高二文科数学《立体几何》经典练习题(含解析)
高二文科数学《立体几何》大题训练试题
1.(本小题满分14分)
如图的几何体中，AB 平面ACD , DE 平面ACD, △ ACD为等边三角形,
AD DE 2AB 2 , F 为CD 的中点.
(1)求证：AF〃平面BCE ;
(2)求证：平面BCE 平面CDE 。
2 .(本小题满分14分)GkStK
B
C
F
如图，AB为圆O的直径，点E、F在圆O上，AB // EF，矩形ABCD 所在的平面和圆O所在的平面互相垂直，且AB 2 , AD EF1.
⑴求证：AF 平面CBF ;
⑵设FC的中点为M,求证：OM //平面DAF ;
⑶求三棱锥F —CBE的体积.D
C
B M
3.(本小题满分14分)
如图所示, 正方形ABCD与直角梯形ADEF ADE 90o, AF // DE , DE DA 2AF (I )求证: AC//平面BEF ；
(n)求四面体BDEF的体积.
4 .如图，长方体ABCD A1B1C1D1中，
AB AA 1, AD 2, E是BC 的中点.
(I )求证：直线BB, //平面D, DE ;
(n )求证：平面A1AE 平面D1DE ;O
C
(川)求三棱锥A A, DE的体积.
5.(本题满分14分)
如图，己知BCD中，BCD 90°, BC CD 1,AB 平面BCD ,
AF
ADB 600,E,F分别是AC,AD上的动点，且圧
AC AD ,(0< <1)
7
、
（1）求证：不论为何值，总有EF 平面ABC;
1
（2）若二求三棱锥A-BEF的体积.
2
6.（本小题满分13分）
如图，已知三棱锥 A —BPC中，AP丄PC, AC丄BC, M为AB的中点, D
为PB的中点，且△ PMB为正三角形.
⑴求证：DM //平面APC;
⑵求证：BC丄平面APC ;
⑶若BC = 4, AB = 20,求三棱锥 D —BCM的体积.
（本小题满分14
分）
如图1,在直角梯形ABCD中，ADC
ADC沿AC折起,使平面ADC 平面ABC,得到几何体D ABC,如图2所示.
ABCD，俯视图是直角梯形.（1）求正视图的面积；（2）求四棱锥P ABCD的体积;
（3）求证：AC 平面PAB;
(2)设DF 的中点为
N ，则 MN 仏-CD ,
2
又AO
则MN 仏
AO , 四边形MNAO 为平行四边形,
? OM // AN , 又AN ? OM //平面DAF .
(2)证明：??? ACD 为等边三角
形,
F 为CD
的中点，? AF CD
CB 平面 ABEF ,
?/ AF 平面 ABEF , ? AF CB , 又AB 为圆O 的直径，? AF BF
? AF 平面 CBF .
参考答案
1 .(本小题满分14分) (1 )证明：取CE 的中点G ，连结FG 、BG . ?/ F 为 CD 的中点，??? GF//DE 且 GF
??? AB 平面 ACD , DE 平面 ACD , ??? AB//DE ,? GF//AB . 3分
又 AB 応，? GF AB .
2 ?四边形GFAB 为平行四边形，则 AF // BG . ??? AF 平面 BCE , BG 平面 BCE , ? AF // 平面 BCE . 2.解：(1) ?/ DE 平面 ACD ，AF
又 CD DE D ,? AF ?/ BG // AF ,?
BG
??? BG 平面 BCE ,
平面ABCD 平面
平面 ACD ,? DE AF .
平面CDE . 平面CDE . ??平
面
BCE 平面 CDE .
10分 12分 13分 14分
ABEF ,CB AB ,
平面ABCD I 平面ABEF
AB ,
平面DAF , OM
i CD ，
因为 AF // DE , DE 2AF ，所以 AF 〃 OG ,
从而四边形AFGO 是平行四边形，FG//AO . 因为FG 平面BEF , AO 平面BEF , 所以AO//平面BEF ，即AC//平面BEF
....... 7分
(n)解：因为平面 ABCD 平面ADEF , AB AD
1
(3) ?/ BC 面 BEF ，二 V F CB E V C BEF - S B EF BC ,
3
B 到EF 的距离等于O 到EF 的距离，
过点O 作OG EF 于G ，连结OE 、OF ,
?- OG
OA
, ......... 11 分
2
2
…
V F CBE
V C BEF
1 3 S BEF BC
12分
1 1
EF
1 1 ,
OG BC - -1
1
3 2
3 2
2
12
3、(I )证明：设 ACI BD O 取BE 中点G , 连结 FG,OG
14分
1
所以，OG 〃2
D E
所以AB 平面ADEF ........ 10分
因为 AF //DE ADE
o
90 DE DA 2AF 2
1
ED AD 2
所以
DEF 的面积为2
……12分
1
4
—
S DEF AB
—
所以四面体BDEF 的体积
3
3 .
..... 14分
4、( I )证明：在长方体ABCD
A i
B 1
C 1
D i 中, BB 1 // DD 1 ,
BB 1 平面 D 1 DE , DD 1
平面D 1 DE --
直线BB 1〃平面D 1DE
OEF 为正三角形，??? OG 为正OEF 的高,
C
而AE 平面A i AE ,所以平面A i AE 平面D1DE . 5. （ 1）证明：因为AB丄平面BCD所以AB丄CD,
又在△ BCD中, Z BCD = 90°,所以，BC丄CD 又ABA BC= B, 所以，CD!平面
ABC ............... 3分
又在△ ACD E、F分别是AC AD上的动点，
且JA I JA!（o 1）
AC AD
所以，不论为何值，EF//CD，总有EF丄平面ABC : ......... 7分
(2)解：在△ BCD中,Z BCD = 90°, BC= CD= 1，所以，BD= . 2 ,
又AB丄平面BCD所以，AB丄BD,
又在Rt △ ABD中, ADB 60°, ? AB=BDtan60°.6。 (10)
分
A - BCD的体积是上
24
6、解: （1）由已知得，MD是A ABP的中位线，所以MD /AP.（2分）
因为MD?平面APC, AP?平面APC，所以MD 平面APC.（4分）
⑵因为△ PMB为正三角形，D为PB的中点，所以MD JPB , （5分）
(n )证明：在长方形ABCD 中，??? AB AA1 1 , AD 2,
??? AE DE .2,「. AE2DE2 4 AD2,故AE DE, ................... 6 分???在长方形ABCD中有DD1平面ABCD , AE 平面ABCD ,
DD i AE,……7分又??? DD i DE D ,
?直线AE 平面D1DE ,……8分
10分(川)V A A1DE V A1 ADE 3 AA1 S ADE
1
3.
14分
14分由（1）知EF丄平面ABE二厂处」灯、g
所以，三棱锥
所以AP dPB.（6分）又因为AP1PC,且PB A PC = P,所以AP丄平面PBC.（7分）
因为BC?平面PBC ，所以AP JBC.
又因为BC!AC ,且AC A AP = A ,所以BC 上平面APC.（10分）
（3）因为 MD 呼面PBC ，所以 MD 是三棱锥 M — DBC 的高，且 MD = 5, 又在直角三角形 PCB 中，由PB = 10, BC = 4,可得PC = 2.（11分） 1 1
于是 S ZBCD = 2S 玉CP = 2, （12 分）所以 V D - BCM = V M -DBC = 3Sh = 10.（13 分） 1
所以
V
BACD
3
Sh
8解：（1 ）过A 作AE//CD ，根据三视图可知，E 是BC 的中点,
且 BE CE 1 , AE CD
2 2
BC AB ,故 AC
AC ,又面 ADC 面 ABC ,
面ACD ,从而OD 平面ABC ,
??…
OD O ,
7.解：（i ）在图1中，可得AC BC 2,从而AC 2
取AC 中点O 连结DO ,则DO
面ADC ? OD ? BC
I 面 ABC BC 又 AC 平面ACD AC , DO
BC , AC I
AC BC 2,从而 AC 2
另解:在图1中,可得 ???面 ACD 面 ABC ,面 ACD 面 ABC AC , BC
BC 2 AB 2,故 AC 面ABC ,从而BC BC
（n ） 由（i ）可知 BC 为三棱锥 B ACD 的高.
BC 2
， S VACD
BC 平面
ACD 1
2
11分
13分
由等积性可知几何体
j z
ABC 的体积为 2
6
14分
（1分） （2分）
又??? PBC 为正三角形，??? BC PB PC 2,
PE BC
?- PE 2 PC 2 CE 2
（3分）
??? PA 平面 ABCD , AE 平面 ABCD , 二 PA AE （4分）
?- PA 2 PE 2 AE 2
PA
（5分） 正视图的面积为S
-2 2
（6分）
（2）由（1） 可知, 四棱锥 ABCD 的高 PA - 2 ,
（7分）
底面积为S
AD
BC
CD
2
（8分）