概率论基础-概率论-事件发生的可能性(复旦版)复旦李贤平
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概率论基础-概率论－事件发 生的可能性(复旦版)复旦李贤
平
第一章 随机事件与概率 §1 随机现象与统计规律性
§2 样本空间与随机事件
一、必然现象与随机现象 1、必然现象 在一定条件下肯定会发生的现象
如水100ºC沸腾 苹果从树上掉落 牛顿第一定律
以往学科研究必然现象的数量规律
2、偶然现象或随机现象 即使条件一定，结果也不可预测
二、随机试验及频率的稳定性
随机试验是对随机现象进行试验或观察 1、相同的条件下可以重复进行 2、每次试验有多种可能的结果，而且在试验 之前即可明确有几种可能。
3、每次试验不能预知哪一结果会发生。 当目的不同时，结果也会有不同。
如天气：下雨或不下雨。 晴、多云、阴、小雨、大雨等。
例 抛硬币
试验者
掷的次数 正面次数 正面频率
可推广:
Ak Ak
k
k
Ak Ak
k
k
五、频率和统计规律性
研究随机现象,不仅关心试验中会 出现哪些事件,更重要的是想知道事件 出现的可能性大小,也就是事件的概率
1.事件的频率
定义: 频率
事件A在相同条件下进行的n次试
验中发生了m次,称 验中发生的频率
m n
为事件A在这次试
符号 Ω Φ ω∈Ω {ω} A Ω A B A=B A∪B
A∩B Ā A-B
A∩B=φ
测度论含义 全集 空集 集合的元素 单点集 一个集合 A的元素在B中 集合A与B相等 A与B的所有元素
A与B的共同元素 A的补集 在A中而不在B中的元素
A与B无公共元素
概率论含义 样本空间，必然事件 不可能事件 样本点 基本事件 一个事件 A发生导致B发生 事件A与B相等 A与B至少有一个发生
A={{b1, b2},{b1, b3},{b2, b3}} 表示事件: “没有抽到次品”
B={{a1,b1},{a1, b2},{a1, b3},{a2, b1}, {a2, b2},{a2, b3}}
表示事件: “恰好抽到一件次品”
在试验中,当事件中的一个样本点 出现时,称这一事件发生
上例中,事件A发生当且仅当A中所 含的3个样本点之一出现; 事件B发生当 且仅当B中所含的6个样本点之一出现
Buffon
4040
Pearson
24000
Kerrich
10000
例，高尔顿钉板试验
2048 12012 5067
0.5069 0.5005 0.5067
在相同的条件下，大量重复某一试验时，各可能结果出现的 频率稳定在某各确定值附近，即 随机试验中频率的稳定性
频率稳定性的存在标志着随机现象也由数量规律 概率论是研究随机现象中数量规律的数学学科
或互不相容的
A
B
互斥的事件不可能在一次试验中 同时发生
5. 差事件 AB : 事件A发生而B不发生
AB
显然, AA= A =A A=
6. 逆事件 (对立事件) A ：A不发生
A
AA
显然, AA AA
AA
ABAB
注: 互斥与互逆:
A∩B= A与B互斥
互逆一定互斥
A B
若A∪B ,则A与B不是互逆的 若 A∪B = ,则A与B互逆
样本空间为: ={{a1,a2},{a1,b1},{a1,b2},{a1,b3},{a2,b1},
{a2,b2},{a2,b3},{b1,b2},{b1,b3},{b2,b3}}
把样本空间的任意一个子集称为 一个随机事件,简称事件
记作A、B、C等
可见,随机事件是由试验的若干个 结果组成的集合
在上例中,令
两个特殊的事件： 必然事件 : 在每次试验中必然出现的事
件,记为
不可能事件 : 一定不出现的事件,记为
例如,在掷骰子试验中:
{掷出点数小于7} 是必然事件 {掷出点数8} 是不可能事件
四、随机事件的关系及运算
对应集合的关系和运算来定义事 件的关系及运算,并根据“事件发生”的 含义,来理解它们在概率论中的含义
如 掷一枚硬币，出现正面或反面？ 买一张彩票，是否中奖？ 是否会发生水灾？ 明日的降水情况 下一个交易日股票的涨跌
随机现象是广泛存在的 虽然随机现象中出现什么结果不能完全预言， 但可以假定全部结果是已知的
随机现象中不确定性的原因
影响事物发展的偶然因素的存在 例如，股市变化: • 金融政策的变化 • 上市公司的经济状况 • 股民的经营行为 • 其他国家股市的沉浮
例如, 测量灯泡寿命:
样本点是一非负数,由于不能确知 寿命的上界,所以可以认为任一非负实 数都是一个可能结果,则样本空间:
S = {t : t ≥0｝
例如，从包含两件次品(a1,a2)和三件正 品(b1,b2,b3)的五件产品中任意取出两件:
具体拿出两件就是一次试验
例如拿出的两件是a1、b1 这就是一个样本点,记为{a1,b1}
三 样本空间与随机事件
样本空间 : 试验的所有可能结果组成的集合 记为
样本点 : 样本空间的元素即随机试验的单个结果
记为
由随机试验的定义,知所有的样本点是已知的
例如, 掷一枚硬币观察正、反面出现的 情况:
一次试验就是掷一次硬币 试验的可能结果有两个:
正 (正面朝上)、反 (反面朝上) 即有两个样本点: 正、反 这个随机试验的样本空间为: {正、反}
1. 子事件 包含 A B : 事件A发生必有事件B发
生, 称B包含A
BA
显然 A
相等 A=B : AB且BA
2. 和事件 A∪B :事件A和B至少有一个发生
A
B
显然, A∪ =A
A∪=
3. 积事件
A∩B : 事件A与B同时发生 简写AB
A
B
显然, A∩=
A∩=A
4. 互斥事件
A∩B= :事件A与B是互斥的,
A与B同时发生 A的对立事件 A发生而B不发生
A与B互斥
事件的和与积可推广到有(无)限个事件的情形：
Leabharlann Baidu
Ak
:
A1, A2, … , An, …中至少有一个 发生
k 1
A k : A1, A2, … , An, …同时发生
k 1
符号
测度论含义
概率论含义
limAn An k1nk
上极限
{ An } 中有无限多个发生
limAn An k1nk
下极限
{ An } 中至多有限个不发生
事件的运算
1、交换律: A∪B=B∪A AB=BA
2、结合律: (A∪B)∪C=A∪(B∪C) (AB)C=A(BC)
3、分配律: (A∪B)C=(AC)∪(BC) (AB)∪C=(A∪C)∩(B∪C)
4、对偶律: ABAB ABAB
平
第一章 随机事件与概率 §1 随机现象与统计规律性
§2 样本空间与随机事件
一、必然现象与随机现象 1、必然现象 在一定条件下肯定会发生的现象
如水100ºC沸腾 苹果从树上掉落 牛顿第一定律
以往学科研究必然现象的数量规律
2、偶然现象或随机现象 即使条件一定，结果也不可预测
二、随机试验及频率的稳定性
随机试验是对随机现象进行试验或观察 1、相同的条件下可以重复进行 2、每次试验有多种可能的结果，而且在试验 之前即可明确有几种可能。
3、每次试验不能预知哪一结果会发生。 当目的不同时，结果也会有不同。
如天气：下雨或不下雨。 晴、多云、阴、小雨、大雨等。
例 抛硬币
试验者
掷的次数 正面次数 正面频率
可推广:
Ak Ak
k
k
Ak Ak
k
k
五、频率和统计规律性
研究随机现象,不仅关心试验中会 出现哪些事件,更重要的是想知道事件 出现的可能性大小,也就是事件的概率
1.事件的频率
定义: 频率
事件A在相同条件下进行的n次试
验中发生了m次,称 验中发生的频率
m n
为事件A在这次试
符号 Ω Φ ω∈Ω {ω} A Ω A B A=B A∪B
A∩B Ā A-B
A∩B=φ
测度论含义 全集 空集 集合的元素 单点集 一个集合 A的元素在B中 集合A与B相等 A与B的所有元素
A与B的共同元素 A的补集 在A中而不在B中的元素
A与B无公共元素
概率论含义 样本空间，必然事件 不可能事件 样本点 基本事件 一个事件 A发生导致B发生 事件A与B相等 A与B至少有一个发生
A={{b1, b2},{b1, b3},{b2, b3}} 表示事件: “没有抽到次品”
B={{a1,b1},{a1, b2},{a1, b3},{a2, b1}, {a2, b2},{a2, b3}}
表示事件: “恰好抽到一件次品”
在试验中,当事件中的一个样本点 出现时,称这一事件发生
上例中,事件A发生当且仅当A中所 含的3个样本点之一出现; 事件B发生当 且仅当B中所含的6个样本点之一出现
Buffon
4040
Pearson
24000
Kerrich
10000
例，高尔顿钉板试验
2048 12012 5067
0.5069 0.5005 0.5067
在相同的条件下，大量重复某一试验时，各可能结果出现的 频率稳定在某各确定值附近，即 随机试验中频率的稳定性
频率稳定性的存在标志着随机现象也由数量规律 概率论是研究随机现象中数量规律的数学学科
或互不相容的
A
B
互斥的事件不可能在一次试验中 同时发生
5. 差事件 AB : 事件A发生而B不发生
AB
显然, AA= A =A A=
6. 逆事件 (对立事件) A ：A不发生
A
AA
显然, AA AA
AA
ABAB
注: 互斥与互逆:
A∩B= A与B互斥
互逆一定互斥
A B
若A∪B ,则A与B不是互逆的 若 A∪B = ,则A与B互逆
样本空间为: ={{a1,a2},{a1,b1},{a1,b2},{a1,b3},{a2,b1},
{a2,b2},{a2,b3},{b1,b2},{b1,b3},{b2,b3}}
把样本空间的任意一个子集称为 一个随机事件,简称事件
记作A、B、C等
可见,随机事件是由试验的若干个 结果组成的集合
在上例中,令
两个特殊的事件： 必然事件 : 在每次试验中必然出现的事
件,记为
不可能事件 : 一定不出现的事件,记为
例如,在掷骰子试验中:
{掷出点数小于7} 是必然事件 {掷出点数8} 是不可能事件
四、随机事件的关系及运算
对应集合的关系和运算来定义事 件的关系及运算,并根据“事件发生”的 含义,来理解它们在概率论中的含义
如 掷一枚硬币，出现正面或反面？ 买一张彩票，是否中奖？ 是否会发生水灾？ 明日的降水情况 下一个交易日股票的涨跌
随机现象是广泛存在的 虽然随机现象中出现什么结果不能完全预言， 但可以假定全部结果是已知的
随机现象中不确定性的原因
影响事物发展的偶然因素的存在 例如，股市变化: • 金融政策的变化 • 上市公司的经济状况 • 股民的经营行为 • 其他国家股市的沉浮
例如, 测量灯泡寿命:
样本点是一非负数,由于不能确知 寿命的上界,所以可以认为任一非负实 数都是一个可能结果,则样本空间:
S = {t : t ≥0｝
例如，从包含两件次品(a1,a2)和三件正 品(b1,b2,b3)的五件产品中任意取出两件:
具体拿出两件就是一次试验
例如拿出的两件是a1、b1 这就是一个样本点,记为{a1,b1}
三 样本空间与随机事件
样本空间 : 试验的所有可能结果组成的集合 记为
样本点 : 样本空间的元素即随机试验的单个结果
记为
由随机试验的定义,知所有的样本点是已知的
例如, 掷一枚硬币观察正、反面出现的 情况:
一次试验就是掷一次硬币 试验的可能结果有两个:
正 (正面朝上)、反 (反面朝上) 即有两个样本点: 正、反 这个随机试验的样本空间为: {正、反}
1. 子事件 包含 A B : 事件A发生必有事件B发
生, 称B包含A
BA
显然 A
相等 A=B : AB且BA
2. 和事件 A∪B :事件A和B至少有一个发生
A
B
显然, A∪ =A
A∪=
3. 积事件
A∩B : 事件A与B同时发生 简写AB
A
B
显然, A∩=
A∩=A
4. 互斥事件
A∩B= :事件A与B是互斥的,
A与B同时发生 A的对立事件 A发生而B不发生
A与B互斥
事件的和与积可推广到有(无)限个事件的情形：
Leabharlann Baidu
Ak
:
A1, A2, … , An, …中至少有一个 发生
k 1
A k : A1, A2, … , An, …同时发生
k 1
符号
测度论含义
概率论含义
limAn An k1nk
上极限
{ An } 中有无限多个发生
limAn An k1nk
下极限
{ An } 中至多有限个不发生
事件的运算
1、交换律: A∪B=B∪A AB=BA
2、结合律: (A∪B)∪C=A∪(B∪C) (AB)C=A(BC)
3、分配律: (A∪B)C=(AC)∪(BC) (AB)∪C=(A∪C)∩(B∪C)
4、对偶律: ABAB ABAB