第一讲算符及其本征值与本征函数

*1
(rv)Pˆx 2 (rv)d
*1
(rv)(ih
x
)
2
(rv)d
dydz
*1 (ih)
2
x
dx
dydz(ih) *1 2
2
*1
x
dx
dydz
0
2
(ih
x
)
*1
dx
dydz
2
(ih
x
)
*
*1
dx
dydz 2Pˆx * *1 dx (Pˆx1) * 2d
• 即： 1 *Pˆx 2d (Pˆx1)* 2d
•
若 Aˆ ，Bˆ 0， 则 Aˆ ，Bˆ 不对易。
补充说明
• 算符相加满足交换律、结合律：
Aˆ Bˆ Bˆ Aˆ, Aˆ Bˆ Cˆ Aˆ Bˆ Cˆ
• 算符相乘不满足交换律：Aˆ Bˆ BˆAˆ
• 算符相乘满足结合律： AˆBˆ Cˆ Aˆ BˆCˆ
(n m ) m* nd 0,Q n m， m* nd 0
对于本征值有简并说明
• 设函：数Aˆ有的f个某：一本n1征,值n2,nL为,f度n简f 并，属于 Aˆ 的本征
• 这f个本征函数之间有可能并不正交。即：
•
*ni njd 0, (i j)
• 但是可以证明，这f个本征函数线性可以组合成f个 f
Aˆ
Bˆ
三、算符乘：
Aˆ Bˆ Aˆ (Bˆ)
• 四、线性算符：
• 五、若泊Aˆ松(c括1号与c2算 符) 对c1易Aˆ ： c2 Aˆ 成立，则 Aˆ 是线性算符。
• A：泊松括号： [ Aˆ, Bˆ ] Aˆ Bˆ BˆAˆ
• B：若[ Aˆ , Bˆ ] 0， 则Aˆ 与Bˆ对易，
• 独立的新函数：n bi ni , 1, 2,L , f
i 1
• 并且这些新函数之间互相正交： *n n d 0,( )
• bi 为叠加系数，显然，各 n 仍是 Aˆ 的函数。
• 即： Aˆn Aˆ bi ni bi Aˆ ni n
i
i
bin ni nn i
• 总之，当 Aˆ 为厄米算符，不管其本征函数是否简
顿算符也是厄米的。
厄米算符本征函数的正交性和 完全性
• 厄米算符的本征函数具有正交性和完全性，这是厄 米算符的两个重要性质，运用这两个性质可以使一 些计算过程简化。
• 1，正交性：在数学上，如果两个函数 1(rv), 2 (rv)
• 满足：1* 2d 0 就称这两个函数正交。
• 先证明本征值无简并的情况下厄米算符的本征函数 之间互相正交。
本征值的本征函数。上式也被称为算符 Aˆ 的本征
方程。
• 在量子力学中，一个力学量所可能取的数值，就是 它的算符的全部本征值。本征函数所描写的状态就 是这个算符的本征态。在自己的本征态中，这个力 学量取确定值，即这个本征态所属的本征值。
简并度
• 不同的算符一般有不同的本征函数系和本征值谱， 因为算符不同，本征方程的数学形式不同，因而 方程解的函数形式不同。
在量子力学中出现的力学量，都有 与该力学量运算效果上等效的算符。
因此通过对比，我们可以归纳出下 列的几个等效关系：
Eˆ
ih
t
Tˆ
Uˆ
h2 2 2m
U
(r
)
Hˆ ,T
h2 2 ,Uˆ (rv) 2m
U (rv)
Pvˆ ih ih(
v i
v j
v k ),
Pvˆ 2
h22
x y z
Pˆx ih
• 当解 Aˆ 的本征方程时，可能得出 Aˆ 的某一本征
值对应的不止一个是一个本征函数，而是f个线性 无关的本征函数，则称该本征值有f度简并，并且 属于该本征值的本征函数也有f个。 • 这时，当粒子处于该f个态中的任何一个，力学量 的值都是一样的。即：
Aˆm Ami L L i 1, 2,......, f
AB
BA
1 2i
BA
AB
1 2i
AB
BA
另外对于线性厄米算符有如下关系
• 若 Fˆ , Gˆ 为厄米算符，a和b为实数。则有
aFˆ bGˆ FˆGˆ Gˆ Fˆ
厄米算符；
i(FˆGˆ Gˆ Fˆ )
• 但是，FˆGˆ 一般不是厄米算符。
• 任何规定为以x的实函数相乘的算符显然也是厄米
的，所以势V（x）也是厄米函数。这意味着哈密
补充：动量算符的本征函数
• 我们前面给出了动量算符的本征方程，那么它们
的本征函数是什么？
p
(r )
Ce
i
p.r
其中C为归一化系数。
由于本征值是连续分布的，本征函数模平方在整个空间
积分不能归一化为一，而只能归一化为δ函数。统一说
法，也说这C为归一化系数。
归一化系数C求法。
已归一化了的四个本征函数为：
, c11 c22 c1 ,1 c2 ,2
• 上式简单证明： Aˆ a
, Aˆ Aˆ , a , a* ,
• 所以： a a*
量子力学中代表力学量的算符必须
是线性厄米算符
•
例：证明
Pˆx
ih
是厄米算符。 x
• 设：1(rv),2(rv)是粒子的两个任意波函数，按定义证明
• 若 (rv)为一已知可能态，用某一本征态 m 的复
共轭
* m
乘上式两边，然后对r变化的整个空间
积分，并利用本征函数的正交性，得：
m* d
* m
(
cn n )d
cn m* nd
n
n
cnmn cm n
• 即：
cn
* n
(rv)
(rv)d
• P101 • 1， • 2，
p (r )
1
(2)3/ 2
i p.r
e
px
(x)
1
(2)1/ 2
ei
p
x
x
py
( y)
1
(2)1/ 2
i
e py y
pz
(z)
1
(2)1/ 2
i
e pzz
三、算符运算规则及线性厄米算符
• 一、算符相等：对任意函数Ψ，若 Aˆ Bˆ
• • •
则： Aˆ Bˆ
二、算符和与差：
( Aˆ
Bˆ )
rvˆ
v xˆi
来自百度文库 v yˆj
, Pˆx ih vv
zˆk xi
x
,
Pˆx
v
yj
ih
v zk
x rv
对于其它力学量的算符都可以由以 上算符导出
• 因为任何经典力学量总是r和p的函数。 • 当力学量A(r)只是r的函数，它的算符就是它本身，
即： Aˆ (rv) A(rv)
• 当一个力学量A的经典表达式既是r的函数，又是 动量p的函数，则它的算符只需要把它的动量换成 动量算符即可。即：
作业5
• 在推导薛定谔方程时，我们曾经得到过：ih E
t
• 以及定态薛定谔方程： h2 2 U (r) E
2m • 从这两个等式我们可以发现一种等效关系：
ih : E t
• 也就是等式左2h边m2 的2符号U作(r用)于: 波E 函数的结果等效 于右边的能量作用于波函数的结果。
• 对于定态的薛定谔方程，当势能不显含时间t，可 以认为E=H=T+U，恰好是经典力学中的哈密顿量。
• 六、厄米算符：
若 Aˆ Aˆ ，即 * Fˆd (Fˆ ) d ，其中ψ、φ是
任意函数，则称 Aˆ 为厄米算符。厄米算符反映某一类算符的特性。
在量子力学中表示力学量的算符必 须是厄米算符
• 因为力学量算符本征值的物理意义是该力学量在 本征态中的取值，所以本征值必须是实数，而厄 米算符可以保证这一点，其本征值肯定是实数。
x$,
µp y
0
µp x ,
µp y
0
• 一般写成：
x$i ,
µp
j
ih ij
• ij 的含义是：
Q i j,ij 0;Q i j,ij 1
• 六、厄米共轭算符
若算符 Fˆ ,Gˆ 满足： * Fˆd (Gˆ ) d ,
其中ψ、φ是任意函数，则称 Gˆ 是 Fˆ 的厄米共轭算符，记为： Gˆ Fˆ 。
第一讲算符及其本征值、本征 函数
量子力学中的力学量 这一章主要介绍量子力学如何处理力学 量。主要特点是力学量与算符对应。它 涉及到量子力学特有的一整套处理力学 量的基本原理与数学方法。这一章构成 了量子力学基本理论框架的主要部分。
一、算符的引入
• 在量子力学中，当微观粒子处于某一状态时，它 的力学量（如坐标、动量、角动量、能量等）一 般不具有确定的数值，而是有一系列可能值，每 个可能值以一定的几率出现。
• 设：厄米算符 Aˆ 的本征函数为：1, 2,L n ,L
• 本征值（无简并）为：1, 2 ,L m ,L 且m n
• 根据：Aˆm mm, Aˆn nn Aˆ 为厄米算符
• 按定义：
* m
Aˆ
n
d
( Aˆ m )* nd
* m
n
n
d
(m m )* nd
n m* nd m* m* nd m m* nd
Aˆ(rv, pvˆ ) Aˆ(rv, ih)
二、本征函数与本征值
• 算符 Aˆ 作用于函数f(r)上，得出另一个函数。若算 符作用于某些特殊的函数U(r)得到的结果等于某一 常量乘以同一函数U(r)，即： Aˆ U (r) AU (r)
• 则常数A称为算符 Aˆ 的本征值； U(r)称为属于这个
• 证明：设 Aˆ 为厄米算符，其本征值为λ，相应的
本征函数为ψ， Aˆ
• 由厄米算符定义：
( Aˆ ) * d * Aˆ d
改写 : ( ) * d * d
* * d * d
*
补充——波函数的内积符号
• 波函数的内积 ： , *d
, 0 • 性质： , * ,
•
例：计算对易关系：
x$,
µp x
• xˆ x
pˆ x
h i
d dx
x$µpx
µpx x$
x
h i
d dx
h i
d dx
x
x
h i
h i
d dx
(x
)
x h h x h ih
•
所以： x$,
µp x
i ih
i
i
$ y, µp y
ih
z$,
µp z
ih
•
类似有：
• 则线对性于叠粒 加子 ，的 把任(rv意)完一全可(r准v能)确态的 (表rvc)n示，出可n (r来以v)，用即本有征：态的
• 这称为任意态用本征态展开。n 上式实际上就是态 的叠加原理的数学表示式。Cn为叠加系数。
• 求出Cn，代入叠加式，就实现了对已知可能态 的线性展开，或实现了对一未知可能态的取得。
并，都可以得到正交归一的本征函数系。
• 正交性和归一性可以合并表示为：
* m
(rv)
n
(rv)d
mn
1(m n) 0(m m)
• 式中 mn 称为 符号，它代表的含义是：
m n,mn 1; m n,mn 0
2，完全性
• 定义：当 Aˆ 为厄米算符，其本征态为1, 2,L , n,L
• 所以，Pˆx 的确是厄米算符。式中利用了：
*1 2
0
• 因为粒子应该在有限范围内运动，所以在 x
• 处，波函数都为零。
练习
•
如
A,
B
是厄米算符，则：12
AB
BA
,
1 2i
AB
BA
• 也是厄米算符。
1
2
AB
BA
1 2
B A AB
1 2
BA
AB
1 2
AB
BA
1 2i
AB
BA
1 2i
• 当粒子所处状态确定时，力学量具有某一可能值 的几率也就完全确定了。
• 例如氢原子中的电子处于某一束缚态时，它的坐 标和动量都没有确定值。但是这两个量具有某一 量的确定值的几率却是可以确定的。
• 对经典物理来说没有这些特点，所以，为了表述 这些特点，量子力学引入算符来表示力学量。
算符是对波函数进行某种数学运算的符号。