，所以 k 1＝－1－2－2－3＝35，k 2＝－2－24－3＝－4，k 3＝2－2－3－3＝0.由k 1>0知，直线l 1的倾斜角为锐角；由k 2<0知，直线l 2的倾斜角为钝角；由k 3＝0知，直线l 3的倾斜角为0°.类型三直线的倾斜角、斜率的应用命题角度1 三点共线问题例3 如果三点A (2,1)，B (－2，m )，C (6,8)在同一条直线上，求m 的值．解 k AB ＝m －1－2－2＝1－m 4，k AC ＝8－16－2＝74，∵A ，B ，C 三点共线，∴k AB ＝k AC ，即1－m 4＝74，∴m ＝－6. 反思与感悟斜率是反映直线相对于x 轴正方向的倾斜程度的．直线上任意两点所确定的方向不变，即同一直线上任何不同的两点所确定的斜率相等，这正是利用斜率相等可证点共线的原因．跟踪训练3 已知倾斜角为90°的直线经过点A (2m,3)，B (2，－1)，则m 的值为( )A ．0B ．1C ．2D ．3 答案 B解析由题意可得2m ＝2，解得m ＝1. 命题角度2 数形结合法求倾斜角或斜率范围例4 直线l 过点P (1,0)，且与以A (2,1)，B (0，3)为端点的线段有公共点，求直线l 的斜率和倾斜角的范围．解如图所示．∵k AP ＝1－02－1＝1，k BP ＝3－00－1＝－3，∴k ∈(－∞，－3]∪[1，＋∞)，∴45°≤α≤120°.反思与感悟 (1)由倾斜角(或范围)求斜率(或范围)利用定义式k ＝tan α(α≠90°)解决． (2)由两点坐标求斜率运用两点斜率公式k ＝y 2－y 1x 2－x 1(x 1≠x 2)求解．(3)涉及直线与线段有交点问题常利用数形结合及公式求解．跟踪训练4 已知A (3,3)，B (－4,2)，C (0，－2)．若点D 在线段BC 上(包括端点)移动，求直线AD 的斜率的变化范围．解如图所示．当点D 由B 运动到C 时，直线AD 的斜率由k AB 增大到k AC ，所以直线AD 的斜率的变化范围是⎣⎡⎦⎤17，53.1．对于下列命题：①若α是直线l 的倾斜角，则0°≤α<180°； ②若k 是直线的斜率，则k ∈R ；③任一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率；④任一条直线都有斜率，但不一定有倾斜角．其中正确命题的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 答案 C解析 ①②③正确．2．若经过A (m,3)，B (1,2)两点的直线的倾斜角为45°，则m 等于( ) A ．2 B ．1 C ．－1 D ．－2 答案 A解析 tan 45°＝2－31－m，得m ＝2.3．若三点A (2,3)，B (3,2)，C (12，m )共线，则实数m 的值为．答案 92解析设直线AB ，BC 的斜率分别为k AB ，k BC ，则由斜率公式，得k AB ＝3－22－3＝－1，k BC ＝m －212－3＝－25(m －2)．∵A ，B ，C 三点共线，∴k AB ＝k BC ，即－1＝－25(m －2)，解得m ＝92.4．经过A (m,3)，B (1,2)两点的直线的倾斜角α的取值范围是．(其中m ≥1) 答案 (0°，90°]解析当m ＝1时，倾斜角α＝90°，当m >1时，tan α＝3－2m －1>0，∴0°<α<90°，故0°<α≤90°.5．已知交于点M (8,6)的四条直线l 1，l 2，l 3，l 4的倾斜角之比为1∶2∶3∶4，又知l 2过点N (5,3)，求这四条直线的倾斜角．解 l 2的斜率为6－38－5＝1，∴l 2的倾斜角为45°，由题意可得：l 1的倾斜角为22.5°，l 3的倾斜角为67.5°，l 4的倾斜角为90°.直线的斜率和倾斜角反映了直线的倾斜程度，二者紧密相连，如下表：课时作业一、选择题1．下列说法中正确的是( )A ．一条直线和x 轴的正方向所成的正角，叫做这条直线的倾斜角B ．直线的倾斜角α的取值范围是[0°，180°]C ．和x 轴平行的直线的倾斜角为180°D ．每一条直线都存在倾斜角，但并非每一条直线都存在斜率答案 D解析倾斜角是直线向上方向与x 轴的正方向所成的角，故选项A 不正确；直线的倾斜角的取值范围是[0°，180°)，故选项B 不正确；当直线与x 轴平行时，倾斜角为0°，故选项C 不正确．2．已知l 1⊥l 2，直线l 1的倾斜角为60°，则直线l 2的倾斜角为( ) A ．60° B ．120° C ．30° D ．150° 答案 D解析两直线垂直时，它们的倾斜角相差90°，由l 1的倾斜角为60°知，l 2的倾斜角为150°. 3．若直线过坐标平面内两点(1,2)，(4,2＋3)，则此直线的倾斜角是( ) A ．30° B ．45° C ．60° D ．90° 答案 A解析由题意知k ＝2＋3－24－1＝33，∴直线的倾斜角为30°.4．已知直线l 的斜率的绝对值等于3，则直线l 的倾斜角为( ) A ．60° B ．30° C ．60°或120° D ．30°或150°答案 C解析由题意知|tan α|＝3，即tan α＝3或tan α＝－3， ∴直线l 的倾斜角为60°或120°.5．下列各组中，三点能构成三角形的三个顶点的为( ) A ．(1,3)、(5,7)、(10,12) B ．(－1,4)、(2,1)、(－2,5) C ．(0,2)、(2,5)、(3,7) D ．(1，－1)、(3,3)、(5,7)答案 C 解析A 、B 、D 三个选项中三点均共线．6.若图中直线l 1、l 2、l 3的斜率分别为k 1、k 2、k 3，则( )A ．k 1<k 2<k 3B ．k 3<k 1<k 2C ．k 3<k 2<k 1D ．k 1<k 3<k 2 答案 D解析由题图可知，k 1<0，k 2>0，k 3>0，且l 2比l 3的倾斜角大．∴k 1<k 3<k 2.7．一条直线l 与x 轴相交，其向上的方向与y 轴正方向所成的角为α(0°<α<90°)，则其倾斜角为( ) A ．αB ．180°－αC ．180°－α或90°－αD ．90°＋α或90°－α答案 D解析如图所示，当l 方向向上的部分在y 轴左侧时，倾斜角为90°＋α；当l 方向向上的部分在y 轴右侧时，倾斜角为90°－α.故选D.8．已知直线l 过点A (1,2)，且不过第四象限，则直线l 的斜率k 的最大值是( ) A ．2 B ．1 C.12D ．0答案 A解析如图，k OA ＝2，k l ′＝0，只有当直线落在图中所示位置时才符合题意，故k ∈[0,2]．故直线l 的斜率k 的最大值为2.二、填空题9．若三点A (2,2)，B (a,0)，C (0，b )(ab ≠0)共线，则1a ＋1b 的值等于．答案 12解析由于A ，B ，C 三点共线，所以此直线的斜率既可用A ，B 两点的坐标表示，也可用A ，C 两点的坐标表示，于是有22－a＝2－b 2，由此可得a ＋b ＝12ab ，两边同时除以ab ，得1a ＋1b ＝12.10．已知点A (1,2)，若在坐标轴上有一点P ，使直线P A 的倾斜角为135°，则点P 的坐标为．答案 (3,0)或(0,3)解析由题意知k P A ＝－1，若P 点在x 轴上，则设P (m,0)，则0－2m －1＝－1，解得m ＝3；若P点在y 轴上，则设P (0，n )，则n －20－1＝－1，解得n ＝3，故P 点的坐标为(3,0)或(0,3)．11．若经过点A (1－t,1＋t )和点B (3,2t )的直线的倾斜角为钝角，则实数t 的取值范围是．答案 (－2,1)解析由题意知，k AB ＝2t －(1＋t )3－(1－t )＝t －1t ＋2.因为直线的倾斜角为钝角，所以k AB ＝t －1t ＋2<0，解得－2<t <1.12．若直线l 经过A (2,1)，B (1，m 2)(m ∈R )两点，则直线l 的倾斜角的取值范围为．答案 [0°，45°]∪(90°，180°)解析直线l 的斜率k ＝m 2－11－2＝1－m 2≤1.若l 的倾斜角为α，则tan α≤1.又∵α∈[0°，180°)，当0≤tan α≤1时，0°≤α≤45°；当tan α<0时，90°<α<180°. ∴α∈[0°，45°]∪(90°，180°)．三、解答题13．已知坐标平面内两点M (m ＋3,2m ＋5)，N (m －2,1)． (1)当m 为何值时，直线MN 的倾斜角为锐角？ (2)当m 为何值时，直线MN 的倾斜角为钝角？ (3)直线MN 的倾斜角可能为直角吗？解 (1)若倾斜角为锐角，则斜率大于0，即k ＝2m ＋5－1m ＋3－(m －2)＝2m ＋45>0，解得m >－2.(2)若倾斜角为钝角，则斜率小于0，即k ＝2m ＋5－1m ＋3－(m －2)＝2m ＋45<0，解得m <－2.(3)当直线MN 垂直于x 轴时直线的倾斜角为直角，此时m ＋3＝m －2，此方程无解，故直线MN 的倾斜角不可能为直角．四、探究与拓展14．已知坐标平面内三点A (－1,1)，B (1,1)，C (2，3＋1)．若D 为△ABC 的边AB 上一动点，则直线CD 的斜率k 的取值范围为( ) A ．[33，3] B ．[0，33]∪[3，＋∞) C ．[33，＋∞) D ．[3，＋∞)答案 A15．已知坐标平面内三点P (3，－1)，M (6,2)，N (－3，3)，直线l 过点P .若直线l 与线段MN 相交，求直线l 的倾斜角的取值范围．解考虑临界状态，令直线PM 的倾斜角为α1，直线PN 的倾斜角为α2，由题意知tan α1＝1，tan α2＝－33，故直线PM 的倾斜角为45°，直线PN 的倾斜角为150°，根据倾斜角的定义知符合条件的直线l 的倾斜角α的取值范围是45°≤α≤150°.。

2018版人教A版高中数学必修二同步学习讲义第三章直线与方程3.3.1~3.3.2 Word版含答案

两条直线的交点坐标
两点间的距离
学习目标.会用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标.会根据方程解的个数判定两条直线的位置关系.掌握两点间距离公式并会应用．
知识点一直线的交点与直线的方程组解的关系
思考直线上的点与其方程＋＋＝的解有什么样的关系？
答案直线上每一个点的坐标都满足直线方程，也就是说直线上的点的坐标是其方程的解．反之直线的方程的每一个解都表示直线上的点的坐标．
思考已知两条直线与相交，如何用代数方法求它们的交点的坐标？
答案只需写出这两条直线的方程，然后联立求解．
思考由两直线方程组成的方程组解的情况与两条直线的位置关系有何对应关系？
答案()若方程组无解，则∥；
()若方程组有且只有一个解，则与相交；
()若方程组有无数解，则与重合．
梳理()两直线的交点
几何元素及关系代数表示
点(，)
直线：＋＋＝
点在直线上＋＋＝
直线与的交点是
()两直线的位置关系
方程组的解一组无数组无解直线与的公共点的个数一个无数个零个
直线与的位置关系相交重合平行
知识点二两点间的距离
已知平面上两点(，)，(，)．
思考当≠，＝时，＝？
答案＝－.
思考当＝，≠时，＝？
答案＝－.
思考当≠，≠时，＝？请简单说明理由．
答案如图，在△中，＝＋，所以＝.
即两点(，)，(，)间的距离＝.。

人教A版必修二高中数学第三章 3.2.3同步课堂导学案【含详细解析】

3.2.3直线的一般式方程[学习目标]1.掌握直线的一般式方程.2.了解关于x 、y 的二元一次方程Ax ＋By ＋C ＝0(A 、B不同时为0)都表示直线，且直线方程都可以化为Ax ＋By ＋C ＝0的形式.3.会进行直线方程不同形式的转化．[知识链接]1．过点A (x 0，y 0)分别垂直于x 轴、y 轴的直线方程为：x ＝x 0，y ＝y 0.2．直线的点斜式方程：y －y 0＝k (x －x 0)．直线的两点式方程：y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1(x 1≠x 2，y 1≠y 2)．[预习导引]1．在平面直角坐标系中，对于任何一条直线，都有一个表示这条直线的关于x ，y 的二元一次方程；任何关于x ，y 的二元一次方程都表示一条直线．方程Ax ＋By ＋C ＝0(其中A 、B 不同时为0)叫做直线方程的一般式．2．对于直线Ax ＋By ＋C ＝0，当B ≠0时，其斜率为－A B ，在y 轴上的截距为－CB；当B ＝0时，在x 轴上的截距为－C A ；当AB ≠0时，在两轴上的截距分别为－C A ，－CB .3．直线一般式方程的结构特征(1)方程是关于x ，y 的二元一次方程．(2)方程中等号的左侧自左向右一般按x ，y ，常数的先后顺序排列．(3)x 的系数一般不为分数和负数．(4)虽然直线方程的一般式有三个参数，但只需两个独立的条件即可求得直线的方程.要点一直线的一般式与其他形式的转化例1(1)下列直线中，斜率为－43，且不经过第一象限的是()A ．3x ＋4y ＋7＝0B ．4x ＋3y ＋7＝0C ．4x ＋3y －42＝0D ．3x ＋4y －42＝0(2)直线3x －5y ＋9＝0在x 轴上的截距等于()A.3B ．－5 C.95D ．－33答案(1)B(2)D解析(1)将一般式化为斜截式，斜率为－43的有：B 、C 两项．又y ＝－43＋14过点(0,14)即直线过第一象限，所以只有B 项正确．(2)令y ＝0则x ＝－33.规律方法(1)一般式化为斜截式的步骤：①移项得By ＝－Ax －C ；②当B ≠0时，得斜截式：y ＝－A B x －CB .(2)一般式化为截距式的步骤：方法一：①把常数项移到方程右边，得Ax ＋By ＝－C ；②当C ≠0时，方程两边同除以－C ，得Ax －C ＋By－C＝1；③化为截距式：x －C A ＋y－C B ＝1.方法二：①令x ＝0求直线在y 轴上的截距b ；②令y ＝0求直线在x 轴上的截距a ；③代入截距式方程x a ＋yb＝1.由于直线方程的斜截式和截距式是唯一的，而两点式和点斜式不唯一，因此，通常情况下，一般式不化为两点式和点斜式．跟踪演练1已知直线l 经过点A (－5,6)和点B (－4,8)，求直线l 的一般式方程和截距式方程，并画出图形．解因为直线l 经过点A (－5,6)，B (－4,8)，所以由两点式，得y －68－6＝x ＋5－4＋5，整理得2x －y ＋16＝0，化为截距式得x －8＋y16＝1，所以直线l 的一般式方程为2x －y ＋16＝0，截距式方程为x －8＋y16＝1.图形如图所示：要点二直线方程的应用例2已知直线l 的方程为3x ＋4y －12＝0，求满足下列条件的直线l ′的方程：(1)过点(－1,3)，且与l 平行；(2)过点(－1,3)，且与l 垂直．解方法一l 的方程可化为y ＝－34x ＋3，∴l 的斜率为－34.(1)∵l ′与l 平行，∴l ′的斜率为－34.又∵l ′过点(－1,3)，由点斜式知方程为y －3＝－34(x ＋1)，即3x ＋4y －9＝0.(2)∵l ′与l 垂直，∴l ′的斜率为43，又l ′过点(－1,3)，由点斜式可得方程为y －3＝43(x ＋1)，即4x －3y ＋13＝0.方法二(1)由l ′与l 平行，可设l ′的方程为3x ＋4y ＋m ＝0.将点(－1,3)代入上式得m ＝－9.∴所求直线的方程为3x ＋4y －9＝0.(2)由l ′与l 垂直，可设l ′的方程为4x －3y ＋n ＝0.将(－1,3)代入上式得n ＝13.∴所求直线的方程为4x －3y ＋13＝0.规律方法一般地，直线Ax ＋By ＋C ＝0中系数A 、B 确定直线的斜率，因此，与直线Ax ＋By ＋C ＝0平行的直线方程可设为Ax ＋By ＋m ＝0，与直线Ax ＋By ＋C ＝0垂直的直线方程可设为Bx －Ay ＋n ＝0.这是经常采用的解题技巧．跟踪演练2已知A (2,2)和直线l ：3x ＋4y －20＝0.求：(1)过点A 和直线l 平行的直线方程；(2)过点A 和直线l 垂直的直线方程．解(1)将与直线l 平行的方程设为3x ＋4y ＋C 1＝0，又过点A(2,2)，所以3×2＋4×2＋C1＝0，所以C1＝－14.所求直线方程为3x＋4y－14＝0.(2)将与l垂直的直线方程设为4x－3y＋C2＝0，又过点A(2,2)，所以4×2－3×2＋C2＝0，所以C2＝－2，所以直线方程为4x－3y－2＝0.要点三由含参一般式方程求参数的值或取值范围例3(1)若方程(m2＋5m＋6)x＋(m2＋3m)y＋1＝0表示一条直线，则实数m满足________．(2)当实数m为何值时，直线(2m2＋m－3)x＋(m2－m)y＝4m－1.①倾斜角为45°；②在x轴上的截距为1.(1)答案m≠－3解析若方程不能表示直线，则m2＋5m＋6＝0且m2＋3m＝0.2＋5m＋6＝0，2＋3m＝0，得m＝－3，所以m≠－3时，方程表示一条直线．(2)解①因为已知直线的倾斜角为45°，所以此直线的斜率是1，所以－2m2＋m－3m2－m＝1，2－m≠0，m2＋m－3＝－(m2－m)，≠0且m≠1，＝－1或m＝1.所以m＝－1.②因为已知直线在x轴上的截距为1，令y＝0得x＝4m－12m2＋m－3，所以4m－12＋m－3＝1，m2＋m－3≠0，m－1＝2m2＋m－3，≠1且m≠－32，＝－12或m＝2.所以m＝－12或m＝2.规律方法已知含参的直线的一般式方程求参数的值或范围的步骤跟踪演练3已知直线l ：kx －y ＋1＋2k ＝0(k ∈R )．(1)证明：直线l 过定点；(2)若直线不经过第四象限，求k 的取值范围．直线l k (x ＋2)＋(1－y )＝0，＋2＝0，－y ＝0，＝－2，＝1，∴无论k 取何值，直线总经过定点(－2,1)．(2)解由方程知，当k ≠0时直线在x 轴上的截距为－1＋2kk，在y 轴上的截距为1＋2k ，要－1＋2k k ≤－2，＋2k ≥1，解之得k >0；当k ＝0时，直线为y ＝1，符合题意，故k ≥0.故k 的取值范围为{k |k ≥0}.1．若方程Ax ＋By ＋C ＝0表示直线，则A 、B 应满足的条件为()A ．A ≠0B ．B ≠0C ．A ·B ≠0D ．A 2＋B 2≠0答案D解析方程Ax ＋By ＋C ＝0表示直线的条件为A 、B 不能同时为0，即A 2＋B 2≠0.2．已知ab <0，bc <0，则直线ax ＋by ＝c 通过()A ．第一、二、三象限B ．第一、二、四象限C ．第一、三、四象限D ．第二、三、四象限答案C解析由ax＋by＝c，得y＝－abx＋cb，∵ab<0，∴直线的斜率k＝－ab>0，直线在y轴上的截距cb<0.由此可知直线通过第一、三、四象限．3．在直角坐标系中，直线x＋3y－3＝0的倾斜角是() A．30°B．60°C．150°D．120°答案C解析直线斜率k＝－33，所以倾斜角为150°，故选C.4．已知直线(a－2)x＋ay－1＝0与直线2x＋3y＋5＝0平行，则a的值为()A．－6B．6C．－45D.4 5答案B解析由(a－2)×3－a×2＝0得a＝6，且当a＝6时两直线平行，故选B.1.根据两直线的一般式方程判定两直线平行的方法(1)判定斜率是否存在，若存在，化成斜截式后，则k1＝k2且b1≠b2；若都不存在，则还要判定不重合．(2)可直接采用如下方法：一般地，设直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0.l1∥l2⇔A1B2－A2B1＝0，且B1C2－B2C1≠0，或A1C2－A2C1≠0.这种判定方法避开了斜率存在和不存在两种情况的讨论，可以减小因考虑不周而造成失误的可能性．2．根据两直线的一般式方程判定两直线垂直的方法(1)若一个斜率为零，另一个不存在，则垂直；若两个都存在斜率，化成斜截式后，则k1k2＝－1.(2)一般地，设l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0.第二种方法可避免讨论，减小失误．一、基础达标1．直线(2m2－5m＋2)x－(m2－4)y＋5m＝0的倾斜角为45°，则m的值为() A．－2B．2C．－3D．3答案D解析由已知得m2－4≠0，且2m2－5m＋2m2－4＝1，解得：m＝3或m＝2(舍去)．2．直线l的方程为Ax＋By＋C＝0，若直线l过原点和二、四象限，则()A．C＝0，B>0B．A>0，B>0，C＝0C．AB<0，C＝0D．AB>0，C＝0答案D解析通过直线的斜率和截距进行判断．3．已知直线ax＋by－1＝0在y轴上的截距为－1，且它的倾斜角是直线3x－y－3＝0的倾斜角的2倍，则a，b的值分别为()A.3，1B.3，－1C．－3，1D．－3，－1答案D解析原方程化为x1a＋y1b＝1，∴1b＝－1，∴b＝－1.又∵ax＋by－1＝0的斜率k＝－ab＝a，且3x－y－3＝0的倾斜角为60°，∴k＝tan120°，∴a＝－3，故选D. 4．直线ax＋3my＋2a＝0(m≠0)过点(1，－1)，则直线的斜率k等于() A．－3B．3C.1 3D．－13答案D解析由点(1，－1)在直线上可得a－3m＋2a＝0(m≠0)，解得m＝a，故直线方程为ax＋3ay＋2a＝0(a≠0)，即x＋3y＋2＝0，其斜率k＝－1 3 .5．已知直线(a＋2)x＋(a2－2a－3)y－2a＝0在x轴上的截距为3，则该直线在y轴上的截距为________．答案－4 15解析把(3,0)代入已知方程得：(a ＋2)×3－2a ＝0，∴a ＝－6.∴直线方程为－4x ＋45y ＋12＝0，令x ＝0，得y ＝－415.6．直线l ：ax ＋(a ＋1)y ＋2＝0的倾斜角大于45°，则a 的取值范围是________________．答案(－∞，－12)∪(0，＋∞)解析当a ＝－1时，直线l 的倾斜角为90°，符合要求；当a ≠－1时，直线l 的斜率为－a a ＋1，只要－a a ＋1>1或者－aa ＋1<0即可，解得－1<a <－12或者a <－1或者a >0.综上可知，实数a 的取值范围是(－∞，－12)∪(0，＋∞)．7．已知直线l 1：ax ＋(1－a )y ＝3与l 2：(a －1)x ＋(2a ＋3)y ＝2互相垂直，求a 的值．解方法一当a ＝1时，l 1为x ＝3，l 2为y ＝25，故l 1⊥l 2.当a ＝－32时，l 1的方程为－32x ＋52y ＝3，l 2的方程为－52＝2，显然l 1，l 2不垂直．当a ≠1且a ≠－32时，由k 1·k 2＝－1，得a a －1·1－a 2a ＋3＝－1，解得a ＝－3.综上所述，当a ＝1或a ＝－3时，l 1⊥l 2.方法二因为l 1⊥l 2，所以a (a －1)＋(1－a )(2a ＋3)＝0，即a 2＋2a －3＝0.解得a ＝1或a ＝－3.故当a ＝1或a ＝－3时，l 1⊥l 2.二、能力提升8．直线l 1：ax －y ＋b ＝0，l 2：bx －y ＋a ＝0(a ≠0，b ≠0，a ≠b )在同一坐标系中的图形大致是()答案C解析将l 1与l 2的方程化为斜截式得：y ＝ax ＋b ，y ＝bx ＋a ，根据斜率和截距的符号可得选C.9．若直线l 1：x ＋ay －2＝0与直线l 2：2ax ＋(a －1)y ＋3＝0互相垂直，则a 的值为________．答案0或－1解析a ＝0时，l 1：x ＝2，l 2：y ＝3，显然l 1⊥l 2；a ＝1时，l 1：x ＋y －2＝0，l 2：x ＝－32，显然l 1和l 2不垂直；a ≠0，且a ≠1时，则k 1＝－1a ，k 2＝2a 1－a.由l 1⊥l 2得－1a ·2a1－a ＝－1，解得a ＝－1.故a 的值为0或－1.10．已知两条直线a 1x ＋b 1y ＋4＝0和a 2x ＋b 2y ＋4＝0都过点A (2,3)，则过两点P 1(a 1，b 1)，P 2(a 2，b 2)的直线方程为________________．答案2x ＋3y ＋4＝0解析a 1＋3b 1＋4＝0，a 2＋3b 2＋4＝0，易知两点P 1(a 1，b 1)，P 2(a 2，b 2)都在直线2x ＋3y ＋4＝0上，即2x ＋3y ＋4＝0为所求．11．根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程：(1)斜率为3，且经过点A (5,3)；(2)过点B (－3,0)，且垂直于x 轴；(3)斜率为4，在y 轴上的截距为－2；(4)在y 轴上的截距为3，且平行于x 轴；(5)经过C (－1,5)，D (2，－1)两点；(6)在x 轴，y 轴上截距分别是－3，－1.解(1)由点斜式方程得y －3＝3(x －5)，即3x －y ＋3－53＝0.(2)x ＝－3，即x ＋3＝0.(3)y ＝4x －2，即4x －y －2＝0.(4)y ＝3，即y －3＝0.(5)由两点式方程得y －5－1－5＝x －(－1)2－(－1)，即2x ＋y －3＝0.(6)由截距式方程得x －3＋y－1＝1，即x ＋3y ＋3＝0.三、探究与创新12．求满足下列条件的直线方程：(1)过点A (1，－4)，与直线2x ＋3y ＋5＝0平行；(2)过点A (1，－4)，与直线2x －3y ＋5＝0垂直．解(1)设所求直线方程为2x ＋3y ＋C 1＝0，则由题意得2×1＋3×(－4)＋C 1＝0，解得C 1＝10，所以所求直线方程为2x ＋3y ＋10＝0.(2)设所求直线方程为3x ＋2y ＋C 2＝0，则由题意得3×1＋2×(－4)＋C 2＝0，解得C 2＝5，所以所求直线方程为3x ＋2y ＋5＝0.13．(1)已知直线l 1：2x ＋(m ＋1)y ＋4＝0与直线l 2：mx ＋3y －2＝0平行，求m 的值．(2)当a 为何值时，直线l 1：(a ＋2)x ＋(1－a )y －1＝0与直线l 2：(a －1)x ＋(2a ＋3)y ＋2＝0互相垂直？解方法一(1)由l 1：2x ＋(m ＋1)y ＋4＝0，l 2：mx ＋3y －2＝0知：①当m ＝0时，显然l 1与l 2不平行．②当m ≠0时，l 1∥l 2，需2m ＝m ＋13≠4－2.解得m ＝2或m ＝－3，∴m 的值为2或－3.(2)由题意知，直线l 1⊥l 2.①若1－a ＝0，即a ＝1时，直线l 1：3x －1＝0与直线l 2：5y ＋2＝0显然垂直．②若2a ＋3＝0，即a ＝－32时，直线l 1：x ＋5y －2＝0与直线l 2：5x －4＝0不垂直．③若1－a ≠0，且2a ＋3≠0，则直线l 1，l 2的斜率k 1，k 2都存在，k 1＝－a ＋21－a ，k 2＝－a －12a ＋3.当l 1⊥l 2时，k 1·k 2＝－1，即(－a ＋21－a )·(－a －12a ＋3)＝－1，∴a ＝－1.综上可知，当a ＝1或a ＝－1时，直线l 1⊥l 2.方法二(1)令2×3＝m (m ＋1)，解得m ＝－3或m ＝2.当m ＝－3时，l 1：x －y ＋2＝0，l 2：3x －3y ＋2＝0，显然l1与l2不重合，∴l1∥l2.同理当m＝2时，l1：2x＋3y＋4＝0，l2：2x＋3y－2＝0，显然l1与l2不重合，∴l1∥l2.∴m的值为2或－3.(2)由题意知直线l1⊥l2，∴(a＋2)(a－1)＋(1－a)(2a＋3)＝0，解得a＝±1，将a＝±1代入方程，均满足题意．故当a＝1或a＝－1时，直线l1⊥l2.3.3直线的交点坐标与距离公式。

2018年秋高中数学人教A版必修2课件：第3章直线与方程3.2.3 精品

1.若方程 Ax＋By＋C＝0 表示直线，则 A、B 应满足的条件为导学号 92180754 ( A．A≠0 C．A· B≠0 ) B．B≠0 D．A2＋B2≠0
[答案] D [解析] A、B不能同时为0，则A2＋B2≠0.
2．直线 2x＋y＋4＝0 的斜率 k＝导学号 92180755 ( A．2 1 C．2 B．－2 1 D．－2
4．若直线 l1：x＋ay－2＝0 与直线 l2：2ax＋(a－1)y＋3＝0 垂直，则 a 的值为________. 导学号 92180757
[答案] －1或0 [解析] 由题意，得2a＋a(a－1)＝0，解得a＝－1或0.
课堂典例讲练
直线的一般式方程
根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程. 导学号 92180758 (1)斜率是 3，且经过点 A(5,3)； (2)过点 B(－3,0)，且垂直于 x 轴； (3)斜率为 4，在 y 轴上的截距为－2； (4)在 y 轴上的截距为 3，且平行于 x 轴； (5)经过 A(－1,5)、B(2，－1)两点； (6)在 x、y 轴上的截距分别是－3，－1.
)
[ 答案]
[ 解析]
B
A A＝2，B＝1，则 k＝－B＝－2.
3．直线 kx－y＋1－3k＝0，当 k 变化时，所有直线都恒过点导学号 92180756 ( A．(0,0) C．(3,1) ) B．(0,1) D．(2,1)
[答案] C [解析] 直线方程可化为y－1＝k(x－3)， ∴无论k为何值时，都过定点(3,1)．
成才之路 ·数学
人教A版 ·必修2
路漫漫其修远兮吾将上下而求索
第三章
直线与方程
第三章
3.2 直线的方程

2018版人教A版高中数学必修二同步学习讲义第三章直线与方程3.2.1 Word版含答案

直线的点斜式方程
学习目标.了解由斜率公式推导直线方程的点斜式的过程.掌握直线的点斜式方程与斜截式方程.会利用直线的点斜式与斜截式方程解决有关的实际问题．
知识点一直线的点斜式方程
思考如图，直线经过点(，)，且斜率为，设点(，)是直线上不同于点的任意一点，那么，应满足什么关系？
答案由斜率公式得＝，
则，应满足－＝(－)．
思考经过点(，)的所有直线是否都能用点斜式方程来表示？
答案斜率不存在的直线不能用点斜式表示，过点斜率不存在的直线为＝.
梳理
点斜式
已知条件点(，)和斜率
图示
方程形式－＝(－)
适用条件斜率存在
知识点二直线的斜截式方程
思考已知直线的斜率为，且与轴的交点为(，)，得到的直线的方程是什么？答案将及点(，)代入直线方程的点斜式得：＝＋.
思考方程＝＋，表示的直线在轴上的截距是距离吗？可不可以为负数和零？答案轴上的截距不是距离，可以是负数和零．
思考对于直线：＝＋，：＝＋.
①∥⇔＝且≠，
②⊥⇔＝－.
梳理
斜截式
已知条件斜率和直线在轴上的截距
图示
方程式＝＋
适用条件斜率存在。

2018版人教A版高中数学必修二同步学习讲义第三章直线与方程3.1.2 Word版含答案

两条直线平行与垂直的判定学习目标.理解并掌握两条直线平行的条件及两条直线垂直的条件.能根据已知条件判断两直线的平行与垂直.能应用两条直线的平行或垂直解决实际问题．知识点一两条直线平行的判定思考如图，设对于两条不重合的直线与，其倾斜角分别为α与α，斜率分别为与，若∥，α与α之间有什么关系？与之间有什么关系？答案α与α之间的关系为α＝α；对于与之间的关系，当α＝α≠°时，＝，因为α＝α，所以α＝α，即＝.当α＝α＝°时，与不存在．思考对于两条不重合的直线与，若＝，是否一定有∥？为什么？答案一定有∥.因为＝⇒α＝α⇒α＝α⇒∥.梳理类型斜率存在斜率不存在前提条件α＝α≠°α＝α＝°对应关系∥⇔＝∥⇐两直线斜率都不存在图示知识点二两条直线垂直的判定思考如图，设直线与的倾斜角分别为α与α，斜率分别为与，且α<α，若⊥，α与α之间有什么关系？为什么？答案α＝°＋α，因为三角形任意一外角等于与它不相邻两内角之和．思考已知(°＋α)＝－，据此，如何推出思考中两直线的斜率、之间的关系？答案因为α＝°＋α，所以α＝(°＋α)，由于(°＋α)＝－，α＝－，即αα＝－，所以·＝－.思考如果两直线的斜率存在且满足·＝－，是否一定有⊥？如果⊥，一定有·＝－吗？为什么？答案当·＝－时，一定有⊥.不妨设<，即α为钝角，因为·＝－，则有αα＝－，所以α＝－＝(°＋α)，则α＝°＋α，所以⊥.当⊥时，不一定有·＝－，因为如果直线和分别平行于轴、轴，则不存在，所以·＝－不成立．梳理。

2018版人教A版高中数学必修二同步学习讲义第三章直线与方程3.2.1Word版含全面版

直线的点斜式方程学习目标 1.认识由斜率公式推导直线方程的点斜式的过程.2.掌握直线的点斜式方程与斜截式方程 .3.会利用直线的点斜式与斜截式方程解决有关的实责问题．知识点一直线的点斜式方程思虑 1如图，直线l 经过点 P0 (x0，y0)，且斜率为k，设点 P(x，y)是直线 l 上不同样于点P0的任意一点，那么x， y 应知足什么关系？y－ y0答案由斜率公式得k＝，那么 x，y 应知足 y－y0＝k(x－x0 )．思虑 2经过点 P0(x0， y0)的所有直线可否都能用点斜式方程来表示？答案斜率不存在的直线不能够用点斜式表示，过点P0斜率不存在的直线为x＝x0.梳理点斜式条件点 P(x0， y0)和斜率 k图示方程形式y－ y0＝ k(x－ x0)适用条件斜率存在知识点二直线的斜截式方程思虑 1直线 l 的斜率为 k，且与 y 轴的交点为 (0， b)，获得的直线l 的方程是什么？答案将 k 及点 (0，b)代入直线方程的点斜式得：y＝ kx＋ b.思虑 2方程 y＝ kx＋ b，表示的直线在 y 轴上的截距 b 是距离吗？ b 可不能够够为负数和零？答案y 轴上的截距 b 不是距离，能够是负数和零．思虑 3对于直线 l 1：y＝ k1x＋ b1， l 2：y＝ k2x＋ b2.①l1∥ l2 ? k1＝ k2且 b1≠ b2，② l1⊥ l2 ? k1k2＝－ 1.梳理斜截式条件斜率 k 和直线在y 轴上的截距b图示方程式适用条件y＝ kx＋ b 斜率存在种类一直线的点斜式方程例 1写出以下直线的点斜式方程．(1)经过点 A(2,5)，且与直线y＝ 2x＋7 平行；(2)经过点 C(－ 1，－ 1)，且与 x 轴平行；(3)经过点 D(1,2)，且与 x 轴垂直．解 (1) 由题意知，直线的斜率为 2，因此其点斜式方程为 y－ 5＝ 2(x－ 2)．(2)由题意知，直线的斜率k＝ tan 0 ＝°0，因此直线的点斜式方程为y－(－1)＝ 0.(3)由题意可知直线的斜率不存在，因此直线的方程为x＝ 1，该直线没有点斜式方程．反思与感悟(1)求直线的点斜式方程(2)点斜式方程y－ y0＝ k(x－ x0)可表示过点 P(x0， y0)的所有直线，但直线 x＝ x0除外．追踪训练 1(1)经过点 (－ 3,1)且平行于 y 轴的直线方程是 ________．(2)直线 y＝ 2x＋ 1绕着其上一点 P(1,3)逆时针旋转90°后获得直线 l ，那么直线 l 的点斜式方程是________．3(3)素来线 l1过点A(－ 1，－ 2)，其倾斜角等于直线l 2： y＝3 x 的倾斜角的 2 倍，那么 l 1的点斜式方程为 ________．答案 (1) x＝－ 3(2) y－ 3＝－1(x－ 1) 2(3)y＋ 2＝3(x＋ 1)剖析(1) ∵直线与y 轴平行，∴该直线斜率不存在，∴ 直线方程为x＝－ 3.1 (2)由题意知，直线l 与直线y＝ 2x＋1 垂直，那么直线l 的斜率为－ 2.由点斜式方程可得l 的方程为1y－ 3＝－ 2(x－ 1)．(3)∵直线l2的方程为y＝33x，设其倾斜角为α，那么tan α＝33，∴α＝ 30°，那么直线l1的倾斜角为2× 30°＝60°，那么 l 1的点斜式方程为y＋ 2＝ tan 60 (x°＋ 1)，即y＋ 2＝3(x＋ 1)．种类二直线的斜截式方程例 2 (1) 倾斜角为60°，与y 轴的交点到坐标原点的距离为 3 的直线的斜截式方程是________________________________________________________________________ ．(2)直线 l 1的方程为 y＝－ 2x＋ 3，l 2的方程为 y＝ 4x－ 2，直线 l 与 l1平行且与 l2在 y 轴上的截距同样，求直线 l 的方程．(1)答案y＝3x＋ 3 或 y＝3x－ 3剖析∵直线的倾斜角是60°，∴ 其斜率k＝ tan 60＝°3，∵ 直线与y 轴的交点到原点的距离是3，∴ 直线在y 轴上的截距是3或－3，∴ 所求直线方程是y＝3x＋ 3 或 y＝3x－ 3.(2)解由斜截式方程知直线l 1的斜率k1＝－ 2，又由于 l ∥l 1，因此 k l＝－ 2，由题意知l2在 y 轴上的截距为－2，因此直线l 在 y 轴上的截距b＝－ 2，由斜截式可得直线l 的方程为y＝－ 2x－2.引申研究本例 (2) 中假设将“直线 l 与 l1平行且与 l2在 y 轴上的截距相等〞改为“直线 l 与 l 1垂直且与 l 2在 y 轴上的截距互为相反数〞，求 l 的方程．解∵l 1⊥ l ，直线 l 1： y＝－ 2x＋ 3，∴ l 的斜率为1，2∵ l 与 l 2在 y 轴上的截距互为相反数，直线 l2： y＝ 4x－ 2，∴ l 在 y 轴上的截距为2，1∴直线 l 的方程为 y＝2x＋ 2.反思与感悟(1)斜截式方程的应用前提是直线的斜率存在．当b＝0时，y＝kx表示过原点的直线；当k＝ 0 时， y＝ b 表示与 x 轴平行 (或重合 )的直线．(2)截距不同样于平常生活中的距离，截距是一个点的横(纵 )坐标，是一个实数，能够是正数，也能够是负数和零，而距离是一个非负数．追踪训练2直线l 的斜率为1，且和两坐标轴围成面积为63 的三角形，求l 的斜截式方程．1解设直线方程为y＝6x＋b，那么当 x＝ 0 时， y＝b；1y＝ 0 时， x＝－ 6b.由可得2·|b| |·－ 6b|＝ 3，即 6|b|2＝ 6，∴ b＝±1.故所求直线 l 的斜截式方程为y＝1x＋ 1 或 y＝1x－ 1. 66种类三平行与垂直的应用例 3(1) 当 a 为何值时，直线l1： y＝－ x＋ 2a与直线 l2：y＝ (a2－ 2)x＋ 2 平行？(2)当 a 为何值时，直线l1： y＝(2a－ 1)x＋ 3 与直线 l 2： y＝ 4x－ 3 垂直？解(1) 由题意可知，k l＝－ 1，k l2－ 2，＝a12a2－ 2＝－ 1，∵ l1∥ l2，∴解得 a＝－ 1.2a≠ 2，故当 a＝－ 1 时，直线l 1： y＝－ x＋ 2a 与直线 l 2：y＝ (a2－ 2)x＋ 2 平行．(2)由题意可知，k l1＝2a－1， k l2＝4，∵l1⊥l2，3∴ 4(2a－1) ＝－ 1，解得 a＝8.3故当 a＝时，直线l1：y＝ (2a－ 1)x＋ 3 与直线 l2：y＝ 4x－3 垂直．反思与感悟设直线 l1和 l 2的斜率 k1， k2都存在，其方程分别为l1： y＝ k1x＋ b1， l2： y＝ k2x ＋b2，那么： (1)l 1∥l 2? k1＝ k2，且 b1≠ b2；(2)k1＝ k2，且 b1＝ b2 ? 两条直线重合； (3) l1⊥ l2 ? k1·k2＝－ 1.追踪训练 3 直线2与直线1y＝ 3x＋5l： y＝(a － 2)x＋2a＋ 9y＝－ x＋ 1 垂直，且与直线2在 y 轴上的截距同样，求 a 的值．21解由题意知： (a － 2) ×(－ )＝－ 1，解得 a＝±2.经检验知a＝－ 2 吻合题意．1．方程 y＝ k(x－ 2)表示 ()A ．经过点 ( － 2,0)的所有直线B ．经过点 (2,0) 的所有直线C．经过点 (2,0) 且不垂直于 x 轴的所有直线D．经过点 (2,0) 且除去 x 轴的所有直线答案C剖析易考据直线经过点(2,0) ，又直线斜率存在，故直线不垂直于x 轴．2．直线 y＝ kx＋ b 经过第一、三、四象限，那么有 ()A ． k>0， b>0B． k>0， b<0C．k<0 ， b>0D． k<0， b<0答案B剖析∵ 直线经过第一、三、四象限，∴ 图形以以下图，由图知，k>0， b<0.3．直线 l 过点 P(2,1) ，且直线 l 的斜率为直线x－4y＋ 3＝ 0 的斜率的2 倍，那么直线 l 的方程为 ________．答案x－ 2y＝ 0剖析由 x－ 4y＋3＝ 0，得 y＝1x＋3，其斜率为1，444故所求直线l 的斜率为12，又直线l 过点 P(2,1)，1因此直线l 的方程为y－ 1＝2(x－ 2)，即 x－ 2y＝0.4．直线l1： y＝ 2x＋3a， l2： y＝ (a2＋ 1)x＋ 3，假设 l 1∥ l 2，那么 a＝________.答案－ 1剖析由于 l1∥ l2，因此 a2＋ 1＝ 2， a2＝ 1，因此 a＝±1，又由于 l 1∥ l2，两直线l 1与 l 2不能够重合，那么 3a≠ 3，即 a≠ 1，故 a＝－ 1.5．直线l 的方程为y－ m＝ (m－ 1)(x＋ 1)，假设l 在y 轴上的截距为7，那么m＝ ______.答案4剖析直线 l 的方程可化为y＝(m－ 1)x＋ 2m－ 1，∴2m－ 1＝7，得 m＝ 4.1．求直线的点斜式方程的方法步骤2．直线的斜截式方程的求解策略(1)用斜截式求直线方程，只要确定直线的斜率和截距即可，同时要特别注意截距和距离的区别．(2)直线的斜截式方程y＝kx＋ b 不但形式简单，而且特点明显，k 是直线的斜率， b 是直线在y 轴上的截距，只要确定了k 和 b 的值，直线的图象就如数家珍．因此，在解决直线的图象问题时，常经过把直线方程化为斜截式方程，利用k， b 的几何意义进行判断．课时作业一、选择题1．过点 (4，－ 2)，倾斜角为150 °的直线方程为 ()3A ． y－ 2＝－3 (x＋ 4)3B ．y－ (－ 2)＝－3 (x－ 4)3C．y－ (－ 2)＝3 (x－ 4)3D． y－ 2＝3 (x＋ 4)答案B剖析由题意知 k＝ tan 150 °＝－3，因此直线的点斜式方程为y－ (－ 2)＝－333 ( x－ 4)．22．经过点 (－ 1,1)，斜率是直线y＝2 x－ 2斜率的 2倍的直线方程是 ()A ． y＝－ 1B ．y＝ 1C．y－ 1＝ 2(x＋ 1)D． y－ 1＝ 2 2(x＋ 1)答案C2剖析由方程知直线的斜率为 2，∴ 所求直线的斜率是2，由直线方程的点斜式可得方程为y－1＝ 2(x＋ 1)．3．直线 y＝ ax－1的图象可能是 () a答案B剖析依照斜截式方程知，斜率与直线在 y 轴上的截距正负相反．4．与直线 y ＝ 2x ＋ 1 垂直，且在 y 轴上的截距为 4 的直线的斜截式方程为 ()1A ． y ＝ 2x ＋ 4B ． y ＝2x ＋ 41 C ．y ＝－ 2x ＋ 4 D ． y ＝－ 2x ＋ 4答案 Dy ＝ kx ＋ 4，又由 2k ＝－ 1，得 k ＝－ 1剖析由题意可设所求直线方程为2， ∴ 所求直线方程为1y ＝－ 2x ＋ 4.5．以下四个结论：y － 2①方程 k ＝与方程 y － 2＝ k(x ＋ 1)可表示同素来线；②直线 l 过点 P(x 1， y 1)，倾斜角为 90°，那么其方程为 x ＝x 1； ③直线 l 过点 P(x 1， y 1)，斜率为 0，那么其方程为 y ＝ y 1； ④所有直线都有点斜式和斜截式方程．其中正确的个数为 () A ．1 B ． 2 C ．3 D ．4 答案 B剖析① 中方程：k ＝y － 2中 x ≠ －1；④ 中斜率不存在的直线没有点斜式和斜截式方程，∴①④x ＋ 1错误， ②③ 正确．6．直线 kx －y ＋ 1－ 3k ＝0，当 k 变化时，所有的直线恒过定点 () A ． (1,3) B ． (－ 1，－ 3) C ．(3,1) D ． (－3，－ 1)答案 C剖析直线 kx －y ＋ 1－ 3k ＝ 0 变形为 y －1＝ k(x － 3)，由直线的点斜式可得直线恒过定点(3,1) ．7．假设原点在直线l 上的射影是P(－ 2,1)，那么直线l 的方程为()A ． x ＋ 2y ＝ 0B ． y －1＝－ 2(x ＋ 2)C ．y ＝ 2x ＋ 5D ． y ＝ 2x ＋ 3C剖析∵ 直线OP的斜率为－12，又OP ⊥ l ，∴ 直线l 的斜率为2，∴ 直线l 的点斜式方程为y－ 1＝ 2(x ＋2)，化简，得 y ＝ 2x ＋5，应选 C.二、填空题8．在 y 轴上的截距为－ 6，且与 y 轴订交成 30°角的直线方程是 ________．答案y ＝3x － 6 或y ＝－3x － 6剖析由于直线与y 轴订交成 30°角，因此直线的倾斜角为60°或 120°，因此直线的斜率为3或－3，又由于在 y 轴上的截距为－ 6，因此直线方程为 y ＝ 3x － 6 或 y ＝－ 3x － 6.9．直线 y ＝ (3－ 2k)x － 6 不经过第一象限，那么 k 的取值范围为 ________．答案[ 3，＋∞ ) 2y 轴上的截距不大于零，且斜率不大于零，那么－6≤0，剖析由题意知，需知足它在得3－ 2k ≤ 0，3k ≥ 2.10．与直线l ： y ＝ 3 x ＋ 1 平行，且在两坐标轴上截距之和为1 的直线 l 1 的方程为4________________ ．答案y ＝ 3x － 34剖析依照题意知直线l 的斜率 k ＝ 3，433故直线 l 1 的斜率 k 1＝4，设直线 l 1 的方程为 y ＝4x ＋ b 1，那么令 y ＝ 0 得它在 x 轴上的截距 4a 1＝－b 1.3∵ a 1＋ b 1＝－ 4 1 b 1＝ 1， ∴ b 1＝－ 3.b 1＋ b 1＝－ 333 ∴ 直线 l 1 的方程为 y ＝ 4x － 3.11．斜率为 3，且与坐标轴所围成的三角形的周长是12 的直线方程是 ________．4 答案y ＝3x ±34剖析设所求直线方程为y ＝ 3x ＋ b ，4令 y ＝0 得 x ＝－4b，34 ＋216b 2由题意得 |b|＋－ b b ＋＝ 12，3945|b|＋ 3|b|＋ 3|b|＝12， 4|b|＝ 12， ∴ b ＝ ±3，3∴ 所求直线方程为 y ＝ 4x ±3.三、解答题12．△ ABC 的三个极点坐标分别是A(－ 5,0)， B(3，－ 3)， C(0,2) ，求 BC 边上的高所在的直线方程．解设 BC 边上的高为 AD ，那么 BC ⊥AD ，∴ k AD ·k BC ＝－ 1，即 2＋ 3＝－ 1，解得 k ＝3·k ADAD.0－ 35∴ BC 边上的高所在的直线方程为y － 0＝ 3(x ＋ 5)，5即 y ＝3x ＋ 3.513．直线 l 的斜率与直线 3x － 2y ＝ 6 的斜率相等，且直线 l 在 x 轴上的截距比在 y 轴上的截距大 1，求直线 l 的方程．解由题意知，直线 l 的斜率为 3，2 故设直线 l 的方程为 y ＝3x ＋ b ，22l 在 x 轴上的截距为－ 3b ，在 y 轴上的截距为 b ，因此－ 2b － b ＝ 1， b ＝－ 3，35因此直线 l 的方程为 y ＝3x －3.25四、研究与拓展14．将直线 y ＝ x ＋ 3－ 1 绕它上面一点 (1， 3)沿逆时针方向旋转 15°，所获得的直线方程是 ________．答案 y ＝ 3x剖析由 y ＝ x ＋ 3－ 1 得直线的斜率为 1，倾斜角为 45°.∵ 沿逆时针方向旋转 15°后，倾斜角变成 60°，∴ 所求直线的斜率为3.又 ∵ 直线过点 (1， 3)，∴ 由直线的点斜式方程有 y － 3＝ 3(x － 1)，即 y ＝ 3x.15．直线 l 的方程为 3x ＋4y － 12＝ 0，求 l ′的方程，使得：(1)l′与 l 平行，且过点 (－ 1,3)；(2)l ′与 l 垂直，且 l ′与两坐标轴围成的三角形面积为 4.解 (1) ∵直线 l 的方程为 3x＋ 4y－ 12＝ 0，∴直线 l 的斜率为－3 4.∵l′与 l 平行，∴直线 l′的斜率为－3 . 43∴直线 l ′的方程为y－ 3＝－4(x＋ 1)，即 3x＋ 4y－ 9＝ 0.4(2)∵ l′⊥ l，∴ k l′＝3.设 l ′在 y 轴上的截距为 b，那么 l ′在 x 轴上的截距为－3 b，4由题意可知，1346，S＝ |b| |·－b|＝ 4，∴ b＝±3 24∴直线 l ′的方程为 y＝4x＋46或 y＝4x－4 6. 3333只要我们坚持了，就没有战胜不了的困难。

2018年秋高中数学人教A版必修2课件：第3章直线与方程3.2.1 精品

么斜拉索可看成过桥塔上同一点的直线．怎样表示直线的方程
呢？
1.直线的点斜式方程 (1)定义：如下图所示，直线l过定点P(x0，y0)，斜率为k， y－y0＝k(x－x0) 叫做直线 l 的点斜式方程，简称点斜则把方程 ______________ 式．
(2)说明：如下图所示，过定点 P(x0，y0)，倾斜角是 90° 的
[解析] (1)y－5＝3(x＋2)． (2)k＝tan135°＝－1，∴y＋3＝－(x－2)． (3)y＝－1. (4)x＝1.
直线的斜截式方程
写出下列直线的斜截式方程：导学号 92180693 (1)斜率是 3，在 y 轴上的截距是－3； (2)倾斜角是 60° ，在 y 轴上的截距是 5； (3)倾斜角是 150° ，在 y 轴上的截距是 0.
次函数y＝kx＋b中，k是直线的斜率，常数b是直线在y轴上的截
距，一次函数表示直线，但是有些直线的方程不一定能写成一次函数的形式．
导学号 92180694 写出满足下列条件的直线的方程． (1)斜率为 5，在 y 轴上截距为－1，________； (2)倾斜角 30° ，在 y 轴上截距为 3，________.
[解析] (1)y－5＝4(x－2)，y＝4x－3. (2)k＝tan45°＝1，所以y－3＝x－2. y＝x＋1.
课堂典例讲练
直线的点斜式方程
求满足下列条件的直线的点斜式方程：导学号 92180691 (1)过点 P(－4,3)，斜率 k＝－3； (2)过点 P(3，－4)，且与 x 轴平行； (3)过 P(－2,3)、Q(5，－4)两点．
成才之路 ·数学
人教A版 ·必修2
路漫漫其修远兮吾将上下而求索
第三章
直线与方程

2018版人教A版高中数学必修二同步学习讲义第三章直线与方程章末复习课 Word版含答案

学习目标.整合知识结构，梳理知识网络，进一步巩固、深化所学知识.培养综合运用知识解决问题的能力，能灵活选择直线方程的形式并熟练运用待定系数法求解，渗透数形结合、分类讨论的数学思想．
．直线的倾斜角与斜率
()直线的倾斜角α的范围是°≤α<°.
()＝
()斜率的求法：
①依据倾斜角；②依据直线方程；③依据两点的坐标．
．直线方程的几种形式的转化
．两条直线的位置关系
设：＋＋＝，：＋＋＝，则
()平行⇔－＝且－≠；
()相交⇔－≠；
()重合⇔＝λ，＝λ，＝λ(λ≠)或＝＝(≠)．
．距离公式
()两点间的距离公式．
已知点(，)，(，)，
则＝.
()点到直线的距离公式．
①点(，)到直线：＋＋＝的距离＝；
②两平行直线：＋＋＝与：＋＋＝的距离＝.
类型一待定系数法的应用
例直线被两条直线：＋＋＝和：－－＝截得的线段的中点为(－)，求直线的方程．
解方法一设直线与的交点为(，)，由已知条件，得直线与的交点为(－－，－)，并且满足即
解得
因此直线的方程为＝，
即＋＋＝.
方法二设直线的方程为－＝(＋)，
即－＋＋＝.
由
得＝.
由
得＝.
则＋＝－，。

2018版人教A版高中数学必修二同步学习讲义第三章直线与方程习题课 Word版含答案

学习目标.能熟练求出两直线的交点坐标.理解直线过定点的含义.能解决简单的对称问题.体会坐标法的基本思想．知识点一两直线的交点坐标已知直线：：＋＋＝；：＋＋＝，点(，)．()若点在直线：＋＋＝上，则有：＋＋＝.()若点是直线与的交点，则有：知识点二两直线的位置关系方程组的解一组无数组无解直线与的公共点的个数一个无数个零个直线与的位置关系相交重合平行知识点三两点间的距离公式()条件：点(，)，(，)．()结论：＝.()特例：点(，)到原点()的距离＝.类型一直线恒过定点问题例求证：不论取什么实数，直线(－)＋(＋)－(－)＝都经过一定点，并求出这个定点坐标．证明方法一对于方程(－)＋(＋)－(－)＝，令＝，得－－＝；令＝，得＋＋＝.解方程组得两条直线的交点坐标为(，－)．将点(，－)代入方程组左边，得(－)×＋(＋)×(－)－(－)＝.这表明不论取什么实数，所给直线均经过定点(，－)．方法二将已知方程(－)＋(＋)－(－)＝整理为(＋－)＋(－＋＋)＝.由于取值的任意性，有解得所以不论取什么实数，所给直线均经过定点(，－)．反思与感悟解含有参数的直线恒过定点的问题()方法一：任给直线中的参数赋两个不同的值，得到两条不同的直线，然后验证这两条直线的交点就是题目中含参数直线所过的定点，从而问题得解．()方法二：含有一个参数的二元一次方程若能整理为＋＋＋λ(＋＋)＝，其中λ是参数，这就说明了它表示的直线必过定点，其定点可由方程组解得．若整理成－＝(－)的形式，则表示所有直线必过定点(，)．跟踪训练不论为何实数，直线(－)＋(－)＝－恒过的定点坐标是．答案(，－)解析方法一取＝，得直线＝－.取＝，得直线＝.故两直线的交点为(，－)，下面验证直线(－)＋(－)＝－恒过点(，－)．。

人教A版高中数学必修二同步学习讲义：第三章直线与方程3.2.2 Word版含答案

3.2.2直线的两点式方程学习目标1.掌握直线方程两点式的形式、特点及适用范围.2.了解直线方程截距式的形式、特点及适用范围.3.会用中点坐标公式求两点的中点坐标．知识点一直线方程的两点式思考1已知两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，其中x 1≠x 2，y 1≠y 2，求通过这两点的直线方程．答案y －y 1＝y2－y1x2－x1(x －x 1)，即y －y1y2－y1＝x －x1x2－x1.思考2过点(1,3)和(1,5)的直线能用两点式表示吗？为什么？过点(2,3)，(5,3)的直线呢？答案不能，因为1－1＝0，而0不能做分母．过点(2,3)，(5,3)的直线也不能用两点式表示．梳理知识点二直线方程的截距式思考1过点(5,0)和(0,7)的直线能用x5＋y7＝1表示吗？答案能．由直线方程的两点式得y －07－0＝x －50－5，即x5＋y7＝1. 思考2已知两点P 1(a,0)，P 2(0，b )，其中a ≠0，b ≠0，求通过这两点的直线方程．答案由直线方程的两点式，得y －0b －0＝x －a0－a ，即x a ＋yb ＝1. 梳理知识点三线段的中点坐标公式若点P 1，P 2的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，设P (x ，y )是线段P 1P 2的中点，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x1＋x22，y ＝y1＋y22.类型一直线的两点式方程例1已知A (－3,2)，B (5，－4)，C (0，－2)，在△ABC 中， (1)求BC 边的方程；(2)求BC 边上的中线所在直线的方程．解(1)BC 边过两点B (5，－4)，C (0，－2)，由两点式，得y －(－4)－2－(－4)＝x －50－5，即2x ＋5y ＋10＝0，故BC 边的方程是2x ＋5y ＋10＝0(0≤x ≤5)． (2)设BC 的中点M (a ，b )，则a ＝5＋02＝52，b ＝－4＋(－2)2＝－3，所以M (52，－3)，又BC 边的中线过点A (－3,2)，所以y －2－3－2＝x －(－3)52－(－3)，即10x ＋11y ＋8＝0，所以BC 边上的中线所在直线的方程为10x ＋11y ＋8＝0. 引申探究若本例条件不变，试求BC 边的垂直平分线所在的直线方程．解k BC ＝－4－(－2)5－0＝－25，则BC 的垂直平分线的斜率为52，又BC 的中点坐标为(52，－3)，由点斜式方程可得y ＋3＝52(x －52)，即10x －4y －37＝0.反思与感悟(1)当已知两点坐标，求过这两点的直线方程时，首先要判断是否满足两点式方程的适用条件：两点的连线不平行于坐标轴，若满足，则考虑用两点式求方程．(2)由于减法的顺序性，一般用两点式求直线方程时常会将字母或数字的顺序错位而导致错误，在记忆和使用两点式方程时，必须注意坐标的对应关系，即x 2与y 2是同一点坐标，而x 1与y 1是另一点坐标．跟踪训练1若点P (3，m )在过点A (2，－1)，B (－3,4)的直线上，则m ＝________. 答案－2解析由直线方程的两点式得y －(－1)4－(－1)＝x －2－3－2，即y ＋15＝x －2－5.∴直线AB 的方程为y ＋1＝－x ＋2， ∵点P (3，m )在直线AB 上， ∴m ＋1＝－3＋2，得m ＝－2. 类型二直线的截距式方程命题角度1与三角形有关的直线方程例2过点P (1,3)，且与x 轴、y 轴的正半轴围成的三角形的面积等于6的直线方程是() A ．3x ＋y －6＝0B ．x ＋3y －10＝0 C ．3x －y ＝0D ．x －3y ＋8＝0 答案A解析设所求的直线方程为xa ＋yb＝1(a >0，b >0)，由于过点P (1,3)且与两坐标轴的正半轴所围成的三角形面积等于6，因此有⎩⎪⎨⎪⎧1a ＋3b＝1，12ab ＝6，解得a ＝2，b ＝6，故所求直线的方程为3x ＋y －6＝0，故选A.反思与感悟求解此类题需过双关：一是待定系数法关，即根据题中条件设出直线方程，如在x 轴、y 轴上的截距分别为a ，b (a ≠0，b ≠0)的直线方程常设为xa ＋yb ＝1；二是方程(组)思想关，即根据已知条件，寻找关于参数的方程(组)，解方程(组)，得参数的值．跟踪训练2直线l 过点P (43，2)，且与两坐标正半轴围成的三角形周长为12，求直线l 的方程．解设直线l 的方程为xa ＋yb ＝1(a >0，b >0)，由题意知，a ＋b ＋a2＋b2＝12.又因为直线l 过点P (43，2)，所以43a ＋2b＝1，即5a 2－32a ＋48＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a1＝4，b1＝3，⎩⎪⎨⎪⎧a2＝125，b2＝92，所以直线l 的方程为3x ＋4y －12＝0 或15x ＋8y －36＝0. 命题角度2判断直线的条数例3过点A (3，－1)且在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线有() A ．2条B ．3条C ．4条D ．无数多条答案B解析当截距都为零时满足题意要求，直线为y ＝－13x ，当截距不为零时，设直线方程为xa ＋yb＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧3a ＋－1b ＝1，|a|＝|b|，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，b ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝－4，即直线方程为x 2＋y2＝1或x 4＋y－4＝1，∴满足条件的直线共有3条．故选B.反思与感悟如果题目中出现直线在两坐标轴上的“截距相等”“截距互为相反数”“在一坐标轴上的截距是另一坐标轴上截距的m 倍(m >0)”等条件时，若采用截距式求直线方程，则一定要注意考虑“零截距”的情况．跟踪训练3过点P (2,3)且在两坐标轴上的截距相等的直线有() A ．1条B ．2条C ．3条D ．无数多条答案B解析设直线的两截距都是a ，则有①当a ＝0时，直线设为y ＝kx ，将P (2,3)代入得k ＝32，∴直线l 的方程为3x －2y ＝0；②当a ≠0时，直线设为xa ＋ya ＝1，即x ＋y ＝a ，把P (2,3)代入得a ＝5， ∴直线l 的方程为x ＋y ＝5.∴直线l 的方程为3x －2y ＝0或x ＋y －5＝0. 类型三直线方程的应用例4设直线l 的方程为y ＝(－a －1)x ＋a －2. (1)若l 在两坐标轴上的截距相等，求l 的方程； (2)若l 不经过第二象限，求实数a 的取值范围．解(1)当直线过原点时，该直线在x 轴和y 轴上的截距均为0， ∴a －2＝0，∴a ＝2，此时直线方程为3x ＋y ＝0；当直线不过原点时，a ≠2，由a －2a ＋1＝a －2，得a ＝0，直线方程为x ＋y ＋2＝0.故所求的直线方程为3x ＋y ＝0或x ＋y ＋2＝0.(2)由l 的方程为y ＝－(a ＋1)x ＋a －2，欲使l 不经过第二象限，当且仅当⎩⎨⎧－(a ＋1)≥0，a －2≤0，解得a ≤－1.故所求的a 的取值范围为(－∞，－1]．反思与感悟(1)由直线方程求出直线在两坐标轴上的截距应先分类讨论，再列方程求解． (2)根据斜率和截距的取值列式求解．跟踪训练4已知三角形的顶点坐标是A (－5,0)，B (3，－3)，C (0,2)，试求这个三角形的三条边所在的斜截式方程．解直线AB 的斜率k AB ＝－3－03－(－5)＝－38，过点A (－5,0)，∴直线AB 的点斜式方程为y ＝－38(x ＋5)，即所求的斜截式方程为y ＝－38x －158.同理，直线BC 的方程为y －2＝－53x ，即y ＝－53x ＋2.直线AC 的方程为y －2＝25x ，即y ＝25x ＋2.∴直线AB ，BC ，AC 的斜截式方程分别为y ＝－38x －158，y ＝－53x ＋2，y ＝25x ＋2.1．直线x－2＋y－3＝1在x 轴，y 轴上的截距分别为()A ．2,3B ．－2，－3C ．－2,3D ．2，－3 答案B2．过两点(－2,1)和(1,4)的直线方程为()A ．y ＝x ＋3B ．y ＝－x ＋1C ．y ＝x ＋2D ．y ＝－x －2 答案A解析代入两点式得直线方程y －14－1＝x ＋21＋2，整理得y ＝x ＋3.3．经过M (3,2)与N (6,2)两点的直线方程为() A ．x ＝2B ．y ＝2 C ．x ＝3D ．x ＝6 答案B解析由M ，N 两点的坐标可知，直线MN 与x 轴平行，所以直线方程为y ＝2，故选B. 4．已知点A (3,2)，B (－1,4)，则经过点C (2,5)且经过线段AB 的中点的直线方程为________．答案2x －y ＋1＝0解析AB 的中点坐标为(1,3)，由直线的两点式方程可得y －35－3＝x －12－1，即2x －y ＋1＝0.5．直线l 过点(1,2)和第一、二、四象限，若直线l 的横截距与纵截距之和为6，求直线l 的方程．解设直线l 的横截距为a ，由题意可得纵截距为6－a ，所以直线l 的方程为xa ＋y6－a＝1，因为点(1,2)在直线l 上，所以1a ＋26－a ＝1，解得a 1＝2，a 2＝3，当a ＝2时，直线的方程为2x ＋y －4＝0，直线经过第一、二、四象限；当a ＝3时，直线的方程为x ＋y －3＝0，直线经过第一、二、四象限．综上所述，所求直线方程为2x ＋y －4＝0或x ＋y －3＝0.1．当直线没有斜率(x 1＝x 2)或斜率为0(y 1＝y 2)时，不能用两点式y －y1y2－y1＝x －x1x2－x1求它的方程，此时直线的方程分别是x ＝x 1和y ＝y 1，而它们都适合(x 2－x 1)·(y －y 1)＝(y 2－y 1)(x －x 1)，即两点式的整式形式，因此过任意两点的直线的方程都可以写成(x 2－x 1)(y －y 1)＝(y 2－y 1)(x －x 1)的形式．2．直线的截距式是两点式的一个特殊情形，用它来画直线以及判断直线经过的象限或求直线与坐标轴围成的三角形的面积比较方便．注意直线过原点或与坐标轴平行时，没有截距式方程，但直线过原点时两截距存在且同时等于零．课时作业一、选择题1．下列说法正确的是()A ．经过定点P 0(x 0，y 0)的直线都可以用方程y －y 0＝k (x －x 0)表示B ．经过定点A (0，b )的直线都可以用方程y ＝kx ＋b 表示C ．不经过原点的直线都可以用方程xa ＋yb＝1表示D ．经过任意两个不同的点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)的直线都可以用方程(y －y 1)(x 2－x 1)＝(x －x 1)(y 2－y 1)表示答案D解析斜率有可能不存在，截距也有可能为0，故选D. 2．若直线l 的横截距与纵截距都是负数，则() A ．l 的倾斜角为锐角且不过第二象限 B ．l 的倾斜角为钝角且不过第一象限 C ．l 的倾斜角为锐角且不过第四象限 D ．l 的倾斜角为钝角且不过第三象限答案B解析依题意知，直线l 的截距式方程为x－a ＋y－b ＝1(a >0，b >0)，显然直线l 只能过第二、三、四象限，而不会过第一象限，且倾斜角为钝角，故选B. 3．直线xa2－yb2＝1在y 轴上的截距是()A ．|b |B ．－b 2C ．b 2D ．±b 答案B解析令x ＝0得，y ＝－b 2.4．以A (1,3)，B (－5,1)为端点的线段的垂直平分线方程是() A ．3x －y －8＝0B ．3x ＋y ＋4＝0 C ．3x －y ＋6＝0D ．3x ＋y ＋2＝0 答案B解析因为k AB ＝1－3－5－1＝13，AB 的中点坐标为(－2,2)，所以所求直线方程为y －2＝－3(x ＋2)，化简为3x ＋y ＋4＝0.5．过点P (2,3)，并且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程是() A ．x －y ＋1＝0B ．x －y ＋1＝0或3x －2y ＝0C ．x ＋y －5＝0D ．x ＋y －5＝0或3x －2y ＝0 答案B解析设直线方程为xa ＋y－a ＝1或y ＝kx ，将P (2,3)代入求出a ＝－1或k ＝32.所以所求的直线方程为x －y ＋1＝0或3x －2y ＝0.6．利用斜二测画法，作出直线AB 的直观图如图所示，若O ′A ′＝O ′B ′＝1，则直线AB 在直角坐标系中的方程为()A ．x ＋y ＝1B ．x －y ＝1C ．x ＋y2＝1D ．x －y2＝1答案D解析由斜二测画法可知在直角坐标系中，A (1,0)，B (0，－2)，由两点坐标可得直线方程为x －y2＝1.7．两条直线l 1：xa －yb ＝1和l 2：xb －ya＝1在同一直角坐标系中的图象可以是()答案A解析两条直线化为截距式分别为x a ＋y－b ＝1，x b ＋y－a ＝1.假定l 1，判断a ，b ，确定l 2的位置，知A 项符合．二、填空题8．已知直线xa ＋y6＝1与坐标轴围成的图形面积为6，则a 的值为________．答案±2解析由xa ＋y 6＝1知S ＝12|a |·|6|＝6，所以a ＝±2.9．过点P (3，－1)，且在x 轴上的截距等于在y 轴上的截距的2倍的直线l 的方程是______．答案x ＋2y －1＝0或x ＋3y ＝0解析设直线l 在x 轴上的截距为a ，在y 轴上的截距为b ，当a ＝0时，b ＝0，此时直线l 的方程为y x ＝－13，所以x ＋3y ＝0；当a ≠0时，a ＝2b ，此时直线l 的方程为x2b ＋yb ＝1，代入(3，－1)得x ＋2y －1＝0.10．过(3,0)点且与x 轴垂直的直线方程为________，纵截距为－2且与y 轴垂直的直线方程为________．答案x ＝3y ＝－211．过点P (1,3)的直线l 分别与两坐标轴交于A ，B 两点，若P 为AB 的中点，则直线l 的截距式方程是__________________________________________________________．答案x2＋y6＝1解析设A (m,0)，B (0，n )，由P (1,3)是AB 的中点可得m ＝2，n ＝6，即A ，B 的坐标分别为(2,0)，(0,6)．则l 的方程为x2＋y6＝1.三、解答题12．求经过点P (－5，－4)且与两坐标轴围成的面积为5的直线方程．解设所求直线方程为xa ＋yb ＝1.∵直线过点P (－5，－4)， ∴－5a ＋－4b ＝1，①于是得4a ＋5b ＝－ab ，又由已知，得12|a |·|b |＝5，即|ab |＝10.② 由①②，得⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋5b ＝－ab ，|ab|＝10，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－52，b ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5，b ＝－2. 故所求直线方程为x －52＋y 4＝1或x 5＋y－2＝1. 即8x －5y ＋20＝0或2x －5y －10＝0.13．在△ABC 中，已知A (5，－2)，B (7,3)，且AC 边的中点M 在y 轴上，BC 边的中点N 在x 轴上，求：(1)顶点C 的坐标；(2)直线MN 的方程．解(1)设C (x 0，y 0)，则AC 边的中点为M ⎝ ⎛⎭⎪⎫x0＋52，y0－22， BC 边的中点为N ⎝ ⎛⎭⎪⎫x0＋72，y0＋32，因为M 在y 轴上，所以x0＋52＝0，得x 0＝－5. 又因为N 在x 轴上，所以y0＋32＝0，所以y 0＝－3.即C (－5，－3)．(2)由(1)可得M ⎝⎛⎭⎪⎫0，－52，N (1,0)，所以直线MN 的方程为x 1＋y－52＝1，即5x －2y －5＝0.四、探究与拓展14．若直线l 与两坐标轴围成一个等腰直角三角形，且此三角形的面积为18，则直线l 的方程为________．答案x ＋y ±6＝0，x －y ±6＝0解析因为直线l 与两坐标轴围成一个等腰直角三角形，所以直线l 在两坐标轴上的截距相等或互为相反数且不为0.若l 在两坐标轴上的截距相等，且设为a ，则直线方程为x a ＋y a＝1，即x ＋y －a ＝0. ∵12|a |·|a |＝18，即a 2＝36，∴a ＝±6， ∴直线方程为x ＋y ±6＝0.若l 在两坐标轴上的截距互为相反数，不妨设横截距为a ，则纵截距为－a ，故直线方程为x a ＋y －a＝1，即x －y －a ＝0. ∵12|－a |·|a |＝18，即a 2＝36，∴a ＝±6， ∴直线方程为x －y ±6＝0.综上所述，直线l 的方程为x ＋y ±6＝0或x －y ±6＝0.15．已知直线l ：x －y ＋3＝0，一束光线从点A (1,2)处射向x 轴上一点B ，又从B 点反射到l 上的一点C ，最后从C 点反射回A 点，求直线BC 的方程．解作点A 关于x 轴的对称点A 2，则A 2(1，－2)．设点A 关于l ：x －y ＋3＝0的对称点为A 1(x 0，y 0)，则 ⎩⎪⎨⎪⎧ x0＋12－y0＋22＋3＝0，y0－2x0－1×1＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x0＝－1，y0＝4，即A 1点坐标为(－1,4)．由已知条件知点A 1，A 2均在直线BC 上，∴由直线的两点式方程得y －4－2－4＝x ＋11＋1，即3x ＋y －1＝0.故直线BC 的方程为3x ＋y －1＝0.。

2018学年高中数学必修二人教A版课件：第三章3.2-3.2.3直线的一般式方程精品

[知识提炼·梳理]
1．直线的两点式与截距式方程两点式
截距式
条件 P1(x1，y1)和 P2(x2，y2) 在 x 轴上截距 a，其中 x1≠x2，y1≠y2 在 y 轴上截距 b
图形
方程 __yy_2－－__yy_11_＝__xx_2－_－_x_x1_1 __ ___xa_＋__by_＝__1______ 不表示垂直于坐
5－2 2－（－1）
答案：x－y＋3＝0
5．斜率为 2，且经过点 A(1，3)的直线的一般式方程为________________．
解析：由直线点斜点式方程可得
y－3＝2(x－1)，化成一般式方程为 2x－y＋1＝0. 答案：2x－y＋1＝0
类型 1 利用两点式求直线方程(自主研析) [典例 1] 三角形的三个顶点是 A(－1，0)，B(3，－ 1)，C(1，3)，求三角形三边所在直线的方程．
y－（－1）解：由两点式，直线 AB 所在直线方程为：
0－（－1）
x－3 ＝，即 x＋4y＋1＝0.
－1－3
同理，直线 BC 所在直线方程为： y－3 x－1
＝，即 2x＋y－5＝0. －1－3 3－1 直线 AC 所在直线方程为： y－3 x－1
＝，即 3x－2y＋3＝0. 0－3 －1－1
2．分离参数化为 f(x，y)a＋g(x，y)＝0 的形式，
f（x，y）＝0，
令
解方程组．
g（x，y）＝0，
3．利用特殊值法，令参数取两个特殊值得到两个方程，再解方程组．
[变式训练] 设直线 l 的方程为(a＋1)x＋y－2＋a＝ 0，若 l 经过第一象限，求实数 a 的取值范围．
解：直线 l 的方程可化为点斜式 y－3＝－(a＋1)(x＋ 1)，由点斜式的性质，得 l 过定点 P(－1，3)，如图．

2018版人教A版高中数学必修二同步学习课件：第三章直线与方程3.2.3

Ax＋By＋C＝0 ______________
无
题型探究
类型一直线的一般式方程
命题角度1 求直线的一般式方程例1 根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程：
(1)斜率是 3，且经过点 A(5,3)；
解由直线方程的点斜式得 y－3＝ 3(x－5)，
即 3x－y－5 3＋3＝0.
解答
A C 答案当 B≠0 时，由 Ax＋By＋C＝0，得 y＝－ x－， B B
A C 所以该方程表示斜率为－，在 y 轴上截距为－的直线； B B C 当 B＝0 时，A≠0，由 Ax＋By＋C＝0，得 x＝－， A
所以该方程表示一条垂直于x轴的直线.
答案
梳理
直线的一般式方程形式条件 Ax＋By＋C＝0 ______________ 不同时为0 A，B__________
解析
2 a ＋5a＋6＝0，由 2 得 a＝－2， a ＋2a＝0，
∵方程(a2＋5a＋6)x＋(a2＋2a)y＋1＝0表示一条直线， ∴a≠－2.
解析
答案
类型二由直线方程的一般式研究直线的平行与垂直命题角度1 利用两直线的位置关系求参数
例3 (1)已知直线l1：2x＋(m＋1)y＋4＝0与直线l2：mx＋3y－2＝0平行，
5 ∴m＝－ . 3
解析答案
－2 (2)若直线l的斜率为1，则m＝_____. 解析由直线l化为斜截式方程
m2－2m－3 6－2m 得 y＝ 2 x＋ 2 ， 2m ＋m－1 2m ＋m－1
m －2m－3 则 2 ＝1， 2m ＋m－1
2
得m＝－2或m＝－1(舍去). ∴m＝－2.
解析答案
反思与感悟

人教A版高中数学必修二第三章直线与方程 3.2.3

3．但当直线与坐标轴平行时，有一个截距不存在；当直线通过原点时，两个截距均为零．在这两种情况下都不能用截距式，故解决问题过程中要注意分类讨论.
2．求经过点 A(－2,2)，并且和两坐标轴围成的三角形面积是 1 的直线方程．解析：设直线在 x 轴、y 轴上的截距分别是 a、b，则有 S＝12|a·b|＝1. ∴ab＝±2.设直线的方程是xa＋by＝1， ∵直线过点(－2,2)，代入直线方程得－a2＋2b＝1，即 b＝a2＋a2.
直线的截距式方程及应用多维探究型
直线 l 过点 P43，2，且与 x 轴、y 轴的正半轴分别交于 A、B 两点， O 为坐标原点．
(1)当△AOB 的周长为 12 时，求直线 l 的方程． (2)当△AOB 的面积为 6 时，求直线 l 的方程．
解析： (1)设直线 l 的方程为
xa＋by＝1(a＞0，b＞0)，由题意知，a＋b＋ a2＋b2＝12.
►1Our destiny offers not the cup of despair, but the chalice of opportunity. ►So let us seize it, not in fear, but in gladness. · 命运给予我们的不是失望之酒，而是机会之杯。因此，让我们毫无畏惧，满心愉悦地把握命运
x1+ x2 _____2_______，
y 1+ y2 ______2______.
直线的一般式方程 1．直线与二元一次方程的关系在平面直角坐标系中的直线与二元一次方程的对应关系如下：
2．直线的一般式方程式子：关于 x，y 的二元一次方程___A_x_＋__B_y_＋__C__＝__0__；条件：A，B__不__同__时__为__零___；简称：一般式．

2018版人教A版高中数学必修二同步学习讲义：第三章直线与方程3.3.3~3.3.4

3.3.3　点到直线的距离3.3.4　两条平行直线间的距离学习目标　1.了解点到直线距离公式的推导方法.2.掌握点到直线距离公式，并能灵活应用于求平行线间的距离等问题.3.初步掌握用解析法研究几何问题．知识点一　点到直线的距离思考1　如图，点P (x 0，y 0)到直线Ax ＋By ＋C ＝0(A ，B 不同时为0)的距离d 同线段PS ，PR ，RS间存在什么关系？答案　d ＝.|PR ||PS ||RS |思考2　根据思考1的思路，点P 到直线Ax ＋By ＋C ＝0的距离d 怎样用A ，B ，C 及x 0，y 0表示？答案　d ＝.|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2思考3　点到直线的距离公式对于A ＝0或B ＝0时的直线是否仍然适用？答案　仍然适用，①当A ＝0，B ≠0时，直线l 的方程为By ＋C ＝0，即y ＝－，d ＝|y 0＋|＝，适合公式．C B C B |By 0＋C ||B |②当B ＝0，A ≠0时，直线l 的方程为Ax ＋C ＝0，x ＝－，d ＝|x 0＋|＝，适合公C A CA |Ax 0＋C ||A |式．梳理　点到直线的距离(1)定义：点到直线的垂线段的长度．(2)图示：(3)公式：d ＝.|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2知识点二　两条平行直线间的距离思考　直线l 1：x ＋y －1＝0上有A (1,0)、B (0,1)、C (－1,2)三点，直线l 2：x ＋y ＋1＝0与直线l 1平行，那么点A 、B 、C 到直线l 2的距离分别为多少？有什么规律吗？答案　点A 、B 、C 到直线l 2的距离分别为、、.规律是当两直线平行时，一条直线上222任一点到另一条直线的距离都相等．梳理　两条平行直线间的距离(1)定义：夹在两平行线间的公垂线段的长．(2)图示：(3)求法：转化为点到直线的距离．(4)公式：两条平行直线l 1：Ax ＋By ＋C 1＝0与l 2：Ax ＋By ＋C 2＝0之间的距离d ＝.|C 1－C 2|A 2＋B 2类型一　点到直线的距离例1　(1)求点P (2，－3)到下列直线的距离．①y ＝x ＋；②3y ＝4；③x ＝3.4313解　①y ＝x ＋可化为4x －3y ＋1＝0，4313点P (2，－3)到该直线的距离为＝；|4×2－3×(－3)＋1|42＋(－3)2185②3y ＝4可化为3y －4＝0，由点到直线的距离公式得＝；|－3×3－4|02＋32133③x ＝3可化为x －3＝0，由点到直线的距离公式得＝1.|2－3|1(2)求过点M (－1,2)，且与点A (2,3)，B (－4,5)距离相等的直线l 的方程．解　方法一　当过点M (－1,2)的直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x ＝－1，恰好与A (2,3)，B (－4,5)两点距离相等，故x ＝－1满足题意，当过点M (－1,2)的直线l 的斜率存在时，设l 的方程为y －2＝k (x ＋1)，即kx －y ＋k ＋2＝0.由点A (2,3)与B (－4,5)到直线l 的距离相等，得＝，解得k ＝－，|2k －3＋k ＋2|k 2＋1|－4k －5＋k ＋2|k 2＋113此时l 的方程为y －2＝－(x ＋1)，13即x ＋3y －5＝0.综上所述直线l 的方程为x ＝－1或x ＋3y －5＝0.方法二　由题意得l ∥AB 或l 过AB 的中点，当l ∥AB 时，设直线AB 的斜率为k AB ，直线l 的斜率为k l ，则k AB ＝k l ＝＝－，5－3－4－213此时直线l 的方程为y －2＝－(x ＋1)，13即x ＋3y －5＝0.当l 过AB 的中点(－1,4)时，直线l 的方程为x ＝－1.综上所述，直线l 的方程为x ＝－1或x ＋3y －5＝0.反思与感悟　(1)应用点到直线的距离公式时应注意的三个问题：①直线方程应为一般式，若给出其他形式应化为一般式．②点P 在直线l 上时，点到直线的距离为0，公式仍然适用．③直线方程Ax ＋By ＋C ＝0，当A ＝0或B ＝0时公式也成立，但由于直线是特殊直线(与坐标轴垂直)，故也可用数形结合求解．(2)用待定系数法求直线方程时，首先考虑斜率不存在是否满足题意．跟踪训练1　(1)若点(4，a )到直线4x －3y ＝0的距离不大于3，则a 的取值范围是________________．(2)已知直线l 过点P (3,4)且与点A (－2,2)，B (4，－2)等距离，则直线l 的方程为______．答案　(1)[，]　(2)2x －y －2＝0或2x ＋3y －18＝013313解析　(1)由题意知≤3，|4×4－3a |42＋(－3)2解得≤a ≤，故a 的取值范围为[，]．1331313313(2)过点P (3,4)且斜率不存在时的直线x ＝3与A 、B 两点的距离不相等，故可设所求直线方程为y －4＝k (x －3)，即kx －y ＋4－3k ＝0，由已知得＝，|－2k －2＋4－3k |1＋k 2|4k ＋2＋4－3k |1＋k 2∴k ＝2或k ＝－，23∴所求直线l 的方程为2x ＋3y －18＝0或2x －y －2＝0.类型二　两平行线间的距离例2　(1)两直线3x ＋y －3＝0和6x ＋my －1＝0平行，则它们之间的距离为_________．(2)已知直线l 与两直线l 1：2x －y ＋3＝0和l 2：2x －y －1＝0的距离相等，则l 的方程为________________．答案　(1)　(2)2x －y ＋1＝0104解析　(1)由题意，得＝，∴m ＝2，63m1将直线3x ＋y －3＝0化为6x ＋2y －6＝0，由两平行线间距离公式，得＝＝.|－1＋6|62＋22540104(2)设直线l 的方程为2x －y ＋c ＝0，由题意，得＝，解得c ＝1，|3－c |22＋12|c ＋1|22＋12∴直线l 的方程为2x －y ＋1＝0.反思与感悟　求两平行线间的距离，一般是直接利用两平行线间的距离公式，当直线l 1：y ＝kx ＋b 1，l 2：y ＝kx ＋b 2，且b 1≠b 2时，d ＝；当直线|b 1－b 2|k 2＋1l 1：Ax ＋By ＋C 1＝0，l 2：Ax ＋By ＋C 2＝0且C 1≠C 2时，d ＝.但必须注意两直线方程|C 1－C 2|A 2＋B 2中x ，y 的系数对应相等．跟踪训练2　(1)求与直线l ：5x －12y ＋6＝0平行且到l 的距离为2的直线方程；(2)两平行直线l 1，l 2分别过P 1(1,0)，P 2(0,5)，若l 1与l 2的距离为5，求两直线方程．解　(1)方法一　设所求直线的方程为5x －12y ＋C ＝0，在直线5x －12y ＋6＝0上取一点P 0(0，)，12则点P 0到直线5x －12y ＋C ＝0的距离为＝，|－12×12＋C |52＋(－12)2|C －6|13由题意，得＝2，所以C ＝32或C ＝－20，|C －6|13故所求直线的方程为5x －12y ＋32＝0或5x －12y －20＝0.方法二　设所求直线的方程为5x －12y ＋C ＝0，由两平行直线间的距离公式得2＝，|C －6|52＋(－12)2解得C ＝32或C ＝－20，故所求直线的方程为5x －12y ＋32＝0或5x －12y －20＝0.(2)依题意，两直线的斜率都存在，设l 1：y ＝k (x －1)，即kx －y －k ＝0，l 2：y ＝kx ＋5，即kx －y ＋5＝0.因为l 1与l 2的距离为5，所以＝5，解得k ＝0或.|－k －5|k 2＋1512所以l 1和l 2的方程分别为y ＝0和y ＝5或5x －12y －5＝0和5x －12y ＋60＝0.类型三　利用距离公式求最值命题角度1　由点到直线的距离求最值例3　已知实数x ，y 满足6x ＋8y －1＝0，则的最小值为________．x 2＋y 2－2y ＋1答案　710解析　∵＝，x 2＋y 2－2y ＋1(x －0)2＋(y －1)2∴上式可看成是一个动点M (x ，y )到定点N (0,1)的距离，即为点N 到直线l ：6x ＋8y －1＝0上任意一点M (x ，y )的距离，∴S ＝|MN |的最小值应为点N 到直线l 的距离，即|MN |min ＝d ＝＝.|8－1|62＋82710反思与感悟　解决此题的关键是理解式子表示的几何意义，将“数”转化为“形”，从而利用图形的直观性加以解决．跟踪训练3　(1)动点P (x ，y )在直线x ＋y －4＝0上，O 为原点，求|OP |最小时P 点的坐标；(2)求过点P (1,2)且与原点距离最大的直线方程．解　(1)直线上的点到原点距离的最小值即为原点到直线的距离，此时OP 垂直于已知直线，则k OP ＝1，∴OP 所在直线方程为y ＝x ，由Error!解得Error!∴P 点坐标为(2,2)．(2)由题意知过P 点且与OP 垂直的直线到原点O 的距离最大，∵k OP ＝2，∴所求直线方程为y －2＝－(x －1)，12即x ＋2y －5＝0.命题角度2　有关两平行线间距离的最值例4　两条互相平行的直线分别过点A (6,2)，B (－3，－1)，并且各自绕着点A ，B 旋转，如果两条平行直线间的距离为d .(1)求d 的取值范围；(2)求d 取最大值时，两条直线的方程．解　(1)设经过A 点和B 点的直线分别为l 1、l 2，显然当Error!时，l 1和l 2的距离最大，且最大值为|AB |＝＝3，(－3－6)2＋(－1－2)210∴d 的取值范围为(0,3]．10(2)由(1)知d max ＝3，此时k ＝－3，10两直线的方程分别为3x ＋y －20＝0或3x ＋y ＋10＝0.反思与感悟　两平行线间的距离可转化为两点间的距离，通过两点间的距离利用数形结合思想得到两平行线间距离的最值．跟踪训练4　已知P ，Q 分别是直线3x ＋4y －5＝0与6x ＋8y ＋5＝0上的动点，则|PQ |的最小值为( )A ．3 B. C. D.33232答案　D解析　两平行线间的距离就是|PQ |的最小值，3x ＋4y －5＝0可化为6x ＋8y －10＝0，则|PQ |＝＝.|5－(－10)|62＋82321．已知点(a,1)到直线x －y ＋1＝0的距离为1，则a 的值为( )A ．1B ．－1 C. D ．±22答案　D解析　由题意知＝1，|a －1＋1|12＋12即|a |＝，∴a ＝±.222．直线x －2y －1＝0与直线x －2y －c ＝0的距离为2，则c 的值为( )5A ．9B ．11或－9C ．－11D ．9或－11答案　B解析　两平行线间的距离为d ＝＝2，|－1－(－c )|12＋(－2)25解得c ＝－9或11.3．已知点M (1,2)，点P (x ，y )在直线2x ＋y －1＝0上，则|MP |的最小值是( )A.B.10355C.D ．365答案　B解析　点M 到直线2x ＋y －1＝0的距离，即为|MP |的最小值，所以|MP |的最小值为＝.|2＋2－1|22＋123554．两平行直线3x ＋4y ＋5＝0与6x ＋ay ＋30＝0间的距离为d ，则a ＋d ＝________.答案　10解析　由两直线平行知，a ＝8，d ＝＝2，|15－5|5∴a ＋d ＝10.5．直线3x －4y －27＝0上到点P (2,1)距离最近的点的坐标是________________．答案　(5，－3)解析　由题意知过点P 作直线3x －4y －27＝0的垂线，设垂足为M ，则|MP |为最小，直线MP 的方程为y －1＝－(x －2)，43解方程组Error!得Error!∴所求点的坐标为(5，－3)．1．点到直线的距离即是点与直线上点连线的距离的最小值，利用点到直线的距离公式，解题时要注意把直线方程化为一般式．当直线与坐标轴垂直时可直接求之．2．利用点到直线的距离公式可求直线的方程，有时需结合图形，数形结合，使问题更清晰．3．已知两平行直线，其距离可利用公式d ＝求解，也可在已知直线上取一点，转化|C 1－C 2|A 2＋B 2为点到直线的距离．课时作业一、选择题1．点(1，－1)到直线y ＝1的距离是( )A.B.222C ．3D ．2答案　D解析　d ＝＝2，故选D.|－1－1|1＋02．两平行线3x －4y －7＝0和6x －8y ＋3＝0之间的距离为( )A.B ．245C.D.1710175答案　C解析　3x －4y －7＝0可化为6x －8y －14＝0，由两平行线间的距离公式可得＝.|3＋14|62＋8217103．已知点A (－3，－4)，B (6,3)到直线l ：ax ＋y ＋1＝0的距离相等，则实数a 的值等于( )A. B ．－7913C ．－或－D ．－或79137913答案　C解析　由点到直线的距离公式可得＝，|－3a －4＋1|a 2＋1|6a ＋3＋1|a 2＋1化简得|3a ＋3|＝|6a ＋4|，解得实数a ＝－或－.故选C.79134．到直线2x ＋y ＋1＝0的距离等于的直线方程为( )55A ．2x ＋y ＝0B ．2x ＋y －2＝0C ．2x ＋y ＝0或2x ＋y －2＝0D ．2x ＋y ＝0或2x ＋y ＋2＝0答案　D解析　根据题意可设所求直线方程为2x ＋y ＋c ＝0，因为两直线间的距离等于，55所以d ＝＝，|c －1|22＋1255解得c ＝0或c ＝2，故所求直线方程为2x ＋y ＝0或2x ＋y ＋2＝0.5．点P (2,3)到直线：ax ＋(a －1)y ＋3＝0的距离d 为最大时，d 与a 的值依次为( )A ．3，－3B ．5,2C ．5,1D ．7,1答案　C解析　直线恒过点A (－3,3)，根据已知条件可知当直线ax ＋(a －1)y ＋3＝0与AP 垂直时，距离最大，最大值为5，此时a ＝1.故选C.6．两平行线分别经过点A (3,0)，B (0,4)，它们之间的距离d 满足的条件是( )A ．0<d ≤3B ．0<d ≤5C ．0<d <4D ．3≤d ≤5答案　B解析　当两平行线与AB 垂直时，两平行线间的距离最大为|AB |＝5，所以0<d ≤5.7．过两直线x －y ＋1＝0和x ＋y －1＝0的交点，并与原点的距离等于1的直线共有( )A ．0条B ．1条C ．2条D ．3条答案　B解析　联立Error!得Error!∴两直线交点为(0,1)，由交点到原点的距离1，故只有1条．8．若动点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)分别在直线l 1：x ＋y －7＝0和l 2：x ＋y －5＝0上移动，则AB 的中点M 到原点距离的最小值是( )A ．3B ．223C ．3D ．432答案　A解析　由题意知，M 点的轨迹为平行于直线l 1，l 2且到l 1，l 2距离相等的直线l ，其方程为x ＋y －6＝0，∴M 到原点的距离的最小值为d ＝＝3.622二、填空题9．点P (x ，y )在直线x ＋y －4＝0上，则x 2＋y 2的最小值是________．答案　8解析　由x 2＋y 2的实际意义可知，它代表直线x ＋y －4＝0上的点到原点的距离的平方，它的最小值即为原点到该直线的距离的平方，所以(x 2＋y 2)min ＝2＝8.(|1×0＋1×0－4|2)10．若点(2，－k )到直线5x ＋12y ＋6＝0的距离是4，则k 的值是________．答案　－3或173解析　d ＝＝，|5×2＋12×(－k )＋6|52＋122|16－12k |13由题意知＝4，即＝1，|16－12k |13|4－3k |13∴k ＝－3或k ＝.17311．经过点P (－3,4)，且与原点的距离等于3的直线l 的方程为________．答案　x ＝－3或7x ＋24y －75＝0解析　(1)当直线l 的斜率不存在时，原点到直线l ：x ＝－3的距离等于3，满足题意；(2)当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y －4＝k (x ＋3)，即kx －y ＋3k ＋4＝0.原点到直线l 的距离d ＝＝3，|3k ＋4|k 2＋(－1)2解得k ＝－.724直线l 的方程为7x ＋24y －75＝0.综上，直线l 的方程为x ＝－3或7x ＋24y －75＝0.三、解答题12．如图，已知直线l 1：x ＋y －1＝0，现将直线l 1向上平移到直线l 2的位置，若l 2、l 1和坐标轴围成的梯形面积为4，求l 2的方程．解　设l 2的方程为y ＝－x ＋b (b >1)，则图中A (1,0)，D (0,1)，B (b,0)，C (0，b )，∴|AD |＝，|BC |＝b .22梯形的高h 就是A 点到直线l 2的距离，故h ＝＝＝(b >1)，|1＋0－b |2|b －1|2b －12由梯形面积公式得×＝4，2＋2b 2b －12∴b 2＝9，b ＝±3.但b >1，∴b ＝3.从而得到直线l 2的方程是x ＋y －3＝0.四、探究与拓展13．已知入射光线在直线l 1：2x －y ＝3上，经过x 轴反射到直线l 2上，再经过y 轴反射到直线l 3上．若点P 是直线l 1上某一点，则点P 到直线l 3的距离为( )A ．6B ．3 C. D.6559510答案　C解析　如图所示，结合图形可知，直线l 1∥l 3，则直线l 1上一点P 到直线l 3的距离即为l 1与l 3之间的距离．由题意知l 1与l 2关于x 轴对称，故l 2的方程为y ＝－2x ＋3，l 2与l 3关于y 轴对称，故l 3的方程为y ＝2x ＋3.由两平行线间的距离公式得l 1与l 3间的距离d ＝＝，|3－(－3)|12＋22655即点P 到直线l 3的距离为.65514．已知A (4，－3)，B (2，－1)和直线l ：4x ＋3y －2＝0，求一点P ，使|PA |＝|PB |，且点P 到l 的距离等于2.解　AB 的中点坐标为(3，－2)，k AB ＝＝－1，－3＋14－2所以线段AB 的垂直平分线方程为y ＋2＝x －3，即x －y －5＝0，设点P (a ，b )，则P 在直线x －y －5＝0上，故a －b －5＝0，又＝2，|4a ＋3b －2|42＋32解得Error!或Error!故所求的点为P (1，－4)或P (，－)．27787。