【高中数学】秒杀秘诀MS06双曲线的弦长和中点弦问题

双曲线的弦长公式与中点弦问题

1.两条渐近线为02=+y x 和02=-y x 且被直线03=--y x 截得弦长为

3

3

8的双曲线方程是.

2.斜率为2的直线被双曲线22

132

x y -=截得的弦长为4，求直线的方程．3.已知倾斜角为

4

π的直线l 被双曲线6042

2=-y x 截得的弦长28=AB ，求直线l 的方程．秒杀秘籍：双曲线的弦长公式与面积（不过焦点的弦）

双曲线()22

2210,0x y a b a b

-=>>与直线l ：y kx m =+相交于AB 两点，求AB 的弦长。

设：()()1122,,,A x y B x y 则()2

2

1212

14AB k

x x x x =++-将y kx m =+代入

2

2

221x y

a b

-=得：()22222222220b k a x a km x a m a b ----=()

221222222212222

a km x x

b k a a m b x x b k a ⎧

⎪+=⎪⎪-⎨⎪--⎪

⋅=⎪-⎩

∴()

2222

2

2

2

1212

222

2141ab b k a m AB k

x x x x k

b k a -+∴=++-=+-例1：已知直线1+=x y 与双曲线14

:2

2

=-y x C 交于A 、B 两点，求AB 的弦长

解：设：()()1122,,,A x y B x y 则()()

()

22

2

2

21211212

14AB x x y y k x x x x =

-+-=++-将1y x =+代入2

2

14y

x -=得：

2

3250x x --=2

1235123

x x x x +=⋅=-⎧∴⎨⎩22218213AB k x x ∴=+-=双曲线与直线交点的判别式：()2222224a b b k a m ∆=-+用来判断是否有两个交点问题。

面积问题：双曲线与直线m kx y l +=:相交与两点，()00,y x C 为AB 外任意一点，求ABC S ∆。设C 到l 的

距离为d ，则22220000222211

221

ABC

kx y m kx y m ab b k a m S AB d AB b k a k ∆-+-+⋅-+===

-+例2：动点P 到A(-1,0)及B(1,0)连线的斜率之积为m (m >0)且P 的轨迹E 的离心率为2m ｡⑴求E 的方程;

⑵

设直线L:23=+y x 交曲线E 于M 、N,求ΔAMN 的面积｡解：(1)设点()

()2200

,011

y y P x y m mx y m m x x --⋅=⇒-=>+-；故动点轨迹为双曲线，且离心率为2m ，即222

22

11211

y c m x m m m a +-===⇒=；E 的方程为()2211x y x -=≠±(2)12

AMN S MN d ∆=，设()()1122,,,M x y N x y 则()22

121214MN k x x x x =++-；将32y x =-+代

入221x y -=得：()2314350x x -++-=12122352

x x x x ⎧+=⎪∴⎨⋅=⎪⎩；2

323213

1A A x y d k

+---==

++；

32134164

222

AMN

S MN d ∆--⋅-++===

。

4.已知两定点()(

)

12

2,0,2,0F F -，满足条件212PF PF -=

的点P 的轨迹是曲线E ，直线1y kx =-与

曲线E 交于,A B 两点，如果63AB =，（1）求点P 的轨迹；（2）求k 的值。

5.已知双曲线22

221(00)x y C a b a b

-=>>：，的两个焦点为1(20)F -，

，2(20)F ，，点(37)P ，在双曲线C 上．⑴求双曲线C 的方程；⑵记O 为坐标原点，过点(02)Q ，的直线l 与双曲线C 相交于不同的两点E F ，，若OEF =△S 22，求l 方程．

秒杀秘籍：直线与双曲线交点问题：

(1)直线m kx y +=与双曲线22221(00)x y a b a b

-=>>，有两个交点时，()222222

40a b b k a m ∆=-+>；

()22222240a b b k a m ∆=-+=，有仅有一个交点；()22222240a b b k a m ∆=-+<，没有交点；

(2)过点()00,y x P 的直线与双曲线有一个交点情况需要分类讨论：①当

a

b x y ±=0

0时，点P 在渐近线上，当a x ±=0时，有两条直线（一条切线，一条与另一条渐近线平行的直线）；

当a x ±≠0时，有三条直线（两条切线，一条与另一条渐近线平行的直线）；例3：经过点⎪⎭

⎫

⎝⎛2,21P 且与双曲线1422=-y x 仅有一个公共点的直线有（）

(A)4条(B)3条

(C)2条

(D)1条

解：

②当a b

x y ±≠0

0时，点P 不在渐近线上，当a x ±=0时，有三条（两条渐近线的平行线，一条切线a x ±=）；当a x ±≠0时，有四条（两条渐近线的平行线，两条切线a x ±=）。

例4：过点P (4,4)且与双曲线x 216－y 2

9

＝1只有一个交点的直线有

()

A ．1条

B ．2条

C ．3条

D ．4条

解：如图所示，满足条件的直线共有3条．

(3)当22

00221(00)x y a b a b

->>>，时（点P 在双曲线内部），一定有交点，当直线斜率a

b k ±=时，有一交点，当直线斜率a b

k ±≠时，有两个交点。

例5：过双曲线22

49

1x y -=的右焦点F 且斜率是2

3的直线与双曲线的交点个数是（

）

A ．0

B ．1

C ．2

D ．3

解：由于焦点位于双曲线内部，且a

b k =

，则直线与双曲线渐近线平行，故有仅有一个交点。