第三章集中量数和差异量数

思考题
某一团体成员的年龄分布如下表所示。试问 表示它们集中趋势的恰当指标是什么？为 什么？并计算出你所选定的指标。 • 年龄分布表 • 25岁以下 25-34岁 35-44岁 45-54岁 55-64岁 64岁以上
• f 45 40 30 55 28 15
第二节 差异量数
一、 标准差 二 、 四分差 三 差异系数
数描述时，其离散程度宜用标准差描述。
2、计算其它统计量时，如相关系数等， 要用到标准差。 3、在推断统计中，尤其是进行方差分析 时，常用方差（标准差的平方）表示数据 的离散程度。
（二）、标准差的计算方法 1、基本公式法 例1 某校四年级举行数学竞赛，一班、二班分别派九 名选手参加，如下表。试比较两个班的成绩。
求出年平均增长率。
平均增长率=1.09-1=0.09 故所求的年平均增长率为9%。
2、只用首末项求几何平均数 设a0,a1,…,aN是N个年度中各年度某种数量值，
其中a0是初期量， aN是末期量。X1,X2,…,XN为
各年度发展速度，即
aN a1 a2 X 1 , X 2 ,..., X N a0 a1 aN 1
2 8 32125 502
=31.72
例 已知某校四年中各年度的学生人数分别为上一年
的1.12倍，1.09倍，1.08倍和1.06倍，求每年的平均增长率。
解：先求出平均发展速度
Mg 4 1.121.091.081.06 1.09
然后用公式：平均增长率=平均发展速度-1，
82
77 72 67
15
8 5 3
1230
616 360 201
60-64
55-59 ∑
62
57
4
2 50
248
114 3915
解：将表中数据代入公式，得
fXc 3915 X 78.3 N 50
说明：利用次数分布求得的算术平均数是 一个近似值。因为我们先假设组内的数据是均
匀分布的，利用各组中值分别代表各组数据，
解：（1）N/2=50/2=25； （2）由下向上累积次数，7579组对应的累积次数为22，8084组对应的累积次数为37，故 中位数在80-84组； （3）Lb=79.5； （4）Fb=2+4+3+5+8=22; （5）i=5,f=15； 6）将上述值代入（3.4），得 Mdn=79.5+(25-22)/15*5=80.5
（3.2）
例 某年级四个班的学生人数分别为50人，52
人，48人，51人，期末数学考试各班的平均成绩
分别为90分，85分，88分，92分，求年级的平均
成绩。
解：由公式（3.2）得
Xw
XW 90 * 50 85 * 52 88 * 48 92 * 51 50 52 48 51 W
55-59
50-54 45-49 40-44 ∑
57
52 47 42
42
58 30 5 144
4.20
-0.80 -5.80 -10.80
17.65
0.64 33.62 116.61
X

fXc
N
式中Xc为组中值；f为各组次数，即权数；N 为总次数=∑f。
例 某班50人外语期末考试成绩的次数 分布如下，求全班学生的平均成绩。
表 某班50人外语成绩次数分布表
组别 90-94 85-89
组中值Xc 92 87
次数f 3 10
fXc 276 870
80-84
75-79 70-74 65-69
3、在教育上，主要应用几何平均数求平
均发展速度或对某项目标进行预测估计。
（二）、几何平均数的计算方法 1、直接公式法 例 求2，8，32，125，502的几何平均数。 解：由于这组数属于近似等比数列，故应 用公式（3.5），得
几何平均数M g
n
X 1 X 2 X n
X 1 X n 为n个数据 5
第三章 集中量数 和差异量数
• 1、对某校学生的思想品德用五级记分法记分， 其人数统计可以用（ ）表示： • a、直条图 b、直方图 c、多边图 d、线形图 2、从总体中抽取出作为观察对象的一部分个 体，称为： （ ） a、样本 b、总体 c、有限总体 d、无限总体 3、在制作有纵横轴的统计图时，一般来说， 纵轴与横轴比为： （ ） a、1：1 b、3：5 c、5：3 d、6：3
MG N a N 5 700 1.03 a0 594
故年平均增长率为（10.3-1)*100%=3%
例 某校办工厂在1984年创产值10万元，该厂
计划以年平均增长率为5%的速度递增，试估计到
2004年该厂可创产值多少万元。
解：由 平均增长率=平均发展速度-1
得：aN=a0(1+平均增长率）N =10×（1+0.05）20=26.53（万元）
其中：Xc为各级组中值； X 为算术平均数；N 为总次数；f为各组次数。
例3 某年级144名学生语文成绩如下表，求其 标准差。
表3-3 144名学生语文成绩表
组别
65-69 60-64
Xc
67 62
f
3 6
Xc14.20 9.20
X
(Xc)^2 X 201.68 84.67
f(XcX)^2 605.04 507.99
从以上计算可知，两班平均数都是73分，说
明两班的平均水平相同。但它们的标准差不同，
说明两班成绩的差异程度很不相同。一班的差异
程度较小，平均分数73的代表性就较大；二班的 差异程度较大，平均分数73的代表性就小些。 2、原始数据法 为了减少计算量，可将公式3.1进行转换， 使公式中参与运算的变量皆为原始数据。公式 为
这显然与实际不符，把这一误差叫分组误差。
（四）加权算术平均数的计算方法
它是指一组数据中每个数据与其权数乘积的总和 除以权数总和所得之商，用符号 X w 表示。
计算公式如下： X 1W1 X 2W2 X nWn X iWi XW W1 W2 Wn Wi 式中：X i (i 1,2,, n)为各数据的值； Wi (i 1,2,, n)为各数据相应的权数 。

X
N
2
2
X N

2
（3.2）
式中 X 2为原始数据的平方之和 ；
X 为原始数据总和的平方 ；N
解：∑X=657，∑X2=49747 N=9，代入公式（4.2）
表示次数。
例2 用原始数据法计算表1的标准差


X
N
2
X N
2

组别 90-94 85-89 80-84 75-79 70-74 65-69 组中 值Xc 92 87 82 77 72 67 次数f 3 10 15 8 5 3 fXc 276 870 1230 616 360 201
60-64
55-59 ∑
62
57
4
2 50
248
114 3915
四、 几何平均数
概念： 是一组同质数据值的总和除以数据总个数所得的 商。亦称均数，均值，用 X（读X杠）表示。
计算公式为： X 1 X 2 X n X n
X
n
i
（3.1）
n为数据个数。
• （二）计算方法： 1、原始数据计算法： 定义公式一般适用于原始数据较少 的情况下，其计算方法可用于原始数据 计算公式中。
=88.74
三、中位数
（一）、中位数的概念及适用条件
概念： 中位数是位于一组有序数据中间位置的量 数。也称中数，用Mdn表示。它是将一组有序数 据的个数分为相等两部分的那个数据。
适用条件：
1、当一组数据有极端值出现时。
2、当一组有序数据两端有个别数据模糊不清
或分组资料有不确定组限时。
3、当需要快速估计一组数据的代表值时。
计算公式为：
M dn Lb
n Fb 2 M L i n dn b Fb f 2
i
式中：Lb 表示中位数所在组的精 确下限；Fb为中位数所在组以下的 累积次数；
f ：L 表示中位数所在组的精 式中 确下限；Fb为中位数所 b
n为总次数 ；i 为组距；f 为中位数所在组的次数 。 n为总次数；i 为组距；f 为中位数所在组的次数 。
• 一、集中量的一般意义：
• 定义：集中量就是表示一组数据典型水平或集 中趋势的量。它反映频数分布中大量数据向某 一个量集中的情况。常用的集中量有算术平均 数、几何平均数、调和平均数、加权平均数、 中位数、众数等。
二、集中量的优良代表量之一--算术平均 数（Arithmetic Mean）
（一）、算术平均数的概念
（一）、几何平均数的概念及应用时机
概念：
它是N个数值连乘积的NLeabharlann Baidu方根，用符号MG 表示
几何平均数M g n X 1 X 2 X n X 1 X n 为n个数据
(3.5)
应用时机：
1、求一组等比或近似等比数据的平均数
时。
2、一组数据中，有少数偏大或偏小的数
据，数据分布呈现偏态，求平均数时。
计算步骤： （1）求N/2； （2）确定中位数所在组，由下向上累积 次数，直到大于或等于N/2一组为止，该组 就是中位数所在组； （3）求出中位数所在组的精确下限； （4）求出中位数所在组以下的累积次数 Fb; （5）确定组距及中位数所在组的次数f; （6）将以上各值代入公式中。
表 某班50人外语成绩次数分布表 求表的中位数。
2
得
49747 657 9 9
14.09
（二）分组资料标准差的计算方法
这里的分组资料指编制成次数分布的资料，此 时以组中值作为各组的代表值。计算公式为

f Xc X
N
2
（3.3）
2
或

fXc
N
2
fXc N
中位数。 例如求80，93，90，81，85，88，92，84的 中位数时，先排序：80，81，84，85，88，90， 92，93，再求（N+1）/2=4.5，这说明中位数的位
置在第四个和第五个数的中间，即（85+88）
/2=86.5。
（二）分组数据中位数的计算方法 对分组数据常将N/2位置对应的数据看 成中位数。
576
22
484
12
144
7
49
2
4
-8
64
-33
1089
-53
2089
解：先求四年一班的平均数和标准差。算得
X 73

X
i
X

2
1786
X
X

2
n
14.09
再求四年一班的平均数和标准差。得
X 73

X X
i
2
5948
X
X

2
n
25.71
一、 标准差
（一）、标准差的概念及适用条件 概念： 标准差是一组数据中每个数据与其算术 平均数之差的平方的算术平均数的算术平 方根。用符号σ 表示。

X
i
X n

2
（3.1)
X 其中Xi为原始数据；N为数据个数； 的算术平均数。
为一组数据
适用条件： 1、一组数据的一般水平适合用算术平均
例如， 某班选八名同学参加年级数学竞赛，成绩分别为82，
90，95，88，90，94，80，93。求其平均成绩。 解：把N=8，X1=82,…,X8=93代入公式（3.1）， 得
X 82 90 95 88 90 94 80 93 X 89 N 8
2、频数分布表计算法：对于已列成次数分布 表的分组数据，其算术平均数的计算公式为
表1 一班成绩统计表 X
X-
92
90
17
83
10 100
80
7 49
75
2 4
70
-3 9
62
-11 121
55
-18 324
50
-23 529
X
19
(X- X )^2
361 289
表2 二班成绩统计表 X 100 97 95 85 80 75 62 40 20
X- X
(X- X )^2
27
729
24
MG
N
X 1 X 2 ... X N N
aN a0
（3.6）
例 某重点高中1994-1999年招收新生人数如下 表，求年平均增长率。
表3-2 某高中招生人数统计表
年份 人数
1994 594
1995 600
1996 612
1997 630
1998 650
1999 700
解：由于a0=594,aN=700,N=5, 所以年平均 发展速度为

（二）、中位数的计算方法 1、未分组数据中位数的计算方法 一组数据未分组，先排序，中位数 取决于数据的个数是奇数还是偶数。
当数据的个数为奇数时，则以第（N+1）/2个 位置上的数据作为中位数。
当数据的个数为偶数时，则取居中间的两个
数据的平均数为中位数。即取第（N+1）/2处作为
中位数的位置，其位置左右两数据的平均值即为