数学九年级上华东师大版24.4中位线课件
华师大版-数学-九年级上册--24.4中位线 1. 三角形的中位线
24.4.1 三角形的中位线教学内容本节主要内容是三角形中位线概念及其性质．教学目标1．知识与技能．理解三角形中位线定义与性质，会应用三角形中位线解决实际问题．2．过程与方法．经历探究三角形中位线定义、性质的过程，感受三角形中位线定理的应用思想．3．情感、态度与价值观．培养良好的探究意识和合作交流的习惯，体会数学推理的应用价值．重难点、关键1．重点：三角形中位线定理．2．难点：三角形中位线定理的形成和应用．3．关键：充分应用相似三角形的相似比为解决三角形中位线定理的证明．教学准备1．教师准备：收集与本节有关的内容、制作投影片．2．学生准备：复习相似三角形性质、判定．教学过程一、回顾交流，导入新知1．问题牵引．（投影显示）课堂演练．已知：如图1，在△ABC 中，DE ∥BC ，求证：AD AE AB AC ==DE BC． E DC B A E DC B AE D CB A(1) (2) (3)教师活动：操作投影仪，提出问题，引导学生解决课堂练题．学生活动：应用相似三角形判定方法，解决课堂练习，因为∠A=∠A ，∵DE ∥BC ， ∴∠ADE=∠B ，∴△ADE ∽△ABC ，∴AD AE AB AC ==DE BC ． 2．问题延伸．教师提问：如果D 是AB 中点，点E 也是AC 的中点，其它条件不变，求DE BC 的值． 学生回答：DE BC =12，即DE=12BC ．（如图2） 教师提问：如果点D 、E 原来就是AB 与AC 的中点，那么能否得出DE ∥BC ？DE 与BC•之间有怎样的数量关系呢？请同学们通过画图来猜想．学生活动：动手画图，并与同伴交流，猜想出：DE ∥BC ，DE=12BC ．（如图24．4-3） 教师提问：你能证明出你所猜想的结论呢？学生活动：动手证明，并与同伴交流．思路点拨：首先应弄清楚已知条件是什么？从图3可以看出，在△ABC 中，•点D 、E 分别是AB 与AC 的中点，这就是条件，结论是求证DE ∥BC ，DE=12BC ．•由中点定义可以推得AD AE AB AC =12，又因为∠A=∠A ，应用“角等，夹边对应成比例”证出△ADE ∽△ABC ，•这样可得到∠ADE=∠ABC ，DE BC =12，因此有DE ∥BC 且DE=12BC ． 师生共识：（1）三角形中位线定义．（见课本P68）（2）三角形中位线定理．（见课本P68）媒体使用：投影仪．动态思维：三角形中位线定理的证明也可以用前面所学过的平行四边形知识来证明．介绍方法：过C 作CF ∥AB ，交DE 延长线于F ，由∠ADF=∠F ，∠AED=∠FEC ，AE=EC•可证出△ADE ≌△EFC ，由此可推出DB 瘙纟夹CF ，四边形DBCF 是平行四边形，•这样就有DF 瘙纟夹BC ，由于DE=EF ，因此有DE=12BC ．（如图） F E DC A二、范例学习，应用所学1．例1：见课本P68例1．思路分析：对于文字题，首先应依题意，画出图形，写出已知、求证（见课本P68）．本题要证明AE 、DF 互相平分，可以从全等三角形或平行四边形的知识入手，•进行证明．以平行四边形为例，需构建一个与AE 、DF 有关的四边形，•然后再证明它是一个平行四边形，本题构建出四边形ADEF ，利用三角形中位线定理，很容易证出DE ∥AC ，EF ∥AB ，这样就得到ADEF ，从而有AE 、DE 互相平分．证明见课本P68．教师活动：操作投影仪，显示例1，分析例题1，引导学生解题．学生活动：观察、思考，从教师的分析中学会如何应用三角形中位线定理．评析：本题是新旧知识的有机结合．实际上，从经验上来说，凡是中点问题都可以考虑中位线定理，这是解决中点问题的常规思路，教学中要予以概括．2．例2：见课本P68例2．思路分析：上面我们得到一种经验的思想，那就是凡是中点问题都可以考虑用中位线定理，不妨我们试一试，本题D 、E 分别是BC 、AB 的中点，要应用中位线，首先要构建中位线，这种辅助线就自己引出，连结ED ，利用中位线定理，DE ∥AC ，DE AC =12，由此可推得△ACG∽△DEG，GE GDGC AG==DEAC=12，因此有13GE GDCE AD==．证明见课本P68．教师活动：引导学生应用经验分析思想，来寻找思路．学生活动：思考、分析，尝试考试上述的经验思想，解决问题．拓展延伸：教师通过例2，引入三角形重心定义．（见课本P69）学生活动：在教师的引导下，认识“重心”的概念，并且了解重心的实际应用价值．评析：数学上的“重心”与物理上的“重心”是一致的，学习中应加以对照．三、随堂练习，应用所学1．课本P70练习第1题．2．探研时空．（1）求证：顺次连结四边形四条边的中点，所得的四边形是平行四边形．（2）如图，A、B两点被池塘隔开，在AB外选一点C，连结AC和BC，并分别找出AC 和BC的中点M、N，如果测得MN=20m，那么A、B两点间的距离是多少？为什么？四、课堂总结，提高认识三角形中位线定理，是三角形的一个重要性质定理，这个定理有一个特点：在同一个题设下，有两个结论，一个结论是表明位置关系的，另一个结论是表明数量关系的，在应用这个定理时，不一定同时需要两个结论，有时需要平行关系，有时要求倍分关系，可以根据具体情况，按需选用．五、布置作业，专题突破1．课本P70习题24．4第1、3题．2．选用课时作业设计．六、课后反思（略）第一课时作业设计1．如图，在△ABC中，AB=AC，延长AB到D，使BD=AB，取AB中点E，连结CD和CE，求证：CD=2CE．2．已知：在△ABC中，D、E、F分别是BC、CA、AB边的中点．求证：（1）四边形AFDE是平行四边形．（2）AFDE的周长等于AB+AC．3．求证：顺次连结菱形四边中点所得的四边形是矩形．答案1．提示：过B作BF∥AC，用三角形中位线；2．（1）利用三角形中位线（2）略3．利用中位线定理。
24.4 中位线 课件(华师大版九年级上册) (2)
{
三角形的中位线是连结三角形两边中点的线段 三角形的中线是连结一个顶点和它的 D 对边中点的线段 B
A
E
问：一个三角形的中位线有几条？
三条
C
我思,我进步
三角形的中位线
观察并猜想： Δ 已知：如图，在△ ABC的中位线DE与 ABC BC有怎样的位置和数量关系？ 中，AD=DB，AE=EC A DE∥BC， DE 1 BC 猜想： 求证： 2 （同学们观察三角形纸片，联想证明方法） 证明：延长DE到F，使EF=DE，连结CF E D ∵AE=CE，∠AED=∠CEF（对顶角相等） 位置关系 数量关系 B C ∴△ADE≌△CFE （SAS）
E
B
F
G C
∴EF∥HG，EF=HG ∴四边形EFGH是平行四边形.
试一试：
你能解决本节课开始提出的问题了吗？
解答：先在沙堆外取一点C， 连接 CA、CB 再取 CA、CB 的中点D、E,并量得D、E间的距 离，假设其大小为 1m 则A、B 间的距离为 2m 。 （ 根据是： 三角 形的中位线等于第三边的一半）
P55练习1.
求证：顺次连结四边形各边中点所得的四边形是平 行四边形。 已知：如图,在四边形ABCD中, E,F,G,H分别为各边的中点. 求证:四边形EFGH是平行四边形
zxxkw
分析:将四边形ABCD分割为三角形, 证明:连接AC. 利用三角形的中位线可转化两组对 A ∵E,F,G,H分别为各边的中点, 边分别平行或一组对边平行且相等 来证明1 . ∴EF∥AC,EF AC. 2 H 1 HG∥AC,HG AC. 2 D
华东师大版数学九年级上册-24.2 三角形的中位线 课件
D 4F 53
A
E
图2
是各边中点
AB=6cm，AC=8cm，BC=10cm，
则△DEF的周长= 12 cm
C
求证:三角形的一条中位线与第三 A 边上的中线互相平分.
D
OE
已知:如图,在⊿ABC 中,AD=DB,AE=EC,BF=FC.
B
F
C 求证:AF与DE互相平分.
温馨提示 已知两边中点，连接中点，构造中位线。
三角形的中位线与三角形的中线有 什么区别与联系？
区别:中位线:中点--------中点 中 线:顶点--------中点
联系:一个三角形有三条中线,三条中位线, 它们都在三角形的内部且都是线段
观察猜想
在△ABC中，中位线
A
DE和边BC什么关系?
D
E
B
C
DE和边BC关系
位置关系： DE∥BC
数量关系： DE= 1 BC. 2
课本79页习题 第1题，第2题
三角形的中位线
A。
D。
。
。
。
C
E
B
为了测量一个池塘的宽BC,在池塘一侧的平 地上选一点A,再分别找出线段AB，AC的中点
D、E，若测出DE的长，
就能求出池塘BC的长，
C
B
你知道为什么吗？
E
D
A
猜一猜
D
E
DE：我叫什么名字呢？
DE是三角形ABC的中位线
A 什么叫三 角形的中位 线呢？
D
E
B
C
连结三角形两边中点的线段叫三角形的中位线
⑵ DE=1/2BC
见中点联想中位线 ① D、E是中点→平行→相似
华师大版初三数学上册《23.4 中位线》课件
中位线
E
.
.
F
B
. D
C
DE是三角形ABC的 中位线. A 什么叫三 角形的中 位线呢？ D E
B
C
连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线. 画出△ABC中所有的中位线.
画出三角形的所有中线并说出中位线
和中线的区别. D
A
F
B E
C
A D B ① 如果D、E分别为AB、AC的中点,那么DE为△ABC的 中位线 ； E C
如图：在△ABC中，D是AC的中点，E是AB的中点.
则有： DE∥BC, DE=
1 2
BC.
A
能说出理由吗?
E
D
B
C
如图，在△ABC中，D是AC的中点，E是AB的中点.
则有：
DE∥BC, DE=
A
1 2
BC.
用不同的 方法证明 E D
F
B
C
三角形中位线的性质 三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半. 用符号语言表示 ∵DE是△ABC的中位线 ∴ DE∥BC， 1 DE= 2 BC. E D
则△DEF的周长= 12 cm
二 三角形的重心
如图，△ABC中，D、E分别是边BC、AB的中点，AD、CE相
交于G．求证：
GE CE GD AD 1 3
证明:连结ED，
∵ D、E分别是边BC、AB的中点， ∴ DE∥AC，
DE AC 1 2
∴ △ACG∽△DEG，
∴
∴
GE GC
GD AG
1 2
D
AC.
H
F
同理 EF∥AC, EF= AC,
2
华东师大版数学九年级上册三角形的中位线精品课件PPT
A 什么叫三 角形的中位 线呢？
D
E
B
C
连结三角形两边中点的线段叫三角形的中位线
华东师大版数学九年级上册-24.2 三角形的中位线 课件
华东师大版数学九年级上册-24.2 三角形的中位线 课件
三角形的中位线与三角形的中线有 什么区别与联系？
区别:中位线:中点--------中点 中 线:顶点--------中点
② D为中点，DE∥BC→ E为中点
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快速抢答
华东师大版数学九年级上册-24.2 三角形的中位线 课件
A 如图1：在△ABC中，DE是中位线
（1）若∠ADE=60°，
D
E 则∠B= 60 度，为什么？
（2）若BC=8cm，
则DE= 4 cm，为什么？
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华东师大版数学九年级上册-24.2 三角形的中位线 课件
BC.
华东师大版数学九年级上册-24.2 三角形的中位线 课件
D B
A E
C
已知：如图，D、E分别是
△ABC的边AB、AC的中点.
求证：DE∥BC，DE 1 BC
证明：
2
∵点D、E分别是AB与AC的中点
AD AE 1 AB AC 2
∵∠A=∠A
联系:一个三角形有三条中线,三条中位线, 它们都在三角形的内部且都是线段
华东师大版数学九年级上册-24.2 三角形的中位线 课件
华东师大版数学九年级上册-24.2三角形的中位线 课件观察猜想
在△ABC中，中位线
A
DE和边BC什么关系?
D
E
B
C
DE和边BC关系
中位线复习PPT课件(华师大版)
∵D,F,K是AB,DC,AD边的中点
C
∴EK∥BD, EK=½BD FK∥AC, FK=½AC
∴∠1=∠3 ,∠2=∠4
∵AC=BD ∴EK=FK
∴∠3=∠4 ∴∠1=∠2 ∴OG=OH
10
例4：如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,对角线AC与BD垂直相交 于点O,MN是梯形ABCD的中位线,∠1＝30°.
8
例3:如图，D,E,F,分别是△ABC各边的中点，AH是△ABC的高，四边 形DHEF是等腰梯形吗？
D B
∟
A HE
证明： ∵D,F是△ABC两边的中点
∴DF是△ABC的中位线
F
∴DF∥BC,即DF∥HE
∵DH、EF 不平行
∴四边形DHEF是梯形 C ∵ AH是△ABC的高，D是AB的中点
∴DH=½AB ( ? )
连接E与DC边中点F
A
D
EF=½.(AD+BC）（梯形中位线）
E·
F
EF=½.DC（直角三角形斜边中线等
于斜边一半）
B
C
12
作业：
1. 梯形的中位线是16cm，它被一条对角线分成两部分差是4， 求梯形的两底。
2. 梯形上底长10，中位线长12，求下底及梯形被中位线分成的 两部分的面积比。
3. 等腰梯形两底差为4，中位线长为6，腰长为4，求等腰梯形的 面积
长和各角的度数。
A
D
解：(1)∵EF是梯形的中位线
∴EM=½AD;MF=½BC ( ?
即:AD=2EM; BC=2MF ∵EM=4,FM=10 ∴AD=8; BC=20 ∵AB=DC;AB=12 ∴周长=8+20+12+12=52
24.4中位线(三角形的中位线)(课件)(华师大版九年级上册)
A
D B
位置关系： 平行
E C
DE和边BC关系
数量关系：DE是BC的一半
结论：三角形的中位线平行于第三边， 并且等于它的一半.
如图：在△ABC中，D是AB的中点，E 是AC的中点。 1 则有： DE∥BC, DE= BC. A
2
能说出理由 吗?
B
E
D
C
如图：在△ABC中，D是AB的中点，E 是AC的中点。 1 则有： DE∥BC, DE= BC.
C
N
B
在AB外选一点C，出AC和BC的中点M、N. 测出MN的长，就可知A、B两点的距离
一些重要结论: 平行四边形. ①顺次连结四边形四边中点所得的四边形是———————
②顺次连结对角线相等的四边形四边中点所得的 菱形. 四边形是———— ③顺次连结对角线互相垂直的四边形四边中点所 矩形. 得的四边形是———— ④顺次连结对角线相等且互相垂直的四边形四边 中点所得的四边形是————— 正方形.
例2 如图24．4．4，△ABC中，D、E分别
是边BC、AB的中点，AD、CE相交于G． GE GD 1 求证： CE AD 3 证明 :连结ED，
∵ D、E分别是边BC、AB的中点，
DE 1 DE∥AC， AC 2
∴
∴
（三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边 的一半），
△ACG∽△DEG，
证明：连结AC. ∵AH=HD，CG=GD ∴HG∥AC, HG= 1 AC 2 1 同理 EF∥AC EF= 2 AC ∴HG∥EF HG=EF ∴四边形EFGH是平行四边形.
C G D F H
A
E
B
A
M
若MN=36 m，则AB= 2MN=72 m 如果，MN两点之间还有阻 隔，你有什么解决办法？
九年级数学上册 24.4三角形的中位线课件 华东师大版
试一试：
操作一:把一个等边三角形剪成四个全等的三角形 ------取三边中点,并分别连接(图1)
操作二:把一个任意三角形剪成四个全等的三角形 ------取三边中点,并分别连接(图2)
D
E
F
C
连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线
A
一个三角形共有几条中位线？怎样画出来？
三条中位线围成一个新的三角形，它与原来的 三角形有无关系?哪方面有关系? (1) △DEF的周长与 △ABC的周长有什么关系? △DEF的周长是 △ABC周长的一半 四分之一
D
E
B
F
C
(2) 面积呢?
试一试
§24.4三角形的中位线
复习:
图中线段DE是连Δ ABC 两边的中点D、E所得 的线段，称此线段DE为 Δ ABC的中位线
B
A
E
C
三角形中位线的概念
连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线
三角形的中位线平行且等于第三边的一半.
A
几何语言：
E
D
B 途用
C
∵DE是△ABC的中位线 （或AD=BD,AE=CE) 1 DE// BC 2
应用三角形中位线定理 要求同时出现三角形及中位线
合作学习
已知：如图，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是 AB、BC、CD、DA的中点. 求证：四边形EFGH是平行四边形.
A E H D G F C
证明：如图，连接AC ∵EF是△ABC的中位线 EF// 1 AC 2 1 同理得： GH// AC
华师大版-数学-九年级上册-24.4中位线(1) 教案
华师大版 九年级（上） 第二十四章 第四节２４.4中位线（1） 教案【三维教学目标】知识与技能：１、经历三角形中位线的性质定理形成过程，掌握定理，并能利用它解决简单的问题。
２、通过命题的教学了解常用的辅助线的作法,并能灵活运用它们解题。
３、进一步训练说理的能力。
４、通过学习，进一步培养自主探究和合作交流的学习习惯；进一步了解特殊与一般的辩证唯物主义观点；转化的思想。
过程与方法：引导-自学-探究-交流-展示（探究结果确立与班级内分享）情感态度与价值观：经历知识产生的过程，探索新知识。
教学重点：经历三角形中位线的性质定理形成过程，掌握定理，并能利用它们解决简单的问题。
教学难点：进一步训练说理的能力。
【课堂导入】如图，△ABC 中，DE ∥BC ，则△ADE ∽△ABC 。
由此可以进一步推知，当点D 是AB 的中点时，点E 也是AC 的中点。
现在换一个角度考虑，如果点D 、E 原来就是AB 与AC 的中点，那么是否可以推出DE ∥BC 呢？DE与BC 之间存在什么样的数量关系呢？【教学过程】A 自 学：请同学们用10---15分钟时间自学教科书上本节内容。
B 交 流：请同学们上台总结点评：1.三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半。
2.会添加辅助线来解决一些实际问题C 探 究：例1：求证三角形的一条中位线与第三边上的中线互相平分。
已知：如图所示，在△ABC 中，AD ＝DB ，BE ＝EC ，AF ＝FC 。
求证：AE 、DF 互相平分。
证明：连结DE 、EF ．因为AD ＝DB ，BE ＝EC所以DE ∥AC （三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半） 同理EF ∥AB所以四边形ADEF 是平行四边形因此AE 、DF 互相平分（平行四边形的对角线互相平分）例2 ：如图，△ABC 中，D 、E 分别是边BC 、AB 的中点，AD 、CE 相交于G 。
求证： 31==AD GD CE GE 证明：连结ED∵ D 、E 分别是边BC 、AB 的中点∴ DE ∥AC ，21=AC DE （三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半） ∴ △ACG ∽△DEG ∴ 21===AC DE AG GD GC GE ∴ 31==AD GD CE GE 例3： 求证：顺次连结四边形四条边的中点，所得的四边形是平行四边形。
华师大版-数学-九年级上册--24.4中位线 2. 梯形的中位线
24.4.2 梯形的中位线教学内容本节课主要内容是学习梯形的中位线概念及其性质定理．教学目标1．知识与技能．理解梯形的中位线概念及其性质，会应用梯形中位线定理来解决实际问题．2．过程与方法．经历探索梯形中位线定理的过程，掌握其应用方法．3．情感、态度与价值观．培养良好的数学思想和乐学、好学、会学的学习精神．体会数学的应用价值．重难点、关键1．重点：梯形的中位线定理．2．难点：梯形的中位线定理的证明．3．关键：应用旋转的观点，将梯形问题转化到三角形问题中去，•再利用三角形中位线定理解决梯形的中位线定理的证明问题．教学准备1．教师准备：收集有关本节课的资料、制作投影片．2．学生准备：复习三角形中位线定理、预习本节课内容．教学过程一、回顾交流，迁移导入1．回顾与交流．（1）教师提问：①什么叫三角形中位线？②什么叫做三角形中位线定理？学生回答．（略）（2）课堂演练．已知：如图，矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于O，E、F分别是AO、DO•的中点，求证：四边形EBCF是梯形．思路分析：证明梯形，首先应从梯形的定义出发，证明EF∥BC，EF≠BC，由于E、•F分别是AO、OD中点，可以考虑用三角形中位线定理证得EF//12AD，从而可得EF//12BC，•由此，可证出四边形EBCF是梯形EBCF．教师活动：组织学生进行课堂演练，几分钟后，请一位学生上台板演．学生活动：课堂练习，从练习中复习中位线定理．媒体使用：投影显示．2．导入新知．投影显示一个梯形的图形，如图．教师引入：如果M、N是梯形两腰的中点，那么，连结MN的线段，我们称它为梯形的中位线．教师提问：梯形的中位线具有哪些性质呢？请同学们想一想？学生活动：画图猜测得到MN∥BC，MN=12（BC+AD）．教师提问：刚才有些同学猜测到梯形中位线平行于两底，并且等于两底和的一半．现在请同学们来证明这个定理．学生活动：联想到三角形中位线定理，而且回忆到“凡是梯形问题都可以通过三角形、平行四边形来解决”的这种化归思想．学生回答：可以转化成三角形，用三角形中位线定理来解决！教师引导：大家想得很好，现在的问题在于怎样转化？也就是如何做辅助线来达到转化的目的．学生活动：分四人小组，讨论出辅助线的做法．评析：在做辅助线时，有些学生是延长BC到E，使得CE=AD，连结AE，•教师要引导学生注意，这样做，AE是否过N点，要证明．教师引导学生用如下做法：连接AN并延长交BC延长线于E，•这种写法的优点是避免了证明A、N、E三点一线的问题，如图．教师活动：引导学生分析，并写出证明过程．学生活动：在正确作出辅助线之后，完成全部的证明．（板书）证明：连结AN并延长，交BC的延长线于点E．∵DN=NC，∠AND=∠CNE，∠NDA=∠NCE∴△ADN≌△ECN∴AN=EN，AD=EC．又∵AM=MB∴MN是△ABE的中位线∴MN∥BC，MN=12BC∵BE=BC+CE=BC+CD∴MN=12（BC+AD）思维拓展，提出问题：见课本P70“思考”．学生活动：思考课本P70提出的问题，与同伴交流，解决问题如下：图中L1，L2表示梯形的上、下底，h表示高，由小学学过的知识得到梯形面积公式为：S=12（L1+L2）h．根据梯形中位线定理可知：中位线L=12（L1+L2），因此，梯形面积公式也可以写成下面的形式：S=Lh．二、范列学习，应用所学•例：一个等腰梯形的周长是80cm•，•如果它的中位线与腰长相等，•它的高是12cm，求这个梯形的面积．思路点拨：先求中位线长，因为中位线长等于腰长，2•倍的中位线长等于上底长加下底长，所以中位线长为804＝20（cm），它的面积S=20×12=240（cm2）．教师活动：操作投影仪，显示例题，引导学生应用梯形中位线定理解决问题．学生活动：观察、思考，参考教师分析．三、随堂练习，巩固深化1．课本P70练习第2、3题．2．探研时空．（1）梯形的中位线一定平分梯形的对角线吗？为什么？（一定）（2）梯形的中位线长能不能与它的一条底边长相等？为什么？（不能，•如果和一条底边长相等，那么和另一条底边长也相等，这时四边形的对边平行且相等，这是一个平行四边形而不是梯形）四、课堂总结，提高认识梯形中位线定理是梯形的一个重要性质，它也像三角形中位线定理那样，在同一题设下有两个结论，应用时视其具体要求选用结论．五、布置作业，专题突破1．课本P70习题24．4第2、4题．2．选用课时作业设计．六、课后反思（略）第二课时作业设计1．梯形的上底8cm，下底长10cm，则中位线长为________．2．梯形的上底是8cm，中位线长10cm，则下底长为________．3．已知：如图，AA′∥EE′，AB=BC=CD=DE，A′B′=B′C′=C′D′=D ′E′，AA′=28mm，EE′=36mm，求BB′、CC′、DD′的长．4．如图，已知直角梯形ABCD的中位线EF的长为a，垂直于底的腰AB的长为b，求S △CDE =？5．如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC 和∠BAD 的平分线相交于点P ，•且P 在CD 上，求证：AB=AD+BC ．D CBAP6．等腰梯形的对角线互相垂直，且它的中位线等于m ，求此梯形的高．答案1．9cm 2．12cm 3．提示：用梯形中位线 4．12ab 5．提示：取AB 中点E ，连接EP ，用梯形中位线 6．见疑难解析.。
《24.4 三角形的中位线》课件 华东师大版
D C
B
问题
D B B D A 4 5 F 3
图2
A
如图1：在△ABC中，DE是中位线 （1）若∠ADE=60°，
E C
则∠B=
60 4
度，为什么？
（2）若BC=8cm， 则DE= cm，为什么？
图1
如图2：在△ABC中，D、E、F分别 是各边中点 AB=6cm，AC=8cm，BC=10cm， 则△DEF的周长=
华师大九年级数学（上）
课题 §3.6
AF是△ABC的中线 我们把DE叫做△ ABC 的中位线
A
D
E
B
F
C
A
连接三角形两边中点
D
E
的线段,叫做
三角形的
中位线
C
B
F
A
理解三角形的中位线 定义的两层含义:
D B
E
C
① 如果D、E分别为AB、AC的中点， 那么DE为△ABC的 中位线； ② 如果DE为△ABC的中位线，那么 D、E分别为AB、AC的 中点 。
12
cm
E
C
例1 求证三角形的一条中位线与第三边 上的中线互相平分．
已知： 如图24．4．3所示，在△ABC中，AD＝DB，BE ＝EC，AF＝FC． 求证： AE、DF互相平分． 证明: 连结DE、EF． ∵ AD＝DB，BE＝EC， ∴ DE∥AC（三角形的中位线平行 于第三边并且等于第三边的一 半）． 同理EF∥AB． ∴四边形ADEF是平行四边形． ∴ AE、DF互相平分（平行四边形 图 24.4.3 的对角线互相平分）．
又可得CF=BD,CF//BD
A D B E
所以四边形BCFD是平行四边形
1 1 则有DE//BC,DE= DF= BC 2 2
数学：244中位线课件(华东师大版九年级上)
3
B
D
C
注意：数学上的重心和物理上的重心是一致的
华师大九年级数学（上）
1.三角形中位线定义 2.三角形中线与中位线的区别 3.三角形中位线定理
华师大九年级数学（上）
练习4
• 已知： 在四边形ABCD中，AD＝BC， P是对角线BD的中点，M是DC的中点，N 是AB的中点．求证∠PMN＝∠PNM．
G
(4）能不能只增加一个条件使得
四边形EFGH为正方形。
B
F
C
华师大九年级数学（上）
例：如图△ABC中，D、E分别是边BC、AB的 中点，AD，CE相较于G。求证：GE GD 1
CE AD 3
结论：三角形三边上
A
的中线交于一点，这
个点就是三角形的重
心，重心与一边中点 E
的连线的长是对应中
G
线长的 1
∴ AD=FC
又DB=AD， ∴DB FC ∴四边形BCFD是平行四边形 ∴DE// BC 且DE=EF=1/2BC
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华师复大习九年级数学（上）
如图， △ABC 中，点D、E分别是AB与 AC的中点，证明：△ADE∽ △ABC 猜想DE与BC有怎样的位置关系和数量关系？ 为什么？ 猜想：DE∥BC，DE＝ 1 BC
2பைடு நூலகம்
．
华师大九年级数学（上）
A
连接三角形两边中点的线
段,叫做三角形的中位线
D
E 思考：三角形的中位线有几条
(3)若△ABC的三条中位线长分别为3、4、5，则 △ABC的周长为 24 面积为 24 。
华师大九年级数学（上）
例1已知：如图所示，在△ABC中，AD＝DB，BE＝EC， AF＝FC． （1）四边形ADEF是什么形状的四边形？并加以证明。 （2）DF与AE有什么关系？
华师版九年级数学中位线一课件
∴ GE GD1
CE AD 3
返回
返回
1、练习 第1题 2、习题24.4 第1题
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连接三角形两边中
点的线段,叫做 三
角形的中位线
B
F
C
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理解三角形的中位线定义的两层含义:
A
① 如果D、E分别为AB、AC的中点，
那么DE为△ABC的 中位线；
D
E
B
C
② 如果DE为△ABC的中位线，那么
D、E分别为AB、AC的 中点。
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A
△ABC中DE与BC的关系怎么样？
三角形中位线（一）
有一块三角形的面包，要平均分给4个人吃，要求 每块蛋糕的形状大小完全相同，那要怎么分？
A
（中点）D
E（中点）
B
F（中点） C
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A
中位线
A一F是个△三A角B形C的能中够线画出几条中位线？ DE叫做三△角A形B有C三的条中中位位线线
D
E
三角形中线和中位线有什么区别？
中线
AD AE1
D
AB AC 2
A A
∴ △ADE∽△ABC（如果一个三角形 B
的两边与另一个三角形的两边对应成比
例并且夹角相等则这两个三角形相似）
ADEAB,CDEAD1(相似三角形 BC AB 2
对应角相等，比 对例 应） 边成
∴
DE∥BC,并且DE=
1 2
BC
E C
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A D B
（从位置和数量关系猜想）
D
1、画△ABC；
1
23、、猜画量想△出：ADBEDC和EB的∥C中B的C线长，DE度D；E，＝量2 出B∠CADE和∠BB
初中数学华东师大九年级上册图形的相似三角形中位线PPT
D
E
连接三角形两边 中点的线段,叫做 三角形的中位线
B
F
C
A
理解三角形的中位线
D
E
定义的两层含义:
B
C
① 如果D、E分别为AB、AC的中点，
那么DE为△ABC的 中位线；
② 如果DE为△ABC的中位线，那么 D、E分别为AB、AC的 中点 。
探索活动一
三角形中位线有什么性质呢？
如图：D、E分别是三角形ABC两边的中点，
证明△ADE∽ △ABC.
A
D
E
B
C
结论：
三角形的中位线平 A 行于第三边，并且等于
第三边的一半.
D
E
B
C ∵D、E分别是AB、AC的中点
∴ DE∥BC, DE= 1 BC
2
问题
A 如图1：在△ABC中，DE是中位线
（1）若∠ADE=60°，
D
E 则∠B= 60 度，为什么？
（2）若BC=8cm，
则DE= 4 cm，为什么？
B
图1
C
B
如图2：在△ABC中，D、E、F分别
D 4F 53
A
E
图2
是各边中点
AB=6cm，AC=8cm，BC=10cm，
则△DEF的周长= 12 cm
C
例1 求证:三角形的一条中位线与第三边 上的中线互相平分．
已知： 如图24．4．3所示，在△ABC中，AD＝DB，BE ＝EC，AF＝FC． 求证： AE、DF互相平分．
CE AD 3
图 24.4.4
图．24.4.4 图 24.4.5
如果在图24．4．4中，取AC 的中点F，假设BF与AD交于G′ ，如图24.4.5，那么我们
初中数学华东师大九年级上册图形的相似——三角形的中位线PPT
A
B
C
D
1、如图，在△ABC中，DE是中位线。 （1）若∠ADE=55°， 则∠B= 度。 （2）若DE=8cm， 则BC= cm。
当 堂 训 练
55
16
2、如图，在△ABC中，点D、E、F分别是AB、BC、CA的中点。若△ABC的周长为10 cm，则△DEF的周长是 cm。
学习目标
1、掌握三角形中位线的概念及其性质定理。 2、探究三角形中位线的性质定理，并能运用定理来解决生活中的问题。
为了测量一个池塘的宽BC,在池塘一侧的平地上选一点A,再分别找出线段AB，AC的中点D、E，若测出DE的长，就能求出池塘BC的宽度，你知道为什么吗？
E
A
B
C
D
问题情境
三角形的中线的定义
（1）∵D、E分别为AB、AC的中点， ∴DE为△ABC的中位线．
（2）∵ DE为△ABC的中位线， ∴ D、E分别为AB、AC的中点．
二、新课探究
A
B
C
中点
D
中点
E
2、一个三角形有几条中位线？
3、三角形的中位线与中线有什么区别？
中位线是连结三角形两边中点的线段；
A
B
C
D
E
F
5
这节课我们学习了： (1)三角形中位线的概念。 (2)三角形中位线性质定理。
小结
连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。
三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。
中线是连结一个顶点和它的对边中点的线段。
F
3条
AБайду номын сангаас
B
C
4、三角形中位线有什么特殊的性质？
中点
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G
B
F
C
(4）能不能只增加一个条件使得四边形
ADFE为正方形。
练习4
▪ 已知： 在四边形ABCD中，AD＝BC， P是对角线BD的中点，M是DC的中点，N 是AB的中点．求证∠PMN＝∠PNM．
（第 4 题）
1、练习 第1题 2、习题24.4 第1题
如图，因为AE=CE，BD=CD。 所以AD、BD为三角形的中位 线。
如图，因为AE=DE，DF=CF；所以 EF为三角形的中位线。
三角形的中位线平行于第三 边并且等于它的一半。
∵DE是△ABC的中位线
∴DE∥BC，DE＝ 1 BC 2
你还有别的证法吗？
已知：如果，点D、E、F分别是 △ABC的三边的中点．
15cm， △ABC的周长是____。
(3)若△ABC的三条中位线长分别为3、4、5，则
△ABC的周长为
面积为
。
例1已知：如图所示，在△ABC中，AD＝DB，BE＝ EC，AF＝FC． （1）四边形ADEF是什么形状的四边形？并加以证 明。
（2）DE与AF有什么关系？
(1)四边形ADEF是平行四边形. 证明 : ∵ AD＝DB，BE＝EC， ∴ DE∥AC（三角形的中位线平行 于第三边并且等于第三边的一半） ．
同理EF∥AB． ∴四边形ADEF是平行四边形．
∴ AE、DF互相平分（平行四边形
的对角线互相平分）．
例2已知：如图，四边形ABCD中，E、
F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的
中点.
求证(1)四边形EFGH是平行四边形。
(2）请增加一个条件使得四
A
H
边形ADFE为菱形。
D
(3) 请增加一个条件使得四 E 边形ADFE为矩形。
（1）若AB=8cm，求EF的长；
（2）若DE=5cm，求BC的长．
（3）若增加M、N分别BD、BF的中点，问 MN与AC有什么关系？为什么？
练一练: (1)若△ABC三边AB、AC、BC的长分别为8、6、 4，它的三条中位线围成的△DEF的周长_____。
(2)若△ABC的三条中位线围成的三角形周长为
复习
如图， △ABC 中，点D、E分别是AB与
AC的中点，证明：△ADE∽ △ABC
猜想DE与BC有怎样的位置关系和数量关系
？为什么？
猜想：DE∥BC，DE＝
1
BC
2
．
A
连接三角形两边中点的线
段,叫做三角形的中位线
D
E 思考：三角形的中位线有几条
B
C
课题 §24.4
判断：
如图，因为AM=BM，DN=CN。 所以MN为三角形的中位线。