第七章平行线的证明5.三角形内角和定理

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苏教版七年级数学下册第七章《平面图形认识(二)》解答题苏州历年试题汇编

第七章《平面图形认识（二）》解答题苏州历年试题汇编一．平行线的判定1．（2019春•姑苏区期中）如图，△ABC中，∠B＝∠ACB，D在BC的延长线，CD平分∠ECF，求证：AB∥CE．2．（2018春•相城区期中）将一副直角三角尺BAC和ADE如图放置，其中∠BAC＝∠ADE ＝90°，∠BCA＝30°，∠AED＝45°，若∠AFD＝75°，试判断AE与BC的位置关系，并说明理由．二．平行线的性质3．（2020春•姑苏区期中）已知：直线AB∥CD，点E，F分别在直线AB，CD上，点M为两平行线内部一点．（1）如图1，∠AEM，∠M，∠CFM的数量关系为；（直接写出答案）（2）如图2，∠MEB和∠MFD的角平分线交于点N，若∠EMF等于130°，求∠ENF 的度数；（3）如图3，点G为直线CD上一点，延长GM交直线AB于点Q，点P为MG上一点，射线PF、EH相交于点H，满足∠PFG＝∠MFG，∠BEH＝∠BEM，设∠EMF＝α，求∠H的度数（用含α的代数式表示）．4．（2020春•高港区期中）问题情境：如图1，AB∥CD，∠P AB＝135°，∠PCD＝125°．求∠APC度数．小明的思路是：如图2，过P作PE∥AB，通过平行线性质，可求得∠APC 的度数．请写出具体求解过程．问题迁移：（1）如图3，AD∥BC，点P在射线OM上运动，当点P在A、B两点之间运动时，∠ADP＝∠α，∠BCP＝∠β．∠CPD、∠α、∠β之间有何数量关系？请说明理由；（2）在（1）的条件下，如果点P在A、B两点外侧运动时（点P与点A、B、O三点不重合），请你直接写出∠CPD、∠α、∠β间的数量关系．5．（2020春•江阴市校级期中）如图1，AB∥CD，点E，F分别在直线CD，AB上，∠BEC ＝2∠BEF，过点A作AG⊥BE的延长线交于点G，交CD于点N，AK平分∠BAG，交EF于点H，交BE于点M．（1）直接写出∠AHE，∠F AH，∠KEH之间的关系：＝+；（2）若∠BEF＝∠BAK，求∠AHE；（3）如图2，在（2）的条件下，将△KHE绕着点E以每秒5°的速度逆时针旋转，旋转时间为t，当KE边与射线ED重合时停止，则在旋转过程中，当△KHE的其中一边与△ENG的某一边平行时，直接写出此时t的值．6．（2019春•吴江区期中）已知AB∥CD，（1）如图1，BP、DP分别平分∠ABE、∠EDC，试说明：∠BPD＝∠BED；（2）如图2，若∠BMN＝133°，∠MND＝145°，BP、DP分别平分∠ABM、∠CDN，那么∠BPD＝°（只要直接填上正确结论即可）7．（2019春•常熟市期中）一副直角三角板如图摆放，其中∠C＝30°，∠F＝45°，EF∥AC，AB与DE相交于点G，BC与EF、DF分别相交于点M、N，连接DM，交AC于点P．（1）求∠MND的度数；（2）当∠DPC＝∠MNF时，DM是∠EMC的平分线吗？为什么？8．（2018春•甘井子区期中）如图1，MN∥PQ，直线AD与MN、PQ分别交于点A、D，点B在直线PQ上，过点B作BG⊥AD，垂足为点G．（1）求证：∠MAG+∠PBG＝90°；（2）若点C在线段AD上（不与A、D、G重合），连接BC，∠MAG和∠PBC的平分线交于点H，请在图2中补全图形，猜想并证明∠CBG与∠AHB的数量关系；（3）若直线AD的位置如图3所示，（2）中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请直接写出∠CBG与∠AHB的数量关系．9．（2018春•工业园区期中）若∠C＝α，∠EAC+∠FBC＝β（1）如图①，AM是∠EAC的平分线，BN是∠FBC的平分线，若AM∥BN，则α与β有何关系？并说明理由．（2）如图②，若∠EAC的平分线所在直线与∠FBC平分线所在直线交于P，试探究∠APB与α、β的关系是．（用α、β表示）（3）如图③，若α≥β，∠EAC与∠FBC的平分线相交于P1，∠EAP1与∠FBP1的平分线交于P2；依此类推，则∠P5＝．（用α、β表示）三．平行线的判定与性质10．（2020春•太仓市期中）如图1，在△ABC的AB边的异侧作△ABD，并使∠C＝∠D，点E在射线CA上．（1）如图，若AC∥BD，求证：AD∥BC；（2）若BD⊥BC，试解决下面两个问题：①如图2，∠DAE＝20°，求∠C的度数；②如图3，若∠BAC＝∠BAD，过点B作BF∥AD交射线CA于点F，当∠EFB＝7∠DBF时，求∠BAD的度数．11．（2020春•吴中区期中）填写下列空格完成证明：如图，EF∥AD，∠BAC＝70°，∠1＝∠2，求∠AGD．解：∵EF∥AD，∴∠2＝．（理由是：）∵∠1＝∠2，∴∠1＝∠3．（理由是：）∴∥．（理由是：）∴∠BAC+＝180°．（理由是：）∵∠BAC＝70°，∴∠AGD＝°．12．（2020春•高新区期中）∠1＝∠2，∠3＝∠B，FG⊥AB于G，猜想CD与AB的位置关系，并证明你的猜想．13．（2019春•姑苏区期中）如图，直线AB∥CD，E、F是AB、CD上的两点，直线l与AB、CD分别交于点G、H，点P是直线l上的一个动点（不与点G、H重合），连接PE、PF．（1）当点P与点E、F在一直线上时，∠GEP＝∠EGP，∠FHP＝60°，则∠PFD＝．（2）若点P与点E、F不在一直线上，试探索∠AEP、∠EPF、∠CFP之间的关系，并证明你的结论．14．（2019春•吴中区期中）如图，已知AD∥BC，点E在AD的延长线上，∠EDC+∠B＝180°．（1）问AB、CD是否平行？请说明理由；（2）若∠CAF＝23°，∠1＝∠2＝2∠CAB，求∠EDC的度数．15．（2019春•工业园区期中）如图，∠1＝70°，∠2＝110°，∠C＝∠D，试探索∠A与∠F有怎样的数量关系，并说明理由．16．（2019春•工业园区期中）填写证明的理由．已知：如图，AB∥CD，EF、CG分别是∠AEC、∠ECD的角平分线；求证：EF∥CG．证明：∵AB∥CD（已知）∴∠AEC＝∠DCE（）又∵EF平分∠AEC（已知）∴∠1＝∠（）同理∠2＝∠∴∠1＝∠2∴EF∥CG（）四．三角形三边关系17．（2019春•吴江区期中）已知△ABC中，三边长a、b、c，且满足a＝b+2，b＝c+1（1）试说明b一定大于3；（2）若这个三角形周长为22，求a、b、c．五．三角形内角和定理18．（2019春•常熟市月考）将纸片△ABC沿DE折叠使点A落在A′处的位置．（1）如果A′落在四边形BCDE的内部（如图1），∠A′与∠1+∠2之间存在怎样的数量关系？并说明理由．（2）如果A′落在四边形BCDE的外部（如图2），这时∠A′与∠1、∠2之间又存在怎样的数量关系？并说明理由．19．（2020春•高新区期中）Rt△ABC中，∠C＝90°，点D、E分别是△ABC边AC、BC 上的点，点P是一动点．令∠PDA＝∠1，∠PEB＝∠2，∠DPE＝∠α．（1）若点P在线段AB上，如图（1）所示，且∠α＝30°，则∠1+∠2＝°；（2）若点P在AB上运动，如图（2）所示，则∠α、∠1、∠2之间有何关系？猜想并说明理由．（3）若点P运动到边AB的延长线上，如图（3）所示，则∠α、∠1、∠2之间有何关系？猜想并说明理由．（4）若点P运动到△ABC之外，如图（4）所示，则∠α、∠1、∠2的关系为：．20．（2020春•吴江区期中）好学的小红在学完三角形的角平分线后，遇到下列3个问题，请你帮她解决．如图，在△ABC中，点I是∠ABC、∠ACB的平分线的交点，点D是∠MBC、∠NCB平分线的交点，BI、DC的延长线交于点E．（1）若∠BAC＝50°，则∠BIC＝°；（2）若∠BAC＝x°（0＜x＜90），则当∠ACB等于多少度（用含x的代数式表示）时，CE∥AB，并说明理由；（3）若∠D＝3∠E，求∠BAC的度数．21．（2020春•常熟市期中）如图，在△ABC中，点D在BC上，∠ADB＝∠BAC，BE平分∠ABC，过点E作EF∥AD，交BC于点F．（1）求证：∠BAD＝∠C；（2）若∠C＝20°，∠BAC＝110°，求∠BEF的度数．22．（2020春•太仓市期中）如图，已知△ABC中，AD，AE分别是△ABC的高和角平分线．若∠B＝44°，∠DAE＝12°，求∠C的度数．23．（2020春•相城区期中）已知（如图1）在△ABC中，∠B＞∠C，AD平分∠BAC，点E 在AD的延长线上，过点E作EF⊥BC于点F，设∠B＝α，∠C＝β．（1）当α＝80°，β＝30°时，求∠E的度数；（2）试问∠E与∠B，∠C之间存在着怎样的数量关系，试用α、β表示∠E，并说明理由；（3）若∠EFB与∠BAE平分线交于点P（如图2），当点E在AD延长线上运动时，∠P 是否发生变化，若不变，请用α、β表示∠P；若变化，请说明理由．24．（2020春•张家港市校级期中）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，P为线段AD上的一个点，PE⊥AD交直线BC于点E①若∠B＝35°，∠ACB＝85°，求∠E的度数．②猜想∠E与∠B、∠ACB的数量关系．25．（2019春•吴中区期中）如图，直线m与直线n互相垂直，垂足为O、A、B两点同时从点O出发，点A沿直线m向左运动，点B沿直线n向上运动．（1）若∠BAO和∠ABO的平分线相交于点Q，在点A，B的运动过程中，∠AQB的大小是否会发生变化？若不发生变化，请求出其值，若发生变化，请说明理由．（2）若AP是∠BAO的邻补角的平分线，BP是∠ABO的邻补角的平分线，AP、BP相交于点P，AQ的延长线交PB的延长线于点C，在点A，B的运动过程中，∠P和∠C的大小是否会发生变化？若不发生变化，请求出∠P和∠C的度数；若发生变化，请说明理由．26．（2019春•高新区期中）如图，若AE是△ABC边上的高，∠EAC的角平分线AD交BC 于D，∠ACB＝40°，求∠ADE．27．（2019春•相城区期中）如图①，△ABC的角平分线BD，CE相交于点P．（1）如果∠A＝80°，求∠BPC＝．（2）如图②，过点P作直线MN∥BC，分别交AB和AC于点M和N，试求∠MPB+∠NPC的度数（用含∠A的代数式表示）．（3）将直线MN绕点P旋转．（i）当直线MN与AB，AC的交点仍分别在线段AB和AC上时，如图③，试探索∠MPB，∠NPC，∠A三者之间的数量关系，并说明你的理由．（ii）当直线MN与AB的交点仍在线段AB上，而与AC的交点在AC的延长线上时，如图④，试问（i）中∠MPB，∠NPC，∠A三者之间的数量关系是否仍然成立？若成立，请说明你的理由；若不成立，请给出∠MPB，∠NPC，∠A三者之间的数量关系，并说明你的理由．28．（2020春•工业园区期末）如图，AD、AE分别是△ABC的高和角平分线，∠B＝50°，∠ACB＝80°．点F在BC的延长线上，FG⊥AE，垂足为H，FG与AB相交于点G．（1）求∠AGF的度数；（2）求∠DAE的度数．29．（2020春•吴中区期末）如图，在△ABC中，∠BAC：∠B：∠C＝3：5：7，点D是BC 边上一点，点E是AC边上一点，连接AD、DE，若∠1＝∠2，∠ADB＝102°．（1）求∠1的度数；（2）判断ED与AB的位置关系，并说明理由．六．三角形的外角性质30．（2019春•常熟市月考）好学的小红在学完三角形的角平分线后，遇到下列4个问题，请你帮她解决．如图，在△ABC中，∠BAC＝48°，点I是两角∠ABC、∠ACB的平分线的交点．（1）填空：∠BIC＝°．（2）若点D是两条外角平分线的交点，填空：∠BDC＝°．（3）若点E是内角∠ABC、外角∠ACG的平分线的交点，试探索：∠BEC与∠BAC的数量关系，并说明理由．（4）在问题（3）的条件下，当∠ACB等于度时，CE∥AB？31．（2019春•常熟市期中）在△ABC中，点D为边BC上一点，请回答下列问题：（1）如图1，若∠DAC＝∠B，△ABC的角平分线CE交AD于点F，试说明∠AEF＝∠AFE；（2）在（1）的条件下，如图2，△ABC的外角∠ACQ的角平分线CP交BA的延长线于点P，∠P与∠CFD有怎样的数量关系？为什么？（3）如图3，点P在BA的延长线上，PD交AC于点F，且∠CFD＝∠B，PE平分∠BPD，过点C作CE⊥PE，垂足为E，交PD于点G，试说明CE平分∠ACB．七．多边形内角与外角32．（2019春•姑苏区期中）如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，∠C＝60°．（1）如图1，若∠ADC和∠ABC的平分线交于点O，求∠BOD的度数；（2）如图2，若∠ABC的平分线与四边形ABCD的外角∠EDC的平分线交于点P，求∠BPD的度数；（3）如图3，若DG、BH分别是四边形ABCD的外角∠CDE、∠CBF的平分线，判断DG与BH是否平行，并说明理由．八．作图-平移变换33．（2020春•工业园区校级期中）如图：在正方形网格中有一个△ABC，按要求进行下列作图（只能借助于网格）．（1）画出先将△ABC向右平移6格，再向上平移3格后的△DEF．（2）连接AD、BE，那么AD与BE的关系是，线段AB扫过的部分所组成的封闭图形的面积为．34．（2020春•姑苏区期中）在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，△ABC的三个顶点的位置如图所示．现将△ABC平移，使点C变换为点D，点A、B的对应点分别是点E、F．（1）在图中请画出△ABC平移后得到的△EFD；（2）在图中画出△ABC的AB边上的高CH；（3）△ABC的面积为．35．（2020春•常州期中）在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，△ABC的顶点都在正方形网格的格点（网格线的交点）上．（1）画出△ABC先向右平移5个单位长度，再向上平移2个单位长度所得的△A1B1C1；（2）画出△ABC的中线AD；（3）画出△ABC的高CE所在直线，标出垂足E；（4）在（1）的条件下，线段AA1和CC1的关系是．36．（2020春•吴江区期中）如图，在方格纸内将△ABC水平向右平移4个单位得到△A′B′C′．（1）补全△A′B′C′，利用网格点和直尺画图；（2）图中AC与A′C′的关系是：；（3）画出△ABC中AB边上的中线CE；（4）平移过程中，线段AC扫过的面积是．37．（2020春•吴中区期中）如图，每个小正方形的边长为1个单位，每个小方格的顶点叫格点．（1）画出△ABC向右平移4个单位后得到的△A1B1C1；（2）图中AC与A1C1的关系是：；（3）画出△ABC中AB边上的中线CD；（4）△ACD的面积为．38．（2020春•高新区期中）如图，在每个小正方形边长为1的方格纸中，△ABC的顶点都在方格纸格点上．将△ABC向左平移2格，再向上平移4格．（1）请在图中画出平移后的△A′B′C′；（2）再在图中画出△ABC的高CD；（3）在右图中能使S△PBC＝S△ABC的格点P的个数有个（点P异于A）39．（2019春•高新区期中）如图，在方格纸中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，△ABC的三个顶点就是小正方形的格点．（1）将△ABC向右平移3个单位长度再向下平移1个单位长度，得到△DEF（A与D、B与E、C与F对应），请在方格纸中画出△DEF；（2）在（1）的条件下，连接AD、CF，AD与CF之间的关系是；（3）在（1）的条件下，连接AE和CE，求△ACE的面积S．40．（2019春•吴中区期中）如图，在方格纸内将△ABC经过一次平移后得到△A′B′C′，图中标出了点B的对应点B′．根据下列条件，利用网格点和三角尺画图：（1）补全△A′B′C′（2）画出AC边上的中线BD；（3）画出AC边上的高线BE；（4）求△ABD的面积．。

第七章平行线的证明讲解

分析：（1）邻补角必须有公共边，两个没有公共边的角也可能和为
180°；（2）若两条直线不平行，则同位角就不相等；（3）a2 ＝b2，a与b可能相等，也可能互为相反数．
解：（1）假命题．如图1所示，l1∥l2，则∠1＋∠2＝180°，但
∠1与∠2不是邻补角．（2）假命题．如图2所示，l1与l2不平行，∠1和∠2是同位角
行”或“同旁内角互补，两直线平行”证明．
证法1： ∵∠1＝∠3（对顶角相等），∠1＋∠2＝180°（已知）， ∴∠3＋∠2＝180°（等量代换）． ∴a∥b（同旁内角互补，两直线平行）．
证法2： ∵∠1＋∠4＝180°（平角定义），∠1＋∠2＝180°（已知）
， ∴∠2＝∠4（同角的补角相等）． ∴a∥b（同位角相等，两直线平行）．
6、公理、证明、定理的概念（1）公认的真命题称为公理，即在长期的实践中，
人们总结出来的一些基本事实.如“两点确定一条直线 ”；“两点之间，线段最短”等等．
（2）除公理外，其他命题的真假都需要通过演绎推理的方法进行判断﹒演绎推理的过程称为证明，
（3）经过证明的真命题称为定理．定理只能用公理、定义和已经证明为真命题的命题来证明﹒
依据的方式，写出证明过程．
注意：通常文字证明题要有以上三个步骤，而在我们所接触到的证明题中，有相当一部分不是文字证明题﹒题目已经明确用字母、符号把命题表示出来，甚至也画出了示意图，对于不是文字证明的题，我们只需从第三步开始写即可．
随堂演练
例1、如图所示，若∠B＝35°，∠CDF＝145°，问AB是否与CE平行？
方法归纳：解答文字叙述类证明题的关键是正确理解文字信息
，把文字表示的命题“翻译”成用图形和符号表示（即画图形，写出已知、求证），最后再写出证明过程．

八年级数学上册第七章平行线的证明三角形内角和定理作业设计北师大版

5 三角形内角和定理一、选择题1. 在△ABC中，∠A＝75°，∠B－∠C＝15°，则∠C的度数为（）A. 30°B. 45°C. 50°D. 10°2. 在△ABC中，如果∠A=∠B=4∠C，那么∠C的度数是（）A. 10°B. 20°C. 30°D. 40°3. 下列说法错误的是（）A. 一个三角形中至少有一个角不大于60°B. 锐角三角形中任意两个角的和小于直角C. 一个三角形中至多有一个角是钝角D. 一个三角形中至多有一个角是直角4. 下列叙述中正确的是（）A. 三角形的外角等于两个内角的和B. 三角形的外角大于内角C. 三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和D. 三角形每一个内角都只有一个外角5. 如果三角形三个外角的度数比为2∶3∶4，则与之对应的三个内角的度数比为（）A. 4∶3∶2B. 3∶2∶4C. 5∶3∶1D. 3∶1∶56. 三角形的一个外角，不大于和它相邻的内角，这个三角形一定是（）A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 非锐角三角形7. 等腰三角形的一个外角为110°，它的底角为（）A. 55°B. 70°C. 55°或70°D. 以上答案都不对8. 在△ABC中，∠A＝36°，∠C是直角，则∠B＝________.9. 在△ABC中（1）∠A∶∠B∶∠C＝1∶1∶2，则此三角形是______ 三角形；（2）∠A∶∠B∶∠C＝2∶3∶5，则此三角形是______ 三角形；（3）∠A＝2∠B＝3∠C，则此三角形是______ 三角形；（4）∠A＝∠B＝∠C，则此三角形是______ 三角形；（5）∠A－∠B＝∠C，则此三角形是______ 三角形.10. 如图，在△ABC中，∠C＝∠ABC＝2∠A，BD是AC边上的高，则∠DBC＝_______.11. 如图，已知DE∥BC，CD是∠ACB的平分线，∠ACB=50°，那么∠EDC=_____________°．12. 如图，在四边形ABCD中，∠ B=70°，∠ C=50°，在顶点D的一个外角为80°，则顶点A的一个外角α=__________.13. 如图，∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝________°．14. 如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，∠ACD=40°,则∠EBC=______．15. 一个承重架的结构如图所示，如果∠1＝155°，那么∠2＝_________°16. 已知∠ABC，∠ACB的平分线交于I.（1）根据下列条件分别求出∠BIC的度数：①∠ABC＝70°，∠ACB＝50°；②∠ACB＋∠ABC＝120°；③∠A＝90°；④∠A＝n°.（2）你能发现∠BIC与∠A的关系吗？17. 如图，在△ABC中，D，E分别是BC，AC上的点，AD，BE相交于F，求证：∠C+∠1+∠2+∠3=180°.答案一、选择题1. 【答案】B【解析】∵∠A+∠B+∠C＝180o(三角形内角和为180 o),且∠A=75°，∠B=50°，∴∠C＝180o－（∠A+∠B）＝180 o－（75°+50°）＝55°，故选D.2. 【答案】B【解析】设∠C =k°，则三个内角的度数分别为4k°，4k°，k°，根据三角形内角和定理，可知4k°+4k°+k°=180°，得k°=20°，即∠C的度数是20°．故选B．3. 【答案】B【解析】如果锐角三角形中任意两个角的和小于直角，那么不符合三角形内角和定理．故选B．4. 【答案】C【解析】A、三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和，故本选项错误；B、三角形的外角大于和它不相邻的一个内角，故本选项错误．C、符合三角形外角的性质，故本选项正确；D、三角形每一个内角都有两个外角，故本选项错误.故选C．5. 【答案】C【解析】∵三角形三个外角的度数之比为2：3:4，而这三个外角的和为360°，∴这三个外角分别为：80°、120°、160°，∴与这三个外角相邻的内角度数分别为：100°、60°、20°，∴对应的三个内角的度数之比为：100:60:20=5:3:1.故选C.6. 【答案】D【解析】因为三角形的一个外角与它相邻的内角和为180°，而题中说这个外角大于它相邻的内角，所以可知与它相邻的这个内角是一个大于或等于90°的角，则这个三角形就是一个钝角三角形或直角三角形.故选D.7. 【答案】C【解析】因为等腰三角形的一个外角为110°，所以相邻的内角为180°-110°=70°，分两种情况讨论：（1）当此角是底角时，则它的底角为70°；（2）当此角为顶角时，则底角为（180°-70°）÷2=55°∴综上可知，底角为55°和70°．故选C．考点：1.等腰三角形的性质；2.三角形内角和定理；3.三角形的外角性质．8.【答案】54°【解析】根据直角三角形的两个锐角互余得：∠B=90°-∠A=90°-36°=54°．9. 【答案】 (1). 等腰直角； (2). 直角； (3). 钝角； (4). 直角； (5). 直角；【解析】（1）∠A：∠B：∠C=1：1：2，则∠A=∠B，且∠C=90°．则此三角形是等腰直角三角形；（2）∠A：∠B：∠C=2：3：5，设∠A=2x．则2x+3x+5x=180°，解得x=18°．则5x=5×18=90°，则此三角形是直角三角形；（3）∠A=2∠B=3∠C，同（2）求解，解得∠A＞90°，则此三角形是钝角三角形；（4）∠A=∠B=∠C，同（2）求解，解得∠C=90°，则此三角形是直角三角形；（5）∠A-∠B=∠C，同（2）求解，解得∠A=90°，则此三角形是直角三角形．10.【答案】18°【解析】设∠A=x，则∠C=∠ABC=2x．根据三角形内为180°知，∠C+∠ABC+∠A=180°，即2x+2x+x=180°，所以x=36°，∠C=2x=72°．在直角三角形BDC中，∠DBC=90°-∠C=90°-72°=18°．考点：三角形内角和定理．11.【答案】25【解析】∵DE∥BC，∴∠EDC=∠DCB，∵CD是∠ACB的平分线，∴∠ECD=∠DCB，∴∠EDC=∠ECD，∵∠ACB=50°，∴∠EDC=∠ECD=25°．12.【答案】40°【解析】如图，∵∠B=70°，∠C=50°，∴∠E=180°-∠B-∠C=180°-70°-50°=60°，∴∠α=180°-60°-100°=20°．13.【答案】280【解析】根据三角形内角和定理，可得：∠1+∠2=180°-40°=140°，∠3+∠4=180°-40°=140°，则∠1+∠2 +∠3+∠4=140°+140°=280°.故答案为：280.14. 【答案】140°【解析】∵在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，∴∠ABC=∠ACD=90°﹣∠BCD=40°，∴∠EBC=180°﹣∠ABC=140°．故答案为：140．15.【答案】65【解析】根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和解答．∵∠1=155°，∠2+90°=∠1，∴∠2=155°-90°=65°．16.【答案】（1）①∠BIC=120°；②∠BIC=120°；③∠BIC=135°；④∠BIC=90°+n°.（2）∠BIC=90°+∠A.【解析】（1）①已知∠ABC，∠ACB，由内角和定理求∠BAC，再根据角平分线性质求∠IBC+∠ICB，在△IBC中，由内角和定理求∠BIC的度数；②已知∠ABC+∠ACB，由内角和定理求∠BAC，再根据角平分线性质求∠IBC+∠ICB，在△IBC中，由内角和定理求∠BIC的度数；③已知∠A，由内角和定理求∠ABC+∠ACB，再根据角平分线性质求∠IBC+∠ICB，在△IBC中，由内角和定理求∠BIC的度数；④已知∠A，由内角和定理求∠ABC+∠ACB，再根据角平分线性质求∠IBC+∠ICB，在△IBC中，由内角和定理求∠BIC的度数；（2）∠BIC的大小不发生变化．可由角平分线的性质及三角形内角和定理求出∠BIC=90°+∠A．解：（1）①∵在△ABC中，∠ABC=70°，∠ACB=50°，∴∠BAC=180°-∠ABC-∠ACB=60°，∵BD、CE分别是∠ABC、∠ACB的平分线，∴∠IBC=∠ABC=35°，∠ICB=∠ACB=25°，∴∠BIC=180°-∠IBC-∠ICB=120°；②∵在△ABC中，∠ABC+∠ACB=120°，∴∠BAC=180°-∠ABC-∠ACB=60°，∵BD、CE分别是∠ABC、∠ACB的平分线，∴∠IBC=∠ABC，∠ICB=∠ACB，∴∠BIC=180°-∠IBC-∠ICB=120°；③∵∠A=90°，∴∠ABC+∠ACB=90°，∵BD、CE分别是∠ABC、∠A CB的平分线，∴∠IBC=∠ABC，∠ICB=∠ACB，∴∠BIC=180°-∠IBC-∠ICB=135°；④∵∠A=n°，∴∠ABC+∠ACB=180°-n°，∵BD、CE分别是∠ABC、∠ACB的平分线，∴∠IBC=∠ABC，∠ICB=∠ACB，∴∠BIC=180°-∠IBC-∠ICB=90°+n°；（2）∠BIC的大小不发生变化．∵BD、CE分别是∠ABC、∠ACB的平分线，∴∠IBC=∠ABC，∠ICB=∠ACB，∴∠BIC=180°-∠IBC-∠ICB=180°-（∠ABC+∠ACB），=180°-（180°-∠A），=90°+∠A，17.【答案】证明见解析.【解析】根据三角形外角的性质推出∠2=∠FAB+∠FBA，根据三角形内角和定理，即可推出∠C+∠1+∠2+∠3=∠C+∠1+∠FAB+∠FBA+∠3=∠C+∠CAB+∠ABC=180°．证明：∵∠ADB是△ADC的外角∴∠ADB＝∠3+∠C∵∠1+∠2+∠ADB=180°∴∠1+∠2+∠3+∠C=180°。

北师大版八年级数学(上)第七章平行线的证明第7节三角形内角和定理2

练习：如图所示，请将∠A、∠1、∠2 按从大到小的顺序排列
．
解：根据三角形的外角的性质得，∠2＞∠1，∠1＞∠A ∴∠2＞∠1＞∠A，故答案为：∠2＞∠1＞∠A．
例 6：已知：如图，△ABC 中，D 是 BC 延长线上一点，E 是 CA 延长线上一点，F 是 AB 上一点，连接 EF．求证：∠ACD＞∠E．
C．85°
D．25°
解：∵CE 是△ABC 的外角∠ACD 的平分线，∠ACE=60°，∴∠ACD=2∠ACE=120°． ∵∠B=25°，∴∠A=120°﹣25°=95°．故选：B．
3. 如图，在△ABC 中，D、E 分别是 AB、AC 上的点，点 F 在 BC 的延长线上，DE∥BC，∠A=44°，
解：∵∠E=20°，∠ACB=75°，∴∠CAE=75°﹣20°=55°，∵AE 平分∠CAD， ∴∠EAD=55°，∴∠B=∠EAD﹣∠E=55°﹣20°=35°．
例 5：如图，下列关系正确的是（）
A．∠2＜∠1 B．∠2＞∠1 C．∠2≥∠1 D．∠2=∠1 解：∵∠2 是三角形的一个外角，而∠1 是此三角形的一个内角，且∠1 与∠2 不相邻，∴∠2＞∠1．故选：B．
练习：如图，△ABC 中，∠A=70°，∠B=40°，CE 是△ABC 的外角∠ACD 的角平分线，求∠DCE 的度数．
解：∵∠A=70°，∠B=40°，∴∠ACD=∠A+∠B=110°，
∵CE 是△ABC 的外角∠ACD 的角平分线，∴∠DCE=
．
例 3：如图，直线 AB∥CD，∠A=70°，∠C=40°，则∠E 等于（）
证明：∵∠ACD 是△ABC 的一个外角，∴∠ACD＞∠BAC， ∵∠BAC 是△AEF 的一个外角，∴∠BAC＞∠E，∴∠ACD＞∠E．

八年级数学上第七章平行线的证明7.5三角形内角和定理2三角形的外角授课课北师大

感悟新知
1 如图，射线AD，BE，CF构成∠1，∠2，∠3，则
∠1＋∠2＋∠3等于( B )
A．180°
B．360°
知3－三角形的三个外角的度数之比为2∶3∶4，则
与之对应的三个内角的度数之比为( B )
A．4∶3∶2
B．5∶3∶1
C．3∶2∶4
D．3∶1∶5
课堂小结
谢谢观赏
You made my day!
∴∠C= 1EAC （等式的性质） . 2
∵AD平分∠EAC（已知），
∴∠DAC= 1EAC （角平分线的定义） . 2
∴∠DAC=∠C （等量代换）.
∴AD// BC （内错角相等，两直线平行）.
感悟新知
1 如图，在△ABC中，∠B＝40°，∠C＝ 30°，
延长BA至点D，则∠CAD的大小为( C )
证明：∵∠1+∠BAC=180°，
∠2+∠BCA=180°，
∠3+∠ABC=180°，
∴∠1+∠2+∠3+（∠BAC+∠BCA+∠ABC）=540°（等
式性质）.
∵∠BAC+∠BCA+∠ABC=180°（三角形内角和定理），
∴∠1+∠2+∠3=360°.
感悟新知
例3
如图，△CEF的外角为_∠__A_F_C__，__∠__B_E_F___．
第七章平行线的证明
7.5 三角形内角和定理
第2课时三角形的外角定理
学习目标
1 课时讲解
三角形外角的定义三角形外角的性质三角形的外角和
2 课时流程
逐点导讲练
课堂小结

五莲县第三中学八年级数学上册第七章平行线的证明7.5三角形的内角和定理第1课时三角形内角和定理教学课

u思路总结为了证明三个角的和为180°,转化为一个平角或同旁内角互
补等 , 这种转化思想是数学中的常用方式.
二三角形的内角和定理的运用
例1 如下图 , 在△ABC中 , ∠BAC=40 °, ∠B=75 °,AD是△ABC的角平
分线 , 求∠ADB的度数.
解 : 由∠BAC=40 °, AD是△ABC的角平分线 , 得
解 : ∵BP平分∠ABC , CP平分∠ACB ,
∴∠PBC+∠PCB= 〔∠AB12 C+∠ACB〕=60°．
∵∠PBC+∠PCB+∠BPC=180° ,
∴∠BPC=180°- 〔∠12 ABC+∠ACB〕
=180°- 〔181 0°-∠A〕=90°+ ∠A ．1
2
2
课堂小结
三角形的内角和定理
总结归纳
基本图形
由三角形的内角和定理易得∠1+∠2=∠3+∠4. 由三角形的内角和定理易得∠A+∠B=∠C+∠D.
休息时间到啦
同学们，下课休息十分钟。现在是休息时间，你们休息一下眼睛，
看看远处，要保护好眼睛哦~站起来动一动，久坐对身体不好哦~
例3 在△ABC 中 , ∠A 的度数是∠B 的度数的3倍 , ∠C 比∠B 大 15° , 求∠A , ∠B , ∠C的度数.
∠ACB=180 °- ∠ABC- ∠ CAB =180°-60°-30° =90°,
.
A
.
B 东
答 : 从B岛看A,C两岛的视角∠ABC是60 °,从C岛看A,B两岛的视角∠ACB是90°.
【变式题]如下图 , B岛在A岛的南偏西40°方向 , C岛在A岛的南偏东

北师版八年级数学上册课件第七章平行线的证明三角形内角和定理第1课时三角形内角和定理的证明

三、解答题(共36分) 14．(10分)如图，△ABC中，∠ABC＝40°，∠C＝60°，AD⊥BC于点 D，AE是∠BAC的平分线．求∠AED的度数．
解：∵AD⊥BC，∴∠ADB＝∠ADC＝90°. ∵∠ABC＝40°，∠C＝60°，∴∠BAD＝50°，∠CAD＝ 30°.∴∠BAC＝∠BAD＋∠CAD＝50°＋30°＝80°. ∵AE是∠BAC的平分线，∴∠BAE＝40°.∴∠DAE＝∠BAD－∠BAE ＝50°－40°＝10°.∴∠AED＝90°－∠DAE＝80°
7．(4分)(天门中考)如图，AD∥BC，∠C＝30°，∠ADB∶∠BDC＝ 1∶2，则∠DBC的度数是__5_0_°_．
8．(8分)如图，D是AB上一点，E是AC上一点，BE，CD相交于点F， ∠A＝57°，∠ACD＝35°，∠ABE＝19°，求∠BFD的度数．
解：∵∠A＝57°，∠ACD＝35°，∴∠ADC＝180°－∠A－∠ACD＝ 180°－57°－35°＝88°.∴∠BDC＝180°－∠ADC＝180°－88°＝ 92°.
A．20° B．40° C．60° D．80°
3．(3分)已知△ABC的三个内角∠A，∠B，∠C满足关系式∠B＋∠C＝ 2∠A，则此三角形( B )
A．有一个内角为45° B．有一个内角为60° C．是直角三角形 D．是钝角三角形
4．(3分)如图，在△ABC中，点D在AB上，点E在AC上，DE∥BC，若 ∠A＝70°，∠AED＝60°，则∠B的大小为( A)
∵∠ABE＝19°，∴∠BFD＝180°－∠BDC－∠ABE＝180°－92°－ 19°＝69°
9．(9分)(教材P185复习题T6变式)如图，在△ABC中，CD平分∠ACB，过点D作DE∥BC交AC于点E，若∠A＝54°，∠B＝48°，求∠CDE的度数．

北师大版八年级上册数学第7章平行线的证明第5节三角形内角和定理

感悟新知
知识点 2 三角形的外角
知2－讲
1.三角形的外角三角形内角的一条边与另一条边的反向延长线组成的角，称为三角形的外角 . 如图 7-5-3，∠ ACD 是 △ ABC 的∠ ACB 的外角 .
感悟新知
2. 外角的特征 (1)顶点是三角形的顶点； (2)一条边是三角形内角的一边； (3)另一条边是该内角另一边的反向延长线 .
第七章
平行线的证明
7.5 三角形内角和定理
学习目标
1 课时讲解 2 课时流程
三角形内角和定理三角形的外角三角形内角和定理的推论
逐点导讲练
课堂小结
作业提升
感悟新知
知识点 1 三角形内角和定理
知1－讲
1.定理：三角形的内角和等于 180° . 几何语言：在△ ABC 中，∠ A+ ∠ B+ ∠ C=180° .
感悟新知
2. 三角形内角和定理的证明思路
知1－讲
思路一：利用“两直线平行，内错角及同位角相等”将
三角形的三个内角转化为一个平角 . 如图 7-5-1 ①② .
感悟新知
知1－讲
思路二：利用“两直线平行，内错角相等”将三角形的三个内角转化为两平行线间的一组同旁内角 . 如图 7-5-2 ① ②.
感悟新知
知2－练
感悟新知
解题秘方：紧扣三角形外角的定义识别外角 .
知2－练
解：图中△ CEF 的三边的延长线只有 EF的延长线 FA，
CE 的延长线 EB，延长线 FA与边 FC 构成的角为∠
AFC；延长线 EB 与边EF 构成的角为∠ BEF.
由三角形外角的定义可以判断∠ AFC，∠ BEF
是△ CEF的外角 .

北师大版初中数学八年级(上)7-5-2三角形内角和定理教学课件教学课件

解法吗？
A
1
B
F
所以∠BAE+ ∠CBF+ ∠ACD=2(∠1+ ∠2+ ∠3)=360 °.
2
3
C
D
解法2：如图，∠BAE+∠1=180 °， ①
∠CBF +∠2=180 ° ，②
E
∠ACD +∠3=180 ° .③
A
又知∠1+ ∠2+ ∠3=180 °，
1
①+ ②+ ③得
B
∠BAE+ ∠CBF+ ∠ACD+
又因为∠B=∠BAD，
A
1
所以B 80 40,
2
在△ABC中，
∠B+∠BAC+∠C=180°，
所以∠C=180º-40º-70º=70°.
B
D
C
5.如图，求∠A+ ∠B+ ∠C+ ∠D+ ∠E的度数.
A
解：∵∠1是△FBE的外角,
B
E
∴∠1=∠B+ ∠E.
同理∠2=∠A+∠D.
G
2
∠A < ∠1 < ∠2
D
E
课堂小结
角一边必须是三角形的一边，另一边必
定义
三角形
的外角
须是三角形另一边的延长线
1.三角形的外角等于与它不相邻的两个
内角的和
性质
2.三角形的外角大于与它不相邻的任何
一个内角
三角形的
外角和
三角形的外角和等于360 °
当堂检测
1.判断下列命题的对错.
（1）三角形的外角和是指三角形的所有外角的和。（

北师大版初中数学八年级上册第七章平行线的证明复习题 ——探究三角形内外角平分线夹角课件

∠A＋∠P＝( C)
A．70° B．80°
C．90° D．100°
2. 如图所示，BE平分∠ABC，CE平分∠ACM，CE交BF 的延长线于点E，请你判断∠ACE与∠ABE的大小关系，并证明。
课后作业：
3.如图，在△ABC中，∠A=52°，∠ABC与∠ACB的角平
分线交于D1，∠ABD1与∠ACD1的角平分线交于点D2，依此类推，∠ABD4与∠ACD4的角平分线交于点D5，则∠BD5C 的度数是（）
∠A1CD的平分线交于点A2，得∠A2；…以此类推得到∠A2019，
则∠A2019的度数是
.
课前问题
2、如图，在△ABC中，∠A=60°，BD、CD分别平分∠ABC、 ∠ACB，M、N、Q分别在DB、DC、BC的延长线上，BE、CE 分别平分∠MBC、∠BCN，BF、CF分别平分∠EBC、∠ECQ，则∠F=__1_5_°__．
CE平分∠ACM，
∴∠ECM＝
1∠ACM， 2
1 ∠CBE＝2
∠ABC.
∵∠ACM＝∠A＋∠ABC，
∠ECM＝∠E＋∠CBE，
∴∴∠ ∠EE＋＝∠1∠CBAE. ＝12
(∠A＋∠ABC)＝1∠A＋1∠ABC.
2
2
2
类型3 一个内角平分线与一个外角平分线的夹角
【方法归纳】
三角形的一个内角平分线与一个外角平分线交于一点，所形成的夹角的度数等于第三角度数的一半。
如图，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分
线相交于点D，则∠BDC＝90°＋1 ∠A.
2
变式训练：
1．(大庆中考)如图，在△ABC中，∠A＝40°，D点是∠ABC和
∠ACB平分线的交点，则∠BDC＝ —11—0—°— ．

浦口区第三中学八年级数学上册第七章平行线的证明知识归纳北师大版

《第七章平行线的证明》知识归纳【要点梳理】要点一、定义、命题及证明1.定义：一般地，用来说明一个名词或者一个术语的意义的句子叫做定义.2.命题：判断一件事情的句子，叫做命题. 要点诠释：（1）每个命题都由题设、结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项. （2）正确的命题称为真命题，不正确的命题称为假命题. （3）公认的真命题叫做公理. (4) 经过证明的真命题称为定理.3.证明: 在很多情况下，一个命题的正确性需要经过推理，才能作出判断，这种演绎推理的过程称为证明. 要点诠释：（1）实验、观察、操作所得出的结论不一定都正确，必须推理论证后才能得出正确的结论．（2）证明中的每一步推理都要有根据，不能“想当然”，这些根据可以是已知条件，学过的定义、基本事实、定理等.（3）判断一个命题是正确的，必须经过严格的证明；判断一个命题是假命题，只需列举一个反例即可．要点二、平行线的判定与性质1．平行线的判定判定方法1：同位角相等，两直线平行．判定方法2：内错角相等，两直线平行．判定方法3：同旁内角互补，两直线平行．要点诠释：根据平行线的定义和平行公理的推论，平行线的判定方法还有：（1）平行线的定义：在同一平面内，如果两条直线没有交点（不相交），那么两直线平行. （2）如果两条直线都平行于第三条直线，那么这两条直线平行（平行线的传递性）. （3）在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线平行.（4）平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行. 2．平行线的性质性质1：两直线平行，同位角相等；性质2：两直线平行，内错角相等；性质3：两直线平行，同旁内角互补.要点诠释：根据平行线的定义和平行公理的推论，平行线的性质还有：（1）若两条直线平行，则这两条直线在同一平面内，且没有公共点．（2）如果一条直线与两条平行线中的一条直线垂直，那么它必与另一条直线垂直．要点三、三角形的内角和定理及推论三角形的内角和定理：三角形的内角和等于180°．推论：（1）三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．（2）三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角．要点诠释：（1）由一个公理或定理直接推出的真命题，叫做这个公理或定理的推论.（2）推论可以当做定理使用.第4课时等边三角形的判定1．理解等边三角形的两个判定定理及其证明．2．理解含有30°角的直角三角形的性质及其证明．3．能利用等边三角形的两个判定定理解决一些简单的问题．重点等边三角形判定定理及含30°角的直角三角形的性质定理的发现与证明．难点含30°角的直角三角形性质定理的探索与证明．一、复习导入1．等腰三角形的性质有哪些？2．等腰三角形的判定定理是什么？师：等边三角形作为一种特殊的等腰三角形，具有哪些性质呢？如何判定一个三角形是等边三角形呢？二、探究新知1．等边三角形的判定定理师：一个三角形满足什么条件时是等边三角形？一个等腰三角形满足什么条件时是等边三角形？处理方式：学生自主探究等腰三角形成为等边三角形的条件，并交流汇报各自的结论，教师适时要求学生给出相对规范的证明，概括出等边三角形的判别条件，并引导学生总结出下表：性质判定的条件等边三角形等边对等角“三线合一”即等边三角形顶角平分线、底边上的中线、高线互相重合等边三角形三个角都相等，且每个角都是60°有一个角是60°的等腰三角形三个角都相等的三角形是等边三角形2.含30°角的直角三角形的性质定理师：我们还学习过直角三角形，今天我们研究一个特殊的直角三角形——含30°角的直角三角形．师：用两个含30°角的全等的三角尺，你能拼成一个怎样的三角形？能拼出一个等边三角形吗？并说明理由．解：能拼出一个等边三角形．方法1：∵△ABD≌ACD，∴AB ＝AC.又∵Rt △ABD 中，∠BAD ＝30°，∴∠ABD ＝60°，∴三角形ABC 是等边三角形．方法2：∵∠B＝∠C＝60，∠BAC ＝∠BAD＋∠CAD＝30°＋30°＝60°，∴∠B ＝∠C＝∠BAC＝60°，即△ABC 是等边三角形．师：在你所拼得的等边三角形中，有哪些线段存在相等关系？有哪些线段存在倍数关系？你能得到什么结论？说说你的理由．处理方式：如果学生不能很快得出30°角所对直角边是斜边的一半，教师可以要求学生思考其中哪些线段直接存在倍数关系，并在将三角板分开，思考从中可以得到什么结论．然后在学生得到该结论的基础上，再证明该定理．定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．已知：如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠BAC ＝30°.求证：BC ＝12AB.分析：从三角尺的拼摆过程中得到启发，延长BC 至点D ，使CD ＝BC ，连接AD. 证明：延长BC 至点D ，使CD ＝BC ，连接AD(如图所示)．∵∠ACB ＝90°，∠BAC ＝30°，∴∠B ＝60°.∵∠ACB ＝90°，∴∠ACD ＝90°.∵AC ＝AC ，∴△ABC ≌△ADC(SAS )．∴AB ＝AD(全等三角形的对应边相等)．∴△ABD 是等边三角形(有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形)．∴BC ＝12BD ＝12AB. 三、举例分析例等腰△ABC 的底角为15°，腰长为2a ，求腰上的高CD 的长．分析：在Rt △ADC 中，AC ＝2a ，观察图形可以发现∠DAC 是△ABC 的一个外角，而∠DAC＝2×15°＝30°，根据在直角三角形中，30°角所对的直角边是斜边的一半，可求出CD.解：∵∠ABC＝∠ACB＝15°，∴∠DAC ＝∠ABC＋∠ACB＝15°＋15°＝30°.∴CD ＝12AC ＝12×2a＝ a(在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半)．四、练习巩固1．下列命题：①有两个角相等的三角形是等边三角形；②有一个外角是120°的等腰三角形是等边三角形；③三个外角都相等的三角形是等边三角形；④有一边上的高也是这边上的中线的等腰三角形是等边三角形．其中正确的有________．(填序号)2．在△ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝30°，AC ＝1，求AB ，BC 的长．五、课堂小结通过本节课的学习，你有什么收获？六、课外作业1．教材第12页“随堂练习”．2．教材第12～13页习题1.4第1～5题．本节课的难点在于探究直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半，由于设计了三角板操作的实践活动，有效地突破了难点，因而，课堂上学生思维非常灵活，方法多样，取得了较好的效果．2平方根第1课时算术平方根【知识与技能】1.了解数的算术平方根的概念，会用根号表示一个数的算术平方根.2.根据求一个数的算术平方根与平方是互逆运算，会利用这个互逆运算关系求某些非正负数的算术平方根.【过程与方法】经历求一个数的算术平方根与平方的互逆关系，提高学生逆向思维方法.【情感态度】学生动脑、动口，积极参与教学活动，培养他们对数学的好奇心和求知欲.【教学重点】了解算术平方根的概念，性质，会用根号表示一个正数的算术平方根.【教学难点】理解算术平方根的概念、性质.一、创设情境，导入新课上节课我们学习了无理数、了解到无理数产生的实际背景和引入的必要性，掌握了无理数的概念，知道有理数和无理数的区别是：有理数是有限小数或无限循环小数，无理数是无限不循环小数.比如在a2=2中，2是有理数，而a是无理数.在前面我们学过若x2=a，则a叫x的平方，反过来x叫a的什么呢？本节课我们就来一起研究这个问题.【教学说明】从平方入手，为学生下面学习算术平方根找到了突破口，让他们对算术平方根的求法与开平方这种互逆的关系形成了初步认识.二、思考探究，获取新知算术平方根的概念和求法.下面请大家根据勾股定理，结合图形完成填空：x2= ，y2= ，z2= ，w2=请大家分析一下，x、y、z、w中哪些是有理数？哪些是无理数？【教学说明】回忆勾股定理得到一个数的平方是一个正数，为下面给出算术平方根的概念作了开端.【归纳结论】因为没有任何整数或分数的平方等于2，3，5，所以x、y、w不是有理数，而是无理数，即2，35因为22=4.所以z=2，是有理数.若一个正数x的平方等于a，即x2=a，则这个正数x就叫做a的算术平方根.记为a”读作“根号a”.这就是算术平方根的定义.特别地规定0的算术平方根是0，即0=0.下面我们根据算术平方根的定义求一些数的算术平方根.例1求下列各数的算术平方根：（1）900；（2）1；（3）49/64；（4）14.通过上面的例题，大家思考一下，我们在求算术平方根时是借助于哪一种运算来求的？【教学说明】学生很容易看出一个正数的平方与求算术平方根是互为逆运算，有利于对算术平方根概念的理解.【答案】解：（1）因为302=900，所以900的算术平方根是30900；（2）因为12=1，所以1的算术平方根是1，即1=1；（3）因为（7/8）2=49/64，所以49/64的算术平方根是7/84964=7/8；（4）1414【归纳结论】在求算术平方根时是借助于平方来求的.在例题中的步骤采取语言叙述和符号表示相互补充的做法，目的是让大家在计算中进一步体会一个正数的平方与求算术平方根是互为逆运算，在以后的步骤中可以简化.三、运用新知，深化理解1.填空题.（15，则这个数是 .（2）49的算术平方根是 . （3）正数的平方为144/25，719 的算术平方根为 . （4）（-1.44）2的算术平方根为 .（5）81 的算术平方根为，004. =2.求下列各数的算术平方根，并用符号表示出来：（1）（7.4）2；（2）(-3.9)2；（3）2.25；（4）124. 3.自由下落的物体的高度h （米）与下落时间t （秒）的关系为h=4.9t 2.有一铁球从19.6米高的建筑物上自由下落，到达地面需要多长时间？【教学说明】学生独立完成，加深对算术平方根概念的理解，强化了算术平方根的求法和表示方法.【答案】1.（1）5；（2）2/3；（3）12/5，4/3；（4）1.44；（5）3，0.2.2.（1）274（）.=7.4；（2）()239.-=3.9；(3)225. =1.5；（4）124 =3/2. 3.解：将h=19.6代入公式h=4.9t 2得t 2=4，所以t=4 =2（秒）即铁球到达地面需要2秒.四、师生互动，课堂小结本节课你学习了哪些新知识？还有什么困难？请与同学们交流.【教学说明】教师引导学生回顾所学知识，加深印象.找出不足，共同提高.2.完成练习册中本课时相应练习.本节课从一个数的平方入手，用逆向思维求一个数的算术平方根，学生容易接受，解决问题起来应该说是得心应手，但要注意算术平方根的符号表示方法.。

新北师大版八年级数学上册第七章平行线的证明知识点复习

AB E P DC F平行线的证明知识点复习知识点1:命题（1）判断一件事情的句子，叫_____________. _______的命题是真命题，不正确的命题是___________.（2）公认的真命题称为____________,经过证明的真命题称为_____________.典型练习：1：判断下列命题是真命题还是假命题，如果是假命题，举出一个反例：①．若a>b ，则ba 11 ． ②．两个锐角的和是锐角．③．同位角相等，两直线平行． ④．一个角的邻补角大于这个角． ⑤．两个负数的差一定是负数．2．甲、乙、丙、丁四个小朋友在院里玩球，忽听“砰”的一声，球击中了李大爷家的窗户.李大爷跑出来查看，发现一块窗户玻璃被打裂了.李大爷问:“是谁闯的祸?”甲说:“是乙不小心闯的祸.” 乙说:“是丙闯的祸.”丙说:“乙说的不是实话.” 丁说:“反正不是我闯的祸.”如果这四个小朋友中只有一个人说了实话,请你帮李大爷判断一下,究竟是谁闯的( )A.甲B. 乙C.丙D.丁知识点2：平行线（1）.平行线的判定：公理:____________相等,两直线平行. 判定定理1:___________相等,两直线平行.判定定理2:_______________,两直线平行. 定理：平行于同一直线的两直线___________.（2）.平行线的性质公理:两直线平行,同位角___________. 性质定理1:两直线平行,内错角_________.性质定理2:两直线平行,同旁内角__________.典型练习：1、已知如图∠1=∠2，BD 平分∠ABC ，求证：AB//CD2.已知：BC//EF ，∠B=∠E ，求证：AB//DE 。

3、小明到工厂去进行社会实践活动时，发现工人师傅生产了一种如图所示的零件，要求AB ∥CD ，∠BAE=35°，∠AED=90°．小明发现工人师傅只是量出∠BAE=35°，∠AED=90°后，又量了∠EDC=55°，于是他就说AB 与CD 肯定是平行的，你知道什么原因吗？4．如图，某湖上风景区有两个观望点A，C和两个度假村B，D．度假村D在C的正西方向，度假村B在C的南偏东30°方向，度假村B到两个观望点的距离都等于2km．（1）求道路CD与CB的夹角；（2）如果度假村D到C是直公路，长为1km，D到A是环湖路，度假村B到两个观望点的总路程等于度假村D到两个观望点的总路程．求出环湖路的长；（3）根据题目中的条件，能够判定DC∥AB吗？若能，请写出判断过程；若不能，请你加上一个条件，判定DC∥AB．5.与平行线有关的探究题（1）、利用平行线的性质探究：如图，直线AC∥BD，连接AB，直线AC，BD及线段AB把平面分成①②③④四个部分，规定线上各点不属于任何部分．当动点P落在某个部分时，连接PA、PB，构成∠PAC、∠APB、∠PBD三个角．当动点P落在第①部分时，小明同学在研究∠PAC、∠APB、∠PBD三个角的数量关系时，利用图1，过点P 作PQ∥BD，得出结论：∠APB=∠PAC+∠PBD．请你参考小明的方法解决下列问题：（1）当动点P落在第②部分时，在图2中画出图形，写出∠PAC、∠APB、∠PBD三个角的数量关系；（2）当动点P落在第③、第○4部分时，在图3、图4中画出图形，探究∠PAC、∠APB、∠PBD之间的数量关系，写出结论并选择其中一种情形加以证明．知识点三：三角形的内角和外角(1)三角形内角和定理：三角形的内角和等于__________.(2) 定理：三角形的一个外角等于和它不相邻的____________________.(3) 定理：三角形的一个外角大于任何一个和它____________________.典型练习：1.如下几个图形是五角星和它的变形．（1）图（1）中是一个五角星，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E；（2）图（2）中的点A向下移到BE上时，五个角的和（即∠CAD+∠B+∠C+∠D+∠E）有无变化？说明你的结论的正确性；（3）把图（2）中的点C向上移到BD上时，如图（3）所示，五个角的和（即∠CAD+∠B+ ∠ACE+∠D+∠E）有无变化？说明你的结论的正确性．2.．认真阅读下面关于三角形内外角平分线所夹角的探究片段，完成所提出的问题.探究1：如图1，在△ABC 中，O 是∠AB C 与∠ACB 的平分线BO 和CO 的交点，通过分析发现∠BOC =90°+21∠A,理由如下: ∵BO 和CO 分别是∠ABC 和∠ACB 的角平分线，∴∠1=21∠ABC ，∠2=21∠ACB ∴∠1+∠2=21(∠ABC+∠ACB)又∵∠ABC+∠ACB=180°—∠A∴∠1+∠2=21（180°—∠A ）=90°—21∠A ∴∠BOC=180°—（∠1+∠2）=180°—（90°—21∠A ） ∴∠BOC=90°+21∠A 探究2：如图2,O 是∠ABC 与外角∠ACD 的平分线BO 和CO 的交点，试分析∠BOC 与∠A 有怎样的关系？请说明理由.探究3：如图3，O 是外角∠DBC 与外角∠ECB 的平分线BO 和CO 的交点，则∠BOC 与∠A 有怎样的关系？（只写结论，不需证明）综合测试题：一、填空题1.如上图，AD ∥BC ，AC 与BD 相交于O ，则图中相等的角有_____对.2.如上右图，已知AB ∥CD ，∠1=100°，∠2=120°，则∠α=_____.3.如右图，DAE 是一条直线，DE ∥BC ，则∠BAC =_____.4.“一次函数y=kx-2，当k>0时，y 随x 的增大而增大”是一个_______命题（填“真”或“假”）二、选择题1.下列命题正确的是( )A.内错角相等B.相等的角是对顶角C.三条直线相交，必产生同位角、内错角、同旁内角D.同位角相等，两直线平行2.两平行直线被第三条直线所截，同位角的平分线( )A.互相重合B.互相平行C.互相垂直D.相交3. 下列句子中,不是命题的是( )A.三角形的内角和等于180度;B.对顶角相等;C.过一点作已知直线的平行线;D.两点确定一条直线.4.如右图，已知∠1=∠B ，∠2=∠C ，则下列结论不成立的是( )A.AD ∥BCB.∠B =∠CC.∠2+∠B =180°D.AB ∥CD5.如右图，若AB∥CD，则∠A、∠E、∠D之间的关系是( )A.∠A+∠E+∠D=180°B.∠A－∠E+∠D=180°C.∠A+∠E－∠D=180°D.∠A+∠E+∠D=270°三、解答题1.如图，已知AB∥CD，∠B=65°，CM平分∠BCE，∠MCN=90°，求∠DCN的度数.2.如图，CD∥AB，∠DCB=70°，∠CBF=20°，∠EFB=130°，问直线EF与AB有怎样的位置关系，为什么？3.如图，如图，在三角形ABC中，∠C=70°，∠B=38°，AE是∠BAC的平分线，AD⊥BC于D．（1）求∠DAE的度数；（2）判定AD是∠EAC的平分线吗？说明理由．（3）若∠C=α°，∠B=β°，试猜想∠DAE与∠C—∠B有何关系，并证明你的猜想.∠DAE的度数．（∠C＞∠B）4.如图，y轴的负半轴平分∠AOB，P为y轴负半轴上的一动点，过点P作x轴的平行线分别交OA、OB 于点M、N．（1）如图1，MN⊥y轴吗？为什么？（2）如图2，当点P在y轴的负半轴上运动到AB与y轴的交点处，其他条件都不变时，等式∠APM=（∠OBA﹣∠A）是否成立？为什么？（3）当点P在y轴的负半轴上运动到图3处（Q为BA、NM的延长线的交点），其他条件都不变时，试问∠Q、∠OAB、∠OBA之间是否存在某种数量关系？若存在，请写出其关系式，并加以证明；若不存在，请说明理由．。

《三角形内角和定理》平行线的证明PPT课件

A
）.
∠2= ∠A ，（两直线平行，内错
角相等） B
∴∠ACD= ∠1+ ∠2= ∠A+ ∠B.
E
21
CD
探究新知
知识要点三角形内角和定理的推论（一）三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和.
应用格式：
A
∵ ∠ACD是△ABC的一个外角
∴ ∠ACD= ∠A+ ∠B.
B
CD
探究新知
做一做说出下列图形中∠1和∠2的度数：
E
∠AEC是△BEC的外角;
D ∠EFD是△BEF和△DCF的外
F
角.
B
C
探究新知知识点 2 三角形内角和定理的推论（一）
问题1 如图，△ABC的外角∠BCD与其相邻的内角∠ACB有什么关系？
不相邻的内角
B
三角形的外角
A
C
D
相邻的内角
∠BCD与∠ACB互补.
探究新知
问题2 如图，△ABC的外角∠BCD与其不相邻的两内角(∠A，∠B)有什么关系？
A
解：∵∠1是△FBE的外角,
B
G 2 1 F
C
∴∠1=∠B+ ∠E,
E 同理∠2=∠A+∠D.
在△CFG中, ∠C+∠1+∠2=180º,
∴∠A+ ∠ B+∠C+ ∠ D+∠E = 180º.
D
课堂小结
定义
三角形的外角
性质
角一边必须是三角形的一边，另一边必须是三角形另一边的延长线
三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和
A．45° B．60° C．75° D．85°

《三角形内角和定理》平行线的证明PPT课件3

∴∠1＞∠2, ∠2 ＞∠3 D
E
∴ ∠1＞∠2＞∠3
C
B
例1.已知:如图6-14,在△ABC中, ∠1是
它的一个外角, E为边AC上一点,延长
BC到D,连接DE.
D
求Байду номын сангаас: ∠1>∠2.
2 C
证明:∵ ∠1是△ABC的一个外角(已知), E 5 3
∴ ∠1>∠3(三角形的一个外角大
于任何一个和它不相邻的内角).
例题是运用了定理“内错角
∵ AD平分∠EAC(已知)
相等,两直线
∴∠DAC= ∠EAC(角平分线的定义) 平行”得到了
∴∠DAC=∠C(等量代换)
证明.
∴ AD∥BC(内错角相等,两直线平行).还有其它方法吗？
已知:如图在△ABC中,AD平分外角 E
· ∠EAC,∠B=∠C. 求证：AD∥BC. A
1、三角形的一个外角与它相邻的内角互补；
2、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；
3、三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角。
例1 已知：如图，∠1、∠2、∠3是△ABC的
三个外角
求证：∠1+∠2+∠3=360°
A
2
结论：三角形的外角和等于360°
5
6
B
3
1 4
C
通常把一个三角形每一个顶点处的一个外角的和叫做三角形的外角和。
（1）用牛皮筋拉成如下形状，你能
够求出∠A+ ∠B+ ∠D+ ∠E的值吗？ A
如果可以求出值，如果不可以，
B
请你说明理由。
C
E D
(1)若∠C=30°,求∠A+ ∠B+ ∠D+ ∠E的值

第七章 平行线的证明5.三角形内角和定理

苏教版七年级数学下册 第七章《平面图形认识(二)》解答题苏州历年试题汇编

第七章 平行线的证明讲解

八年级数学上册 第七章 平行线的证明三角形内角和定理作业设计 北师大版

北师大版八年级数学(上)第七章 平行线的证明 第7节 三角形内角和定理2