逆矩阵定律和矩阵的秩

|A00|=|
AA| IE
AAAAAA111111n21n21
AA2211 AA2222 AA22nn
AAAAAAnnnnnn12n12naaaaaa12n12n111111
aa1122 aa2222 aann22
aaaaaa1n21n2nnnnnn==||A00A00||
00 ||AA|| 00
1 A
A
=
ad
1
bc
d c
b a
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例 1
求矩阵
A
=
1 2 3
0 1 2
105
的逆矩阵
101 解 因为| A|= 2 1 0 =20 所以A可逆 又因为
3 2 5
所以
A*
=A*AAA=111231
AA1121 AA2131 AA1222 AA2232 AA1323 AA2333
A
A = A A1 = A1
又 (2 A)1 = 1 A1, A1 = 1 = 1 ,于是
2
A
(2A)1 2A = 1 A1 2 A1 = 3 A1
2
2
= ( 3)3 A = 27
2
8
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二、矩阵的秩
定义24(k阶子式) 设A是mn矩阵 从A中任取k行k列(kmin(m, n)) 位于这
求矩阵 A=1113
0 2 1 4
0 0 0 5
11
4 1
的秩
解
A = 1113
0 2 1 4
0 0 0 5
11
4 1
1000
00 20 1 0 45
12
1 0
1000
0 1 0 0
0 0 5 0
11
4 0
由定理25知 A的秩等于经初等变换后所求出的最后一
矩阵的秩 而最后一矩阵的秩显然等于3 故r(A)=3
1 4 0 0
72
0 0
最后一矩阵为阶梯形矩阵 有两个非零行 故r(A)=2
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例4 设B为n阶非奇异矩阵 A为mn矩阵 试证 A与B之积 的秩等于A的秩 即r(AB)=r(A) （P60/2.18）
证 因为B非奇异 故可表示成若干初等矩阵P1 P2 Ps 之积
B=P1P2 Ps 于是 AB=AP1P2 Ps 这表示AB是A经s次初等变换后得出的 因而r(AB)=r(A)
---------作为定理来用
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几个常用性质：P60
(5) max{r( A),r(B)} r( A, B) r( A) r(B) (6) r( A B) r( A) r(B) (7) r( AB) min{r( A),r(B)} (8) 若AB = 0,则r( A) r(B) n
A 0, r( A ) = n.
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(2) 若 r( A) = n 1, 则 A 中至少有一个n－1阶子式不为0，而 A中元素都是 A 的n－1阶子式，所以 A中至少有一个元素不为0， 则 r( A ) 1. 又由 r( A) = n 1, 知 A = 0, 则 AA = A E = 0 则 r( A) r( A ) n, r( A ) n r( A) = n (n 1) = 1, 综上， r( A ) = 1.
(3) 若 r( A) n 1, 则 A 中所有n－1阶子式全为0， 则 A 中元素全为0，即 A = 0, r( A ) = 0.
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例5 设 A 是n阶矩阵 A 的伴随矩阵，n 2,
n, 证明：r( A ) = 1,
0,
若 r( A) = n; 若 r( A) = n 1; 若 r( A) n 1.
证： (1) 若 r( A) = n, 则 A 0.
AA = A E,
A A = A n ,
P60/ 2.19
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定理2.6 n阶方阵A可逆当且仅当 A 0
且A1 = 1 A , 其中A为矩阵A的伴随矩阵. A
证明: ()
因为AA = A E，当 A 0时，有A( A ) = E， A
又因为A A = A E，当 A 0时，有( A )A = E， A
所以A( A ) = ( A ) A = E，所以A1 = 1 A
AAA333=2311=705222222222211
A1
=
|
1 A|
A*
=
1 2
5 10 7
2 2 2
121
=
5/ 2 5 7/2
1 1 1
111//22
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例2 设A为三阶矩阵, A = 1 ,求 (2A)1 2A
解:
A = 1 0知
A 可逆,且 A1 =
1 A ,所以
思考 A的秩与最后一个阶梯形矩阵的非零行有什么关系？
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阶梯形矩阵的秩等于非零行的行数
例 2
求矩阵 A=112
1 3 1
1 3 2
122
的秩
解
A=
1 2 1
1 3 1
1 3 2
122
100
1 5 2
1 1 1
212
100
1 5 3
1 1 0
122 100
1 1 0
1 5 3
122
些行和列的交叉处的元素 保持它们原来的相对位置所构成 的k阶行列式 称为矩阵A的一个k阶子式
2 1 2 3
例如
已知
A=
4 2
1 0
3 1
52
选定第一三两行及第二四两列
得 2 阶子式10
3 2
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定义25(矩阵的秩) 设A为mn矩阵 如果A中不为零的子式最高阶数为r 即
存在r阶子式不为零 而任何r1阶子式皆为零 则称r为矩阵A 的秩 记作秩(A)=r或r(A)=r
§2.3 逆矩阵公式和矩阵的秩
一、逆矩阵公式
定义22(非奇异矩阵)
对于n阶矩阵A 若行列式|A|=0 则称A是奇异的否则称A
为非奇异的
定义23（伴随矩阵）
Aij为A的元素aij的代数余子式，
A11
A
=
A12
A1n
A21
A22
An1
An
2
，
则称A为A的伴随矩阵.
A2n Ann
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最后一矩阵为阶梯形矩阵 有三个非零行 故r(A)=3
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阶梯形矩阵的秩等于非零行的行数
例
3
求矩阵 A=1132
3 1 2 4
1 2 1 3
32
1 5
的秩
解
A=1132
3 1 2 4
1 2 1 3
32
1 5
10
0 0
3 7 7 7
1 4 4 4
72
7 7
1000
3 7 0 0
当A=O时 规定r(A)=0
矩阵的秩的简单性质 (1)r(A)=r(AT) (2)对于mn矩阵A 有0r(A)min(m, n) 当r(A)=min(m, n)时 称矩阵A为满秩矩阵
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定义212(矩阵的秩) 设A为mn矩阵 如果A中不为零的子式最高阶数为r 即
存在r阶子式不为零 而任何r1阶子式皆为零 则称r为矩阵A 的秩 记作秩(A)=r或r(A)=r
AA
A
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A11
A1
=
1 A，其中A A
=
A 12
A 1n
A21 A
22
An1
A n
2
A 2n
A nn
其中A为A的伴随矩阵，
A 为行列式 A中元素a 的代数余子式.
ij
ij
逆矩阵的求法二：伴随矩阵法
特
别
地
，
对 二 阶 方 阵A
=
a c
b d
Leabharlann Baidu
当 A = ad bc 0时，有A1 =
||A00A00||==|=|AA|A|II
E
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定理2.6 n阶方阵A可逆当且仅当 A 0
且A1 = 1 A , 其中A为矩阵A的伴随矩阵. A
证明： () A可逆，则有A1，使AA1 = E 两边取行列式，得AA1 = A A1 = 1 因此，A 0
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定理2.5 设n阶矩阵A的伴随矩阵为A*,则
证明
AA* = A*A = A E
因为
a11 a21
an1
a12 a22
an2
a1n a2n
ann
A11 A12
A1n
A21 A22
A2n
An1 An2
Ann
=|A00|
0 | A| 0
当A=O时 规定r(A)=0
例如
已知 A=100
2 1 0
3 0 1
100
1 因为0
0
2 1 0
3 0 =10 1
所以 r(A)=3
又如 B =100
102 r(B)=2
C =100
1 1 0
100
r(C)=3
上述矩阵都是满秩矩阵
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定理27 矩阵经初等变换后 其秩不变
例 1