高中数学必修3讲义 专题1.1 算法与程序框图

1．算法的概念

12世纪的算法是指用阿拉伯数字进行算术运算的过程

数学中的算法算法通常是指按照一定规则解决___________的明确和有限的步骤现代算法通常可以编成计算机程序，让计算机执行并解决问题

算法具有确定性、有效性、有限性等特征．

算法设计与一般意义上的解决问题不同，它是对一类问题的一般解法的抽象与概括，主要借助一般的问题解决方法，又要包括此类问题的所有情形．它往往是把问题的解决划分为若干个可执行的步骤，有时甚至是重复多次，但最终都必须在有限个步骤之内完成．

（1）用数学语言描述算法解决问题的过程大体可分为三步：

第一步，明确问题的性质，分析题意．

我们将问题简单地分为数值问题和非数值问题，不同类型的问题可以有针对性地采用不同的方法进行处理．

第二步，建立问题的描述模型．

对于数值型问题，可以建立数学模型，通过数学语言来描述问题．对于非数值型问题，我们可以建立过程模型，通过过程模型来描述问题．

第三步，设计、确立算法．

对于数值型问题，我们可以采用数值分析的方法进行处理，数值分析中有许多现成的固定算法，我们可以直接使用．当然我们也可以根据问题的实际情况设计算法．对于非数值型问题，根据过程模型分析算法并进行处理，也可以选择一些成熟的办法进行处理，如排序、递推等．

（2）算法设计应注意：

①与解决问题的一般方法有联系，从中提炼出算法；

②将解决问题的过程分为若干个可执行步骤；

③引入有关的参数或变量对算法步骤加以表达；

④用最简练的语言将各个步骤表达出来；

⑤算法的执行要在有限步内完成．

2．程序框图

程序框图又称流程图，是一种用___________、___________及___________来表示算法的图形．程序框图是人们用来描述算法步骤的形象化的方法．

在程序框图中，一个或几个程序框的组合表示算法中的一个步骤；带有方向箭头的流程线将程序框连接起来，表示算法步骤的执行顺序．另外，程序框内还要有必要的文字说明．构成程序框图的图形符号、名称及其功能如下表：

图形符号名称功能

终端框(起止框) 表示一个算法的起始和结束

输入、输出框表示一个算法输入和输出的信息

处理框(执行框) 赋值、计算

判断某一条件是否成立，成立时在出口处标明

判断框

“是”或“Y”；不成立时标明“否”或“N”

流程线连接程序框

连接点连接程序框图的两部分

说明：一个完整的程序框图一定会包含终端框（用于表示一个算法的开始和结束），处理框（赋值、计算，算法中处理数据需要的算式、公式等）和流程线．

3．算法的三种基本逻辑结构

通常一个算法只能由三种基本逻辑结构构成，这三种基本逻辑结构分别是：顺序结构、条件结构和循环结构．

（1）顺序结构

顺序结构是由若干个___________的步骤组成的．这是任何一个算法都离不开的基本结构．

顺序结构可以用程序框图表示为

顺序结构是最简单的算法结构，语句与语句之间，框与框之间是按从上到下的顺序进行的，其中A和B 两个框是依次执行的，只有在执行完A框所指定的操作后，才能接着执行B框所指定的操作，顺序结构各步骤之间不能随便调换，调换后可能会使算法不能运行或错误．

（2）条件结构

在一个算法中，经常会遇到一些条件的判断，算法的流程根据___________有不同的流向．条件结构就是处理这种过程的结构．

条件结构对应的程序框图如图所示：

（1）（2）

注意：①无论条件是否成立，图（1）中只能执行“步骤A”框或“步骤B”框，但不可以既执行“步骤A”又执行“步骤B”，也不可以“步骤A”和“步骤B”都不执行；“步骤A”和“步骤B”中可以有一个是空的，如图（2）所示．

②在利用条件结构画程序框图时，必须清楚判断的条件是什么，条件判断后分别对应着什么样的结果．（3）循环结构

在一些算法中，要求___________同一操作的结构称为循环结构．即从算法某处开始，按照一定的条件反复执行某些步骤．反复执行的步骤称为循环体．

循环结构有两种形式：直到型循环结构和当型循环结构．

①直到型循环结构

直到型循环结构可以用程序框图表示为：

这个循环结构有如下特征：在执行了一次循环体后，对条件进行判断，如果条件不满足，就继续执行循环体，直到条件满足时终止循环．

②当型循环结构

当型循环结构可以用程序框图表示为：

这个循环结构有如下特征：在每次执行循环体前，先对控制循环的条件进行判断，当条件满足时，执行循环体，否则终止循环．

4．程序框图的画法

在用自然语言表述一个算法后，可以画出程序框图，用顺序结构、条件结构和循环结构来表示这个算法．这样表示的算法清楚、简练，便于阅读和交流．

设计一个算法的程序框图通常要经过以下步骤：

注意：流程线不要忘记画箭头，因为它是反映流程执行先后次序的，若不画出箭头，则难以判断各框的执行顺序．

K知识参考答案：

3．（1）依次执行（2）条件是否成立（3）反复执行

K—重点程序框图的画法，条件结构，循环结构

K—难点循环结构及其循环控制条件的理解与应用

K—易错画程序框图时误选逻辑结构

1．算法的概念

常见的设计算法的问题有解方程（组）问题、直接应用数学公式求解的问题、筛选问题、实际生活问题等，设计算法时要注意：

（1）认真分析问题，联系解决此问题的一般数学方法；

（2）综合考虑此类问题中可能涉及的各种情况；

（3）将解决问题的过程划分为若干个步骤．

【例1】已知直角三角形两直角边长为a，b，求斜边长c的一个算法分下列三步：

①计算22

+；

c a b

②输入直角三角形两直角边长a，b的值；

③输出斜边长c的值；

其中正确的顺序是

A．①②③B．②③①C．①③②D．②①③

【答案】D

【解析】由算法规则得：第一步：输入直角三角形两直角边长a，b的值，第二步：计算22

c a b

=+

三步：输出斜边长c的值；这样，就是求斜边长c的一个算法．故选D．