九、化归与转化思想专题(刘成宏)

九、化归与转化思想专题上海市向东中学 刘成宏经典例题【例1】若动直线a x =与函数x x f sin )(=和x x g cos )(=的图像分别交于N M ,两点，求MN 的最大值．分析: 动直线a x =与函数x x f sin )(=和x x g cos )(=的图像分别交于N M ,两点, 横坐标相同，那么MN 就转化为N M ,两点纵坐标之差，即x x MN cos sin -=求最值．解: x x MN cos sin -==)4sin(2π-x 最大值为2．【例2】设点)0,(m M 在椭圆1121622=+y x 的长轴上，点P 是椭圆上任意一点. 当MP 的模最小时，点P 恰好落在椭圆的右顶点，求实数m 的取值范围．解：设),(y x P 为椭圆上的动点，由于椭圆方程为1121622=+y x ，故44≤≤-x ．因为()y m x MP ,-=，2222312)4(4112241m m x m mx x -+-=++-=．依题意可知，当4=x 取得最小值．而[]4,4x ∈-， 故有44≥m ，解得1≥m ．又点M 在椭圆的长轴上，即44≤≤-m . 故实数m 的取值范围是]4,1[∈m ． 【例3】设R y x ∈,且x y x 62322=+，求22y x +的范围.分析:设22y x k +=，再代入消去y ，转化为关于x 的方程有实数解时求参数k 范围的问题.其中要注意隐含条件，即x 的范围.解:方法一、由023622≥=-y x x 得20≤≤x .设22y x k +=，则22x k y -=，代入已知等式得：0262=+-k x x ， 即x x k 3212+-=，其对称轴为3=x .由20≤≤x 得[]4,0∈k .所以22y x +的范围是：4022≤+≤y x . 方法二、 数形结合法（转化为解析几何问题）：由x y x 62322=+得 ()123122=+-y x ，即表示如图所示椭圆，其一个顶点在坐标原点.22y x +的范围就是椭圆上的点到坐标原点的距离的平方.由图可知最小值是0,距离最大的点是以原点为圆心的圆与椭圆相切的切点.设圆方程为22y x +＝k ，代入椭圆中消y 得0262=+-k x x .由判别式40836==-=∆k k 得,所以22y x +的范围是：4022≤+≤y x .【例4】已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11=a ，且3231=++n n S a （n 为正整数）． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）记 ++++=n a a a S 21.若n ，n S kS ≤恒成立，求实数k 的最大值.解：（1） 3231=++n n S a ， ①∴ 当2≥n 时，3231=+-n n S a . ②由 ① - ②，得02331=+-+n n n a a a .311=∴+n n a a )2(≥n .又 11=a ，32312=+a a ，解得 312=a . ∴ 数列{}n a 是首项为1，公比为31=q 的等比数列.11131--⎪⎭⎫ ⎝⎛==∴n n n qa a （n 为正整数）.（2）由（1）知，23311111=-=-=qa S ，()⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=--=nnnn qq a S 31123311311111.由题意可知，对于任意的正整数n ，恒有⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-≤n k 3112323，解得 nk ⎪⎭⎫⎝⎛-≤311．数列⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎭⎫⎝⎛-n311单调递增，∴ 当1=n 时，数列中的最小项为32，∴ 必有32≤k ，即实数k 的最大值为32.【例5】设bax f x x ++-=+122)(（b a ,为实常数）．（1）当1==b a 时，证明：)(x f 不是奇函数； （2）设)(x f 是奇函数，求a 与b 的值；（3）当)(x f 是奇函数时，研究是否存在这样的实数集的子集D ，对任何属于D 的x 、c ，都有33)(2+-<c c x f 成立？若存在试找出所有这样的D ；若不存在，请说明理由．解：（1）举出反例即可．1212)(1++-=+x x x f ，511212)1(2-=++-=f ，412121)1(=+-=-f ，所以)1()1(f f -≠-，)(x f 不是奇函数；（2）)(x f 是奇函数时，)()(x f x f -=-，即bab a x x x x ++--=++-++--112222对定义域内任意实数x成立．化简整理得0)2(2)42(2)2(2=-+⋅-+⋅-b a ab b a x x，这是关于x 的恒等式，所以⎩⎨⎧=-=-042,02ab b a 所以⎩⎨⎧-=-=21b a 或⎩⎨⎧==21b a ．经检验都符合题意． （3）当⎩⎨⎧==21b a 时，121212212)(1++-=++-=+x x x x f ，因为02>x，所以112>+x ，11210<+<x，从而21)(21<<-x f ； 而4343)23(3322≥+-=+-c c c 对任何实数c 成立；所以可取D =R 对任何x 、c 属于D ，都有33)(2+-<c c x f 成立．当⎩⎨⎧-=-=21b a 时，)021*******)(1≠-+-=---=+x x f xx x （，所以当0>x 时，21)(-<x f ；当0<x 时，21)(>x f ； 1）因此取),0(+∞=D ，对任何x 、c 属于D ，都有33)(2+-<c c x f 成立． 1分 2）当0<c 时，3332>+-c c ，解不等式321121≤-+-x得：75lo g 2≤x ．所以取]75log ,(2-∞=D ，对任何属于D 的x 、c ，都有33)(2+-<c c x f 成立．化归与转化思想检测题一、填空题（每小题4分，满分40分）1．使函数),606(20069)(2Z x x xx x f ∈≤≤+=取最小值的x 的值为___________. 2．设函数()y f x =存在反函数1()y fx -=，且函数2()y x f x =-的图象过点(2,3)，则函数1()2y f x x -=-的图象一定过点 ．3．已知ABC ∆中，c b a ,,分别为角C B A ,,所对的边，ca bA B 2cos cos +-=，则B 的大小________. 4．函数)1arccos(2-=x y 的定义域为 ______ ． 5．锐角α满足34)cot (tan log sin -=+ααα，则=ααcos log tan ． 6．已知0y >x ,且0y －9－y =x x ,则y +x 的最小值为_____________．7．已知a 为正实数，直线a y x =+与圆422=+y x 交于B A ,两点，且||||OB OA OB OA -=+，其中O 为原点，则正实数a 的值为________.8．若点O 和点F 分别为椭圆2212x y +=的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则22OP PF +的最小值为 ．9．数列{}n a 满足 ()1,0log 1log 1≠>+=+a a a a n a n a 且10010021=+++a a a ，则=+++10042a a a ．10．在圆5x y x 22=+内，过点⎪⎭⎫ ⎝⎛23,25有n 条弦的长度成等差数列，最短弦长为该等差数列的首项1a ，最长弦长为n a ，若公差 ⎝⎛⎥⎦⎤∈31,61d ，则n 的取值构成的集合是 ．二、解答题（本大题共有5题，解答下列各题必须在规定区域内写出必要的步骤）11. (10分)如图，在平面直角坐标系xOy 中，以x 轴为始边作两个锐角,αβ，它们的终边分别与单位圆交于,A B 两点．已知,A B． （1）求tan()αβ+的值；（2）求2αβ+的值．12．(12分)如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，90ABC ∠=︒，2BC =，4AB =，14CC =，E 在1BB 上，且11EB =，D F 、分别为111CC AC 、的中点. （1）求证：1B D ⊥平面ABD ；（2）求异面直线BD 与EF 所成的角； （3）求点F 到平面ABD 的距离．13．(12分)设A 、B 是双曲线1222=-y x 上的两点，点()2,1N 是线段AB 的中点（1）求直线AB 的方程；（2）如果线段AB 的垂直平分线与双曲线相交于C 、D 两点，那么A 、B 、C 、D 四点是否共圆？为什么？14.(12分)设)2(cos )22(cos )2sin()22sin(2)(22x x x x x f +--++-=ππππ（1）若)2,0(π∈x ，求)(x f 的最小值；（2）设]87,4[,2)42()(πππ∈+-=x m x f x g ，若)(x g 有两个零点， 求实数m 的取值范围．15. (14分)设数列{}n a 的前n 项和为n S ，点(,)n n P S a 在直线(3)230m x my m -+--=上，*(,N m m ∈为常数，3)m ≠．（1）求n a ；（2）若数列{}n a 的公比()q f m =,数列{}n b 满足1113,=(),(*,2)2N n n b a b f b n n -=∈≥，求证：1{}nb 为等差数列，并求n b ； （3）设数列{}nc 满足2n n n c b b +=⋅，n T 为数列{}n c 的前n 项和，且存在实数T 满足n T T ≥，(*)N n ∈，求T 的最大值．化归与转化思想检测题答案一、填空题：1. 15；2.（1,0）；3. 120°；4. ]2,2[-；5.21；6. 16；7． 2； 8．2； 解答提示：设(),P x y ，由()1,0F -得()2222221OP PF x y x y +=++++①因为点P 为椭圆上的任意一点，则2212x y =-，于是①式化为2222221212x OP PF x x ⎛⎫+=+++- ⎪⎝⎭223x x =++()212x =++．因为x ≤≤，而()212x ++图象的对称轴1x ⎡=-∈⎣，所以当1x =-时，22OP PF +有最小值为2． 9．aa+1100 ；10．{}6,5,4． 二、解答题：（满分60分） 11.解：（1）由已知得：cos 510αβ==． ∵,αβ为锐角∴sin αβ==． ∴ 1tan 2,tan 7αβ==． ∴12tan tan 7tan()311tan tan 127αβαβαβ+++===-⋅-⨯．--------------------6分 （2）∵22tan 44tan 21tan 143ααα===--- ∴41tan 2tan 37tan(2)1411tan 2tan 1()37αβαβαβ-+++===--⋅--⨯． ,αβ 为锐角，∴3022παβ<+<， ∴324παβ+=． -----------10分 12．解：（1）由条件得114DB DB BB ===22211BD DB BB ∴+=1.B D DB ∴⊥11,AB BCC B ⊥又面1BA B D ∴⊥ 1B D ABD ∴⊥面 ---------4分（2）取11B C 的中点 G ，连接GF GE 、.则//EG BD ，GEF ∴∠或其补角为BD EF 、所成角.111111,//A B BCC B GF A B ⊥ 面 11,FG BCC B ∴⊥面FG GE ∴⊥.EGF ∆在Rt 中,2,GE GF ==tan GEF ∴∠=BD EF ∴与所成角为 ---------8分（3）设F 到面ABD 的距离为d ，过B 作BH AC H ⊥于，则11BH ACC A ⊥面.F ABD B DAF V V --= ,1133ABD ADF S d S BH ∆∆∴⋅⋅=⋅⋅1111114424323222d ⎛∴⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅ ⎝2d ∴=. ---------12分 13．解 （1）设AB ∶2)1(+-=x k y 代入1222=-y x整理得02)2()2(2)2(222=------k x k k x k ①………………2分设),(11y x A 、),(22y x B ，21,x x 为方程①的两根 所以022≠-k 且2212)2(2kk k x x --=+ 又N 为AB 中点，………………4分 有1)(2121=+x x ∴22)2(k k k -=-，解得1=k 故AB ∶1+=x y ………………6分 （2）解出)4,3(),0,1(B A -，得CD 的方程为x y -=3 与双曲线方程联立消y 有01162=-+x x ②记),(33y x C 、),(44y x D 及CD 中点),(00y x M 由韦达定理可得.6,300=-=y x …………8分∵|CD |=104)()(243243=-+-y y x x∴|MC |=|MD |=21|CD ………………10分 又|MA |=|MB |=102)()(210210=-+-y y x x 即A 、B 、C 、D 四点到点M 的距离相等，所以A 、B 、C 、D 四点共圆 ………………12分14.解：（1）)4sin(2cos sin )(π+-=--=x x x x f ………………3分∵4344πππ<+<x ∴x =2,4m in -=f π……………………………5分（2）设g (x )=]87,4[,22sin 2ππ∈+-x m x …………………………7分∵函数g (x )有两个零点∴方程]87,4[022sin 2ππ∈=+-x m x 当时有两个解……………9分∴y=m 2与y=]87,4[2sin 2ππ∈x x ，图象有两个交点.由图象得122-≤<-m ∴2122-≤<-m ……………………12分 15.解：（1）由题设，(3)230n n m S ma m -+--= ①1113(3)23013m m a ma m a m +∴-+--=⇒==+ ………………2分 由①，2n ≥时，11(3)230n n m S ma m ---+--=②①-②得，112(3)2()0,3n n n n n m m a m a a a a m ---+-=⇒=+ 12().3n n m a m -∴=+ …………3分（2）由（Ⅰ）知111112233,1,(),3223n n n n b m q b a b f b m b ---=====⨯++……………2分化简得： 12111111(1).333n n nn n b b b -+=+⇒=+-⨯=1{}n b ∴为等差数列，3.2n b n ∴=+………………2分（3）由（Ⅱ）知*2330,.24n n n c b b n N n n +=⋅=⋅>∈++n T 为数列{}n c 的前n 项和，因为0n c >，………………2分所以n T 是递增的， 1135n T T c ==≥， ………………2分所以要满足n T T ≥，(*)n N ∈，3.5T ∴≤所以T 的最大值是35. ………………1分。