大学物理 高斯定理
大学物理 高斯定理
正点电荷与负点电荷的电场线
+
-
第1章 静止电荷的电场 章
10
大学 物理学
1.6 高斯定理
一对等量正点电荷的电场线
+
+
第1章 静止电荷的电场 章
11
大学 物理学1.6 高斯定理源自一对等量异号点电荷的电场线
-
+
第1章 静止电荷的电场 章
12
大学 物理学
1.6 高斯定理
一对不等量异号点电荷的电场线
2q
3.高斯定理源于库仑定律 3.高斯定理源于库仑定律 高于库仑定律 高斯 定理
(2)高斯定理高于库仑定律 (以下将要证明) (2)高斯定理高于库仑定律 以下将要证明) A.
库仑 定律
第1章 静止电荷的电场 章 4.静电场性质的基本方程 4.静电场性质的基本方程
7
大学 物理学
1.6 高斯定理
r r 1 ∫ E ⋅ dS =
q2
q3 q6
∫
S
r r r r r r r r r E ⋅ dS = ？ E = E1 + E 2 + E 3 + E 4 + E 5 + E 6
∫
S
r r E ⋅ dS =
∫
S
r r E1 ⋅ d S +
∫
S
r r E 2 ⋅ dS +
∫
S
r r E3 ⋅ dS
+
=
∫
S
r r r r r r E 4 ⋅ dS + ∫ E5 ⋅ dS + ∫ E6 ⋅ dS
2
=∫
q
dS = 2
q
2.大学物理-高斯定理
关于高斯定理的讨论：
es
1 E dS q内
s
0
3. 利用高斯定理可方便求解具有某些对称分布的静电场 成立条件：静电场
求解条件：电场分布具有某些对称性
才能找到恰当的高斯面，使 s E cos dS 中的 E和 cos 能够提到积分号外，从而简便地求出 E 分布
能否用高斯定理求电场分布？
如果不能，是否意味着高斯定理失效？
q内 ( r ) dV
R ,r
dV L 2rdr
[例三] 无限大均匀带电平面的电场（电荷面密度 ）
对称性分析： 视为无限长均匀带电直线的集合
dE
x
dE
P
' dE
dE
E方向 垂直于带电平面，
E cos0 dS E cos0 dS E cos dS 2 E 2S
左 右 侧
0
0
2 0
E
o
x
2 0
E 2 0
其指向由 号决定
的符
讨论： 1.电荷均匀分布无限大平板（厚度 h 0 ）的电场。
2.电荷分层均匀分布分层均匀无限大平板（厚度
讨论：
1. 无限长均匀带电柱面的电场分布
对称性分析：视 为无限长均匀带 电直线的集合； 选高斯面；同轴 圆柱面
R
o o
r
r
P
E o R r
' dE
P
dE
' dE dE
由高斯定理计算
r R: E0 r R:
E 2 0 r
2. 计算均匀带电圆柱层（ R1 , R2 , ）的电场分布
大学物理 高斯定理
第8章 静电场和稳恒电场
17
8-2 电通量 高斯定理
例8.6 均匀带电球面的电场强度 一半径为 R , 均匀带电 q 的球 求球面内外任意点的电场强度. 面 . 求球面内外任意点的电场强度
r
+ + 1+ + + +
S
O
v v ∫ E ⋅ dS = 0
S1
解（1） 0 < r < R ）
r
R
+ + +
1 q d Φ e = E cos 0d S = dS 2 4π ε 0 r
qd S Φe = dΦe = ∫S ∫ S 4πε 0 r 2
=
=
r
+
v dS
q
4 πε 0r q
2
∫
S
dS
ε0
Φ e 与r无关
第8章 静电场和稳恒电场
12
8-2 电通量 高斯定理
点电荷在任意闭合曲面内 点电荷在任意闭合曲面内
+ q 发出的 q / ε 0
条电力线不会中断， 条电力线不会中断，仍全 部穿出封闭曲面 S ，即：
+
Φe =
q
ε0
点电荷位于球面中心
Φe =
q
ε0
第8章 静电场和稳恒电场
13
8-2 电通量 高斯定理
点电荷在闭合曲面之外 点电荷在闭合曲面之外
r v d Φ1 = E 1 ⋅ d S 1 > 0 v v d Φ2 = E 2 ⋅ d S 2 < 0
6
8-2 电通量 高斯定理
带电平行板电容器的电力线 + + + + + + + + + + + +
大学物理 高斯定理
引言概述：在大学物理中，高斯定理是一项重要的物理原理，它描述了电场和磁场的性质。
高斯定理由德国物理学家卡尔·弗里德里希·高斯于18世纪中叶提出，是电磁学的基础之一。
本文将介绍高斯定理的概念、原理及其在电场和磁场中的应用。
正文内容：1. 高斯定理的概念1.1 定义高斯定理是描述电场和磁场分布的一种数学工具，它通过计算电场或磁场通过一个闭合曲面（高斯面）的总通量来研究场的分布。
1.2 数学表达高斯定理可以用数学表达式表示为：∮E·dA = q/ε0，其中∮E·dA表示场在闭合曲面上的总通量，q表示闭合曲面内的电荷量，ε0为真空介电常数。
2. 高斯定理的原理2.1 高斯面的选择高斯定理中的高斯面是根据具体问题选择的，一般情况下我们选择对称性较高的闭合曲面，以简化计算。
2.2 电场线的特性高斯定理的基础是电场线的性质，电场线从正电荷流向负电荷，且与介质边界垂直，通过一个封闭曲面的电场线数目与该封闭曲面内的电荷量有关。
2.3 通量与电场强度高斯定理中的总通量与电场强度呈正相关关系，通过计算总通量可以得到闭合曲面内的电场强度大小。
3. 高斯定理在电场中的应用3.1 点电荷的场分布高斯定理可以用来研究点电荷周围的电场分布，通过选择以点电荷为中心的球面作为高斯面，可以计算出球面内外的电场强度大小。
3.2 均匀带电球壳的场分布对于均匀带电球壳，可以通过选择以球壳为中心的闭合曲面来计算球壳内外的电场分布，根据高斯定理可以得到球壳内外的电场强度大小。
4. 高斯定理在磁场中的应用4.1 磁场的总通量类似于电场，磁场也可以使用高斯定理来描述，通过计算磁场通过闭合曲面的总通量可以了解磁场的分布情况。
4.2 磁场的磁感应强度高斯定理在磁场中的应用可以得到磁场的磁感应强度大小，通过选择合适的闭合曲面，可以计算出曲面内外的磁感应强度。
5. 高斯定理的实际应用5.1 高斯定理在电容器中的应用电容器是电子器件中常见的元件，根据高斯定理，可以计算电容器两极板之间的电场强度，进而了解电容器的性能。
大学物理高斯定理公式
大学物理高斯定理公式大学物理中的高斯定理公式是一种关于电场和电流分布的基本定律。
高斯定理可以用于描述物体电场和电流分布，同时可以用于计算一般电场和电流分布情况下的电容量和电侵蚀率。
这里介绍几种常用的高斯定理公式。
一、单点电荷的高斯定理公式通常情况，单一的常规的静电场的电荷分布是具有点特征的，此时只需要考虑一个点电荷的作用，可以根据高斯定理，给出点电荷产生的电场的表达式：$$E(r)=\frac{q}{4\pi \epsilon_0 r^2}$$其中，$E$ 是点电荷$q$所产生的电场，$\epsilon_0$是空气介电常数，$r$是测量点相较于点电荷的距离。
二、多点电荷组合的高斯定理公式当考虑多点电荷时，就没有简单地表达式了，首先根据高斯定理，给出多点电荷产生的电场的概念的表达式：$$E(r, t)=\sum\limits_{i=1}^n \frac{q_i}{4\pi \epsilon_0 r_i^2}$$其中，$E(r,t)$是测量点相较于多点电荷源的电场强度，$q_i$表示第i个点电荷，$\epsilon_0$是空气介电常数，$r_i$是测量点和第i个点电荷的距离，n表示点电荷的数量。
有时，我们可以使用梯度运算来分析多点电荷组合作用下的电场，即：$$\nabla E(r, t)=\sum\limits_{i=1}^n \frac{q_i \cdot \nabla r_i}{4\pi\epsilon_0 r_i^3}$$三、静电场介电体上的高斯定理公式静电场介电体的电场分布可以根据高斯定理给出：$$E(r, t)=\sum\limits_{i=1}^n \frac{q_i \cdot \nabla r_i}{4\pi \epsilon(r)r_i^2}$$其中，$E(r,t)$是测量点相较于多点电荷源的介电体静电场强度，$q_i$表示第i个点电荷，$\epsilon(r)$是介电体在多点电荷源处的介电常数，$r_i$是测量点和第i个点电荷的距离，n表示点电荷的数量。
大学物理高斯定理
第11章 静电场
11-4 高斯定理
2 点电荷在任意形状的高斯面内 通过球面 S 的电场线也必通 过任意曲面S‘ ，即它们的电 通量相等。 为 q / o
S'
S +
q E Φ E d dS e e SS o
第11章 静电场
11-4 高斯定理
3 电荷q在闭合曲面以外
0
dV E d S 若电荷连续分布，则为 e: E d S s V
0
第11章 静电场
11-4 高斯定理
讨论
1 闭合面内、外电荷 对
S
E 都有贡献
对电通量 E dS 的贡献有差别
只有闭合面内的电量对电通量有贡献 2 静电场性质的基本方程
非匀强电场
E
dS
en
Φ dΦ S E dS
第11章 静电场
11-4 高斯定理
讨论
1
dΦ E dS 的正、负取决于面元的法线方向与
电场强度方向的关系
如图所示： 若面元法向相反：
E dS 0
E dS ' 0
E
dS
dS '
第11章 静电场
11-4 高斯定理
11-4 高斯定理
描述电场的两种方法：电力线和电通量。 11.4.1 电场线 1 曲线上各点的切线方向都与该点处的场强方向一致 2 电场线密度
EP
dN E dS
第11章 静电场
EQ
Q
P
dN
dS
11-4 高斯定理
电场线的性质： 电场线起自于正电荷或无穷远，止于负电荷或无穷 远 ，没有电荷处不中断。 对于静电场不可能出现单一绕向的闭合电力线。 两条电场线不会相交，不能相切。
大物高斯定理
大物高斯定理大物高斯定理是电磁学中的基本定理之一，它描述了电场与闭合曲面的关系。
高斯定理是由德国物理学家卡尔·弗里德里希·高斯于1835年提出的，对于理解电场与物质之间的相互作用至关重要。
根据大物高斯定理，任意一个闭合曲面中通过的电场总流量，与该闭合曲面内的电荷量成正比。
具体来说，如果一闭合曲面内没有电荷，那么通过该闭合曲面的电场总流量必定为零；而如果闭合曲面内存在电荷，那么通过该闭合曲面的电场总流量就与这个闭合曲面内的电荷量成比例。
高斯定理可用公式表示为：∮E·dA = Q/ε0，其中，∮E·dA表示电场在闭合曲面上的通量，也可以理解为电场通过单位面积的流量；Q表示闭合曲面内的电荷量，ε0表示真空中的介电常数。
这个公式可以帮助我们计算电场与闭合曲面之间的关系，并且在许多电场问题的求解中非常有用。
了解大物高斯定理对于电磁学的学习至关重要。
它帮助我们了解电场与电荷之间的相互作用，并且揭示了电场在不同介质中传播的规律。
对于理解静电场分布、电荷产生的电场以及电场与电势之间的关系等问题具有重要意义。
在实际应用中，大物高斯定理被广泛运用于电场问题的求解。
通过选取合适的闭合曲面，我们可以简化复杂的电场问题，将问题转化为计算曲面上的电场通量与电荷之间的比例关系。
这种方法不仅计算简单，而且能更好地揭示电场分布的特点。
除了电场问题，大物高斯定理还能应用于研究电场与电荷产生的电势之间的关系。
电势是描述电场能量分布的物理量，通过将高斯定理与电势的定义相结合，我们可以更深入地分析电场的特性，以及电势在空间中的分布情况。
在工程领域中，大物高斯定理可以用于计算比如电容器、导体等电场系统的电场分布，对于设计和优化电路具有重要意义。
在真空电子学领域中，高斯定理也被用于分析电子束在加速电场中的传输特性，以及射频腔中的电场分布等问题。
总而言之，大物高斯定理是电磁学中的基本定理之一，它描述了电场与闭合曲面的关系。
大学物理高斯定理课件
复分析
在复分析中，高斯定理可以用于研究复函数的积分和全纯函数的空间性质。
THANKS
感谢观看
微分情势和积分公式
高斯定理的推导过程中需要用到微分 情势和积分公式，这些是微分几何的 重要概念和工具。
03
高斯定理的证明
证明的思路
01
引入高斯定理的背 景和意义
阐述高斯定理在电场和磁场中的 重要性，说明证明高斯定理的必 要性。
02
确定证明方法
03
构建证明框架
介绍使用微积分和向量场的方法 来证明高斯定理，说明其公道性 和可行性。
01
多重积分情势
高斯定理可以通过多重积分的情势进行 推广，以处理更复杂的几何形状和场散 布。
02
03
广义高斯定理
广义高斯定理将高斯定理的应用范围 扩大到非保守场，例如电磁场和引力 场。
高斯定理在其他物理领域的应用
01
02
03
电动力学
高斯定理在电动力学中用 于计算电场和电荷散布的 关系，以及电磁波的传播 。
相对论物理
在相对论物理中，高斯定 理可以应用于计算引力场 的能量密度和压力。
粒子物理学
在粒子物理学中，高斯定 理可以用于计算粒子在强 磁场中的运动轨迹和能量 。
高斯定理在其他数学领域的应用
微积分学
高斯定理是微积分学中的重要概念，可以用于 解决一系列积分问题。
实分析
实分析中，高斯定理可用于研究函数的积分性 质和可积性。
04
高斯定理的应用实例
电场中的应用
计算电场散布
高斯定理可以用来计算给定电荷散布 的电场散布，特别是在处理点电荷、 均匀带电球体等简单电荷散布时，高 斯定理提供了简洁的解决方案。
大学物理 高斯定理
C.应用高斯定理求场强分布（解析式） （3）例题a.均匀带电球面（壳）的场强 [注1]
b.无限大带电平面的场强
[注2]
无限大均匀带电平面的电场强度 选取闭 合的圆 柱形高 斯面
P’ O P
应用高 斯定理
侧面
下底面
上底面
P’
O
P
包围的电荷
圆柱形 高斯面 的上底 面和下 底面上 各点的 电场强 度的大 小都相 等
2
（2）曲面为任意，点电荷在面内
Φe q /
0
（3）曲面为任意，点电荷在面外 Φ 0 e *穿入和穿出的电场线条数相等，不能 产生净电通量
点电荷电场中高斯定理的证明
（4）推广到闭合曲面包围n个点电荷的情况，
即高斯定理
2.高斯定理（Gauss theorem）
【公式】
e E d s
The Thanks!
无限大均匀带电平面带不同符号的电荷：
E
E E
E
讨论
无 限 大 带 电 平 面 的 电 场 叠 加 问 题
0
0
0
0
0
0
带电平行板电容器的电场线
+ + + + + + + + + + + +
物理作业
６章：3, 5，7， 8, 9, 11, 12
§6-2 高斯定理(gauss
一.电场线和电通量 1.电场线及其特点;
theorem)
前言简介:高斯定理及预备知识
2.平面和曲面的电通量 3.物理意义
二.高斯定理
大学物理高斯定理
大学物理高斯定理简介大学物理中，高斯定理（也称为电通量定理）是电学领域中的一个重要定理，它描述了电场通过一个封闭曲面的总电通量与该曲面内的电荷量之间的关系。
高斯定理的数学表达式是一个面积分，通过对电场和曲面的特性进行积分计算，我们可以计算得到相应的电通量。
定理表述高斯定理可以用数学公式表述如下：其中， - 表示对封闭曲面 S 的面积分； - 表示电场的向量；- 表示面元矢量； - 是真空中的介电常数（气体中也可近似使用该值）； - 表示电荷密度在封闭曲面内的体积分。
解读根据高斯定理，电通量与环绕其的电荷量成正比。
如果电场线密集，表示电通量会相应增大，而如果电场线稀疏，表示电通量相应减少。
因此，高斯定理为我们提供了一种计算电场分布和电荷分布之间关系的方法。
高斯定理的背后思想是通过找到一个适当的曲面，使得计算曲面上的电场更加容易，从而求得电场的总电通量。
这个曲面可以是球面、柱面、立方体等等，具体选择曲面要与问题的几何特征和对称性相匹配。
应用举例例子1：均匀带电球考虑一个均匀带电球体，电荷密度为，半径为。
我们想通过高斯定理计算球内外的电场。
在这种情况下，由于球具有球对称性，我们选择一个以球心为中心的球面作为高斯曲面。
根据球对称性，球的电场在球面上处处相等，并且与球面的法线垂直。
因此，和在点积后等于，其中是球面上的电场强度。
曲面的面积元等于球的表面积元。
因此，高斯定理可简化为：等式的右边是整个球的表面积，用！表示。
由于电场是球对称的，且垂直于球面，所以电场与面积元相乘的结果在整个球面上是相等的。
由于曲面上的电场都是相等的，整个球面的面积元乘以电场强度后等于电场强度乘以整个球面的面积，所以可以简化为：解得：其中，为球内的总电荷量。
例子2：无限长均匀带电线考虑一个无限长均匀带电线，线密度为。
我们想通过高斯定理计算线外的电场。
在这种情况下，由于线具有柱对称性，我们选择一个以线为轴的柱面作为高斯曲面。
我们将柱面的两个底面分别设为 A 和 B，其中 A 的面积为，B 的面积为。
大学物理Ⅱ 高斯定理
P
l
e
E dS S
E dS
侧 E dS 上底 E dS 下底 E dS
侧 EdS E 侧 dS E 2r l
根据高斯定理得 E 2r l 1 l 0
E 2 0 r
用高斯定理求场强小结：
1 . 对称性分析
电荷分布对称性→场强分布对称性
点电荷 球对称性 均匀带电球面
均匀带电球壳
球体
轴对称性 柱对称
无限带电直线
无限带电圆柱 无限圆柱面 无限同轴圆柱面
无限大平面 面对称性 无限大平板
若干无限大平面
2. 高斯面的选择
①高斯面必须通过所求的场强的点。
②高斯面上各点场强大小处处相等，方向处处与该 面元线平行；或者使一部分高斯面的法线与场强方 向垂直；或者使一部分场强为零。
+ q+ +
+
0
R
r
高斯定理的应用
例2 均匀带电球体的电场。球半径为R，带电为q。
解：电场分布也应有球对称性，方向沿径向。
作同心且半径为r的高斯面
1）r R时 ，
E ds E ds
E 4r2
s
s
r
q
0
4 r3
3
0
q
4 R3
4 r3330E qr4 0R3
R
高斯面
高斯定理的应用
Φe前 Φe后 Φe下
s
E
dS
0
y
P
N
en
o
zM
en
E
en
Q
Rx
Φe左
s左
E
dS
ES左
cosπ
ES左
Φe右 s右E dS ES右 cos ES左
大学物理之高斯定理
的代数和除以 0，而与闭合曲面（高斯面）外的
电荷无关。
•
其数学表达式为 e
s
E dS
1
0
qi
• 注意： E是高斯面上任一点的电场强度，该E与所 有产生电场的场源有关。
2、高斯定理的验证---以点电荷为例
• 已知 E q ------q为场源点电荷的带电量
S
S/
E
e E S
e ES cos
• 非匀强电场中（曲面）的电通量求法
E
de E dS
S
e
E dS
S
• 电场中的任意闭合曲面S、非均匀电场强度E的通量：
e E cosdS
SE dS
2、有关电通量的注意点
场源电荷为点电荷系或电荷连续分布的带电体qjs?dsie?e??niiee1??????jjiieee???s内s外???ssdee??sdeesjjii????????????????????sjjsiisesedd??????????????ijsjsisese????dd00??iiq0?内q结论?在真空静电场中穿过任一闭合曲面的电场强度通量等于该曲面所包围的所有电荷的代数和除以而与闭合曲面高斯面外的电荷无关
• 2、（静电场中）电场线不是闭合曲线，在静电场中，电场线起 始于正电荷（或无穷远处），终止于负电荷（或无穷远处），不 形成闭合曲线。
• 3、电场线的每一点的切线方向都跟该点的场强方向一致。 • 4、电场线的疏密与电场强弱的关系：电场线的疏密程度与场强
大小有关，电场线密处电场强，电场线疏处电场弱。 • 5、电场线在空间不相交、不相切、不闭合。
《大学物理》高斯定理知识点
(2)库仑定律只适用于静电场，高斯定理不 但适用于静电场, 对变化电场也是适用的。
第六章 静电场
6 - 2 高斯定理
四 高斯定理应用举例
面内例部1和外设部有任一意半点径的为电R场, 均强匀度带E 电。为Q
分析：
的球面。求球
E
解： r R q 0
R S1 Q
E d S E 4 r2 0 S E 0 (r R)
第六章 静电场
6 - 2 高斯定理
高斯定理的应用
能用高斯定理求解的静电场必须具有一定的对称性。 其步骤为
对称性分析：轴对称、面对称、球对称。
根据对称性选择合适的高斯面：
·高斯面上所有点的场强都相等；
·高斯面上的部分面上各点的场强都相等，另一 些面上场强与该面的法线相垂直；
应用高斯定理计算：
一般高斯面会分为几部分，要分别计算出各面上 的电通量；求出高斯面内包围的净电荷量；计算待求 电场强度。
拓展：若为一半径为R的均匀带电球体，所带电荷量为Q。 则其球内外的电场如何分布？
第六章 静电场
6 - 2 高斯定理
例2 设有一无限大的均匀带电平面，单位面积上所
带的电荷即电荷面密度为 。求距离该平面为 r 处某点
的电场强度。
分析：
E
E E
E
S
解：根据高斯定理
2ES S 0
第六章 静电场
E
e E cos dS E cos dS E cos dS
S
底面1
底面2
E cos dS 0 0 E 2 rl 2 Rl
侧面
0
l
所以场强：E R
令圆柱面每单位长度的电0r量为λ，则有λ =σ2πR･1。
则： 2R
大学物理(下)07高斯定理
2.穿过任意曲面的电通量φ 穿过任意曲面的电通量
φ = ∫∫ dφ
S
S
r r = ∫∫ E ⋅ dS
E
= ∫∫S EdS cosθ
r r φ = ∫∫ E ⋅ dS
S
dφ
dS S
6
。（电场为均匀电场 例1、计算以下几种情况电场的通量。（电场为均匀电场 。） 、计算以下几种情况电场的通量。（电场为均匀电场E。） 垂直穿过面积为s的平面 、均匀电场E垂直穿过面积为 的平面。 r r 1、均匀电场 垂直穿过面积为 的平面。 r r ds E φ = E • dS = EdS cos 0 = ES S ∫ ∫ s方向相反结果如何？ 方向相反结果如何？ 方向相反结果如何 2、曲面是闭合的正方形表面时，电通量是多少(面积取向外 曲面是闭合的正方形表面时，电通量是多少 面积取向外 曲面是闭合的正方形表面时 为正）？ 为正）？ 将正方形分成3个部分 个部分， 解：将正方形分成 个部分，左、右，侧 S2 并设每个面的面积为s。 面，并设每个面的面积为s。 r r S1 φ1 = ∫ E • ds = ∫ Eds cos π = − ES1 S3 s1 r r φ 2 = ∫ E • ds = ∫ Eds cos(π / 2) = 0
ε0
16
E // dS ,
cosθ = 1
∑q φ=
ε0
φ = φ左底 + φ右底 = 2ES E
σS 2ES = ε0 σ E= 2ε 0
r
σ
E
S
r
17
），面电荷密 例4：两无限大带电平面（平行板电容器），面电荷密 ：两无限大带电平面（平行板电容器）， 电容器内、 度分别为 +σ 和 −σ ， 求：电容器内、外的电场强 度。 解：极板左侧
《大学物理》有介质的高斯定理
还可用串联求C 还可用串联求
e.g.3:平行板电容器 : 已知: 已知: ε r1 , ε r1 , S,± Q 0 求: , E, P, σ′, C, We 高 D 斯 Solution: 面 D = σ 0 i σ01S/2 + σ01S/2 = Q0 σ 0 i ε = ε 0 ε r1 E= ε = ε0εr 2 E1d = E 2 d ε
第三节 高斯定理
Gauss' Theorem With Dielectric 有介质的
1313-3-1电介质在静电场中 1. 分析 1)真空中的高斯定理 (1)真空中的高斯定理
1 Φ e = ∫∫ E dS = S ε0
+ σ0 σ′
i
+ σ′
E0
σ0
∑q
S in
高 斯 面
(2)有介质时 2)有介质时
D = ε0E + P P
ε r1
S 2 S 2
ε r1 ε r 2
d
Q Sε 0 C= ( ε r1 + ε r 2 ) U ± = E1d = E 2 d C = U± 2d
P = σ' σ'
还可用并联求C 还可用并联求
物理史 (1)
1 r
2+ ε
(History of Physics)
ε << 1 1769 Robinson 万有引力
高 斯 面
σ0
σ0 Q0 ∫∫SE dS = ε0εr s = ε0εr
E'
E
∫∫
S
( ε 0 ε r E ) dS = Q 0
2. 电位移矢量 D (1)分析 1)分析
(2)说明 2)说明 ① D 辅助矢量 M: ③ D, E, P 的关系
大学物理-高斯定理
电场强度的计算
F
1
4 0
q1q2 r2
r0
电场强度
E
F
q0
(1) 点电荷的场强
E
1 4πε0
q r2
r0
(2) 场强叠加原理
E E1 E2 En
(3) 电荷连续分布的 带电体的电场
电 荷
E dE
dq
r
(q)
(q) 4 0r 3
分 布
dq ρdV (体 分 布) dq σdS (面 分 布) dq λdl (线 分 布)
q2 A P*
s
q2 B
q1
在点电荷 和q 的q静电场中，做如下的三个闭合面
求通过各闭合S面1 ,的S电2 ,通S量3。,
Φe1
E dS
q
S1
0
Φe2 0
Φe3
q
0
q
q
S1
S2
S3
例：一点电荷位于边长为 a 的立方体的顶角上， 求：通过该立方体表面总的电通量。
解： 顶角所在的三个面上的通量为零。 其余三个面上直接计算困难
(3) 天文学和大地测量学中：如小行星轨道的计算，地球大 小和形状的理论研究等。统计 理论和误差理论，发明了最小二乘法，引入高斯误差曲线。
(5) 高斯还创立了电磁量的绝对单位制。
一、电通量 1、电场线 ( Electric Field Line ) （电场的几何描述）
E
n
dS
E
S E cos dS
Φe
E dS
S
为通过 S 面的电通量。
dS 有两个法线方向，dφ 可正可负。
S为封闭曲面
规定：闭合面上各面元的外法
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
一、电通量 1、电场线 ( Electric Field Line ) （电场的几何描述） 规定： 1）曲线上每一点的切线方向表示该点场强的方向； 2）通过垂直于电场方向单位面积的电场线条数等 于该点电场强度的大小。 E dN / dS
dS ⊥ dS
E
E
电场线稀疏的地方场强小，电场线密集的地方场强大。
通过两个闭合曲面的电场线的数目是相等的，所以
通过
S ' 的电通量：
q Φ'e E dS Φe S' ε0
即：通过任一个包围点 电荷的闭合曲面的电通 量与曲面无关，结果都 等于 q
R
q
S'
S
ε0
3）点电荷在闭合曲面之外
dΦ1 E1 dS1 0
dΦ2 E2 dS2 0
S
E
Φe E dS
S
为通过 S 面的电通量。
dS 有两个法线方向，dφ 可正可负。
为封闭曲面 规定：闭合面上各面元的 外法线方向为正向。
S
E
2
dΦe E dS Eds cosθ
dS1 1 E2 E1
通过闭合曲面的电通量为： Φe E dS E cos dS dS 2
S S
之差，也就是净穿出闭合曲面的电场线的总条数。
π θ1 , dΦe1 0 电场线穿出闭合面为正通量， 2 π θ2 , dΦe2 0 电场线穿入闭合面为负通量。 2 Φe 表示穿出与穿入闭合曲面的电场线的条数
例：一个三棱柱体处在电场强度 E 200i N C1 的
1）高斯面必须是闭合曲面；
q
i (内)
2）高斯面必须通过所求的场点； 3）高斯面的形状必须简单规则，以便于计算穿 过该面的电通量。
4）使高斯面上各点的场强大小相等，方向与高 斯面法线方向一致。 或高斯面上某一部分各点的场强方向与高斯面法 线方向垂直，该部分的通量为零。而另一部分各点的 场强大小相等，方向与高斯面法线方向一致。
q E 2 4πε0 r
E
q
dS
q E dS dS 2 S S 4πε0 r q q 2 4πr 2 4πε0 r ε0
+
r
S
结果与球面半径无关，即以点电荷q 为中心的任一球 面，不论半径大小如何，通过球面的电通量都相等。
2）点电荷在任意闭合曲面
S'
内
S ' 和 S 包围同一个点电荷。由于电场线的连续性，
EdScos E 4πr qi内 / ε0
S
2
1 球对称时的高斯定理可写为： E 4πr εo
q
i内
1 E 4πr εo
2
q
i内
（1）
0r R
r
s2
Q 2 4π 0R
E dS 0
S1
E 0
长，一直到逝世。1838年因提出地球表面任一点
磁势均可以表示为一个无穷级数，并进行了计算 ，从而获得英国皇家学会颁发的科普利奖章。 1855年2月23日在格丁根逝世。
高斯长期从事于数学并将数学应用于物理学、 天文学和大地测量学等领域的研究，主要成就：
(1) 物理学和地磁学：关于静电学、温差电和摩擦 电的研究、利用绝对单位（长度、质量和时间）法则量 度非力学量以及地磁分布的理论研究。 (2) 光学 ：利用几何学知识研究光学系统近轴光线 行为和成像，建立高斯光学。 (3) 天文学和大地测量学中：如小行星轨道的计算， 地球大小和形状的理论研究等。 (4) 试验数据处理：结合试验数据的测算，发展了 概率统计理论和误差理论，发明了最小二乘法，引入高 斯误差曲线。 (5) 高斯还创立了电磁量的绝对单位制。
1 2、高斯定理的应用 Φe E dS S ε0
q
i (内)
高斯定理的一个重要应用是： 计算带电体周围电场的电场强度。 只有在场强分布具有一定的对称性时，才能比 较方便应用高斯定理求出场强。 求解的关键是选取适当的高斯面。 常见的具有对称性分布的源电荷有： 球对称：如均匀带电的球体、球面、球壳。 轴对称：如均匀带电的长直柱体、柱面。 平面对称：如均匀带电的无限大平面、平板。
正电荷是发出电场线的源头，负电荷是吸收电场线的闾尾。
1 问题： E dS
S
o ( s内)
q
i
1）如果高斯面上 E 处处为零，则该面内必无电荷。 如果高斯面上 E 处处为零，则该面内必无净电荷。 2）如果高斯面内无电荷，则高斯面上 E 处处为零。 如果高斯面内无电荷，则高斯面上 E 不一定为零。 3）如果高斯面上 E 处处不为零，则该面内必有电荷。 如果高斯面上 E 处处不为零，则该面内不一定有电荷。 4）高斯面内的电荷代数和为零时，则高斯面上各点的 场强一定为零。 高斯面内的电荷代数和为零时，则高斯面上各点的 场强不一定处处为零。
电场线的特性
1） 电场线起始于正电荷(或无穷远处)， 终止于负电荷，不会在没有电荷处中断； 2） 电场线不相交。 3） 静电场电场线不闭合。 电场线的这些性质是由静电场的基本性质 和场的单值性决定的。可用静电场的基本性质 方程加以证明。
点电荷的电场线
正点电荷
负点电荷
+
一对等量异号点电荷的电场线
Φe3
q
0
0
q
S1 S2
q
S3
例：一点电荷位于边长为 a 的立方体的顶角上， 求：通过该立方体表面总的电通量。
解： 顶角所在的三个面上的通量为零。
其余三个面上直接计算困难
考虑用 8 个这样的立方体 将点电荷拥在中心。
其外表面上的电通量为：
q Φ'e E dS S ε0 3 q 由对称性： e 24 0
(2) 场强叠加原理
E E1 E2 En
电 荷 分 布
dq ρdV (体分布 )
dq σdS (面分布 )
dq λdl (线分布 )
7.3 高斯定理
高斯（Carl Friedrich Gauss，1777～1855） 德国数学家、天文学 家、物理学家 高斯在数学上的建树颇 丰，有 “数学王子” 美称。 1777年4月30日生于布伦 瑞克。童年时就聪颖非凡， 10岁发现等差数列公式而 令教师惊叹。
S
0
q
i 1
i内
请思考：1）高斯面上的 E 与那些电荷有关 ？ 2）哪些电荷对闭合曲面 s 的 Φ 有贡献 e
高斯定理可用库仑定律和场强叠加原理导出。
（与面外电荷无关，闭合曲面称为高斯面）
？
高斯定理的导出 1）点电荷位于球面
S
S 中心
S
Φ e E dS EdS cos 0
Байду номын сангаас
E
S
均匀电场 ， 与平面夹角 E
Φe ES ES cos θ E S， S = S n
θ
n
S
E
非均匀电场，S 为任意曲面（不闭合的）
dS dS n dΦe E dS
为面元矢量
E
n
dS
Φe dΦe E cos dS
例：均匀带电球面的电场强度 一半径为 R , 均匀带电 Q 的 薄球壳（面）。求：球面内外任 意点的电场强度。
解：均匀带电球面的电场分布具 有球对称性。 取半径 r 的同心球面为高斯面，
r
s2
2
+ + +
+ + 1+
S
O
+
R
+
r
+
+ + +
高斯面上场强大小相等，方向与面元外法向一致。 由高斯定理：
i (内)
qk 1
q1
dS
E
qi
q2
是指面内电荷代数和。
qn
1 Φe E dS
S
0
q
i 1
n
高斯定理 说明：
i内
静电场是有源场。
q
i
0 Φe 0
表明：电力线从正电荷发出，穿出闭合曲面， 所以正电荷是静电场的源头。
q
i
0 Φe 0
讨论
点
将 q2 从 A 移到
P 电场强度是否变化？ 穿过高斯面 的 Φ 有否变化？ e
B q A 2 P*
q2 B
s
s
q1
在点电荷 q 和 q 的静电场中，做如下的三 个闭合面 S1 , S 2 , S3 , 求通过各闭合面的电通量。
q Φe1 E dS
S1
Φe 2 0
+
一对等量正点电荷的电场线
+
+
一对不等量异号点电荷的电场线
2q
q
带电平行板电容器的电场线
+ + + + + + + + + + + +
2、电场强度通量（Electric Flux） 定义：通过电场中某一 曲面的电场线数，叫做 通过这个面的电通量。
均匀电场 ，E 垂直平面 S
Φe ES
E2
q
dS 2
dS1
E1
dΦ1 dΦ2 0
Φe E dS 0
S"
4）在点电荷系的电场中，通过任意闭合曲面的电通量
E Ei E1 Ek Ek 1 En