第8章 图与网络分析

e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12
v1
v2 v3
1 1 0
0 1 1
1 0 0
0 0 0
0 1 0
0 0 1
0 0 1
0 0 1
0 0 0
0 0 0
0 0 0
0 0 0
M=（mij）=
v8
v4 v5
0
0 0 0 0
0
0 0 0 0
0
1 0 0 0
0
1 0 0 1 1
图与网络模型Graph Theory
最短路问题
v1，u1 =（M，W，G，H）； v2，u2 =（M，W，G）；
v3，u3 =（M，W，H）；
v5，u5 =（M，G）。
v4，u4 =（M，G，H）；
此游戏转化为在下面的二部图中求从 v1 到 u1 的最短路问题。
v1 v2 v3 v4 v5
v6 e10 v7
v3
v8
1
0 0 1 0 0 0
0
1 0 1 0 0 0
1
0 0 1 0 0 2
0
0 0 0 1 1 0
1
1 0 0 0 1 1
0
0 1 0 0 1 0
0
0 1 0 1 0 0
0
2 0 1 0 0 0
A=（aij） nn=
v4 v5 v6 v7 v8
图与网络模型Graph Theory
Y（T标号）
2 0
6
2 ∞ 5
7 2
2 10 ∞ 7
5
起点到 该点的 最短距 离的上 界
人、狼、羊、草渡河游戏
一个人带着一条狼、一只羊、一筐白菜过河蛤由于船
太小，人一次只能带一样东西乘船过河。狼和羊、羊 和白菜不能单独留在同岸，否则羊或白菜会被吃掉。 人—— M（Man）， 狼—— W（Wolf）， 羊—— G（Goat），草—— H（Hay）。 点—— vi 表示河岸的状态，边—— ek 表示由状态 vi 经一次渡河到状态 vj ，权——边 ek 上的权定为 1。 我们可以得到下面的加权有向图：

L（ µ ）= min lij
（vi，vj） µ
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最短路问题
E.W.Dijkstra 算法（标号算法） 算法基本思路分析：（逐步向外搜索）

X（P标号）
∞ 5 7 5 ∞ 2
1
∞ 11 6 8 ∞ 6 3
8
10 ∞ 12
2
1
9 9
1 ∞ 12 9
起点到 该点的 最短距 离
A D C B
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引言
“哥尼斯堡 7 桥”难题最终在 1736 年由数学家 Euler 的一篇论文给 予了完满的解决，这是图论的第一篇论文。在后来的两百年间图论的 发展是缓慢的，直到 1936 年匈牙利数学家 O.Kö nig写出了图论的第一 本专著《有限图与无限图的理论》。 在图论的发展过程中还有两位著名科学家值得一提，他们是克希 霍夫和凯莱。克希霍夫在研究电网络时对图的独立回路理论作出了重 要的贡献，而化学家凯莱在对碳氢化合物的同分异构体的数量进行计 数时推动了图论中树的计数问题的研究。 图论的历史上最具有传奇色彩的问题也许要数著名的“四色猜想” 了——历史上许许多多数学猜想之一。它描述对一张地图着色的问题， 曾经有一位数学家这样说：“对于这个问题，一位数学家可以用不到 五分钟的时间向马路上任何一位行人讲述清楚它，然后，两人都明白 这一问题，但是，两人都无能为力。”幸运的是在 1970‘s 终于由美国 的两位数学家借助大型计算机将其证明了。
图与网络模型Graph Theory
图与网络的基本概念
子图——


真子图—— 生成子图—— 点生成子图—— 边生成子图—— 点的次—— 奇次点—— 偶次点—— 链—— 圈—— 路—— 回路—— 赋权图—— 2、连通图 在众多各类图中有一类在实际应用中占有重要地位的图 连通图——在图中，任意两点间至少存在着一条链


aij =
k 0
当且仅当vi与vj之间有条边时 其它
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图与网络的基本概念
邻接矩阵
v1 e1 v2 e2
v1 v1 v2 v3 0 v2 1 v3 0 v4 0 v5 1 v6 0 v7 0 v8 0
v4 e3 e5 e6 e7 e8 v5
e9 e12 e11 e4
4 -2 v 3
6 v6 -3 2 4
v5
3 v8
4
v4
-1
v7
7
wij
v1 0 2 5 v2 0 -2 v3 0 v4 4
v5 v6 -3 4 6 0 0 7 -3 0 2 3 0
d(t)(v1,vj)
0 0 2 0 0 2 2 0 0 0 2
v1 v2 v3 v4 v5 v6 v7 v8 t=1 t=2 t=3 t=4 t=5 t=6

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图与网络的基本概念
各办事处已订购机票情况表
成都 成都 重庆 武汉 上海 西安 郑州 8 重庆 10 武汉 5 10 10 15 6 14 8 8 上海 15 西安 8 6 郑州 沈阳 昆明 12 15 广州 10 北京 30 25
沈阳
昆明 广州 北京 8 2 8 6
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最短路问题
三、路（Path）和最短路
最短路问题是网络分析中应用最广泛的问题之一。尽管前面介绍 了用动态规划方法求解，但有时却较困难，此时图论的方法却十分有 效。 最短路问题的一般描述： G = （V，E）是连通图，图中各边（vi，vj）有权lij（=表示vi，vj间 无边），vs 、vt为图中任意两指定点，求一条路 µ ，使其是从 vs到 vt的 所有路中最短（路中各边的权之和最小）的一条路。即
终止原则： 1）当P1j（k）= P1j（k+1）可停止，最短路P1j*= P1j（k） 2）当P1j（t-1）= P1j（t-2）时，再多迭代一次P1j（t） ，若P1j（t） = P1j（t-1） ，则原问题无解，存在负回路。
例： 求下图所示有向图中从v1到各点的 最短路。
v2
2 v1 -3 5
0
1 0 0 0
0
0 0 0 0
0
0 0 0 1 1
0
0 0 0 0
1
0 1 0
0
0 1 1 0
0
0
1
v6
v7 v8
0 1 0
0 1 0
图与网络模型Graph Theory
最小树问题
二、树（Tree）和最小树



树是图论中一类重要的图，实际中有很多系统的结构都是树。 树——连通且不含圈的图，简记为 T 。 下面的说法是等价的： T是一个树。 T无圈，且 m = n-1。 T连通，且 m = n-1。 T 无圈，但每加一条新的边即出现唯一一个圈。 T连通，但每舍去一 条边就不连通。 T中任意两点，有唯一的一条链相连。 T是边 数最少的连通图。 图的生成树——若G图的一个点生成子图是一个树，则称此树是G图的 一个生成树。 树的权——若Tk是加权图G的一棵树，则树T的全部边的权之和称为树 Tk的权，记为 （ Tk ）= （e）； e Tk 最小树——T*是加权图G的一棵最小树，即（ T* ）=min{ (Tk) }
2、情况二： wij≤0
设从V1到Vj(j=1,2,…,t)的最短路长为P1j V1到Vj无任何中间点 P1j（1）= wij V1到Vj中间最多经过一个点 V1到Vj中间最多经过两个点 ……. V1到Vj中间最多经过t-2个点 P1j（2）= min{ P1j（1）+wij} P1j（3）= min{ P1j（2）+wij} P1j（t-1）= min{ P1j（t-2）+wij}

图与网络模型Graph Theory
图与网络的基本概念
图论与网络分析理论所研究的问题十分广泛，内容极其丰富。正 如一位数学家所说：“可以说，图论为任何一个包含了某种二元关系 的系统提供了一种分析和描述的模型。” 下面我们来看一个案例—— 国庆大假期间旅游非常火爆，机票早已订购一空。成都一家旅行 社由于信誉好、服务好，所策划的国庆首都游的行情看好，要求参加 的游客众多，游客甚至不惜多花机票钱暂转取道它地也愿参加此游。 旅行社只好紧急电传他在全国各地的办事处要求协助解决此问题。很 快，各办事处将其已订购机票的情况传到了总社。根据此资料，总社 要作出计划，最多能将多少游客从成都送往北京以及如何取道转机。 下面是各办事处已订购机票的详细情况表：
k
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最小树问题
破圈法，避圈法求生成树：
生成树T
图G
生成树T
图与网络模型Graph Theory
最小树问题
破圈法，避圈法求最小生成树：
1
生成树T
4 1 2 4 5 5 3 2 1 1 3 4 4 2 5 1
1
2
1
1
2 3 2
1 1 2 1 1
图G
生成树T
2 3 2
[解]设以vi(i=1,2,3,4,5)表示“第i年初购进一台 新设备”这种状态，以v6表示“第5年末”这种状态； 以弧(vi, vj)表示“第i年初购置的一台设备一直使用到 第j年初”这一方案，以wij表示这一方案所需购置费 和维护费之和。
图与网络模型Graph Theory
引言

十八世纪的哥尼斯堡城中流过一条河（普雷.格尔河），河上有 7 座桥连接着河的两岸和河中的两个小岛。当时那里的人们热衷于这样 一个游戏：一个游者怎样才能一次连续走过这 7 座桥，回到原出发点， 而每座桥只允许走一次。没有人想出走法，又无法说明走法不存在， 这就是著名的“哥尼斯堡 7 桥”难题。
18
10 10
图与网络模型Graph Theory
图与网络的基本概念
将此问题通过图的模型描述： 下图中，点——各城市，带箭头连线——从箭尾城市到箭头城市已订 购有机票，带箭头连线旁的数字——机票数量。

西 重 郑 8 昆 郑州办事处已订 有的到北京的 机票数量。
成
上 武 广 沈
京
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图与网络的基本概念
一、图及其分类和术语




1、 图论中所研究的图并非几何学中的图，也不是绘画中的图。在这 里我们所关心的仅仅是图中有多少个点，点与点之间有无线来连接， 也就是说我们研究的是某个系统中的元素——点，以及这些元素之间 的某种关系——连线。 定义：图——一个图G是一个有序二元组（V，E），记为G=（V，E） 其中（1） V是一个有限非空的集合，其元素称为G的点或顶点，而称V 为G的点集 V={v1，v2，···，vn}；（2）E是V中元素的无序对(vi，vj)所 构成的一个集合，其元素称为G的边，一般表示为 e =(vi，vj)，而称E 是G的边集。 边（无向边）——没有方向的连线 弧（有向边）——带有方向的连线 无向图—— 有向图—— 简单图—— 多重图—— 完全图—— 二部图（偶图，双图）——
连通图
不连通图
图与网络模型Graph Theory
图与网络的基本概念
3、图与矩阵
在图与网络分析的应用中，将面临一个问题——如何分析、计算一 个较大型的网络，这当然需借助快速的计算工具——计算机。那么，如 何将一个图表示在计算机中，或者，如何在计算机中存储一个图呢？现 在已有很多存储的方法，但最基本的方法就是采用矩阵来表示一个图， 图的矩阵表示也根据所关心的问题不同而有——邻接矩阵、关联矩阵、 权矩阵等。 邻接矩阵——对于图G=（V，E），| V |=n， | E |=m，有nn阶方矩阵 A=（aij） nn，其中
图与网络的基本概念
关联矩阵——对于图G=（V，E），| V |=n， | E |=m，有mn阶矩阵
M=（mij） mn，其中 mij =
例——
v1 e1 v2 e2 v3 e3 e5 e6 e7 e8 v5 e4 v4 e9 e12 e11 v6 e10 v7
2 当且仅当 vi是边ej 的两个端点 1 当且仅当 vi是边ej 的一个端点 0 其它
2
2
5 0 0 -3 -3 -3
0 -3 -3 -3
4 0 2 0
6 11 6
6
3 6
3
6
3
6
v7
v8
14 9 9 15 10 10 10
说明：表中空格处为+。
例 设备更新问题
制订一设备更新问题，使得总费用最小
第1年 购买费 使用年数 维修费 13 0-1 8 第2年 14 1-2 10 第3年 16 2-3 13 第4年 19 3-4 18 第5年 24 4-5 27
u5
u4
u3
u2
u1ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
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最短路问题

在 E.W.Dijkstra 算法中必须满足一个条件 —— 在图 G 中所有边的权 lij ≥ 0。若在图 G 中存在有负 权边（当然，这种情形只针对有向图而言）时必 须对E.W.Dijkstra 算法加以修改 —— 称为修改的 E.W.Dijkstra 算法。