10三向量的双重向量积

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向量的数量积和向量积

用e表示u轴上的单位向量，则a·e为向量a在e方向上的投影，那么有
a e | a || e | cos | a | cos
例1 已知a={1，1，-4}，b={1，-2，2}，求：（1）a·b；（2）a与b的夹角；
（3）a在b上的投影。
解：（1）a b 11 1( 2 ) (-4) 2
x1x2 y1 y2 z1z2
则有两非零向量a和b的夹角θ 的余弦坐标表示为
cos a b
x1x2 y1 y2 z1z2
| a || b |
x12 y12 z12 x22 y22 z22
此时，对于非零向量a，b，有
a b x1x2 y1 y2 z1z2
如右图，则力对物体做的功为
θ
A
S
B
W | F || S | cos
2 性质：（1） a·a=|a|2
i i 1, j j 1, k k 1
（2）a b a b 0
i j 0, j k 0, k i 0
（3）θ 表示两非零向量a和b的夹角，则有
（2）a || b a b o
（3）若a≠o，b≠o，a，b的夹角为θ ，则
sin | a b |
| a || b |
3 两向量的向量积的运算律（1） a×b=-b×a；（2）（λa）×b=a×（λb）=λ（a×b （λ为常数）（3）（a+b）×c=a×c+b×c
4 两向量的向量积的坐标表示设向量
则有
a b x1x2 y1 y2 z1z2
证明：
a b (x1i y1 j z1k ) (x2i y2 j z2k )

解析几何,吕林根,课后习题解答一到五

(4) 如果 a p n,
证明:
b q n,
c r n, 那么 ,
a,b, c 共面 .
3. 如果非零矢量 ri (i＝1,2,3)满足 r1 r2 r3 ， r2 ＝ r3 r1 ， r3 ＝ r1 r2 ，那么 r1 , r2 , r3 是彼此垂直的单位矢量，并且按这次序构成右手系. [证明]：
图 1-11
6 已知△ ABC 的三顶点 A(0, 0,3), B(4, 0, 0), C(0,8, 3)
试
求： (1) △ 三边长 (2) △三内角 (3) 三中线长 (4) 角 A 的角平分线矢量 AD（中点
在 BC 边上），并求 AD 的方向余弦和单位矢量
解：
§1.8 两矢量的失性
1.已知 a 1, b 5, a b 3. 试求: (1) a b (2) (a b) (a b)2 (3) (a 2b) (b 2a)2
10.证明：四面体每一个顶点与对面重心所连的线段共点，且这点到顶点的距离是它到对面重心距离的三倍. 用四面体的顶点坐标把交点坐标表示出来. [证明] ,
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, §1.6 矢量在轴上的射影
1．已知矢量 AB 与单位矢量 e 的夹角为150 ，且 AB 10，求射影矢量 e AB 与射影 e AB ，又如果 e e ，求射影矢量 e AB 与射影 e AB .
7．已知 A,B,C 三点坐标如下：
（1）在标架 O;e1,e2 下， A0,1, B2,2,C 2,4. （2）在标架 O;e1,e2 ,e3 下， A0,1,0, B1,0,2,C 2,3,4
判别它们是否共线？若共线，写出 AB 和 AC 的线形关系式.

1.6 三矢量的混合积与双重外积

证用向量的外积的坐标计算证明.
a (a1 , a2 , a3 ) b (b1 , b2 , b3 ) c (c1 , c2 , c3 )
设在直角坐标系下，
分别将上式左、右用坐标表示，即可得出两边相等.
性质1.6.7 (1) : Lagrang 恒等式
ac ad (a b) (c d ) (a c)(b d ) (b c)(a d ) bc bd 证： ( a b ) (c d ) (c d ) a b =((a c)d (a d )c) b (a c)(b d ) (b c)(a d ) ac a d bc bd
即
d b c d3 b3 x = a b c a1 b1 a2 b2 a3 b3
d1 d2
b1 b2
c1 c2 c3 c1 c2 c3
d c a a3 d3 c3 y = a b c a1 b1 c1 a2 b2 c2 a1 a2 b1 b2 d1 d2 a3 b3 c3
三个向量 a, b, c 共面的条件：
x1 a b c= x2 x3
y1 y2 y3
z1 z2 0. z3
例1：写出四点 P 1 ( x1 , y1 , z1 ), P 2 ( x2 , y2 , z2 ),
P3 ( x3 , y3 , z3 ), P4 ( x4 , y4 , z4 ) 共面的条件
§1.6 三矢量的混合积与双重外积
1.6.1三矢量的混合积

大学解析几何

a
同向时
取
b
a
取正值，
,
当
b
与
a
此时
反向时取负值，即有
b
与
a
同向.
且
a
b a
a.
b
a
b.
的唯一性.
设
b
a，又设
b
a，a
两式相减，得
(
)a
0，即
a
0，
a 0，故 0，即 .
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设ea表示与非零向量a 同方向的单位向量，
按照向量与数的乘积的规定，
成 e1, e2 的线性组合，即
r xe1 ye2
（1.4－2）
并且系数 x, y 被 e1, e2 惟一确定.
这时 e1, e2 叫做平面上向量的基底.
B
P
E2
r
e2
O
e1 E1
A
Back
四、空间向量的基底
定理 1.4.3 如果向量 e1,e2,e3 不共面，那么空间任意向量 r 可以由向量
定义集合相互关系
§1.1 向量的概念
定义1.1.1 既有大小又有方向的量叫做向量，或称矢量.
向量的几何表示：有向线段
M2 a
有向线段的长度表示向量的大小,
M1
有向线段的方向表示向量的方向.
a 或 M1M2 以M1为起点，M2 为终点的有向线段. 向量的模：向量的大小. | a |或 | M1M|2
定理 1.4.5 如果一组向量中的一部分向量线性相关，那么这一组向量就线性相关.
推论一组向量如果含有零向量，那么这组向量必线性相关.
Back

空间向量(内积、外积、混和积)

V
注：

2

时，，，成右手系，V ( ) 时，，，成左手系，V ( )
24

2
混合积的性质
(1) ( ) 0 , , 共面
( 2) ( ) ( ) ( )
要利用向量及其运算来反映诸多物理现象中量的
关系，仅仅只有向量的线性运算就远远不够了，还要不断充实向量的运算。这一节先引入向量的
一种乘法。
2
例: 物体放在光滑水平面上，设力 F以与水平线成θ角的方向作用于物体上，物体产生位移S，求力F 所作的功。
F

S
解: 根据物理知识，F 可以分解成水平方向分力 Fx 和垂直方向分力 F y 。其中只有与位移平行的分力 Fx 作功，而 F y 不作功。于是功W为: W=|F|cosθ|S|=|F||S|cosθ 为反映这一类物理现象，引入向量的内积。
3
内积及其运算规律定义两个向量α与β的内积是一个数，它等于
这两个向量的长度与它们夹角θ=(α，β)余弦的乘
积，记为
即有
，
cos
其中 0 ( , )
根据内积的定义，上例中的功可写作：
W FS
4
向量的内积又称为点积或数量积具有以下性质： (1) (2) (3) (4) (5) 注：向量内积不满足结合律
( k 2 36) 0
所以 α×β≠０
因为α，β不平行，
故有 k 2 36 0 ，即 k=±6．
15
例：若，，
证明：与共线.

向量双重向量积10三向量的双重向量积

表示方法
01
向量三重积可以用行列式表示，即a × b × c = |ijkabc|。
02
也可以用叉乘表示，即a × b × 三个向量a、b、c围成一
个平行六面体，向量三重积的方向由右手定则确定。
表示方法
01
向量三重积可以用行列式表示，即a × b × c = |ijkabc|。
结合律
总结词
向量三重积满足结合律，即(a×b)×c=(a×c)×b。
详细描述
结合律是指向量三重积满足(a×b)×c=(a×c)×b。根据向量三重积的定义，(a×b)×c表示的是向量a和b的叉积与向量c的数量积，而(a×c)×b表示的是向量a和c的叉积与向量b的数量积。由于叉积满足结合律，因此 (a×b)×c=(a×c)×b。
几何意义
向量三重积的几何意义是一个平行六面体的有向面积，其中向量 $mathbf{A}$、$mathbf{B}$和 $mathbf{C}$分别表示平行六面体的三个相邻棱。
计算方法
定义
向量三重积定义为三个向量 $mathbf{A}$、$mathbf{B}$和 $mathbf{C}$的混合积，记作 $mathbf{A} times mathbf{B} times mathbf{C}$。
计算公式
$mathbf{A} times mathbf{B} times mathbf{C} = |mathbf{A} times mathbf{B}| cdot mathbf{C}$，其中 $mathbf{A} times mathbf{B}$表示向量$mathbf{A}$和$mathbf{B}$的叉积， $|mathbf{A} times mathbf{B}|$表示叉积结果的模长。
利用坐标系计算

三向量的双重向量积例题计算

三向量的双重向量积例题计算双重向量积通常指的是三个向量的混合积，也称为标量三重积。

这个运算可以用来计算平行六面体的体积，公式如下：\[。

\mathbf{A} \cdot (\mathbf{B} \times \mathbf{C})。

\]其中，$\mathbf{A}, \mathbf{B}, \mathbf{C}$ 分别是三个向量，$\times$ 表示向量的叉乘，$\cdot$ 表示向量的点乘。

举个例子，假设有三个向量 $\mathbf{A} = [1, 2, 3]$,$\mathbf{B} = [2, 3, 4]$, $\mathbf{C} = [3, 4, 5]$，我们可以按照上述公式进行计算：首先计算叉乘 $\mathbf{B} \times \mathbf{C}$，得到新的向量：\[。

\mathbf{B} \times \mathbf{C} = \begin{vmatrix}。

\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\。

2 &3 &4 \\。

3 &4 & 5。

\end{vmatrix} = \mathbf{i}(3 \times 5 4 \times 4)\mathbf{j}(2 \times 5 4 \times 3) + \mathbf{k}(2 \times 4 3 \times 3) = [-1, 2, -1]\]然后再将 $\mathbf{A}$ 和上述结果进行点乘运算：\[。

\mathbf{A} \cdot [-1, 2, -1] = 1 \times (-1) + 2 \times 2 + 3 \times (-1) = -1 + 4 3 = 0。

\]因此，这三个向量的双重向量积的结果为 0。

这个结果代表了原始三个向量构成的平行六面体的体积为 0，也就是说这三个向量是共面的。

《向量的双重向量积》课件

总结与回顾
本章重点回顾
双重向量积的计算方法和技巧
双重向量积在几何和物理中的应用
向量的双重向量积的定义和性质
01
03 02
常见错误解析
混淆双重向量积与外积、内积的区别
计算双重向量积时，忽略方向和右手定则
错误地将双重向量积的结果等同于0
下章预告
01
向量的混合积及其性质
02
混合积在几何和物理中的应用
相反。
数乘运算满足结合律和分配律，即数乘运算不满足交换
律。
结合律是指数乘运算满足结合律，即k(a+b)=(ka)+(kb) ；分配律是指数乘运算满足分配律，即k(a+b)=ka+kb。
向量的减法
总结词
向量减法是向量运算中的另一种基本运算，其实质是将一个向量从另一个向量中减
去。
总结词
向量减法满足反交换律，即A-B=-(B-A)。
详细描述
向量减法可以通过将一个向量的起点平移到另一个向量的终点，然后作一个平行四边形，其对角线就是这两个向量的差。
详细描述
反交换律是指向量减法满足反交换律，即 A-B=-(B-A)。
CHAPTER 03
向量的数量积
向量的点乘
定义
对于两个向量$vec{A}$和$vec{B}$，点乘的结果是一个标量，记作 $vec{A} cdot vec{B}$。
结合律
$(mathbf{a} times mathbf{b}) times mathbf{c} = mathbf{a} times (mathbf{b} times mathbf{c})$
数乘性质
$k(mathbf{a} times mathbf{b}) = (kmathbf{a}) times mathbf{b} = mathbf{a} times (kmathbf{b})$

二重向量积公式

二重向量积公式二重向量积，这可是个有点烧脑但又超级有趣的数学概念！先来说说啥是二重向量积。

简单来说，就是两个向量先做叉乘，得到一个新向量，然后这个新向量再和另一个向量做叉乘。

用公式表示就是：若有向量 a、b、c ，那么 a×(b×c) = (a·c)b - (a·b)c 。

咱们来仔细瞅瞅这个公式哈。

想象一下，向量就像是有方向的箭头，它们相互作用，产生新的方向和大小。

比如说，在一个物理问题中，我们要考虑一个物体在不同方向力的作用下的运动状态。

假设有个小球，受到两个力的作用，一个力的方向用向量 a 表示，另一个力是由 b 和 c 叉乘得到的。

这时候，我们就得用二重向量积公式来算出最终的效果，从而预测小球的运动轨迹。

我记得有一次给学生们讲这个知识点的时候，有个特别调皮但又很聪明的小家伙，瞪着大眼睛问我：“老师，这二重向量积在生活中有啥用啊，难道我走路还得算这个？”我笑着回答他：“嘿，你别说，还真有可能！比如说你踢足球，想把球踢到特定的位置，就得考虑脚踢球的力和球场上各种因素产生的力，这里面就可能涉及到二重向量积的知识呢！”这小家伙一听，来了兴趣，开始认真琢磨起来。

再深入点说，二重向量积在计算机图形学里也有大用处。

比如说设计 3D 游戏中的场景和物体的运动，就得靠它来准确计算方向和位置。

还有在机器人控制领域，要让机器人精确地执行任务，也得依靠对向量运算的精准把握，其中就包括二重向量积。

对于学习数学和物理的同学们来说，掌握好二重向量积公式，就像是拥有了一把神奇的钥匙，可以打开很多难题的大门。

但要真正理解它，可不能光靠死记硬背公式哦！得多做练习题，多结合实际的例子去思考。

比如说，在解决一道关于空间向量的数学题时，题目给出了三个向量的坐标，让求二重向量积的结果。

这时候，可不能慌张，先按照公式，算出点积的值，再代入公式算出最终的向量。

一步一步来，就像走迷宫一样，只要方向不错，总能找到出口。

三个矢量的二重叉积公式推导

三个矢量的二重叉积公式推导三个矢量的二重叉积公式推导矢量运算在数学和物理学中起着重要的作用，而其中的二重叉积是一个常见的运算。

通过推导三个矢量的二重叉积公式，我们可以更深入地理解其意义和应用。

一、定义和性质回顾在开始推导之前，先回顾一下矢量的二重叉积的定义和性质。

设有三个矢量a、b、c，它们的二重叉积记作a×(b×c)。

根据右手法则，我们可以将a×(b×c)理解为从a沿b转到c的方向上的一个矢量。

它与a垂直，在物理学中常称为矢量a在平面b和c所确定的平面上的投影。

二、利用标量三重积推导为了推导三个矢量的二重叉积公式，我们需要利用标量三重积的性质。

标量三重积是指三个矢量的数量积与二重叉积之间的关系，即(a×b)·c= a·(b×c)。

其中·表示数量积。

首先，我们将矢量a×(b×c)展开为：a×(b×c) = a·(b×c) - (a·b)×c然后，我们再将(a·b)×c表示为c×(a·b)：c×(a·b) = (c×a)·b将以上两个式子代入，得到：a×(b×c) = a·(b×c) - (c×a)·b三、利用向量恒等式推导我们还可以通过向量恒等式来推导三个矢量的二重叉积公式。

当矢量a 与b平行或反平行时，它们的二重叉积为零。

利用这个性质，我们可以得到三个向量的二重叉积公式。

首先，我们将矢量a×(b×c)展开为：a×(b×c) = a(b·c) - (a·c)b然后，我们利用向量的分配律和数量积的交换律进行展开，得到：a×(b×c) = (a·c)b - (a·b)c最后，根据向量的交换律，我们可以将上式中的b和c交换位置，得到最终的推导结果：a×(b×c) = (a·b)c - (a·c)b这就是三个矢量的二重叉积公式的推导过程。

向量的三重积公式有趣证明

向量的三重积公式有趣证明嘿，说起向量的三重积公式，那可真是个有趣的玩意儿！咱们先来讲讲啥是向量的三重积。

简单来说，向量的三重积就是三个向量之间的一种运算。

比如说，有向量 A、向量 B 和向量 C ，那它们的三重积就写成 (A×B)×C 或者A×(B×C) 。

咱们先来看 (A×B)×C 这个式子。

为了证明它，咱们得从向量的基本运算规则说起。

假设向量 A = (a₁, a₂, a₃) ，向量 B = (b₁, b₂, b₃) ，向量 C = (c₁, c₂, c₃) 。

那向量 A×B 的结果就是一个新的向量 D = (d₁, d₂, d₃) ，其中 d₁ = a₂b₃ - a₃b₂，d₂ = a₃b₁ - a₁b₃，d₃ = a₁b₂ - a₂b₁。

接下来，咱们再算 (A×B)×C 。

这时候，新向量 D 和向量 C 又要进行叉乘运算啦。

经过一番复杂但有趣的计算，咱们能得出 (A×B)×C 的表达式。

我记得有一次给学生们讲这个的时候，有个小家伙特别较真儿，一直追问我为啥要这么算，能不能有更简单的方法。

我就跟他说：“就像你搭积木，每一块都得放对地方，这计算步骤啊，一步都不能少，少了这房子就搭不结实啦！”这孩子似懂非懂地点点头，后来自己琢磨了好久，终于搞明白了。

再来说说 A×(B×C) 。

同样按照上面的步骤，先算出 B×C 的结果，再和 A 进行叉乘。

经过一系列计算，你会发现 (A×B)×C 和 A×(B×C) 的结果是不一样的。

这就好像两条不同的路，虽然起点和终点差不多，但沿途的风景可大不一样。

在学习向量的三重积公式的过程中，大家可别被那些复杂的计算给吓住了。

就像爬山一样，一步一步往上走，总能到达山顶，看到美丽的风景。

而且，这个公式在很多实际问题中都能派上用场呢。

向量的数量积向量积混合积课件

a 0 (c a ,c oa o ,c ss a o ) , s
b 0 (c b , c o b o , c s b s ) o , s
co a ,sb a b a 0b 0 |a | |||b | ||
ca c o b o c sa c s o b o c sa c s o b 。 o ss
二. 向量的向量积 • 向量的向量积的概念. • 向量的向量积的性质. • 向量的向量积的坐标形式.
1. 向量的向量积的概念向量积的物理模型
力矩的大小＝力力的臂大的小长度方向: 由力臂到力符合右则手法
设力 F作用于杠杆 P处上 , 点O
( a b ) ( c d ) a ( c d ) b ( c d )
a c a d b c b d
( a b ) ( a b ) ( a b ) ( a ( b )) a a a ( b ) b a b ( b ) a ( b ) | a a | ||a |b p ||p |a ( a r b b r )jj a a 2 2 b a 2 。 b b a b 2
b c 0 ( 5 ) 3 1 1 ( 3 ) 0 。 (bc) pb r a j|a b | b | | 0 2 3 1 2 1 2 1 1。 0 pa r b j|a a | b | | 4 2 ( 1 1 )2 2 2 1 2。 1
问
位于坐标面上的量非的零特向征是什么？
2. 向量的数量积的性质
性质 1
a b b a (交换 ) 律
证由数量积的定,义得
a b |a ||b ||c | a o , b ,s b a |b ||a ||c | b o , a ,s 因 c a o , b 为 s c b o , a ,所 s 以

向量的混合积运算法则

向量的混合积运算法则
向量混合积的运算法则是：（a×b）c=a（b×c）。

三重积又称混合积，是三个向量相乘的结果。

向量空间中，有两种方法将三个向量相乘，得到三重积，分别称作标量三重积和向量三重积。

设a，b，c是空间中三个向量，则（a×b）·c称为三个向量a，b，c的混合积，记作[abc]或（a，b，c）或（abc）。

在物理学和工程学中，几何向量更常被称为矢量。

许多物理量都是矢量，比如一个物体的位移，球撞向墙而对其施加的力等。

与之相对的是标量，即只有大小而没有方向的量。

一些与向量有关的定义亦与物理概念有密切的联系，例如向量势对应于物理中的势能。

双重向量积展开公式的两个新证明及应用

双重向量积展开公式的两个新证明及应用潘朝毅【期刊名称】《《成都师范学院学报》》【年(卷),期】2019(035)011【总页数】4页(P108-111)【关键词】双重向量积; 展开公式; 距离公式【作者】潘朝毅【作者单位】成都师范学院数学学院成都 611130【正文语种】中文【中图分类】O182.21 引言向量积是大学数学向量代数教学中的一个重要内容，而给定空间三向量，先作其中两个向量的向量积，再作所得向量与第三个向量的向量积，那么最后得到的结果仍然是一向量，叫做所给三向量的双重向量积。

例如(a×b)×c就是三向量a,b,c的一个双重向量积，根据向量积的定义，立即知道(a×b)×c与向量c垂直，并且它与a×b垂直，而a,b也与a×b垂直，所以(a×b)×c和a,b共面。

双重向量积的上述几何关系可以更精确地表达为下面的双重向量积展开公式：(a×b)×c=(a·c)b-(b·c)a由于该公式的重要性，它在众多解析几何教材里均以定理形式出现，在证明思路上则各有不同，也有不少文献提出了部分优化改进，包括基于几何直观的证明。

当向量a与b共线时双重向量积展开公式显然成立，故下文讨论默认仅考虑a与b不共线的情形。

该公式现有的各种证明大致可以分为四类：(1)坐标计算法，教材[1-2]通过建立坐标系的方法给出证明，实质是一种计算验证，学生容易掌握，但是比较繁琐，文献[3]则通过精心选择坐标系，达到了减少计算量的目的，但此类证明最大的缺憾是未能体现该公式本身的思想和形成过程，不利于学生认知结构的正确形成。

(2)待定系数法，由平面向量基本定理及三向量a,b,(a×b)×c共面，一定存在唯一系数λ和μ使(a×b)×c=λa+μb，教材[4-6]的证明均是通过用任意向量c对此等式两边分别作数量积，得到0=λ(a·c)+μ(b·c)，再采用不同的方法去证明λ=-(b·c)和μ=(a·c)，相关细节包括文献[7-8]所作的改进工作作者曾在文献[9]中作了简评，这里不再赘述。

用综合法证明二重向量积公式

用综合法证明二重向量积公式今天就来说说向量的双外积公式的证明。

很多资料都是用的坐标法加以证明,即将三个向量的坐标写出来，利用叉乘的坐标公式将等式左边展开，然后再凑成等式右边的形式。

讲真的，总感觉这只是验证而不是证明。

而且坐标法仅仅在表面上证明了这个式子，并没有展示出这个公式更本质的内涵。

所以我个人一直对这个证明不满意。

前几天复习解析几何，趁机又想了一遍。

得到了简洁明了的证明。

让我们看一看。

Q ：求证： a\times(b\times c)=(a\cdot c)b-(a\cdot b)c在正式的证明之前，我们先提出一个恒等式（解线性方程时用）：a^2b^2=(a\times b)^2+(a\cdot b)^2\\Pf :我们这里只考虑三个向量均为非零且不共线的情况：显然向量 b、c、b\times c 不共面，可以考虑作为空间的一组基。

于是对于向量 a ： \exists \alpha、\beta、\gamma\in R s.t.a=\alpha b+\beta c+\gamma(b\times c)\\所以，LST=(\alpha b+\beta c+\gamma(b\times c))\times(b\times c)\\ \quad=\alpha b\times(b\times c)+\betac\times(b\times c)我们考察这个公式的一个退化形式：当 a=b 时，应有 b\times(b\times c)=(b\cdot c)b-b^2c下面我们来证明之：显然，由右手定则 b\times(b\times c)、b、c 是共面的。

于是 \exists \lambda、\mu\in Rs.t.b\times(b\times c)=\lambda b+\mu c\\等式两边分别与向量 b、c 做数量积：\begin{cases} \lambda b^2+\mu(b\cdot c)=0\\\lambda(b\cdot c)+\mu c^2=-(b\times c)^2 \end{cases}\\由克莱默（Cramer）法则，求得：\begin{cases} \lambda=(b\cdot c)\\ \mu =-b^2\end{cases}\\因此，我们证明了双外积公式的退化形式。

双重矢量积公式推导

双重矢量积公式推导
双重矢量积公式是向量分析中常用的公式之一，它可以用来求解两个向量的夹角以及它们的正交向量。

下面，我们来推导一下双重矢量积公式。

假设有两个向量A和B，它们的叉积为C=A×B。

我们将向量A和B表示成它们在某一直角坐标系下的坐标，即A=(ax,ay,az)和
B=(bx,by,bz)。

那么，它们的叉积C=(cx,cy,cz)就可以表示为：
cx=aybzazby
cy=azbxaxbz
cz=axbyaybx
现在，我们要求解向量C和一个新的向量D=(dx,dy,dz)的叉积E=C×D。

我们也将向量D表示成它在该直角坐标系下的坐标。

根据叉积的定义，我们可以将向量E表示为：
Ex=cydzczdy
Ey=czdxcxdz
Ez=cxdycydx
将向量C的坐标代入上面的式子，我们可以得到：
Ex=(aybzazby)dz(axbyaybx)dy
Ey=(azbxaxbz)dx(aybzazby)dz
Ez=(axbyaybx)dy(azbxaxbz)dx
这就是双重矢量积公式，它可以用来求解向量C和向量D的夹角以及它们的正交向量E。

需要注意的是，双重矢量积公式的推导过程涉及到向量的坐标表示，因此需要在直角坐标系下进行计算。

此外，双重矢量积公式还有一些其他的性质和应用，例如用于计算微分形式的外积等。

二重外积公式

二重外积公式二重外积公式是矢量分析中的重要公式之一，也被称为三重积公式或混合积公式。

它用于计算三个向量的混合积，其结果是一个标量，表示这三个向量所张成的平行六面体的有向体积。

设有三个向量a、b和c，其三重积定义为：[a, b, c] = a·(b×c)其中，a·b表示向量a和向量b的点积，a×b表示向量a和向量b的叉积。

在坐标系为右手系时，二重外积公式可表示为：[a, b, c] = det(a, b, c)其中，det表示行列式。

根据二重外积公式，我们可以得到一些相关的参考内容。

1. 二重外积公式的物理意义：二重外积公式描述了三个向量所张成的平行六面体的有向体积。

这个有向体积在物理学中有广泛的应用，如电磁场中的电流线管、旋转刚体的角动量等都可以通过二重外积公式进行计算。

2. 行列式的计算：二重外积公式中使用了行列式的概念，因此在理解二重外积公式时，对行列式的计算方法有一定的了解是必要的。

行列式是线性代数中矩阵的一种特殊形式，它在矩阵计算、线性方程组求解等领域都有着重要的应用。

3. 平行六面体的几何性质：根据二重外积公式，我们可以知道三个向量所张成的平行六面体的有向体积。

通过研究这个平行六面体的几何性质，我们可以深入理解二重外积公式的意义。

例如，平行六面体的六个面都平行于向量a、b、c中的某两个向量，而垂直于第三个向量，这些性质都可以从二重外积公式中得到。

4. 二重外积公式的应用：二重外积公式在物理学、工程学等领域有广泛的应用。

例如，在静电学中，根据三重积公式可以计算电荷分布产生的电场强度；在动力学中，可以计算旋转刚体的角动量；在电磁学中，可以计算电流线管中的电流。

通过具体的应用案例，可以帮助读者更好地理解和运用二重外积公式。

总结：二重外积公式是矢量分析中的重要公式之一，它可以用于计算三个向量的混合积，即三个向量所张成的平行六面体的有向体积。

通过理解二重外积公式的物理意义、行列式的计算方法、平行六面体的几何性质以及应用案例，可以更好地掌握和运用这个公式。

向量与坐标知识点总结

解析几何复习知识点总结第一章向量与坐标第一节向量的概念：空间中具有大小和方向的量叫做空间向量。

向量的大小叫做向量的长度或模（moduius)。

规定，长度为0的向量叫做零向量，记为0.模为1的向量称为单位向量。

与向量a长度相等而方向相反的向量，称为a的相反向量。

记为-a方向相等且模相等的向量称为相等向量。

长度为一个单位（即模为1）的向量，叫做单位向量．与向量a同向，且长度为单位1的向量，叫做a方向上的单位向量，记作a0，a0=a/|a|。

1共线向量定理两个空间向量a,b向量(b向量不等于0），a∥b的充要条件是存在唯一的实数λ，使a=λb2共面向量定理如果两个向量a,b不共线，则向量c与向量a,b共面的充要条件是：存在唯一的一对实数x,y,使c=a x+b y3空间向量分解定理如果三个向量a、b、c不共面，那么对空间任一向量p，存在一个唯一的有序实数组x，y，z，使p=x a+y b+z c。

任意不共面的三个向量都可作为空间的一个基底，零向量的表示唯一。

1.2 向量的加法三角形定则解决向量加减的方法：将各个向量依次首尾顺次相接，结果为第一个向量的起点指向最后一个向量的终点。

平行四边形定则解决向量加法的方法：将两个向量平移至公共起点，以向量的两条边作平行四边形，向量的加法结果为公共起点的对角线。

平行四边形定则解决向量减法的方法：将两个向量平移至公共起点，以向量的两条边作平行四边形，结果由减向量的终点指向被减向量的终点。

（平行四边形定则只适用于两个非零非共线向量的加减。

）坐标系解向量加减法：在直角坐标系里面,定义原点为向量的起点.两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差若向量的表示为(x,y)形式,A(X1,Y1) B(X2,Y2)，则A+B=（X1+X2，Y1+Y2），A-B=（X1-X2，Y1-Y2）简单地讲：向量的加减就是向量对应分量的加减。

类似于物理的正交分解。

向量加法的运算律：交换律：a+b=b+a；结合律：(a+b)+c=a+(b+c)。