多元函数微分学习题课
最新多元微分习题课
多元微分习题课多元函数微积分复习课在实际生活中，会遇到依赖于两个或两个以上自变量的多元函数．本章在一元函数微积分的基础上介绍多元函数微积分．多元函数微积分和一元函数微积分有很多相似的问题，也有很多不同的问题，需要大家在学习中注意．一、内容提要1.二元函数（1）二元函数：设«Skip Record If...»是平面上的一个非空点集，如果有一个对应规律«Skip Record If...»，使每一个点«Skip Record If...»都对应于惟一确定的值«Skip Record If...»，则称«Skip Record If...»为«Skip Record If...»上的二元函数.记做«Skip Record If...»，其中«Skip Record If...»称为自变量，函数«Skip Record If...»也称为因变量，«Skip Record If...»称为该函数的定义域.自变量多于一个的函数统称为多元函数.（2）二元函数的几何意义：函数«Skip Record If...»的几何图形一般在空间直角坐标系中表示一张曲面，而其定义域«Skip Record If...»就是此曲面在«Skip Record If...»坐标面上的投影.2. 二元函数的极限与连续（1）二元函数的极限设函数«Skip Record If...»在点«Skip Record If...»的某个邻域内有定义（在点«Skip Record If...»处可以无定义），如果当点«Skip Record If...»以任意方式趋向于点«Skip Record If...»时，相应的函数值«Skip Record If...»无限接近于一个确定的常数«Skip Record If...»，则称当«Skip Record If...»«Skip Record If...»时，函数«Skip Record If...»以«Skip Record If...»为极限，记作«Skip Record If...»或«Skip Record If...»«Skip Record If...».（2）二元函数的连续性①在一点连续的两个等价的定义定义1 设有二元函数«Skip Record If...»,如果«Skip RecordIf...»=«Skip Record If...»,则称二元函数«Skip Record If...»在点«Skip Record If...»处连续.定义2 设«Skip Record If...»(称«Skip Record If...»为函数«Skip Record If...»的全增量),若«Skip Record If...»,则称二元函数«Skip Record If...»在点«Skip Record If...»处连续.②如果«Skip Record If...»在区域«Skip Record If...»内的每一点都连续，则称«Skip Record If...»在区域«Skip Record If...»上连续.③如果«Skip Record If...»在点«Skip Record If...»不连续，则称点«Skip Record If...»是二元函数«Skip Record If...»的不连续点或间断点.3.偏导数（1）二元函数«Skip Record If...»的两个偏导数定义如下：«Skip Record If...»«Skip Record If...»（2）偏导数的计算从偏导数的定义可以看出，求«Skip Record If...»的偏导数并不需要用新方法，因为这里只有一个自变量在变动，另一个自变量被看作是固定的，所以仍旧可用一元函数的微分法.求«Skip Record If...»时，只要把«Skip Record If...»暂时看作常量而对«Skip Record If...»求导数；求«Skip Record If...»时，只要把«Skip Record If...»暂时看作常量而对«Skip Record If...»求导数.4.高阶偏导数（1）«Skip Record If...»的四个二阶偏导数如下:«Skip Record If...» , «Skip Record If...»,«Skip Record If...» , «Skip Record If...».二阶以及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数.（2）混合偏导数与次序无关的定理如果函数«Skip Record If...»的两个混合偏导数在点«Skip Record If...»连续，则在点«Skip Record If...»处，有«Skip Record If...».5.全微分（1）定义«Skip Record If...».（2）全微分在近似计算中的应用«Skip Record If...»．«Skip Record If...»．6.复合函数的偏导数设函数«Skip Record If...»«Skip Record If...»在点«Skip Record If...»处有偏导数，函数«Skip Record If...»在相应点«Skip Record If...»处有连续偏导数，则复合函数«Skip Record If...»在点«Skip Record If...»处有偏导数，且«Skip Record If...»,«Skip Record If...» .7.隐函数的偏导数设方程«Skip Record If...»确定了«Skip Record If...»是«Skip Record If...»的函数«Skip Record If...»，且«Skip Record If...»«Skip Record If...»，«Skip Record If...»连续及«Skip Record If...»，则«Skip Record If...» , «Skip Record If...» , 一般地,求由方程确定的隐函数的偏导数,对方程两边同时求偏导更为方便.8. 二元函数的极值与驻点（1）极值存在的必要条件设函数«Skip Record If...»在点«Skip Record If...»的某个邻域内有定义，且存在一阶偏导数，如果«Skip Record If...»是极值点，则必有«Skip Record If...».即可导函数的极值点必定为驻点，但是函数«Skip Record If...»的驻点却不一定是极值点.（2）极值存在的充分条件设函数«Skip Record If...»在点«Skip Record If...»的某个邻域内具有二阶连续偏导数，且«Skip Record If...»是驻点.设«Skip Record If...»，«Skip Record If...»,«Skip Record If...»，则①当«Skip Record If...»时，点«Skip Record If...»是极值点，且当«Skip Record If...»时，点«Skip Record If...»是极大值点；当«Skip Record If...»时，点«Skip Record If...»是极小值点；②当«Skip Record If...»时，点«Skip Record If...»不是极值点；③当«Skip Record If...»时，点«Skip Record If...»有可能是极值点也可能不是极值点.（3）条件极值与拉格朗日乘数法求函数«Skip Record If...»在满足约束条件«Skip Record If...»下的条件极值，其常用方法是拉格朗日乘数法，具体步骤如下：①构造拉格朗日函数«Skip Record If...»,其中«Skip Record If...»为待定常数，称其为拉格朗日乘数.②求四元函数«Skip Record If...»的驻点，即列方程组«Skip Record If...»求出上述方程组的解«Skip Record If...»，那么驻点«Skip Record If...»有可能是极值点；③判别求出的点«Skip Record If...»是否是极值点，通常由实际问题的实际意义来确定.对于多于三个自变量的函数或多于一个约束条件的情形也有类似的结果.9．二重积分（1）定义设二元函数«Skip Record If...»是定义在有界闭区域«Skip Record If...»上的连续有界函数，如果极限«Skip Record If...»存在，且该极限的值与区域«Skip Record If...»的分割方法和«Skip Record If...»的选取无关，则称此极限为函数«Skip Record If...»在闭区域«Skip Record If...»上的二重积分，记为«Skip Record If...»，即«Skip Record If...».（2）几何意义«Skip Record If...»表示曲面«Skip Record If...»在区域«Skip Record If...»上所对应的曲顶柱体各部分体积的代数和.（3）二重积分的性质线性：设«Skip Record If...»为常数，则有«Skip Record If...».可加性：设积分区域«Skip Record If...»可分割成为«Skip Record If...»、«Skip Record If...»两部分，则有«Skip Record If...».积分的比较性质：若«Skip Record If...»，其中«Skip Record If...»，则«Skip Record If...».积分的估值性质：设«Skip Record If...»，其中«Skip Record If...»，而«Skip Record If...»为常数，则«Skip Record If...»（其中«Skip Record If...»表示区域«Skip RecordIf...»的面积）.积分中值定理：若«Skip Record If...»在有界闭区域«Skip Record If...»上连续，则在«Skip Record If...»上至少存在一点«Skip Record If...»，使得«Skip Record If...».10. 二重积分的计算（1）二重积分在直角坐标系下的计算直角坐标系下的面积元素«Skip Record If...».①若«Skip Record If...»为:«Skip Record If...»,«Skip Record If...»,则«Skip Record If...».②若«Skip Record If...»: «Skip Record If...»,«Skip Record If...»,则«Skip Record If...».（2）二重积分在极坐标系下的计算极坐标系下的面积元素«Skip Record If...»，极坐标与直角坐标的关系«Skip Record If...»①设区域«Skip Record If...»为：«Skip Record If...»≤«Skip Record If...»≤«Skip Record If...»，«Skip Record If...»≤«Skip RecordIf...»≤«Skip Record If...»，则«Skip Record If...».②设区域«Skip Record If...»为：0≤«Skip Record If...»≤«Skip Record If...»«Skip Record If...»≤«Skip Record If...»≤«Skip Record If...»，则«Skip Record If...».③设区域«Skip Record If...»为：0≤«Skip Record If...»≤«Skip Record If...»0≤«Skip Record If...»≤2«Skip Record If...»所确定，从而得«Skip Record If...».11. 二重积分的应用二重积分在几何学中可用于求空间中立体的体积，在物理学中可用于求平面薄片的质量、重心、转动惯量等．二、解题指导1．二元函数定义域例1求下列函数的定义域并画出定义域的图形.（1）«Skip Record If...»；（2）«Skip Record If...».解（1）要使函数有意义，需满足条件«Skip Record If...»即 «Skip Record If...».因此定义域为«Skip Record If...»与«Skip Record If...»围成的部分，包括曲线«Skip Record If...»(图1) .图1 图2（2）要使函数有意义，需满足条件«Skip Record If...» 即 «Skip Record If...»定义域如图2所示.小结 多元函数的定义域的求法与一元函数的定义域的求法完全相同．即先考虑三种情况：分母不为零；偶次根式的被开方式不小于零；要使对数函数，某些三角函数与反三角函数有意义.再建立不等式组，求出其公共部分就是多元函数的定义域.如果多元函数是几个函数的代数和或几个函数的乘积，其定义域就是这些函数定义域的公共部分.2．多元函数的偏导数例2 设«Skip Record If...» ，求«Skip Record If...»．解法一 求函数在一点处的偏导数是指函数的偏导函数在一点处的值．可先将«Skip Record If...»看作常数，对«Skip Record If...»求偏导数«SkipRecord If...»，然后代入«Skip Record If...»，从而«Skip Record If...»． «Sk解法二先将二元函数转化为一元函数，再对«Skip Record If...»求导数，由于«Skip Record If...»，则«Skip Record If...»，从而«Skip Record If...»．说明以上两种解法中解法一较为常用，解法二较简单．例3 设«Skip Record If...»，求 «Skip Record If...»，«Skip Record If...».解法一令«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，原式可写成«Skip Record If...»，由复合函数求导法则，得«Skip Record If...»，即«Skip Record If...»=«Skip Record If...»，«Skip Record If...»=«Skip Record If...»=«Skip Record If...».解法二利用一元函数求导法则求偏导，可直接求出两个偏导数«Skip Record If...»，«Skip Record If...».即«Skip Record If...»= «Skip Record If...»，«Skip Record If...»=«Skip Record If...».例4设«Skip Record If...»，求«Skip Record If...»，«Skip Record If...».解此题为抽象函数，所以只能用多元函数求导法则.令 «Skip Record If...» , «Skip Record If...» , 则«Skip Record If...»，于是«Skip Record If...»=«Skip Record If...»+«Skip Record If...»=«Skip Record If...»+«Skip Record If...»[«Skip Record If...»]=«Skip Record If...»+«Skip Record If...»[«Skip Record If...»] =«Skip Record If...»+«Skip Record If...»（«Skip Record If...»），«Skip Record If...»=«Skip Record If...»=«Skip Record If...»[«Skip Record If...»]=«Skip Record If...»[«Skip Record If...»]=«Skip Record If...»（«Skip Record If...»）.小结求二元复合函数偏导数，对于函数关系具体给出时，一般将一个变量看成常量，可直接对另一个变量求偏导，但求带有抽象函数符号的复合函数偏导数时，必须使用复合函数的求导公式.其关键在于正确识别复合函数的中间变量与自变量的关系.3．隐函数的偏导数例5设 «Skip Record If...»，求«Skip Record If...»，«Skip Record If...».解法一用公式法，设«Skip Record If...»=«Skip Record If...»，则 «Skip Record If...»，«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，«Skip Record If...»=«Skip Record If...»=«Skip Record If...»=«Skip Record If...»；«Skip Record If...»=«Skip Record If...»=«Skip Record If...»=«Skip Record If...».解法二方程两端求导，由于方程有三个变量，故只有两个变量是独立的，所以求«Skip Record If...»，«Skip Record If...»时，将«Skip Record If...»看作«Skip Record If...»，«Skip Record If...»的函数.方程两端对«Skip Record If...»求偏导数，得«Skip Record If...»即 «Skip Record If...»=«Skip Record If...»；方程两端对«Skip Record If...»求偏导数，得«Skip Record If...»即 «Skip Record If...»=«Skip Record If...».解法三利用全微分求«Skip Record If...»，«Skip Record If...».方程两边求全微分，利用微分形式不变性，则«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，«Skip Record If...»=«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»，因此 «Skip Record If...»=«Skip Record If...»，«Skip Record If...»=«Skip Record If...».小结用公式法求隐函数的偏导数时，将«Skip Record If...»看成是三个自变量«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，«Skip Record If...»的函数，即«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，«Skip Record If...»处于同等地位.方程两边对«Skip Record If...»求偏导数时，«Skip Record If...»，«Skip Record If...»是自变量，«Skip Record If...»是«Skip Record If...»，«Skip Record If...»的函数，它们的地位是不同的.4．函数的极值与最值例 6求函数«Skip Record If...»的极值．分析求函数极值问题可以用列表的方法，比较清晰，一目了然．解（1）求偏导数«Skip Record If...»，«Skip Record If...»«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，«Skip Record If...»；（2）解方程组«Skip Record If...» , 得驻点（0，0）及（2，2）；（3）列表判定极值点例7某公司要用不锈钢板做成一个体积为8«Skip Record If...»的有盖长方体水箱．问水箱的长、宽、高如何设计，才能使用料最省？解法一用条件极值求问题的解.设长方体的长，宽，高分别为«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，«Skip Record If...».依题意，有«Skip Record If...»， «Skip Record If...»令 «Skip Record If...»=«Skip Record If...»+«Skip Record If...»，由 «Skip Record If...»解得驻点（«Skip Record If...»）.根据实际问题，最小值一定存在，且驻点惟一.因此，当水箱的长、宽、高分别为2«Skip Record If...»时，才能使用料最省.解法二将条件极值转化为无条件极值.设长方体的长，宽，高分别为«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，«Skip Record If...».依题意，有«Skip Record If...»， «Skip Record If...»消去«Skip Record If...»，得面积函数 «Skip Record If...»， «Skip Record If...»，«Skip Record If...»，«Skip Record If...».由 «Skip Record If...»得驻点（«Skip Record If...»），根据实际问题，最小值一定存在，且驻点惟一.因此，（«Skip Record If...»）为«Skip Record If...»的最小值点，即当水箱的长、宽、高分别为2«Skip Record If...»时，才能使用料最省.小结 求条件极值时，可以化为无条件极值去解决，或用拉格朗日乘数法.条件极值一般都是解决某些最大、最小值问题.在实际问题中，往往根据问题本身就可以判定最大（最小）值是否存在，并不需要比较复杂的条件（充分条件）去判断.5．二重积分例8 计算 «Skip Record If...» 其中«Skip Record If...»由直线«Skip Record If...»，«Skip Record If...»和曲线«Skip Record If...»所围成.解 画出区域«Skip Record If...»的图形如图3所示，求出边界曲线的交点坐标A （«Skip Record If...»，2）, B （1，1）, C （2，2），视区域«Skip Record If...»为«Skip Record If...»型区域：«Skip Record If...»于是«Skip Record If...»=«Skip Record If...»=«Skip Record If...»=«Skip Record If...»=«Skip Record If...» =«Skip Record If...» . 分析：若视区域«Skip Record If...»为«Skip Record If...»型区域，此时就必须用直线«Skip Record If...»将«Skip Record If...»分«Skip Record If...»和«Skip Record If...»两部分（图4）.其中«Skip Record If...»«Skip Record If...» «Skip Record If...»«Skip Record If...»由此得«Skip Record If...»=«Skip Record If...»+«Skip Record If...»=«Skip Record If...»+«Skip Record If...»=«Skip Record If...»+«Skip Record If...» =«Skip Record If...»+«Skip Record If...» =«Skip Record If...».显然，先对«Skip Record If...»积分后对«Skip Record If...»积分要麻烦得多，所以恰当地选择积分次序是化二重积分为二次积分的关键步骤.例9 已知 «Skip Record If...»=«Skip Record If...»+«Skip Record If...» 改变积分次序. 解 积分区域«Skip Record If...»，其中«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...» 画出积分区域«Skip Record If...»的图形（图5），改变为先对«Skip Record If...»积分后对«Skip Record If...»积分， 此时 «Skip Record If...»«Skip Record If...» 因此«Skip Record If...»=«Skip Record If...»+«Skip Record If...»=«Skip Record If...» . 例10 计算二重积分«Skip Record If...»，其中区域«Skip Record If...»«Skip Record If...».解 该积分区域为环形（图6），利用极坐标，区域的边界曲线是 «Skip Record If...» 与 «因此«Skip Record If...».例11 求球体«Skip Record If...»被圆柱面«Record If...»所截得的立体的体积（图7）.解 由对称性，所截的部分是以«Skip Record If...»为底的曲顶柱体体积的4倍，而曲顶柱体顶面的方程是 «Skip Record If...».2x 图5因此«Skip Record If...»，利用极坐标，便得«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...».小结在计算二重积分时，当积分区域为圆形区域、圆环区域或扇形区域时，选择用极坐标为好，其他情况用直角坐标为宜.。
6-8多元函数微分学习题课
x0
x
此极限为函数z f ( x, y)在点( x0 , y0 )处对x 的
偏导数，记为
z x
，f x x0 x
z ，
x x0
x
x x0 y y0
或
f x ( x0 ,
y0 ).
y y0
y y0
同理可定义函数z f ( x, y)在点( x0 , y0 )处对y
的偏导数， 为
某邻域存在；
z
（3）
f
x
(
x,
y)x
f
y
(
x
,
y)y
,
(x)2 (y)2
当 (x)2 (y)2 0时是无穷小量.
小结三:
由一个方程确定的隐函数的求导法: 1 公式法:F(x,y,z)确定了z=z(x,y),则 z Fx , z Fy .
x Fz y Fz 2 解方程法:方程两边同时对x或者y求导,由复合函数求导法则 解出 z , z .
数，则复合函数 z f [ (t ), (t )] 在对应点t 可
导，且其导数可用下列公式计算：
dz z du z dv ． dt u dt v dt
以上公式中的导数 dz 称为全导数.
dt
如果u ( x, y)及v ( x, y)都在点( x, y)
具有对x 和y 的偏导数，且函数z f (u,v) 在对应
法线方程为 x x0 y y0 z z0 .
Fx ( x0 , y0 , z0 ) Fy ( x0 , y0 , z0 ) Fz ( x0 , y0 , z0 )
15、方向导数
定义 函数的增量 f ( x x, y y) f ( x, y) 与
9-11 多元函数微分学的应用习题课
二、题型练习 （一）几何应用 （二）极值和最值
二、题型练习 （一）几何应用 （二）极值和最值
u例9 求由方程 x2 + y2 + z2 - xz - yz + 2x + 2 y + 2z = 0 所确定的隐函数z=z(x,y)的极值. u例10 求函数 z = x2 + y2 - xy在区域 x + y £ 1上的 最大值和最小值. u例11 求函数z = 3x2 + 3y2 - x3在区域 x2 + y2 £ 16上的 最大值和最小值. u例12 求函数 u = sin x + sin y - sin( x + y) 在区域
u例2 在曲面 z = xy 上求一点，使这点处的法线垂直于平面 x + 3y + z + 9 = 0并写出这法线的方程. u例3 试证曲面 x + y + z = a(a > 0)上任何点处的切平面 在各坐标轴上的截距之和等于a. u例4 证明螺旋线 x = a cos t, y = a sin t, z = bt上任一点处的切
:
ìF ( x, îíG(x,
y, y,
z) z)
= =
0 0
æ ç
! i
! j
! k
ö ÷
切向量 T = ç Fx Fy Fz ÷
çç è
G
x
Gy
Gz
÷÷ ø
(x0, y0, z0 )
3. 曲面的切平面与法线 1) 隐式情况 .
法向量 n = (Fx (x0 , y0 , z0 ) , Fy (x0 , y0 , z0 ) , Fz (x0 , y0 , z0 ))
多元函数微分法习题课
z
x
y
2z + y + λ yz = 0
解方程组
2z + x + λxz = 0
2(x + y) + λxy = 0 xyz −V0 = 0
4 得唯一驻点 x = y = 2z = 3 2V0 , λ = 3 −V 2
0
由题意可知合理的设计是存在的, 因此 , 当高为 3 V0 , 长、宽为高的 2 倍时，所用材料最省. 思考: 思考 1) 当水箱封闭时, 长、宽、高的尺寸如何? x 提示: 提示 利用对称性可知, x = y = z = 3 V0 2) 当开口水箱底部的造价为侧面的二倍时, 欲使造价 最省, 应如何设拉格朗日函数? 长、宽、高尺寸如何? 提示: 提示 F = 2(xz + yz) + 2 x y + λ (x yz −V0 ) 长、宽、高尺寸相等 .
2 2
2. 设 3. 在曲面 平面
求 上求一点 , 使该点处的法线垂直于 并写出该法线方程 . 的切平面
4. 在第一卦限内作椭球面
使与三坐标面围成的四面体体积最小,并求此体积.
4
z
y
例4. 求原点到曲线 的最短距离。 的最短距离。
x 2 + ( y − 1) 2 + z 2 = 4 Γ: x + y + z = 1
习题课
多元函数微分法
一、 基本概念 二、多元函数微分法 三、多元函数微分法的应用
一、 基本概念
1. 多元函数的定义、极限 、连续 • 定义域及对应规律 • 判断极限不存在及求极限的方法 • 函数的连续性及其性质 2. 几个基本概念的关系 连续性 方向导数存在 偏导数存在 可微性
多元函数微分习题课
x
x
z
y
x
( ) du
dx
=
f1 +
f2 cos x −
1 f3 ϕ3
2 xϕ1 + esin xϕ2 cos x
十.设u = f ( x, y,z),ϕ( ) x2,ey,z = 0, y = sinx,
其中 f ,ϕ 都具有一阶连续偏导数,且 ∂ϕ ≠ 0 ,求 du .
∂z
dx
解法二:用微分形式不变性:
(A). f ( x, y) 在 P 点连续; (B). f ( x, y) 在 P 点必可微;
(C). lim x → x0
f
( x,
y0 )
及 lim y→ y0
f
( x0 ,
y)
都存在;
(D). lim f ( x, y) 存在. x → y→ y0
答:(C)
三.求由方程 xyz + x2 + y2 + z2 = 2 所确定的函 数 z = z ( x, y) 在点(1,0,−1) 处的全微分dz .
答:dz = dx − 2dy
四.设 z = z ( x , y ) 定义在全平面上 (1).若 ∂z ≡ 0 ,试证 z = f ( y ) ,其中 f ( y )
∂x
是任意待定的函数; (2).若 ∂ 2 z ≡ 0 ,试证 z = f ( x ) + g ( y ) ,其
∂x∂y
中 f ( x ), g ( y ) 是可导的待定函数.
;
有二阶连续偏导数,
解: z y = x4 f1 + x2 f2 , z yy = x5 f11 + 2 x3 f12 + xf22
习题课多元函数微分学
下列选项正确的是( )
提示: 设
()
代入()得
D
(2006考研)
作业(4-13)
而
所以 f 在点(0,0)不可微 !
二、多元函数微分法
显示结构
隐式结构
1. 分析复合结构
自变量个数 = 变量总个数 – 方程总个数
自变量与因变量由所求对象判定
2. 正确使用求导法则
“分段用乘,分叉用加,单路全导,叉路偏导”
注意正确使用求导符号
3. 利用一阶微分形式不变性
练习题
1. 设函数 f 二阶连续可微, 求下列函数的二阶偏导数
2. P134 题12
解答提示:
第 1 题
P134 题12 设
求
提示:
①
②
利用行列式解出 du, dv ：
代入①即得
求曲线在切线及法平面
(关键: 抓住切向量)
求曲面的切平面及法线 (关键: 抓住法向量)
2. 极值与最值问题
故
6. 在第一卦限内作椭球面
的切平面
使与三坐标面围成的四面体体积最小,并求此体积.
提示: 设切点为
用拉格朗日乘数法可求出
则切平面为
所指四面体体积
V 最小等价于 f ( x, y, z ) = x y z 最大,
故取拉格朗日函数
7. 设
均可微, 且
在约束条件(x, y) 0下的一个极值点,
第九章
习题课
一、 基本概念
二、多元函数微分法
三、多元函数微分法的应用
多元函数微分法
一、 基本概念
连续性
偏导数存在
方向导数存在
9、多元函数微分习题课(1)
2z 其中f 具有二阶连续偏导数， z = f (e x sin y , x 2 + y 2 ), 其中 具有二阶连续偏导数，求 4、 设 、 xy z = e x sin yf1′ + 2 xf 2′ 解 x
2z ′′ ′′ ′′ = f11e 2 x sin y cos y + 2e x ( y sin y + x cos y ) f12 + 4 xyf 22 + f1′e x cos y xy
x0 y0 z0 . 6abc
u=xyz（x>0，y>0，z>0）在条件( 于是问题转化为求函数 u=xyz（x>0，y>0，z>0）在条件(1)下的 最大值问题. 最大值问题. F(x,y,z)=xyz＋ x,y,z)=xyz 令 F(x,y,z)=xyz＋λ( a
x + b y + c z 1 )，解方程组
2、 由方程 xyz + 、
x 2 + y 2 + z 2 = 2 所确定的函数 z=z(x, y)
在点（ 在点（1,0,－1）处的全微分 dz = dx － ） [利用全微分 由方程得 利用全微分] 利用全微分 因此，在点 因此，在点(1,0,-1)处 处
2dy
1 x + y +z
2 2 2
yzdx + xzdy + xydz +
在曲面上， 因 P0 在曲面上，即 a x 0 + b y 0 + c z 0 = 1 ，
(2)
a b c x+ y+ z =1 将它代入( 可化切平面方程为， 将它代入(2)式，可化切平面方程为， x0 y0 z0
则多元函数微分学习题课公开课一等奖优质课大赛微课获奖课件
x2 y2
(sin cos )cos 2 ,
故 lim ( y x)x 0.
x y x0
2
2
y0
第12页
例2 已知 w f ( x y, y z,t z)
求
w w w w x y z t
解
w x
f1
w y
f1
f2
w
w
z f2 f3 t f3
w x
w y
w z
w t
即
x y z 3
第31页
切平面在三个坐标轴上截距分别为
3 3 , 3 3 , 3 3
故切平面与三个坐标面所围成四周体体积为
V 1 底面积 高 1[1 | 3 | | 3 | | 3 |]
3
32
9 | | 9 是一个常量
2
2
第32页
例13 设 y = f ( x ,t ) 而 t 是由 F (x ,y ,t) 拟定
0
例3 已知 z sin(ax by c) 求
mnz x m y n
第13页
解 z a cos(ax by c)
x a sin(ax by c )
2z
x2
a2
sin(ax
by
c
2
2 )
2
mz xm
am
sin(ax
by
c
m
2
)
m 1 z
xmy
a m b sin(ax
by
c
边所正确圆心角，则
x yz
三角形面积
A 1 R2(sin x sin y sin z) 2
第21页
问题就是求A在条件
x y z (0 x, y,z )
微积分第七章-多元函数微分学习题
总结词
理解偏导数与全微分的关系，掌握二者之间 的转换方法。
详细描述
偏导数是全微分的线性近似，即当 自变量改变量Δx、Δy等趋于0时， 全微分等于偏导数乘以自变量改变 量。因此，在求函数在某一点的切 线斜率时，可以使用偏导数；而在 计算函数在某一点的微小改变量时， 则使用全微分。
03
习题三：方向导数与梯度
THANKS
感谢观看
Delta y]
计算多元函数的梯度
总结词
梯度是多元函数在某点处的方向导数的最大值，表示函数在该点处沿梯度方向变 化最快。
详细描述
梯度的计算公式为：[nabla f(x_0, y_0) = left( frac{partial f}{partial x}(x_0, y_0), frac{partial f}{partial y}(x_0, y_0) right)]梯度向量的长度即为函数在该点 的变化率。
讨论多元函数极值的性质
要点一
总结词
极值的性质包括局部最大值和最小值、鞍点的存在以及多 变量函数的极值与一元函数的极值之间的关系。
要点二
详细描述
在多元函数中，极值具有局部性，即在一个小的区域内， 一个函数可能达到其最大值或最小值。鞍点是函数值在某 方向上增加而在另一方向上减少的点。此外，多变量函数 的极值与一元函数的极值之间存在一些关系，例如，在一 元函数中，可微函数在区间上的最大值和最小值必然在驻 点处取得，但在多元函数中，这一性质不再成立。
利用二阶条件求多元函数的极值
总结词
二阶条件是进一步确定极值点的工具，通过判断二阶偏导数的符号，我们可以确定是否为极值点。
详细描述
在得到临界点后，我们需要进一步判断这些点是否为极值点。这需要检查二阶偏导数的符号。如果所 有二阶偏导数在临界点处都为正，则该点为极小值点；如果所有二阶偏导数在临界点处都为负，则该 点为极大值点；如果既有正又有负，则该点不是极值点。
多元函数微分学(1)
微积分Ⅰ 微积分Ⅰ
第八章
多元函数微分学
9
二、典型例题分析
微积分Ⅰ 微积分Ⅰ
第八章
多元函数微分学
10
题型 1 求二元函数的极限
解题思路 (1) 利用多元初等函数的连续性求二元
函数的极限 (如例 1); 如例 (2) 利用变量替换将求二元函数极限的问题转化为 求一元函数极限的问题 (如例 2); 如例 (3) 利用夹逼定理求二元函数的极限 (如例 3); 如例 (4) 判定二元函数的极限不存在 (如例 4). 如例
多元函数微分学
21
例 5 设 z = z(x, y) 是由方程 x2 + y2 − z = ϕ( x + y + z) 所确定的函数, 所确定的函数 其中 ϕ 具有二阶导数且 ϕ′ ≠ −1 , (1) 求 dz ;
∂u 1 ∂z ∂z ( − ), 求 (2) 记 u( x, y) = . ∂x x − y ∂x ∂y
第八章
多元函数微分学
1
多元函数微分学】 【多元函数微分学】习题课 一、主要内容 二、典型例题分析
微积分Ⅰ 微积分Ⅰ
第八章
多元函数微分学
2
一、主要内容
微积分Ⅰ 微积分Ⅰ
第八章
多元函数微分学
3
1、区域 、 (1) 邻域
U ( P0 , δ ) = { P | PP0 | < δ }
= {( x , y ) | ( x − x0 ) 2 + ( y − y0 ) 2 < δ }.
F ( x , y , u, v ) = 0 (1)F ( x , y ) = 0; (2)F ( x , y , z ) = 0; (3) . G ( x , y , u, v ) = 0
多元函数微分学 习题课
三
例题分析
（一）求定义域和极限
x2 y2 1. f ( x , y, z ) arcsin z
2.讨论极限
1 cos( x y ) (2) lim xy (1)lim ; x0 x 2 y 2 2 x 0 ( x y) y0 y 0
若 z f ( x , y )在点 x0 , y0 处有极值，则
f x( x0 , y0 ) 0, f y( x0 , y0 ) 0.
这时称 x0 , y0 为驻点。
驻点不一定是极值点
2．充分条件： 设 z f ( x , y ) 在驻点 x0 , y0 的某邻域内有 连续的二阶偏导数，记 A f xx ( x0 , y0 ), B f xy ( x0 , y0 ), C f yy ( x0 , y0 ),
10 掌握多元函数无条件极值和条件极值
的求法及最大（小）值的求法。
二
要点提示
注意 1.从一元函数推广 2.多元函数与一元函数的区别
（一）函数的概念 1.点函数的定义： P 设 是一个点集，如果对于每一点 变量 z 按照一定的法则总有确定的值和它 对应，则称 z 是点 P 的函数，记为
z f ( P)
2 y
d 2 z x (1,0) z( x,0) ( x ) |x 1 2 dx x 1
若求zy (1,0)，则
d y ' z y (1, 0) z (1, y ) (e ) | y 0 1 dy y0
2 x z z z 4.z f ( x , ), f 二阶偏导连续， 求 , , . y x y xy
习题课 多元函数微分学
复习题8（A ）1. 设3(1)z y f x =+-，且已知y =1时，z =x 则()f x = ,z = .2. 设322,(,)(0,0)(,)0,(,)(0,0)x x y f x y x y x y ⎧≠⎪=+⎨⎪=⎩，则(0,0)x f = , (0,0)y f = .3. 设arctanx yz x y+=-,,则d z = . 4. 设()()y x u yf xg x y =+,其中f ,g 具有二阶连续偏导数,则222u u x y x y x∂∂+=∂∂∂ . 5. 若函数z =f (x ,y )在点(x 0,y 0)处的偏导数存在，则在该点处函数(,)z f x y = ( ) A 有极限 B 连续C 可微D 以上三项都不成立6. 偏导数f x (x 0,y 0)，f y (x 0,y 0)存在是函数z =f (x ,y )在点(x 0,y 0)连续的( ) A 充分条件 B 必要条件C 充要条件D 即非充分也非必要条件7. 设函数f (x ,y )=1－x 2+y 2,则下列结论正确的是( )A 点(0,0)是f (x ,y )的极小值点B 点(0,0)是f (x ,y )的极大值点C 点(0,0)不是f (x ,y )的驻点D f (0,0)不是f (x ,y )的极值 8. 求下列极限：(1) 22(,)(0,0)1lim ()sin x y x y x y →+； (2) (,)(0, 0)11lim x y xy →+-. 9. 设u =e 3x -y ，而x 2+y =t 2,x －y =t +2,求0d d t u t =.10. 设z =f (x ,y )由方程xy +yz +xz =1所确定,求222,,.z z z x x y x ∂∂∂∂∂∂∂ 11. 设f (u ,v )具有二阶连续偏导数,且满足22221f f u v∂∂+=∂∂，又221(,)[,()]2g x y f x y x y =-,试证222222g gx y x y∂∂+=+∂∂. 12. 求函数f (x ,y )=x 2(2+y 2)+y ln y 的极值.13. 设商品A 及B 的收益函数分别为：22121624 , R 20410R x x xy y xy y =-+=+-，总成本函数为2888C x y =-+，,x y 为商品A 及B 的价格，试问价格取何值时可以使总利润最大？14. 某同学现有400元钱，他决定用来购买x 张计算机磁盘和y 盒录音磁带。
《微积分(下)》第2章多元函数微分学练习题--参考答案
第2章 多元函数微分学一、二元函数的极限专题练习：1.求下列二元函数的极限: (1)()11(,)2,2lim2;y xy x y xy +⎛⎫→- ⎪⎝⎭+ (2)()()2222(,),3limsin;x y x y x y →∞∞++(3) ()(,)0,1sin lim;x y xyx →(4)((,)0,0limx y →解: (1) 当1(,)2,2x y ⎛⎫→- ⎪⎝⎭时，10xy +→，因此()[]1112(1)11(,)2,(,)2,22lim2lim1(1)e yxy y xy x y x y xy xy -++⎛⎫⎛⎫→-→- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎧⎫+=++=⎨⎬⎩⎭。
(2) 当()(,),x y →-∞+∞时，2230x y →+，因此222233sin ~x y x y++， ()()()()22222222(,),(,),33limsinlim 3x y x y x y x y x y x y →∞∞→∞∞+=+⋅=++。
(3) 当()(,)0,1x y →时，0xy →，因此sin ~xy xy ，()()(,)0,1(,)0,1sin limlim 1x y x y xy xyx x →→==。
(4) 当()(,)0,0x y →10,0xy →→，因此，(())())(,)0,0(,)0,0(,)0,01limlimlim12x y x y x y xy xy→→→===。
2．证明：当()(,)0,0x y →时，()44344(,)x y f x y xy=+的极限不存在。
证明: 取2(0)y kx k =≠，则()()()()()()()444484433334444444(,)0,0(,)0,0(,)0,0limlimlim11x y x y x y x y k x x k k xyxk xk k →→→===++++显然此极限值与k 的取值相关，因此当()(,)0,0x y →时，()44344(,)x y f x y xy=+的极限不存在。
吴第8章多元函数微分学-习题课
【解】 lim f(x,y)0f(0,0)所以f 在(0,0)点连续,故否B .
x 0
y 0
f( x ,0 ) f( 0 ,0 ) x 2 s1 ix n 2 ) (
f x ( 0 ,0 ) l x 0 im x
lim 0 x 0 x
fy (0 ,0 ) ly 0 ifm (y ,0 ) yf(0 ,0 ) ly 0 iy m 2 sy i 1y n 2 ) ( 0 偏导数存在, 否A .
第八章 习题课
多元函数微分法及其应用
一、关于多元函数极限的题类 二、关于多元函数连续、偏导数存在、可微的题类 三、关于复合函数求导、隐函数求导，全微分计算题类 四、关于多元函数极(最)值的题类
一、关于多元函数极限的题类
【例1】 求
lim
x0
xy x2 y2
y0
【解】
xy
lim
x 0
x2
【例8】 设x2z2y(fz)其 , f中 可微z， . 求
y
y
【解Ⅰ】公式法
抽象函数隐函数求导
令F(x,y,z)x2z2y(fz), y
则
Fz
2zf(z), y
Fyf(zy)zyf(zy),
z y
Fy Fz
yf( z) zf ( z)
y
y
2yz yf(z)
.
y
【例8】 设x2z2y(fz)其 , f中 可微z， . 求
y
y
抽象函数隐函数求导
【解Ⅱ】（求导直接法） z是x,y的函数
zyz 两边同时对y求导 2zyzf(zy)yf(zy)yy2 ,
yf(z) zf (z)
解得
9-7 多元函数微分法习题课
1．简单、具体函数
u例1
设
z
=
(x2
+
y
2
-
)e
arctan
y x
求 ¶2z .
¶x¶y
2．复合函数：外层具体、内层具体
u例2 设 u = ex ( y + z), y = sin x, z = cos x, 求 du .
dx
u例3
设 z = u2v - uv2 , u =
x cos y,
v=
x sin y,
第七讲 多元函数微分法习题课
多元函数微分法习题课
一、内容小结 二、题型练习
多元函数微分法习题课
一、内容小结 二、题型练习
一、内容小结
（一）多元复合函数求导法则 （二）隐函数求导法则
一、内容小结
（一）多元复合函数求导法则 （二）隐函数求导法则
多元复合函数的五种基本类型
类型
举例
复合关系图 求导法则 注
Fx表示F对x求偏 分导子和分母不要颠倒
不要丢掉负号
ìF(x, y,u, v) = 0 îíG(x, y,u, v) = 0
ìu = u (x, y) îív = v (x, y)
(1) 确定因变量个数与自变量个数.
明确变量个数与方程个数
确定因变量个数 方程个数
确定自变量个数 变量个数
方程个数
(2) 明确因变量与自变量. 题目要求
一个具体、一个抽象
u例21 设 w = f ( x, y, z), z=z(x,y)由方程 z5 - 5xy + 5z = 1
确定，求
¶w ¶x
,
¶2w ¶x 2
.
两个抽象
0809习题课(第8章多元函数微分法及其应用)
练习 解答或提示
六、求螺旋线 x = a cosθ , y = a sinθ , z = bθ 在点(a ,0,0) t 曲 t t
处的切线与法平面方程 .
t x′ = −asinθ , y′ = acosθ , t
(a,0,0) →θ = 0, T t
(a,0,0)
z′ = b,
= (0, a, b),
练习 解答或提示
∂z ∂ z 五、设 x = e cos v , y = e sin v , z = uv ,求 , . ∂ x , ∂y Qzx = vux + uvx , z y = vuy + uv y ,
u u
1 = eu cos v ⋅ ux − eu sinv ⋅ vx 0 = eu sinv ⋅ ux + eu cos v ⋅ vx
∂z ∂ z 五、设 x = e cos v , y = e sin v , z = uv ,求 , . ∂ x , ∂y
u u
六、求螺旋线 x = a cosθ , y = a sinθ , z = bθ 在点(a ,0,0) 处的切线与法平面方程 . 七、求曲面 x + y + z = 1在点 1,2,−2)处切平面方程. ( 八、求函数z = f ( x, y) = x2 − xy + y2的极值.
( ∴在点 0,0)处: AC − B2 = 3 > 0, 且A = 2 > 0,
∴函数有极小值 f (0,0) = 0.
所确定的函数 , 求 du. ∂z ∂z ′ ux = f1 + f2 ⋅ , uy = f2 ⋅ , 令F( x, y, z) = z − x − yϕ(z), ′ ′ ∂y ∂x Fy Fx 1 ∂z ∂z ϕ(z) , , =− = =− = Fz 1 − yϕ′(z) ∂y Fz 1 − yϕ′(z) ∂x
高数A(2)习题课(5)多元函数微分学1
∂u + ∂u + ∂u . 2 2 2 设 三、 u = x + y + z , 求 、 ∂x ∂y ∂z
? f (x, y) ¶y
可见函数在（0,0）点极限不存在，更不连续但可偏导.
例5（1）设 f ( x, y ) = x , 求 f x ( x, y ), f y ( x, y ). ∂z ∂z 2 2 （2）设 z = sin( x − y ), 求 , . ∂x ∂y 解 （1） f ( x ，y ) = yx y −1 , x
解法2 利用一阶全微分形式的不变性
x y du = f1′d ( ) + f 2′( ) y z 1 x 1 y = f1′( dx − 2 dy ) + f 2′( dy − 2 dz ) y y z z −x 1 1 y = f1′dx + ( 2 ) f1′ + f 2′ dy − 2 f 2′dz y z z y
C.有界闭区域上连续函数的性质 3.偏导数的定义、计算以及几何意义
4.全微分的定义，形式不变性；可微和偏导数存 在、偏导数连续，连续之间的关系 5.复合函数偏导数的链式法则
∂u ∂u ∂x ∂u ∂y = ⋅ + ⋅ ∂s ∂x ∂s ∂y ∂s ∂u ∂u ∂x ∂u ∂y = ⋅ + ⋅ ∂t ∂x ∂t ∂y ∂t
是否趋于0。
ρ
同理， f y′ ( 0,0 ) = 0
∆f = f ( x, y ) − f (0,0), ∆x = x, ∆y = y, ρ = x 2 + y 2 , 则
lim f ( x, y ) − f (0,0) − f x′(0,0) x − f y′ (0,0) y x2 + y2
多元函数微分学习题课
平行的切平面方程为：
.
答案：x + 4 y − z = 0 2
15 二元函数f ( x , y )在点(0, 0)可微的充分条件为[ ]. A. lim [ f ( x , y ) − f (0, 0)] = 0;
( x , y )→ (0,0)
f ( x , 0) − f (0, 0) f (0, y ) − f (0, 0) B .lim = 0, 且 lim = 0; x→0 y→0 x y C.
1 设u = f ( x , y , z ), z = ϕ ( y , t ), t = ψ ( y , x ),
∂u ∂u 其中f , ϕ ,ψ 均可微，求 , . ∂x ∂y
y 2 验证：z = , f ( u)可微， 2 2 f (x − y )
则 1 ∂z 1 ∂z z + = 2. x ∂x y ∂y y
Ans : ( −5, −5, 5),(1,1,1).
27 设z = z ( x , y )是由x 2 − 6 xy + 10 y 2 − 2 yz − z 2 +18=0确定的 函数，求z = z ( x , y )的极值点和极值. [2004考研]
x+ y x− y
ψ ( t )dt
其中ϕ 具有二阶导数，ψ 有一阶导数，则必有[ ].
[2005考研]
Ans : B.
22 设f ( x , y ), ϕ ( x , y )均为可微函数，且ϕ y ( x , y ) ≠ 0. 设( x0 , y0 )为f ( x , y )在约束条件ϕ ( x , y )下的一个极值点 则必有[ ]. A.若f x ( x0 , y0 ) = 0, 则f y ( x0 , y0 ) = 0; B .若f x ( x0 , y0 ) = 0, 则f y ( x0 , y0 ) ≠ 0; C .若f x ( x0 , y0 ) ≠ 0, 则f y ( x0 , y0 ) = 0; D.若f x ( x0 , y0 ) ≠ 0, 则f y ( x0 , y0 ) ≠ 0. [2006考研]
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多元函数微分学习题课
1．已知)(),(22y x y x y x y x f ++-=-+ϕ，且x x f =)0,(，求出),(y x f 的表达式。
2．（1）讨论极限y x xy y x +→→00lim 时，下列算法是否正确？解法1：0111lim 00=+=→→x
y y x 原式；解法2：令kx y =，01lim 0=+=→k
k x x 原式；解法3：令θcos r x =，θsin r y =，0sin cos cos sin lim 0=+=→θθθθr r 原式。
（2）证明极限 y x xy y x +→→0
0lim 不存在。
3．证明 ⎪⎩⎪⎨⎧=≠+=00
)1ln(),(x y x x xy y x f 在其定义域上处处连续。
4. 试确定 α 的范围，使 0|)||(|lim 22)0,0(),(=++→y
x y x y x α。
5. 设 ⎪⎩
⎪⎨⎧=+≠+++=000)sin(||),(22222222y x y x y x y x xy y x f ，讨论
（1）),(y x f 在)0,0(处是否连续？ （2）),(y x f 在)0,0(处是否可微？
6. 设F ( x , y )具有连续偏导数, 已知方程0),(=z y z x F ，求dz 。
7. 设),,(z y x f u =有二阶连续偏导数, 且t x z sin 2=，)ln(y x t +=，求x u ∂∂，y
x u ∂∂∂2。
8. 设)(u f z =，方程⎰+
=x y t d t p u u )()(ϕ确定u 是y x ,的函数，其中)(),(u u f ϕ可微，)(),(u t p ϕ'连续，且 1)(≠'u ϕ，求 y
z x p x z y p ∂∂+∂∂)()(。
9. 设22v u x +=，uv y 2=，v u z ln 2=，求y
z x z ∂∂∂∂,。
10.设),,(z y x f u =有连续的一阶偏导数 , 又函数)(x y y =及)(x z z =分别由下两式确定：
2=-xy e xy ，dt t t e z
x x ⎰-=0sin ，求dx
du 。
11. 若可微函数 ),(y x f z = 满足方程 y
z x z y x '='，证明：),(y x f 在极坐标系里只是ρ的函数。
12. 在变换 22,y x v x u -== 下，求下面方程的解 0=∂+∂y
x x y 。
13. 求常数c b a ,,的值，使函数 232),,(z cx byz axy z y x f ++= 在点)1,2,1(-处沿z 轴正方向的方向导数
有最大值64。
14. 设函数 z y x z y x f +=2),,(，
(1) 求函数在点 M ( 1, 1, 1 ) 处沿曲线 ⎪⎩
⎪⎨⎧=-== 12 32t z t y t x 在该点切线方向的方向导数；
(2) 求函数在点 M ( 1, 1, 1 ) 处的梯度与 (1) 中切线方向的夹角 θ 。
15. 直线L ：⎩⎨⎧=--+=++0
30z ay x b y x ，在平面π上，而π与曲面22y x z +=相切于)5,2,1(-，求b a ,之值。
16. 已知椭球面 2222a yz xy z y x =++++，)0(>a ，
（1）求椭球面上z 坐标为最大和最小的点； （2）求椭球面在xoy 面上的投影区域的边界曲线。
17. 求两球面25222=++z y x 与1)8(222=-++z y x 的公切面方程，使该公切面在x 轴和y 轴的上半
轴上的截距相等。
18. 试求椭圆124522=++y xy x 的长轴和短轴之长。
19. 当n 个正数n x x x ,,21之和为常数时，求它们的乘积开n 次方的最大值，并由此证明
)(12121n n n x x x n
x x x ++≤ 。
20．已知两平面曲线0),(=y x f ，0),(=y x g ，),(βα和),(ηξ分别为两曲线上的点，试证：如果这两
点是这两曲线上相距最近或最远的点，则 ),(),(),(),(ηξηξβαβαηβξαy x
y x g g f f ''=''=--。
21．设有一小山，取它的底面所在的平面为x o y 坐标面，其底部所占的区域为
}75|),{(22≤-+=xy y x y x D ，小山的高度函数为 xy y x y x h +--=2275),(。
（1）设),(00y x M 为区域D 的一点，问),(y x h 在该点沿平面上什么方向的方向导数最大？若记此方向
导数的最大值为),(00y x g ，试写出),(00y x g 的表达式。
（2）现欲利用此小山开展攀岩活动，为此需要在山脚寻找一上山坡度最大的点作为攀岩的起点。
也就是说，要在D 的的边界线752
2=-+xy y x 上找出使（1）中的),(y x g 达到最大值的点。
试确定攀岩起点的位置。
22．已知平面上两定点 A ( 1 , 3 ), B ( 4 , 2 ) ，试在椭圆 )0,0(,14
9≥≥=+y x 圆周上求一点 C ，使△ABC 面积 S △ 最大 。
23．求半径为R 的圆的内接三角形中面积最大者。
24．求平面上以d c b a ,,,为边的面积最大的四边形，试列出其目标函数和约束条件。
25．设 ),(y x z z =是由方程 181026 222=--++y x z yz xy 确定的隐函数。
已知3)3 ,9( =z ，求
),(y x z z =在 )3 ,9( 点带Peano 型余项的二阶Taylor 公式，判断 ),( y x z z =在 )3 ,9( 点是否取得 极值。