南宁市高考数学二轮复习专题10：解析几何(I)卷

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高三数学二轮复习专题突破课件：解析几何

3
A．[1，＋∞) B．[－1，－ )
3
C．( ，1]
4
4
D．(－∞，－1]
答案：B
解析：∵y＝kx＋4＋2k＝k(x＋2)＋4，所以直线过定点(－2，4)，曲线y＝
4 − x 2 变形为x2＋y2＝4(y≥0)，表示圆的上半部分，当直线与半圆相切时直线斜
3
率为k＝－，当直线过点(2，0)时斜率为－1，结合图象可知实数k的取值范围是
a=2
所以 ሺ2 − 3 − ሻ2 + 2 = 2 ，解得 b = 1 .
r=2
2 + ሺ1 − ሻ2 = 2
所以圆的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4.
4．[2023·广东深圳二模]过点(1，1)且被圆x2 ＋y2 －4x－4y＋4＝0所
x＋y－2＝0
截得的弦长为2 2的直线的方程为___________．
－2)的距离为 2 − 0 2 + 0 + 2 2 ＝2 2，由于圆心
α
2
5
＝
2 2 2 2
α
αபைடு நூலகம்
α ＝ 2sin cos ＝
2
2
与点(0，－2)的连线平分角α，所以sin ＝
10
α
6
，所以 cos ＝，所以 sin
4
2
4
10
6
15
2×
× ＝ .故选B.
4
4
4
r
＝
(2)[2023·河南郑州二模]若圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：(x－a)2＋(y－b)2
解析：圆x2＋y2－4x－4y＋4＝0，即(x－2)2＋(y－2)2＝4，
圆心为(2，2)，半径r＝2，

广西南宁市第二中学2023届高三高考考前模拟大演练数学(理)试题(含答案解析)

广西南宁市第二中学2023届高三高考考前模拟大演练数学（理）试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题A ．{}2-B ．{3．如图所示是世界人口变化情况的三幅统计图：下列结论中错误的是（）A ．从折线图能看出世界人口的总量随着年份的增加而增加B ．2050年亚洲人口比其他各洲人口的总和还要多C ．2050年南美洲及大洋洲人口之和与欧洲人口基本持平D ．1957年到2050年各洲中北美洲人口增长速度最慢4．如图，某几何体的正视图与侧视图都是边长为体的俯视图可以是（）．．．．A ．30B ．1209．在《最强大脑》的节目中，作为脑力角逐的考题，阿基米德多面体成为了难倒一众天才的“元凶”，因此“一夜爆红”.“的正多边形围成的多面体，它体现了数学的对称美20个正六边形构成的阿基米德多面体体，这是一个有八个面为正三角形，六个面为正方形的的棱长为1，则经过该多面体的各个顶点的球的表面积为（A ．4π3B ．2π10．已知椭圆(2222:1x y C a b a b+=>1260F PF ∠=︒，点2F 到直线1PF 的距离为A ．33B ．2211．已知ABC 中，角A ，B ，C 近点A ）且1CD =，()sin a b A -A ．23二、填空题三、解答题(1)若点G 是111A B C △的重心，证明：点(2)求二面角11B BM C --的正切值19．为响应党中央“扶贫攻坚收入.紫甘薯对环境温度要求较高，根据以往的经验，随着温度的升高，其死亡株数成增长的趋势.下表给出了2021温度x /℃212324死亡数y /株61120经计算，611266i i x x ===∑，y ()6213930ii yy=-=∑，(61i i y =-∑温度和死亡株数，1,2,3,4,5,6i =(1)若用一元线性回归模型，求(2)若用非线性回归模型求得为20.9432R =.（ⅰ）试与（1）中的回归模型相比，用（ii ）用拟合效果好的模型预测温度为参考答案：【分析】依次填涂“火”、“土”、“金”、“水”、“木”，分别确定每个区域的涂色方法种数，结合分类加法分步乘法计数原理可得结果.【详解】由题意可知，要求五行相生不能用同一种颜色（例如木生火，木与火不能同色，水生木，水与木不能同色），五行相克可以用同一种颜色（例如火与水相克可以用同一种颜色），不妨设四种颜色分别为A 、B 、C 、D ，先填涂区域“火”，有4种选择，不妨设区域“火”填涂的颜色为A ，接下来填涂区域“土”，有3种选择，分别为B 、C 、D ，若区域“土”填涂的颜色为B ，则区域“金”填涂的颜色分别为A 、C 、D ；若区域“土”填涂的颜色为C ，则区域“金”填涂的颜色分别为A 、B 、D ；若区域“土”填涂的颜色为D ，则区域“金”填涂的颜色分别为A 、B 、C .综上所述，区域“金”填涂A 、B 、C 、D 的方案种数分别为3、2、2、2种，接下来考虑区域“水”的填涂方案：若区域“金”填涂的颜色为A ，则区域“水”填涂的颜色可为B 、C 、D ；若区域“金”填涂的颜色为B ，则区域“水”填涂的颜色可为A 、C 、D ；若区域“金”填涂的颜色为C ，则区域“水”填涂的颜色可为A 、B 、D ；若区域“金”填涂的颜色为D ，则区域“水”填涂的颜色可为A 、B 、C .则区域“水”填涂A 的方案种数为236⨯=种，填涂B 的方案种数为3227+⨯=种，填涂C 的方案种数为3227+⨯=种，填涂D 的方案种数为3227+⨯=种.从区域“火”、“土”、“金”填涂至区域“水”，填涂区域“水”的方案还和填涂区域“木”有关，当区域“水”填涂的颜色为A 时，区域“木”填涂的颜色可为B 、C 、D ；若区域“水”填涂的颜色为B 时，区域“木”填涂的颜色可为C 、D ；若区域“水”填涂的颜色为C 时，区域“木”填涂的颜色可为B 、D ；若区域“水”填涂的颜色为D 时，区域“木”填涂的颜色可为B 、C .所以，当区域“火”填涂颜色A 时，填涂方案种数为6372360⨯+⨯⨯=种.因此，不同的涂色方法种数有460240⨯=种.故选：D.【点睛】方法点睛：求解涂色（种植）问题一般直接利用两个计算原理求解：（1）按区域的不同以区域为主分步计数，用分步乘法计数原理分析；（2）以颜色（种植作物）为主分类讨论，适用于“区域、点、线段”问题，用分类加法计数由于多面体的棱长为1，所以正方体的棱长为因为该多面体是由棱长为所以该多面体外接球的球心为正方体对角线的中点，其外接球直径等于正方体的面对角线长，即所以经过该多面体的各个顶点的球的表面积故选：C 10．A【分析】设21F M PF ⊥于M 1MF ，然后在12Rt MF F △中利用勾股定理列方程可求出离心率【详解】如图，设2F M PF ⊥则由题意得233F M a =，∴13PM a =，223PF a =，由椭圆定义可得12PF PF +∴1MF a =，在12Rt MF F △中，由勾股定理得11．A【分析】由正余弦边角关系可得cos ∠π3BCD θ∠=-，且π03θ<<，利用正弦定理、和差角正弦公式得可求最大值.【详解】由()()()a a b c b c b -=+-，则所以2221cos 22a b c ACB ab +-∠==，ACB ∠设ACD θ∠=，则π3BCD θ∠=-，且△ACD 中sin sin AD CDAθ=，则sin AD A ⋅△BCD 中πsin sin()3BD CDB θ=-，则BD ⋅又223cBD AD ==，即(sin 2sin 3c A +外接圆半径），所以31(2sin 4sin )sin 62R A R B θ+=+又ππ2π333θ<+<，故π3θ+故选：A对于①：因为BD 、BM 相交，P 为线段BM 的中点，O 为线段BD 的中点，所以DP 与OM 共面，故①错误；对于②：因为11B DBM M B BD V V --=，1111ABCD A B C D -是正方体，所以11//CC BB ，因为1CC ⊄平面11BB D D ，1BB ⊂平面11BB D D ，所以1//CC 平面11BB D D ，所M 到面1B BD 的距离不变，所以1B DBM V -为定值，故②正确；对于③：当M 为1CC 中点时，OM 为1ACC △的中位线，1//OM AC ，因为1AC ⊄平面BDM ，OM ⊂平面BDM ，【详解】由题意可知，抛物线28y x =的焦点为),y ，则由抛物线的定义得2224)816y x x -+=-+2最小，则应有PB =22|16|3PA x PB x +=+.，则3x t =-，2(3)16t t -+2625t t t -+=2|0|>，显然有0t >，则由基本不等式知252t t t +≥的最小值为1064-=故答案为：4.因为点G 是111A B C △的重心，故因为点M 是AC 的中点，点N 所以()11122MN AA CC =+==又111////AA BB CC ，所以//MN 因为点1G B N ∈，1B N ⊂平面所以点∈G 平面1BB NM ，即点（2）解：以1A 为原点，11A B 1A A 所在直线为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则()12,0,0B 、()2,0,2B 、C 133,222MB ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭,，MB 设平面1BMB 与平面1BMC 的法向量分别为则111113322233022m MB x y m MB x y ⎧⋅=--⎪⎪⎨⎪⋅=-=⎪⎩2212223302213222n MB x y n MC x y z ⎧⋅=-=⎪⎪⎨⎪⋅=+-⎪⎩所以4cos ,2m n m n m n ⋅==⋅所以，sin ,tan ,cos ,m n m n m n=由图可知，二面角1B BM -19．(1)ˆ7149yx =-；(2)①0.2306ˆ0.06e x y=；②192.【分析】（1）根据题意，利用最小二乘法即可求出回归方程；由OA OB ⊥得直线OB 方程为：由24y kx y x=⎧⎨=⎩，解得244,A k k ⎛⎫ ⎪⎝⎭，由214y x k y x⎧=-⎪⎨⎪=⎩，解得(24,4B k -由2APB APO ∠=∠得OPA ∠=()0,0P x ，则由（1）得直线PA 斜率PA k 由OPA OPB ∠=∠得PA PB k k +=整理得()()20140k x -+=，显然当04x =-时，对任意不为即当04x =-时，0PA PB k k +=恒成立，所以x 轴上存在点()4,0P -使得【点睛】处理定点问题的思路：（1）确定题目中的核心变量（此处设为（2）利用条件找到k 与过定点的曲线（3）所谓定点，是指存在一个特殊的点此时要将关于k 与,x y 的等式进行变形，直至找到存在00x >，使对任意(00,x x ∈则不等式()()2f x g x x >-等价于。

广西南宁市2023届高三二模数学(理)试题(1)

一、单选题二、多选题1. 已知函数恒过定点，则的最小值为（）．A．B．C ．3D．2. 已知向量，，若实数λ满足，则（）A．B．C．D ．13. 若，则（）A．B．C．D．4.已知集合，，则（）A．B．C．D．5. 抛物线的焦点为，准线为，、是抛物线上的两个动点，且满足.设线段的中点在上的投影为，则的最大值是（）.A．B．C．D．6. 已知椭圆：，的左、右焦点分别为，，为椭圆上异于长轴端点的一点，的内心为，直线交轴于点，若，则椭圆的离心率是（）A．B．C．D．7.已知函数，则满足的的取值范围为（）A．B．C．D．8. 已知函数，，当时，，的值分别为（）A ．1，0B ．0，0C ．1，1D ．0，19. 新冠阳性即新型冠状病毒核酸检测结果为阳性，其中包括无症状感染者和确诊者.无症状感染者通常没有症状.或仅出现感胃、干咳、咽痛、乏力等轻微症状，患者并未出现明显不适感，不影响患者正常生活，但患者新型冠状病毒核酸检测的结果呈阳性；确诊者的症状比较明显，患者常表现为发热、头痛、眩晕、呼吸困难等症状，影响患者的正常生活，经CT 、B 超等影像学检查，发现患者肺组织出现明显的变化，并且新型冠状病毒核酸检测的结果也呈阳性.下图是某地某月2日至16日的新冠疫情病例新增人数的折线统计图，则下列结论错误的是（）A ．新增阳性人数每天都不超过100人B ．新增的无症状感染者总人数少于确诊总人数广西南宁市2023届高三二模数学（理）试题(1)广西南宁市2023届高三二模数学（理）试题(1)三、填空题四、解答题C ．新增阳性人数最多的一天是12日D ．每天新增确诊病例人数的中位数是4310. 已知函数，的图象与直线y=m 分别交于A 、B 两点，则（）.A．B ．，曲线在A 处的切线总与曲线在B 处的切线相交C ．的最小值为1D ．∃，使得曲线在点A 处的切线也是曲线的切线11. 已知函数，将图象上所有的点向右平移个单位长度，得到函数的图象，则下列说法正确的是（）A．B．在区间上有6个零点C ．直线是图象的一条对称轴D．若对任意的恒成立，则12.已知一组样本数据，现有一组新的，则与原样本数据相比，新的样本数据（）A ．平均数不变B ．中位数不变C ．极差变小D ．方差变小13. 若集合A ＝{x |x ≤2}、B ＝{x |x ≥a }满足A ∩B ＝{2}，则实数a ＝ .14. 函数的极小值为______．15.在中，、、分别为角的对边，且满足，则角A 的大小是______.16. 在中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c，且．(1)求角A 的大小；(2)若，，点D为边上一点，且，求的面积大小．17. 直播带货是一种直播和电商相结合的销售手段，目前已被广大消费者所接受.针对这种现状，某公司决定逐月加大直播带货的投入，直播带货销售金额稳步提升，以下是该公司2023年前6个月的带货金额：月份123456带货金额万元25435445495416542054(1)根据统计表中的数据，计算变量与的样本相关系数，并判断两个变量与的相关程度（若，则认为相关程度较强；否则没有较强的相关程度，精确到0.01）；(2)若与的相关关系拟用线性回归模型表示，试求关于的经验回归方程，并据此预测2023年10月份该公司的直播带货金额（精确到整数）.附：经验回归方程，其中，样本相关系数；参考数据：.18. 已知函数.(1)若，求函数的单调区间；(2)若函数有两个零点，求实数的取值范围.19. 某地区未成年男性的身高（单位：cm）与体重平均值（单位：kg）的关系如下表1：表1 未成年男性的身高与体重平均值身高/cm60708090100110120130140150160170体重平均值/kg直观分析数据的变化规律，可选择指数函数模型、二次函数模型、幂函数模型近似地描述未成年男性的身高与体重平均值之间的关系．为使函数拟合度更好，引入拟合函数和实际数据之间的误差平方和、拟合优度判断系数（如表2）．误差平方和越小、拟合优度判断系数越接近1，拟合度越高．表2 拟合函数对比函数模型函数解析式误差平方和指数函数二次函数幂函数(1)问哪种模型是最优模型？并说明理由；(2)若根据生物学知识，人体细胞是人体结构和生理功能的基本单位，是生长发育的基础．假设身高与骨细胞数量成正比，比例系数为；体重与肌肉细胞数量成正比，比例系数为．记时刻的未成年时期骨细胞数量，其中和分别表示人体出生时骨细胞数量和增长率，记时刻的未成年时期肌肉细胞数量，其中和分别表示人体出生时肌肉细胞数量和增长率．求体重关于身高的函数模型；(3)在（2）的条件下，若，．当刚出生的婴儿身高为50cm时，与（1）的模型相比较，哪种模型跟实际情况更符合，试说明理由．注：，；婴儿体重符合实际，婴儿体重较符合实际，婴儿体重不符合实际．20. 已知函数．(1)求的最小正周期；(2)求的最大值、最小值．21. 已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，离心率为，过椭圆上一点，作轴的垂线，垂足为.（1）求椭圆的方程；（2）过点的直线交椭圆于，两点，且，求直线的方程.。

广西南宁市2017届高三第二次模拟考试数学(理)试题扫描版含答案

2017年南宁市高中毕业班第二次适应性测试数学试卷（理科）评分标准一、选择题1．已知集合{}|310A x x =+<，{}2|610B x x x =--≤,则=B A A. 11[,]32- B. Φ C. 1(,)3-∞ D.1{}3 【答案】B2．复数11ia +(R)a ∈在复平面内对应的点在第一象限，则a 的取值范围是 A. 0<a B. 10<<a C. 1>a D. 1-<a 【答案】A3．若椭圆C ：12222=+by a x (0)a b >>的短轴长等于焦距，则椭圆的离心率为 A. 21 B. 33 C. 22 D. 42 【答案】C4．在ABC ∆中，53cos =B ，65==AB AC ，，则角C 的正弦值为 A. 2524 B. 2516 C. 259 D. 257 【答案】A 5．如图是一个几何体的三视图，则该几何体的体积是 A.31 B. 32 C. 1 D. 43【答案】D 6．已知向量），（01=a ，），（21=b ，向量c 在a 方向上的投影为2. 若c //b ，则c 的大小为A.. 2B. 5C. 4D. 52 【答案】D 7．执行如图的程序框图，输出的S 的值是A. 28B. 36C. 45D. 55 【答案】C8．若以函数()0sin >=ωωx A y 的图像中相邻三个最值点为顶点的三角形是面积为1的直角三角形，则ω的值为第7题图A.1B. 2C. πD. π2 【答案】C9．已知底面是边长为2的正方形的四棱锥ABCD P -中，四棱锥的侧棱长都为4,E 是PB 的中点，则异面直线AD 与CE 所成角的余弦值为A.B. C.12D. 2【答案】A 10.定义,,min{,},>,a ab a b b a b ≤⎧=⎨⎩设21()=min{,}f x x x ，则由函数()f x 的图像与x 轴、直线=2x 所围成的封闭图形的面积为A.712 B. 512 C. 1+ln 23 D. 1+ln 26【答案】C 11．函数11()33x f x -=-是 A. 奇函数 B. 偶函数C. 既是奇函数也是偶函数D. 既不是奇函数也不是偶函数【答案】D12．设实数e d c b a ,,,,同时满足关系:,8=++++e d c b a 1622222=++++e d c b a ，则实数e 的最大值为A.2B.516 C. 3 D. 25【答案】B 解：将题设条件变形为2222216,8e d c b a e d c b a -=+++-=+++，代入由柯西不等式得如下不等式222222222(1111)(1111)()a b c d a b c d ⋅+⋅+⋅+⋅≤++++++有)16(4)8(22e e -≤-，解这个一元二次不等式，得.5160≤≤e 所以，当56====d c b a 时，实数e 取得最大值.516 二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分. 把答案填答题卷相应题中横线上.13．设变量y x ,满足约束条件22344x y x y x y -≤⎧⎪+≤⎨⎪-≥-⎩,则目标函数2z y x =-的最大值是【答案】1414若锐角βα,满足54sin =α，32)tan(=-βα，则=βtan ▲ ．【答案】176 15. 过动点M 作圆:22221x y -+-=（）（）的切线MN ,其中N 为切点，若||||MO MN =(O 为坐标原点)，则||MN 的最小值是 ▲ . 【答案】827 16．定义在R 上的函数()f x ，如果存在函数()g x ax b =+，(,a b 为常数），使得()()f x g x ≥对一切实数x 都成立，则称()g x 为函数()f x 的一个承托函数.给出如下命题:①函数()2g x =-是函数ln ,0,()1,0x x f x x >⎧=⎨≤⎩的一个承托函数; ②函数()1g x x =-是函数()sin f x x x =+的一个承托函数;③若函数()g x ax =是函数()f x =e x 的一个承托函数,则a 的取值范围是[0,e]; ④值域是R 的函数()f x 不存在承托函数.其中正确的命题的个数为 ▲ . 【答案】2三．解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17． (本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．）已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足:*2,2N n n n S n ∈+=.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）记数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，求证：16n T <. 解：（1）第一类解法：当n=1时，13a =....................................................................................................1分当2n ≥时1--=n n n S S a .....................................................................................2分 222(1)2(1)n n n n =+----................................................................................3分 21n =+....................................................................................................................4分而13a =也满足21n a n =+...................................................................................5分 ∴数列{}n a 的通项公式为12+=n a n .................................................................................6分第二类解法：1--=n n n S S a ........................................................................................1分222(1)2(1)n n n n =+----.....................................................................2分21n =+......................................................................................................3分∴数列{}n a 的通项公式为12+=n a n .................................................................................4分第三类解法：113a S ==..........1分; 221a S S =-.......1分;12+=n a n ...........1分,共3分第四类解法：由S n 22n n =+可知{}n a 等差数列.........................................................................2分且13a =，212132d a a S S =-=--=...............................................................................4分 ∴数列{}n a 的通项公式为12+=n a n .................................................................................5分（2）∵12+=n a n ,∴111(21)(23)n n a a n n +=++....................................................7分 111()22123n n =-++..........................................................................8分则1111111[()().......()]235572123n T n n =-+-++-++................................................9分 111()2323n =-+.........................................................................10分 11646n =-+...........................................................................11分 1.6<...........................................................................................................................................12分 18． (本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．）某食品店为了了解气温对销售量的影响，随机记录了该店1月份中5天的日销售量y （单位：千克）与该地当日最低气温x （单位：C）的数据，如下表：（1）求出y 与x 的回归方程y b x a ∧∧∧=+；（2）判断y 与x 之间是正相关还是负相关；若该地1月份某天的最低气温为6C ，请用所求回归方程预测该店当日的销售量；（3）设该地1月份的日最低气温X ~2(,)N μσ，其中μ近似为样本平均数x ，2σ近似为样本方差2s ，求(3.813.4)PX <<. 附: ①回归方程y b x a ∧∧∧=+中, 1221()()n i ii n i i x y nx y b xn x ∧==-=-∑∑,a y b x ∧∧=-. 若X ~2(,)N μσ,则()0.6826P X μσμσ-<<+=,(22)0.9544P X μσμσ-<<+=.解：【提示：本题第（1）、（2）问与第（3）问没有太多关系，考生第（1）、（2）问做不对，第（3）问也可能做对，请老师们留意】(1) ∵令5n =,11357,5n i i x x n ====∑114595n i i y y n ====∑,.........................................1分【说明：如果考生往下算不对结果，只要上面的两个平均数算对其中一个即可给1分】 ∴1()28757928.n i i i x y nx y =-=-⨯⨯=-∑ .......................................................................2分 2221()2955750.n i i xn x =-=-⨯=∑ ...............................................................................................3分 ∴280.5650b ∧-==- ....................................................................................................4分【说明：2分至4分段，如果考生不是分步计算，而是整个公式一起代入计算，正确的直接给完这部分的分；如果结果不对，只能给1分】 ∴9(0.56)712.92.a y b x ∧∧=-=--⨯= （或者：32325） ...............................................5分∴所求的回归方程是0.5612.92y x ∧=-+ ....................................................................6分(2) 由0.560b ∧=-<知y 与x 之间是负相关， ....................................................................7分【说明：此处只要考生能回答负相关即可给这1分】将6x =代入回归方程可预测该店当日的销售量0.56612.929.56y ∧=-⨯+=(千克) （或者：23925） ....................................................................8分【说明：此处只要考生能算得正确的答案即可给这1分】(3)由(1)知7x μ==，又由2221[(27)5s σ==-22(57)(87)+-+-+22(97)(117)]-+- 10,=得3.2σ= ......................................................................................................................9分【说明：此处要求考生算对方差才能给这1分】从而(3.813.4)P X <<=(2)P X μσμσ-<<+ ..........................................................10分()P X μσμ=-<<(2)P X μμσ+<<+1()2P X μσμσ=-<<+1(22)2P X μσμσ+-<<+ ...............................................11分【说明：此处不管考生用什么方法进行变换，只要有变换过程都给这1分】 0.8185= ........................................................................12分【说明：此处是结论分1分，必须正确才给】19． (本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．）如图，已知侧棱垂直于底面的四棱柱1111-D C B A ABCD 中，==1A B A D ，,3==CD CB 60BCD ∠= ，31=CC .（1）若E 是线段A A 1上的点且满足AE E A 31=,求证: 平面EBD ⊥平面BD C 1；（2）求二面角1C C D B --的平面角的余弦值.解:(1) 解法(一): 60BCD ∠= ,,3,1====CD CB AD AB ∴90CDA ∠= ,2=C A .. ...............1分（没有这一步扣一分） ∴以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴，建立空间直角坐标系. ...............2分设M 是BD 的中点,连接1MC .........................................................................................................2分C C 1⊥平面ABCD , ,3==CD CB ∴11C D C B =.M 是BD 的中点,∴1MC ⊥BD ................................................................................................3分），（430,1E,3(4M ,)33,0(1，C,∴13(,44MC =- ,(1,0,)4DE =. ................................................ ..........4分13100444MC DE =-⨯+=,∴1MC ⊥DE ..............................................5分（证得1MC ⊥ME 或BE也行）DE与BD 相交于D, ∴1MC ⊥平面EBD .1MC在平面BD C 1内, ∴平面EBD ⊥平面BD C 1 (6)分解法(二): 设M 是BD 的中点,连接EM 和11,MC EC ..............................................................1分,,CD CB AD AB ==∴BD ⊥CA 且,,C A M 共线. ∴BD ⊥ME ,BD ⊥1MC .EA ⊥平面ABCD , C C 1⊥平面ABCD ,∴∠1EMC 是二面角1C BD E --的平面角...........................................................2分60BCD ∠= ,,3,1====CD CB AD AB∴90CDA ∠= ,13,22MA MC ==................................................3分(正确计算出才给这1分)AE E A 31=,31=CC ,∴142EM C M ==………………4分(至少算出一个)1,4C E =.............................................................................................5分 ∴22211C E C M EM =+,即1C E ⊥EM .∴二面角1C BD E --的平面角为直角. ∴平面EBD ⊥平面BD C 1......................................................................................................6分解法(三): 60BCD ∠=,,3,1====CD CB AD AB ∴90CDA ∠=,2=C A . 以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴，建立空间直角坐标系. ...............1分设M 是BD 的中点,连接EM 和11,MC EC ..,,CD CB AD AB ==∴BD ⊥CA 且,,C A M 共线. ........................................................2分EA ⊥平面ABCD , C C 1⊥平面ABCD ,∴BD ⊥ME ,BD ⊥1MC .∴∠1EMC 是二面角1C BD E --的平面角 (3)分则），（430,1E ，)33,0(1，C,3(,44M ......................4分(至少正确写出一个点的坐标)∴1(,4ME =,13(4MC =- .∴113()(044ME MC ∙=⨯-+= ................................5分 ∴ME ⊥1MC,∠190EMC = ,二面角1C BD E --的平面角为直角,平面EBD ⊥平面BD C 1................................................6分解法四: 连结AC ,11AC ,11B D ,交点为O 和N ，如图. 60BCD ∠=,,3,1====CD CB AD AB∴90CDA ∠= ,2=C A .以O 为原点，OB 为x 轴，OC 为y 轴，ON 为z 轴，建立空间直角坐标系. ...............1分则O 是BD 的中点.C C 1⊥平面ABCD , ,3==CD CB O 是BD 的中点,∴11C D C B =. O 是BD 的中点,∴1OC ⊥BD ............3分1,24E-（0，）,(0)2B ，,13(0,2C ，∴13(0,2OC =,1(,224BE =-- .1310()022OC BE =+⨯-+= ,∴1OC ⊥BE (5)分BE与BD 相交于O , ∴1OC ⊥平面EBD . 1OC在平面BD C 1内, ∴平面EBD ⊥平面BD C 1 (6)分(2) 解法一: (若第1问已经建系)(1,0,0)A ，DA ⊥平面1C DC ，∴(1,0,0)DA =是平面1C DC 的一个法向量...........8分32B （,1C ，3(2DB =，1DC =设平面BD C 1的法向量是(,,)m x y z = ,则10,0m DB m DC ⎧=⎪⎨=⎪⎩，302x y ⎧+=⎪⎨=，取1,x =得y z ==平面BD C 1的法量(1,m =...................................10分【另解：由（1）知当13A E AE =时，ME ⊥平面BD C 1，则平面BD C 1的法向量是 ME=1(,4】cos ,||||DA mDA m DA m ∙<>=⨯.............................................................................................11分7=∴由图可知二面角1C C D B --的平面角的余弦值为7....................................12分解法二: (第1问未建系)60BCD ∠= ,,3,1====CD CB AD AB ∴90CDA ∠= ,2=C A 以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴，建立空间直角坐标系. ..................7分(1,0,0)A ,DA⊥平面1C DC ，∴(1,0,0)DA=是平面1C DC 的法向量 (8)分3,22B （，0）,1C ，3(,22DB =，1DC = ,设平面BD C 1的法向量是(,,)m x y z = ,则10,0m DB m DC ⎧=⎪⎨=⎪⎩，3020x y ⎧+=⎪=，取1,x =得y z ==平面BD C 1的法量(1,m = (10)分cos ,||||DA mDA m DA m ∙<>=⨯.................................................................................................11分=.∴由图可知二面角1C C D B --.......................................12分解法三: (几何法)设N 是CD 的中点,过N 作NF ⊥D C 1于F ,连接FB ,如图.......................................................7分60BCD ∠= ,,3==CD CB ∴ NB ⊥CD .侧面D C 1⊥底面ABCD , ∴ NB ⊥侧面D C 1..........8分 NF ⊥D C 1,∴BF ⊥D C 1∴∠BFN 是二面角1C C D B --的平面角...................9分依题意可得NB =32, NFBF..................11分 ∴cos ∠BFN =NF BF∴二面角1C C D B --....................12分 20. (本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．）已知椭圆1C 和抛物线2C 有公共焦点(1,0)F ,1C 的中心和2C 的顶点都在坐标原点,过点(4,0)M 的直线l 与抛物线2C 分别相交于,A B 两点（其中点A 在第四象限内）.(1)若||4||MB AM =,求直线l 的方程;(2)若坐标原点O 关于直线l 的对称点P 在抛物线2C 上,直线l 与椭圆1C 有公共点,求椭圆1C的长轴长的最小值.解：（1）解法一:由题意得抛物线方程为24y x =.......................................................................1分设直线l 的方程为4x my =+........................................................................................................2分令211(,),4y A y 222(,),4y B y 其中10y <.由||4||MB AM =,得214y y =- (3)分联立24,4,y x x my ⎧=⎨=+⎩可得24160y my --=,12211216,4,4y y y y y y m=-⎧⎪=-⎨⎪+=⎩解得12y =-,28y =, (4)分∴32m =.........................................................................................................................................5分∴直线l 的方程为2380x y --= (6)分解法二: 由题意得抛物线方程为24y x =.....................................................................................1分设直线l 的方程为(4)y k x =-...................................................................................................2分令211(,),4y A y 222(,),4y B y 其中10y <.由||4||MB AM =,得214y y =- (3)分联立24,(4)y x y k x ⎧=⎨=-⎩可得24160ky y k --=,1221124,4,16y y k y y y y ⎧+=⎪⎪=-⎨⎪=-⎪⎩解得12y =-,28y =, (4)分∴23k =.........................................................................................................................................5分∴直线l 的方程为2380x y --= (6)分解法三: 由题意得抛物线方程为24y x =.................................................................................1分设直线l 的方程为(4)y k x =-...................................................................................................2分令11(,),A x y 22(,),B x y 其中2140,x x >>>由||4||MB AM =, 得21204,0x x k =->..............3分联立24,(4)y x y k x ⎧=⎨=-⎩可得2222(84)160k x k x k -++=,2122211284,204,16k x x k x x x x ⎧++=⎪⎪⎪=-⎨⎪=⎪⎪⎩解得11x =,216x =,...............................................................................................................4分∴2.3k =..................................................................................................................................5分∴直线l 的方程为2380x y --=.........................................................................................6分第一问得分点分析：（1）求出抛物线方程，得1分。

2021届高考二轮复习数学专题精品试卷专题十解析几何教师版(含答案)

位置关系
外离
外切
公共点个数
，则相交
内切
内含
，，的关系公切线条数 3．圆锥曲线及其性质（1）椭圆的标准方程及几何性质
标准方程
图形
焦点坐标
顶点坐标
焦点在轴上
焦点在轴上
，
，
，
，
，
,
，
长轴
短轴
焦距
范围
长轴
，是长半轴的长
短轴
，是短半轴的长
焦距
，是半焦距
，
，
离心率（2）双曲线的标准方程及几何性质
设斜率为
的直线与圆锥曲线相交于
两点，
，
，
一、选择题．
1．已知直线
和
互相平行，则实数等于（）
A．或 3 B． C． D．1 或【答案】A
【解析】∵两条直线
和
互相平行，
∴
，解得
或
．
若
，则
与
平行，满足题意；
若
，则
与
平行，满足题意，
故选 A．
【点评】本题主要考查了直线平行的条件，属于基础题．
2．直线
如果两条直线，的斜率存在，设为，，则有
；
当其中一条直线的斜率不存在，而另一条直线的斜率为时，
．
（3）两条直线的交点的求法
直线：
，：
，
则与的交点坐标就是方程组（4）三种距离公式
的解．
①
，
两点之间的距离：
．
②点
到直线：
的距离：
．
③平行线
与
（5）圆的定义及方程

2023年广西南宁市高考数学二模试卷(理科)+答案解析(附后)

2023年广西南宁市高考数学二模试卷（理科）1. 已知复数，则z的虚部为( )A. B. 2i C. 2 D.2. 已知集合，，则( )A. B. C. D.3. 某商场一年中各月份的收入、支出情况的统计如图所示，则下列说法中不正确的是( )A. 支出最高值与支出最低值的比是6：1B. 利润最高的月份是2月份C. 第三季度平均收入为50万元D. 月份的支出的变化率与月份的支出的变化率相同4. 已知，且，则( )A. B. C. D.5. 一个几何体的正视图如图所示，则该几何体的俯视图不可能是( )A.B.C.D.6. 函数的图象大致是( )A. B.C. D.7. 现从3个男生2个女生共5人中任意选出3人参加某校高三年级的百日誓师大会，若选出的3人中，在有1人是女生的条件下，另2人是男生的概率为( )A. B. C. D.8. 某校运动会开幕式上举行升旗仪式，在坡度为的看台上，同一列上的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为和，第一排和最后一排的距离为如图，则旗杆的高度为( )A. 10 mB. 30 mC. mD. m9.已知椭圆与双曲线有共同的焦点，，离心率分别为，，点P为椭圆与双曲线在第一象限的公共点，且，若，则椭圆的方程为( )A. B. C. D.10. 已知函数的极值点为1，且，则的极小值为( )A. B. C. b D. 411. 如图，在矩形OABC中的曲线分别是，的一部分，，，在矩形OABC内随机取一点，若此点取自阴影部分的概率为，取自非阴影部分的概率为，则( )A. B. C. D.大小关系不能确定12. 设，，，则( )A. B. C. D.13. 已知向量，，且满足，则______ .14. 已知圆O：和直线l：，则与直线l平行且与圆O相切的直线方程为______ .15. 蹴鞠，又名“蹴球”“蹴圈”等，“蹴”有用脚蹴、踢的含义，鞠最早系外包皮革、内饰米糠的球，因而“蹴鞠”就是指古人以脚蹴、踢皮球的活动，类似今日的足球，现已知某“鞠”的表面上有四个点A，B，C，D满足，，则该“鞠”的表面积为______16. 已知当时，有…，若对任意的都有…，则______ .17. 记为各项均为正数的等比数列的前n项和，且，，成等差数列.求的通项公式；设，求的前n项和18.如图，在四棱锥中，是边长为1的正三角形，面面AMN，，，，C为PA的中点.求证：平面PMN；线段PA上是否存在点F，使二面角的余弦值为，若存在，求若不存在，请说明理由.19. 随着科技的不断发展，“智能手机”已成为人们生活中不可缺少的必需品，下表是年广西某地市手机总体出货量单位：万部统计表.年份2018年2019年2020年2021年2022年年份代码x 12345手机总体出货量万部并计算求得已知该市手机总体出货量y 与年份代码x 之间可用线性回归模型拟合，求y 关于x 的线性回归方程；预测2023年该市手机总体出货量.附：线性回归方程中斜率与截距的最小二乘估计公式分别为，20. 已知抛物线C ：经过点，过点的直线l 与抛物线C有两个不同交点A ，B ，且直线PA 交y 轴于M ，直线PB 交y 轴于求直线l 斜率的取值范围；证明：存在定点T ，使得，且21. 已知函数，其中a 为常数，e 为自然对数底数，…，若函数有两个极值点，求实数a 的取值范围；证明：22. 在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线C ：为参数，直线l ：为参数以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.求曲线C和直线l的极坐标方程；点P在直线l上，射线OP交曲线C于点R，点Q在射线OP上，且满足，求点Q的轨迹的直角坐标方程.23. 已知a，b，c均为正数，且，证明：若，则；答案和解析1.【答案】C【解析】解：，则z的虚部为故选：根据已知条件，结合复数的四则运算，以及虚部的定义，即可求解．本题主要考查复数的四则运算，以及虚部的定义，属于基础题．2.【答案】B【解析】解：，，或，故选：可求出集合A，然后进行补集和交集的运算即可．本题考查了一元二次不等式的解放，交集和补集的定义及运算，考查了计算能力，属于基础题．3.【答案】B【解析】解：由图可知，支出最高值是60，支出最低值是10，则支出最高值与支出最低值的比是6：1，故A正确；由图可知，利润最高的月份是3月份和10月份，故B错误．由图可知，第三季度平均收入为，故C正确；由图可知，月份的支出的变化率与月份的支出的变化率均为30，故D正确．故选：结合统计图表逐项分析即可得出结论．本题考查统计图表相关知识，属于基础题．4.【答案】B【解析】解：，，，，即，则故选：由题意，先利用二倍角的余弦公式求出，再利用同角三角函数的基本关系求出，再利用二倍角的正弦公式，计算求得的值．本题主要考查二倍角的余弦、正弦公式的应用、同角三角函数的基本关系，属于基础题．5.【答案】D【解析】解：当几何体的上部是球，下部为圆柱，则俯视图为：A；当几何体的上部是圆柱，下部是正方体，则俯视图是B；当几何体上部是球，下部是正方体，则俯视图为：故选：结合一个几何体的正视图，利用组合体的形状，判断俯视图的情况即可得到结果．本题考查简单几何体的三视图的应用，是中档题．6.【答案】C【解析】解：根据题意，因为中，，又，即为奇函数，图象关于原点对称，排除BD，又由，，在上不是增函数，排除故选：根据题意，先分析函数的奇偶性排除BD，再利用特殊值分析可知在上不是增函数，排除A，综合可得答案．本题考查函数的图象分析，涉及函数奇偶性的判断，属于基础题．7.【答案】A【解析】解：选出的3人中，在有1人是女生的条件下，另2人是男生的概率为故选：根据已知条件，结合条件概率公式，即可求解．本题主要考查条件概率公式，属于基础题．8.【答案】B【解析】解：如图，依题意知，，，由正弦定理知，，在中，即旗杆的高度为故选：作图，分别求得，和，然后利用正弦定理求得AC，最后在直角三角形ACD 中求得本题主要考查了解三角形的实际应用．结合了正弦定理等基础知识，考查了学生分析和推理的能力．9.【答案】A【解析】解：由题意知椭圆与双曲线的共焦点，，所以，因为双曲线的离心率，所以，，所以双曲线的方程为如图：根据双曲线的定义知，由余弦定理，得，又因，得，，根据椭圆的定义知：，所以，，所以椭圆的方程为故选：结合椭圆双曲线的定义及焦点三角形的相关知识可得．本题考查椭圆与双曲线的几何性质，考查运算求解能力，属中档题．10.【答案】D【解析】解：，，，所以，解得：，，，所以，得，时，，，，所以是函数的极小值点，故选：首先求函数的导数，根据条件，列方程组求解a，b，再求函数的极小值．考查利用导数研究函数的极值问题，体现了转化的思想方法，属于中档题．11.【答案】B【解析】解：根据题意，阴影部分的面积的一半为：，于是此点取自阴影部分的概率为又，故故选：先用定积分求得阴影部分一半的面积，再根据几何概型概率公式可求得．本题考查了几何概型，属中档题．12.【答案】D【解析】解：，，，，，构造函数，则，在R上单调递减，当时，，，，，，，，，设函数，则，当时，，在上单调递减，，，，综上，故选：利用三角函数定义判断a，b的大小，构造函数，由导数确定单调性后比较a与的大小，同理构造函数，比较c与的大小后可得结论．本题考查三角函数定义、构造法、导数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．13.【答案】4【解析】解：，，则，，且满足，故，解得故答案为：根据已知条件，结合平面向量垂直的性质，即可求解．本题主要考查平面向量垂直的性质，属于基础题．14.【答案】或【解析】解：设与直线l：平行的直线方程为，与圆O：相切，，解得或，直线l：或故答案为：或设与直线l：平行的直线方程为，由与圆O：相切，由此能出直线l的方程．本题考查圆的切线方程的求法，考查圆、直线方程、点到直线距离公式等基础知识，考查运算求解能力，属中档题．15.【答案】【解析】解：取BD的中点E，连接AE，CE，因，所以且，，故，因为，所以，故，在CE上取点F，使得，则点F为等边的中心，则，，设点O为三棱锥的外接球球心，则平面BCD，连接OA，OC，设外接球半径为rcm，则，过点A作，交CE延长线于点P，则，由于O在平面ACE中，故，故平面BCD，过点O作于点H，则，，，，，故，设，则，由勾股定理得，，，故，解得，故，故该“鞠”的表面积为故答案为：作出辅助线，找到球心的位置，利用余弦定理和勾股定理求出球的半径，得到表面积．本题考查空间几何体外接球的表面积，考查运算求解能力，属中档题．16.【答案】228【解析】解：当时，有，到……，则…………]，为展开式中的系数，因为，所以故答案为：由…得到……，则可把转化为…………]，由为展开式中的系数即可求出答案．本题主要考查二项式定理的应用，属于基础题．17.【答案】解：设等比数列的前n项和公比为，且，，成等差数列，，，即，，解得，，由可得的前n项和…，…，相减可得：…，化为【解析】设等比数列的前n项和公比为，根据且，，成等差数列，利用通项公式与求和公式列出方程组解得，q，即可得出由可得，利用错位相减法即可得出的前n项和本题考查了数列递推关系、等差数列与等比数列的通项公式与求和公式、错位相减法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18.【答案】解：证明：取PN的中点E，连接CE和ME，为PA中点，且，且，，，四边形BMCE为平行四边形，，平面PMN，平面PMN，平面PMN，取NM中点O，连接PO，则等边中，，面面AMN，面面，面AMN，，又，，平面PMN，以N为坐标原点，NA，NM，Nz为坐轴建立空间直角坐标系，则，，，，设，则，依题意可得平面PMN的一个法向量为，又，，设平面MNF的一个法向量为，则，即，令，，，平面MNF的一个法向量为，设二面角为，则，解得或舍去，则【解析】取PN的中点E，连接CE和ME，可证四边形BMCE为平行四边形，从而可得平面PMN；以N为坐标原点，NA，NM，Nz为坐标轴建立空间直角坐标系，设，求得平面PMN与平面FMN的一个法向量，利用向量法可得，可得本题考查空间直线与平面平行的证明，考查二面角的求法，考查空间想象能力，转化思想以及计算能力，属中档题．19.【答案】解：由题中统计表得，，由题意得，，所以y关于x的线性回归方程为；由题意得2023年对应的年份代码，代入，得，所以预测2023年该市手机总体出货量为万部．【解析】根据公式求出，得到线性回归方程；代入，估计2023年该市手机总体出货量．本题考查了线性回归方程的应用计算，属于中档题．20.【答案】解：将代入抛物线得，，依题意可设，，直线l：，由得：，则，解得且，又直线PA交y轴于M，直线PB交y轴于N，所以直线不能过及，且，综上，；证明：设点，，由，则可设，，，故，同理：，，直线，令得，同理，，，又，，所以存在点满足题意．【解析】先求出抛物线方程，然后和直线联立，得到关于斜率满足的条件，从而求出斜率的取值范围；设出点的坐标，根据题意表示出和，最后求出定点本题考查了直线与抛物线的综合应用，属于中档题．21.【答案】解：，，令，则，因有两个极值点，，故有两个零点，若，则，单调递增，不可能有两个零点，所以，令，得，当时，，单调递减；当时，，单调递增；所以，因为有两个零点，所以，则，又，，，故实数a的取值范围为证明：设，因为，，则，因为，所以，，则，取对数得，令，，则，令，则，，在上单调递增．则，，，两边约去后化简整理得，即【解析】二次求导后，根据函数有两个极值点，即可求解；设，先确定，根据，可得，即，令，，则，令，求导后根据单调性可得，从而得到，化简后即可证明．考查利用导数研究函数的极值问题，体现了转化的思想方法，属于中档题．22.【答案】解：曲线C ：为参数，消去参数可得，，，，，直线l ：为参数，消去参数t 可得，，则直线l 的极坐标方程为；设点Q 的极坐标为，则，，，，即，点Q 的轨迹的直角坐标方程为【解析】先将曲线C 和直线l 化为普通方程，再化为极坐标方程；设出点Q 的坐标，表示出，，，再结合，即可求解．本题主要考查简单曲线的极坐标方程，考查转化能力，属于中档题．23.【答案】证明：若，且，则，即，可得，则，当且仅当时等号成立；，b，c均为正数，且，由柯西不等式知，，即，当且仅当时取等号．【解析】直接利用基本不等式证明；利用柯西不等式证明．本题主要考查不等式的证明，柯西不等式以及基本不等式的应用，考查逻辑推理能力，属于中档题．。

广西南宁市第二中学2023届高三高考考前模拟大演练数学(理)试题

一、单选题1. ，则阴影部分表示的集合为（）A．B．C．D．2. 已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线及其准线分别交于两点，，则直线的斜率为（）A．B．C．D．3. 甲､乙､丙､丁四名交通志愿者申请在国庆期间到三个路口协助交警值勤，他们申请值勤路口的意向如下表：交通路口ABC志愿者甲､乙､丙､丁甲､乙､丙丙､丁这4名志愿者的申请被批准，且值勤安排也符合他们的意向，若要求三个路口都要有志愿者值勤，则不同的安排方法数有（）A ．14种B ．11种C ．8种D ．5种4. 已知集合，若对于，，使得成立，则称集合是“互垂点集”．给出下列四个集合：；；；．其中是“互垂点集”的集合为A ．,B．,C． , D ．,5.设为椭圆的焦点，若在椭圆上存在点，满足，则实数的取值范围为（）A．B．C．D．6. 函数的图象大致是（）A．B．C．D．7.下列函数中，既是奇函数又在区间上是严格增函数的是（）A．B．C．D．广西南宁市第二中学2023届高三高考考前模拟大演练数学（理）试题二、多选题三、填空题四、填空题8. 下列函数中，在区间上单调递增的是（）A．B．C．D．9.如图，在正方体中，E 为的中点，则下列条件中，能使直线平面的有（）A ．F 为的中点B ．F 为的中点C ．F 为的中点D ．F 为的中点10. 四叶草曲线是数学中的一种曲线，某方程为，因形似花瓣，又被称为四叶玫瑰线（如图），在几何学、数学、物理学等领域中有广泛的应用.例如，它可以用于制作精美的图案、绘制函数图象、描述物体运动的轨迹等等.根据方程和图象，给出如下4条性质，其中错误的是（）A ．四叶草曲线方程是偶函数，也是奇函数；B ．曲线上两点之间的最大距离为；C ．曲线经过5个整点（横、纵坐标都是整数的点）；D．四个叶片围成的区域面积小于.11.已知函数的定义域为，且是偶函数，是奇函数，则下列说法正确的是（）A．B．的一个周期为8C．图象的一个对称中心为（3，0）D．图象的一条对称轴为直线12. 在平面直角坐标系xOy 中，圆，圆．若存在过点的直线l ，l 被两圆截得的弦长相等，则实数m 的取值范围是_____．13.已知数列的前项和为，且，则___________.14. 若复数满足为虚数单位），则复数的虚部是___．15. 在上､下底面均为正方形的四棱台中，已知，，，则该四棱台的表面积为___________；该四棱台外接球的体积为___________.五、填空题六、解答题七、解答题16. 阅读下面题目及其解答过程．．）求证：函数是偶函数；）求函数的单调递增区间．）因为函数的定义域是，都有又因为是偶函数．时，，在区间上单调递减．时，时， ④，在区间 ⑤上单调递增．的单调递增区间是．以上题目的解答过程中，设置了①～⑤五个空格，如下的表格中为每个空格给出了两个选项，其中只有一个正确，请选出正确的选项，并填写在相应的横线上（只需填写“A”或“B”）．空格序号选项①（A ）（B ）②（A ）（B ）③（A ）2（B ）④（A ）（B ）⑤（A ）（B ）17. 已知数列的前项和为，且，记，则________；若数列满足，则的最小值是________．18. 已知函数.从下面的两个条件中任选其中一个：①；②若，且的最小值为，，求解下列问题：(1)化简的表达式并求的单调递增区间；(2)已知，求的值.19. “学习强国”APP 是由中宣部主管以习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神为主要内容的“PC 端+手机客户端”两大终端二合一模式的学习平台，2019年1月1日上线后便成了党员干部群众学习的“新助手”，为了调研某地党员在“学习强国”APP 的学习情况，研究人员随机抽取了200名该地党员进行调查，将他们某两天在“学习强国”APP 上所得的分数统计如下表所示：八、解答题九、解答题十、解答题分数人数501002030(1)现用分层抽样的方法从80分及以上的党员中随机抽取5人，再从抽取的5人中随机选取2人进行深入调查，记X 为所选取的两人中分数在上的人数，求X 的分布列和数学期望；(2)为了调查“学习强国”APP 得分情况是否受到学习时长的影响，研究人员随机抽取了部分党员作出调查，得到的数据如下表所示：日均学习两小时以上日均学习不足两小时分数超过80220150分数不超过808050判断是否有99%的把握认为“学习强国”APP 得分情况与学习时长有关．附：，．0.1000.0500.0100.0012.7063.8416.63510.82820. 如图（1）边长为2的正方形中，，分别为，上的点，且，现沿把剪切，拼接成如图（2）的图形，再将，，沿，，折起，使，A三点重合于点．(1)求证：．(2)求四面体体积的最大值．21. 某足球俱乐部举办新一届足球赛,按比赛规则,进入淘汰赛的两支球队如果在120分钟内未分出胜负,则需进行点球大战.点球大战规则如下:第一阶段,双方各派5名球员轮流罚球,双方各罚一球为一轮,球员每罚进一球则为本方获得1分,未罚进不得分,当分差拉大到即使落后一方剩下的球员全部罚进也不能追上的时候,比赛即宣告结束,剩下的球员无需出场罚球.若5名球员全部罚球后双方得分一样,则进入第二阶段,双方每轮各派一名球员罚球,直到出现某一轮一方罚进而另一方未罚进的局面,则罚进的一方获胜.设甲、乙两支球队进入点球大战,由甲队球员先罚球,甲队每位球员罚进点球的概率均为,乙队每位球员罚进点球的概率均为.假设每轮罚球中,两队进球与否互不影响,各轮结果也互不影响.(1)求每一轮罚球中,甲、乙两队打成平局的概率;(2)若在点球大战的第一阶段,甲队前两名球员均得分而乙队前两名球员均未得分,甲队暂时以2:0领先,求甲队第5个球员需出场罚球的概率.22. 在中，角、、的对边分别为、、．已知．(1)求角的大小；(2)给出以下三个条件：①，；②；③．若这三个条件中仅有两个正确，请选出正确的条件并回答下面问题：（i）求的值；（ii ）的角平分线交于点，求的长．。

广西省南宁市2021届新高考第二次大联考数学试卷含解析

广西省南宁市2021届新高考第二次大联考数学试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题；“三百七十八里关，初行健步不为难，次后脚痛递减半，六朝才得到其关，要见每朝行里数，请公仔细算相还.”其意思为：“有一个人走了378里路，第一天健步走行，从第二天起脚痛每天走的路程是前一天的一半，走了6天后到达目的地，求该人每天走的路程.”由这个描述请算出这人第四天走的路程为（） A ．6里 B ．12里C ．24里D ．48里【答案】C 【解析】【分析】设第一天走1a 里，则{}n a 是以1a 为首项，以12为公比的等比数列，由题意得1661(1)2378112a S -==-，求出1192a =（里)，由此能求出该人第四天走的路程．【详解】设第一天走1a 里，则{}n a 是以1a 为首项，以12为公比的等比数列，由题意得：1661(1)2378112a S -==-，解得1192a =（里)，∴34111()1922428a a =⨯=⨯=（里)．故选：C ．【点睛】本题考查等比数列的某一项的求法，考查等比数列等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是基础题． 2．已知α是第二象限的角，3tan()4πα+=-，则sin 2α=( ) A ．1225B ．1225-C ．2425D ．2425-【答案】D 【解析】利用诱导公式和同角三角函数的基本关系求出2cos α,再利用二倍角的正弦公式代入求解即可. 【详解】因为3tan()4πα+=-, 由诱导公式可得,sin 3tan cos 4ααα==-, 即3sin cos 4αα=-, 因为22sin cos 1αα+=, 所以216cos 25α=, 由二倍角的正弦公式可得,23sin 22sin cos cos 2αααα==-,所以31624sin 222525α=-⨯=-. 故选:D 【点睛】本题考查诱导公式、同角三角函数的基本关系和二倍角的正弦公式;考查运算求解能力和知识的综合运用能力;属于中档题.3．已知集合{2,3,4}A =，集合{},2B m m =+，若{2}A B =I ，则m =（） A ．0 B ．1C ．2D ．4【答案】A 【解析】【分析】根据2m =或22m +=，验证交集后求得m 的值. 【详解】因为{2}A B =I ，所以2m =或22m +=.当2m =时，{2,4}A B =I ，不符合题意，当22m +=时，0m =.故选A.【点睛】本小题主要考查集合的交集概念及运算，属于基础题.4．空间点到平面的距离定义如下：过空间一点作平面的垂线，这个点和垂足之间的距离叫做这个点到这个平面的距离．已知平面α，β，λ两两互相垂直，点A α∈，点A 到β，γ的距离都是3，点P 是αA ．33-B ．3C ．332- D ．32【答案】D 【解析】【分析】建立平面直角坐标系，将问题转化为点P 的轨迹上的点到x 轴的距离的最小值，利用P 到x 轴的距离等于P 到点A 的距离得到P 点轨迹方程，得到()26399y x =-+≥，进而得到所求最小值.【详解】如图，原题等价于在直角坐标系xOy 中，点()3,3A ，P 是第一象限内的动点，满足P 到x 轴的距离等于点P 到点A 的距离，求点P 的轨迹上的点到x 轴的距离的最小值．设(),P x y ，则()()2233y x y =-+-，化简得：()23690x y --+=，则()26399y x =-+≥，解得：32y ≥，即点P 的轨迹上的点到β的距离的最小值是32. 故选：D . 【点睛】本题考查立体几何中点面距离最值的求解，关键是能够准确求得动点轨迹方程，进而根据轨迹方程构造不等关系求得最值.5．已知底面为正方形的四棱锥，其一条侧棱垂直于底面，那么该四棱锥的三视图可能是下列各图中的（）A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】试题分析：通过对以下四个四棱锥的三视图对照可知，只有选项C 是符合要求的.考点：三视图6．已知函数()()4,2x f x x g x a x =+=+，若[]121,3,2,32x x ⎡⎤∀∈∃∈⎢⎥⎣⎦，使得()()12f x g x ≥，则实数a 的取值范围是（） A ．1a ≤ B ．1a ≥ C ．0a ≤ D ．0a ≥【答案】C 【解析】试题分析：由题意知，当11,32x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，由()4424f x x x x x=+≥⋅=，当且仅当4x x =时，即2x =等号是成立，所以函数()f x 的最小值为4，当[]22,3x ∈时，()2xg x a =+为单调递增函数，所以()()min 24g x g a ==+，又因为[]121,3,2,32x x ⎡⎤∀∈∃∈⎢⎥⎣⎦，使得()()12f x g x ≥，即()f x 在1,32x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦的最小值不小于()g x 在[]2,3x ∈上的最小值，即44a +≤，解得0a ≤，故选C ．考点：函数的综合问题．【方法点晴】本题主要考查了函数的综合问题，其中解答中涉及到基本不等式求最值、函数的单调性及其应用、全称命题与存在命题的应用等知识点的综合考查，试题思维量大，属于中档试题，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及转化与化归思想的应用，其中解答中转化为()f x 在1,32x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦的最小7．已知集合{}1,2,3,,M n =L （*n N ∈），若集合{}12,A a a M =⊆，且对任意的b M ∈，存在{},1,0,1λμ∈-使得i j b a a λμ=+，其中,i j a a A ∈，12i j ≤≤≤，则称集合A 为集合M 的基底.下列集合中能作为集合{}1,2,3,4,5,6M =的基底的是（） A ．{}1,5 B ．{}3,5C ．{}2,3D ．{}2,4【答案】C 【解析】【分析】根据题目中的基底定义求解. 【详解】因为11213=-⨯+⨯，21203=⨯+⨯， 30213=⨯+⨯， 41212=⨯+⨯，51213=⨯+⨯， 61313=⨯+⨯，所以{}2,3能作为集合{}1,2,3,4,5,6M =的基底，故选：C 【点睛】本题主要考查集合的新定义，还考查了理解辨析的能力，属于基础题.8．ABC V 是边长为E 、F 分别为AB 、AC 的中点，沿EF 把AEF V 折起，使点A 翻折到点P 的位置，连接PB 、PC ，当四棱锥P BCFE -的外接球的表面积最小时，四棱锥P BCFE -的体积为（）A B C D 【答案】D 【解析】【分析】首先由题意得，当梯形BCFE 的外接圆圆心为四棱锥P BCFE -的外接球球心时，外接球的半径最小，通过图形发现，BC 的中点即为梯形BCFE 的外接圆圆心，也即四棱锥P BCFE -的外接球球心，则可如图，四边形BCFE 为等腰梯形，则其必有外接圆，设O 为梯形BCFE 的外接圆圆心，当O 也为四棱锥P BCFE -的外接球球心时，外接球的半径最小，也就使得外接球的表面积最小，过A 作BC 的垂线交BC 于点M ，交EF 于点N ，连接,PM PN ，点O 必在AM 上，E 、F 分别为AB 、AC 的中点，则必有AN PN MN ==，90APM ∴∠=o ，即APM △为直角三角形.对于等腰梯形BCFE ，如图：因为ABC V 是等边三角形，E 、F 、M 分别为AB 、AC 、BC 的中点，必有MB MC MF ME ===，所以点M 为等腰梯形BCFE 的外接圆圆心，即点O 与点M 重合，如图132PO OC BC ∴===222336PA AO PO =-=-= 所以四棱锥P BCFE -底面BCFE 的高为362PO PA AM ⋅⨯== 113131362332334342P BCFE BCFE ABC V S h S h -==⨯=⨯⨯⨯=V 故选：D. 【点睛】9．框图与程序是解决数学问题的重要手段，实际生活中的一些问题在抽象为数学模型之后，可以制作框图，编写程序，得到解决，例如，为了计算一组数据的方差，设计了如图所示的程序框图，其中输入115x =，216x =，318x =，420x =，522x =，624x =，725x =，则图中空白框中应填入（）A ．6i >，7SS = B ．6i …7SS = C ．6i >，7S S = D ．6i …，7S S = 【答案】A 【解析】【分析】依题意问题是()()()22212712020207S x x x ⎡⎤=-+-+⋯+-⎣⎦，然后按直到型验证即可. 【详解】根据题意为了计算7个数的方差，即输出的()()()22212712020207S x x x ⎡⎤=-+-+⋯+-⎣⎦，观察程序框图可知，应填入6i >，7SS =，故选：A. 【点睛】本题考查算法与程序框图，考查推理论证能力以及转化与化归思想，属于基础题. 10．3481(3)(2)x x x+-展开式中x 2的系数为( ) A ．－1280 B ．4864C ．－4864D ．1280【答案】A根据二项式展开式的公式得到具体为：()23174268811322x C x C x x ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫-+⋅-⎢⎥ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎢⎥⎣⎦化简求值即可.【详解】根据二项式的展开式得到可以第一个括号里出33x 项，第二个括号里出1x项，或者第一个括号里出4x ，第二个括号里出21x ，具体为：()23174268811322x C x C x x ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫-+⋅-⎢⎥ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎢⎥⎣⎦化简得到-1280 x 2 故得到答案为：A. 【点睛】求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略：(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第1r +项，再由特定项的特点求出r 值即可.(2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第1r +项，由特定项得出r 值，最后求出其参数.11．双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点为F ，过点F 且与x 轴垂直的直线交两渐近线于,M N 两点，与双曲线的其中一个交点为P ，若(,)OP OM ON R λμλμ=+∈u u u r u u u u r u u u r ，且625λμ=，则该双曲线的离心率为( )A B ．12C ．12D 【答案】D 【解析】【分析】根据已知得本题首先求出直线与双曲线渐近线的交点，再利用OP OM ON λμ=+u u u r u u u u r u u u r，求出点()()bc P c a λμλμ⎛⎫+- ⎪⎝⎭，，因为点P 在双曲线上，及c e a =，代入整理及得241e λμ=，又已知625λμ=，即可求出离心率．【详解】由题意可知bc bc M c N c a a ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，，代入OP OM ON λμ=+u u u r u u u u r u u u r 得：()()bc P c a λμλμ⎛⎫+- ⎪⎝⎭，，代入双曲线方程22221x y a b -=整理得：241e λμ=，又因为625λμ=，即可得到e =，本题主要考查的是双曲线的简单几何性质和向量的坐标运算，离心率问题关键寻求关于a ，b ，c 的方程或不等式，由此计算双曲线的离心率或范围，属于中档题． 12．已知过点(1,1)P 且与曲线3y x =相切的直线的条数有（）． A ．0 B ．1 C ．2 D ．3【答案】C 【解析】【分析】设切点为()00x ,y ，则300y x =，由于直线l 经过点()1,1，可得切线的斜率，再根据导数的几何意义求出曲线在点0x 处的切线斜率，建立关于0x 的方程，从而可求方程．【详解】若直线与曲线切于点()()000x ,y x 0≠，则32000000y 1x 1k x x 1x 1x 1--===++--，又∵2y'3x =，∴200y'x x 3x ==，∴2002x x 10--=，解得0x 1=，01x 2=-， ∴过点()P 1,1与曲线3C :y x =相切的直线方程为3x y 20--=或3x 4y 10-+=，故选C ．【点睛】本题主要考查了利用导数求曲线上过某点切线方程的斜率，求解曲线的切线的方程，其中解答中熟记利用导数的几何意义求解切线的方程是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2020年广西南宁市高考数学二模试卷（一）（有答案解析）

2020年⼴西南宁市⾼考数学⼆模试卷（⼀）（有答案解析）2020年⼴西南宁市⾼考数学⼆模试卷（⼀）⼀、选择题（本⼤题共12⼩题，共36.0分）1.设集合A={x|x2-4x＜0}，B={-1，0，1，2}，则A∩B=（）A. {-1，0}B. {0，1}C. {1，2}D. {0，1，2}2.复数z满⾜z?i=1+i（i是虚数单位），则|z|=（）A. lB.C. 2D. 43.若向量=（2，3），=（-1，2），则?（）=（）A. 5B. 6C. 7D. 84.去年年底甲、⼄、丙、丁四个县⼈⼝总数为m万，各县⼈⼝占⽐如图，其中丙县⼈⼝为70万，则去年年底甲县的⼈⼝为A. 162万B. 176万C. 182万D. 186万5.已知双曲线C：=1（a＞0）的⼀个焦点为（2，0），则双曲线C的渐近线⽅程为（）A. y=±xB. y=±xC. y=±xD. y=±2x6.⼀个⼏何体的三视图如图所⽰，则该⼏何体的体积为（）A. 3B. 4C. 5D. 67.已知数列{a n}满⾜：a1＝1，a n+1＝3a n-2，则a6＝（）A. 0B. 1C. 2D. 68.已知将函数f（x）=sin（2x+φ）（0＜φ＜）的图象向左平移φ个单位长度后，得到函数g（x）的图象.若g（x）是偶函数，则f（）=（）9.已知x，y满⾜条件，若z=x+2y的最⼩值为0，则m=（）A. 1B. 2C. 3D. 410.函数y=2sin x cosx-cos 2x的单调增区间是（）A. [kπ-，k]（k∈Z）B. [kπ，kπ+]（k∈Z）C. [kπ，kπ+]（k∈Z）D. [k，kπ+]（k∈Z）11.已知抛物线x2=2py（p＞0）的准线⽅程为y=-1，△ABC的顶点A在抛物线上，B，C两点在直线y=2x-5上，若||=2，则△ABC⾯积的最⼩值为（）A. 5B. 4C.D. 112.设过点的直线l与圆C：的两个交点为A，B，若，则A. B. C. D.⼆、填空题（本⼤题共4⼩题，共12.0分）13.曲线y=xe x-2x2+1在点（0，1）处的切线⽅程为______．14.已知等差数列{a n}的前n项和为S n，若a5=7，则S9=______．15.执⾏如图所⽰的程序框图，如果输⼊的a=-1，则输出的T=______．16.已知函数f（x）=，若函数y=f（x）-a2有3个零点，则实数a的取值范围是______．三、解答题（本⼤题共7⼩题，共84.0分）17.已知在△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a2+b2-c2＝8，△ABC的⾯积为．（1）求⾓C的⼤⼩；（2）若，求sin A+sin B的值．18.⼀汽车销售公司对开业4年来某种型号的汽车“五⼀”优惠⾦额与销售量之间的关系进⾏分析研究并做了记录，得到如下资料⽇期第1年第2年第3年第4年优惠⾦额x（千10111312元）销售量y（辆）22243127利⽤散点图可知x，y线性相关（1）求出y关于x的线性回归⽅程=x；（2）若第5年优惠⾦额8.5千元，估计第5年的销售量y（辆）的值．参考公式：==，=19.如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥平⾯ABC，AB=AC，M是侧⾯AA1C1C的对⾓线的交点，D，E分别是AB，BC中点（1）求证：MD∥平⾯A1BC1；（2）求证：平⾯MAE⊥平⾯BCC1B120.已知曲线C上动点M与定点F（）的距离和它到定直线l1：x=-2的距离的⽐是常数，若过P（0，1）的动直线l与曲线C相交于A，B两点（1）说明曲线C的形状，并写出其标准⽅程；（2）是否存在与点P不同的定点Q，使得=恒成⽴？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由21.已知函数f（x）=ax2-x-2ln x（a∈R）．（1）若函数f（x）的⼀个极值点为x=1，求函数f（x）的极值；（2）讨论f（x）的单调性．22.已知曲线l的参数⽅程为（t为参数），以原点为极点，x轴正半轴为极轴建⽴极坐标系，曲线C的极坐标⽅程为cos（）（1）求曲线C的直⾓坐标⽅程；（2）设P（2，1），直线l与曲线交于点A，B，求|PA|?|PB|的值．23.已知函数f（x）=|x+3|-2．（1）解不等式f（x）＜|x-1|；（2）若?x∈R，使得f（x）≥|2x-1|+b成⽴，求实数b的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：解：A={x|0＜x＜4}；∴A∩B={1，2}．故选：C．可求出集合A，然后进⾏交集的运算即可．考查列举法、描述法的定义，⼀元⼆次不等式的解法，以及交集的运算．2.答案：B解析：解：∵复数z满⾜z?i=1+i（i是虚数单位），∴-i2z=-i（1+i），化为z=1-i．∴|z|=．故选：B．利⽤复数的运算法则即可化简，再利⽤复数模的计算公式即可得出．熟练掌握复数的运算法则、复数模的计算公式事件他的关键．3.答案：A解析：解：∵向量=（2，3），=（-1，2），∴=（2，3）-（-2，4）=（4，-1），∴?（）=8-3=5故选：A．由向量的坐标运算可得的坐标，结合数量积的坐标运算可得结果．本题考查平⾯向量的数量积的坐标运算，属基础题．4.答案：C解析：解：由统计图可得，丙县⼈⼝占四个县总⼈⼝20%，⼜丙县⼈⼝为70万，所以四个县总⼈⼝为=350万，⼜因为甲县⼈⼝占四个县总⼈⼝的52%，所以甲县的⼈⼝为350×52%=182万．故选：C．根据统计图得到丙县⼈⼝所占百分⽐，求出四个县的总⼈⼝，进⽽可求出结果．本题主要考查扇形统计图，会分析统计图即可，属于基础题型．5.答案：C解析：解：因为双曲线C：=1（a＞0）的⼀个焦点为（2，0），所以a2+3=4，故a2=1，因此双曲线的⽅程为：x2=1，所以其渐近线⽅程为：y=±x．故选：C．先由双曲线的⼀个焦点坐标为（2，0），可求出双曲线的⽅程，进⽽可得其渐近线⽅程．本题主要考查双曲线的渐近线⽅程，熟记双曲线的性质即可，属于基础题型．6.答案：C解析：解：由已知三视图得到⼏何体如图：由团长时间得到体积为=5；故选：C．由已知⼏何体的三视图得到⼏何体为棱柱，由两个三棱锥组合成的，根据棱柱的体积公式计算即可．本题考查了由⼏何体的三视图求⼏何体的体积；关键是正确还原⼏何体．7.答案：B解析：【解答】解：因为a1=1，a n+1=3a n-2，所以a2=3-2=1，以此类推可得a3=3a2-2=1，a4=3a3-2=1，a5=3a4-2=1，a6=3a5-2=1．故选：B．【分析】本题主要考查数列的递推公式，由题意逐步计算即可，属于基础题型．由a1=1，a n+1=3a n-2，可得a2=1，以此类推，即可得出结果．8.答案：A解析：【分析】先由题意写出g（x），根据g（x）是偶函数求出φ，即可得出结果．本题主要考查三⾓函数的图象变换与三⾓函数的性质，熟记性质即可，属于常考题型．【解答】解：由题意可得：g（x）=sin（2x+3φ），因为g（x）是偶函数，所以3φ=，k∈Z，即φ=，k∈Z，⼜0＜φ＜，所以0，解得，所以k=0，故φ=；所以f（）=．故选：A．9.答案：B解析：【分析】根据约束条件作出可⾏域，将⽬标函数z=x+2y化为y=-x+，结合图象以及z=x+2y的最⼩值，即可求出结果．本题主要考查简单的线性规划，已知⽬标函数最值求参数的问题，属于常考题型．【解答】解：由x，y满⾜条件，作出可⾏域，⼜⽬标函数z=x+2y表⽰直线y=-x+在y轴截距的⼆倍，因此截距越⼩，z就越⼩；由图象可得，当直线y=-x+过点A时，在y轴截距最⼩；由解得A（m，1-m），所以z min=m+2（1-m），⼜z=x+2y的最⼩值为0，所以2-m=0，解得m=2．故选B．10.答案：D解析：解：∵函数y=2sin x cosx-cos2x=sin2x-cos2x=2sin（2x-），令2kπ-≤2x-≤2kπ+，求得kπ-≤x≤kπ+，可得函数的增区间为[kπ-，kπ+]，k∈Z，故选：D．利⽤两⾓和差的正弦公式化简函数的解析式，再利⽤正弦函数的单调性，得出结论．本题主要考查两⾓和差的正弦公式，正弦函数的单调性，属于基础题．11.答案：D解析：解：因为抛物线x2=2py（p＞0）的准线⽅程为y=-1，抛物线⽅程为x2=4y；⼜||=2，所以||=2，设点A到直线BC的距离为d，故△ABC⾯积为，因为A在抛物线上，设A（x，），则d====，故≥1．故选：D．先由题意求出P，得到抛物线⽅程，再由||=2，得||=2，设点A到直线BC的距离为d，求出△ABC⾯积的表达式，由点到直线的距离公式求出d的最⼩值即可得出结果．本题主要考查抛物线的应⽤，熟记抛物线性质以及点到直线距离公式即可，属于常考题型．12.答案：A解析：【分析】根据题意，设直线l的参数⽅程为（t为参数），进⽽设A的坐标为（-2+t1cosθ，t1sinθ），B的坐标为（-2+t2cosθ，t2sinθ），将直线的参数⽅程与圆的⽅程联⽴可得（-2+t cosθ）2+（tsinθ）2-4（-2+t cosθ）-2t sinθ+1=0，变形可得t2-（8cosθ+2sinθ）t+13=0；⼜由8=5，分析可得=，即t2=t1，结合根与系数的关系分析可得t12=13，解可得t1=±，由直线的参数⽅程的意义分析可得|AB|=|t1-t2|=|t1-t1|，计算即可得答案．本题考查直线的参数⽅程的应⽤，涉及向量的数乘运算，属于基础题．【解答】解：根据题意，直线l过点P（-2，0），设直线l的参数⽅程为（t为参数），⼜由直线l与圆C：x2+y2-4x-2y+1=0的两个交点为A，B，设A的坐标为（-2+t1cosθ，t1sinθ），B的坐标为（-2+t2cosθ，t2sinθ），则有（-2+t cosθ）2+（t sinθ）2-4（-2+t cosθ）-2t sinθ+1=0，变形可得t2-（8cosθ+2sinθ）t+13=0，⼜由直线l与圆C：x2+y2-4x-2y+1=0的两个交点为A，B，若8=5，则=，即t2=t1，⼜由t1t2=13，则有t12=13，解可得t1=±，则|AB|=|t1-t2|=|t1-t1|=；故选：A．13.答案：y=x+1解析：解：求导函数可得，y′=（1+x）e x-4x当x=0时，y′=1∴曲线y=xe x-2x2+1在点（0，1）处的切线⽅程为y-1=x，即y=x+1．故答案为：y=x+1．求导函数，确定切线的斜率，利⽤点斜式，可得切线⽅程．本题考查利⽤导数求曲线的切线⽅程，考查计算能⼒，是基础题．14.答案：63解析：解：因为a5=7，所以=9a5=63．故答案为：63．直接根据等差中项的性质将S9转化为⽤a5表达的算式，即可得到结果．本题主要考查等差数列的前n项和，以及等差数列的性质，熟记公式即可，属于基础题型．15.答案：65解析：解：执⾏程序框图，T=0，a=-1，i=1，满⾜条件i≤5，执⾏循环，T=0，a=-1，i=1；满⾜条件i≤5，执⾏循环，T=1，a=0，i=2；满⾜条件i≤5，执⾏循环，T=1，a=1，i=3；满⾜条件i≤5，执⾏循环，T=4，a=2，i=4；满⾜条件i≤5，执⾏循环，T=20，a=3，i=5；满⾜条件i≤5，执⾏循环，T=65，a=4，i=6；此时，不满⾜条件i≤5，退出循环输出T的值为65．故答案为：65．执⾏程序框图，依次写出每次循环得到的T，a，i值，当i=6时，程序终⽌即可得到结论．本题主要考查程序框图的识别和应⽤，利⽤模拟运算法是解决本题的关键．16.答案：[-1，0）∪（0，1]解析：解：由题意，作出函数函数f（x）=，的图象如下，因为函数y=f（x）-a2有3个零点，所以关于x的⽅程f（x）-a2=0有三个不等实根；即函数f（x）的图象与直线y=a2有三个交点，由图象可得：0＜a2≤1，解得-1≤a＜0或0＜a≤1．故答案为[-1，0）∪（0，1]．先作出函数f（x）图象，根据函数y=f（x）-a2有3个零点，得到函数f（x）的图象与直线y=a2有三个交点，结合图象即可得出结果．本题主要考查函数的零点，灵活运⽤数形结合的思想即可求解，属于常考题型．17.答案：解：（1）由△ABC的⾯积为2，可得：，由a2+b2-c2=8，及余弦定理可得：2ab cos C=8，故：tan C=，可得：C=；（2）∵C=，2ab cos C=8，∴解得：ab=8，⼜a2+b2-c2=8，c=2，可得a+b=6，由正弦定理，，得：sin A+sin B==（a+b）=．解析：（1）由△ABC的⾯积为2，可得：，由a2+b2-c2=8，及余弦定理可得：2ab cos C=8，可得tan C=，得到⾓C；（2）由（1）的结果，先求出ab，根据c，即可求出a+b，再由正弦定理可得sin A+sin B=，即可求出结果．本题主要考查解三⾓形，熟记正弦定理和余弦定理即可，属于基础题型．18.答案：解：（1）由题中数据可得x=×（10+11+13+12）=11.5，=×（22+24+31+27）=26，x i y i=10×22+11×24+13×31+12×27=1211，=102+112+132+122=534；∴====3；故=-=26-3×11.5=-8.5，∴=3x-8.5；（2）由（1）得，当x=8.5时，=3×8.5-8.5=17，∴第5年优惠⾦额为8.5千元时，销售量估计为17辆．解析：（1）先由题中数据求出、，再根据线性回归⽅程系数和，即可得出回归⽅程；（2）将x=8.5代⼊回归⽅程，即可求出预测值．本题主要考查了线性回归分析应⽤问题，熟记最⼩⼆乘法求回归系数，是常考题型．19.答案：证明：（1）∵M是棱柱的侧⾯AA1C1C对⾓线的交点，∴M是AC1中点．∵D是AB中点，∴MD∥BC1，∵MD?平⾯A1BC1，BC?平⾯A1BC1∴MD∥平⾯A1BC1．（2）∵AB=AC，E是BC中点，∴AE⊥BC．∵AA1⊥平⾯ABC，AE?平⾯ABC，∴AA1⊥AE．∵在棱柱中BB1∥AA1，∴BB1⊥AE．∵BB1∩BC=B，BB1，BC?平⾯BCC1B1，∴AE⊥平⾯BCC1B1．∵AE?平⾯MAE，∴平⾯MAE⊥平⾯BCC1B1．解析：（1）要证MD∥平⾯A1BC1，即证MD∥BC1，利⽤中位线定理可得MD∥BC1；（2）要证平⾯MAE⊥平⾯BCC1B1，即证AE⊥平⾯BCC1B1，即证AE⊥BC，BB1⊥AE．本题考查线⾯平⾏、⾯⾯垂直的证明，考查空间中线线、线⾯、⾯⾯间的位置关系等基础知识，考查运算求解能⼒，考查函数与⽅程思想，是中档题．20.答案：解：（1）设动点M坐标为M（x，y）点M到直线l1：x=-2的距离为d．依题意可知=，则=，化简得+=1，所以曲线C是椭圆，它的标准⽅程为+=1，（2）①当直线l与y轴垂直时，由椭圆的对称性可知|PA|=|PB|，⼜因为得=，则|QA|=|QB|，从⽽点Q必在y轴上．②当直线l与x轴垂直时，则A（0，），B（0，-），由①可设Q（0，y0），（y0≠1），由=得=，解得y0=1（舍去），或y0=2．则点Q的坐标只可能是Q（0，2）．下⾯只需证明直线l斜率存在且Q（0，2）时均有由=即可．设直线l的⽅程为y=kx+1，代⼊+=1得（2k2+1）x2+4kx-2=0．设A（x1，y1），B（x2，y2），∴x1+x2=-，x1x2=-，∴+==2k，设点B关于y轴对称的点坐标B′（-x2，y2），因为直线QA的斜率k QA===k-，同理得直线QB′的斜率k QB′===-k+，∴k QA-k QB′=2k-（+）=2k-2k=0，∴k QA=k QB′，三点Q，A，B′共线．故由===．所以存在点Q（0，2）满⾜题意．解析：（1）先设动点M坐标为M（x，y），根据题意列出等式=，化简整理即可求出结果；（2）分情况讨论如下：当直线l与y轴垂直时，易得点Q必在y轴上．；当直线l与x 轴垂直时，易得点Q的坐标只可能是Q（0，2）；再证明直线l斜率存在且Q（0，2）本题主要考查椭圆⽅程以及椭圆中的定点问题，熟记椭圆的简单性质即可求解，属于常考题型．21.答案：解：（1）f′（x）=2ax-1-（x＞0），∵x=1是函数f（x）的⼀个极值点，∴f′（1）=2a-1-2=0，∴a=．∴f（x）=x2-x-2ln x，f′（x）=3x-1-==．∴0＜x＜1时，f′（x）＜0；x＞1时，f′（x）＞0．∴f（x）的单调减区间为（0，1]，单调增区间为（1，+∞），∴f（x）的极⼩值为f（1）=-1=，没有极⼤值，（2）f′（x）=2ax-1-=（x＞0），当a≤0时，f′（x）＜0，∴x∈（0，+∞）时，f（x）是减函数，当a＞0，由f′（x）=0，得x1=，x2=，显然得x1＜0，x2＞0，且当x∈（0，x2）时，f′（x2）＜0，f（x）是减函数；x∈（x2，+∞）时，f′（x2）＞0，f（x）是增函数，综上，a≤0时，f（x）的单调减区间为（0，+∞），没有增区间，a＞0时，f（x）的单调减区间为（0，），单调递增区间为（，+∞）．解析：（1）由函数f（x）的⼀个极值点为x=1可得f′（1）=0，求得a值，进⽽验证即可．（2）求出f′（x），对a分类讨论，解不等式即可得到f（x）的单调性．本题考查利⽤利⽤导数研究函数的单调性与极值、⽅程与不等式的解法、分类讨论⽅法，考查了推理能⼒与计算能⼒，属于中档题．22.答案：解（1）由ρ=4cos（θ-）得ρ2=4ρcosθ+4ρsinθ，∴ρ2=4ρcosθ+4ρsinθ，⼜x=ρcosθ，y=ρsinθ，∴x2+y2=4x+4y即曲线C的直⾓坐标⽅程为（x-2）2+（y-2）2=8．（2）将代⼊C的直⾓坐标⽅程，得t2+（-t-1）2=8，∴t2+t-7=0，设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，∴t1t2=-7．则|PA||PB|=|t1t2|=7．解析：（1）先将ρ=4cos（θ-）化为ρ2=4ρcosθ+4ρsinθ，进⽽可得出其直⾓坐标⽅程；数分别为t1，t2，进⽽可得|PA||PB|=|t1t2|，即可求出结果本题主要考查极坐标⽅程与直⾓坐标的互化，以及参数⽅程的应⽤，熟记公式即可求解，属于中档题型．23.答案：解：（1）由f（x）＜|x-1|，可得|x+3|-2＜|x-1|，当x≥1时，x+3-2＜x-1不成⽴，当-3＜x＜1时，x+3-2＜1-x，∴-3＜x＜0，当x≤-3时，-x-3-2＜1-x，-5＜1成⽴，∴不等式f（x）＜|x-1|的解集为{x|x＜0}．（2）根据题意，|x+3|-|2x-1|-2≥b，令g（x）=|x+3|-|2x-1|-2=，易知g（x）max=g（）=，则有≥b，即实数b的取值范围是（-∞，]．解析：本题主要了考查含绝对值不等式，熟记分类讨论的思想即可求解，属于中档题．（1）分三种情况讨论，去掉绝对值，求不等式的解集即可；（2）先由题意得，|x+3|-|2x-1|-2≥b，令g（x）=|x+3|-|2x-1|-2，求出g（x）的最⼩值，即可得出结果．。

高考数学压轴专题南宁备战高考《平面解析几何》技巧及练习题含答案

高考数学《平面解析几何》练习题(1)一、选择题1．过坐标轴上的点M 且倾斜角为60°的直线被圆2240x y y +-=所截得的弦长为则符合条件的点M 的个数为（） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】C 【解析】【分析】设出直线方程，根据弦长公式，转化为圆心到直线的距离建立等量关系求解. 【详解】由直线的斜率为tan 60k ︒==y b =+. 圆2240x y y +-=可化为22(2)4x y +-=，圆心为(0,2)，半径为2r =，则由弦长公式得：圆心(0,2)到直线y b =+的距离为1d ===，即|2|12b -+=，解得0b =，4b =，故直线的方程为y =或4y =+.直线y =过坐标轴上的点(0,0)，直线4y =+过坐标轴上的点()0,4与3⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，故点M 的个数为3.故选：C. 【点睛】此题考查直线与圆的位置关系，根据弦长公式将弦长问题转化为圆心到直线的距离求解.2．已知直线21y kx k =++与直线122y x =-+的交点位于第一象限，则实数k 的取值范围是（）A ．12k >B ．16k <-或12k > C ．62k -<< D ．1162k -<< 【答案】D 【解析】【分析】联立21122y kx k y x =++⎧⎪⎨=-+⎪⎩，可解得交点坐标(,)x y ，由于直线21y kx k =++与直线122y x =-+的交点位于第一象限，可得00x y >⎧⎨>⎩，解得即可．【详解】解：联立21122y kx k y x =++⎧⎪⎨=-+⎪⎩，解得24216121k x k k y k -⎧=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩， Q 直线21y kx k =++与直线122y x =-+的交点位于第一象限， ∴2402161021kk k k -⎧>⎪⎪+⎨+⎪>⎪+⎩，解得：1162k -<<．故选：D ．【点睛】本题考查两直线的交点和分式不等式的解法，以及点所在象限的特征．3．已知双曲线2222:1x y C a b-=(0,0)a b >>的两个焦点分别为1F ,2F ，以12F F 为直径的圆交双曲线C 于P ,Q ,M ,N 四点，且四边形PQMN 为正方形，则双曲线C 的离心率为（） A．2BC．2D【答案】D 【解析】【分析】设P 、Q 、M 、N分别为第一、二、三、四象限内的点，根据对称性可得出P ⎫⎪⎪⎝⎭，将点P 的坐标代入双曲线C 的方程，即可求出双曲线C 的离心率. 【详解】设双曲线C 的焦距为()20c c >，设P 、Q 、M 、N 分别为第一、二、三、四象限内的点，由双曲线的对称性可知，点P 、Q 关于y 轴对称，P 、M 关于原点对称，P 、N 关于x 轴对称，由于四边形PQMN 为正方形，则直线PM 的倾斜角为4π，可得,22P c c ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，将点P 的坐标代入双曲线C 的方程得2222122c c a b -=，即()22222122c c a c a -=-，设该双曲线的离心率为()1e e >，则()2221221e e e -=-，整理得42420e e -+=，解得22e =，因此，双曲线C 故选：D. 【点睛】本题考查双曲线离心率的计算，解题的关键就是求出双曲线上关键点的坐标，考查计算能力，属于中等题.4．已知直线(3)(0)y k x k =+>与抛物线2:4C y x =相交于A ，B 两点，F 为C 的焦点.若5FA FB =，则k 等于（）A ．3B ．12C ．23D ．2【答案】B 【解析】【分析】由2(3)4y k x y x=+⎧⎨=⎩，得()22226490k x k x k +-+=，()22464360k k ∆=-->，得213k <，129x x =①，再利用抛物线的定义根据5FA FB =，得到1254x x =+②，从而求得21x =，代入抛物线方程得到(1,2)B ，再代入直线方程求解. 【详解】设()11,A x y ，()22,B x y ，易知1 0x >，20x >，10y >，20y >，由2(3)4y k x y x=+⎧⎨=⎩，得()22226490k x k x k +-+=，()22464360k k ∆=-->，所以213k <，129x x =①.因为1112p FA x x =+=+，2212pFB x x =+=+，且5FA FB =，所以1254x x =+②. 由①②及20x >得21x =，所以(1,2)B ，代入(3)y k x =+，得12k =.故选：B 【点睛】本题考查抛物线的定义，几何性质和直线与抛物线的位置关系，还考查了运算求解的能力，属于中档题.5．已知抛物线24y x =上有三点,,A B C ，,,AB BC CA 的斜率分别为3，6，2-，则ABC ∆的重心坐标为（）A ．14,19⎛⎫⎪⎝⎭B ．14,09⎛⎫⎪⎝⎭C ．14,027⎛⎫⎪⎝⎭D ．14,127⎛⎫⎪⎝⎭【答案】C 【解析】【分析】设()()()112233,,,,,A x y B x y C x y ，进而用坐标表示斜率即可解得各点的纵坐标，进一步可求横坐标，利用重心坐标公式即可得解. 【详解】设()()()112233,,,,,,A x y B x y C x y 则1212221212124344AB y y y y k y y x x y y --====-+-，得1243y y +=，同理234263y y +==，31422y y +==--，三式相加得1230y y y ++=，故与前三式联立，得211231241,2,,3349y y y y x =-==-==，22214y x ==，233449y x ==，则12314327x x x ++=.故所求重心的坐标为14,027⎛⎫⎪⎝⎭，故选C. 【点睛】本题主要考查了解析几何中常用的数学方法，集合问题坐标化，进而转化为代数运算，对学生的能力有一定的要求，属于中档题.6．已知抛物线y 2＝4x 上的点P 到抛物线的准线的距离为d 1，到直线3x －4y ＋9＝0的距离为d 2，则d 1＋d 2的最小值是（）A ．125 B ．65C ．2 D．5【答案】A 【解析】试题分析：根据抛物线的定义可知抛物线24y x =上的点P 到抛物线的焦点距离1PF d =,所以122d d MF d +=+,其最小值为()1,0F 到直线3490x y -+=的距离，由点到直线的距离公式可知()()122min min125d d MF d +=+==，故选A. 考点：抛物线定义的应用.7．已知椭圆22:195x y C +=左右焦点分别为12F F 、，直线):2l y x =+与椭圆C 交于A B 、两点（A 点在x 轴上方），若满足11AF F B λ=u u u v u u u v，则λ的值等于（）A．B ．3C ．2D【答案】C 【解析】由条件可知，直线l 过椭圆的左焦点()12,0F -.由)222195y x x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩消去y 整理得232108630x x ++=，解得34x =-或218x =-．设1122(,),(,)A x y B x y ，由A 点在x 轴上方可得12321,48x x =-=-． ∵11AF F Bλ=u u u v u u u v， ∴1122(2,)(2,)x y x y λ---=+, ∴122(2)x x λ--=+． ∴3212()(2)48λ---=-+，解得2λ=．选C8．如图所示，点F 是抛物线24y x =的焦点，点,A B 分别在抛物线24y x =及圆22(1)4x y -+=的实线部分上运动，且AB 总是平行于x 轴，则FAB ∆的周长的取值范围（）A ．(4,6)B ．[4,6]C ．(2,4)D ．[2,4]【答案】A 【解析】由题意知抛物线24y x =的准线为1x =-，设A B 、两点的坐标分别为1,0()A x y ，2,0()B x y ，则1||1AF x =+．由()222414y x x y ⎧=⎪⎨-+=⎪⎩ 消去y 整理得2230x x +-=，解得1x =， ∵B 在图中圆()2214x y -+=的实线部分上运动， ∴213x <<．∴FAB ∆的周长为1212(1)2()3(4,6)AF FB BA x x x x ++=+++-=+∈．选A ．点睛：解决与抛物线有关的问题时，要注意抛物线定义的运用．特别是对于焦点弦的问题更是这样，利用定义可将抛物线上的点到焦点的距离（两点间的距离）转化成该点到准线的距离（点到直线的距离），然后再借助几何图形的性质可使问题的解决变得简单．9．已知点P 在抛物线24y x =上，那么点P 到点(2,1)Q 的距离与点P 到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P 的坐标为（） A ．(1,14) B ．1(,1)4-C ．(1,2)D ．(1,2)-【答案】A 【解析】【分析】【详解】试题分析：抛物线24y x =焦点为F （1,0），准线为1x =-，作PQ 垂直于准线，垂足为M 根据抛物线定义：，PQ PF PQ PM +=+，根据三角形两边距离之和大于第三边，直角三角形斜边大于直角边知：PQ PM +的最小值是点Q 到抛物线准线1x =-的距离；所以点P 纵坐标为1，则横坐标为14,即(1,14)，故选A 考点：抛物线的定义及几何性质的运用.10．若A ，B 分别是直线20x y --=与x 轴，y 轴的交点，圆C ：()()22448x y -++=上有任意一点M ，则AMB ∆的面积的最大值是（）A ．6B ．8C ．10D ．12【答案】C 【解析】【分析】先求出AB ，再求出M 到直线的最大距离为点M 到直线20x y --=加上半径，进而可得面积最大值. 【详解】由已知()2,0A ，()0,2B -则AB ==，又点M =所以最大面积为1102⨯=. 故选：C. 【点睛】本题考查圆上一点到直线的最大距离问题，是基础题.11．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的右焦点()(),0F c c b >，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆交圆222x y b +=于P 、Q 两点，且PQ OF =，则椭圆C 的离心率为（）A B ．12C D 【答案】D 【解析】【分析】设点P 为两圆在第一象限的交点，利用对称性以及条件PQ OF =可得出点P 的坐标为,22c c ⎛⎫ ⎪⎝⎭，再将点P 的坐标代入圆222x y b +=的方程，可得出2b 与2c 的等量关系，由此可得出椭圆的离心率的值. 【详解】如下图所示，设点P 为两圆在第一象限的交点，设OF 的中点为点M ，由于两圆均关于x 轴对称，则两圆的交点P 、Q 也关于x 轴对称，又PQ OF c ==，则PQ 为圆M 的一条直径，由下图可知，PM x ⊥轴，所以点P 的坐标为,22c c ⎛⎫⎪⎝⎭，将点P 的坐标代入圆222x y b +=得22222c c b ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，可得2222222c b a c ==-，所以，2223a c =，因此，椭圆的离心率为222633c c e a a ==== D. 【点睛】本题考查椭圆离心率的计算，根据题意得出a 、b 、c 的等量关系是解题的关键，考查运算求解能力，属于中等题.12．O 为坐标原点，F 为抛物线2:4C y x =的焦点，P 为C 上一点，若4PF =，则POF V 的面积为A 2B 3C ．2D ．3【答案】B 【解析】【分析】由抛物线的标准方程24y x =可得抛物线的焦点坐标和准线方程,设出(,)P x y ,由PF =4以及抛物线的定义列式可得(1)4x --=,即3x =,再代入抛物线方程可得点P 的纵坐标,再由三角形的面积公式1||2S y OF =可得. 【详解】由24y x =可得抛物线的焦点F (1,0),准线方程为1x =-,如图:过点P 作准线1x =- 的垂线,垂足为M ,根据抛物线的定义可知PM =PF =4,设(,)P x y ,则(1)4x --=,解得3x =,将3x = 代入24y x =可得23y =±,所以△POF 的面积为1||2y OF ⋅=123132⨯= 故选B .【点睛】本题考查了抛物线的几何性质,定义以及三角形的面积公式,关键是①利用抛物线的定义求P 点的坐标;②利用OF 为三角形的底,点P 的纵坐标的绝对值为高计算三角形的面积.属中档题.13．已知1F ，2F 是双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的左、右焦点，点A 是双曲线上第二象限内一点，且直线1AF 与双曲线的一条渐近线by x a=平行，12AF F ∆的周长为9a ，则该双曲线的离心率为（）A ．2B 5C ．3D ．23【答案】A 【解析】【分析】根据双曲线的定义，结合三角形的周长可以求出1AF 和2AF 的表达式，根据线线平行，斜率的关系，结合余弦定理进行求解即可. 【详解】由题意知212AF AF a -=，2192AF AF a c +=-，解得21122a c AF -=，1722a cAF -=，直线1AF 与by x a =平行，则12tan b AF F a ∠=，得12cos a AF F c∠=，222121214cos 22AF c AF a AF F c AF c+-∠==⋅，化简得22280c ac a +-=，即2280e e +-=，解得2e =. 故选：A 【点睛】本题考查求双曲线的离心率，考查了双曲线的定义的应用，考查了余弦定理的应用，考查了数学运算能力.14．双曲线定位法是通过测定待定点到至少三个已知点的两个距离差所进行的一种无线电定位.通过船（待定点）接收到三个发射台的电磁波的时间差计算出距离差，两个距离差即可形成两条位置双曲线，两者相交便可确定船位.我们来看一种简单的“特殊”状况；如图所示，已知三个发射台分别为A ，B ，C 且刚好三点共线，已知34AB =海里，20AC =海里，现以AB 的中点为原点，AB 所在直线为x 轴建系.现根据船P 接收到C 点与A 点发出的电磁波的时间差计算出距离差，得知船P 在双曲线()222713664x y --=的左支上，根据船P 接收到A 台和B 台电磁波的时间差，计算出船P 到B 发射台的距离比到A 发射台的距离远30海里，则点P 的坐标（单位：海里）为（）A ．9011,77⎛⎫± ⎪ ⎪⎝⎭B ．135322,77⎛⎫± ⎪ ⎪⎝⎭C ．3217,3⎛⎫±⎪⎝⎭D ．(45,162±【答案】B 【解析】【分析】设由船P 到B 台和到A 台的距离差确定的双曲线方程为()22221x y x a a b-=≥，根据双曲线的定义得出15a =，再得出由船P 到B 台和到A 台的距离差所确定的双曲线为()2211522564x y x -=>，与双曲线()222713664x y --=联立，即可得出点P 坐标. 【详解】设由船P 到B 台和到A 台的距离差确定的双曲线方程为()22221x y x a a b-=≥由于船P 到B 台和到A 台的距离差为30海里，故15a =，又=17c ，故8b =故由船P 到B 台和到A 台的距离差所确定的双曲线为()2211522564x y x -=>联立()()()222227121366411522564x y x x y x ⎧--=<⎪⎪⎨⎪-=>⎪⎩，解得135,7P ⎛ ⎝⎭ 故选：B 【点睛】本题主要考查了双曲线的应用，属于中档题.15．已知直线1:(1)(1)20l a x a y -++-=和2:(1)210l a x y +++=互相垂直，则a 的值为（） A ．-1 B ．0C ．1D ．2【答案】A 【解析】分析：对a 分类讨论，利用两条直线相互垂直的充要条件即可得出．详解：1a =-时，方程分别化为：10210x y +=+=，，此时两条直线相互垂直，因此1a =-满足题意．1a ≠-时，由于两条直线相互垂直，可得：11()112a a a -+-⨯-=-+，解得1a =-，舍去．综上可得：1a =-. 故选A ．点睛：本题考查了两条直线相互垂直的充要条件，考查了推理能力与计算能力，属于基础题16．已知(cos ,sin )P αα，(cos ,sin )Q ββ，则||PQ 的最大值为（） AB ．2C ．4D．【答案】B 【解析】【分析】由两点的距离公式表示PQ ，再运用两角差的余弦公式化简，利用余弦函数的值域求得最值. 【详解】∵(cos ,sin )P αα，(cos ,sin )Q ββ，∴||PQ ====∵cos()[1,1]αβ-∈-，∴||[0,2]PQ ∈. 故选B . 【点睛】本题综合考查两点的距离公式、同角三角函数的平方关系、两角差的余弦公式和余弦的值域，属于中档题.17．椭圆满足这样的光学性质：从椭圆的一个焦点发射光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点.现在设有一个水平放置的椭圆形台球盘，满足方程：221169x y +=，点A 、B 是它的两个焦点，当静止的小球放在点A 处，从点A 沿直线出发，经椭圆壁反弹后，再回到点A 时，小球经过的最短路程是（）. A ．20 B ．18C ．16D ．以上均有可能【答案】C 【解析】【分析】根据椭圆的光学性质可知，小球从点A 沿直线出发，经椭圆壁反弹到B 点继续前行碰椭圆壁后回到A 点，所走的轨迹正好是两次椭圆上的点到两焦点距离之和，进而根据椭圆的定义可求得答案．【详解】依题意可知小球经两次椭圆壁后反弹后回到A 点，根据椭圆的性质可知所走的路程正好是4a=4×4=16 故选：C ．【点睛】本题主要考查了椭圆的应用．解题的关键是利用了椭圆的第一定义,是基础题.18．如图所示，在棱长为a 的正方体1111ABCD A B C D -中，E 是棱1DD 的中点，F 是侧面11CDD C 上的动点，且1//B F 面1A BE ，则F 在侧面11CDD C 上的轨迹的长度是( )A ．aB ．2a C ．2aD ．22a 【答案】D 【解析】【分析】设H ，I 分别为1CC 、11C D 边上的中点，由面面平行的性质可得F 落在线段HI 上，再求HI 的长度即可. 【详解】解：设G ，H ，I 分别为CD 、1CC 、11C D 边上的中点，则ABEG 四点共面，且平面1//A BGE 平面1B HI ，又1//B F Q 面1A BE ，F ∴落在线段HI 上，Q 正方体1111ABCD A B C D -中的棱长为a ，1122HI CD a ∴==，即F 在侧面11CDD C 上的轨迹的长度是22a ．故选D ．【点睛】本题考查了面面平行的性质及动点的轨迹问题，属中档题.19．已知椭圆22198x y +=的一个焦点为F ，直线220,220x y x y -+=--=与椭圆分别相交于点A 、B 、C 、D 四点，则AF BF CF DF +++=（） A ．12 B ．642+C ．8D ．6【答案】A 【解析】【分析】画出图像，根据对称性得到()()224AF BF CF DF AF AF DF DF a +++=+++=，得到答案. 【详解】画出图像，如图所示：直线220,220x y x y -+=--=平行，根据对称性知：()()22412AF BF CF DF AF AF DF DF a +++=+++==. 故选：A .【点睛】本题考查了椭圆的性质，意在考查学生对于椭圆知识的灵活运用.20．已知点M 是抛物线24x y =上的一动点，F 为抛物线的焦点，A 是圆C ：22(1)(4)1x y -+-=上一动点，则||||MA MF +的最小值为（）A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】B 【解析】【分析】根据抛物线定义和三角形三边关系可知当,,M A P 三点共线时，MA MF +的值最小，根据圆的性质可知最小值为CP r -；根据抛物线方程和圆的方程可求得CP ，从而得到所求的最值. 【详解】如图所示，利用抛物线的定义知：MP MF =当,,M A P 三点共线时，MA MF +的值最小，且最小值为1CP r CP -=-Q 抛物线的准线方程：1y =-，()1,4C415CP ∴=+= ()min 514MA MF ∴+=-=本题正确选项：B 【点睛】本题考查线段距离之和的最值的求解，涉及到抛物线定义、圆的性质的应用，关键是能够找到取得最值时的点的位置，从而利用抛物线和圆的性质来进行求解.。

广西省南宁市2021届新高考数学二模考试卷含解析

广西省南宁市2021届新高考数学二模考试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．我们熟悉的卡通形象“哆啦A 梦”的长宽比为2:1.在东方文化中通常称这个比例为“白银比例”，该比例在设计和建筑领域有着广泛的应用.已知某电波塔自下而上依次建有第一展望台和第二展望台，塔顶到塔底的高度与第二展望台到塔底的高度之比，第二展望台到塔底的高度与第一展望台到塔底的高度之比皆等于“白银比例”，若两展望台间高度差为100米，则下列选项中与该塔的实际高度最接近的是（） A ．400米B ．480米C ．520米D ．600米【答案】B【解析】【分析】根据题意，画出几何关系，结合各线段比例可先求得第一展望台和第二展望台的距离，进而由比例即可求得该塔的实际高度.【详解】设第一展望台到塔底的高度为x 米，塔的实际高度为y 米，几何关系如下图所示：由题意可得1002x x+=，解得()10021x =；且满足2100y x =+ 故解得塔高()100220021480y x =+=≈米，即塔高约为480米. 故选：B【点睛】本题考查了对中国文化的理解与简单应用，属于基础题.2．复数z 满足()12(i i z +=为虚数单位)，则z 的虚部为（）A ．iB ．i -C ．1-D ．1【答案】C【解析】【分析】21iz =+，分子分母同乘以分母的共轭复数即可. 【详解】由已知，22(1i)1i 1i (1i)(1i)z -===-++-，故z 的虚部为1-. 故选：C.【点睛】本题考查复数的除法运算，考查学生的基本运算能力，是一道基础题.3．已知,a R b R ∈∈，则“直线210ax y +-=与直线(1)210a x ay +-+=垂直”是“3a =”的( ) A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】由两直线垂直求得则0a =或3a =，再根据充要条件的判定方法，即可求解.【详解】由题意，“直线210ax y +-=与直线(1)210a x ay +-+=垂直”则(1)2(2)0a a a ++⨯-=，解得0a =或3a =，所以“直线210ax y +-=与直线(1)210a x ay +-+=垂直”是“3a =”的必要不充分条件，故选B.【点睛】本题主要考查了两直线的位置关系，及必要不充分条件的判定，其中解答中利用两直线的位置关系求得a 的值，同时熟记充要条件的判定方法是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题. 4．i 为虚数单位,则32i 1i-的虚部为（） A ．i -B ．iC ．1-D ．1【答案】C【解析】【分析】利用复数的运算法则计算即可.【详解】()()()()32122111111i i i i i i i i i i i -+-===-+=----+，故虚部为1-. 故选：C.【点睛】本题考查复数的运算以及复数的概念，注意复数(),a bi a b R +∈的虚部为b ，不是bi ，本题为基础题，也是易错题.5．已知()f x 为定义在R 上的奇函数，且满足f x f x (4)(),+=当(0,2)x ∈时，2()2f x x =，则(3)f =（）A ．18-B ．18C ．2-D ．2【答案】C【解析】【分析】由题设条件()()4f x f x +=，可得函数的周期是4，再结合函数是奇函数的性质将()3f 转化为()1f 函数值，即可得到结论.【详解】由题意，()()4f x f x +=，则函数()f x 的周期是4，所以，()()()3341f f f =-=-，又函数()f x 为R 上的奇函数，且当()0,2x ∈时，()22f x x =，所以，()()()3112f f f =-=-=-.故选：C.【点睛】本题考查函数的周期性，由题设得函数的周期是解答本题的关键，属于基础题.6．下列函数中既关于直线1x =对称，又在区间[1,0]-上为增函数的是( )A ．sin y x =π.B ．|1|y x =-C ．cos y x π=D ．e e x x y -=+【答案】C【解析】【分析】根据函数的对称性和单调性的特点，利用排除法，即可得出答案.【详解】A 中，当1x =时，sin 01y x =π=≠，所以sin y x =π不关于直线1x =对称，则A 错误；B 中，()()1,111,1x x y x x x ⎧-≥⎪=-=⎨-+<⎪⎩，所以在区间[1,0]-上为减函数，则B 错误； D 中，()x x y f x e e -==+，而()()2202,2f f e e -==+，则()()02f f ≠，所以e e x x y -=+不关于直线1x =对称，则D 错误；故选：C.【点睛】本题考查函数基本性质，根据函数的解析式判断函数的对称性和单调性，属于基础题.7．执行如图所示的程序框图，输出的结果为（）A ．78B ．158C ．3116 D ．1516【答案】D【解析】【分析】由程序框图确定程序功能后可得出结论．【详解】执行该程序可得12341111150222216S =++++=．故选：D ．【点睛】本题考查程序框图．解题可模拟程序运行，观察变量值的变化，然后可得结论，也可以由程序框图确定程序功能，然后求解．8．已知i 为虚数单位，则()2312i i i+=-（） A ．7455i + B ．7455i - C ．4755i + D ．4755i - 【答案】A【解析】【分析】根据复数乘除运算法则，即可求解.【详解】()()()()()2322323741222255i i i i i i i i i i +-++===+-++-. 故选：A.【点睛】本题考查复数代数运算，属于基础题题.9．已知点2F 为双曲线222:1(0)4x y C a a -=>的右焦点，直线y kx =与双曲线交于A ，B 两点，若223AF B π∠=，则2AF B V 的面积为（）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】【分析】设双曲线C 的左焦点为1F ，连接11,AF BF ，由对称性可知四边形12AF BF 是平行四边形，设1122,AF r AF r ==，得222121242cos 3c r r r r π=+-，求出12r r 的值，即得解.【详解】设双曲线C 的左焦点为1F ，连接11,AF BF ，由对称性可知四边形12AF BF 是平行四边形，所以122AF F AF B S S =V V ，123F AF π∠=. 设1122,AF r AF r ==，则222221212121242cos3c r r r r r r r r π=+-=+-，又122r r a -=.故212416r r b ==，所以12121sin 23AF F S r r π==V 故选：D本题主要考查双曲线的简单几何性质，考查余弦定理解三角形和三角形面积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.10．已知向量()1,2a =-v ，(),1b x x =-v ，若()2//b a a -v v v ，则x =（）A ．13B ．23C ．1D ．3【答案】A【解析】【分析】利用平面向量平行的坐标条件得到参数x 的值.【详解】由题意得，()22,5b a x x -=+-v v ，()2//b a a v v Q v -， ()2250x x ∴++-=，解得13x =. 故选A.【点睛】本题考查向量平行定理，考查向量的坐标运算，属于基础题.11．已知(,)a bi a b R +∈是11i i +-的共轭复数,则a b +=（） A ．1-B ．12-C ．12D ．1 【答案】A【解析】【分析】先利用复数的除法运算法则求出11i i+-的值，再利用共轭复数的定义求出a+bi ，从而确定a ，b 的值，求出a+b ．【详解】 ()()21(1)21112i i i i i i ++===-+-i ， ∴a+bi ＝﹣i ，∴a ＝0，b ＝﹣1，∴a+b ＝﹣1，本题主要考查了复数代数形式的乘除运算，考查了共轭复数的概念，是基础题．12．已知1cos ,,32πααπ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭,则()sin πα+= ( ) A ．22 B ．22- C ．22± D ．13【答案】B【解析】【分析】利用诱导公式以及同角三角函数基本关系式化简求解即可．【详解】1cos 3α=-Q ，,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭2122sin 1cos 19αα∴=-=-= ()22sin sin παα∴+=-=-本题正确选项：B【点睛】本题考查诱导公式的应用，同角三角函数基本关系式的应用，考查计算能力．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

广西南宁市2024年数学(高考)部编版第二次模拟(备考卷)模拟试卷

广西南宁市2024年数学（高考）部编版第二次模拟(备考卷)模拟试卷一、单项选择题（本题包含8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）(共8题)第(1)题在平面直角坐标系xOy中，直线与圆C：相交于点A，B，若，则（）A．或B．－1或－6C．或D．－2或－7第(2)题若复数所对应的点在第四象限，且满足，则（）A．B．C．D．第(3)题已知函数若关于的方程有且仅有两个不同的整数解，则实数的取值范围是A．B．C．D．第(4)题已知实数满足约束条件，则的最大值是（）A．1B．C．2D．3第(5)题下列函数中，反函数是其自身的函数为（）A．B．C．D．第(6)题随着科技的进步，我国桥梁设计建设水平不断提升，创造了多项世界第一，为经济社会发展发挥了重要作用.下图是某景区内的一座抛物线拱形大桥，该桥抛物线拱形部分的桥面跨度为10米，拱形最高点与水面的距离为6米，为增加景区的夜晚景色，景区计划在拱形桥的焦点处悬挂一闪光灯，则竖直悬挂的闪光灯距离水面的距离为（）（结果精确到0.01）A．4.96B．5.06C．4.26D．3.68第(7)题若复数满足，则的共轭复数在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第一象限C．第二象限D．第四象限第(8)题已知函数，若函数有两个零点，则实数a的取值范围是A．B．C．D．二、多项选择题（本题包含3小题，每小题6分，共18分。

在每小题给出的四个选项中，至少有两个选项正确。

全部选对的得6分，选对但不全的得3分，有选错或不答的得0分） (共3题)第(1)题已知圆台的上、下底面半径分别为2，4，母线与底面所成的角为，则（）A．该圆台的母线长为B．该圆台的表面积为C．该圆台的体积为D．该圆台的外接球的表面积为第(2)题若函数为偶函数，为奇函数，且当时，，则（）A．为偶函数B．C．D．当时，第(3)题随着时代与科技的发展，信号处理以各种方式被广泛应用于医学、声学、密码学、计算机科学、量子力学等各个领域.而信号处理背后的“功臣”就是正弦型函数，的图象就可以近似的模拟某种信号的波形，则下列说法正确的是（）A ．函数的图象关于直线对称B．函数的图象关于点对称C．函数为周期函数，且最小正周期为D．函数的导函数的最大值为4三、填空（本题包含3个小题，每小题5分，共15分。

广西南宁市2024年数学(高考)部编版第二次模拟(提分卷)模拟试卷

广西南宁市2024年数学（高考）部编版第二次模拟(提分卷)模拟试卷一、单项选择题（本题包含8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）(共8题)第(1)题若函数的反函数是，则等于（）A．a B．C．b D．第(2)题已知数列为等比数列，是它的前项和，若，且与的等差中项为，则．A．B．C．D．第(3)题已知函数，存在实数使得成立，若正整数的最大值为6，则的取值范围为（）A．B．C．D．第(4)题命题“若，则”的逆否命题是A．若，则或B．若，则C．若或，则D．若或，则第(5)题过点的直线与抛物线交于P，Q两点，F为抛物线的焦点，，若，则的值为（）A．B．2C．D．3第(6)题若，则的值为（）A．B．C．D．第(7)题已知是首项为正数，公比不为的等比数列，是等差数列，且，那么（）A．B．C．D．的大小关系不能确定第(8)题已知某旅游城市2020年前10个月的游客人数（万人）按从小到大的顺序排列如下：3，5，6，9，，，15，17，18，21，若该组数据的中位数为13，则该组数据的平均数为（）A．12B．10.7C．13D．15二、多项选择题（本题包含3小题，每小题6分，共18分。

在每小题给出的四个选项中，至少有两个选项正确。

全部选对的得6分，选对但不全的得3分，有选错或不答的得0分） (共3题)第(1)题正割（Secant）及余割（Cosecant）这两个概念是由伊朗数学家､天文学家阿布尔·威发首先引入，这两个符号是荷兰数学家基拉德在《三角学》中首先使用，后经欧拉采用得以通行.在三角中，定义正割，余割.已知函数，给出下列说法正确的是（）A．的定义域为；B．的最小正周期为；C．的值域为；D．图象的对称轴为直线.第(2)题已知，则下列选项中能使成立的是（）A．B．C．D．第(3)题下列四个表述中，正确的是（）A．将一组数据中的每一个数据都加上同一个常数后，方差不变；B．设有一个回归方程，变量增加1个单位时，平均增加5个单位；C．具有相关关系的两个变量，的相关系数为，那么越接近于0，，之间的线性相关程度越高；D．在一个列联表中，根据表中数据计算得到的观测值，若的值越大，则认为两个变量间有关的把握就越大.三、填空（本题包含3个小题，每小题5分，共15分。

广西南宁市2023届高三二模数学(文)试题(1)

一、单选题二、多选题1. 希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名.他发现：“平面内到两个定点A ，B 的距离之比为定值（）的点的轨迹是圆”.后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系中，，若点P 是满足的阿氏圆上的任意一点，点Q 为抛物线上的动点，Q在直线上的射影为R ，则的最小值为（）A．B．C．D．2.已知向量，，若，则实数的值是（）A．B．C．D．3. 大衍数列，来源于《乾坤普》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中太极衍生原理.数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两翼数量总和，是中国传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题.其前10项依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，则此数列的第20项与21项的和为（）A ．380B ．410C ．420D ．4624.的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若，，的面积为，则（）A．B ．4C ．2D．5.若函数的零点为，则（）．A．B ．1C．D ．26.已知，那么（）A．B．C．D．7. 有下列三个命题：①分层抽样中，每个个体被抽到的可能性与层数及分层有关；②散点图是判断两个变量是否相关的一种重要方法和手段；③在频率分布直方图中，各小长方形的面积之和为1.其中为真命题的是（）A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③8. 已知全集，集合A ，B 满足，则下列关系一定正确的是（）A．B．C．D．9.对于偶函数，下列结论中正确的是（）A ．函数在处的切线斜率为B ．函数恒成立C．若则D ．若对于恒成立，则的最大值为10. 已知复数z ，下列说法正确的是（）A ．若，则z 为实数B ．若，则C ．若，则的最大值为2D ．若，则z 为纯虚数广西南宁市2023届高三二模数学（文）试题(1)广西南宁市2023届高三二模数学（文）试题(1)三、填空题四、解答题11.已知点为圆锥曲线的焦点，则的方程可能为（）A．B．C．D．12. 已知集合，是两个非空整数集，若，则下列结论正确的是（）A．B．C．D．13. 过抛物线焦点的直线与抛物线交于两点，设抛物线的准线与轴的交点为，当时，___________.14. 写出一个半径为1，且与圆和圆均外切的圆的方程__________．15. 已知函数，则满足的实数的取值范围是________.16. 已知曲线上的点到点的距离比到直线的距离小，为坐标原点.（1）过点且倾斜角为的直线与曲线交于、两点，求的面积；（2）设为曲线上任意一点，点，是否存在垂直于轴的直线，使得被以为直径的圆截得的弦长恒为定值？若存在，求出的方程和定值；若不存在，说明理由.17.已知函数(1)求的最小正周期；(2)设为锐角三角形,角A 的对边长角B 的对边长若求的面积.18. 在①，②，请在这两个条件中任选一个，补充到下面问题中，并完成解答.在中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，设为的面积，满足______________(填写序号即可)．(1)求角C 的大小；(2)若，求周长的最大值．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.19.如图，在直三棱柱中，，且为的中点，为线段上一点，设.(1)当时，求证：平面.(2)当三棱锥的体积为时，求的值.20. 某市公租房的房源位于四个片区，设每位申请人只申请其中一个片区的房源，且申请其中任一个片区的房源是等可能的，在该市的甲、乙、丙三位申请人中：(1)求恰有1人申请片区房源的概率；(2)用表示选择片区的人数，求的分布列和数学期望.21. 为了了解贵州省大学生是否关注原创音乐剧与性别有关，某大学学生会随机抽取1000名大学生进行统计，得到如下列联表：男大学生女大学生合计关注原创音乐剧250300550不关注原创音乐剧250200450合计5005001000(1)从关注原创音乐剧的550名大学生中任选1人，求这人是女大学生的概率.(2)试根据小概率值的独立性检验，能否认为是否关注原创音乐剧与性别有关联？说明你的理由.附：，其中.0.10.050.010.0050.0012.7063.841 6.6357.87910.828。

南宁市必修二第二章《解析几何初步》检测题(有答案解析)

一、选择题1．已知圆22:1,O x y +=点()00,P x y 在直线20x y --=上，O 为坐标原点.若圆上存在点Q 使得30OPQ ∠=，则0x 的取值范围为（） A ．[]1,1-B ．[]0,1C ．[]0,2D ．[]22-,2．已知方程23-+=kx k k 的取值范围是（） A．13,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．53,124C ．13,24⎛⎫⎪⎝⎭D ．53,124⎛⎫⎪⎝⎭3．已知点(3,2)P ，点M 是圆221:(1)1C x y -+=上的动点，点N 是222:(2)1C x y +-=上的动点，则||||PN PM -的最大值是（）A ．5-B ．5+C ．2D ．3-4．已知12,F F 是椭圆()222210x y a b a b+=>>的两焦点，P 是椭圆上任意一点，过一焦点引12F PF ∠的外角平分线的垂线，垂足为Q ，则动点Q 的轨迹为（ ▲ ） A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线5．已知过点()2,1P 的直线l 与x 轴正半轴和y 轴正半轴分别交于A ，B 两点，当PA PB ⋅最小时，直线l 的方程为（）A ．24x y +=B ．3x y +=C ．25x y +=D ．35x y +=6．数学家欧拉于1765年在他的著作《三角形的几何学》中首次提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称为三角形的欧拉线.在平面直角坐标系中作ABC ，在ABC 中，4AB AC ==，点(1,3)B -，点(4,2)C -，且其“欧拉线”与圆222(3)x y r -+=相切，则该圆的半径r 为（）A ．1B C ．2D ．7．已知正方体1111ABCD A BC D -，E 、F 分别是正方形1111D C B A 和11ADD A 的中心，则EF 和BD 所成的角的大小是（） A ．30B ．45C ．60D ．908．如图为某几何体的三视图，正视图、左视图和俯视图均为等腰直角三角形，则该几何体的表面积是（）A ．23+B ．223+C ．63+D ．69．在正方体1111ABCD A BC D -中，M 是棱1CC 的中点．则下列说法正确的是（） A ．异面直线AM 与BC 所成角的余弦值为5B ．BDM 为等腰直角三角形C ．直线BM 与平面11BDD B 所成角的正弦值等于105D ．直线1AC 与平面BDM 相交10．如图是某个四面体的三视图，则下列结论正确的是（）A ．该四面体外接球的体积为48πB ．该四面体内切球的体积为23πC ．该四面体外接球的表面积为323πD ．该四面体内切球的表面积为2π11．在正方体1111ABCD A BC D -中，三棱锥11A B CD -的表面积为43，则正方体外接球的体积为（） A ．43π B ．6πC ．323πD ．86π 12．αβ是两个不重合的平面，在下列条件中，可判定平面α与β平行的是（）A ．m 、n 是α内的两条直线，且//m β，βn//B ．α、β都垂直于平面γC ．α内不共线三点到β的距离相D ．m 、n 是两条异面直线，m α⊂，n β⊂，且//m β，//n α二、填空题13．在空间直角坐标系O xyz -中，若点(1,2,3)A ，(1,1,4)B -，点C 是点A 关于平面yOz 的对称点，则点B 与C 的距离为_________.14．若三条直线20x y -=，30x y +-=，50mx ny ++=相交于同一点，则点(,)m n 到原点的距离的最小值为________.15．已知直线l 斜率的取值范围是()3,1-，则l 的倾斜角的取值范围是______．16．若双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）的一条渐近线被圆()2224x y -+=所截得的弦长为2，双曲线C 的离心率为______.17．若直线y x b =+与曲线21y x =-恰有一个公共点，则实数b 的取值范围是_______. 18．已知圆22(1)16x y ++=，点(1,0),(1,0)E F -，过(1,0)E -的直线1l 与过(1,0)F 的直线2l 垂直且圆相交于,A C 和,B D ，则四边形ABCD 的面积的取值范围是_________. 19．如图，在三棱锥P ABC -中，点B 在以AC 为直径的圆上运动，PA ⊥平面,ABC AD PB ⊥，垂足为,D DE PC ⊥，垂足为E ，若23,2PA AC ==，则三棱锥P ADE -体积的最大值是_________．20．已知直三棱柱111ABC A B C -，90CAB ∠=︒，1222AA AB AC ===，则直线1AB与侧面11BC CB 所成角的正弦值是______.21．已知正四棱锥的体积为18，侧棱与底面所成的角为45，则该正四棱锥外接球的表面积为___________.22．在三棱锥D ABC -中，AD ⊥平面ABC ，3AC =，17BC =，1cos 3BAC ∠=，若三棱锥D ABC -的体积为27，则此三棱锥的外接球的表面积为______23．在正方体1111ABCD A BC D -中，P 为线段1AB 上的任意一点，有下面三个命题：①//PB 平面11CC D D ；②1BD AC ⊥；③1BD PC ⊥．上述命题中正确命题的序号为__________（写出所有正确命题的序号）．24．在矩形ABCD 中，1AB =，3AD =.将BCD 沿对角线BD 翻折，得到三棱锥A BCD -，则该三棱锥外接球的表面积为________.三、解答题25．如图，长方体ABCD A B C D ''''-由，12AB =，10BC =，6AA '=，过A D ''作长方体的截面A D EF ''使它成为正方形.（1）求三棱柱AA F DD E ''-的外接球的表面积；（2）求 B A D EF V ''-.26．如图，四边形ABCD 为梯形，//,60,2,3,6AB CD C AB BC CD ∠=︒===，点M 在边CD 上，且13CM CD =．现沿AM 将ADM △折起至AQM 的位置，使3QB =．（Ⅰ）求证：QB ⊥平面ABCM ；（Ⅱ）求直线BM 与平面AQM 所成角的正弦值．27．在如图所示的几何体中，四边形BCED 为直角梯形，//DE CB ，BC EC ⊥，90AED ∠=︒.（1）证明：平面ABC ⊥平面ACE .（2）若P ，Q 分别是AE ，CD 的中点，证明：//PQ 平面ABC . 28．如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，F 为AC 中点.（1）若此三棱柱为正三棱柱，且1112A A AC =，求异面直线1AB 与BF 所成角的大小；（2）求证：1AB //平面1BFC .【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】根据圆的切线的性质，可知当过P 点作圆的切线，切线与OP 所成角是圆上的点与OP 所成角的最大值，只需此角大于等于30即可，此时半径，切线与OP 构成直角三角形，由切线与OP 所成角大于等于30可得OP 小于等于半径的2倍，再用含0x 的式子表示OP ，即可求出0x 的取值范围．【详解】设过P 的C 的切线切点为R ，根据圆的切线性质，有30OPR OPQ ∠∠=︒．反过来，如果30OPR ∠︒，则存在C 上点Q 使得30OPQ ∠=︒．∴若圆C 上存在点Q ，使30OPQ ∠=︒，则30OPR ∠︒||1OR =，||2OP ∴>时不成立，||2OP ∴．222222000000||(2)244OP x y x x x x =+=+-=-+200240x x ∴-，解得，0002x x ∴的取值范围是[0，2]故选：C ．【点睛】本题主要考查了直线与圆相切时切线的性质，以及一元二次不等式的解法，综合考查了学生的转化能力，计算能力．2．B解析：B 【分析】如图，当直线在AC 位置时，斜率303224k -==+，当直线和半圆相切时，由半径22002321k k --+=+解得k 值，即得实数k 的取值范围．【详解】由题意得，半圆24y x =-与直线32y kx k =+-有两个交点，又直线323(2)y kx k y k x =+-⇒-=-过定点C (2,3)，如图所示，又点(2,0),(2,0)A B -，当直线在AC 位置时，斜率303224k -==+. 当直线和半圆相切时，由半径2002321k k --+=+解得512k =，故实数k 的取值范围为53(,]124故选：B 【点睛】关键点点睛：由函数解析式转化为直线与半圆有两个公共点，根据直线与圆的位置关系，点到直线的距离公式的应用，求出直线在AC 位置时的斜率k 值及切线CD 的斜率，是解题的关键．3．A解析：A 【分析】由圆外的点和圆上的点的连线长度的最值关系，转化为求max minPN PM -.【详解】由条件可知||||PN PM -的最大值是max minPN PM-，()()222max 1302214PN PC =+=-+-=， ()()221min131201221PMPC =-=-+-=,所以||||PN PM -的最大值是()4221522--=-. 故选：A 【点睛】结论点睛：本题第二问考查与圆的几何性质有关的最值，具体结论如下：（1）设O 为圆的圆心，半径为r ，圆外一点A 到圆上的距离的最小值为AO r -，最大值为AO r +；（2）过圆内一点的最长弦为圆的直径，最短弦是以该点为中点的弦；（3）记圆的半径为r ，圆心到直线的距离为d ，直线与圆相离，则圆上的点到直线的最大距离为d r +，最小值为d r -.4．A解析：A 【详解】不妨设过焦点1F 引12F PF ∠的外角平分线的垂线，垂足为Q ，延长F 1Q 交F 2P 与M 点,连OQ ，则21211()=22OQ F M F P PF a ==+,所以动点Q 的轨迹为圆，选A. 5．B解析：B 【分析】由题意结合三角函数的知识可得1sin PA θ=，2cos PB θ=，结合正弦的二倍角公式可得4sin 2PA PB θ⋅=，求出θ后即可得直线的斜率，再由点斜式即可得解. 【详解】设()090BAO θθ∠=<<，如图：则1sin PA θ=，2cos PB θ=，所以124sin cos sin 2PA PB θθθ⋅=⋅=，所以当290θ=即45θ=时，PA PB ⋅最小，此时，直线的倾斜角为135，斜率tan1351k ==-，所以直线l 的方程为()12y x -=--即3x y +=. 故选：B. 【点睛】本题考查了三角函数、三角恒等变换的应用，考查了直线方程的求解，关键是合理转化条件，属于中档题.6．B解析：B 【分析】由等腰三角形的性质可得BC 边上的高线、垂直平分线和中线合一，其“欧拉线”为ABC 边BC 的垂直平分线，运用中点坐标公式和两直线垂直的条件，求得BC 边上的垂直平分线方程，再由直线和圆相切的条件：d r =，可得所求值．【详解】解：在ABC 中，4AB AC ==，点(1,3)B -，点(4,2)C -，可得BC 边上的高线、垂直平分线和中线合一，则其“欧拉线”为ABC 边BC 的垂直平分线，可得BC 的中点为3(2，1)2，直线BC 的斜率为32114+=---，则BC 的垂直平分线的斜率为1，可得BC 的垂直平分线方程为1322y x -=-，即为10x y --=，其“欧拉线”与圆222(3)x y r -+=相切，可得圆心(3,0)到“欧拉线”的距离为d ==即有半径r =故选：B ．【点睛】本题考查直线方程、三角形的“欧拉线”的定义，以及直线和圆相切的条件，考查推理能力与计算能力．7．C解析：C 【分析】作出图形，连接1AD 、11B D 、1AB ，推导出1//EF AB ，11//BD B D ，可得出异面直线EF 和BD 所成的角为11AB D ∠，分析11AB D 的形状，即可得出结果.【详解】如下图所示，连接1AD 、11B D 、1AB ，设正方体1111ABCD A BC D -的棱长为1，则11112AD AB B D ===，所以，11AB D 为等边三角形，则1160AB D ∠=，因为E 、F 分别是正方形1111D C B A 和11ADD A 的中心，则E 、F 分别是11B D 、1AD 的中点，所以，1//EF AB ，在正方体1111ABCD A BC D -中，11//BB DD 且11BB DD =，所以，四边形11BB D D 为平行四边形，则11//BD B D ，所以，异面直线EF 和BD 所成的角为1160AB D ∠=. 故选：C. 【点睛】思路点睛：平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题化归为共面直线问题来解决，具体步骤如下：（1）平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角；（2）认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角；（3）计算：求该角的值，常利用解三角形；（4）取舍：由异面直线所成的角的取值范围是0,2π⎛⎤⎥⎝⎦，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角．8．A解析：A 【分析】由三视图可知原几何体是三棱锥，平面ACD ⊥平面ABC ，ACD ACB ≅底面是等腰直角三角形，底为2AC =，高为1BE =，ABD BCD ≅是边长为2的等边三角形，计算四个三角形面积之和即可求解. 【详解】由三视图可知原几何体是三棱锥：底面ACB △是等腰直角三角形，底2AC =，高1BE =，平面ACD ⊥平面ABC ，ACD ACB ≅，由三视图知ACB △中，2AC =，ACB △是等腰直角三角形，所以2AB BC ==ACD △是等腰直角三角形，2AD CD ==2AC =，222BD BE DE =+=所以等腰直角三角形ACB △的面积为12112⨯⨯=，等腰直角三角形ACD △的面积为12112⨯⨯=，等边ABD △的面积为233242=，等边BCD △2332=，所以该几何体的表面积是331123+= 故选：A.9．C解析：C 【分析】A 通过平移，找出异面直线所成角，利用直角三角形求余弦即可. B.求出三角形的三边，通过勾股定理说明是不是直角三角形.C.求出点M 到面11BB D D 的距离，再求直线BM 与平面11BDD B 所成角的正弦.D.可通过线线平行证明线面平行. 【详解】设正方体棱长为2A. 取1BB 的中点为N ，则//BC MN ，则AM 与BC 所成角为AMN ∠ 由BC ⊥面11ABB A ，故MN ⊥面11ABB A ，故MN AN ⊥，在Rt ANM △中，5tan 2AMN ∠=，故2cos 3AMN ∠=B. BDM 中，5BM =，22BD =，5DM =，不满足勾股定理，不是直角三角形C. AC BD ⊥，1AC BB ⊥，故AC ⊥面11BB D D ，1//CC 面11BB D D ，故M 到面11BB D D 的距离等于C 到面11BB D D 的距离，即为122d AC ==直线BM 与平面11BDD B 所成角为θ210sin 55d BM θ===直线BM 与平面11BDD B 所成角的正弦值等于10D.如图ACBD O =OM 为1ACC △的中位线，有1//OM AC故直线1AC 与平面BDM 平行故选：C 【点睛】本题考查了空间几何体的线面位置关系判定与证明：（1）对于异面直线的判定要熟记异面直线的概念：把既不平行也不相交的两条直线称为异面直线；（2）对于线面位置关系的判定中，熟记线面平行与垂直、面面平行与垂直的定理是关键.10．D解析：D 【分析】先找到几何体原图，再求出几何体的外接球的半径和内切球的半径，再判断每一个选项得解. 【详解】由三视图得几何体为下图中的三棱锥A BCD -，AB ⊥平面BCD ,42AB =,2CE DE ==,2BE =,由题得2CBD π∠=.设外接球的球心为,O 外接球的半径为R ，则OE ⊥平面BCD , 连接,OB OA ,取AB 中点F ,连接OF .由题得1222OE BF AB ===,所以222(22)2,23R R =+∴=, 所以外接球的体积为34(23)3233ππ⨯=，所以选项A 错误；所以外接球的表面积为24(23)48ππ⨯=，所以选项C 错误；由题得22(42)(22)210AC AD ==+=，所以△ACD △的高为24026-=，设内切球的半径为r ，则1111111(422242222446)24423222232r ⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=⨯⨯⨯⨯ 所以2r，所以内切球的体积为3422)3ππ⨯=（，所以选项B 错误；所以内切球的表面积为224()2ππ⨯=，所以选项D 正确. 故选：D【点睛】方法点睛：求几何体外接球的半径一般有两种方法:模型法和解三角形法.模型法就是把几何体放在长方体中，使几何体的顶点和长方体的若干个顶点重合，则几何体的外接球和长方体的外接球是重合的，长方体的外接球的半径22212r a b c =++就是几何体的外接球半径.如果已知中有多个垂直关系，可以考虑用此种方法.解三角形法就是找到球心O 和截面圆的圆心O '，找到OO '、球的半径OA 、截面圆的半径O A '确定的Rt OO A '△,再解Rt OO A '△求出球的半径OA .11．B解析：B 【分析】根据三棱锥的表面积进一步求出正方体的棱长，最后求出正方体的外接球的半径，进一步求出结果．【详解】解：设正方体的棱长为a ，则1111112B D AC AB AD B C D C a ======，由于三棱锥11A B CD -的表面积为43，所以()1213344224AB CS S a==⨯⨯=所以2a =()()()2222226++=，所以正方体的外接球的体积为34663ππ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭故选：B ．【点睛】与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.12．D解析：D【分析】取a αβ⋂=，且//m a ，//n a ，利用线面平行的判定定理可判断A 选项；根据αγ⊥，βγ⊥判断平面α与β的位置关系，可判断B 选项；设AB 、AC 的中点D 、E 在平面β内，记平面ABC 为平面α，判断出A 、B 、C 三点到平面β的距离相等，可判断C选项；过直线n 作平面γ，使得a αγ⋂=，利用线面平行、面面平行的判定定理可判断D 选项. 【详解】对于A 选项，若a αβ⋂=，且//m a ，//n a ，m β⊄,n β⊄,则//m β，βn//，但α与β相交；对于B 选项，若αγ⊥，βγ⊥，则α与β平行或相交；对于C 选项，设AB 、AC 的中点D 、E 在平面β内，记平面ABC 为平面α，如下图所示：D 、E 分别为AB 、AC 的中点，则//DE BC ，DE β⊂，BC β⊄，//BC β∴，所以，点B 、C 到平面β的距离相等，由于D 为AB 的中点，则点A 、B 到平面β的距离相等，所以，点A 、B 、C 三点到平面β的距离相等，但平面α与平面β相交；对于D 选项，如下图所示：由于//n α，过直线n 作平面γ，使得a αγ⋂=，则//a n ，//n a ，a β⊄，n β⊂，//a β∴，//m β，m a A =，m α⊂，a α⊂，//αβ∴.故选：D. 【点睛】方法点睛：证明或判断两个平面平行的方法有： ①用定义，此类题目常用反证法来完成证明；②用判定定理或推论（即“线线平行”⇒“面面平行”），通过线面平行来完成证明； ③根据“垂直于同一条直线的两个平面平行”这一性质进行证明； ④借助“传递性”来完成．二、填空题13．【分析】求出的坐标由空间中两点间的距离公式即可计算与的距离【详解】由题意知则故答案为：【点睛】关键点点睛：该题考查了空间中两点间的距离计算解题的关键点是正确求出的坐标 14【分析】求出C 的坐标，由空间中两点间的距离公式即可计算B 与C 的距离. 【详解】由题意知，()1,2,3C -，则()()()22211124314BC =++--+-=14【点睛】关键点点睛：该题考查了空间中两点间的距离计算，解题的关键点是正确求出C 的坐标.14．【分析】联立解得交点代入可得：再利用两点之间的距离公式二次函数的性质即可得出【详解】解：联立解得把代入可得：点到原点的距离当时取等号点到原点的距离的最小值为故答案为：【点睛】本题考查了两条直线的交点 5【分析】联立23y x x y =⎧⎨+=⎩，解得交点(1,2)，代入50mx ny ++=可得：250m n ++=．再利用两点之间的距离公式、二次函数的性质即可得出．【详解】解：联立23y xx y =⎧⎨+=⎩，解得1x =，2y =．把(1,2)代入50mx ny ++=可得：250m n ++=．52m n ∴=--．∴点(,)m n 到原点的距离5d ，当2n =-，1m =-时，取等号．∴点(,)m n【点睛】本题考查了两条直线的交点、两点之间的距离公式、二次函数的性质，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．15．【分析】根据斜率与倾斜角的关系即可求解【详解】因为直线斜率的取值范围是所以当斜率时倾斜角当斜率时倾斜角综上倾斜角的取值范围故答案为：【点睛】本题主要考查了直线的斜率直线的倾斜角属于中档题解析：20,,43πππ⎡⎫⎛⎫⎪⎪⎢⎣⎭⎝⎭【分析】根据斜率与倾斜角的关系即可求解. 【详解】因为直线l 斜率的取值范围是()，所以当斜率01k ≤<时，倾斜角04πα≤<，当斜率0k <时，倾斜角23παπ<<，综上倾斜角的取值范围20,,43πππ⎡⎫⎛⎫⎪⎪⎢⎣⎭⎝⎭，故答案为：20,,43πππ⎡⎫⎛⎫⎪⎪⎢⎣⎭⎝⎭【点睛】本题主要考查了直线的斜率，直线的倾斜角，属于中档题.16．2【分析】求得双曲线的一条渐近线方程求得圆心和半径运用点到直线的距离公式和弦长公式可得ab 的关系即可得到所求离心率公式【详解】双曲线C ：的一条渐近线方程设为圆的圆心为半径可得圆心到渐近线的距离为则化解析：2 【分析】求得双曲线的一条渐近线方程，求得圆心和半径，运用点到直线的距离公式和弦长公式，可得a ，b 的关系，即可得到所求离心率公式．【详解】双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线方程设为0bx ay -=，圆22(2)4x y -+=的圆心为(2,0)，半径2r ，可得圆心到渐近线的距离为d =则2=，化为22223a b c a ==-，即224a c =，1ce a=>，解得2e =. 故答案为：2. 【点睛】本题考查圆与圆锥曲线的综合，解题关键是点到直线距离公式及弦长公式建立a ，b 的等量关系，即可求解a 、c 关系，属于中等题.17．【分析】曲线是以原点为圆心1为半径的半圆直线是一条斜率为的直线利用图像找到交点恰有一个的情况即可【详解】由题由可得即为以原点为圆心1为半径的半圆直线是一条斜率为的直线与轴交于两点分别是当点在直线上时解析：[)1,1-⋃【分析】曲线y =,1为半径的半圆,直线y x b =+是一条斜率为1的直线,利用图像找到交点恰有一个的情况即可【详解】由题,由y =()2210x y y +=≥,即为以原点为圆心,1为半径的半圆,直线y x b =+是一条斜率为1的直线,()2210x y y +=≥与x 轴交于两点,分别是()1,0A -,()10B ,,当点()1,0A -在直线y x b =+上时,1b =；当点()10B ,在直线y x b =+上时,1b =-, 则当11b -≤<时,二者恰有一个公共点；当直线y x b =+与()2210x y y +=≥相切时,12b =,所以2b =2b =-,综上,11b -≤<或2b =故答案为:[){}1,12-⋃【点睛】本题考查已知直线与圆的交点个数求参数范围问题,考查数形结合思想18．【分析】由题可知而过的弦过圆心时最长与垂直时最短据此则可以确定四边形的面积的取值范围【详解】由题知直线过圆心故设圆心到直线的距离为则所以所以四边形的面积;故答案为:【点睛】本题主要考查直线与圆相交时解析：163,32⎡⎤⎣⎦【分析】由题可知8AC =,而过(1,0)F 的弦BD 过圆心时最长,与EF 垂直时最短,据此则可以确定四边形ABCD 的面积的取值范围. 【详解】由题知,直线1l 过圆心(1,0)E -,故8AC =,设圆心(1,0)E -到直线2l 的距离为d ,则02d EF ≤≤=, 所以221643,8BD d ⎡⎤=-⎣⎦,所以四边形ABCD 的面积1163,322S AB CD ⎡⎤=⋅⋅∈⎣⎦; 故答案为:163,32⎡⎤⎣⎦.【点睛】本题主要考查直线与圆相交时的弦长､面积问题,解题关键是明确:过圆内一点的作弦,弦过圆心时最长,与最长的弦垂直时弦最短.19．【分析】由已知证明再由三角形相似列比例式可得证明利用基本不等式求得的最大值可得三棱锥体积的最大值【详解】由平面得又平面得又平面得而平面可得在中由得由得则由得又得即（当且仅当时等号成立）三棱锥体积的最解析：34【分析】由已知证明AE PC ⊥，再由三角形相似列比例式可得PE ，证明AD DE ⊥，利用基本不等式求得AD DE ⋅的最大值，可得三棱锥P ADE -体积的最大值．【详解】由PA ⊥平面ABC ，得PA BC ⊥，又BC AB ⊥，PAAB A =，BC ∴⊥平面PAB ，得BC AD ⊥，又AD PB ⊥，PB BC B ⋂=， AD ∴⊥平面PBC ，得AD PC ⊥，而DE PC ⊥，AD DE D ⋂=，PC ∴⊥平面ADE ，可得AE PC ⊥．在Rt PAC △中，由2PA AC ==，得4PC =．由Rt PEA Rt PAC ∽，得PE PA PA PC =，则21234PA PE PC ===，由3PE =，PA =23AE =，又AD DE ⊥，2223AD DE AE ∴+==，得2232AD DE AD DE =+≥⋅，即32AD DE⋅（当且仅当AD DE =时等号成立）， ∴三棱锥P ADE -体积的最大值是1111333323224AD DE PE ⨯⨯⨯=⨯⨯⨯=．故答案为：34．【点睛】方法点睛：解答空间几何体中垂直关系时，一般要根据已知条件把空间中的线线、线面、面面之间垂直关系进行转化，转化时要正确运用有关的定理，找出足够的条件进行推理．20．【分析】取中点连接证明平面可得为直线与侧面所成的角进而可得答案【详解】取中点连接直三棱柱中平面平面又又面平面在平面上的射影为故为直线与侧面所成的角中中中故答案为：【点睛】方法点睛：求直线与平面所成的【分析】取11B C 中点D ，连接1,A D BD ，证明1A D ⊥平面11BC CB ，可得1A BD ∠为直线1A B 与侧面11BC CB 所成的角，进而可得答案. 【详解】取11B C 中点D ，连接1,A D BD ，直三棱柱中，1BB ⊥平面111A B C ，1A D ⊂平面111A B C ，11BB A D ∴⊥，又11111A B AC ==，111A D B C ∴⊥，又1111B C BB B =，111,B C BB ⊂面11BB C C ，1A D ∴⊥平面11BC CB ，1A B ∴在平面11BC CB 上的射影为DB ，故1A BD ∠为直线1A B 与侧面11BC CB 所成的角，11Rt A B B 中，22211121125BB A B A B =+=+=111Rt B AC 中，111212122B C A D === 1Rt A BD ∴中，1112102sin 105A D A BD AB ∠===， 10【点睛】方法点睛：求直线与平面所成的角有两种方法：一是传统法，证明线面垂直找到直线与平面所成的角，利用平面几何知识解答；二是利用空间向量，求出直线的方向向量以及平面的方向向量，利用空间向量夹角余弦公式求解即可.21．【分析】作出图形计算出正四棱锥的高与底面边长设底面的中心为计算得出为正四棱锥的外接球球心可求得该正四棱锥的外接球半径即可得解【详解】如下图所示设正四棱锥的底面的中心为连接设正四棱锥的底面边长为则由于解析：36π【分析】作出图形，计算出正四棱锥P ABCD -的高与底面边长，设底面ABCD 的中心为E ，计算得出E 为正四棱锥P ABCD -的外接球球心，可求得该正四棱锥的外接球半径，即可得解. 【详解】如下图所示，设正四棱锥P ABCD -的底面ABCD 的中心为E ，连接PE 、AC 、BD ，设正四棱锥P ABCD -的底面边长为a ，则2AC BD a ==，由于E 为正四棱锥P ABCD -的底面ABCD 的中心，则PE ⊥平面ABCD ，由于正四棱锥P ABCD -的侧棱与底面所成的角为45，则45PAC PCA ∠=∠=，所以，PAC △是以APC ∠为直角的等腰直角三角形，同理可知，PBD △是以BPD ∠为直角的等腰直角三角形，E 为AC 的中点，122PE AC ==，2ABCD S a =正方形， 231122183326P ABCD ABCD V S PE a a a -=⋅=⨯⨯==正方形，解得32a =232PE a ==，由直角三角形的性质可得1122PE AC BD ==，即PE AE BE CE DE ====，所以，E 为正四棱锥P ABCD -外接球的球心，球E 的半径为3r PE ==，该球的表面积为2436r ππ=. 故答案为：36π. 【点睛】方法点睛：求空间多面体的外接球半径的常用方法：①补形法：侧面为直角三角形，或正四面体，或对棱二面角均相等的模型，可以还原到正方体或长方体中去求解；②利用球的性质：几何体中在不同面均对直角的棱必然是球大圆直径，也即球的直径； ③定义法：到各个顶点距离均相等的点为外接球的球心，借助有特殊性底面的外接圆圆心，找其垂线，则球心一定在垂线上，再根据带其他顶点距离也是半径，列关系求解即可.22．【分析】设出外接球的半径球心的外心半径r 连接过作的平行线交于连接如图所示在中运用正弦定理求得的外接圆的半径r 再利用的关系求得外接球的半径运用球的表面积公式可得答案【详解】设三棱锥外接球的半径为球心为解析：20π【分析】设出外接球的半径R 、球心O ，ABC 的外心1O 、半径 r , 连接1AO ，过O 作的平行线OE 交AD 于 E ，连接OA ，OD ，如图所示，在ABC 中，运用正弦定理求得 ABC的外接圆的半径r ,再利用1,,R r OO 的关系求得外接球的半径，运用球的表面积公式可得答案. 【详解】设三棱锥外接球的半径为R 、球心为O ，ABC 的外心为1O 、外接圆的半径为r ，连接1AO ，过O 作平行线OE 交AD 于E ，连接OA ，OD ，如图所示，则OA OD R ==，1O A r =，OE AD ⊥，所以E 为AD 的中点.在ABC 中，由正弦定理得172sin 223BC r BAC ==∠，解得334r =. 在ABC 中，由余弦定理2222cos BC AB AC AB AC BAC =+-⋅⋅∠，可得2117963AB AB =+-⋅⋅，得4AB =.所以1122sin 344222ABC S AB AC BAC =⋅⋅∠=⨯⨯⨯=△. 因为11274233D ABC ABC V S AD AD -=⋅⋅=⨯⨯=△，所以14AD =.连接1OO ，又1//OO AD ，所以四边形1EAOO 为平行四边形， 111428EA OO AD ===，所以22221114324588R OO AO ⎛⎫⎛⎫=+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.所以该三棱锥的外接球的表面积()224π4π520πS R ===.故答案为：20π.【点睛】本题考查三棱锥的外接球，及球的表面积计算公式，解决问题的关键在于利用线面关系求得外接球的球心和球半径，属于中档题.23．①②③【分析】①证明线面平行可判断对错；②证明线面垂直可判断对错；③证明线面垂直可判断对错【详解】①如下图所示：因为平面平面平面所以平面故①正确；②连接如下图所示：因为平面所以又因为且所以平面又因为解析：①②③ 【分析】①证明线面平行可判断对错；②证明线面垂直可判断对错；③证明线面垂直可判断对错. 【详解】 ①如下图所示：因为平面11//ABB A 平面11CC D D ，BP ⊂平面11ABB A ，所以//PB 平面11CC D D ，故①正确；②连接,AC BD ，如下图所示：因为1DD ⊥平面ABCD ，所以1DD AC ⊥，又因为AC BD ⊥且1DD BD D =，所以AC ⊥平面1DBD ，又因为1BD ⊂平面1DBD ，所以1BD AC ⊥，故②正确； ③连接11,,,AC PC B C BC ，如下图所示：因为11D C ⊥平面11BCC B ，所以11D C ⊥1BC ，又因为11BC B C ⊥，且1111D C BC C ⋂=，所以1B C ⊥平面11BD C ，又1BD ⊂平面11BD C ，所以11B C BD ⊥，由②的证明可知1BD AC ⊥，且1AC BC C ⋂=，所以1BD ⊥平面1ABC ，又因为PC ⊂平面1ABC ，所以1BD PC ⊥，故③正确，故答案为：①②③. 【点睛】本题考查空间线面平行、线线垂直关系的判断，涉及线面平行判定定理、线面垂直判定定理的运用，主要考查学生对空间中位置关系的逻辑推理能力，难度一般.24．【分析】作出图示求得外接球的半径由球的表面积可求得答案【详解】作出图示因为在矩形ABCD 中则连接交于点则设该三棱锥外接球的半径为则所以该三棱锥外接球的表面积故答案为：【点睛】本题考查三棱锥的外接球的解析：4π【分析】作出图示，求得外接球的半径，由球的表面积可求得答案. 【详解】作出图示，因为在矩形ABCD 中，1AB =，3AD =.则2==AC BD ，连接AC BD ，交于点O ，则1AO BO CO DO ====，设该三棱锥外接球的半径为R ，则1R =，所以该三棱锥外接球的表面积244S R ππ==，故答案为：4π.【点睛】本题考查三棱锥的外接球的表面积计算，关键在于求得外接球的球心位置和半径，属于中档题.三、解答题25．（1）200π（2）80 【分析】（1）根据直三棱柱底面为为直角三角形可得外接球球心的位置，利用勾股定理求半径，即可求解；（2）根据等体积法及几何体的割补法可转化为求三棱锥A BEF V '-即可. 【详解】（1）因为截面A D EF ''为正方形，所以10A F BC A D '===''，在Rt A AF '△中，222AA AF A F ''+=，即222610AF +=，解得8AF =，在直三棱柱AA F DD E ''-中，底面Rt A AF '△的外接圆半径为1110522A F '=⨯=，直三棱柱AA F DD E ''-的外接球球心到面A AF '的距离为11052⨯=，设三棱柱的外接球半径为R ，则R ==24200S R ππ∴==（2）因为22B A EF A B B A D EF EF V V V ''-'--'==，在长方体中AA '⊥平面BEF ，所以三棱锥A BEF '-的高为6AA '=，所以B A D EF V ''-111226332BEF S A A EF BF ⎛⎫'=⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯⨯ ⎪⎝⎭△11210468032=⨯⨯⨯⨯⨯=.【点睛】关键点点睛：根据直三棱柱外接球的的性质可知球心到底面的距离为高的一半，求出底面外接圆的半径即可利用勾股定理求解即可，利用分割法可把四棱锥转化为三棱锥求体积即可.26．（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ 【分析】（Ⅰ）设DB AM O ⋂=，证明所以AM ⊥平面QOB ，得QB AM ⊥，再由勾股定理证明QB BO ⊥，后可得证线面垂直；（Ⅱ）作BP QO ⊥于P ，证明BMP ∠即是BM 与平面AQM 所成的角．在直角三角形中。

广西南宁市(新版)2024高考数学部编版考试(提分卷)完整试卷

广西南宁市（新版）2024高考数学部编版考试(提分卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题若双曲线的左、右焦点分别为，点在双曲线上，且，则等于A．11B．9C．5D．3第(2)题已知复数满足，则（）A．B．C．D．第(3)题若是圆上任一点，则点到直线的距离的值不可能等于（）A．2B．3C．D．第(4)题已知向量，，且，则（）A．B．C．D．第(5)题设，则（）A．B．C．D．第(6)题已知集合，则（）A．B．C．D．第(7)题下列不等式正确的是（）．（其中为自然对数的底数，）A．B．C．D．第(8)题有2男2女共4名大学毕业生被分配到三个工厂实习，每人必须去一个工厂且每个工厂至少去1人，且工厂只接收女生，则不同的分配方法种数为（）A．12B．14C．36D．72二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题已知函数的定义域为，，，当时，，则（）A．B．的图象关于直线对称C．当时，D．函数有个零点第(2)题已知函数，则（）A．的最小正周期为B．的图象关于对称C ．在上单调递减D．当时，第(3)题已知随机变量服从二项分布，其方差，随机变量服从正态分布，且，则（）A．B．C．D ．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题设，，实数x ，y 满足，则的最小值为__________.第(2)题对于有穷数列，从数列中选取第项､第项､､第项，顺次排列构成数列，其中，则称新数列为的一个子列，称各项之和为的一个子列和．规定：数列的任意一项都是的子列．则数列的所有子列和的和为__________．第(3)题已知函数及其导函数的定义域均为R ，记.且，，当，，则______.（用数字作答）四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，、分别为、上的点，且.(1)证明：平面；(2)若平面，为的中点，，，求二面角的正切值.第(2)题的内角的对边分别为，已知．(1)求B ；(2)A 的角平分线与C 的角平分线相交于点D ，，，求和．第(3)题如图，已知双曲线的一条渐近线与轴夹角为，点在上，过的两条直线的斜率分别为，且交于交于，线段与的中点分别为(1)求双曲线的方程；(2)求证：存在点，使为定值.第(4)题已知数列的前n 项和为，，公差不为0的等差数列满足，证明：数列为等比数列．记，求数列的前n 项和．第(5)题我们国家正处于老龄化社会中，老有所依也是政府的民生工程．某市共有户籍人口400万，其中老人（年龄60岁及以上）人数约有66万，为了了解老人们的健康状况，政府从老人中随机抽取600人并委托医疗机构免费为他们进行健康评估，健康状况共分为不能自理、不健康尚能自理、基本健康、健康四个等级，并以80岁为界限分成两个群体进行统计，样本分布被制作成如下图表：(1)若采用分层抽样的方法再从样本中的不能自理的老人中抽取16人进一步了解他们的生活状况，则两个群体中各应抽取多少人？(2)估算该市80岁及以上长者占全市户籍人口的百分比；(3)政府计划为80岁及以上长者或生活不能自理的老人每人购买1000元/年的医疗保险，为其余老人每人购买600元/年的医疗保险，不可重复享受，试估计政府执行此计划的年度预算．。

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