静力学(汇交系、力偶系)
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工程力学(静力学与材料力学)第三章力偶系详解
FB
r M2 0 ∑ M = 0 ， FA sin
M 2 2r FA
M2 = 4M1 = 8kNm
2M 1 FO FB FA 8kN r
• 作业3-1,3-4,3-8
考虑CB部分为二力构件，得：
FC FA FB FC
例3-4
图示机构自重不记。圆轮上的销子 A 放在 摇杆 BC上的光滑导槽内。M 1 = 2kNm，OA = r = 0.5m 。图示位置OA⊥OB，α = 30°，且系统平衡。 求作用于摇杆 BC 上力偶的矩 M 2 及 O、B 支座的反 力。 解：受力分析
M1
R
F1
M
F2
2
M1 + M2 = rBA×F1 + rBA×F2 = rBA×( F1 + F2 ) = rBA×R = M
如有n个力偶，按上法依次合成, 最后得一力偶,合力偶矩矢为 M = M1 +M2 + … +Mn = ∑M I
B
rBA
A
F2
F1
任意个力偶可以合成为一个 合力偶，这个合力偶矩矢等于各 分力偶矩矢的矢量和。 M = M 1+ M 2+ … + M n = ∑M i
性质三
证：
力偶没有合力
仍用反证法，即假定力偶有合力，那么总可 找到一个与此力大小相等，方向相反而作用线 共线的力与此力平衡，即力与力偶相平衡。与 性质二矛盾。
性质一、二和三告诉我们力偶只能与力偶等 效而不能与单个力等效。
•力偶只能与力偶相平衡 力偶只能与力偶相平衡
§3-4 力偶系的合成
设有两个力偶，由性质一,将 力偶中两力分别移到两力偶作用面 交线上的两点 A 和 B,可得到两个 汇交力系，其合力分别为R 、 R ’ 。
2工程力学静力学第二章 基本力系
6
即：平面汇交力系的合力等于各分力的矢量和，合力的作用 平面汇交力系的合力等于各分力的矢量和， 线通过各力的汇交点。 线通过各力的汇交点。 二、平面汇交力系平衡的几何条件（力多边形自行封闭） 平面汇交力系平衡的几何条件（力多边形自行封闭） 平面汇交力系平衡的充要条件是
R = ∑F = 0
在上面几何法求力系的合力中，合力 为零意味着力多边形自行封闭。所以平 平 面汇交力系平衡的必要与充分的几何条 件是： 件是： 力多边形自行封闭 或 力系中各力的矢量和等于零
30
§2 - 3
问题的提出： 问题的提出： 平面一般力系的简化
与力偶不同，力是滑移 矢量而不是自由矢量， 其作用线如果作平行移 动，会改变它对刚体的 作用效果。
力线平移
31
力线平移定理 F` O
∥ F`=F``= F
F`
. .
A
F
O
.
F``
结论: 力的作用线可以平行移动,移动后必须附加一个力偶 必须附加一个力偶,附加力偶 必须附加一个力偶 的力偶矩等于原来的力对所移动点的力矩。 M=mo（F） 平移结果： 平移结果：一力平移后即引出一个附加力偶以维持力在原作用点时的 作用效应，附加力偶之矩等于原力对新作用点之矩，转动方向取决于 原力绕新作用点的转动方向。
由图可看出，各分力在x轴和在y 轴投影的和分别为：
即：
Rx = X1 + X2 + X4 = ∑X
Ry = Y1 + Y2 + Y3 + Y4 = ∑Y
Rx = ∑ X
R y = ∑Y
合力投影定理：合力在某一轴上的投影， 合力投影定理：合力在某一轴上的投影，等于各分力在同一 轴上投影的代数和。 轴上投影的代数和。
即：平面汇交力系的合力等于各分力的矢量和，合力的作用 平面汇交力系的合力等于各分力的矢量和， 线通过各力的汇交点。 线通过各力的汇交点。 二、平面汇交力系平衡的几何条件（力多边形自行封闭） 平面汇交力系平衡的几何条件（力多边形自行封闭） 平面汇交力系平衡的充要条件是
R = ∑F = 0
在上面几何法求力系的合力中，合力 为零意味着力多边形自行封闭。所以平 平 面汇交力系平衡的必要与充分的几何条 件是： 件是： 力多边形自行封闭 或 力系中各力的矢量和等于零
30
§2 - 3
问题的提出： 问题的提出： 平面一般力系的简化
与力偶不同，力是滑移 矢量而不是自由矢量， 其作用线如果作平行移 动，会改变它对刚体的 作用效果。
力线平移
31
力线平移定理 F` O
∥ F`=F``= F
F`
. .
A
F
O
.
F``
结论: 力的作用线可以平行移动,移动后必须附加一个力偶 必须附加一个力偶,附加力偶 必须附加一个力偶 的力偶矩等于原来的力对所移动点的力矩。 M=mo（F） 平移结果： 平移结果：一力平移后即引出一个附加力偶以维持力在原作用点时的 作用效应，附加力偶之矩等于原力对新作用点之矩，转动方向取决于 原力绕新作用点的转动方向。
由图可看出，各分力在x轴和在y 轴投影的和分别为：
即：
Rx = X1 + X2 + X4 = ∑X
Ry = Y1 + Y2 + Y3 + Y4 = ∑Y
Rx = ∑ X
R y = ∑Y
合力投影定理：合力在某一轴上的投影， 合力投影定理：合力在某一轴上的投影，等于各分力在同一 轴上投影的代数和。 轴上投影的代数和。
第二章平面汇交力系及平面力偶系
一、几何法合成（作图法）
1、两力的合成方法——平行四边形法则。
2、多个力的合成。方法——力多边形法 则（依据平行四边形法则）。将汇交
力系各力平行移至首尾相接，起点至
第
终点连线为合力。
一 章
静 力 学 基 础
理论力学教学课件
第一节 平面汇交力系的合成
一、几何法（作图法）
F1
R12
O
F2
F3
R123
同理 ：Ry= F1y+ F2y+ F3y
R FX 2 Fy 2
第二节 平面汇交力系合成的解析法
例 用 解 析 法 求 三 力 的 合 力 。 已 知 F1=100N ，
F2=200N，F3=300N 。
F1
45°
O
F2
解：F1X=F1COS45°=71N F1y=F1sin45°=71N F2X=F2=200N
静 力
自行封闭。
学 基
础
第二节 平面汇交力系的合成与 平衡的解析法
一、解析法合成（计算 ） 1、力在直角坐标轴上的投影
y
a’
A
αF
B
b’
oa
b
x
ab:F在x轴上的投影（Fx). a’b’:F在y轴上的投影（Fy）。
Fx=ab=Fsinα
第
一
Fy=a’ b’= - Fcosα
章
静 力 学 基 础
第二节 平面汇交力系合成的解析法
解：据平衡方程：ΣFx=0 ΣFy=0
ΣFy=-P- FD cos30°-FCBsin30°=0 FCB=-74.6 KN （BC杆受压） ΣF x=-FAB - FD sin30°FCBcos30°=0 FAB =54.6 KN （AB杆受拉）
1、两力的合成方法——平行四边形法则。
2、多个力的合成。方法——力多边形法 则（依据平行四边形法则）。将汇交
力系各力平行移至首尾相接，起点至
第
终点连线为合力。
一 章
静 力 学 基 础
理论力学教学课件
第一节 平面汇交力系的合成
一、几何法（作图法）
F1
R12
O
F2
F3
R123
同理 ：Ry= F1y+ F2y+ F3y
R FX 2 Fy 2
第二节 平面汇交力系合成的解析法
例 用 解 析 法 求 三 力 的 合 力 。 已 知 F1=100N ，
F2=200N，F3=300N 。
F1
45°
O
F2
解：F1X=F1COS45°=71N F1y=F1sin45°=71N F2X=F2=200N
静 力
自行封闭。
学 基
础
第二节 平面汇交力系的合成与 平衡的解析法
一、解析法合成（计算 ） 1、力在直角坐标轴上的投影
y
a’
A
αF
B
b’
oa
b
x
ab:F在x轴上的投影（Fx). a’b’:F在y轴上的投影（Fy）。
Fx=ab=Fsinα
第
一
Fy=a’ b’= - Fcosα
章
静 力 学 基 础
第二节 平面汇交力系合成的解析法
解：据平衡方程：ΣFx=0 ΣFy=0
ΣFy=-P- FD cos30°-FCBsin30°=0 FCB=-74.6 KN （BC杆受压） ΣF x=-FAB - FD sin30°FCBcos30°=0 FAB =54.6 KN （AB杆受拉）
大学静力学02.第二章 汇交力系
§ 2-2 汇交力系的平衡条件
三、汇交力系平衡的解析条件
合力计算公式
FR
Fx 2 F y 2 Fz 2 Fx 2 F y 2 Fz 2
F 0 x Fy 0 Fz 0
0
由 得
FR
刚体在汇交力系作用下处于平衡的解析条件是: 力系中各力在三个坐标轴上投影的代数和分别等于 零
F1
y
合力投影定理
数和
合力在某一轴上的投影，等于各力在同一轴上投影的代
§ 2-1 汇交力系的合成
合力的大小为
FR FRx FRy FRz
2 2 2
Fx 2 Fy 2 Fz 2
cos( FR FR Fy cos( FR , j ) FR Fz cos( FR , k ) FR
Fx , i)
合力方向余弦为
平面汇交力系的合力和方向余弦为
FR
Fx 2 Fy 2
cos( FR
Fx , i)
FR
§ 2-2 汇交力系的平衡条件
一、 三力平衡定理
设作用在物体上的三个力F1 、F2 、F3 共面且互不平 行, 使物体处于平衡状态 F2 F2 FR1 B B F1 A C C O A F1
Fz Fx
F
Fy y′ y
O
x′ x
§ 2-1 汇交力系的合成
3. 力在直角坐标轴上的投影
z
Fxy=F cos Fx = Fxy cos = F cos cos Fy = Fxy sin = F cos sin Fz = F sin
理论力学-静力学部分
静力学部分总结姓名：孟庆宇班级：15工9 学号：20150190218静力学是研究物体的受力分析与力系简化及平衡。
平面力系：1、平面汇交力系；2、平面力偶系；3、平面任意力系。
空间力系：1、空间汇交力系；2、空间力偶系；3、空间任意力系。
一、基本概念1、静力学；2、刚体；3、变形体；4、力；5、力系；6、等效力系；7平衡；8、平衡力系；9、平衡条件；10、平衡方程； 11、力系简化；12、合力；13分力；14、二力构件；15、自由体；16非自由体；17、约束；18、约束力；19主动力；20、被动力；21、施力体；22、受力体。
物体在受到力的作用后，产生的效应可以分为两种：(1)外效应也称为运动效应——使物体的运动状态发生改变；(2)内效应也称为变形效应——使物体的形状发生变化。
静力学研究物体的外效应。
材料力学主要研究力对物体的内效应。
23、平面力系；24、平面汇交力系；25、平面力对点的矩；26、平面力偶矩；27、平面任意力系；28、主矢；29、主矩；30、平面力系平衡条件；31、平面力系平衡方程；32、平面物体系统；33、平面物体系统的平衡；34、静定问题；35、超静定问题；36、平面桁架。
37、空间力系；38、空间汇交力系；39、空间力对点、对轴的矩；40、空间力偶矩；41、空间任意力系；42、主矢；43、主矩；43、空间力系平衡条件；44、空间力系平衡方程。
二、基本理论1、五大公理、两个推论及其应用。
2、工程中常见的八大约束类型及约束反力。
(1)光滑约束；(2)柔索约束；(3)圆柱销光滑铰链约束；(4)固定铰支座约束；(5)滚动支座约束；(6)球铰链约束；(7)止推轴承约束；(8)固定端约束。
3、力的投影定理及性质(平面、空间)；4、力矩、力偶矩的定义及性质(平面、空间)；5、合力投影定理及合力矩定理(平面、空间)；6、力的平移定理；7、任意力系的四种简化结果 (平面、空间)；(1) 0='RF 0≠O M ；(2) 0≠'R F 0=O M ；(3) 0≠'R F 0≠O M ； (4) 0='RF 0=O M 。
静力学基本概念
F1 证明： A1 A A3 F3 F3 A2 F2
F
=
A A3
公理四：作用力与反作用力公理
对应于任一作用力，必同时有一反作用力，作用力与反作 用力大小相等，方向相反、作用线相同，分别作用于互相作用 的两个物体上。
[例] 吊灯
齿轮啮合力
FR
FR'
公理五：刚化公理 ——刚体平衡条件与变形体平衡条件关系
BC梁：
5、已知：一简易支架如图所示，承受载荷P作用。求： 试画出整体的受力图及OB杆带轮O、OB杆、AD杆、轮 O、小轮及销O的受力图。
例6：构架（刚架）。画整体、杆AB、BC 、DE受力图。
注意几点：
(1) 在分离体简图上画，一般勿在原图上画； (2) 先判断二力杆，受力图上有二力杆时其约束力必 须按二力杆画； (3) 先画主动力，再画约束力； (4) 约束力的画法要按典型约束(力)的性质去画，特 别是其方向(方位、指向)，勿由主动力去判断； (5) 一个问题中要画几个受力图时，各受力图之间的 约束力必须满足作用、反作用定律。
§1-3 约束与约束反力
一、概念
自由体——在空间的位移不受任何限制的物体。 非自由体——在空间不能自由位移或位移受到限制的物体。 约束——阻碍非自由体某些位移的周围物体。 1、约束指物体 2、约束限制了非自由体的运动（或位移）。
约束反力——约束对被约束物体的作用力。
约 束 反 力
D A
K C B Ⅰ
E
Ⅱ
G
解： 1. 杆BD（B处为没有销钉的孔）的受力图
D
A
FDB
D
K
C B Ⅰ B E
Ⅱ
3. 杆DE的受力图
静力学-2力系简化
i 1
10
例：工件如图所示，它
的四个面上同时钻五个 孔，每个孔所受的切削 力偶矩均为80 N· m。求 工件所受合力偶矩矢量
的大小和方向。 解： 将作用在四个面上的力偶用力偶矩矢量表示，并平移到A点。
合力偶在坐标轴上的投影分别为 合力偶: M Rx M 3 M 4 cos45 M 5 cos45 193.1 N.m M R 193.1 i 80 j 193.1 k M Ry M 2 80 N.m M Rz M1 M 4 cos45 M5 cos45 193.1 N.m 11
8
二、力偶系的简化
回忆： 1、什么叫力偶 2、力偶的三要素 一个力偶等同于一个力偶矩矢量
3、力偶的性质 自由矢量
9
力偶系：作用在刚体上的一群力偶
力偶简化后仍为力偶
n
{M1, M2 ,, Mn } {M R }
n n i 1 i 1
M R M ix i M iy j M iz k
o’ o
FR
d o’
MO
MO 大小： d FR
O’的定位矢量d如何确定？
FR M O 方向（单位矢量）：n FR M O M F MO F M d O R R 2 O OO’(d矢量)： FR FR M O FR
18
(2) FR 0, MO 0, FR MO
平衡
合力偶
合力
FR 0 且 M O29 0
确 定 图 示 力 系 的 简 化 结 果
F3
F2
F1
平面椭圆A
30
例
胶带运输机传动滚筒的半径R=0.325 m，由驱动装置传来 的力偶矩M=4.65 kNm，紧边皮带张力F T 1＝19 kN，松皮带张 力F T 2＝4.7 kN，皮带包角为210°，坐标位置如图 (a)所示，试 将此力系向点O简化。
10
例：工件如图所示，它
的四个面上同时钻五个 孔，每个孔所受的切削 力偶矩均为80 N· m。求 工件所受合力偶矩矢量
的大小和方向。 解： 将作用在四个面上的力偶用力偶矩矢量表示，并平移到A点。
合力偶在坐标轴上的投影分别为 合力偶: M Rx M 3 M 4 cos45 M 5 cos45 193.1 N.m M R 193.1 i 80 j 193.1 k M Ry M 2 80 N.m M Rz M1 M 4 cos45 M5 cos45 193.1 N.m 11
8
二、力偶系的简化
回忆： 1、什么叫力偶 2、力偶的三要素 一个力偶等同于一个力偶矩矢量
3、力偶的性质 自由矢量
9
力偶系：作用在刚体上的一群力偶
力偶简化后仍为力偶
n
{M1, M2 ,, Mn } {M R }
n n i 1 i 1
M R M ix i M iy j M iz k
o’ o
FR
d o’
MO
MO 大小： d FR
O’的定位矢量d如何确定？
FR M O 方向（单位矢量）：n FR M O M F MO F M d O R R 2 O OO’(d矢量)： FR FR M O FR
18
(2) FR 0, MO 0, FR MO
平衡
合力偶
合力
FR 0 且 M O29 0
确 定 图 示 力 系 的 简 化 结 果
F3
F2
F1
平面椭圆A
30
例
胶带运输机传动滚筒的半径R=0.325 m，由驱动装置传来 的力偶矩M=4.65 kNm，紧边皮带张力F T 1＝19 kN，松皮带张 力F T 2＝4.7 kN，皮带包角为210°，坐标位置如图 (a)所示，试 将此力系向点O简化。
第三章 力偶系
M M
M（+）
M M M
（-）
注意:力偶的转向与力偶矢方向的区别与关联! M
§3-5 力偶系的合成(简化)
设作用于刚体上的两个力偶M1, M2：
M1 F1, F1'
F1
M2 F2, F2'
Q F F1 F2
F2
F ' F1' F2'
MR F, F '
F
M F1' F ' 1
MR M1 M2 ... Mn M
M1Fn
F1 o
Fn’ F2
＝ M1
F1’
F2’
§3-5 力偶系的合成(简化)
合力偶矩矢：
z
MR M1 M2 ... Mn M
将上述矢量式对坐标轴投影得：
M Rx M1x M2x ... Mnx M x M Ry M1y M2 y ... Mny M y M Rz M1z M2z ... Mnz M z
二个力偶的等效条件是它们的力偶矩矢相等。
M1
M2
B rBA
F1'
A
M1 rBA F1
F1
M1 M2
D
rDC
F2
F2'
C
M 2 rDC F2
0.4m
60N
0.4m
60N
40N 0.6m
M=24N.m
§3-4 力偶的等效条件和性质 二、力偶的性质
性质一： 力偶不能与一个力等效(即力偶无合力)，因 此也不能与一个力平衡。
MO MO (F1) MO (F2 ) 力对点之矩矢服从矢量的合成法则 对空间力系(F1, F2, …, Fn)，有：
MO MO (F1) MO (F2 ) ... MO (Fn )
静力学 第03章 力偶系
M y (F = zF − xF ) x z Mz (F = ) zFy − yFx
§3-2 力对轴之矩
力对轴之矩的方向确定
力对轴之矩是代数量，表示力矩的大小和转向，并按右 手规则确定其正负号，如图所示，拇指指向与 轴一致为 正，反之为负。
§3-2 力对轴之矩
力对轴之矩与力对点之矩的关系
FA = M a 2 + b2
FB
作
业
3-1 3-2 3-5 3-8
§3-1 力对点的矩矢
[例] 曲拐OAB。已知 OA﹑AB﹑θ﹑P,求MO ( P )。 解法一 依定义解
M o P =P × OB ⇒ M o P =P × OB × sin θ
( )
( )
∴ |MO ( P )| =P× (OA2+AB2 )1／2 ×sin θ
∑
n i =1
mi
§3-5 力偶系的合成
合力矩
P2’
M = rBA × FR = rBA × P 1+P 2 = rBA × P 1 + rBA × P 2 = d1 × F1 + d 2 × F2 = M1 + M 2
(
)
S1 F1’
ΣMy
力偶系合成的结果: 仍然是一个力偶，其力 偶矩矢量等于原力偶系中 所有力偶矩矢量之和。即
ΣM x
M=Σ Mxi+ Σ Myj+ Σ Mzk
M
§3-6 力偶系的平衡条件
力偶系平衡的充要条件是：力偶系各力偶 矩矢的矢量和等于零，即M=Σ M i=0，或者 ΣMx= ΣMy= ΣMz=0（即力偶系各力偶矩矢分 别在三个坐标系投影的代数和等于零）。 例题3-1：三铰刚架由两直角刚架组成，AC 部分上作用一力偶，其力偶矩为 M， 自重 不计， 且 a : c = b : a，求A、B支座 的反力。
第二章 汇交力系
同理： FRy F1y F2 y F3y Fy
§1 汇交力系的合成
5、汇交力系合成的解析法
应用合力投影定理求出力系合力的投影后，可用下式 求出合力的大小和方向： 合力的大小：
FR FR2x FR2y FR2z ( Fx )2 ( Fy )2 ( Fz )2
合力FR 的方向余弦：
汇交力系的合成 几何法(矢量法) 解析法(投影法)
汇交力系的平衡条件 几何法(矢量法) 解析法(投影法)
§1 汇交力系的合成
一、力的可传性
F
公理三：加减平衡力系原理 在刚体上增加或减去
一组平衡力系，不会改变 原力系对刚体的作用效应
F’ F”
F A
B
F
A
B
若{P1, P2 ,L , Pm} {0} 则 {F1, F2, , Fn}
例2-3：圆柱重G=500N，搁在光滑墙面与夹板间， 板与墙面夹角为60°，用解析法求：圆柱给墙面和 夹板的压力。
解：1.以圆柱为研究对象，画受力图；
FA
O
G
FB
O
AG
60° B
例2-3：圆柱重G=500N，搁在光滑墙面与夹板间，
板与墙面夹角为60°，用解析法求：圆柱给墙面和
夹板的压力。
解：1.以圆柱为研究对象，画受力图：
Fx + Fy = F
| F | = (Fx)2 + (Fy)2 x
= (Fx)2 + (Fy)2
α = atan (Fy /Fx)
§1 汇交力系的合成
三、汇交力系合成的解析法(投影法)
可见： 力F在垂直坐标轴上的投影分量与沿轴分解的分 力大小相等；力F在相互不垂直的轴上的投影分 量与沿轴分解的分力大小是不相等的。 力在任一轴上的投影大小都不大于力的大小；而 分力的大小却不一定都小于合力大小。 力在任一轴上的投影可求，力沿一轴的分量不可 定。
静力学 力矩 平面力偶系
解得
FA
FB
M1 M2 l
M3
200N
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静力学 力矩 平面力 偶系
§3-1 力对点之矩
一、平面力对点之矩
力矩作用面
两个要素： 1.大小：力F与力臂的乘积 2.方向：转动方向
M0 F F h
二、汇交力系的合力矩定理
FR Fi F1 F2 Fn
平面汇交力系
M0 FR M0 Fi
例3-1
已知: F =1400N, θ 20 , r 60mm
力偶的性质: ①.力偶在任意坐标轴上的投影恒等于零。
②.力偶没有合力，力偶只能由力偶来平衡。
力偶对任意点的矩恒等于力偶矩，与矩心无关。 力偶在任意坐标轴上的投影恒等于零。
M F A F MF 二力大由力力 力§由§力大二 大力二由§力力力力§力只二力、偶小两偶偶偶3两3偶小、小偶、两3偶偶偶偶3偶要、偶----3442汇 在 ： 个 对 对两 个 在 ： 汇： 两 汇 个 中 对 矩 矩 (保 汇 两co平平交任力等任任 力等任力交 力力交等两任((持交力力平ummp面面力意F值意意 之值意F力 F之力值力意力力之偶面looe与与与力力mm)系坐、点点 间、坐系 间系、所点偶系间的力?力力力ee偶偶的标反的的 的反标的 的的反在的矩的的等偶nn臂臂臂tt系系合轴向矩矩 垂向轴合 垂合向平矩不合垂效与oo的的的ff的的力上、恒恒 直、上力 直力、面恒变力直力aa乘乘乘合合cc矩的不等等 距不的矩 距矩不称等，矩距偶oo积 积 积成成uu定投共于于离共投定离定共为于力定离矩pp与与ll理影线力力 称线影理 称理线力力偶理称eeA ))平平恒的偶偶 为的恒为的偶偶可为衡衡等（矩矩 力（等力（作矩在力于平，， 偶平于偶平用，其偶零行与与 臂行零臂行面与作臂。）矩矩 。）。。）。矩用。心心 心面无无 无内关关 关任。。 。意移转，且可以同时改变力偶中力及力偶臂的大小，对刚体的作用效果不变。 M F §3-1 力对点之矩
01静力学2(平面汇交力系、力偶系)
B
—
1
Y 0
FAC P cos30 T cos60 0
X
FAC 27.32kN
FAB
FBC
Y
T
A
P
静 力矩的性质： 力 1、力沿作用线移动时，对某点的矩不变 学 2、力作用线过矩心时，此力对矩心之矩等于零 平 3、互成平衡的力对同一点的矩之和等于零 面 汇 4、力偶中两力对面内任意点的矩等于该力偶的力偶 交 矩 力 系 、 力 偶 系 —
静 力 学 — 平 面 汇 交 力 系 、 力 偶 系
3.平面汇交力系的平衡 ຫໍສະໝຸດ 面汇交力系平衡的必要和充分条件是：
该力系的合力等于零
FR ( X i ) 2 ( Yi ) 2 0
静 力 学 平 面 汇 交 力 系 、 力 偶 系 — —
静 §2-3力对点之矩的概念及计算 力 力对点之矩是度量力对刚体产生转动效应的物理量。 学 1．力对点之矩(力矩) 平 *平面中力对点之矩(代数量) 面 汇 m0 ( F ) Fh 2OAB 交 r F r F sin 力 系 *空间中力对点之矩(矢量) 、 m0 ( F ) r F 力 m 0 ( F ) OAB 偶 m 0 ( F ) 2OAB 系
平 面 FR F 1F 2 F n 汇 交 r FR r ( F 1F 2 F n) 力 M ( F ) M ( F ) M ( F ) M ( 系 O R O 1 O 2 O Fn ) 、 M O (F) 力 当平面汇交力系处于平衡状态时合力为零,则 偶 系 各力对任意点之矩的代数和也为零.
tan
FRY FRX
合矢量在某一轴上的投影等于各分矢量在同一 轴上投影的代数和.
—
1
Y 0
FAC P cos30 T cos60 0
X
FAC 27.32kN
FAB
FBC
Y
T
A
P
静 力矩的性质： 力 1、力沿作用线移动时，对某点的矩不变 学 2、力作用线过矩心时，此力对矩心之矩等于零 平 3、互成平衡的力对同一点的矩之和等于零 面 汇 4、力偶中两力对面内任意点的矩等于该力偶的力偶 交 矩 力 系 、 力 偶 系 —
静 力 学 — 平 面 汇 交 力 系 、 力 偶 系
3.平面汇交力系的平衡 ຫໍສະໝຸດ 面汇交力系平衡的必要和充分条件是：
该力系的合力等于零
FR ( X i ) 2 ( Yi ) 2 0
静 力 学 平 面 汇 交 力 系 、 力 偶 系 — —
静 §2-3力对点之矩的概念及计算 力 力对点之矩是度量力对刚体产生转动效应的物理量。 学 1．力对点之矩(力矩) 平 *平面中力对点之矩(代数量) 面 汇 m0 ( F ) Fh 2OAB 交 r F r F sin 力 系 *空间中力对点之矩(矢量) 、 m0 ( F ) r F 力 m 0 ( F ) OAB 偶 m 0 ( F ) 2OAB 系
平 面 FR F 1F 2 F n 汇 交 r FR r ( F 1F 2 F n) 力 M ( F ) M ( F ) M ( F ) M ( 系 O R O 1 O 2 O Fn ) 、 M O (F) 力 当平面汇交力系处于平衡状态时合力为零,则 偶 系 各力对任意点之矩的代数和也为零.
tan
FRY FRX
合矢量在某一轴上的投影等于各分矢量在同一 轴上投影的代数和.
静力学第二章平面汇交力系与力偶系
请思考：力矩和力偶矩的异同？
力偶矩:度量力偶对物体转动效应 的量。记作：M（F, F′）或M
A
F C d F′
M Fd
力偶矩正负号规定:
逆时针转动为正，反之为负
B
力偶矩正负号意义：表示力偶转向
请思考：平面（内）力偶等效的条件？
力偶矩大小相等、转动方向相同
平面力偶的性质
性质1 : 力偶无合力,即FR=0
第二章 平面汇交力系与平面力偶系
本章重点：
1、平面汇交力系(几何法、解析法）
2、力偶的概念
3、平面力偶系
§2-1 平面汇交力系
汇交力系：所有力的作用线
汇交于一点的力系。
共点力系：所有力的作用点为同一点的力系。
平面汇交力系合成—几何法
力多边形
平面汇交力系平衡—几何法
平衡几何条件：汇交力系的力多边形自行封闭。
平面力偶系的简化结果： Mo
平面力偶系的平衡条件：Mo = 0
平衡方程：
M
0
例5 图中M, r 均为已知, 且 l=2r, 各杆自重不计。
求:C 处的约束力。
解：取 BDC 为研究对象
作出受力图 由力偶理论，知 FB = FC M 0
2 2 FB r FB 2r M 0 2 2 注意：计算(FB，FC )的力偶矩
性质2 : 力偶作用效应只与力偶矩有关 性质3 : 力偶只能与力偶矩相等的另一力偶等效 性质4 : 力偶对其作用面上任一点的矩等于力偶矩
F
F´
F
F´
F
F´ F/2
（d）
F´/ 2
只要保持力偶矩不变，力偶必等效
F
F´
M
M
M
1静力学基本概念
3.力矩与力偶
例 求图中荷载对A、B两点之矩
解： 图（a）：
(a) MB = 8×2 = 16 kN ·m
(b) MA = - 8×2 = -16 kN ·m
图（b）：
MA = - 4×2×1 = -8 kN ·m MB = 4×2×1 = 8 kN ·m
3.力矩与力偶 力矩的特性 1、力的大小等于零，则力对任一点力矩等于零。
两个相互作用物体之间的作用力与反作 用力大小相等，方向相反，沿同一直线且分 别作用在这两个物体上。
第一章
静力学基本概念
3.力矩与力偶
3.力矩与力偶 1.力对点之矩
在力的作用下，物体将发生移动和转动。力 的转动效应用力矩来衡量，即力矩是衡量力转动 效应的物理量。
讨论力的转动效应时， 主要关心力矩的大小与转动 方向，而这些与力的大小、 转动中心（矩心）的位置、 动中心到力作用线的垂直距 离（力臂）有关。
3.力矩与力偶 例 1-4
例 1-4 如图所示每 1m 长挡土 墙所受土压力的合力为 FR ， 求土压力使墙倾覆的力矩。
h=4.5m
F2 F1
30
h/3 b=1.5m
如 FR=150kN ，方向如图示。
FR
解 土压力FR可使挡土墙绕A点倾 覆，故求土 压力FR使墙倾覆的力矩， d A 就是求FR对A点的力矩。
A C
FP
FCB
A
4.约束与约束反力
4.约束与约束反力
4.约束与约束反力
4.约束与约束反力 5.支座约束
（1）固定铰支座
4.约束与约束反力
5.支座约束
（1）固定铰支座 用铰链连接的两个构件中，其中一个构件是固定在基础 上的支座(图a)，这种约束称为固定铰支座，简称铰支座。 构件 销钉 支座 （a）
静力学03.第三章 力偶系
此也不能与一个力平衡;
性质二、力偶可在其作用面内任意转移，或移到另一平 行平面，而不改变对刚体的作用效果，力偶矩 矢是自由矢量; 性质三、保持力偶转向和力偶矩的大小（力与力偶臂的
乘积）不变，力偶中的力和力偶臂的大小可以
改变，而不改变对刚体的作用效果。
§3.4
力偶的等效条件和性质
力偶不能合成一个力, 或用一个力来等效替换; 力偶也 不能用一个力来平衡。因此, 力和力偶是静力学中两个基 本要素 力偶对物体的作用效应是引起物体的转动 力偶矩: 力偶的两个力对其作用面内某点的矩的代数和 MO(F , F') = MO(F )+MO(F') =F· aO－F'· bO =F (aO－bO) =F d F
空间力系中，力 F 对刚体产生的绕某点 O 的转动效应 取决于三个要素: (1)转动效应的强度 Fh；
(2)转动轴的方位，即力的作用线和矩心 O 所决定的平面的 法线方位； (3)转向，即: 使刚体绕轴转动的方向。
§3.1 力对点之矩矢
这三个要素可以用一个矢量来表示： 矢量的模等于力与力臂的乘积Fh 矢量的方位就是转轴的方位 矢量的指向根据右手规则由力F绕轴转动的方向确定。 力对点之矩矢，表示为MO(F)，过矩心O的定位矢量。
ΣMx= 0， ΣMy= 0 ， ΣMz= 0;
力偶系平衡条件的应用。
FR
l 0
q ( x )d x
l 0
q0
x l
dx
1 2
q0l
求合力作用线位置。设合力FR 的作用线距A端的距离 为h，在微段dx上的作用力对点A的矩为-(qxdx)x，全部分 布载荷对点A的矩为
l 0
建筑力学第2章平面汇交力系和平面力偶系
图 2.14
25
小结
本章主要研究了两种特殊力系———平面汇交 力系、平面力偶系的合成与平衡问题。 （1）平面汇交力系
1）平面汇交力系的合成 ①几何法：用力的多边形法则求合力。特点是形象 、直观，但不精确。主要用在定性分 析上。 ②代数法：用合力投影定理求合力。这是一种精确 方法，也是常用的方法。
26
7
图 2.2
8
（2）力在平面直角坐标系中的投影 如果把力 F 依次在其作用面内的两个正交轴 x 、y上投影（图 2.3），则有
9
（3）合力投影定理 合力在任一轴上的投影，等于各个分力在同一轴上 的投影的代数和。这就是合力投影定理。
10
图 2.3
图 2.4
11
（4）平面汇交力系合成的代数法假设有一平 面汇交力系作用在刚体上的 O 点，现要求其合力 。为此，首先建立一个合适的平面直角坐标系，为 了简化计算，应让尽量多的力位于坐标轴上。然后 再把每个力进行投影；并利用式（2.4）求出合力 FR在这两个轴上的投影。于是，合力的大小和方 向可由下式确定：
20
图 2.9
图 2.10
21
图 2.11
图 2.12
22
图 2.13
23
2.3.2 平面力偶系的平衡 与平面汇交力系的平衡条件类似，平面力偶系 的平衡条件是：平面力偶系平衡的充分必要 条件是组成力偶系的各力偶的力偶矩的代数和为零 。即
24
2.3.3 平面力偶系平衡方程的应用 求解物体在平面力偶系作用下的平衡问题时， 一定要注意：力偶只能由力偶去平衡。
2
2.1.1 平面汇交力系合成的几何法 我们知道，若平面汇交力系是由两个力组成， 则可用力的平行四边形法则去求它们的合力。若平 面汇交力系是由两个以上的力组成时，只要先求出 任意两个力的合力，再求出这个合力和另一个力的 合力，这样继续下去，最后得出的就是这许多力的 合力。
理论力学知识点总结—静力学篇
静力学知识点第一章静力学公理和物体的受力分析本章总结1.静力学是研究物体在力系作用下的平衡条件的科学。
2.静力学公理公理1 力的平行四边形法则。
公理2 二力平衡条件。
公理3 加减平衡力系原理公理4 作用和反作用定律。
公理5 刚化原理。
3.约束和约束力限制非自由体某些位移的周围物体，称为约束。
约束对非自由体施加的力称为约束力。
约束力的方向与该约束所能阻碍的位移方向相反。
4.物体的受力分析和受力图画物体受力图时，首先要明确研究对象（即取分离体）。
物体受的力分为主动力和约束力。
要注意分清内力与外力，在受力图上一般只画研究对象所受的外力；还要注意作用力和反作用力之间的相互关系。
常见问题问题一画受力图时，严格按约束性质画，不要凭主观想象与臆测。
第二章平面力系本章总结1. 平面汇交力系的合力（ 1 ）几何法：根据力多边形法则，合力矢为合力作用线通过汇交点。
（ 2 ）解析法：合力的解析表达式为2. 平面汇交力系的平衡条件（ 1 ）平衡的必要和充分条件：（ 2 ）平衡的几何条件：平面汇交力系的力多边形自行封闭。
（ 3 ）平衡的解析条件（平衡方程）：3. 平面内的力对点 O 之矩是代数量，记为一般以逆时针转向为正，反之为负。
或4. 力偶和力偶矩力偶是由等值、反向、不共线的两个平行力组成的特殊力系。
力偶没有合力，也不能用一个力来平衡。
平面力偶对物体的作用效应决定于力偶矩 M 的大小和转向，即式中正负号表示力偶的转向，一般以逆时针转向为正，反之为负。
力偶对平面内任一点的矩等于力偶矩，力偶矩与矩心的位置无关。
5. 同平面内力偶的等效定理：在同平面内的两个力偶，如果力偶相等，则彼此等效。
力偶矩是平面力偶作用的唯一度量。
6. 平面力偶系的合成与平衡合力偶矩等于各分力偶矩的代数和，即平面力偶系的平衡条件为7、平面任意力系平面任意力系是力的作用线可杂乱无章分布但在同一平面内的力系。
当物体（含物体系）有一几何对称平面，且力的分别关于此平面对称时，可简化为平面力系计算。
静力学基本概念.
如图所示，以FR表示力F1和力F2的合力，则可以表示为： FR=F1+F2。
F
F R
2
O
F
1
即作用于物体上同一点两个力的合力等于这两个力的矢量合。
力的三角形法则
b
F
2
c F
R
O F
1
obc称为力的三角形。这种合成方法称为力三角形法则。
FR=F1+F2。
推论二 三力平衡汇交定理
刚体受同一平面内互不平行的三个力作用而平 衡时，则此三力的作用线必汇交于一点。
静力学的研究对象仅限于刚体，所以又称之为刚体静力学
二、力的概念:
力是物体之间相互的机械作用
力使物体的机械运动状态发生改变，或使物体产生变形 力使物体的运动状态发生改变的效应称为外效应 力使物体发生变形的效应称为内效应。 刚体只考虑外效应 变形固体还要研究内效应
力的三要素 力对物体作用的效应完全决定于以下力的三要素：
平面汇交力系： 各力作用线都汇交于同一点的力系。
平面力偶系： 若干个力偶(Couple)（一对大小相等、指向相反、作用 线平行的两个力称为一个力偶）组成的力系。
平面平行力系：所有力的作用线相互平行。 平面一般力系：各力的作用线既不平行也不交于一点
等效力系 (Equivalent force system )
1.力的大小
表示物体相互作用的强弱ຫໍສະໝຸດ 度在国际单位制中，力的单位用牛顿（N）或千牛顿（kN），1kN=103 N
2.力的方向
包含力的方位和指向两方面的涵义
如重力的方向是“竖直向下”。
“竖直”是力作用线的方位，“向下”是力的指向
3.力的作用位置
指物体上承受力的部位 作用位置一般是一块面积或体积，称为分布力
F
F R
2
O
F
1
即作用于物体上同一点两个力的合力等于这两个力的矢量合。
力的三角形法则
b
F
2
c F
R
O F
1
obc称为力的三角形。这种合成方法称为力三角形法则。
FR=F1+F2。
推论二 三力平衡汇交定理
刚体受同一平面内互不平行的三个力作用而平 衡时，则此三力的作用线必汇交于一点。
静力学的研究对象仅限于刚体，所以又称之为刚体静力学
二、力的概念:
力是物体之间相互的机械作用
力使物体的机械运动状态发生改变，或使物体产生变形 力使物体的运动状态发生改变的效应称为外效应 力使物体发生变形的效应称为内效应。 刚体只考虑外效应 变形固体还要研究内效应
力的三要素 力对物体作用的效应完全决定于以下力的三要素：
平面汇交力系： 各力作用线都汇交于同一点的力系。
平面力偶系： 若干个力偶(Couple)（一对大小相等、指向相反、作用 线平行的两个力称为一个力偶）组成的力系。
平面平行力系：所有力的作用线相互平行。 平面一般力系：各力的作用线既不平行也不交于一点
等效力系 (Equivalent force system )
1.力的大小
表示物体相互作用的强弱ຫໍສະໝຸດ 度在国际单位制中，力的单位用牛顿（N）或千牛顿（kN），1kN=103 N
2.力的方向
包含力的方位和指向两方面的涵义
如重力的方向是“竖直向下”。
“竖直”是力作用线的方位，“向下”是力的指向
3.力的作用位置
指物体上承受力的部位 作用位置一般是一块面积或体积，称为分布力
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平 面 简 单 力 系
—
FBA cos FBC cos 0 FBA sin FBC sin F 0 F FBA FBC 2 sin
F
x
0
F
y
0
静 力 学 平 面 简 单 力 系 —
取压块 C 为研究对象并受力分析 如图。建立坐标，由平面汇交力 系的平衡方程有：
已 知 : F , l1, l2 , . 求: MO(F) 静 力 学 平 面 简 单 力 系 — 解: MO (F) = F d d=?
MO (F) = MO (F cos) +MO(F sin )
静 力 学 平 面 简 单 力 系 —
例5：三角形分布载荷作用在水平梁上，如图示。 最大载荷强度为 q ，梁长l。试求该力系的合力。 解：先求合力大小。
平面汇交力系可合成为通过汇交点的合力， 其大小和方向等于各分力的矢量和。
FR F1 F2 Fn Fi
i1
n
2．平面汇交力系平衡的几何条件
静 力 学 平 面 简 单 力 系 — 力系平衡的几何条件是:力系的力多边形自行封闭. 平面汇交力系平衡的必要和充分条件是： 力系的合力等于零。
力偶矩。
3．平面力偶系的合成与平衡条件
静 （1）平面力偶系的合成 M Mi 力 学 同平面内的任意个力偶可合成为一个力偶， 平 面 （2）平面力偶系的平衡充分与必要条件 简 单 M Mi 0 力 系 平面内各力偶矩的代数和等于零 —
合力偶矩等于各力偶矩的代数和。
一个独立的平衡方程，可解一个未知量。
FB D 6 10 67.8 10 N 67.8kN 4
—
A
B FBA C FBC B
FB
C
FCB
FC
F
例2：如图所示的压榨机中杆AB和BC的长度相等，自重 忽略不计。已知：F=3kN，h =200mm，l =1500mm。试 静 求压榨机对工件与地面的压力，以及AB杆所受的力。 力 解： 取活塞BD为研究对象并受力 学 分析如图。建立坐标，由平面 汇交力系的平衡方程有：
2．同平面内力偶的等效条件
静 力 (1)力偶可在自己的作用平面内任意移动, 学 对刚体的作用不变。 —
在同平面内的两个力偶,如力偶矩相等,则两力偶等效。
(2)力偶可以改变F、d的大小，只要力偶矩 平 大小不变，对刚体的作用不变。
面 简 (3)力偶可以从一个平面平行移至另一个平面, 单 只要力偶矩不变，对刚体的作用不变。 力 系 (4)平面力偶对平面内任一点之矩均等于
FRx cos(FR ,i) FR FRy cos(FR ,j) FR
合力在某一轴上的投影等于各分力在同一 轴上投影的代数和。
例 如图作用于吊环螺钉上的四个力构成平面汇交力系。 已知各力的大小和方向.试用解析法求合力大小和方向。
静 力 学
F1 360N
F2 550N
F3 380N
2.合力矩定理
平面汇交力系的合力对平面内任一点之矩等于各 静 力 分力对该点之矩的代数和。 学
FR F1 F2 Fn 平 面 r FR r ( F1 F2 Fn )
简 M (F ) M (F ) M (F ) M (F ) O R O 1 O 2 O n 单 力 M O (F ) 系 —
F4 300N
2 2 解：FR FRx FRy
FRx Fx1 Fx 2 Fx 3 Fx 4 平 F1 cos 1 F2 cos 2 F3 cos 3 F4 cos 4
面 1162N 简 FRy Fy1 Fy 2 Fy 3 Fy 4 单 F1 sin 1 F2 sin 2 F3 sin 3 F4 sin 4 160 N 力 2 2 系 FR FRx FRy (1162) 2 (160) 2 1173N tg FRy FRx 160 1162 0.133 754
理论力学
静 力 学 平 面 简 单 力 系 —
静力学
主讲教师：梁小燕
2013年5月21日星期二
第三章 平面简单力系
静 力 学 平 面 简 单 力 系 —
§3-1 平面汇交力系合成与平衡的几何法
2-3§٭平面汇交力系合成与平衡的解析法 §3-3 平面力对点的矩 §3-4 平面力偶系
§3-1 平面汇交力系合成与平衡的几何法
力的解析表达式：
Fx Xi
Fy Yj
F Xi Yj
F X 2 Y 2
Y tg X
2. 平面汇交力系合成的解析法
静 力 学 平 面 简 单 力 系 —
FR
FR FRxi FRy j
2 2 FR FRx FRy
( X i )2 ( Yi ) 2
FRx ( Fx1 Fx 2 Fxn ) Fxi FRy ( Fy1 Fy 2 Fyn ) Fyi
例6:工件上作用有三个力偶如图所示。已知：其力偶 矩分别为M1=M2=10N· m，M3=20N· m，固定螺柱的距 静 离l=200mm。求两光滑螺柱所受的水平力。 力 学 解：取工件为研究对象。 平 面 简 单 力 系
FAl M1 M 2 M 3 0
M1 M 2 M 3 FA l
—
3.平面汇交力系的平衡
静 力 学 平 面 简 单 力 系 — 平面汇交力系平衡的必要和充分条件是： 该力系的合力等于零
F F
FR ( Fxi )2 ( Fyi )2 0
x y
0 0
两个方程，求两个未知数
各力在两个坐标轴上的投影的代数和分别为零。
例1：图为弯管机夹紧机构的示意图，已知：压力缸 直径D=120mm ，压强p= 6MPa。设不计各杆自重和 静 摩擦，试求在 30位置时所能产生的夹紧力F。 力 解：取B点为研究对象 学 1 2 6 3 平 Fx 0 FBA cos30 FBC cos30 0 面 FBA FBC 简 Fy 0 FB 2FBC sin 30 单 FBC FB 67.8kN 力 系 取滑块C为研究对象 Fx 0 F FCB cos30 F 58.8kN
当平面汇交力系处于平衡状态时合力为零,则各力对 任意点之矩的代数和也为零.
例4：如图圆柱直齿轮受啮合力的作用。设F=1400N, 。 =20 ，压力角齿轮的节圆（啮合圆）半径r=60mm， 静 试计算力对轴心O的力矩。 力 学 解：解法1 按力矩定义求解。 M O (F ) F h Fr cos 平 1400 60 cos 20 78.93 N m 面 解法2 用合力矩定理求解。 简 单 M O (F ) M O (Ft ) M O (Fr ) 力 Ft 系 M O (Ft ) F cos r Fr F 78.93 N . m —
FC 2 2a M 0
M FA FC 2 2a
FC
FA
静 力 学 平 面 简 单 力 系 —
例：已知力偶矩 M1 10 N m ,求系统在图示位置平衡时 的力偶矩 M 2 的大小，不计构件自重及摩擦。 45
(a) M 2 M1 ,
(b)M 2 2M1
本 章 小 结
M 2 4M1 8kNm
例8：如图所示，已知图中M、r均为已知，且l=2r。 静 试画出AB和BDC杆的受力图；求A、C二处的约束力。 力 学 平 面 简 单 力 系 —
静 力 学 平 面 简 单 力 系 —
例9：在图示结构中，各构件的自重不计。在构件 AB上作用一矩为M的力偶，求支座A和C的约束力。
静 力 学 平 面 简 单 力 系 —
平面汇交力系是指作用在物体上各力的作用线 在同一平面内且汇交于一点。
1.平面汇交力系合成的几何法 静 力 学 平 面 简 单 力 系 —
F1 A F2 F4 F3 FR
E A
F1
B
F2
C
F3
D
F4
力的多边形法则：
把各力矢首尾相接，形成一条有向折线段。加上 一封闭边，就得到一个多边形，称为力多边形。
FR Fi 0
§3-2 平面汇交力系合成与平衡的解析法
解析法是以力在坐标轴上的投影分析力系的合成及平衡。 静 力 1．力在正交坐标轴系的投影与力的解析表达式 学 X F cos
平 面 简 单 力 系
Y F cos F sin 力在x、y方向的分力：
—
对销钉A
例3 已知四连杆机构ABCD 受力P、Q 作用。 求 机构平衡时P、Q 的关系。
Q T2 cos45 0
T2 2Q
3 T2 P T2 P cos30 0 2 P 2 2 3 1.633 2Q P T2 T2 Q 3 2
解法二 考虑整体DABC的平衡：
F
x
0
F
y
0
FCx FCB cos 0
FCB sin FCy 0 F cos F Fl FCx cot 11.25kN 2 sin 2 2h F FCy FCB sin 1.5kN 2
静 力 解：（1）分别考虑A、B销钉的平衡： 学 平 Fx 0 面 简 对销钉B 单 力 Fx 0 系 —
静 1．平面汇交力系合成为通过汇交点的一个合力 力 FR F 学 2. 平面汇交力系平衡的必要和充分条件 平 Fx 0 FR 0 合力等于零 面 Fy 0 简 单 3．力矩是度量力对物体转动效应的物理量。 力 平面问题中，力对点之矩是代数量。 系 M (F ) F h r F