第三章集中量数和差异量数

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统计第三章

统计第三章


(二)众数的意义与应用


1、优点:
简单明了,容易理解,不受极端数值的影响。


2、缺点:
(1)不稳定,受分组影响,也受样本变动影响。 (2)计算时不需每一个数据都加入,反应不够灵敏。 (3)用观察法得到的众数,不是经过严格计算而来的, 用公式计算所得众数也只是一个估计值。同时,众数不 能作进一步代数运算。 (4)总数乘以众数,也与数据总和不相等。 (除非众数=平均数)
六、计算和应用平均数的原则

1、同质性原则
2、平均数与个体数值相结合的原则 3、平均数与标准差、方差相结合的原 则


第二节 中数与众数

一、中数(median)
二、众数(mode) 三、平均数、中数、众数三者之间的关 系


一、中数(median)

中数,又称中点数、中位数、中值,符号 为Md或Mdn。中数是按顺序排列在一起的 一组数据中居于中间位置的数,即在这组 数中,有一半的数据比它大,有一半的数 据比它小。这个数可能是数据中的某一个, 也可能根本不是原有的数。如果将数据按 大小顺序排列,中数恰好位于中间,它将 数据的数目分成较大的一半和较小的一半。

2、各观察值与算术平均数之差(离差)的总 和等于0,即 N
(X
i 1
i
X) 0

3、每一个观测值都加上或减去同一个相同常 数C后,计算得到的平均数等于原平均数加 上或减去这个常数C,即 N
(X
i 1
i
C)
N
X C
三、算术平均数的性质

4、每一个观测值都乘以一个相同常数 C后,计算得到的平均数等于原平均数 N 乘以这个常数C,即 CX i

统计心理-第三章 集中量数

统计心理-第三章 集中量数

例。
XT

ni X i ni
加权平均数
例1:某小学三年级举行英语测验。甲班32名学生的平均 分为72.6,乙班40名学生平均分为80.2,丙班36名学生的 平均分为75分。求全年级英语测验的总平均分数。
xwN1xN 11NN 2x22N N 33x3
加权平均数
例2:某课题组在8个省区进行一项调查,各省区的取样 人数和平均分数见下表,求该项调查的总平均数。
2
中数;若数据个数为偶数时,则 X N 2 X N 2 1 2为中 数。
①求数列4,6,7,8,12的中数。 ②有2,3,5,7,8,10,15,19共8个数,求其中数。
(二)中数的计算方法
(2)一组数据中有重复数值的情况
①当重复数值没有位于数列中间时 求数列5,5,6,10,12,15,17的中数。
集中趋势与离中趋势
集中趋势是指数据分布中大量数据向某方向集中 的程度。
集中趋势与离中趋势
集中趋势是指数据分布中大量数据向某方向集中 的程度。
离中趋势是指数据分布中数据彼此分散的程度。 集中量数与差异量数:描述一组数据集中趋势和
离中趋势的统计量,共同描述一组数据的全貌及 统计特征。 测度集中趋势即寻找数据水平的代表值或中心值 集中量数包括算术平均数、中数、众数、加权平 均数、几何平均数、调和平均数等。
Mo3Md2M
第三节 其他集中量数
一、加权平均数 所得数据单位权重不相等时要使用加权平均数。
k
M WW 1X W 1 1W W 2X 22 W W nnXni
1
W
k
i
W
X
i
i
i1
W为权数,指各变量在构成总体中的相对重要性。

第三章集中量数和差异量数

第三章集中量数和差异量数

从以上计算可知,两班平均数都是73分,说
明两班的平均水平相同。但它们的标准差不同,
说明两班成绩的差异程度很不相同。一班的差异
程度较小,平均分数73的代表性就较大;二班的 差异程度较大,平均分数73的代表性就小些。 2、原始数据法 为了减少计算量,可将公式3.1进行转换, 使公式中参与运算的变量皆为原始数据。公式 为
xnxnx表示次数为原始数据总和的平方为原始数据的平方之和式中2222???????????????32例2用原始数据法计算表1的标准差09149657949747222?????????????????????nxnx?解
第三章 集中量数 和差异量数
• 1、对某校学生的思想品德用五级记分法记分, 其人数统计可以用( )表示: • a、直条图 b、直方图 c、多边图 d、线形图 2、从总体中抽取出作为观察对象的一部分个 体,称为: ( ) a、样本 b、总体 c、有限总体 d、无限总体 3、在制作有纵横轴的统计图时,一般来说, 纵轴与横轴比为: ( ) a、1:1 b、3:5 c、5:3 d、6:3
82
77230
616 360 201
60-64
55-59 ∑
62
57
4
2 50
248
114 3915
解:将表中数据代入公式,得
fXc 3915 X 78.3 N 50
说明:利用次数分布求得的算术平均数是 一个近似值。因为我们先假设组内的数据是均
匀分布的,利用各组中值分别代表各组数据,
X

fXc
N
式中Xc为组中值;f为各组次数,即权数;N 为总次数=∑f。
例 某班50人外语期末考试成绩的次数 分布如下,求全班学生的平均成绩。

心理统计学考研历年真题及答案

心理统计学考研历年真题及答案

考研真题和强化习题详解第一章绪论一、单选题1 .三位研究者评价人们对四种速食面品牌的喜好程度。

研究者甲让评定者先挑出最喜欢的品牌,然后挑出剩下三种品牌中最喜欢的,最后再挑出剩下两种品牌中比较喜欢的。

研究者乙让评定者将四种品牌分别给予 l~5 的等级评定, ( l 表示非常不喜欢, 5 表示非常喜欢),研究者丙只是让评定者挑出自己最喜欢的品牌。

研究者甲、乙、丙所使用的数据类型分别是: ( )A .类目型―顺序型―计数型B .顺序型―等距型―类目型C .顺序型―等距型―顺序型D .顺序型―等比型―计数型2 .调查了n =200 个不同年龄组的被试对手表显示的偏好程度,如下:该题自变量与因变量的数据类型分别是: ( )A .类目型―顺序型B .计数型―等比型C .顺序型―等距型D .顺序型―命名型3 .这个数的上限是()。

A . 157 . 75B . 157 . 65C . 157 . 55D . 158 . 54 .随机现象的数量化表示称为()。

A .自变量B .随机变量C .因变量D .相关变量5 .实验或研究对象的全体被称之为()。

A .总体B .样本点C .个体D .元素6 .下列数据中,哪个数据是顺序变量? ( )A .父亲的月工资为 1300 元B .小明的语文成绩为 80 分C .小强 100 米跑得第 2 名D .小红某项技能测试得 5 分7、比较时只能进行加减运算而不能使用乘除运算的数据是【】。

A .称名数据B .顺序数据C .等距数据D .比率数据参考答案: 1 . B 2 . D 3 . C 4 . B 5 . A 6 . C二、概念题1.描述统计(吉林大学 2002 研)答:描述统计指研究如何整理心理教育科学实验或调查的数据,描述一组数据的全貌,表达一件事物的性质的统计方法。

比如整理实验或调查来的大量数据,找出这些数据分布的特征,计算集中趋势、离中趋势或相关系数等,将大量数据简缩,找出其中所传递的信息。

2.特征量---集中量数与差异量数

2.特征量---集中量数与差异量数

1、全距
• 全距 是一组数据中最大值与最小值的 差数,也叫两极差。
• 计算公式
R=Max(X)-Min(X)
式中R为全距, Max(X)、Min(X)分别 为数据中的最大值和最小值。
2、四分位差(对原始数据)
• 四分位数将一组数据按大小顺序排列后,分成次数相 等的四部分,位于个分界点的数据称为四分位数。 • 四分位差是第三四分位数与第一四分位数之差的一半。 Q3 Q1 • 计算公式 QD 2 例1 20名学生英语测试成绩为 52、79、73、60、45、44、89、87、65、81、68、 79、67、80、65、64、72、66、48、83. 求:测验成绩的四分差.
标准分数计算举例
• 例4、 已知A、B两个年级英语考试成绩如下 表。甲生是A年级的学生,成绩70分。乙生是 B年级的学生,成绩也是70分。求甲、乙两人 成绩的标准分数。 •
• 表3-12 A、B两年级英语考试成绩统计表 年 级 平均分 标准差 最高分 最 低 分
A B
80 60
14 12
100 70
几何平均数应用举例
• 例7、 我国普通中学1994-1999年教职工人 数如表3-5,求年平均增长率. • 表3-5 我国普通中学教职工人数统计表

年 份 1994 1995 1996 1997 1998 1999
教职工人数(万人) 逐年发展速度
419.07 429.48 442.44 454.09 462.13 475.36
语文 数学 英语 综合 合计
123 130 115 128
12 14 16 10
甲 125 145 120 130 520
乙 108 140 145 127 520

第三章 集中量数

第三章 集中量数

例:某门课程期中考试成绩与期末考试成绩的权数分 别为3和7。已知某个考生期中考了92分,期末考了85分。 若不考虑其他因素,问该生在这门课上的成绩是多少。
W1 X 1 W2 X 2 Wn X n 解: X w W1 W2 Wn 92 3 85 7 = 3 7 =87.10
众数的优缺点
众数虽然简明易懂,但是它并不具备一个良好的集中 量的基本条件。它主要在以下情况下使用:
当需要快速而粗略地找出一组数据的代表值时; 当一组数据出现不同质的情况时 当次数分布中有极端数据时 当粗略估计次数分布的形态时,有时利用平均数与众数之 差,表示次数分布是否偏态的指标。
第二节
中数与众数
一、中数的概念 中位数是位于以一定顺序(从小到大或 从大到小)排列的一组数据中央位置的数值, 在这一数值上、下各有一半频数分布着。用 Md表示。
二、中位数的计算方法
1.总频数为奇数
某项研究调查了 25 名大学教师的月经济收入, 结果如下(单位:元) : 2275, 3300,3326, 3358, 3363, 3394, 3402, 3455, 3467,3485, 3500, 3565, 3587, 3592, 3618, 3633,3646, 3674, 3720, 3734, 3756, 3775, 3820, 5695, 7100
1.原始数据计算法 上学期考试结束后某专业学生的分数: 97,93,71,86,88,78,91,86,90, 47,88,74,78,75,85,98,98,100, 75,85,93,91,81,91,93,96,88, 75,100,98,94,97,97,97,77,98, 95
X 1 X 2 X N X N

02第三、第四章_集中量数-差异量数解析

02第三、第四章_集中量数-差异量数解析
表示。
百分位数的计算方法
Pp Lb pn f b
i fp
(4.4)
公式中:Lb为百分位数所在组的精确下限
fb为百分位数所在组下限以下的累积频数 p为百分数
n为数据总和
fp为百分位数所在组的频数
i为组距
3.中位数的特点及应用

中位数是根据全部数据的个数来确定其位置的,
意义简明,对按顺序排列的数据来讲,计算中位数
第三章 集中量数

集中量用来表现数据资料的
典型水平或集中趋势(central tendency)。

常用的集中量包括算术平均
数、加权平均数、中位数和众数
等等。
一、算术平均数
算术平均数(arithmetic average )
一般简称为平均数(average)或均 数、均值(mean)。 一般用M,或者用 X 表示。 算术平均数是最常用的集中量。
(5.1)
其中: n f b25 Q1 LQ1 4 i f Q1
3n f b75 Q3 LQ3 4 i f Q3
(5.2a)
(5.2b)
用中位数作集中量时,常用四分位距作差异量。
二、平均差
平均差(average deviation 或者
mean deviation)是指一组数据中,每一
二、中位数
中位数(median)又称为中数,
是按顺序排列的一组数据中位于中 间位置的数。
中位数是常用集中量的一种。 一般用Md或Mdn表示。
1、中位数的计算方法
原始数据计算法

首先将一组数据按顺序排列
n 1 若n为奇数 , 则Md 为第 个数 2
Xn Xn 若n为偶数, 则Md

心理统计学第三章集中量数

心理统计学第三章集中量数

04 集中量数的计算方法
简单平均数计算方法
总结词
简单平均数是集中量数中最基本的计算方法,它通过将一组数值相加后除以数值 的数量来得出平均值。
详细描述
简单平均数计算公式为 $overline{x} = frac{1}{n} sum_{i=1}^{n} x_i$,其中 $n$ 是数值的数量,$x_i$ 是每一个数值。这种方法适用于数据分布均匀且无异常值的 情况。
对未来研究的展望
01 02
探索新的集中量数
随着数据类型和复杂性的增加,传统的集中量数可能无法满足某些研究 需求。未来研究可以探索新的集中量数,以更准确地描述数据的集中趋 势。
改进现有集中量数的计算方法和性质
现有集中量数的计算方法和性质可能存在一些局限性和不足之处,未来 研究可以尝试改进这些方法和性质,以提高集中量数的准确性和可靠性。
06 总结与展望
总结心理统计学第三章集中量数的要点
集中量数
集中量数是描述数据集中趋势的统计量,用于反映一组 数据的中心位置或典型值。
常见集中量数
常见的集中量数包括算术平均数、中位数和众数等。
算术平均数
算术平均数是所有数值的和除以数值的个数,是最常用 的集中量数之一。它具有线性性和可加性,能够反映数 据的平均水平。
在社集中量数来描述被调查者的社会特征, 例如通过平均年龄和标准差等指标来分析被调查者的社会 经济地位和人口结构。
社会政策制定
政府和社会组织可以利用集中量数来制定社会政策,例如 通过分析不同地区居民的平均收入和收入分布来制定社会 保障政策。
社会问题研究
研究者可以利用集中量数来研究社会问题,例如通过平均 失业率和标准差等指标来分析社会经济不平等和就业状况。

完整版)统计学名词解释

完整版)统计学名词解释

完整版)统计学名词解释统计学名词解释第一章绪论在统计学上,随机变量指的是取值之间不能预料到的变量。

总体,又称母全体或全域,是指具有某种特征的一类事物的全体。

构成总体的每个基本单元称为个体。

从总体中抽取的一部分个体称为样本。

次数指的是某一事件在某一类别中出现的数目,又称为频数。

频率,又称相对次数,指某一事件发生的次数被总的事件数目除,即某一数据出现的次数被这一组数据总个数去除。

概率指某一事物或某一情在某一总体中出现的比率。

一旦确定了某个值,就称这个值为某一变量的观测值。

参数,又称为总体参数,是描述一个总体情况的统计指标。

样本的那些特征值叫做统计量,又称特征值。

第二章统计图表统计表是由纵横交叉的线条绘制,并将数据按照一定的要求整理、归类、排列、填写在内的一种表格形式。

一般由表号、名称、标目、数字、表注组成。

统计图一般采用直角坐标系,通常横轴表示事物的组别或自变量x,称为分类轴。

纵轴表示事物出现的次数或因变量,称为数值轴。

一般由图号及图题、图目、图尺、图形、图例、图组成。

简单次数分布表适合数据个数和分布范围比较小的时候用,它是依据每一个分数值在一列数据中出现的次数或总计数资料编制成的统计表。

而分组次数分布表适合数据个数和分布范围比较大的时候用。

数据量很大时,应该把所有的数据先划分在若干区间,然后将数据按其数值大小划归到相应区域的组别内,分别统计各个组别中包括的数据个数,再用列表的形式呈现出来。

分组次数分布表的编制步骤包括求全距、定组距和组数、列出分组组距、登记次数和计算次数。

相对次数分布表用频数比率或百分数来表示次数,而累加次数分布表则把各组的次数由下而上或由上而下加在一起。

最后一组的累加次数等于总次数。

双列次数分布表用同一个表表示有联系的两列变量的次数分布。

而不等距次数分布表则适用于像工资级别和年龄分组这样的不等距数据。

需要注意的是,归组效应是分组次数分布表的缺点之一,因为原始数据不见了,从而依据这样的统计表算出的平均值会与用原始数据算出的值有出入,出现误差。

统计学 第3章集中量数

统计学   第3章集中量数

MW
W1 X1 W2 X 2 W1 W2

72 4 86 6 46
80.4
3、计算方法
3)加权算数平均数(weighted mean)的计算:
用M W 表示
如高考的标准分换算法。 研究生入学考试总分不一样。 P69例3-7
3、计算方法
4)使用次数分布表计算平均数:
与无重复数据时求中数的方法相同; 当中间的数值为重复数时:可将重复数看
作一个连续区间,然后根据中间数在区间 内的位置来确定中位数。
3、计算方法
2)一组数据中有重复数据 当重复数值没有位于数列中间时,求中数
与无重复数据时求中数的方法相同; 当中间的数值为重复数时:可将重复数看
作一个连续区间,然后根据中间数在区间 内的位置来确定中位数。
例如:P70 例3-8
2、几何平均数的应用
2)应用几何平均数的变式计算: 一组数据彼此间变异较大,几乎按一定的比 例关系变化,所要求的不是平均数,而是平 均增长率。平均增长率=平均发展速度-1
学习方面的进步率 学生或人口增加率 教育经费增加率
本章主要内容
一.算术平均数 二.中数 三.众数 四.平均数、中数、众数三者之间的关系 五.加权平均数 六.几何平均数 七.调和平均数
平均数
中数
众数
① 感应灵敏② 严密确 ③④
定③ 意义简明,易理

优 点
解④ 容易计算⑤ 适合
代数法的处理⑥ 少受

③④
样变动的影响
1.加权平均数 2.离差、相关计算 应 3、统计推断 用
1.有极端数值时 2.模糊数据时 3.快速估计集中
量数时
1.有极端数值时 2、数据不同质时 3、粗略估计数据的

体育统计方法与实例第三章 统计描述

体育统计方法与实例第三章 统计描述

第一节 描述统计
一、集中量数指标包括: 1 算术平均数(Average) 2 中位数(Median) 3 众数(Mode) 4 百分位数(Percentile)
一、集中量数指标
1. 算术平均数(Average)
(1)定义:所有同质数据的总和除以数据的个数所得的商, 即为该组数据的算术平均数,简称平均数、均数或均值。 就是说,如果有一组数据 xi (I=1,2,3…n),把
优点:均数计算简便,适合代数运算,是一个用途最广效 果也很好的统计量。既考虑到频次的多少又考虑到变 量值的大小,它可靠、灵敏,也是对资料所提供信息 运用最充分。
缺点:均数易受少数极端数据的影响而大大改变其数值, 故严重偏态的分布,用均数往往不能较好地反映资料 的集中趋势。
平均数的意义:
(1)平均数是反映同质对象观察值的平均水平或集中趋 势的统计量。适用于定距以上测度的变量。
《体育统计方法与 实例》
1
第三章 统计描述
统计描述
描述统计
频数分析
统计图表
第一节 描述统计
学习目标: 目标1 掌握集中量数的统计意义及计算方法 目标2 掌握差异量数的统计意义及计算方法 目标3 掌握变异系数的统计意义及计算方法
在分析或研究体育现象时,常常以样本特征 数(描述样本信息特征的数值)去估计总体参数, 样本特征数的指标主要有集中量数指标和离散量 数指标两种。
1.62 1.68 1.65 1.64 ,求其跳高成绩的算术平均数。 解:5人跳高成绩的算术平均数为:
x x n 1.60 1.62 1.68 1.65 1.64
5 1.638(米)
一般情况下,计算的最后结果要比原始数据多保留1位小 数,下同。
(3)平均数的加权计算方法

甘怡群《心理与行为科学统计》笔记和习题详解(集中量数与差异量数)【圣才出品】

甘怡群《心理与行为科学统计》笔记和习题详解(集中量数与差异量数)【圣才出品】

第3章 集中量数与差异量数3.1 复习笔记一、集中量数集中量数又称集中趋势,是体现一组数据一般水平的统计量。

它能反映频数分布中大量数据向某一点集中的情况。

(一)算术平均数1.含义算术平均数(mean )是最常用的,也是最容易理解的一个集中量数指标。

算术平均数是所有观察值的总和与总频数之商,也简称为平均数、均值或者均数。

可以用μ来表示;如果想表示变量X 的平均数,可以表示为X 。

2.计算公式假设X 1,X 2,…,X N 代表各次观测值,N 为观察的总频数,则其算术平均数为:123N X +X +X ++X =Nμ⋅⋅⋅ 记作: N 11=N i i X μ=∑ 其中,∑表示连加,1N i =∑表示从1i =到i N =的所有观测值i X 的总和。

3.性质(1)数据中如果每一个数据都加上一个常数C ,则算术平均数也需要加上C ,即∑=+=+ni C X C X n 1)(1 (2)数据中如果每一个数据都乘以一个常数C ,则算数平均数也需要乘以C ,即∑=⋅=⋅n i C X C X n 1)(1 (二)中数中数(median )又称为中位数,它将数据分为数目相等的两半,其中一半的值比它小,另外一半的值比它大,等价于百分位数是50的那个数。

如果将所有数据按照大小顺序进行排列,那么中数正好位于正中间。

中数用M d 表示。

对于一个分布而言,中数将其分为大小相同的两个组。

对于没有经过处理的原始数据,需要先将所有数据按照大小顺序排成一个数列。

以下三种情况,中数有各自不同的求法。

1.数列的总个数为奇数假设数列共包含有n 个数(n 为奇数),如果处于数列中间的数跟相邻的值都不相等,则第21+n 个数就是这n 个值的中数。

2.数列的总个数为偶数如果n 是偶数,那么数列之中没有一个相应的值将该数列分成相等的两半,则取位于中间的两个数(第2n 和第12+n 个值)的平均数作为中数。

3.分布的中间有相等的数如果按照大小顺序排列好之后,位于数列中间的数与其相邻的数有相等的情况,则要进行一定的处理。

教育统计与测量学 心理统计与测量学 复习笔记 课程重点

教育统计与测量学 心理统计与测量学 复习笔记 课程重点

集中量数和差异量数一、数据的集中量数:要描述存在于组别之间的普遍差异的方法,就是要找出典型的或平均水平的数据代表。

二、集中趋势定义:反映频数分布中大量数据向某一点集中的情况,描述这种特点的统计量称为集中量数。

1.测度集中趋势就是寻找数据水平的代表值或中心值2.确定集中趋势并没有统一的、标准化的方法。

因为没有一种测量集中趋势的代表性数值可以适用于所有情况。

集中趋势的一般性目的是找出单一的最具有代表性的数值。

3. 低层次数据的测度值适用于高层次的测量数据,但高层次数据的测度值并不适用于低层次的测量数据;三、集中量数包括:1.算术平均数Mean:集中趋势的测度值之一;最常用的测度值;一组数据的均衡点所在【天平】;易受极端值的影响;用于数值型数据,不能用于定类数据和定序数据。

算术平均数是“真值”的最佳估计值优点a)反应灵敏。

观测数据中任何一个数值或大或小的变化,甚至细微的变化,在计算平均数时,都能反应出来;b)计算严密。

计算平均数有确定的公式,不管何人在何种场合,只要是同一组观测数据,计算的平均数都相同;c)计算简单。

计算过程知识应用简单的四则运算;d)简明易解。

平均数概念简单明了,较少数学抽象容易理解;e)适合于进一步用代数方法演算。

在求解其他统计特征值,如离均差、方差、标准差的计算时,都要应用平均数;f)较少受抽样变动的影响。

观测样本的大小或个体的变化,对计算平均数影响很小。

在来自同一总体逐个样本的集中量数中,平均数的波动同样小于其他量数的波动,因此它总是最可靠、最正确的量数。

缺点1.易受极端数据的影响;2.因为计算平均数是需要每一个数据都加入计算。

在次数分布中只要有一个数据含糊不清,都无法计算平均数。

在这种情况下,一般采用中数作为该组数据的代表值,描述其集中趋势计算和应用算术平均数的原则•同质性原则:算术平均数只能用于表示同类数据的集中趋势。

•平均数与个体数值相结合的原则:在解释个体特征时,既要看平均数,也要结合个体的数据。

现代心理与教育统计学第03章习题解答

现代心理与教育统计学第03章习题解答

1应用算术平均数表示集中趋势要注意什么问题?(1) 数据必须同质同质指使用同一观测手段,采用相同的观测标准,能反映某一问题同一方面特质的数据。

因为不同质的数据观测手段、测量标准不一致。

(2) 平均数与个体数据相结合在作出结论时,把总体的平均水平与个体数据结合起来会能更加说明问题。

(3) 将平均数与标准差和方差结合平均数只是反映数据的集中趋势,而标准差和方差能够反映数据差异趋势,将二者结合起来才能全面准确的反映总体数据的分布特征。

(4)当出现极端数据或模糊数据时,用中数或众数表示数据的集中趋势会更好。

2.中数、众数、几何平均数、调和平均数各适合哪些资料?中数适用于:一组观测数据中出现极端数据时;一组数据的两端有模糊数据出现;需要快速估计一组数据的代表值时。

众数适用于:当一组数据出现不同质的情况或分布中出现极端数据时;数据分布中出现双众数时。

几何平均数主要适用于:一组数据中有少量数据偏大或偏小,数据分布呈偏态分布;数据按一定的比例关系变化。

调和平均数主要用于描述学习速度方面的问题。

3对于下列数据,使用何种集中量数表示集中趋势更好?并计算其值(1)4 5 6 6 7 29中数或众数(2)3 4 5 5 7 5平均数,其值为5(3)2 3 5 6 7 8 9平均数40/74.求下列次数分布的平均数、中数127.36157654*626*578*5216*4715724*4234*3721*3216*2711*229*177*12=+++++++++++=∑n fx X c =5.求下列四个年级的总平均成绩6.求平均联想速度平均联想速度为3.9个 7平均增加率是多少?估计10年后毕业人数有多少1120×1.1110=3180平均增长率为11%,10后毕业人数为3180人• 四• 1.度量离中趋势的差异量数有哪些?为什么要度量离中趋势?• (1)有全距、四分位差、百分位差、平均差、标准差和方差等。

1.5 第三章 测验成绩的统计处理

1.5 第三章 测验成绩的统计处理

记,三是频数。
( 5 )画频数分布直方图 。
各个条形之间是连续的,而不应该有间隔,当各组的组
距相等时,所画的各个条形的宽度也应该是相同的。
例:某中学为了了解本校学生的身体发育情况 , 对同年龄的 4 0 名女生的身高进行了测量 , 结果如下 ( 数据均为整数 , 单位 : cm): 168,160,157,161,158,153,158,164,158,163, 157,167,154,159,166,159,156,162,158,159, 164,164,170,163,162,154,151,146,151,160, 158,149,157,162,159,165,157,158,160,165 1 、找极差: 24 2 、组数: 5 组,组距: 5 3 、确定分点:[ 146 , 151 )[ 151 , 156 )[ 156 , 161 ) [ 161 , 166 )[ 166 , 171 ) 4 、列频数分布表 身高 x(c 划记 频数 ( 学生 m) 数) 5 、画图
3 、称名数据、等级数据、等距数据和等比数据
等比数据除了必须具备称名数据、等级数据和等距数据 的特征之外,还必须具备绝对零点这一特性。 不但可以进行分类、排序、加减,数据之间还可以进行 乘除。 在物理学的测量数据中,绝大部分数据都是属于等比数 据。 质量、长度、时间 物理学为了解决摄氏温度没有零点的问题,凡是需要进
146 ≤x<151 151 ≤x<156 156 ≤x<161 161 ≤x<166
18
11
16
0. 5 0. 45 0. 4 0. 35 0. 3 0. 25 0. 2 0. 15 0. 1 0. 05 0
频率 身高
例的进一步深化:两头小,中间大!两边有一定对称性。 统计学的经验:当测量身高的女生人数增加,这样的身高分 布总体上会呈现稳定的形态和规律。 用统计学的话讲:女生身高这一随机事件在大量的重复试验 中会出现稳定的频率值: W ( A )= m/n ,这便是随机变量 “ 女生身高 ” 的概率的估计值: P(A)=m/n ( n 足够大)。 这样,下图便演变为随机变量女生身高的概率分面图(近似 的正态分布)。

研究:集中量数、差异量数、地位量数

研究:集中量数、差异量数、地位量数

研究:集中量数、差异量数、地位量数集中量数、差异量数、地位量数三种数据特征值的含义及包括的主要内容⼀、集中量数从次数分布表上可以看出,分布在各组的次数有多有少,但⼤部分数据趋向于中间的某⼀点。

这种向某点集中的趋向叫做集中趋势。

代表集中趋势的量数叫做集中量数。

集中量数⼜称代表值,它有两种功⽤。

(1)第⼀,可以⽤来描述和代表研究对象的⼀般⽔平,并为进⼀步统计分析打下基础。

(2)第⼆,⽤它与同质的另⼀研究对象作⽐较。

例如,就⼀个班来说,它是全班分数的代表,可以⽤它来代表这⼀班学⽣的程度和⽔平,并能⽤它与别的同类班作⽐较。

集中量数主要有:算术平均数、中数、众数、加数平均数和⼏何平均数等。

其中教育科学研究结果的处理中应⽤最多的是算术平均数。

⼆、差异量数差异量数是表⽰⼀组数据的差异情况或离散程度的量数,它反映数据分布的离中趋势。

集中量数的代表性如何,是要由差异量数来表明的。

(1)差异量数愈⼤,集中量数的代表性愈⼩;差异量数愈⼩,则集中量数的代表性愈⼤。

(2)差异量数⼀般包括:全距、平均差、四分差、标准差和⽅差。

其申以标准差和⽅差最为常⽤。

三、地位量数前⾯介绍的集中量数和差异量数都是描述样本或总体的整体特征的量数;⽽地位量数则是描述单个数据在样本或总体中的位置的,也称相对位置量数。

常⽤的地位量数主要有百分等级和标准分数。

(1)百分等级百分等级是指某观测值以下的个数与观测值总个数之⽐的百分数。

⽤符号P表⽰。

百分等级具有意义明确,容易理解,计算简便等优点,但是它只是⼀个顺序变量,不能进⾏代数运算,这给进⼀步分析⼯作带来困难。

(2)标准分数为解决百分等级不能进⾏代数运算的困难,有⼀种更为常⽤的地位量数,就是标准分数,⼜叫“基分数”或“Z分数”。

原⽂链接为https:///tiku/10609489.html补充:标准分数的计算⽅法:Z=(样本值-平均值)/标准差区别:分⼦为1的分数称为单位分数。

第三章集中量数

第三章集中量数

五、优缺点
(一)优点 1、反应灵敏,观测数据中任何一个数值或大或小的变化, 在计算平均数时都能反映出来。 2、计算严密,有确定的公式,只要是同一组观测数据, 计算的平均数都相同 3、计算简单,应用简单的四则运算 4、简单明了,容易理解 5、适合于进一步用代数方法演算。在求解其他统计特征 值,如离均差、方差、标准差的计算时,都要应用平均 数 6、较少受抽样变动的影响(观测样本的大小或个体的变 化,对计算平均数影响很小)
例子:评委打分
常用的计算最后得分的方式:去掉一个最高分,再去 掉一个最低分,然后计算剩余9个评分的算术平均数。 在中央电视台举办的一次全国业余通俗歌手大赛中, 假定11位裁判对某位歌手的评分按顺序排列为:9.9, 9.3,9.3,9.3,9.2,8.9,8.8,8.8,8.5,8.4, 7.4
2、若出现模糊不清的数据时,无法计算平均数,这 时一般采用中数作为该组数据的代表值 3、数据不同质时也不宜使用算数平均数 (数据同质:使用同一个观测手段,采用同样的观 测标准,能反映某一问题的同一方面特质的数据)
四、众数的应用
(一)当需要快速而粗略地寻求一组数据的代表值时 (二)当一组数据出现不同质的情况时
(三)当数据中有两极端的数目时,除了用中数外,也可 用众数 (四)当粗略估计次数分布的形态时,有时用平均数与众 数之差,作为表示次数分布是否偏态的指标 (五)当一组数据中同时有两个数值的次数都比较多时, 也多用众数来表示数据分布形态
老刘(厂长)工资:36000 弟弟(副厂长)工资:15000 6个亲戚(管理人员)工资:3750 5个领工:3000 10个工人:1500
X 4500
Coun t
15
10
Md 3000
5

第三章 统计量数 差异量数

第三章 统计量数 差异量数

?w ?
k
k
? ? (ni?
2 i
)
?
ni ( X i ? X w )2
i?1
i?1
n1 ? n 2 ? ... ? n k
? w — 合成后的标准差
X w — 合成后的平均数
? 例2-9:某能力研究,共抽取三个样本组,测 得该能力得分如下,求其总标准差和总方差。
样本
N
X
S
1
42
103
16
2
36
110
15.5
3
样本方差与总体方差的区别
? 在计算上,总体方差是用数据个数或总次数 去除离差平方和,而样本方差则用样本数据 个数或总次数减1去除离差平方和
? 样本方差是统计量,用S2表示;总体方差 是总体参数,用? 2表示
? 当n很大时, S2与? 2相差很小,前者是后 者的无偏估计。
标准差的合成
? 方差具有可加性,在已知几个组方差或 标准差的情况下,可以计算它们的总方 差或总标准差。
6
144.5
7
168.0
8
154.5
9
205.5
10
179.5
11
195.6
? 利用均值来计算方差与标准差,直观容易理解 ,但均值是一个导出分数值,当小数位有限制 时,方差与标准差容易受到均值的影响而使得 精度受损。
? 直接利用原始分数来计算方差与标准,其精确 度更高,可以消除计算误差。
? ? ? ? ? 2 ? ?Xi ? ? ?2 ?
差异系数 CV
? 标准差反映了一个次数分布的离散程度,当对 同一个特质使用同一种测量工具进行测量,所 测样本水平比较接近时,简单比较标准差的大 小即可知道样本间离散程度那一个大。
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(3.2)
例 某年级四个班的学生人数分别为50人,52
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
人,48人,51人,期末数学考试各班的平均成绩
分别为90分,85分,88分,92分,求年级的平均
成绩。
解:由公式(3.2)得
Xw
XW 90 * 50 85 * 52 88 * 48 92 * 51 50 52 48 51 W
55-59
50-54 45-49 40-44 ∑
57
52 47 42
42
58 30 5 144
4.20
-0.80 -5.80 -10.80
17.65
0.64 33.62 116.61
=88.74
三、中位数
(一)、中位数的概念及适用条件
概念: 中位数是位于一组有序数据中间位置的量 数。也称中数,用Mdn表示。它是将一组有序数 据的个数分为相等两部分的那个数据。
适用条件:
1、当一组数据有极端值出现时。
2、当一组有序数据两端有个别数据模糊不清
或分组资料有不确定组限时。
3、当需要快速估计一组数据的代表值时。
MG N a N 5 700 1.03 a0 594
故年平均增长率为(10.3-1)*100%=3%
例 某校办工厂在1984年创产值10万元,该厂
计划以年平均增长率为5%的速度递增,试估计到
2004年该厂可创产值多少万元。
解:由 平均增长率=平均发展速度-1
得:aN=a0(1+平均增长率)N =10×(1+0.05)20=26.53(万元)
一、 标准差
(一)、标准差的概念及适用条件 概念: 标准差是一组数据中每个数据与其算术 平均数之差的平方的算术平均数的算术平 方根。用符号σ 表示。

X
i
X n

2
(3.1)
X 其中Xi为原始数据;N为数据个数; 的算术平均数。
为一组数据
适用条件: 1、一组数据的一般水平适合用算术平均
X

fXc
N
式中Xc为组中值;f为各组次数,即权数;N 为总次数=∑f。
例 某班50人外语期末考试成绩的次数 分布如下,求全班学生的平均成绩。
表 某班50人外语成绩次数分布表
组别 90-94 85-89
组中值Xc 92 87
次数f 3 10
fXc 276 870
80-84
75-79 70-74 65-69
中位数。 例如求80,93,90,81,85,88,92,84的 中位数时,先排序:80,81,84,85,88,90, 92,93,再求(N+1)/2=4.5,这说明中位数的位
置在第四个和第五个数的中间,即(85+88)
/2=86.5。
(二)分组数据中位数的计算方法 对分组数据常将N/2位置对应的数据看 成中位数。
概念: 是一组同质数据值的总和除以数据总个数所得的 商。亦称均数,均值,用 X(读X杠)表示。
计算公式为: X 1 X 2 X n X n
X
n
i
(3.1)
n为数据个数。
• (二)计算方法: 1、原始数据计算法: 定义公式一般适用于原始数据较少 的情况下,其计算方法可用于原始数据 计算公式中。
(一)、几何平均数的概念及应用时机
概念:
它是N个数值连乘积的N次方根,用符号MG 表示
几何平均数M g n X 1 X 2 X n X 1 X n 为n个数据
(3.5)
应用时机:
1、求一组等比或近似等比数据的平均数
时。
2、一组数据中,有少数偏大或偏小的数
据,数据分布呈现偏态,求平均数时。
数描述时,其离散程度宜用标准差描述。
2、计算其它统计量时,如相关系数等, 要用到标准差。 3、在推断统计中,尤其是进行方差分析 时,常用方差(标准差的平方)表示数据 的离散程度。
(二)、标准差的计算方法 1、基本公式法 例1 某校四年级举行数学竞赛,一班、二班分别派九 名选手参加,如下表。试比较两个班的成绩。
思考题
某一团体成员的年龄分布如下表所示。试问 表示它们集中趋势的恰当指标是什么?为 什么?并计算出你所选定的指标。 • 年龄分布表 • 25岁以下 25-34岁 35-44岁 45-54岁 55-64岁 64岁以上
• f 45 40 30 55 28 15
第二节 差异量数
一、 标准差 二 、 四分差 三 差异系数
计算步骤: (1)求N/2; (2)确定中位数所在组,由下向上累积 次数,直到大于或等于N/2一组为止,该组 就是中位数所在组; (3)求出中位数所在组的精确下限; (4)求出中位数所在组以下的累积次数 Fb; (5)确定组距及中位数所在组的次数f; (6)将以上各值代入公式中。
表 某班50人外语成绩次数分布表 求表的中位数。
例如, 某班选八名同学参加年级数学竞赛,成绩分别为82,
90,95,88,90,94,80,93。求其平均成绩。 解:把N=8,X1=82,…,X8=93代入公式(3.1), 得
X 82 90 95 88 90 94 80 93 X 89 N 8
2、频数分布表计算法:对于已列成次数分布 表的分组数据,其算术平均数的计算公式为
求出年平均增长率。
平均增长率=1.09-1=0.09 故所求的年平均增长率为9%。
2、只用首末项求几何平均数 设a0,a1,…,aN是N个年度中各年度某种数量值,
其中a0是初期量, aN是末期量。X1,X2,…,XN为
各年度发展速度,即
aN a1 a2 X 1 , X 2 ,..., X N a0 a1 aN 1
表1 一班成绩统计表 X
X-
92
90
17
83
10 100
80
7 49
75
2 4
70
-3 9
62
-11 121
55
-18 324
50
-23 529
X
19
(X- X )^2
361 289
表2 二班成绩统计表 X 100 97 95 85 80 75 62 40 20
X- X
(X- X )^2
27
729
24
第三章 集中量数 和差异量数
• 1、对某校学生的思想品德用五级记分法记分, 其人数统计可以用( )表示: • a、直条图 b、直方图 c、多边图 d、线形图 2、从总体中抽取出作为观察对象的一部分个 体,称为: ( ) a、样本 b、总体 c、有限总体 d、无限总体 3、在制作有纵横轴的统计图时,一般来说, 纵轴与横轴比为: ( ) a、1:1 b、3:5 c、5:3 d、6:3
2

49747 657 9 9
14.09
(二)分组资料标准差的计算方法
这里的分组资料指编制成次数分布的资料,此 时以组中值作为各组的代表值。计算公式为

f Xc X
N
2
(3.3)
2


fXc
N
2
fXc N
• 一、集中量的一般意义:
• 定义:集中量就是表示一组数据典型水平或集 中趋势的量。它反映频数分布中大量数据向某 一个量集中的情况。常用的集中量有算术平均 数、几何平均数、调和平均数、加权平均数、 中位数、众数等。
二、集中量的优良代表量之一--算术平均 数(Arithmetic Mean)
(一)、算术平均数的概念
计算公式为:
M dn Lb
n Fb 2 M L i n dn b Fb f 2
i
式中:Lb 表示中位数所在组的精 确下限;Fb为中位数所在组以下的 累积次数;
f :L 表示中位数所在组的精 式中 确下限;Fb为中位数所 b
n为总次数 ;i 为组距;f 为中位数所在组的次数 。 n为总次数;i 为组距;f 为中位数所在组的次数 。
576
22
484
12
144
7
49
2
4
-8
64
-33
1089
-53
2089
解:先求四年一班的平均数和标准差。算得
X 73

X
i
X

2
1786
X
X

2
n
14.09
再求四年一班的平均数和标准差。得
X 73

X X
i
2
5948
X
X

2
n
25.71
从以上计算可知,两班平均数都是73分,说
明两班的平均水平相同。但它们的标准差不同,
说明两班成绩的差异程度很不相同。一班的差异
程度较小,平均分数73的代表性就较大;二班的 差异程度较大,平均分数73的代表性就小些。 2、原始数据法 为了减少计算量,可将公式3.1进行转换, 使公式中参与运算的变量皆为原始数据。公式 为

(二)、中位数的计算方法 1、未分组数据中位数的计算方法 一组数据未分组,先排序,中位数 取决于数据的个数是奇数还是偶数。
当数据的个数为奇数时,则以第(N+1)/2个 位置上的数据作为中位数。
当数据的个数为偶数时,则取居中间的两个
数据的平均数为中位数。即取第(N+1)/2处作为
中位数的位置,其位置左右两数据的平均值即为
3、在教育上,主要应用几何平均数求平
均发展速度或对某项目标进行预测估计。
(二)、几何平均数的计算方法 1、直接公式法 例 求2,8,32,125,502的几何平均数。 解:由于这组数属于近似等比数列,故应 用公式(3.5),得
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