2001年北京市中考数学试卷

2001年北京市中考数学试卷一、选择题（共 小题，每小题 分，满分 分）．（ 分）（ ❿莱芜） ﹣ 的相反数是（）✌． ．﹣ ． ．．（ 分）（ ❿北京）计算正确的是（）✌．♋❿♋ ♋ ．（♋） ♋  ．（﹣♋） ﹣♋ ．（♋♌） ♋♌ ．（ 分）（ ❿杭州）用配方法将二次三项式♋ ﹣ ♋变形，结果是（）✌．（♋﹣ ）  ．（♋） ﹣ ．（♋）  ．（♋﹣ ） ﹣ ．（ 分）（ ❿北京）已知：如图✌∥ ， ☜平分∠✌，∠✌，则∠☜等于（）✌．  ．  ．  ． ．（ 分）（ ❿北京）已知点 （﹣ ， ），那么与点 关于原点对称的点的坐标是（）✌．（﹣ ，﹣ ） ．（ ，﹣ ） ．（ ， ） ．（ ，﹣ ）．（ 分）（ ❿北京）已知梯形的上底长是 ♍❍，它的中位线长是 ♍❍，则它的下底长等于（）✌． ♍❍ ． ♍❍ ． ♍❍ ． ♍❍二、填空题（共8小题，每小题4分，满分32分）7．（4分）（2009•锦州）函数的自变量x的取值范围为______．8．（4分）（2001•北京）分解因式：a2﹣2a﹣b2+2b=______．9．（4分）（2001•北京）某校举办建党80周年歌咏比赛，六位评委给某班演出评分如下：90，91，92，96，92，94，则这组数据中，众数和中位数分别是______．（单位：分）．10．（4分）（2001•北京）在△ABC中，如果∠C=90°，∠A=45°，那么tanA+sinB=______；△ABC为______对称图形（填“轴”或“中心”）．11．（4分）（2001•北京）比较大小：当实数a＜0时，1+a______1﹣a（填“＞”或“＜”）．12．（4分）（2001•北京）如果圆柱的母线长为3cm，底面半径为2cm，那么这个圆柱的侧面积是______cm2．13．（4分）（2001•北京）用换元法解方程：，若设，则原方程可化为______；原方程的解为______．14．（4分）（2001•北京）已知两圆内切，圆心距为2cm，其中一个圆的半径为3cm，那么另一个圆的半径为______cm．三、解答题（共10小题，满分86分）15．（6分）（2001•北京）计算：．16．（7分）（2001•北京）解不等式组：．17．（7分）（2001•北京）已知：a、b是实数，且，解关于x的方程（a+2）x+b2=a﹣1．18．（8分）（2001•北京）已知：如图，在▱ABCD中，E为AD中点，连接CE并延长交BA 的延长线于F．求证：CD=AF．19．（8分）（2001•北京）已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，∠D=120°，对角线CA平分∠BCD，且梯形的周长为20，求AC的长及梯形面积S．20．（8分）（2001•北京）已知一次函数y=3x﹣2k的图象与反比例函数的图象相交，其中一个交点的纵坐标为6，求一次函数的图象与x轴、y轴的交点坐标．21．（10分）（2001•北京）为了参加北京市申办2008年奥运会的活动，（1）某班学生争取到制作240面彩旗的任务，有10名学生因故没能参加制作，因此这班的其余学生人均要比原计划多做4面彩旗才能完成任务，问这个班有多少名学生？（2）如果有两边长分别为1，a其中（a＞1）的一块矩形绸布，要将它剪裁出三面矩形彩旗（面料没有余），每面彩旗的长和宽之比与原绸布的长和宽之比相同，画出两种不同裁剪方法的示意图，并写出相应a的值（不写计算过程）22．（10分）（2001•北京）已知关于x的方程x2﹣2（k+1）x+k2+2k﹣1=0 ①（1）试判断方程①的根的情况；（2）如果a是关于y的方程y2﹣（x1+x2﹣2k）y+（x1﹣k）（x2﹣k）=0②的根，其中x1，x2为方程①的两个实数根，求代数式的值．23．（10分）（2001•北京）如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，PA是过A点的直线，∠PAC=∠B，（1）求证：PA是⊙O的切线；（2）如果弦CD交AB于E，CD的延长线交PA于F，AC=8，CE：ED=6：5，AE：EB=2：3，求AB的长和∠ECB的正切值．24．（12分）（2001•北京）已知抛物线经过点以点A（x1，0）B（x2，0），D（0，y1），其中x1＜x2，△ABD的面积等于12．（1）求这条抛物线的解析式及它的顶点坐标；（2）如果点以C（2，y2）在这条抛物线上，点P在y轴的正半轴上，且△BCP为等腰三角形，求直线PB的解析式．2001年北京市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共6小题，每小题4分，满分24分）1．（4分）（2008•莱芜）|﹣2|的相反数是（）A．B．﹣2 C．D．2【分析】利用相反数和绝对值的定义解题：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．只有符号不同的两个数互为相反数．【解答】解：∵|﹣2|=2，2的相反数是﹣2．∴|﹣2|的相反数是﹣2．故选：B．【点评】主要考查了相反数和绝对值的定义，要求掌握并灵活运用．2．（4分）（2001•北京）计算正确的是（）A．a•a2=a2B．（a+2）2=a2+4 C．（﹣a）3=﹣a3D．（ab）2=ab2【分析】①（a+b）2=a2+2ab+b2，同底数幂相乘法则，同底数幂相乘，底数不变指数相加．②积的乘方法则，积的乘方等于各因数的乘方的积．③幂的乘方法则，幂的乘方底数不变指数相乘．【解答】解：A、应为a•a2=a3，故本选项错误；B、应为（a+2）2=a2+4a+4，故本选项错误；C、（﹣a）3=﹣a3，正确；D、应为（ab）2=a2b2，故本选项错误．故选C．【点评】注意把各种幂运算区别开，从而熟练掌握各种题型的运算．3．（4分）（2002•杭州）用配方法将二次三项式a2﹣4a+5变形，结果是（）A．（a﹣2）2+1 B．（a+2）2﹣1 C．（a+2）2+1 D．（a﹣2）2﹣1【分析】此题考查了配方法，解题时要注意常数项的确定方法，若二次项系数为1，则二次项与一次项再加上一次项系数的一半的平方即构成完全平方式，若二次项系数不为1，则可提取二次项系数，将其化为1．【解答】解：∵a2﹣4a+5=a2﹣4a+4﹣4+5，∴a2﹣4a+5=（a﹣2）2+1．故选A．【点评】此题考查了学生学以致用的能力，解题时要注意常数项的求解方法，在变形的过程中注意检查不要改变式子的值．4．（4分）（2001•北京）已知：如图AB∥CD，CE平分∠ACD，∠A=110°，则∠ECD等于（）A．110°B．70°C．55°D．35°【分析】本题主要利用两直线平行，同旁内角互补，再根据角平分线的概念进行做题．【解答】解：∵AB∥CD，根据两直线平行，同旁内角互补．得：∴∠ACD=180°﹣∠A=70°．再根据角平分线的定义，得：∠ECD=∠ACD=35°．故选D．【点评】考查了平行线的性质以及角平分线的概念．5．（4分）（2001•北京）已知点P（﹣1，3），那么与点P关于原点对称的点的坐标是（）A．（﹣1，﹣3）B．（1，﹣3）C．（1，3）D．（3，﹣1）【分析】根据平面直角坐标系中对称点的规律解答．【解答】解：求一点关于原点的对称点，横纵坐标都变成相反数，因而点P（﹣1，3）关于原点O对称的点的坐标是（1，﹣3）．故选B．【点评】主要考查了平面直角坐标系中对称点的规律．解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：（1）关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；（2）关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；（3）关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．6．（4分）（2001•北京）已知梯形的上底长是3cm，它的中位线长是4cm，则它的下底长等于（）A．3cm B．3.5cm C．5cm D．5.5cm【分析】此题只需根据梯形中位线定理“梯形的中位线长等于梯形上下底和的一半”，来进行解答．【解答】解：设梯形下底为xcm．根据梯形中位线定理，得x+3=2×4，可解出x=5．故选C．【点评】考查了梯形的中位线定理．二、填空题（共8小题，每小题4分，满分32分）7．（4分）（2009•锦州）函数的自变量x的取值范围为x＞3．【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于0，分母不等于0，可以求出x的范围．【解答】解：根据题意得：，即x﹣3＞0，解得x＞3．【点评】函数自变量的范围一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数．8．（4分）（2001•北京）分解因式：a2﹣2a﹣b2+2b=（a﹣b）（a+b﹣2）．【分析】此题可用分组分解法进行分解，分别将一、三项和二、四项分为一组，然后再用提取公因式法进行因式分解．【解答】解：a2﹣2a﹣b2+2b，=（a2﹣b2）﹣（2a﹣2b），=（a+b）（a﹣b）﹣2（a﹣b），=（a﹣b）（a+b﹣2）．故答案为：（a﹣b）（a+b﹣2）．【点评】本题考查了分组分解法分解因式，难点是采用两两分组还是三一分组．应针对各式的特点选用合适的分组方法．9．（4分）（2001•北京）某校举办建党80周年歌咏比赛，六位评委给某班演出评分如下：90，91，92，96，92，94，则这组数据中，众数和中位数分别是92，92．（单位：分）．【分析】直接根据中位数和众数的定义回答．【解答】解：∵这组数据排序后为90，91，92，92，94，96，∴这组数据的众数是92，这组数据的中位数是92．故填92，92．【点评】本题属于基础题，考查了确定一组数据的中位数和众数的能力．注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数：如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求；如果是偶数个则找中间两位数的平均数．10．（4分）（2001•北京）在△ABC中，如果∠C=90°，∠A=45°，那么tanA+sinB=1+；△ABC为轴对称图形（填“轴”或“中心”）．【分析】先根据三角形内角和定理求出∠B的度数，即可求出tanA+sinB的值；再根据等腰直角三角形的性质判断．【解答】解：∵在△ABC中，∠C=90°，∠A=45°，∴∠B=45°，∴tanA+sinB=1+，△ABC为等腰直角三角形，是轴对称图形．【点评】本题考查了特殊角的三角函数值和轴对称图形的特点．11．（4分）（2001•北京）比较大小：当实数a＜0时，1+a＜1﹣a（填“＞”或“＜”）．【分析】先判断出a和﹣a大小，再加1即可．【解答】解：∵a＜0∴﹣a＞0∴a＜﹣a∴1+a＜1﹣a．【点评】加上一个小数＜加上一个大数．12．（4分）（2001•北京）如果圆柱的母线长为3cm，底面半径为2cm，那么这个圆柱的侧面积是12πcm2．【分析】圆柱侧面积=底面周长×高．【解答】解：根据侧面积公式可得π×2×2×3=12π．【点评】本题主要考查圆柱侧面积的计算方法．13．（4分）（2001•北京）用换元法解方程：，若设，则原方程可化为y2+y﹣6=0；原方程的解为或．【分析】把方程整理后，设，用换元法求解，注意检验．【解答】解：把方程整理得：x2+2+﹣6=0，设，原方程就化为y2+y﹣6=0，（y+3）（y﹣2）=0，解得y=﹣3或y=2，经检验y=2是原方程的解．∴x2+2=4，解得x=或﹣．∴原方程的解为或．故本题答案为：y2+y﹣6=0；或．【点评】所给方程较复杂，又都和某一代数式有关系时，可采用换元法使方程简便，注意无理方程需验根．14．（4分）（2001•北京）已知两圆内切，圆心距为2cm，其中一个圆的半径为3cm，那么另一个圆的半径为1或5cm．【分析】分两种情况来分析：半径为3的圆为较大的圆；半径为3的圆为较小的圆，进行求解．【解答】解：分两种情况考虑：当3为较大的圆时，另一个圆的半径=3﹣2=1；当3为较小的圆时，另一个圆的半径=3+2=5．∴另一个圆的半径为1或5．【点评】本题用到的知识点为：两圆内切，圆心距=两圆半径之差．注意：其中一圆的半径可能在较大圆，也有可能在较小圆．三、解答题（共10小题，满分86分）15．（6分）（2001•北京）计算：．【分析】本题涉及零指数幂、负整数指数幂、乘方、二次根式化简四个考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．【解答】解：原式=7﹣2+1﹣2+=6﹣．【点评】本题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟练掌握乘方、零指数幂、二次根式等考点的运算．16．（7分）（2001•北京）解不等式组：．【分析】先求出①的解集，再求出②的解集，找出两个不等式的解集的公共解集．【解答】解：由①得2x﹣7＜3﹣3x，x＜2由②得2x≥﹣2x≥﹣1∴解集为﹣1≤x＜2．【点评】注意各个不等式的解集的公共部分就是这个不等式组的解集．17．（7分）（2001•北京）已知：a、b是实数，且，解关于x的方程（a+2）x+b2=a﹣1．【分析】首先根据非负数的性质和已知条件可以得到b=，a=﹣3，然后代入方程求解即可．【解答】解：由题意知：2a+6=0，b﹣=0，∴a=﹣3，b=，∴原方程可化为：（﹣3+2）x+2=﹣3﹣1，﹣x+2=﹣4，﹣x=﹣6，x=6．【点评】本题考查了非负数的性质和一元一次方程的解法，有一定的综合性．18．（8分）（2001•北京）已知：如图，在▱ABCD中，E为AD中点，连接CE并延长交BA 的延长线于F．求证：CD=AF．【分析】证明线段相等，可通过三角形全等来证明，在本题中全等的依据为角角边．【解答】证明：∵ABCD是平行四边形，∴CD∥FB，∴∠DCE=∠FE．∵E为AD中点，∴DE=AE．又∵∠DEC=∠FEA，∴△CDE≌△FAE．∴CD=AF．【点评】本题主要考查平行四边形的性质和全等三角形的判定，难易程度适中．19．（8分）（2001•北京）已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，∠D=120°，对角线CA平分∠BCD，且梯形的周长为20，求AC的长及梯形面积S．【分析】根据等腰梯形在同一底上的两个角相等和角平分线的定义，求得∠ABC=60°，∠ACB=∠CD=30°．根据30°的直角三角形的性质和等腰三角形的性质得到梯形的各边之间的关系，根据周长列方程求得各边，再计算它的高，就可求得其面积．【解答】解：∵AD∥BC，AB=DC，∠D=120°，对角线CA平分∠BCD，∴∠B=∠BCD=60°，∠ACB=∠ACD=∠CAD=30°∴∠BAC=90°设AB=CD=x，则AD=x，BC=2x．所以x+x+x+2x=20，x=4．AC=AB=4作AE⊥BC于E，则AE=AC=2．则梯形的面积=（4+8）×2=12．即AC的长为，梯形面积为．【点评】本题考查与梯形有关的问题，能够根据角的度数发现30°的直角三角形和等腰三角形，从而找到各边之间的关系，再进行计算．20．（8分）（2001•北京）已知一次函数y=3x﹣2k的图象与反比例函数的图象相交，其中一个交点的纵坐标为6，求一次函数的图象与x轴、y轴的交点坐标．【分析】本题可将给出的交点的纵坐标代入两个函数式中，得出两个关于k，x的方程，然后联立方程组，即可求出k的值，也就确定了两个函数的解析式，进而可求出一次函数与坐标轴的交点．【解答】解：∵一个交点的纵坐标为6，∴，解得：k=﹣5．∴一次函数解析式为y=3x+10，故一次函数与x轴、y轴的交点分别为（，0）、（0，10）．【点评】本题主要考查了一次函数与方程组的关系，根据交点纵坐标通过联立方程组求出k 的值是解题的关键．21．（10分）（2001•北京）为了参加北京市申办2008年奥运会的活动，（1）某班学生争取到制作240面彩旗的任务，有10名学生因故没能参加制作，因此这班的其余学生人均要比原计划多做4面彩旗才能完成任务，问这个班有多少名学生？（2）如果有两边长分别为1，a其中（a＞1）的一块矩形绸布，要将它剪裁出三面矩形彩旗（面料没有余），每面彩旗的长和宽之比与原绸布的长和宽之比相同，画出两种不同裁剪方法的示意图，并写出相应a的值（不写计算过程）【分析】（1）等量关系为：实际人均彩旗数﹣原计划人均彩旗数=4；（2）一种情况是被均分成三块，另一种情况是分成二一形式．【解答】解：（1）设有x名学生，﹣=4解得x=30或﹣20（不合题意，舍去）经检验x=30是原方程的解．答：有30名学生．（2）根据题意画出两种不同裁剪方法，如图所示：若为左边的图形，根据图形得：剪裁后彩旗的宽为a，长为1，则有a：1=1：a，即a2=3，解得：a=；若为右边图形，根据图形得：矩形绸布的长为a，宽为1，则剪裁后彩旗的宽为，长为1，即a=+1=．【点评】解决本题的关键是读懂题意，找到合适的等量关系．22．（10分）（2001•北京）已知关于x的方程x2﹣2（k+1）x+k2+2k﹣1=0 ①（1）试判断方程①的根的情况；（2）如果a是关于y的方程y2﹣（x1+x2﹣2k）y+（x1﹣k）（x2﹣k）=0②的根，其中x1，x2为方程①的两个实数根，求代数式的值．【分析】（1）可以根据根的判别式来判断根的情况；（2）根据方程①的根与系数的关系代入方程②后简化方程，然后可以得到关于a的方程，求出a的值，接着分析代数式，化简后把a的值代入，从而得出代数式的值．【解答】解：（1）∵a=1，b=﹣2（k+1），c=k2+2k﹣1，∴△=b2﹣4ac=[﹣2（k+1）]2﹣4（k2+2k﹣1）=8＞0，∴方程有两个不相等的实数根；（2）∵方程①中x1+x2=2（k+1），x1x2=k2+2k﹣1代入方程②中，可得到：y2﹣2y﹣1=0，因a是方程②的根，则a2﹣2a﹣1=0，∴a2﹣1=2a，把a2﹣1=2a整体代入所求代数式，∴==﹣∴所求代数式的值为﹣．【点评】总结：（1）根据根的判别式的值的大小与零的关系来判断．若△＞0，则有两不相等的实数根；若△＜0，则无实数根；若△=0，则有两相等的实数根．（2）一元二次方程若有实数根，则根与系数的关系为：x1+x2=，x1•x2=．23．（10分）（2001•北京）如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，PA是过A点的直线，∠PAC=∠B，（1）求证：PA是⊙O的切线；（2）如果弦CD交AB于E，CD的延长线交PA于F，AC=8，CE：ED=6：5，AE：EB=2：3，求AB的长和∠ECB的正切值．【分析】（1）要证PA是⊙O的切线，只要证∠PAO=90°即可，因为AB为直径，所以有∠CAB+∠CBA=90°，又∠PAC=∠B，所以∠CAB+∠PAC=90°即PA是⊙O的切线．（2）连接AD、BD；可设CE=6x，AE=2y，进而根据已知条件，用x、y表示出DE、BE 的长，由相交弦定理，即可求得x、y的比例关系；易证得△AEC∽△BED，根据所得成比例线段，即可求得BD的长，同理可设BC=m，由△BEC∽△DEA，求得AD的表达式；在Rt△ADB和Rt△ACB中，可由勾股定理分别表示出AB2，即可得到关于m的方程，从而求出m的值，即BC的长，即可由勾股定理求得AB的长；根据圆周角定理知：∠ECB=∠DAB，因此只需在Rt△ABD中，求出∠DAB的正切值即可．【解答】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°；∴∠CAB+∠CBA=90°；又∠PAC=∠B，∴∠CAB+∠PAC=90°；∴∠PAB=90°；即PA是⊙O的切线．（2）解：设CE=6x，AE=2y，则DE=5x，BE=3y；由相交弦定理，得：AE•EB=CE•DE，即：2y•3y=5x•6x，解得：x=y；∵∠ACD=∠ABD，∠AEC=∠DEB，∴△AEC∽△DEB，则有：；∵AE=2y=2x，DE=5x，∴，由于AC=8，则BD=4；设BC=m，同理可求得AD=m；∵AB是直径，∴△ACB、△ADB是直角三角形；由勾股定理，得：AB2=AC2+BC2=AD2+BD2，即：82+m2=（m）2+（4）2，解得m=6；故BC=6，AD=2；∴AB==10，tan∠ECB=tan∠DAB==2．【点评】本题考查了切线的判定、勾股定理、圆周角定理以及相似三角形的判定和性质等重要知识；此题的难点在于（2）题，通过两步相似来求得BD的长以及AD、BC的比例关系，是解答此题的关键．24．（12分）（2001•北京）已知抛物线经过点以点A（x1，0）B（x2，0），D（0，y1），其中x1＜x2，△ABD的面积等于12．（1）求这条抛物线的解析式及它的顶点坐标；（2）如果点以C（2，y2）在这条抛物线上，点P在y轴的正半轴上，且△BCP为等腰三角形，求直线PB的解析式．【分析】（1）可先根据抛物线的解析式表示出A、B的横坐标，可得出AB的长，然后根据△ABD的面积为12，可求出n的值．即可求出抛物线的解析式，进而可求出顶点坐标．（2）本题可分三种情况：①PB=PC，设出P点的坐标，可根据坐标系两点间的距离公式或通过直角三角形用勾股定理表示出PB和PC长，根据PB=PC的等量关系即可求出P点的坐标．②当PB=BC，③当PC=BC同①．求出P点坐标后即可求出直线PB的解析式．【解答】解：（1）根据题意，令y=0，整理，得x2+2（n+1）x+4n=0（n＜0），解得x1=﹣2，x2=﹣2n，∴AB=|x2﹣x1|=2﹣2n，又OD=|y1|=﹣2n．∵S△ABD=AB•OD=12，∴（2﹣2n）（﹣2n）=12，解得n=3（舍去），n=﹣2．∴y=﹣x2+x+4．顶点坐标为（1，）．（2）∵点C（2，y2）在这条抛物线上，D（0，4），∴y2=4，即C（2，4），∴∠CDO=90°，∴∠BOD=90°．根据题意画出示意图①如图1，设P1（0，m1），满足P1B=P1C，其中m1＞0．由勾股定理得，OB2+OP12=DP12+DC2，即42+m12=（4﹣m1）2+22，解得m1=，即P1（0，），符合题意，直线P1B的解析式为y=﹣x+．②如图2，设P2（0，m2），满足P2B=BC，其中m2＞0．由勾股定理得，OB2+OP22=42+22，即42+m22=42+22，解得m2=﹣2（舍去），m2=2，即P2（0，2），符合题意，直线P2B的解析式为y=﹣x+2．③设P3（0，m3），满足P3C=BC，其中m3＞0，由勾股定理得，DP32+CD2=42+22，即（4﹣m3）2+22=42+22，解得m3=0（舍去），m3=8，即P3（0，8）．直线P3B的解析式为y=﹣2x+8，∵C（2，4）在P3B上，∴P3不符合题意，舍去．综上所述，直线PB的解析式为y=﹣x+，y=﹣x+2．【点评】本题考查了二次函数解析式的确定、等腰三角形的判定等知识点．（2）中要根据等腰三角形的腰和底的不同分类讨论．参与本试卷答题和审题的老师有：心若在；蓝月梦；算术；郝老师；leikun；zcx；智波；zhjh；CJX；Linaliu；bjy；MMCH；HJJ；Liuzhx；lanchong；mmll852；王岑；438011；开心；733599；wenming；lanyan；haoyujun；kuaile；HLing；wdxwzk（排名不分先后）菁优网2016年10月5日。