大学机械制图之投影变换
机械制图——第一章投影法和点、线、平面的投影
两个空间的点，发生重影的条件： 两对坐标值相等，一对坐标值不相等.
Xa = Xc Za = Zc Ya > Yc
a'(c') Yc
Za/Zc C A
c" a"
c Ya
a Xa/Xc
a'(c') Za/Zc
（三）两点的相对位置
如图1－8所示，两个点的投影沿左右、前后、上下三个方向 所反映的坐标差，即这两个点对应投影面W、V、H的距离差， 能反映两点的相对位置；反之，若已知两点的相对位置和其中 一点的投影，也能作出另一点的投影。
两点的相对位置
A(XA,YA,ZA) 和 B(XB,YB,ZB) 两点的相对位置： 如：b’→ a’ : a’(△X=Xa-Xb ，△Z =Za-Zb )
投影法分为两类： 中心投影法 平行投影法（称平行光源）
二、中心投影法
如图所示，点 S（投射中心）射 出过A点射线，在 投影面 P形成 a点的投影图案， 该方法称为：
中心投影法。
三、平行投影法
如图所示，投射线（由平行光源）平行投射，在投影面P形 成的投影图案，称为平行投影法。
平行投影法又可分为：
正投影法：投影线（平行光源）垂至于投影面的投影法
例：过C点作水平线CD与AB相交。
c●
k
a
b d
a
d
先作正面投影
k c●
b
⒊ 两直线交叉
b′
c′
a′ X
a
V
d′
c′
O
a′
AC
d
a
画法几何及机械制图 05投影变换
返回
自我检测
练习3 已知AB∥MN，在MN上找一点C，
使∠ABC为60°，求点C的两面投影。
求解此题
返回
自我检测
求解此题
返回
自我检测
求解此题
返回
自我检测
求解此题
返回
自我检测
求解此题
返回
自我检测
本题高于考核难度
求解此题
返回
本章学习结束
要熟悉：辅助投影面选择原则 点的投影变换规律及标记规范
a’
a1’
X
V H
a
返回
点在V/H1体系中的投影
a1 H1
a1
返回
3.点的两次变换
a1
a1 X1
返回
三、点的投影变换规
4、规定：
（1）新投影轴标记
▲进行第一次投影变换时：
新设立的投影面与原投影面的交线 记作“X1”
▲进行第二次投影变换时：
第二个新投影面与第一个新投影面的交线记作“X2”
（2）新投影面标记
要掌握：投影变换的基本规则及其应用
返回
▲在H面上设立的新投影面（⊥H） 记作：V1 在V面上设立的新投影面（⊥V） 记作：H1
▲在H1面上设立的新投影面（⊥H1） 亦记作：V1 在V1面上设立的新投影面（⊥V1） 亦记作：H1
（3）点的影像的标记
▲点A（或B）在H1面上的影像， 记作：a1 （b1） ▲点A（或B）在V1面上的影像， 记作：a1′（b1′）
a1’
返回
把一般位置直线变为H1投影面平行线
a’
b’ XV
H
a
b
a1
b1
返回
四、线的投影变换
机械制图的常用投影方法
机械制图的常用投影方法机械制图是机械工程领域中的基础技术之一，它可以准确地描述出零件的形状、尺寸和位置。
而投影方法是机械制图中的重要技术手段之一，它可以将三维物体的形状投影到二维纸面上，方便人们进行观察和分析。
本文将介绍三种常用的机械制图投影方法：多视图投影法、轴测投影法和剖视投影法。
一、多视图投影法多视图投影法又称为正交投影法，它是将三维物体在不同方向上进行投影，然后通过几个正交投影图来描述物体的形状和尺寸。
常见的正交投影图有主视图、俯视图和侧视图。
主视图是将物体的前侧面与观察者的视线平行投影，便于观察物体的外形和主要尺寸。
俯视图是将物体的上表面与观察者的视线平行投影，便于观察物体的上表面形状和尺寸。
侧视图是将物体的侧面与观察者的视线平行投影，便于观察物体的侧面形状和尺寸。
多视图投影法适用于物体形状复杂、尺寸表达多样的情况，可以清晰地展现物体的各个方面，是机械制图中常用的方法之一。
二、轴测投影法轴测投影法是通过虚拟的视线和投影面来描述物体的形状和尺寸。
常见的轴测投影方法有等轴测投影法、二轴测投影法和三轴测投影法。
等轴测投影法是将物体的三个主轴向空间坐标轴等角度投影，使得物体在投影面上的形状和尺寸与实际相同。
等轴测投影法适用于展示物体整体形状和空间关系，但不适用于精确表达物体的尺寸。
二轴测投影法和三轴测投影法是在等轴测投影法的基础上，通过选择性地缩放坐标轴，使物体在投影面上的形状和尺寸比例发生变化，以便更好地表达物体的尺寸。
二轴测投影法和三轴测投影法可以用于展示物体的比例关系和尺寸。
轴测投影法适用于物体形状简单、尺寸表达相对简洁的情况，可以直观地展示物体的外形和主要尺寸。
三、剖视投影法剖视投影法是通过切割物体，将其内部结构和外部形状同时展示在一个投影图上。
常见的剖视方法有全剖视投影和局部剖视投影。
全剖视投影是将物体沿任意方向切割，并将其内部结构和外部形状在同一视图上投影。
全剖视投影适用于展示物体内部构造和外部形状的关系，方便人们理解和分析物体的构造。
投影变换
a' o' a' V AO
旋转轴 旋转中心 旋转半径 轨迹圆
o'
b1' X
o1'
b' O
b1'
o1' b' O1 a b1 b
B1 X
3. 将一般位置平面变为投影面的垂直面
分析 ： 若△ABC中包含某投影面的垂直线，则此平面一定与该投影面垂直，因 此只要将平面内的一条直线变换为投影面的垂直线即可。由前所知，投影面 平行线变换为垂直线只需一次换面，因此，在△ABC内可作一平行线，将其 变换为垂直线，则平面就可变垂直面。
a) 直观图
o' ( ) b1' a' o'
b'
X
a o b
O
分析： AB为一条水平线，利用旋转 法将其变换为正垂线。由于正垂 线的水平投影⊥X轴，必须改变 AB对V面的倾角，所以旋转轴应 为铅垂线，因此可过点A作一旋 转轴O，以o为圆心，ab为半径画 弧，使ab1⊥X轴，则AB1为旋转后 的正垂线。同理，也可将一条正 平线变换为铅垂线。
B 旋转点
b1
a
b
图4-14 直线AB绕OO轴旋转
4.2.2 点的旋转变换
V m 1' m'
m1'
M O O
m' o'(o')
o'(o')
X M1
X
o m
m1
图4-15 点绕正垂线旋转
机械制图(多学时)课件3 第三章 投影变换
N
空间及投影分析：
n● c●
当直线AB垂直于投 影面时，MN平行于投影
a
m
●
面，这时它的投影m1n1=
MN,且m1n1⊥c1d1。
XV
A
H
M CN
D B
a
●m
●
n
c1
P1
n1
a1(m1b1)
c
d1
请注意各点的投影如
何返回？
求m点是难点。
b
d b
.
H X1
V1
圆半径=MN
d1
●
a1≡b1≡m1
●
.
●n1
d b H
V1 C c1
a1d1
c
b1
X1
互联网+立体化教材配套资料
第四节 平面的投影变换
例3：把三角形ABC变换成投影面垂直面。
a
作图过程：
1.在平面内取一条水平线AD。
X
V H
2.将AD变换成新投影面的垂直线。 a
反映平面对哪个投影 面的夹角？
b d c
b cd
H ●α ● ● X1V1 c1 a1d1 d1
互联网+立体化教材配套资料
a1(b1)
第三节 直线的投影变换
三、一般位置直线变换成投影面垂直线
空间分析：一次换面把直线变成投影面平行线；二次换面把投影面平
行线变成投影面垂直线。
X2
a2b2 ax2
V
b H2
a
b1 V1
B A
a1
b
X
a
X1
作图：
a
X
V H
a H1 X1 V1 a1●
机械制图电子教案投影法
机械制图电子教案投影法第一章：投影法基础1.1 投影法的概念与意义解释投影法的定义强调投影法在机械制图中的重要性1.2 投影面的概念与分类介绍正投影面、侧投影面、俯投影面的定义与作用解释投影面的分类及应用1.3 投影规律与投影变换讲解投影规律，包括正交投影、透视投影等介绍投影变换的基本原理及应用方法第二章：点的投影2.1 点在投影面上的投影讲解点在正投影面、侧投影面、俯投影面上的投影方法强调投影线的性质与作用2.2 点的三视图解释点的三视图的概念与绘制方法强调三视图在机械制图中的重要性2.3 点的投影变换介绍点的投影变换的基本原理及应用方法讲解点的投影变换在机械制图中的应用案例第三章：直线的投影3.1 直线在投影面上的投影讲解直线在正投影面、侧投影面、俯投影面上的投影方法强调投影线的性质与作用3.2 直线的三视图解释直线的三视图的概念与绘制方法强调三视图在机械制图中的重要性3.3 直线的投影变换介绍直线的投影变换的基本原理及应用方法讲解直线的投影变换在机械制图中的应用案例第四章：平面的投影4.1 平面在投影面上的投影讲解平面在正投影面、侧投影面、俯投影面上的投影方法强调投影线的性质与作用4.2 平面在三视图中的表示解释平面在三视图中的表示方法与绘制要求强调三视图在机械制图中的重要性4.3 平面的投影变换介绍平面的投影变换的基本原理及应用方法讲解平面的投影变换在机械制图中的应用案例第五章：投影法的应用5.1 简单组合体的投影讲解简单组合体在正投影面、侧投影面、俯投影面上的投影方法强调投影线的性质与作用5.2 复杂组合体的投影讲解复杂组合体在正投影面、侧投影面、俯投影面上的投影方法强调投影线的性质与作用5.3 投影法在机械制图中的应用案例分析分析投影法在机械制图中的应用案例，强调其重要性第六章：投影法在制图中的详细应用6.1 视图的配置与展开解释视图配置的原则和意义展示如何将三视图正确配置在图纸上的方法讲解视图展开的概念和应用6.2 标注与细节描绘强调在机械制图中正确标注尺寸的重要性介绍尺寸标注的规则和方法讲解如何描绘细节，如螺纹、键、销等特殊要素6.3 制图规范与标准概述机械制图的国家标准和行业规范强调遵守规范的重要性展示规范中的常用符号和表示方法第七章：斜视图与辅助视图7.1 斜视图的应用解释斜视图的概念和作用展示如何绘制斜视图讲解斜视图在解决视图不清问题中的应用7.2 辅助视图的绘制介绍辅助视图的概念和类型展示如何绘制辅助视图强调辅助视图在复杂构件表达中的重要性7.3 简化视图与展开视图解释简化视图的概念和作用展示如何绘制简化视图和展开视图强调这些视图在表达复杂构件时的优势第八章：轴测图与透视图8.1 轴测图的基本知识解释轴测图的概念和作用展示如何绘制轴测图讲解轴测图的种类和特点8.2 透视图的绘制原理解释透视图的概念和作用展示如何绘制透视图讲解透视图的绘制方法和技巧8.3 轴测图与透视图的应用强调轴测图和透视图在机械设计中的重要性展示实际应用案例第九章：计算机辅助制图9.1 计算机辅助制图软件介绍介绍常用的计算机辅助制图软件，如AutoCAD、SolidWorks等强调这些软件在提高制图效率和精度方面的作用9.2 计算机辅助制图的基本操作讲解如何在计算机上绘制基本图形展示如何进行视图创建和编辑强调掌握软件操作的重要性9.3 计算机辅助制图的实际应用展示如何利用计算机辅助制图软件完成实际项目分析计算机辅助制图在现代制造业中的应用优势第十章：案例分析与实践10.1 案例分析分析实际机械设计图纸中的投影法应用讲解如何解决制图中遇到的具体问题强调理论与实践相结合的重要性10.2 实践练习提供一系列的制图练习题引导学生通过实际操作练习投影法的应用强调动手实践对于加深理解和掌握知识的重要性10.3 制图成果评价与反馈讲解如何评价制图成果的质量强调反馈在学习和提高制图技能中的作用鼓励学生自我评价和相互评价，以促进共同进步重点和难点解析1. 投影法的概念与意义：这一环节是整个教案的基础，需要学生理解和掌握投影法的定义及其在机械制图中的重要性。
机械制图课件-投影变换
第五讲 投影变换
基本条件
V c' c'1
新投影面必须垂直于不变投影面， 以构成一个新的两投影体系
V1 b'1 a'1
X1
C
a'
b' B
c (b )
新投影面必须对空间几何元素处 于有利于解题的位置
A a
H
点的投影变换
点的投影变换
点的投影变换
将一般位置直线变换为新投影面的平行线
b' k'
a'
X V H a
c'
k
l'
b
d'
A C K
B k L D
c(l)(d)
d
l
c
d'1 l'1
k'1
c2(l2)(d2)
a2
b
H
X1V1 c'1 a1
H
k2
b2
b'1
V1 H 2 X2
本讲完
X
a
b c
将一般位置平面变换为新投影的平行面
a'2 b'2 b1 b' k' V X H a b a' c'
k'2 c'2
V2 a1(k1) ß c1 H1 X2
H1 V X 1
k
c
将一般位置平面变换为新投影的平行面
b' k' XV H a a' k b c H a'1 X1 V1
α
c'
k'1 b'1 (c'1)
c2 b2 k2 a2
第3章 投影变换---换面法
广东技术师范学院天河学院教案2012 年月日第周单元教案首页第三章投影变换——换面法第一节换面法的基本概念一、换面法的基本概念空间几何元素的位置保持不变，用新的投影面来代替旧的投影面，使空间几何元素对新的投影面的相对位置变成有利于解题的位置，然后找出其在新投影面上的投影。
这种方法称为换面法。
用换面解题时应遵循下列两原则:⒈选择新投影面时,应使几何元素处于有利于解题的位置；⒉新投影面必须垂直于原投影面体系中不被变换的投影面，并与它组成新投影面体系，必要时可连续变换。
(a) (b)图3.1 将一般位置直线变换成投影面平行线如图3.1,新投影面必须垂直于不变换的投影面，即V1⊥H，X1为新投影轴。
这时，不变换投影面上的投影a、b与V1面上的新投影a1＇、b1＇的投影连线a a1＇⊥X1、b b1＇⊥X1。
并且a1＇、b1＇到X1的距离等于被代替的投影a＇、b＇到被代替的投影轴的距离，即a1＇a X1＝a＇a X＝A a＝Z A, b1＇b X1＝b＇b X＝B b＝Z B。
第二节点的换面二、点的投影变换规律（一）点的一次变换点是一切几何形体的基本元素。
因此，必须首先掌握点的投影变换规律。
现在来研究更换正立投影面时，点的投影变换规律。
图3表示点A在V/H 体系中，正面投影为a′，水平投影为a。
现在令H面不变，取一铅垂面V1（V1⊥H）来代替正立投影面V，形成新投影面体系V1/H。
将点A向V1投影面投射，得到新投影面上的投影a′1。
这样，点A在新、旧两体系中的投影（a，a′1）和(a，a′)都为已知。
其中a′1为新投影，a′为旧投影，而a为新、旧体系中共有的不变投影。
它们之间有下列关系：1. 由于这两个体系具有公共的水平面H，因此点A到H面的距离（即z坐标），在新旧体系中都是相同的，即a′ax=Aa=a′1ax1。
2. 当V1面绕X1轴重合到H面时，根据点的投影规律可知aa′1必定垂直于X1轴。
这和aa′⊥X轴的性质是一样的。
机械制图第二章正投影法与基本体视图课件
图2-17 圆锥的三视图 a)正圆锥 b)三视图
第二章 正投影法与基本体视图
5.圆球 圆球的表面可看作是由一条圆母线绕其直径回转而成的。
图2-18 球的三视图
第二章 正投影法与基本体视图
二、基本体的尺寸标注 1.平面体的尺寸标注 平面体的尺寸要根据其形状进行标注。
第二章 正投影法与基本体视图
第一节 正投影法的基本知识 一、投影法的分类 1.中心投影法 如图2⁃1所示，投射线都是从投射中心S（光源点）发出的，所得 的投影大小随物体距离光源和投影面的位置不同而改变，这种投 射线互不平行且汇交于一点的投影法称为中心投影法。
图2-1 中心投影法
第二章 正投影法与基本体视图
图2-8 三视图的投影关系和方位关系
第二章 正投影法与基本体视图
例2-1 根据图2-9a所示物体，绘制其三视图。 1)量取弯板的长和高画出反映特征轮廓的主视图，按主、俯视图 长对正的投影关系，量取弯板的宽度，画出俯视图(图2-9b)。 2)在俯视图上画出底板左前方切去的一角，再按长对正的投影关 系在主视图上画出切角的图线(图2-9c)。
2.直线的投影 图2⁃11所示为物体切角立面上的上（下）棱线平行于水平面，它在 水平面上的投影反映实长，而该直线对正面和侧面倾斜，所以它 在正面和侧面上的投影均不反映实长（图）。
图2-11 直线的投影特征
第二章 正投影法与基本体视图
1)直线平行投影面，投影实长现——真实性。 2)直线垂直投影面，投影成一点——积聚性。 3)直线倾斜投影面，投影长变短——收缩性。
2.平行投影法 如图2⁃2所示，投射线互相平行，物体在投影面上的投影与物体的 大小相等，这时所得到的投影可以反映物体的实际形状。
投影变换机械制图课件方案策划
介绍国际标准ISO和国家标准GB/T关 于机械制图的规范和标准，如图纸幅 面、比例、字体等。
标注标准
解释线性尺寸、角度尺寸、公差与配 合等的标注规范，以及如何正确使用 这些标注。
机械制图的基本技能
绘图工具使用
介绍绘图铅笔、圆规、曲线板等绘图工具的使用方法和注意 事项。
绘图技巧
讲解如何提高绘图速度和准确度，如掌握常用图形的画法、 掌握缩放技巧等。
课件制作工具选择
选择合适的制作软件
根据投影变换机械制图的特点和课件制作的要求，选择适合的课件制作软件，如PowerPoint、Flash、Prezi等。
熟悉软件功能与操作
对所选的课件制作软件进行深入了解，熟悉其各项功能和操作方法，以便更好地进行课件制作。
课件制作技巧与注意事项
突出重点
在课件制作过程中，要突出重点内容，使 用粗体、斜体、下划线等方式强调关键词 和重要信息。
影视制作
在影视制作中，投影变换被用于 将三维场景转换为二维图像，以 制作逼真的特效和动画。
02
机械制图基础知识
机械制图的基本概念
Байду номын сангаас
投影法
介绍正投影法、斜投影法等基本 概念，以及它们在机械制图中的 应用。
视图
解释主视图、俯视图、左视图等 基本视图的概念，以及如何通过 这些视图表达物体的形状。
机械制图的标准和规范
02
投影变换的目的是为了将三维物 体的形状和尺寸信息转换为二维 平面上的表示，以便于绘制和表 达。
投影变换的类型
正投影
正投影是一种将三维物体投影到二维平面的方法，其中物体与投影面平行，投影线垂直于投影面。正投影可以显示物 体的真实形状和尺寸。
机械制图电子教案投影法
机械制图电子教案投影法第一章：投影法基础1.1 投影法定义解释投影法的概念和作用。
强调投影法在机械制图中的重要性。
1.2 投影法的分类介绍正投影法和斜投影法的区别和应用。
解释单面投影和双面投影的概念。
1.3 投影法的原理详细解释投影法的基本原理。
探讨投影法如何将三维物体转化为二维图形。
第二章：基本投影变换2.1 投影变换的概念解释投影变换的含义和作用。
强调投影变换在机械制图中的重要性。
2.2 投影变换的类型介绍平移、旋转和缩放等基本投影变换。
解释这些变换对投影图形的影响。
2.3 投影变换的应用探讨如何使用投影变换来解决实际问题。
给出一些示例，展示投影变换在机械制图中的应用。
第三章：直线和角的投影3.1 直线的投影解释直线在投影中的表现形式。
探讨如何通过投影来确定直线的方向和位置。
3.2 角的投影解释角在投影中的表现形式。
探讨如何通过投影来确定角的大小和位置。
3.3 直线和角的投影应用给出一些示例，展示直线和角的投影在机械制图中的应用。
强调这些投影在实际工程中的重要性。
第四章：平面图形的投影4.1 平面图形的投影概念解释平面图形在投影中的表现形式。
强调平面图形的投影在机械制图中的重要性。
4.2 常见平面图形的投影介绍圆形、方形、三角形等常见平面图形的投影。
解释这些图形在投影中的特点和规律。
4.3 平面图形的投影应用给出一些示例，展示平面图形的投影在机械制图中的应用。
强调这些投影在实际工程中的重要性。
第五章：三维图形的投影5.1 三维图形的投影概念解释三维图形在投影中的表现形式。
强调三维图形的投影在机械制图中的重要性。
5.2 常见三维图形的投影介绍长方体、圆柱体、球体等常见三维图形的投影。
解释这些图形在投影中的特点和规律。
5.3 三维图形的投影应用给出一些示例，展示三维图形的投影在机械制图中的应用。
强调这些投影在实际工程中的重要性。
第六章：投影法在机械制图中的应用6.1 零件图的投影解释零件图的概念和作用。
机械制图课件-投影变换
15 b2
a2 e2
e1
d2
c2
e d
ed
本章結束
一、換面法的基本概念
c
V1
a1
c1 b1
c1
a
b1
b
X
1/H 體系
換面法—空間幾何元素的位置保持不動，用新的投影面來代替 舊的投影面，使對新投影面的相對位置變成有利解題的位置，然後 找出其在新投影面上的投影。
二、新投影面的選擇原則
（二）、新投影面的選擇必須符合以下兩個基本條件： 1．新投影面必須和空間幾何元素處於有利解題的位置。 2．新投影面必須垂直於一個不變投影面。
[例題2] 求點C到直線AB的距離
提示
作图过程
作圖
a1 c1
k1 b1
k'
b'2 k'2
a'2
c'2
距離
k
[例題3] 求兩直線AB與CD的公垂線 。
b 1
2
1
2
c2
22
12
c'1
2'1
d'1
d2
a2b2
1'1
（四） 把一般位置平面變為投影面垂直面
b
a
d
b1
c
V
D
X
d1H1 H
a1
a
b d
c1
三、點的投影變換規律
1．點的一次變換 2．點的投影變換規律 3．點的兩次變換
1．點的一次變換
V1 a1
X1
V1 a1 a1
2． 點的投影變換規律
（1） 點的新投影和不變投影的連線，必垂直於新投影軸。
（2） 點的新投影到新投影軸的距離等於點的舊投影到舊投影軸的 距離。
机械制图图纸的一般知识_第八讲、投影变换-工程
机械制图图纸的一般知识_第八讲、投影变换-工程第八讲投影变换1.知识要点（6）求一般位置直线的实长及其对投影面的夹角（7）求一般位置平面对投影面的夹角（8）求投影面垂直面的实形（9）综合举例2.教学设计求一般位置直线的实长及其对投影面的夹角有三种方法：直角三角形法、换面法、旋转法，我们只介绍前两种方法，而且把直角三角形法看成是换面法的特例；求一般位置平面的实形需要两次换面，我们分成两步讲解：求一般位置平面对投影面的夹角、求投影面垂直面的实形，。
3.课前准备准备教具和演示文稿。
4.教学内容（1）求一般位置直线的实长及其对投影面的夹角1)直角三角形法直角三角形法的原理如图3-26所示，在直角三角形ABC中，AD=ab，BD=ΔZ（B和A点的Z坐标差），AB为空间直线AB的实长，∠BAD为直线AB和H面的夹角α，从投影图可知ab和B、A点的Z坐标差ΔZ，所以可画出直角ΔabE,使ΔabE≌ΔABD，则aE为空间直线AB的实长，∠baE为直线AB和H面的夹角α。
若求AB和V面的夹角β，可用a’b’和B、A点的Y坐标差ΔY为直角边作直角ΔabF，则∠Fa’b’为直线AB和V面的夹角β。
2)投影变换法一般位置直线可经过一次换面将其换成新投影面的平行线，在新投影面上的投影将反映空间直线对保留下来的旧投影面的夹角。
例如若要求空间直线对H面的夹角α和实长AB，可在由V、H面组成的投影体系中添加新投影面V1，使V1和H面垂直，和直线AB平行，则在由V1、H面组成的新投影体系中AB为正平线，且线段AB端点的Z坐标不变，所以可由原投影求出直线在V1面上的投影。
投影变换的原理如图3-27所示。
图3-26直角三角形法（制作动画）图3-27换面法的原理（1）（制作动画）若要求直线对V面的夹角β，可在由V、H面组成的投影体系中添加新投影面H1，使H1和V面垂直，和直线AB平行，则在由H1、V 面组成的新投影体系中AB为水平线，且线段AB端点的Y坐标不变，所以可由原投影求出直线在H1面上的投影。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
d
N
e
d
（五） 把投影面垂直面变为投影面平行面
c1
V1
a1 b1
X1
作 图 过 程
c1 b1
a1
（六） 把一般位置平面变为投影面平行面
a2
b2
实形
d2
c2
d
d
[例题6] 已知E点在平面ABC上，距离A、B为15，求点E的投影。
15 b2
a2 e2
e1
d2
c2
e d
ed
2.5.3 旋转法
1.绕投影面垂直轴旋转的基本规律
1、分析题意:弄清已知条件和所求结果。 2、确定解题的方法和步骤：以所学理论知识为基础
当直线或平面处于一般位置时，则它们的投影不具 备上述的特征。投影变换就是将直线或平面从一般位置 变换为和投影面平行或垂直的位置，以简便地解决它们 的度量和定位问题。
变换投影面法 旋转法
§6-2 换面法
换面法就是保持空间几何要素不动，用新的投影面 替换旧的投影面，使新投影面对于空间几何要素处于有 利于解题的位置。
3) 平面的旋转规律
作图时，可根据旋转前后的不变性，首先做出其不变的投 影，在根据点绕投影面垂直轴的旋转规律作出另一投影。
2.旋转法中的六个基本问题
（1）将投影面的倾斜线旋转成投影面的平行线，可以 求出线段的实长和对投影面的夹角。
（2）将投影面的倾斜线旋转成投影面的垂直线，可以 求出线段的实长。
二、新投影面的选择原则
（二）、新投影面的选择必须符合以下两个基本条件： 1．新投影面必须和空间几何元素处于有利解题的位置。 2．新投影面必须垂直于一个不变投影面。
三、点的投影变换规律
1．点的一次变换 2．点的投影变换规律 3．点的两次变换
1 点的一次换面 换V面
V
a
ax
X
A
a1 V1
ax1 a
第五章 投影变换
基本要求
1、掌握换面法的基本原理和换面法的作图的 投影变化规律。 2、掌握用换面法求线段的实长、平面图形实形及 其对投影面的倾角基本作图方法。 3、掌握换面法解决一般空间几何要素的定位 和度量问题。
2.5 投影变换
当直线或平面相对于投影面处于特殊位置（平行 或垂直）时，它们的投影反映线段的实长、平面的实 形及其投影面的倾角。
（3）将投影面的倾斜线旋转成投影面的垂直线，需要 进行两次转换。
（4）将投影面的倾斜面旋转成投影面的垂直面，可以 求出平面对投影面的夹角。
（5）将投影面的倾斜面旋转成投影面的平行面，可以 求出平面的实形。
（6）将投影面的倾斜面旋转成投影面的平行面，需要 进行两次转换。
2.6 点、线、面综合问题的解题示例
a'2
c'2
距离
k
[例题3] 求两直线AB与CD的公垂线 。
b 1
2
1
2
c2
22
12
d2
a2b2
c'1
2'1
d'1
b'1
a'1
1'1
（四） 把一般位置平面变为投影面垂直面
b
a
d
b1
c
V
D
X
d1H1 H
a1
a
b d
c1
c
d c
[例题4] 求点S到平面ABC的距离
k1 s1
距离
[例题5] 已知E到平面ABC的距离为N，求E点的正面投影e。
ห้องสมุดไป่ตู้
线，并在垂线上量取一段距离，使这段
距离等于被代替的投影到原投影轴的距
离。
2 点的二次换面
⑴ 新投影体系的建立
X2
V a
ax X
H2a2 ax2 V1
A
a
a1
ax1
按次序更换
H
X1
先把V面换成平面V1， V1H，得到中间新投影体系: X1 — VH1
再把H面换成平面H2， H2 V1，得到新投影体系: X2 — HV12
（二） 把投影面平行线变为投影面垂直线 （三） 把一般位置直线变为投影面垂直线
例题2 例题3 （四） 把一般位置平面变为投影面垂直面
例题4 例题5 （五） 把投影面垂直面变为投影面平行面 （六） 把一般位置平面变为投影面平行面
例题6
（一） 把一般位置直线变为投影面平行线
b1
a1
b1
a1
[例题1] 把一般位置直线变为H1投影面平行线
a1
b1
（二） 把投影面平行线变为投影面垂直线
a1 b1
b
a1 b1
b
（三） 把一般位置直线变为投影面垂直线
a2 b2
b1
V1
a1
X1
作 图 过 程
把一般位置直线变为投影面垂直线
a2 b2
b1 a1
[例题2] 求点C到直线AB的距离
提示
作 图 过 程
作图
a1 c1
k1 b1
k'
b'2 k'2
2) 必垂直于新投影轴。 2)点的新投影到新投影轴的距离等于被代替
的投影到原投影轴的距离。
换H面
XV1H1
a1
. ax1
a
O1
XV ax H a
求新投影的作图方法
更换V面
a
V XH
ax
a
ax1
.
H V1
X1
更换H面 XV1H1 a1
. ax1 a ● a1 XV ax H
a
作图规由律点：的不变投影向新投影轴作垂
⑵ 求新投影的作图方法
a
XV
ax
H
作图规律
a2a1 X2 轴 a2ax2 = aax1
a ax1 .
H X1 V1
a2 ax2 .
a1
V1
H2 X2
直线的换面
一次换面
1．把一般位置直线变换为新投影面平行线 反映直线的实长和对投影面的倾角
四、六个基本问题
（一） 把一般位置直线变为投影面平行线 例题1
H
X1
旧投影体系 X—VH
A点的两个投影：a,a
a
V XH
ax
a
a1
. ax1
H
V1 X1
新投影体系 X1—VH1
A点的两个投影：a,a1
新旧投影之间的关系 a
V a
A a1
V1
V XH
ax
. ax1
a1
ax
X
ax1 a
a
H
V1 X1
1) aa1 X1
H
X1
一般规律：
2) a1ax1=aax
1) 点的新投影和与它有关的原投影的连线，
1) 点的旋转规律
当一点绕垂直于投影面的轴旋转时，它的运动轨迹在 轴所垂直的投影面上的投影为一个圆，而在轴所平行的投 影面上的投影为平行于投影轴的直线。
2) 直线的旋转规律
（1）三同旋转规律：同一旋转轴、同一方向、同一角度 。（2）旋转时的不变性：它在轴所垂直的投影面上的投影 长度不变，因此线段与该投影面的倾角不变。
一、换面法的基本概念 二、新投影面的选择原则 三、点的投影变换规律 四、六个基本问题
（1）新投影面必须处于有利于解题的位置。
（2）新投影面必须垂直于原投影体系中的一个投影面， 组成一个新的两投影面体系。
一、换面法的基本概念
V/H 体系变为V1/H 体系 换面法—空间几何元素的位置保持不动，用新的投影面来代替 旧的投影面，使对新投影面的相对位置变成有利解题的位置，然后 找出其在新投影面上的投影。